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第3章《图形的平移与旋转》期末知识点复习题
【题型1 平移中的新定义问题】
1.对于给定的两点，若存在点，使得三角形的面积等于1，则称点为线段的“单位面积点”，已知在平面直角坐标系中，为坐标原点．点，，．若将线段沿轴正方向平移个单位长度，使得线段上存在线段的“单位面积点”，则的值可以是（ ）
A．0.5 B．1.5 C．2.5 D．3.5
2.在平面直角坐标系中，给出如下定义：△ABC三条边上所有的点到x轴的距离最大值叫作△ABC的遥值，记作：ω（△ABC）．例如：如图，△ABC三条边上所有的点到x轴的最大距离是4，则ω（△ABC）＝4．
（1）把△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到△A′B′C′，请画出△A′B′C′，并求出ω（△A'B′C′）；
（2）已知点D、E的坐标分别为D（1，﹣1），E（1，3），S△DEP＝2，ω（△DEP）＝4，求点P的坐标；
（3）将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度得到△A1B1C1，当2≤ω（△A1B1C1）≤3时，直接写出m的取值范围．
3.对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点，给出如下定义：将点平移到称为将点P进行“t型平移”，点P＇称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．
例如，将点平移到称为将点P进行“1型平移”，将点平移到称为将点P进行“型平移”．
已知点和点．
(1)将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为 ．
(2)①将线段进行“型平移”后得到线型，，，中，在线段上的点是 ．
②若线段进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，求t的取值范围．
③已知点，，M是线段上的一个动点，将点B进行“t型平移”后得到的对应点为，且的最小值保持不变，请直接写出t的取值范围．
4.在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶华益点”（其中为常数，且）．例如：点的“2阶华益点”为点，即点2的坐标为．
(1)若点的坐标为，求它的“3阶华益点”的坐标；
(2)若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点，点的“阶华益点”位于坐标轴上，求点的坐标．
(3)已知、，在第一象限内是否存在横、纵坐标均为整数的点，它的“阶华益点（为正整数）”使得四边形的面积为6？如果存在，请求出的值和点坐标；如果不存在，请说明理由．
【题型2 与旋转有关的规律探究】
1.风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2.如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（　　）
A． B． C． D．
3.图1是正方体的平面展开图，六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6，将点数朝外折叠成一枚正方体骰子，并放置于水平桌面上，如图2所示，若骰子初始位置为图2所示的状态，将骰子向右翻滚，则完成1次翻转，此时骰子朝下一面的点数是2，那么按上述规则连续完成2次翻折后，骰子朝下一面的点数是3；则连续完成2020次翻折后，骰子朝下一面的点数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4.如图，在平面直角坐标系中，直线l：与两坐标轴交于、两点，以为边作等边，将等边沿射线方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线上，第二次翻滚：将等边三角形绕点顺时针旋转，使点落在直线l上……当等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是（ ）

A． B．
C． D．
【题型3 确定旋转对称图形的旋转角度】
1.五星红旗上的一个五角星图案如图所示，将图案绕五角星的中心至少旋转度能与自身重合，则为（ ）

A．108 B．90 C．72 D．60
2.将一个正n边形旋转90°或旋转120°后，均能与自身重合，则n可以为（ ）
A．90 B．120 C．2022 D．2023
3.如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，那么正方形ABCD绕点M至少旋转 度与它本身重合．
4.在直角坐标平面内，有点A（﹣2，0），B（0，2），将线段AB绕点B顺时针旋转后，点A的对应点C落在y轴上，那么旋转角是 °．
【题型4 补全图形使之成为中心对称图形】
1.如图①，是由2个白色和2个阴影全等正方形组成的“L”型图案，请你分别在图②，图③上按下列要求画图．

(1)在图②中，添1个白色或阴影正方形，使它成中心对称图案；
(2)在图③中，先改变1个正方形的位置，再添1个白色或阴影正方形，使它既成中心对称图案，又成轴对称图案．
2.如图，在网格中已知格点和点P，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中作，使其与关于点P成中心对称．
(2)在图2中作四边形，且四边形ABDP是中心对称图形．
3.图①、图②都是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请在给定的网格中分别按要求画图．
(1)在图①中，找一个格点，使以点A，，为顶点的三角形是等腰三角形．
(2)在图②中，找两个格点，，使以点A，，，为顶点的四边形是中心对称图形．
4.图①、图②、图③都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，已有两个小等边三角形涂上了黑色．
(1)在图①中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为轴对称图形，但不是中心对称图形．
(2)在图②中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形为中心对称图形，但不是轴对称图形．
(3)在图③中，再涂黑两个小等边三角形，使得整个涂色部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【题型5 利用中心对称的性质求面积】
1.如图，有任意四边形，分别是A、B、C、D关于B、C、D、A的对称点，设S表示四边形的面积，表示四边形的面积，则的值为 ．
2.如图，点O是 ABCD的对称中心，AD＞AB，点E、F在边AB上，且AB＝2EF，点G、H在边BC边上，且BC＝3GH，则△EOF和△GOH的面积比为 ．
3.如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为，，现平移直线l：，使平移后的直线将这个图案分成面积相等的两个部分，则平移后直线的函数解析式为 ．
4.已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么的值是
【题型6 确定图案的形成过程】
1.经过平移、旋转或轴对称的变换后，不能得到如图所示的图形的是(　　)
A． B． C． D．
2.如图，为保持原图的模样，应选哪一块拼在图案的空白处( )
A．A B．B C．C D．D
3.下列图形均可由“基本图案”通过变换得到：(只填序号)
(1)可以平移但不能旋转的是 ；
(2)可以旋转但不能平移的是 ；
(3)既可以平移，也可以旋转的是 ．
4.如图，共有7个全等的三角形，你能分析说明第1个三角形经过什么变化可以依次得到其余6个三角形吗？
【题型7 中心对称图形的规律探究】
1.如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（ ）.
A． B． C． D．
2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2016的坐标为 .
3.在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ．
4.在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：．
容易知道：若，则；若，则．
已知在平面直角坐标系中，点．

(1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称．
(2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围；
(3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围．
【题型8 简单的图案设计】
1.亦姝家最近买了一种如图（）所示的瓷砖．请你用 块如图（）所示的瓷砖拼铺成一个正方形地板，使拼铺的图案成中心对称图形，请在图（）、图（）中各画出一种拼法．（要求：①两种拼法各不相同，②为节约答题时间，方便扫描试卷，所画图案阴影部分用黑色斜线表示即可，③弧线大致画出即可）
2.认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
(1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征；
(2)请在图中设计出一个图案，使它也具备你所写出的上述特征．
3.七巧板又称智慧板，是中国民间流传的智力玩具，它是由七块板组成（如图1），用这七块板可拼出许多图形（1600种以上），例如：三角形、平行四边形、以及不规则的多边形，它还可以拼出各种人物、动物、建筑等．请你用七巧板中标号为①②③的三块板（如图2经过平移、旋转拼出下列图形（相邻两块板之间无空隙，无重叠；示意图的顶点画在小方块顶点上）：
（1）拼成长方形，在图3中画出示意图；
（2）拼成等腰直角三角形，在图4中面出示意图．
4.思考下列哪些图形可以经过复制自己拼成图一（可以翻折或旋转）
例如选择C就可以经过复制自己拼成图一，如图二所示，请模仿图二，另选两个完成下面两图．
参考答案
【题型1 平移中的新定义问题】
1.A
【分析】设线段上存在线段的“单位面积点”是，分两种情况进行讨论：线段在线段的下方；线段在线段的上方，分别求解即可．
【详解】解：设线段上存在线段的“单位面积点”是，
如图，
，
当线段在线段的下方时，此时，
点，，，
，，，
，
点到的距离为，
可将线段沿轴正方向平移个单位长度，
沿轴正方向平移，
，
，
当线段在线段的上方时，此时，
同理可得：点到的距离为，
可将线段沿轴正方向平移，即，
综上所述，的取值范围为：或，
的值可以是0.5，
故选：A．
2.解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，并求出ω（△A'B′C′）＝4．
（2）满足条件的点P（，4），或（0，4）或（0，﹣4）或（﹣2，﹣4）．
（3）将△ABC向下平移m（m＞0）个单位长度得到△A1B1C1，
①当ω（△A1B1C1）=2，
当点A距离x轴距离是2时，则△ABC向下平移2个单位，
当点C到 x轴距离是2时，△ABC向下平移3个单位；
②当ω（△A1B1C1）=3，
当点A距离x轴距离是3时，则△ABC向下平移1个单位，
当点C到 x轴距离是3时，时△ABC向下平移4个单位；
综合可得：当2≤ω（△A1B1C1）≤3时，1≤m≤2或3≤m≤4．
3.（1）解：将点进行“1型平移”后的对应点的坐标为，即，
故答案为：；
（2）解：如图，将线段进行“型平移”后得到线型，，，中，在线段上的点是，
故答案为：；
②由图知，若线段进行“t型平移”后与y轴有公共点，则；
若线段进行“t型平移”后与x轴有公共点，则，
综上，满足条件的t的取值范围为或；
③如图，根据网格特点，，当点在线段上时，的最小值保持不变，最小值为，此时．
4.（1）解：由题可得：，，
∴点P的“3阶华益点”的坐标为．
（2）解：∵点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到，
∴，
∴， ，
∴P1的“阶华益点”P2的坐标为，
又∵位于坐标轴上，
∴或，
∴或，
∴的坐标为或．
（3）：设的“m阶华益点”的坐标为，过点作，分别交轴、轴于，，

∵，
∴，
又∵，
∴根据三角形的等积变形原理得：，
∴斜边上的高为，斜边上的高为，
设等腰直角三角形的直角边为，
∴
∴
解之得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，，均为正整数，
∴①当，即时，，
则或，
∴，
②当，即时，，
则，
∴，
综上所述，时，P的坐标为或，时，P的坐标为．
【题型2 与旋转有关的规律探究】
1.A
【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标．
【详解】解：如图．
，
在第一象限的角平分线上，
叶片每秒绕原点顺时针转动，
，，，，
点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
，
第时，点的对应点的坐标与相同，为．
故选：．
2.A
【分析】观察图形的变化易得每旋转一次的度数，根据阴影所处的位置可得相应选项．
【详解】解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，
∵2021÷4＝505...1，
即第2021次与第1次的图案相同．
故选：A．
3.C
【分析】先根据平面图形确定各对面的点数，根据翻转发现规律：每四次为一个循环，用2020除以4得到翻转完成2020次后的图形，即可得到答案．
【详解】由平面图形可知：1与6是对面，2与5是对面，3与4是对面，
这是一个正方体，完成1次翻转时骰子朝下一面的点数是2，完成5次翻转后朝下一面的点数还是2，故每四次为一个循环，
∵，
∴连续完成2020次翻折后，与图2的位置相同，骰子朝下一面的点数是4，
故选：C．
4.D
【分析】先令，求得点与点的坐标，从而求出、、的长度，然后结合图形的翻转知道点经过次旋转后重新落在直线：上，第次旋转点的位置不变，再结合次一循环得到翻滚次后点的坐标．
【详解】解：∵直线l：与两坐标轴交于、两点，
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
如图，等边经过第次翻转后，，
过点作轴于点，则，

∵，
∴，
，
等边经过第次翻转后，，
等边经过第次翻转后，点仍在点处，
∴每经过次翻转，点向右平移个单位，向上平移个单位，
∵，第次与第次翻转后点处在同一个点，
∴点经过次翻转后，向右平移了个单位，向上平移了个单位，
∴等边三角形翻滚次后点的对应点坐标是，
故选：D．
【题型3 确定旋转对称图形的旋转角度】
1.C
【分析】根据圆周角为，五角星把周角分为了相同的五部分，结合旋转的定义，利用以上内容，问题即可解答．
【详解】解：该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合，
∵A、B、D都不是的整倍数，
∴只有C符合题意，
故选：C．
2.B
【分析】根据旋转的性质，有是整数，是整数，且是整数，据此结合选项即可作答．
【详解】若旋转后与自身重合，则是整数，即是整数；
同理，若旋转后与自身重合，则是整数．
题中符合条件的只有120．
故选B．
3.360
【分析】根据旋转对称图形的定义即可得．
【详解】点M是边CD的中点，不是正方形ABCD的中心，
正方形ABCD绕点M至少旋转360度才能与它本身重合，
故答案为：360．
4.315或135
【分析】根据A、B的坐标可知，△AOB是等腰直角三角形，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，
∵A（﹣2，0），B（0，2），
∴OA＝OB＝2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠OAB=45°，
∴
∴当旋转角为315°（旋转角为360°-∠ABO）或135°（旋转角为 ）时，点A的对应点C落在y轴上，
故答案为：315或135．
【题型4 补全图形使之成为中心对称图形】
1.（1）解：如图②即为所求．

（2）解：如图③即为所求．

2.（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，四边形即为所求．
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴四边形即为所求．
3.（1）解：如图，点为所作．
（2）解：如图，点、为所作．
4.（1）如图①所示，
阴影部分图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
（2）如图②所示，
阴影部分图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
（3）如图③所示，
阴影部分图形既是轴对称图形，也是中心对称图形．
【题型5 利用中心对称的性质求面积】
1.5
【分析】根据C是的中点，则根据三角形面积公式得，则即可求得，从而获解．
【详解】解：如图所示，连接，
是的中点，
，
同理：，
，
同理：，，
=
，
．
2.3：2．
【分析】连接AC、BD，根据平行四边形的性质得到S△AOB＝S△BOC，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】连接AC、BD，
∵点O是 ABCD的对称中心，
∴AC、BD交于点O，
∴S△AOB＝S△BOC，
∵AB＝2EF，
∴S△EOF＝S△AOB，
∵BC＝3GH，
∴S△GOH＝S△BOC，
∴S△EOF：S△GOH＝3：2，
故答案为3：2．
3.
【分析】如图，连接中间两个小正方形构成的矩形的对角线，则经过对角线交点的直线把此矩形分成面积相等的两部分，可知此直线也把整个图形分成面积相等的两部分，根据点A，B的坐标可得C的坐标，再根据一次函数平移的特点结合待定系数法可求平移后直线的函数解析式．
【详解】解：如图，∵点A，B的坐标分别为，，
∴C的坐标为．
∵平移后的直线将这个图案分成面积相等的两个部分，
∴平移后的直线经过点C．
设平移后的直线的函数解析式为，依题意有，
∴，
解得，
∴平移后的直线的函数解析式为．
故答案为：．
4.
【分析】如图，根据点G是等边△ABC的重心，得到AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，根据中心对称的性质得到△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，推出△AQH是等边三角形，得到AQ＝HQ＝AH，求得它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，设AB＝3a，则QH＝a，根据等边三角形的面积即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵点G是等边△ABC的重心，
∴AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AG＝2GN，
设AB＝3a，则AN＝×3a＝a，
∵△DEF与△ABC关于点G成中心对称，
∴△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，
∴∠AQH＝∠ABC＝∠AHQ＝∠ACB＝60°，
∴△AQH是等边三角形，
∴AQ＝HQ＝AH＝AB＝a，
∴AP＝a，
∴它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，
∴S1＝，S2＝ ，
∴＝＝，
故答案为：．
【题型6 确定图案的形成过程】
1.C
【详解】A.经过平移可得到图形；
B.经过平移和旋转可得到图形；
C. 经过平移、旋转或轴对称的变换后，都不能得到图形；
D.经过旋转可得到图形.
故选C.
2.B
【分析】观察图形，发现原图是后单位图形平移得到，据此即可求解．
【详解】解：由图可知，此图案由如图的图形平移而成，，
∴空白处应该为：，
故选B．
3. ①④ ②⑤ ③
【详解】试题分析：①可以看作由左边图案向右平移得到的；
②可以看作一个菱形绕一个顶点旋转得到的；
③既可以看作一个圆向右平移得到的，也可以看作两个圆组成的图案旋转得到的；
④可以看作上面基本图案向下平移得到的；
⑤可以看作上面图案绕中心旋转得到的．
故可以平移但不能旋转的是①④；
可以旋转但不能平移的是②⑤；
既可以平移，也可以旋转的是③．
故答案为（1）①④，（2）②⑤，（3）③
4.解：如图，标注三角形的一个顶点如下，
先向右平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕旋转180°；
：向下平移1个单位长度；
：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向下平移1个单位长度，再绕逆时针旋转90°；
：先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，最后绕逆时针旋转90°．（答案不唯一）
【题型7 中心对称图形的规律探究】
1.B
【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标．
【详解】解：由题意得：点、、、、、、，
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵，
∴点的坐标是．
故选：B．
2.（0，0）
【分析】根据题意，确定出前几次跳跃后点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，得出规律，根据所得的规律即可求出点P2016的坐标．
【详解】根据题意可知：点P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），由此可得可得出6次一个循环，
∵2016÷6=336，
∴点P2016的坐标为（0，0）．
故答案为（0，0）．
3.
【分析】此题主要考查了中心对称的性质，坐标与图形性质，等边三角形的性质等知识；根据是边长为2的等边三角形，可得，同理可求得，，从而总结出点的横坐标是 ，当n为奇数时，点的纵坐标是，当n为偶数时，点的纵坐标是，即可求解．
【详解】解：∵是边长为2的等边三角形，
∴，，
∵与关于点成中心对称，
∴，即，
∵与关于点成中心对称，
∴，即，
以此类推，点的横坐标是 ，当n为奇数时，点的纵坐标是，当n为偶数时，点的纵坐标是，
∴
∴的顶点的坐标是，
故答案为：．
4.（1）解：根据题意可得：
点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意；
点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意；
点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意；
点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意；
故点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是①②，
故答案为：①②；
（2）解：点在直线上，
设点，
点，
线段后点的坐标为，，
线段与坐标轴有公共点，
当线段与轴有公共点时，，，
解得：，
当线段与轴有公共点时，，
解得：，
综上所述，点的横坐标的取值范围为或；
（3）解：线段上存在点，，
设点的坐标为，点，则，
，
，即，
点作对称后的对应为点，
，
点在轴上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：或，
或，
点的横坐标的取值范围为或．
【题型8 简单的图案设计】
1.解：画图如下：
2.（1）（1）特征1：都是轴对称图形；
特征2：都是中心对称图形；
特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积；
（2）满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示：
3.（1）如图3所示：长方形即为所求；
（2）如图4所示：等腰直角三角形即为所求．
4.解：如图三所示，选择E就可以经过复制自己拼成图一；如图四所示，选择F就可以经过复制自己拼成图一.

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