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第5章《分式与分式方程》期末知识点复习题
【题型1 探究分式值为整数问题】
1.请阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如：．
(1)将分式化为带分式；
(2)在（）问中，当取哪些数值时，分式的值也是整数；
(3)当的值变化时，分式的最大值为 ．
2.若分式的值为整数，的值也为整数，则的最小值为 ．
3.若是整数，则使分式的值为整数的值有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
4.已知x为整数，且为正整数，则整数 ．
【题型2 探究利用分式性质求值问题】
1.已知，则的值是
2.已知三个数，x，y，z满足，则y的值是
3.已知，则的值 ．
4.已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且=4．求的值为 ．
【题型3 探究分式的规律性问题】
1.给定下面一列分式：，-，-，．．．，（其中）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．
2.已知（a不取0和-1），，… 按此规律，请用含a的代数式表示 ．
3.探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，……
(1)计算：若n为正整数，猜想______；
(2)；
(3)若，求的值．
4.定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式“友好分式”．
如与，因为，，
所以是的“友好分式”．
(1)分式______分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；
(2)小明在求分式的“友好分式”时，用了以下方法：
设的“友好分式”为，则，
∴，
∴．
请你仿照小明的方法求分式的“友好分式”．
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“友好分式”：______．
②若是的“友好分式”，则的值为______．
【题型4 探究分式方程的正负解问题】
1.若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解是正数，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
2.已知关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是（　　　）
A． B． C．且 D．且
3.若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或或
4.若实数使关于的不等式组有整数解且至多有个整数解，且使关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的所有整数的和为 ．
【题型5 探究分式方程的整数解问题】
1.若关于x的不等式组有解且至多有5个整数解，且关于y的方程的解为整数，则符合条件的整数m的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是（ ）
A．2或3 B．4或5 C．3或5 D．3或4
3.若关于的一元一次不等式组有且只有3个整数解，且关于的分式方程的解是奇数，则所有满足条件的整数的值之和是（ ）
A． B． C． D．
4.若关于的一元一次不等式组的解集恰好有3个负整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．6 B．9 C． D．2
【题型6 探究分式方程的无解问题】
1.已知关于x的分式方程无解，且关于y的不等式组有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m的乘积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2.关于x的分式方程有解，则满足 ．
3.若以x为未知数的方程无解，则 .
4.已知关于x的分式方程.
(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程无解，求a的值．
【题型7 探究分式方程的增根问题】
1.若关于的分式方程有增根，且关于的不等式中有2个整数解，则整数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2.若关于的方程有增根，则这个增根为 ，的值是 ．
3.如果在解关于的方程时产生了增根，那么的值为 ．
4.已知关于的方程，其中，均为整数且．
(1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？
(2)若是方程的解，求的值．
【题型8 分式方程的应用】
1.1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
(1)求该商品的单价；
(2)2月份，两商店以单价元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
②已知，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
2.某厂家接到定制5400套防护服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？
3.“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为．在购买这两种果树时，高山脆李树的价格比预算低了，晚熟香桃树的价格高了，晚熟香桃树购买数量减少了．结果发现购买两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为 ．
4.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30天完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
参考答案
【题型1 探究分式值为整数问题】
1.（1）；
（2）由（）得：，
要使为整数，则必为整数，
∴为的因数，
∴或或，
解得：，，，，，，
∴当取，，，，，时，分式的值也是整数；
（3），
分式要取最大值，则取最小值，
故当时，取最小值，
∴最大值．
2.
【分析】根据分式的值为整数，的值也为整数，可得或或，求出的值，即可确定出的最小值．
【详解】解：分式的值为整数，的值也为整数，
或或，
或或或或或，
的最小值为，
故答案为：．
3.C
【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可．
【详解】解：
由题意可知，是6的整数约数，
∴
解得： ，
其中x的值为整数有：共4个．
故选：C．
4.4或5
【分析】根据异分母分式加减法计算得，利用x为整数，且为正整数，得到x-3=1或x-3=2，由此得到x的值．
【详解】解：
=
=
=
=
∵x为整数，且为正整数，
∴x-3=1或x-3=2，
∴x=4或5，
故答案为4或5．
【题型2 探究利用分式性质求值问题】
1.
【分析】由，，利用两个等式之间的平方关系得出；再根据已知条件将各分母因式分解，通分，代入已知条件即可．
【详解】由平方得：，
且，则：，
由得：，
∴
同理可得：，，
∴原式=
=
=
=
=
故答案为：．
2.
【分析】将变形为，得到，利用，求出，代入即可求出答案．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
得，
∴，
将代入，得，
∴y=，
故答案为：．
3.为-1或3
【分析】根据题设知a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，得到a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，推出3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，得到(a+b+c+d）(m-3)=0，当a+b+c+d=0时，得到a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，推出m=-1；当a+b+c+d≠0时，推出m-3=0，得到m=3．
【详解】∵，
∴a≠0，b≠0，c≠0，d≠0，
∴a+b+c=dm，a+b+d=cm，a+c+d=bm，b+c+d=am，
∴3(a+b+c+d)=m(a+b+c+d)，
∴(a+b+c+d）(m-3)=0，
当a+b+c+d=0时，
a+b+c=-d，a+b+d=-c，a+c+d=-b，b+c+d=-a，
∴m=-1；
当a+b+c+d≠0时，
m-3=0，m=3，
综上，m=-1或m=3．
故答案为：为-1或3．
4.1
【分析】先把=4去分母、移项，根据因式分解法变形为[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0，由题意得xy+yz+zx﹣1≠0，可推出xyz=x+y+z，化简即可得出答案．
【详解】解：∵=4，
∴z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）=4xyz，
∴x2y2z﹣x2z﹣y2z+z+xy2z2﹣xy2﹣xz2+x+x2yz2﹣yz2﹣x2y+y=4xyz，
整理，得
xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）=0，
∴xyz（xy+yz+xz﹣1）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx﹣1）=0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）=0．
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）=0，
∴xyz=x+y+z，
∴，
即的值为1．
故答案为：1．
【题型3 探究分式的规律性问题】
1.解：（1）第二个分式除以第一个分式得-，第三个分式除以第二个分式得-，
同理，第四个分式除以第三个分式也是-．故规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于 -；
（2）由（1）可知该第7个分式应该是 ×(-)6=．
2.a+1
【分析】根据题意可得，，，…，可以发现数据的变化规律，从而可以求得的值．
【详解】解：∵（a不取0和-1），
∴，
，
，
…，
∴3个一循环，
∵2020÷3=673…1，
∴．
故答案为：a+1．
3.（1）解：根据题意得：
；
故答案为：；
（2）解：原式
；
（3）解：∵，
∴，，
∴，，
∴
．
4.（1）解：∵,
∴与是“友好分式”
故答案为：是
（2）解：设的“关联分式”为，则，
∴，
∴．
（3）解：①设的“关联分式”为，则，
∴，
∴．
规律是：将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”.
故答案为：；
②将原分式的分母加上分子,分子保持不变,则所新得的分式是原分式的“友好分式”.
据此可得，
整理得
∴．
故答案为：
【题型4 探究分式方程的正负解问题】
1.C
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有且只有3个整数解，确定出a的范围，分式方程去分母转化为整式方程，表示出x，由x为整数确定出a的值即可．
【详解】解：不等式组解得：
∵不等式组恰有3个整数解，
∴，解得：
∴整数a可以为-3，-2，-1，0，1，2，3，4
变形为
去分母，得，解得且为正数
∴，即
∵
∴，解得且
∴符合条件的整数a为0，2，3，4
故选C
2.C
【分析】先解分式方程，再根据方程的解为非负数，列不等式组可以求得a的取值范围．
【详解】解：，
方程两边同乘2（x﹣2），得2（x﹣a）＝x﹣2，
去括号，得2x﹣2a＝x﹣2，
移项、合并同类项，得x＝2a﹣2，
∵关于x的分式方程的解为非负数，x﹣2≠0，
∴，
解得a≥1且a≠2．
故选：C．
3.B
【分析】先解不等式组，根据不等式组的整数解确定的范围，结合为整数，再确定的值，再解分式方程，根据分式方程的解为非正数，得到的范围，注意结合分式方程有意义的条件，从而可得答案．
【详解】解：
由①得：
由②得：＞，
因为不等式组有且只有45个整数解，
＜
＜
＜
＜
为整数，
为
，
而 且
又
综上：的值为：
故选B．
4.
【分析】解不等式组得，由此可求；解分式方程得：，可求且，即可求解．
【详解】解：不等式组有整数解，
解不等式组得，
有整数解至多有个整数解，
，
解得：
解分式方程得：，
，
，
，
解得：，
解为非负数，
，
解得：且，
且，
是整数，
为或，
，
故答案：．
【题型5 探究分式方程的整数解问题】
1.C
【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组有解且至多有5个整数解，即可求得m的取值范围，再根据的解为整数，即可写出符合条件的m的值．
【详解】解：解不等式组得：，
∵不等式组至多有5个整数解，
，
解得，
∴整数的值为，
解方程得：，
又 为整数，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
当时，，不符合题意，
符合条件的整数的个数为，
故选：C．
2.D
【分析】解方程得，，因为分式方程由正整数解，进而可得到整数m的值．
【详解】解：原方程为，，
可化为整式方程，，
解得，
经检验，是分式方程的解，
∵分式方程有正整数解，
∴整数m的值是3或4，
故选：D．
3.D
【分析】首先解出不等式组的解集，然后根据三个整数解求出的取值范围；接着将分式方程解出来，求出的值，结合取值范围取值求解即可．
【详解】解得
∵有且只有3个整数解，
∴，解得；
∵是整数，
∴
∵解为奇数，
∴为奇数，
∴
∵，
∴
∴
故选：D
4.A
【分析】解一元一次不等式组求得解集，根据题意可求得a的取值范围，解分式方程得方程的解，根据分式方程的解为非负整数即可确定所有的a值，从而可求得其和．
【详解】
解不等式①得：；解不等式②得：
由题意知不等式组的解集为：
∵恰好有三个负整数解
∴
解得：
解分式方程得：
∵分式方程有非负整数解
∴a+1是4的非负整数倍
∵
∴
∴a+1=0或4或8
即或3或7，
即
综上：或7，
则
故选：A
【题型6 探究分式方程的无解问题】
1.B
【分析】分式方程无解的情况有两种，第一种是分式方程化成整式方程后，整式方程无解，第二种是分式方程化成整式方程后有解，但是解是分式方程的增根，以此确定m的值，不等式组整理后求出解集，根据有且只有三个偶数解确定出m的范围，进而求出符合条件的所有m的和即可．
【详解】解：分式方程去分母得：，
整理得：，
分式方程无解的情况有两种，
情况一：整式方程无解时，即时，方程无解，
∴；
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即x=2或x=6，
①当x=2时，代入，得：
解得：得m=4．
②当x=6时，代入，得：，
解得：得m=2．
综合两种情况得，当m=4或m=2或，分式方程无解；
解不等式，
得：
根据题意该不等式有且只有三个偶数解，
∴不等式组有且只有的三个偶数解为 8， 6， 4，
∴ 4∴0综上所述当m=2或时符合题目中所有要求，
∴符合条件的整数m的乘积为2×1=2．
故选B．
2.且
【分析】本题考查了分式方程的含参问题，解题的关键重在结合题干的限定，同时不要忘记分母不能为0，故先去分母得到，再通过去括号、移项、合并同类项得到，再根据分式方程有意义的条件即可得到答案．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
解得：，
∵该方程有解，
∴且，
∴且，
∴且，
故答案为：且．
3.或或.
【分析】首先解方程求得x的值，方程无解，即所截方程的解是方程的增根，应等于1或2，据此即可求解a的值．
【详解】去分母得，
整理得，①
当时，方程①无解，此时原分式方程无解；
当时，原方程有增根为或.
当增根为时，，解得；
当增根为时，，解得.
综上所述，或或.
4.(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.
因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.
因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；
②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.
【题型7 探究分式方程的增根问题】
1.A
【分析】先根据分式方程有增根可求出，从而可得，再根据关于的不等式中有2个整数解可得，由此即可得．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得，
解得，
∵关于的分式方程有增根，
，
解得，
，
∵关于的不等式中有2个整数解，
，
解得，
则整数是3，
故选：A．
2. 2 5
【分析】方程两边乘，把分式方程转化为整式方程，解出方程的解，根据方程有增根，增根为，得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：方程两边乘得：，
，
方程有增根，
，
解得，
故增根为，
，
．
故答案为：，．
3.或．
【分析】分式方程的增根是分式方程在去分母时产生的，分式方程的增根是使公分母等于0的x值，所以先将分式方程去分母得整式方程，根据分式方程的增根适合整式方程，将增根代入整式方程可得关于的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：原方程变形为，
方程去分母后得：，
整理得：，分以下两种情况：
令，，；
令，，，
综上所述，的值为或．
故答案为：或．
4.（1）解：由分式方程有增根，得到，
解得：，
将分式方程化为整式方程：，
整理得：，
将代入得：，
即若方程有增根，则．
（2）解：∵是方程的解，
将代入得：，
整理得：，
∴，
∴，且
∵，均为整数且，
∴或或，
当时，即，；
当时，即，；
当时，即，；
当时，即，；
当时，即，；
综上，的值为或或．
【题型8 分式方程的应用】
1.（1）解：设该商品的单价为x元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴该商品的单价为21元；
（2）解：①由题意得，甲两次一共购买的商品数量为件，
乙两次一共购买的商品数量为，
∴甲的平均单价为，
乙的平均单价为，
即，
∴甲的平均单价等于乙的平均单价；
②甲商品一月份一共购进的商品数量为件
当时，则二月份甲购进的商品数量为件，
设一月份售出m件，二月份第一次售出n件，则二月份第二次售出件，
由题意得，，
∴，
∴；
∴，
∵m、n都是正整数，
∴，
∴，
∵2月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，
∴，
∴，
∴，
∴且m是正整数，
又∵也是正整数，
∴m必须是偶数，
∴m的值为或28．
2.解：设甲流水线每天加工x套防护服，则乙流水线每天加工套防护服，
则，解得：或
经检验：是分式方程的根，且符合题意；不符合题意舍去，
则乙流水线每天加工270套防护服
所以甲需要天，乙需要天，
所以甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为18万元和16万元．
所以乙流水线成本较小．
3.
【分析】设红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵，红锦村需要晚熟香桃树棵，根据三个村民小组各需两种果树之和的比为列出方程求出，，从而求出三个村民小组种植两种果树的情况；设高山脆李的预算价格为元，晚熟香桃树的预算几个为元，分别表示出预算总费用，实际两种果树的费用和实际两种果树的总费用，再根据预算总费用和实际总费用相等求出，然后代值计算即可得到答案．
【详解】解：设红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵，红锦村需要晚熟香桃树棵
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴红光村需要晚熟香桃树为棵，红旗村需要晚熟香桃树为棵，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴红锦村需要晚熟香桃树棵；
设高山脆李的预算价格为元，晚熟香桃树的预算几个为元，
∴预算总费用为
，
实际购买晚熟香桃树的费用为
，
实际购买高山脆李的费用为
实际总费用为，
∴，
∴，即
∴实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总费用之比为，
故答案为：．
4.（1）设乙队单独施工x天完成全部工程，
∵甲队单独施工完成全部工程的天数是（天），
∴，
解得，，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
故乙队单独施工30天完成全部工程；
（2）设甲、乙两队工作一天的劳务费分别为m元、n元,
∴，
解得，，
故甲、乙两队工作一天的劳务费分别为3000元、10000元；
（3）设甲队单独施工a天，乙队单独施工b天，
则
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且，
∴
∴在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快70天能完成总工程．
故答案为：70．

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