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第6章《平行四边形》期末知识点复习题
【题型1 平行四边形中的折叠问题】
1.如图，在中，点E，F分别在边，上．将沿折叠，点A恰好落在边上的点G处．若，，，则长度为（ ）
A． B．7 C．6 D．
2.如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点落到处，交于点，折痕为，若，，则的度数为 ．

3.已知，如图，在平行四边形中，，，点为边的中点，沿着向右折叠，点落在处，连接并延长交于点．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，求的长．
4.如图，平行四边形中， ，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为 ．
【题型2 平行四边形中的最值问题】
1.如图，在中，，平分交于点D，P为直线上一动点．连接，以为邻边构造平行四边形，连接，若．则的最小值为 ．

2.在平行四边形中，相交于点O，过点O作，连接，已知的周长为18，若的长为整数，则的最大值是 ．

3.如图，O是平面直角坐标系原点，，，，，P为线段上一个动点，连结并延长至点E，使得点E落在直线上，以，为邻边作，则对角线的最小值为 ．

4.在等边中，AD为边BC的中线，将此三角形沿AD剪开成两个三角形，然后把这两个三角形拼成一个平行四边形，如果，那么在所有能拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是 ．
【题型3 与平行四边形有关的规律探究】
1.有一边长为10m的等边△ABC游乐场，某人从边AB中点P出发，先由点P沿平行于BC的方向运动到AC边上的点P1，再由P1沿平行于AB方向运动到BC边上的点P2，又由点P2沿平行于AC方向运动到AB边上的点P3，则此人至少要运动 m，才能回到点P．如果此人从AB边上任意一点出发，按照上面的规律运动，则此人至少走 m，就能回到起点．
2.如图，已知的顶点，，，若将先沿轴进行第一次对称变换，所得图形沿轴进行第二次对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴…的规律进行，则经过第2018次变换后，顶点坐标为（）

A． B． C． D．
3.如图，△ABC是边长为1的等边三角形，取BC边中点E，作ED∥AB，EF∥AC，得到四边形EDAF，它的面积记作S1;取BE中点E1,作E1D1∥FB,E1F1∥EF,得到四边形E1D1FF1,它的面积记作S2.照此规律作下去,（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在图1中，分别是等边的边的中点，在图2中，分别是的边的中点，已知的面积为1，按此规律，则的面积是 ．
【题型4 平行四边形的存在性问题】
1.如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点在轴的正半轴上，且，为直线与直线的交点，点在线段上，．

(1)如图1，求点的坐标；
(2)若为线段上一动点（不与、重合），的横坐标为，过作轴交轴于点，四边形的面积为，当时，求出点的坐标；
(3)如图2，点为关于轴的对称点，点为关于轴的对称点，连接，若为直线上一动点，为轴上一动点，是否存在以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解的坐标的其中一种情况的过程；若不存在，请说明理由．
2.如图，已知点，，

(1)求线段的长；
(2)若已知，x轴上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点为顶点的四边形是平行四边形，试求直线的函数表达式．
3.如图，直线的解析表达式为，与轴交于点，直线经过定点，直线与交于点．
(1)求直线的函数关系式；
(2)若点的横坐标是2，求的面积；
(3)若存在点，使以四点为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，试求出点的坐标．
4.如图，平行四边形在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中，，，E是线段的中点．
(1)求出C，D的坐标；
(2)平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型5 与平行四边形有关的动点问题】
1.如图（1），在四边形中，，，，有动点从点出发，在线段上以的速度向点运动，有动点同时从点出发，在线段上以的速度向点运动，当其中一点到达时，另一点也随之停止运动．连接，若运动时间是秒．
(1)四边形是平行四边形时，则 ；
(2)如图（2），取中点，中点，连接，，请求出的时间；
(3)在（2）中，继续连接，与相交与点，如图（3）当时，请写出一个与有关的结论，并证明这个结论．
2.如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点D运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点B运动.规定当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动开始，经过 s时，会有
3.如图，在平面直角坐标系中，，，，．一动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）．

(1)设面积为S，求S与t之间的函数关系式；
(2)当t为何值时，四边形是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
(3)当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？
4.如图1，平行四边形中，，两动点M，N同时从点A出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动，的面积S（）与点N的运动时间t（s）的关系图象如图2所示，已知，则下列说法正确的是（ ）
①N点的运动速度是；
②AD的长度为3cm；
③a的值为7；
④当时，t的值为或9．

A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
【题型6 平行四边形中的旋转问题】
1.如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，其中点的对应点分别为点连接在旋转过程中，若，则的长为 ．
2.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝13，AD＝3，将平行四边形ABCD绕点A旋转，当点D的对应点D′落在AB边上时，点C的对应点C′恰好与点B、C在同一直线上，则此时△C′D′B的面积为（ ）
A．60 B．65 C．80 D．120
3.小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心．
请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：

(1)如图①，四边形是平行四边形，过对角线交点的直线与边分别相交于点，则四边形与四边形的面积之比的比值为______；
(2)如图②，这个图形是由平行四边形与平行四边形组成的，点在边上，且、、在同一直线上．
①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）；
②延长与边的延长线交于点，延长与边交于点．联结，如图③所示，当四边形的面积为18，四边形的面积为4时，求三角形的面积．
4.如图，在平面直角坐标系中，四边形为平行四边形，为坐标原点，，，，将平行四边形绕点逆时针旋转得到平行四边形，点在的延长线上，点F落在x轴正半轴上．

(1)证明：是等边三角形；
(2)平行四边形绕点逆时针旋转度．的对应线段为，点的对应点为．
①直线与轴交于点，若为等腰三角形，求点的坐标：
②对角线在旋转过程中设点坐标为，当点到轴的距离大于或等于时，求的范围．
【题型7 与平行四边形有关的新定义问题】
1.在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M、N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P、Q两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形M和图形N的“距离关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，．
(1)若E为边上任意一点，则的最大值为______，最小值为______，因此k（点O，）＝______；
(2)若为对角线上一点，为对角线上一点，其中．
①若，则k（线段，）______；
②若（线段，），求m的取值范围；
(3)若的对角线交点为O，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含n的代数式表示．
2.对于平面直角坐标系中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P、Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作．在中，点，，，，如图1．
(1)直接写出（点O，）___________．
(2)若点P在y轴正半轴上，d（点P，），求点P坐标；
(3)已知点、、、，顺次连接点E、F、H、G，将得到的四边形记为图形W（包括边界）．在图2中画出图形W，直接写出（W，）的值．
3.我们定义：只有一组对角相等的凸四边形叫做等对角四边形．
(1)四边形是等对角四边形，，若则　 　，　 　．
(2)图①、图②均为4×4的正方形网格，线段的端点均在格点上，按要求以为边在图①、图②中各画一个等对角四边形．要求：四边形的顶点D在格点上，且两个四边形不全等．
(3)如图③，在平行四边形中，于点E且．点P在射线上，设，求四边形为等对角四边形时x的值．
4.定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰．
定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线．
【概念理解】
(1)如图1，在梯形中，，四边形_______（填“是”或“不是”）和等梯形；
(2)如图2，在矩形中，，点E在AB上，，若在上存在点P使得四边形是和等梯形，求的长；
【探索发现】
(3)如图3，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点O，请判别的形状，并说明理由：
【灵活运用】
(4)如图4，点E在平行四边形的边上，在边上找一点P，使得四边形是以为和等线的和等梯形．
要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹．
【题型8 与平行四边形有关的定值问题】
1.如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
(1)四边形______平行四边形（是或不是）
(2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有；
(3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
2.如图，直线平行于，定点A在直线上，动点B在直线上，P是平面上一点，且P在两直线中间（不包括边界），始终有，则在整个运动过程中，下列各值①；②；③；④中，一定为定值的是 ．（填序号）

3.如图，平面直角坐标系中，点A（0，a）在y轴正半轴上，点B（0，b）（b≤0），点C（c，0）在x轴正半轴上，且a2﹣2ab＋b2﹣c2＝0．
(1)判断线段AB与OC的数量关系，并说明理由；
(2)如图1，当b＝0时，连接AC，点P是线段AC上一点，CQ⊥OP于Q，连接AQ．若QC＝2QO，求证：∠AQP＝45°；
(3)如图2，当b＜0时，点D在x轴正半轴上点C的右侧，且CD＝OB，连接AD，射线BC交AD于点E．当点B在y轴负半轴上运动时，∠AEB的度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由．
4.如图，等腰中，，点P为射线BC上一动点（不与点B、C重合），以点P为中心，将线段PC逆时针旋转角，得到线段PQ，连接、M为线段BQ的中点．
(1)若点P在线段BC上，且M恰好也为AP的中点，
①依题意在图1中补全图形：②求出此时的值和的值；
写出一个的值，使得对于任意线段BC延长线上的点P，总有的值为定值，并证明.
【题型9 多边形中的阅读理解类问题】
1.阅读材料：两个三角形各有一个角互为对顶角，这两个三角形叫做对顶三角形．
解决问题：如图，与是对顶三角形．

(1)试说明：；
(2)试利用上述结论解决下列问题：若、分别平分与，，，
①求的度数（用含m、n的代数式表示）；
②若、分别平分与，，求的取值范围．
2.阅读材料：
解决问题：
（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接AD并延长AD到点E．
联系拓广：
（2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)．
请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　　　　°；
②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　　　　°．
3.请阅读下列材料，并完成相应的任务．
已知“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，那么五边形的外角与内角之间又有什么关系呢？

如图1，在五边形中，是它的两个外角，则．下面是该结论的证明过程（部分）：
∵五边形的内角和为，
∴．
……
(1)按照上面的证明思路，完成证明的剩余部分．
(2)知识应用：如图2，在五边形中，分别是和的平分线，若，求的度数；
(3)拓展提升：如图3，，，则_______．
4.阅读材料，回答下列问题：
【材料提出】
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
【探索研究】
探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ．
【模型应用】
应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ．
【题型10 与多边形内角和有关的角度探究问题】
1.如图1，已知是的一个外角，我们容易证明，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
尝试探究；
（1）如图2，与分别为的两个外角，则______（选填“”“”或“”），并说明理由；
初步应用：
（2）如图3，在纸片中剪去，得到四边形，，，则______；（直接写出答案）
拓展延伸：
（3）如图4，在中，，分别平分外角，，与有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案：______；
解决问题：
（4）如图5，在四边形中，，分别平分外角，，请利用上面的结论探究与，的数量关系．
2.研究一个问题：多边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？

【回顾】如图①，请直接写出与、之间的数量关系：______．
【探究】如图②，是四边形的外角，求证：．
【结论】若边形的一个外角为，与其不相邻的内角之和为，则，与的数量关系是______．
3.【探究】
（1）如图1，，，和的平分线交于点，则______°；
（2）如图2，，，且，和的平分线交于点，则______；（用、表示）
（3）如图3，，，当和的平分线、平行时，、应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论．
【挑战】
（4）如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，交于点，那么与、有怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论．
4.如图1至图2，在中，，点在边所在直线上，作垂直于直线，垂足为点，为的角平分线，的平分线交直线于点．
(1)特例感悟：
如图1，延长交于点，若，．
解决问题：①_______°；
②求证：；
(2)深入探究；如图，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示______；
(3)拓展延伸：当点在直线上移动时，若射线与射线相交，设交点为，直接写出与的关系式．
参考答案
【题型1 平行四边形中的折叠问题】
1.A
【分析】过B作BM⊥AD于M，作FH⊥BC于H，作EN⊥BC于N，交CB延长线于N，分别求出BN、EN、AM、BM，继而在Rt△GEN中求出GN的值，设FM=BH =x，在Rt△GFH中，由勾股定理列方程解出x，即可得出结果．
【详解】解：过B作BM⊥AD于M，作FH⊥BC于H，作EN⊥BC于N，交CB延长线于N，如图1所示：
则BM⊥BC，BM=FH，FM=BH，
由折叠的性质得：AE=GE= ，GF=AF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EBN=∠A=45°，
∴△ABM和△BEN是等腰直角三角形，
∴BN=EN= BE=1，AM=BM= AB=6，
∴FH=6，
在Rt△GEN中，由勾股定理得：12+GN2= ，
解得：GN=±7（负值舍去），
∴GN=7，
设FM=BH =x，则GH=7-1-x=6-x，GF=AF=x+6，
在Rt△GFH中，由勾股定理得：62+（6-x）2=（x+6）2，
解得：x=，
∴AF=+6=；
故选：A．
2.40°
【分析】根据折叠的性质，平行四边形的性质以及三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点落到处，

，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
3.（1）如图，连接交于点，
由折叠可知：垂直平分，
是的中点，
点为边的中点，
是的中位线，
，
，
在平行四边形中，，
，
四边形是平行四边形；
（2）四边形是平行四边形，
，
，
，
，
由翻折可知：，
是等腰三角形，
，
，
如图，过点作于点，
，
，
，
，点为边的中点，
，
，，
．
4.
【分析】过作 于，根据等腰直角三角形的性质得到 ，根据折叠的性质得到 ， ，求得 ，解直角三角形得到 ， ，根据平行线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到 ，求得 ，过作于，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】过作 于，
，
是等腰直角三角形，
，
将沿边折叠得到 ，
， ，
，
，
， ，
平行四边形中，，
，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，，
过作于，
，
故答案为：．
【题型2 平行四边形中的最值问题】
1.
【分析】过C作于O，过D作于H，如图1，利用直角三角形的性质和勾股定理，求出，则可求得，，继而求出；过Q作于G，连接交于M，，得到，故Q到直线的距离始终为2，所以Q点在平行于的直线上运动，且两直线距离为2，根据垂线段最短，当C，O，Q三点在一条直线上时，此时最小，最小值为：，即可求解．
【详解】解：如图1，过C作于O，过D作于H，

在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在 中，，
可设 ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2，过Q作于G，连接交于M，

∵四边形为平行四边形，
∴，
在与中，
∴，
∴，
故Q到直线的距离始终为2，
所以Q点在平行于的直线上运动，且两直线距离为2，
根据垂线段最短，
当C，O，Q三点在一条直线上时，此时最小，如图3，

最小值为：
故答案为：．
2.17
【分析】由平行四边形的性质可得，且，可得是的垂直平分线，可得，即，由三角形的三边关系可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，且，
∴，
∵的周长为18，
∴，
∵，
∴，
∴对角线的最大整数值为17，
故答案为：17．
3.6
【分析】作轴于N，轴于M，连接，利用全等三角形的性质证明，推出，根据垂线段最短解决问题即可．
【详解】解：作轴于N，轴于M，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
当时，的值最小，此时，
∴最小值为6．
故答案为6．

4.
【分析】分三种情况作出图形，分别利用勾股定理计算出对角线的长度即可．
【详解】解：∵在等边中，，AD为边BC的中线，
∴BD＝CD＝，
∴AD＝，
如图，有三种情况．
在图1中，对角线AC＝2；
在图2中，过点A′作A′E⊥AD交AD的延长线于E，
在Rt△AE A′中，AE＝AD＋DE＝AD＋A′C＝，A′E＝CD＝1，
∴AA′＝；
在图3中，过点B作BF⊥CD交CD的延长线于F，
在Rt△BFC中，BF＝AD＝，CF＝DF＋CD＝2CD＝2，
∴BC＝，
∵，
∴对角线长度的最大值是，
故答案为：．
【题型3 与平行四边形有关的规律探究】
1. 15 30
【分析】若某人从边AB中点P出发，由平行四边形的判定可证四边形BPP1P2是平行四边形，四边形PP1CP2是平行四边形，由平行四边形的性质可得PP1＝BP2＝P2C＝5m，即可求解；
若某人从边AB边上任意一点出发，由平行四边形的判定可证四边形BPP1P2是平行四边形，四边形PP1CP5是平行四边形，四边形AP3P2P1是平行四边形，四边形APP5P4是平行四边形，四边形P3P4CP2是平行四边形，由平行四边形的性质可求解．
【详解】解：若某人从边AB中点P出发，
∵P是AB中点，AB＝10m，
∴AP＝BP＝5m，
∵PP1∥BC，P1P2∥AB，PP2∥AC，
∴四边形BPP1P2是平行四边形，四边形PP1CP2是平行四边形，
∴PP1＝BP2＝P2C，
∴PP1＝BP2＝P2C＝5m，
同理可求P2P1＝5m，P2P＝5m，
∴PP1+P2P1+P2P＝15m，
∴此人至少要运动15m，才能回到点P；
若某人从边AB边上任意一点出发，
同理可证：四边形BPP1P2是平行四边形，四边形PP1CP5是平行四边形，四边形AP3P2P1是平行四边形，四边形APP5P4是平行四边形，四边形P3P4CP2是平行四边形，
∴PP1＝BP2，P1P2＝BP，PP5＝P1C，P4P5＝AP，P2P3＝AP1，P3P4＝P2C，
∵PP1+P1P2+P2P3+P3P4+P4P5+P5P＝BP2+BP+AP1+P2C+AP+P1C＝AB+AC+BC＝30m，
故答案为：15，30．
2.B
【分析】先由平行四边形的性质求得A的坐标，然后根据“关于轴轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”以及“关于轴轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求得每一次轴对称变换A的坐标，得出每4次轴对称变换为一个循环周期的规律，由此得出经过第2018次变换后，A点的坐标．
【详解】∵平行四边形OABC的顶点O（0,0），B(2,2），C(1.6,0.8）
∴A的横坐标为2-1.6=0.4，纵坐标为2-0.8=1.2，即A(0.4,1.2)
将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，得A(-0.4,1.2）；
所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，得A(-0.4,-1.2）；
第三次轴对称变换，得A（0.4,-1.2）；
第四次轴对称变换，得A（0.4,1.2），即A点回到原处．
由此可知，每4次轴对称变换为一个重复周期．
2018÷4=504……2
所以经过第2018次变换后，平行四边形顶点A位于第三象限，其坐标为(-0.4,-1.2)．
故选：B．
3.D
【详解】分析：先根据△ABC是等边三角形可求出△ABC的高，再根据三角形中位线定理可求出的值，进而可得出的值，找出规律即可得出的值．
详解：∵△ABC是边长为1的等边三角形， ∴△ABC的高=AB sinA=1×=，
∵DE、EF是△ABC的中位线，∴AF=， ∴=××=；
同理可得，=×；… ∴Sn=×； ∴=×=．故选D．
4.
【分析】由分别是等边的边的中点，可知，，是等边的中位线，则四边形、、、均为平行四边形，，由分别是的边的中点，同理可得，，推导一般性规律，然后作答即可．
【详解】解：∵分别是等边的边的中点，
∴，，是等边的中位线，
∴四边形、、、均为平行四边形，
∴，
∵分别是的边的中点，
同理可得，，
∴推导一般性规律，，
故答案为：．
【题型4 平行四边形的存在性问题】
1.（1）设直线的解析式为
解得：
联立方程组
解得
（2）设的解析式为
解得：
为线段上一动点
轴
过点作轴交于
令梯形的面积为
或（舍）
（3）存在以为顶点的四边形是平行四边形，理由如下
点为关于轴的对称点，点为关于轴的对称点
设直线的解析式为
解得
设
①当为平行四边形的对角线时
解得
②当为平行四边形的对角线时
解得
③当为平行四边形的对角线时
解得
综上所述：点坐标为或或
2.（1）解： 点，，
；
（2）如下图，

，
，
作出点A关于x轴的对称点，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
令，则，
，
；
（3）如下图，

为x轴上一点，N为y轴上一点，以点为顶点的四边形是平行四边形，
不可能是平行四边形的对角线，只能是平行四边形的一边，
点，，
①点B平移到x轴上，
将线段向下平移个单位，点B落在x轴上，
平移后点A的对应点，
即：，
平移后点B的对应点，
点N在y轴上，
，
再将线段向左平移m单位，点M落在x轴上，
，
即： ，
设直线的解析式为，
将点，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
②点A平移到x轴上，
如下图，

将线段向下平移个单位，点A落在x轴上，
平移后点A的对应点，
即：，
平移后点B的对应点，
即：，
点N在y轴上，
，
再将线段向左平移m单位，点M落在x轴上，
，
即： ，
设直线的解析式为，
将点，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
即：直线的解析式为或．
3.（1）设直线的解析式为，
它经过两点，
，解得，
直线的关系式为
（2）当时，，
即点的坐标为
当时，，
解得，
即，
（3）分三种情况讨论：
①以为对角线，为邻边构成平行四边形，
轴，且，而

②以为对角线，为邻边构成平行四边形，
轴，，而

③以为对角线，为邻边构成平行四边形，
且过，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为；
且过，
设直线的解析式为，
则，解得，
直线的解析式为；
相交于轴上的，
综上所述，点的坐标为或或．
4.（1）解：∵四边形是平行四边形，
，
，
，
∴点C的坐标为，点D的坐标为；
（2）理由如下：
是线段的中点，
∴点E的坐标为，即，
设点N的坐标为，
当为对角线时，
，
解得：，
的坐标为；
当为对角线时，
，
解得：，
的坐标为；
当为对角线时，
，
解得：，
的坐标为，
综上可知，点N的坐标为或或．
【题型5 与平行四边形有关的动点问题】
1.（1）解：依题意，，，
当四边形为平行四边形时，则，
∴，
解得：，
故答案为：4；
（2）解：延长交延长线于，延长交延长线于
∵E、F分别是，的中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
当时，则四边形为平行四边形，
∴，即，
∴，
解得：；
（3）解：和互相平分，证明如下：
如图所示，连接，，
在（）中，四边形为平行四边形，则，
∵，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
和互相平分．
2.5或
【分析】根据，一种情况是：四边形为平行四边形，可得方程，一种情况是：四边形为等腰梯形，可求得当，即时，解方程即可求得答案．
【详解】解：根据题意得：，，则，
若要，分为两种情况：
①当四边形为平行四边形时，
即
，
解得：，
②当四边形为等腰梯形时，
即
解得：，
即当或时，，
故答案为：5或
3.（1）解：运动时间为t秒，则，
∵，
∴，
∵，，动点P从点A出发，在线段上移动，
∴，P点纵坐标为， ，
∴ ；
（2）解：由题意得：，，
∴，，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
∴，
解得：，
∴，；
（3）解：①当时，过Q作，

由题意得：，
解得：，
②当时，过P作轴，
由题意得：，，
，
解得：，
或时，是以为腰的等腰三角形．
4.D
【分析】由点M的速度和路程可知，时，点M和点B重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点D重合，进而可求出的长；根据路程除以速度可得出时间，进而可得出a的值；由图2可知，当时，有两种情况，根据图象分别求解即可得出结论．
【详解】解：∵，点M的速度为，
∴当点M从点A到点B，用时，
当时，过点N作于点E，

∴，
∴，
在中，，
∴，，，
∴，
∴N点的运动速度是；故①正确；
∴点N从D到C，用时， 由图2可知，点N从A到D用时3s，
∴，故②正确；
∴，故③正确；
当点M未到点B时，过点N作于点E，

同理可得：，
∴，
解得，负值舍去；
当点N在上时，过点N作交延长线于点F，

此时，
∴，
∴， 解得，
∴当时，t的值为或9．故④正确；
故选：D．
【题型6 平行四边形中的旋转问题】
1.
【分析】如图，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC，交CB延长线于N，根据旋转的性质可得∠EBC=∠DBA，BD=AB，可得BD=AC，由可得∠DBA=∠BAC，即可证明BD//AC，可证明四边形DBCA是平行四边形，可得AM=DN，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得BM=BC，利用勾股定理可求出AM的长，可得DN的长，利用勾股定理可求出BN的长，进而可得CN的长，利用勾股定理求出CD的长即可．
【详解】如图，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC，交CB延长线于N，
∵AB=AC=5，BC=6，AM⊥BC，
∴BM=BC=3，
∴AM==4，
∵将绕点逆时针旋转，得到，
∴∠EBC=∠DBA，BD=AB=AC=5，
∵，
∴∠DBA=∠BAC，
∴BD//AC，
∴四边形DBCA是平行四边形，
∴DN=AM=4，
∴BN==3，
∴CN=BC+BN=9，
∴CD==，
故答案为：
2.A
【分析】根据平行四边形的性质得∠DAB＝∠D′AB′，AB＝AB′＝C′D′＝13，再由AB′∥C′D′得∠D′AB′＝∠BD′C′，加上∠C＝∠DAB，则∠C＝∠BD′C′，接着由点C′、B、C在一直线上，AB∥CD得到∠C＝∠C′BD′，所以∠C′BD′＝∠BD′C′，可判断△C′BD′为等腰三角形，作C′H⊥D′B，根据等腰三角形的性质得BH＝D′H，由于BD′＝10得到D′H＝5，根据勾股定理得到C′H，于是得到结论．
【详解】解：如图，
∵ ABCD绕点A旋转后得到 AB′C′D′，
∴∠DAB＝∠D′AB′，AB＝AB′＝C′D′＝13，
∵AB′∥C′D′，
∴∠D′AB′＝∠BD′C′，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C＝∠DAB，
∴∠C＝∠BD′C′，
∵点C′、B、C在一直线上，
而AB∥CD，
∴∠C＝∠C′BD′，
∴∠C′BD′＝∠BD′C′，
∴△C′BD′为等腰三角形，
作C′H⊥D′B，则BH＝D′H，
∵AB＝13，AD＝3，
∴BD′＝10，
∴D′H＝5，
∴C′H＝＝12，
∴△C′D′B的面积＝BD′ C′H＝×10×12＝60，
故选：A．
3.（1）解：四边形是平行四边形，对角线相交于点，
，
，
在和中
，
，
同理可得，，
，，，
，，
，
即四边形的面积与四边形的面积之比为，
故答案为：；
（2）根据（1）中的结论画出图如图所示，

平行四边形的对角线、相交于点，平行四边形的对角线、相交于点，过点的直线将图形分为面积相等的两个部分，直线与相交于点，直线与相交于，直线与相交于，
其中，，
，
即；
四边形是平行四边形，
，
四边形为平行四边形，
，
，
四边形为平行四边形，
同理可得，四边形、四边形均为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
三角形的面积为7．
4.（1）如图过点作轴于点，

，，
，，
，
由旋转的性质可得：，
∴，
∴，
是等边三角形；
（2）①设，
是等腰三角形，
当时，，
解得：，
，
当时，，
或，
当时，根据等腰三角形的性质可得，
∴，
故为等腰三角形时，点的坐标为或或或，．
②旋转过程中点的对应点为，，
当点开始旋转，至在第三象限内到轴的距离等于时，如图，作轴于点H，轴于点G，交于点E，
∴，
∴，，
∴，
∴，
此时；

当点旋转到第四象限，到轴的距离等于时，如图，

同理可得：，
∴；
∴满足条件的的取值范围是；
当点旋转到第一象限，到轴的距离等于时，如图，
此时，
∴；

当点旋转时，
，关于点对称，
，解得：，
，，
故此时满足条件的的取值范围是；
综上所述，当点到轴的距离大于或等于时，的取值范围是或．
【题型7 与平行四边形有关的新定义问题】
1.（1）解：如图1，过作于，过作于，与轴交于，则四边形是正方形，
由题意知，当与或重合时，最大，当与重合时，最小，
∴，，
∴最大为2，最小为1，
(点，) ，
故答案为：2，1，2；
（2）解：如图2，
设直线的解析式为，则，解得，
∴，
当，，
∴，
由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
故答案为：6；
②解：将代入，解得，即，
当时，由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
令，
解得，
∴；
当时，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
令，
解得，
∴；
当时，由题意知，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
令，
解得，
∴；
当时，线段上的点与上的点的最大距离为，最小距离为，
∴(线段，)，
令，
解得，
∴；
综上所述，或或或；
（3）解：如图3，
将代入，解得，即，
∵，
∴，
由（2）可知，当且时，上的点到上的点的最大距离为，最小距离为，
∴．
2.（1）解：过点O作于点T，
∵点，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴（点O，）
故答案为；
（2）如图1中，过点P作于点H，
设交y轴于点Q，
∵d（点P，），
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）图形W如图2，过点H作于点J，延长交于点K，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴
∴（W，）．
3.（1）解：∵四边形是等对角四边形，，
则，
∵
∴，
∴
故答案为：，．
（2）由题意可得：等对角四边形ABCD如图所示
（3）解：如图所示，过点作，交于点，
当时，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴
∵，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，如图所示，
同理可得，
．
综上所述，或．
4.（1）解：连接，，
∵，
∴，，
，
∴，
∴四边形是和等梯形，
故答案为：是；
（2）连接，，
∵四边形是矩形，，，设，
∴，
当时，四边形是和等梯形，
即，解得：，即：；
当时，四边形是和等梯形，
即，解得：，即：；
综上，当或时，四边形是和等梯形；
（3）是等腰三角形，理由如下：
延长使得，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵四边形是以为和等线的和等梯形，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（4）方法一：由（3）得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点；
即：在延长线上截取，再以点，点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，连接两点，交于于一点，如图所示，该点即为所求点；
方法二：由（3）的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点；
即：连接，在上截取，连接并延长交于点，如图所示，该点即为所求点．
【题型8 与平行四边形有关的定值问题】
1.（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：是；
（2）证明：由（1）知四边形为平行四边形，则，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴和为等边三角形，
∴，，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
又∵，，
∴．
∴；
（3）四边形的面积不变，为定值．
理由如下：由（2）得，则，
故，是定值，
作于点，
∵，
∴，则，
∴，
综上，四边形的面积不变，为定值．
2.①②
【分析】过点作，交于点，根据平行线的判定和性质，推出，判断①；证明四边形为平行四边形，为等腰三角形，推出，判断②；结合图形，根据线段的变化情况，判断③和④．
【详解】解：过点作，交于点，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，为定值，故①正确；
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，
∴为定值，故②正确；
由图可知，当点从下往上运动时，逐渐减小，
∵为定值，
∴逐渐增大，
∴逐渐减小，不是定值，故③错误；
假设，则：，
∴为直角三角形，
∴，
设，
∴，
∴，
∵不是定值，
∴的值也不是定值，故④错误；
故答案为：①②．
3.（1）解：AB＝OC，理由如下：
，，，
，
；
（2）证明：作，交OP的延长线于H，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：的度数为定值，
作于D，取DF＝OC，连接CF，BF，
，，，
，
，BC＝CF，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，OC＝DF，
，
，
四边形ABFD是平行四边形，
，
，
的度数是定值，为45°．
4.（1）①如图所示，即为所求，
②连接AQ，如图所示，
∵M为AP、BQ的中点，
∴AM=PM，BM=QM，
∴四边形ABPQ是平行四边形，
∴AB＝PQ，AB//PQ，
∴，
∵PC=PQ，
∴AB＝PC，
为等腰直角三角形，
，
．
（2），
延长PM至N，使得MN＝PM，连接BN、AN、QN，
如图所示：
M为线段BQ的中点，
∴BM=QM，
又∵MN＝PM，
∴四边形BNQP是平行四边形，
又∵∠CPQ=90°，
∴四边形BNQP是矩形，
，，
，
为等腰直角三角形，
，，即，
又AB=AC，
，
，，
，即，
即为等腰直角三角形，
，
又，
，
即的值为定值，
当时，的值为定值．
【题型9 多边形中的阅读理解类问题】
1.（1）解：在中，，
在中，，
又 ，
．
（2）① 、分别平分与，
，.
与是对顶三角形，是对顶三角形
①.
与是对顶三角形，
②
由①+②，得
，
，
② 、分别平分与，
，，
同理可求得
在四边形中，
，，.
由（1）①证得，则
，
，
解得．
2.解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E．
则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角，
∴∠BDE=∠B+∠BAD，
∠CDE=∠C+∠CAD
∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC．
（2）①如图2，由（1）得，∠CFD=∠A+∠C+∠D，
∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，
∵∠BFE+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
故答案为：180°
②如图3，由（1）得，∠DHE=∠A+∠D+∠E，
∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，
∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
故答案为：360°
3.（1）∵五边形的内角和为，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴由（1）可得，，
∵平分平分，
∴，
∴ ，
∵，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（1）得，
∵
∴．
故答案为：
4.解：探索一：如图1，
∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如图2，
∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°，
故答案为25°；
探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，
由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，
①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B＝2∠P+∠B．
∴∠P＝．
故答案为：∠P＝．
应用一：如图4，
延长BM、CN，交于点A，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，
∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，
故答案为：α+β﹣180°，；
应用二：如图5，
延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，
∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，
∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，
由应用一得：∠P＝∠A＝，
故答案为：；
拓展一：如图6，
由探索一可得：
∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，
∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，
∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，
∴∠P＝，
故答案为：∠P＝；
拓展二：如图7，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，
∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，
故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【题型10 与多边形内角和有关的角度探究问题】
1.解：（1）=，理由是：
∵，，．
∴；
故答案为：=；
（2）由（1）题的结论可得：=，
∴135°+100°=，
∴∠C=55°，
故答案为：55°．
（3）∵，分别平分，，
∴∠PBC=∠DBC，∠PCB=∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB=(∠DBC+∠ECB)，
∵=，
∴∠PBC+∠PCB=，
∴．
故答案为：；
（4）．
理由：如图，∵，，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵在四边形中，，
又∵在中，，
∴．
2.回顾：∵，，
∴；
故答案为：；
探究：∵，，
∴，
∴．
结论：∵n边形的某一个外角的度数是，
∴与这个外角相邻的内角是，
∵与这个外角不相邻的所有内角的和是，
∴，
整理得：，
故答案为：．
3.解：（1）平分，平分，
，．
，
．
又，
．
（2）由（1）得：，．
．
（3）若，则．
证明：若，则．
平分，平分，
，．
．
．
．
（4）如图4，平分，平分，
，．
，
．
．
．
与是对顶角，
．
又，
．
，
即．
4.（1）解：①∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
故答案为：
②证明：由①得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
（2）由八字模型可得，和中，
＝
．
故答案为：
（3）①如图，当点在延长线上时，
由八字模型可得，和中，
，
；
②如图，当点在线段上时，
由四边形的内角和得，
；
③如图，当点在延长线上时，
由八字模型可得，，
∴
；
综上，＝或．

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