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清单04 因式分解
（6个考点梳理+9大题型解读+提升训练）
清单01 因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式
清单02 公因式
像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
清单03 提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
清单04 提公因式与公式法综合
提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
公式法：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
清单05 十字相乘法
1. x p q x pq （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a a1 a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的
一次项系数b ，即 a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与
a2 x c2 之积，即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) ．
清单06 分组分解
定义：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．
分组分解的步骤
1. 将原式的各项适当分组；
2. 对每一组进行处理（“提”或“代”）；
3. 将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解．
【考点题型一】 判断是否是因式分解（）
【例1】（24-25八年级上·山西朔州·期末）下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（24-25八年级上·天津南开·期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】（24-25八年级上·广东广州·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点题型二】已知因式分解的结果求参数（）
【例2】（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-1】（23-24八年级下·四川成都·期末）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（ ）
A． B．
C． D．
【考点题型三】公因式（）
【例3】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（23-24七年级下·山东东营·期末）多项式的公因式是 ．
【变式3-2】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ．
【变式3-3】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）与的公因式是 ．
【考点题型四】提公因式（）
【例4】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）因式分解： ．
【变式4-1】（2024·浙江台州·模拟预测）因式分解： ．
【变式4-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）分解因式： ．
【变式4-2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解： ．
【考点题型五】运用公式法因式分解（）
【例5】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）分解因式： ．
【变式5-2】（24-25八年级上·广东汕头·期末）分解因式： ．
【变式5-3】（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：．
【考点题型六】提公因式与公式法分解因式（）
【例6】（24-25八年级上·吉林长春·期末）因式分解： ．
【变式6-1】（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ．
【变式6-2】（24-25八年级上·广西玉林·期末）分解因式： ．
【变式6-3】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）分解因式： ．
【变式6-4】（2024·云南昆明·模拟预测）分解因式： ．
【考点题型七】十字相乘法分解因式（）
【例7】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）将多项式进行因式分解，结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-1】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式．
Ⅰ．次项系数．
Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和”
①，②，
③，④．
Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数，
即，
则．
像这样分解因式的方法叫做十字相乘法．
【迁移运用】仿照此方法，分解因式：
(1)；
(2)．
【变式7-2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，
则．
．
解得：．
另一个因式为的值为，
解法二：二次三项式有一个因式是，
当，即时，．
把代入，
得，
而．
问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【考点题型八】分组分解法分解因式（）
【例8】（24-25八年级上·浙江温州·期末）分解因式 ．
【变式8-1】（22-23八年级下·四川达州·期中）如果因式分解的结果为 ．
【变式8-2】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下：
像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法．
请你在这种方法的启发下．解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长．
【变式8-3】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：．
【考点题型九】因式分解的应用（）
【例9】（24-25八年级上·云南红河·期末）已知，，则的值为（ ）
A．10 B． C．7 D．
【变式9-1】（24-25八年级上·广东汕尾·期末）已知，，则代数式的值是（ ）
A． B．1 C．0 D．
【变式9-2】（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（ ）
A． B． C． D．3
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（6个考点梳理+9大题型解读+提升训练）
清单01 因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式
清单02 公因式
像多项式 pa pb pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
清单03 提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
清单04 提公因式与公式法综合
提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
公式法：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
清单05 十字相乘法
1. x p q x pq （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a a1 a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的
一次项系数b ，即 a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与
a2 x c2 之积，即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) ．
清单06 分组分解
定义：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．
分组分解的步骤
1. 将原式的各项适当分组；
2. 对每一组进行处理（“提”或“代”）；
3. 将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解．
【考点题型一】 判断是否是因式分解（）
【例1】（24-25八年级上·山西朔州·期末）下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查因式分解的定义．因式分解是将多项式分解成为几个因式相乘的形式，由此即可求解．
【详解】解：A选项，是多项式的乘法，不符合因式分解的定义，本选项不符合题意；
B选项，，应用完全平方公式进行因式分解，本选项符合题意；
C选项，不是多项式，不符合因式分解的定义，本选项不符合题意；
D选项，，原式不符合因式分解的定义，本选项不符合题意；
故选：B．
【变式1-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握因式分解是将多项式写成整式积的形式是解题的关键．
根据因式分解的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
B、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
C、是将多项式式分解成几个整式积的形式，属于因式分解，满足题意；
D、等号右侧不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意；
故选：C．
【变式1-2】（24-25八年级上·天津南开·期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【详解】解：是乘法运算，则A不符合题意；
符合因式分解的定义，则B符合题意；
左右两边不相等，则C不符合题意；
中等号右边不是积的形式，则D不符合题意；
故选：B．
【变式1-3】（24-25八年级上·广东广州·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.
根据因式分解的定义逐项判定即可.
【详解】解：：符合因式分解的定义，则A选项符合题意；
是乘法运算，故B选项不符合题意；
是完全平方公式，则C不符合题意；
中等号右边不是积的形式，则D不符合题意；
故选：A．
【考点题型二】已知因式分解的结果求参数（）
【例2】（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查的是多项式的因式分解，掌握其运算法则是解决此题关键．首先根据多项式乘多项式的运算法则计算已知等式的右边，再根据系数相等可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
，，故A正确．
故选：A．
【变式2-1】（23-24八年级下·四川成都·期末）把多项式分解因式，结果是，则a，b的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据多项式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键．
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：D．
【考点题型三】公因式（）
【例3】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了公因式的定义，多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式．根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后确定公因式即可．
【详解】解：多项式的系数的最大公约数是，相同字母的最低指数次幂是，
多项式的公因式是，
故选：D．
【变式3-1】（23-24七年级下·山东东营·期末）多项式的公因式是 ．
【答案】
【分析】此题考查了提公因式因式分解法的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．
运用提公因式因式分解法进行求解．
【详解】解：系数的最大公约数是3，字母的公因式为，
∴多项式的公因式是，
故答案为：．
【变式3-2】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）将多项式分解因式时，应提取的公因式是 ．
【答案】
【分析】本题考查了公因式的定义，公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．
【详解】解：对多项式分解因式时，应提取的公因式是，
故答案为：．
【变式3-3】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）与的公因式是 ．
【答案】
【分析】本题考查公因式，根据三定法：系数的最大公约数，相同字母的最低次幂，进行判断即可．
【详解】解：与的公因式是；
故答案为：．
【考点题型四】提公因式（）
【例4】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，提公因式，因式分解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：
故答案为：．
【变式4-1】（2024·浙江台州·模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握提公因式是解本题的关键．直接提公因式即可得出答案．
【详解】
故答案为：
【变式4-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了用提公因式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．此多项式有公因式，提取公因式即可分解．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式4-2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式即可分解因式．
【详解】解：；
故答案为：
【考点题型五】运用公式法因式分解（）
【例5】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A不符合题意；
B、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B不符合题意；
C、不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C不符合题意；
D、，故D符合题意．
故选：D．
【变式5-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，根据完全平方公式：进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式5-2】（24-25八年级上·广东汕头·期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查因式分解．熟练掌握平方差公式分解因式，是解题的关键．
直接运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【变式5-3】（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：．
【答案】
【分析】本题考查的是因式分解，先计算整式的乘法，再合并同类项，最后利用十字乘法分解因式即可．
【详解】解：
．
【考点题型六】提公因式与公式法分解因式（）
【例6】（24-25八年级上·吉林长春·期末）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式6-1】（2024·山东东营·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解∶原式
，
故答案为：．
【变式6-2】（24-25八年级上·广西玉林·期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式分解因式、平方差公式分解因式，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案．熟记提公因式分解因式、平方差公式分解因式等知识是解决问题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式6-3】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查因式分解，先提出公因数3，再利用完全平方公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【变式6-4】（2024·云南昆明·模拟预测）分解因式： ．
【答案】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】解：
．
故答案为：．
【考点题型七】十字相乘法分解因式（）
【例7】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）将多项式进行因式分解，结论正确的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解．原式利用十字相乘法分解即可．
【详解】解：，
故选：C．
【变式7-1】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式．
Ⅰ．次项系数．
Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和”
①，②，
③，④．
Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数，
即，
则．
像这样分解因式的方法叫做十字相乘法．
【迁移运用】仿照此方法，分解因式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式．
（1）直接利用十字乘法分解因式即可；
（2）直接利用十字乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式7-2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
解：设另一个因式为，得，
则．
．
解得：．
另一个因式为的值为，
解法二：二次三项式有一个因式是，
当，即时，．
把代入，
得，
而．
问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．
【答案】另一个因式为的值为20
【分析】本题主要考查整式的运算，因式分解的计算，掌握以上知识是解题的关键．
根据材料解法一提示设另一个因式为，根据因式分解的方法展开，再根据同类项的知识即可求解；
根据材料解法二提示当时，解出的值代入二次三项式求出的值，再进行因式分解即可．
【详解】解：解法一：设另一个因式为，
由题意得：，
则，
解得：，
另一个因式为的值为20．
解法二：二次三项式有一个因式是，
当，即时，，
把代入，
得，
而．
另一个因式是的值为20．
【考点题型八】分组分解法分解因式（）
【例8】（24-25八年级上·浙江温州·期末）分解因式 ．
【答案】
【分析】本题考查了用分组分解和十字相乘法因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法．
先将因式分组分解，再通过十字相乘法，即可得出结果．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【变式8-1】（22-23八年级下·四川达州·期中）如果因式分解的结果为 ．
【答案】
【分析】把当成一个整体，再因式分解即可．
【详解】原式
故答案为：．
【点睛】题目主要考查利用整体法及公式法进行因式分解，理解题中的整体思想是解题关键．
【变式8-2】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下：
像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法．
请你在这种方法的启发下．解决以下问题：
(1)分解因式：；
(2)已知，，分别是三边的长，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握完全平方公式与平方差公式、利用分组法和提取公因式法分解因式．
（1）利用分组分解法与完全平方公式和平方差公式分解因式即可；
（2）利用分组分解法与完全平方公式分解因式，得出，，，求出，，，进而可得出答案．
【详解】（1）解：
．
（2）
∵，
∴．
∴，，，
∴，，，
∴的周长．
【变式8-3】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．用分组分解法分解即可．
【详解】解：
．
【考点题型九】因式分解的应用（）
【例9】（24-25八年级上·云南红河·期末）已知，，则的值为（ ）
A．10 B． C．7 D．
【答案】A
【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，求解代数式的值，把化为，再代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A
【变式9-1】（24-25八年级上·广东汕尾·期末）已知，，则代数式的值是（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，先把所求代数式提取公因式，再把和的值代入进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
，
故选：A．
【变式9-2】（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解．
由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可．
【详解】解：因为，，
∴
，
将，代入得：
，
故选：C．
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