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清单05 分式方程
（6个考点梳理+12大题型解读+提升训练）
清单01 分式相关概念
1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
分式有意义的条件：B≠0；
分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
清单02 分式的基本性质
1.分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
2.分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
清单03 分式运算
1.分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
2.分式通分（找最简公分母）
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式：
2.取各分母所有因式的最高次幂的积
3.分式的乘除
分式的乘除法运算
乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即
除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即
4.分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
（为正整数）.
⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数）
⑶、（是正整数）
⑷、（，是正整数，）
⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数）
5.同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
.
6.异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
.
清单04 分式方程
1.分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
2.分式方程的解法
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
清单05 与分式方程的解有关问题
1.由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：
①根据未知数的范围求出字母的范围；
②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；
③综合①②，求出字母系数的范围.
2.依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：
1)先将分式方程转化为整式方程;
2)由题意求出增根;
3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.
清单06 分式方程的应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
与分式方程有关应用题的常见类型：
【考点题型一】分式有无意义的条件（）
【例1】（23-24八年级下·云南红河·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【变式1-1】（24-25八年级上·广东广州·期末）要使分式有意义，应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】（24-25八年级上·全国·期末）根据下列表格信息，可能为（　　）
0 1 2
0 无意义
A． B． C． D．
【变式1-3】（23-24七年级下·广西百色·期末）当 时，分式没有意义．
【考点题型二】分式值为零的条件（）
【例2】（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）若分式的值为0，则的值为（ ）
A． B．2或 C． D．1
【变式2-1】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 * * 无意义 * …
A． B． C． D．
【变式2-2】（24-25八年级上·河南商丘·期末）若分式的值为零，那么的值为 ．
【变式2-3】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为零．
【考点题型三】分式的性质（）
【例3】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大3倍 D．扩大4倍
【变式3-1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定
【变式3-2】（24-25八年级上·云南迪庆·期末）若把分式中的，的值都扩大倍，那么分式的值将（ ）
A．缩小 B．缩小 C．扩大倍 D．不变
【变式3-3】（20-21八年级上·北京·期中）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【考点题型四】最简分式（）
【例4】（23-24八年级下·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）下列代数式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（23-24八年级下·江苏连云港·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（24-25八年级上·广东广州·期末）从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ．
【考点题型五】分式求值（）
【例5】（24-25八年级上·全国·期末）已知，则 ．
【变式5-1】（23-24八年级下·山东烟台·期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
【变式5-3】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）已知，则分式的值为 ．
【考点题型六】分式的乘除法运算（）
【例6】（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）计算：
(1) (2)
【变式6-1】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）计算：．
【变式6-2】（22-23八年级上·北京东城·期中）计算：．
【变式6-3】（24-25八年级上·天津和平·期末）计算：
(1)； (2)．
【考点题型七】分式加减法运算（）
【例7】（24-25八年级上·山东济宁·期末）计算： ．
【变式7-1】（24-25八年级上·广东汕头·期末）计算的结果是 ．
【变式7-2】（24-25八年级上·广东云浮·期末）化简： ．
【变式7-3】（24-25八年级上·北京顺义·期末）计算：．
【考点题型八】分式混合运算（）
【例8】（23-24八年级下·河南郑州·期末）计算：
【变式8-1】（2024·甘肃天水·二模）化简：．
【变式8-2】（2024·陕西渭南·二模）化简：．
【变式8-3】（23-24八年级上·四川泸州·期末）计算：．
【考点题型九】分式化简求值（）
【例9】（24-25八年级上·湖北随州·期末）先化简，再求值：，其中．
【变式9-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中．
【变式9-2】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）先化简，再求值：，其中．
【变式9-3】（24-25八年级上·云南昆明·期末）先化简，然后从，0，1，2四个数中选择一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
【考点题型十】解分式方程（）
【例10】（24-25八年级上·广东汕头·期末）解方程：．
【变式10-1】（24-25八年级上·贵州安顺·期末）解方程：
(1)； (2)．
【变式10-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）解分式方程：
【变式10-3】（24-25八年级上·山东聊城·期末）解分式方程：
(1)； (2)．
【考点题型十一】根据分式方程的解求参数（）
【例11】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）若分式方程无解，则a的值是（ ）
A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2
【变式11-1】（24-25八年级上·云南临沧·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【变式11-2】（24-25八年级上·云南红河·期末）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．且 B．且 C． D．
【变式11-3】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）．
A．2 B．1 C．3 D．
【考点题型十二】分式方程的应用（）
【例12】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时．
(1)求人工每人每小时分拣多少件；
(2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机．
【变式12-1】（24-25八年级上·云南昆明·期末）某汽车修理厂计划从生产厂家选购A，B两种汽车零部件，若每套A种汽车零部件进价比B种汽车零部件进价多250元，且用20000元购进A种汽车零部件的数量是用7500元购进B种汽车零部件数量的2倍．
(1)求A，B两种汽车零部件每套进价分别为多少元？
(2)若A种汽车零部件每套售价为1300元，B种汽车零部件每套售价为950元．该汽车修理厂现购进的B种汽车零部件数量比购进的A种汽车零部件数量的2倍还多4套，两种汽车零部件全部售出后，要使总利润不低于12000元，则至少购进多少套A种汽车零部件？
【变式12-2】（24-25八年级上·广东广州·期末）为了建设“绿惠九龙 理想森活”示范区，花都区以“山与湖的率真”为设计愿景，对九龙湖环湖步道进行提升改造．步道总长米，现由甲、乙两个工程队承包这项改造工程．已知乙队每天改造的长度比甲队多米．
(1)若乙队每天改造的长度是甲队每天改造长度的倍，则甲队每天要改造多少米？
(2)若甲队负责改造米，剩下的由乙队完成，则两队改造时间相同，求甲、乙两队每天各改造多少米？
【变式12-3】（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）为了创建书香校园，某中学去年购买了《物种起源》和《西游记》若干本，已知《物种起源》的单价比《西游记》的单价多4元，用1200元购买《物种起源》与用800元购买《西游记》的数量相等．
(1)求去年购买的《西游记》和《物种起源》的单价各是多少元？
(2)若今年仍购买上述两种图书，《西游记》的单价比去年提高了，《物种起源》的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买《西游记》和《物种起源》共200本，且购买《西游记》和《物种起源》的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本《西游记》？
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)清单05 分式方程
（6个考点梳理+12大题型解读+提升训练）
清单01 分式相关概念
1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.
最简分式：分子与分母没有公因式的分式；
分式有意义的条件：B≠0；
分式值为0的条件：分子=0且分母≠0
清单02 分式的基本性质
1.分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.
2.分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
清单03 分式运算
1.分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
2.分式通分（找最简公分母）
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
最简公分母：1.分母中能分解因式的，先分解因式：
2.取各分母所有因式的最高次幂的积
3.分式的乘除
分式的乘除法运算
乘法 分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即
除法 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即
4.分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
（为正整数）.
⑴、（是正整数） ⑵、（是正整数）
⑶、（是正整数）
⑷、（，是正整数，）
⑸、（是正整数） ⑹、（，n是正整数）
5.同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
.
6.异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
上述法则可用式子表为：
.
清单04 分式方程
1.分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
2.分式方程的解法
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
清单05 与分式方程的解有关问题
1.由分式方程的解的情况求字母系数的取值范围，一般解法是：
①根据未知数的范围求出字母的范围；
②把使分母为0的未知数的值代入到去分母后的整式方程中，求出对应的字母系数的值；
③综合①②，求出字母系数的范围.
2.依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：
1)先将分式方程转化为整式方程;
2)由题意求出增根;
3)将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.
清单06 分式方程的应用
用分式方程解决实际问题的步骤：
审：理解并找出实际问题中的等量关系;
设：用代数式表示实际问题中的基础数据;
列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;
解：求解方程;
验：考虑求出的解是否具有实际意义;+
1）检验所求的解是否是所列分式方程的解.
2）检验所求的解是否符合实际意义.
答：实际问题的答案.
与分式方程有关应用题的常见类型：
【考点题型一】分式有无意义的条件（）
【例1】（23-24八年级下·云南红河·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围的求解，根据分式有意义的条件，二次根式被开方数非负性质，解一元一次不等式组，即可求解．
【详解】解：根据题意得：且，
解得：且，
故选：D．
【变式1-1】（24-25八年级上·广东广州·期末）要使分式有意义，应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解．
【详解】解：∵要使分式有意义，
∴，即，
故选：．
【变式1-2】（24-25八年级上·全国·期末）根据下列表格信息，可能为（　　）
0 1 2
0 无意义
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是分式有意义的条件、分式为0是条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件、分式为0是条件解答．
【详解】解：当时，分式无意义，
分式的分母可能是．
当时，分式的值为0，
分式的分子可能是．
分式可能是．
故选：C．
【变式1-3】（23-24七年级下·广西百色·期末）当 时，分式没有意义．
【答案】
【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分母等于即可求解，掌握分式无意义的条件是解题的关键．
【详解】解：当分式的分母为时，分式没有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点题型二】分式值为零的条件（）
【例2】（24-25八年级上·甘肃陇南·期末）若分式的值为0，则的值为（ ）
A． B．2或 C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．根据分式的值为零的条件解答即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
∴．
故选：C．
【变式2-1】（24-25八年级上·山东潍坊·期中）根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 * * 无意义 * …
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件及分式的值为的条件解答即可，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
【详解】解：由表格可知，当时分式无意义，
∴不合题意；
∵当时，分式的值为，
∴不符合题意，符合题意，
故选：．
【变式2-2】（24-25八年级上·河南商丘·期末）若分式的值为零，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
解得．
故答案为：．
【变式2-3】（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）当 时，分式的值为零．
【答案】
【分析】本题考查了分式值为零的条件，根据分式的值为零时，分子为零且分母不为零，即可求解．
【详解】解：分式的值为零，
，且，
解得：，
故答案为：．
【考点题型三】分式的性质（）
【例3】（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么这个分式的值（ ）
A．不变 B．扩大2倍 C．扩大3倍 D．扩大4倍
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案分式的分子分母都乘以或处以同一个不为零的数，分式的值不变．
【详解】解：分式中的与都扩大2倍，得
，
故选：B．
【变式3-1】（24-25八年级上·四川眉山·期末）把分式中的x，y都扩大3倍，则分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．不变 D．无法确定
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质计算即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键．
【详解】解：由题意可得：，
∴分式的值无法确定，
故选：D．
【变式3-2】（24-25八年级上·云南迪庆·期末）若把分式中的，的值都扩大倍，那么分式的值将（ ）
A．缩小 B．缩小 C．扩大倍 D．不变
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，解答本题的关键是正确运用分式的基本性质．
用、分别代替原分式中的、，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：把分式中的，的值都扩大倍，
则，
，
分式的值将缩小，
故选：B．
【变式3-3】（20-21八年级上·北京·期中）根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，改变分子、分母、分式本身三者中两个的符号，原分式的值不变，即可判断．
【详解】解：A、，故变形正确，符合题意；
B、，故变形不正确，不符合题意；
C、，故变形不正确，不符合题意；
D、，故变形不正确，不符合题意；
故选：A．
【考点题型四】最简分式（）
【例4】（23-24八年级下·山西长治·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要查了分式的化简，最简分式．根据分式的性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、是最简分式，故本选项符合题意；
C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【变式4-1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）下列代数式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简分式的定义，掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分式的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．不是分式，故选项不符合题意；
B．， 不是最简分式，故选项不符合题意；
C．， 不是最简分式，故选项不符合题意；
D．是最简分式，故本选项符合题意
故选：D．
【变式4-2】（23-24八年级下·江苏连云港·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简分式，分子分母没有公因式的分式是最简分式．
根据最简分式的定义逐项进行分析判断即可．
【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意．
B、分子分母没有公因式，原分式是最简分式，符合题意．
C、分子分母存在公因式a，原分式不是最简分式，不符合题意．
D、，原分式不是最简分式，不符合题意．
故选：B．
【变式4-3】（24-25八年级上·广东广州·期末）从，，中任选两个代数式，组成一个最简分式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，进行求解即可，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
【详解】解：解：根据最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，
∴组成一个最简分式可以是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）．
【考点题型五】分式求值（）
【例5】（24-25八年级上·全国·期末）已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的化简求值，首先根据分式的性质把分式的分子、分母同时乘以，得到：原式，由可得、，整体代入化简后的代数式计算求值即可．
【详解】解：，
，
，，
原式．
故答案为： ．
【变式5-1】（23-24八年级下·山东烟台·期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的求值，设设，再代入所求分式化简求解即可．
【详解】∵，
∴设，
∴，
故选：B．
【变式5-2】（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是先把已知条件变形为，再将原式变形为，整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故选：B．
【变式5-3】（24-25八年级上·湖南怀化·期末）已知，则分式的值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了分式的求值，解题的关键是将原式正确变形．
首先由得到，然后将变形为，然后整体代入求解即可．
【详解】∵，
∴，，
∴，
∴
∴
∴
．
故答案为：．
【考点题型六】分式的乘除法运算（）
【例6】（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了分式的混合运算．
（1）先计算分式的乘方，再计算乘除法即可；
（2）把分式的除法变为乘法计算即可．
【详解】（1）解：原式=
；
（2）解：原式=
【变式6-1】（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）计算：．
【答案】
【分析】此题考查了分式的乘除混合运算，利用分式的除法和乘法法则计算即可．
【详解】解：
【变式6-2】（22-23八年级上·北京东城·期中）计算：．
【答案】2
【分析】根据平方差公式和分式乘除法则求解即可．
【详解】解：原式．
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行运算以及分式乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
【变式6-3】（24-25八年级上·天津和平·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了整式混合运算、分式的混合运算等知识点，熟练掌握整式、分式混合运算法则成为解题的关键．
（1）先根据积的乘方、幂的乘方、负指数次幂化简，然后再计算即可；
（2）直接运用分式混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【考点题型七】分式加减法运算（）
【例7】（24-25八年级上·山东济宁·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了异分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键，根据变形为同分母，根据同分母分式的加减法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式7-1】（24-25八年级上·广东汕头·期末）计算的结果是 ．
【答案】/
【分析】本题考查分式的加减法，利用分式的加减法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【变式7-2】（24-25八年级上·广东云浮·期末）化简： ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减法，利用分式的加法法则计算即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
故答案为：．
【变式7-3】（24-25八年级上·北京顺义·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通分，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可．
【详解】解：原式=
=
=
=
【考点题型八】分式混合运算（）
【例8】（23-24八年级下·河南郑州·期末）计算：
【答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．先对括号内的分式进行通分计算，将除法转化为乘法，然后进行约分化简即可．
【详解】解：
【变式8-1】（2024·甘肃天水·二模）化简：．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握异分母分式相加减的运算法则是解题的关键．
将除法改写为乘法，再将各个分子分母进行因式分解，最后按照分式的混合运算法则和运算顺序进行计算即可．
【详解】解：原式
．
【变式8-2】（2024·陕西渭南·二模）化简：．
【答案】
【分析】本题考查分式的化简．先算括号里的减法，通分，然后将除法改为乘法，同时将分母的多项式进行因式分解，最后约分即可．
【详解】解：原式
．
【变式8-3】（23-24八年级上·四川泸州·期末）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的混合运算，利用分式的混合运算顺序和运算法则计算即可．
【详解】原式
．
【考点题型九】分式化简求值（）
【例9】（24-25八年级上·湖北随州·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据分式的运算法则进行化简，再代入求值．
【详解】解：原式
；
将代入原式．
【变式9-1】（24-25八年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，先计算式子中的括号内的运算，再计算括号外的除法，化简后将a的值代入即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【变式9-2】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算法则及运算顺序是解题的关键；先利用异分母分式加减法法则计算括号里的，再算括号外的，化简后代入x的值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式 ．
【变式9-3】（24-25八年级上·云南昆明·期末）先化简，然后从，0，1，2四个数中选择一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先通分，然后根据分式乘法和除法的运算法则化简，再结合分式有意义的条件代入一个合适的a值即可．
【详解】解：原式
，
由题意得，，，，
，0，1，，
当时，原式．
【考点题型十】解分式方程（）
【例10】（24-25八年级上·广东汕头·期末）解方程：．
【答案】无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤成为解题的关键．
先通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可．
【详解】解：，
，
，
，
检验，当时，，
所以原分式方程无解．
【变式10-1】（24-25八年级上·贵州安顺·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法正确计算是解题的关键．
（1）方程两边同时乘以，去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；
（2）方程两边同时乘以，去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
检验：当时，，
故原方程的解为；
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
【变式10-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）解分式方程：
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先化分式方程为整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可．
【详解】解：去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解是．
【变式10-3】（24-25八年级上·山东聊城·期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)原分式方程无解
【分析】此题考查了解分式方程，熟练掌握转化的思想，进行检验，是解分式方程的关键．
（1）分式方程去分母转化为整式方程，解整式方程得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，经检验公分母为0，得到分式方程无解．
【详解】（1）解：方程两边同乘，得
解方程，得
检验：当时，
故是原分式方程的解．
（2）解：方程两边同乘，
得，
解方程，得
检验：当时，，
故是增根，原分式方程无解．
【考点题型十一】根据分式方程的解求参数（）
【例11】（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）若分式方程无解，则a的值是（ ）
A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2
【答案】D
【分析】本题考查了分式方程无解．熟练掌握：分式方程无解情况①分式方程化为整式方程后，整式方程无解，即分式方程无解；②分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但这个解会使分式方程的最简公分母为0，即解为分式方程的增根；是解题的关键．
先解分式方程得到，再进行讨论，①当时，整式方程无解，则分式方程无解；②把增根代入求解．
【详解】解：，
，
，
①当时，整式方程无解，则分式方程无解；
②把增根代入得，，
解得：，
综上：或时，分式方程无解，
故选：D．
【变式11-1】（24-25八年级上·云南临沧·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的解法，解分式方程，再根据题意列不等式即可求出答案．解题的关键是熟练运用分式方程的解法．
【详解】解：，
，
，
，
，
关于x的分式方程的解为正数，
，解得，
当时，，此时分式方程无解，
故，
a的取值范围是且，
故选：C．
【变式11-2】（24-25八年级上·云南红河·期末）已知关于x的分式方程的解是正数，则a的取值范围为（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查解分式方程，根据分式方程解的情况求参数的范围，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．先根据解分式方程的一般步骤求出的表达式，然后根据分式方程的解为正数列不等式求解即可．
【详解】解：∵
∴
解得：，
∵关于x的分式方程的解是正数，
∴且，
解得：且，
故选：A．
【变式11-3】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若关于x的分式方程有增根，则m的值为（ ）．
A．2 B．1 C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，求出的值，代入整式方程中，求出的值即可．
【详解】解：方程去分母，得：，
∵方程有增根，
∴，
∴，
把代入，得：，
∴；
故选D．
【考点题型十二】分式方程的应用（）
【例12】（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）随着快递业务的不断增加，分拣快件是一项重要工作，某快递公司为了提高分拣效率，引进智能分拣机，每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时．
(1)求人工每人每小时分拣多少件；
(2)若该快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，求至少需要安排多少台这样的分拣机．
【答案】(1)60件
(2)5台
【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设人工每人每小时分拣件，根据每台机器每小时分拣的快件量是人工每人每小时分拣快件数量的20倍，经过测试，由3台机器分拣7200件快件的时间，比20个人人工分拣同样数量的快件节省4小时，列出方程进行求解即可；
（2）设需要安排台分拣机，根据快递公司每天需要分拣8万件快件，机器每天工作时间为16小时，列出不等式，求出最小正整数解即可．
【详解】（1）解：设人工每人每小时分拣件，则每台机器每小时分拣件，
根据题意得，，解得，
检验：当时，，
∴是方程的解，且符合题意，
答：人工每人每小时分拣60件．
（2）解：设需要安排台分拣机，
由题意，得：，解得，
∵为正整数，
∴的最小值为5，
答：至少需要安排5台这样的分拣机．
【变式12-1】（24-25八年级上·云南昆明·期末）某汽车修理厂计划从生产厂家选购A，B两种汽车零部件，若每套A种汽车零部件进价比B种汽车零部件进价多250元，且用20000元购进A种汽车零部件的数量是用7500元购进B种汽车零部件数量的2倍．
(1)求A，B两种汽车零部件每套进价分别为多少元？
(2)若A种汽车零部件每套售价为1300元，B种汽车零部件每套售价为950元．该汽车修理厂现购进的B种汽车零部件数量比购进的A种汽车零部件数量的2倍还多4套，两种汽车零部件全部售出后，要使总利润不低于12000元，则至少购进多少套A种汽车零部件？
【答案】(1)A种汽车零部件每套进价为1000元，B种汽车零部件每套进价为750元
(2)至少购进16套A种汽车零部件
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设B种汽车零部件每套进价为x元，则A种汽车零部件每套进价为元．根据用20000元购进A种汽车零部件的数量是用7500元购进B种汽车零部件数量的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进a套A种汽车零部件，则购进套B种汽车零部件，根据要使总利润不低于12000元，列出一元一次不等式，解之取其内的最小正整数即可得出结论．
【详解】（1）解：设B种汽车零部件每套进价为x元，则A种汽车零部件每套进价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，为分式方程的解，
，
答：A种汽车零部件每套进价为1000元，B种汽车零部件每套进价为750元；
（2）解：设购进a套A种汽车零部件，则购进套B种汽车零部件，
根据题意得：，
解得：，
为正整数，
取最小值
答：至少购进16套A种汽车零部件．
【变式12-2】（24-25八年级上·广东广州·期末）为了建设“绿惠九龙 理想森活”示范区，花都区以“山与湖的率真”为设计愿景，对九龙湖环湖步道进行提升改造．步道总长米，现由甲、乙两个工程队承包这项改造工程．已知乙队每天改造的长度比甲队多米．
(1)若乙队每天改造的长度是甲队每天改造长度的倍，则甲队每天要改造多少米？
(2)若甲队负责改造米，剩下的由乙队完成，则两队改造时间相同，求甲、乙两队每天各改造多少米？
【答案】(1)甲队每天要改造米
(2)甲队每天要改造米，乙队每天要改造米
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意，找准等量关系列方程是解题的关键．
（1）根据题意，找准等量关系列方程求解即可；
（2）根据题意，找准等量关系列方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲队每天要改造米，则乙队每天要改造米，
由题意得： ，
解得：，
答：甲队每天要改造米；
（2）解：设甲队每天要改造米，则乙队每天要改造米，
由题意得：
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：甲队每天要改造米，乙队每天要改造米．
【变式12-3】（24-25八年级上·新疆昌吉·期末）为了创建书香校园，某中学去年购买了《物种起源》和《西游记》若干本，已知《物种起源》的单价比《西游记》的单价多4元，用1200元购买《物种起源》与用800元购买《西游记》的数量相等．
(1)求去年购买的《西游记》和《物种起源》的单价各是多少元？
(2)若今年仍购买上述两种图书，《西游记》的单价比去年提高了，《物种起源》的单价与去年相同，这所中学今年计划再购买《西游记》和《物种起源》共200本，且购买《西游记》和《物种起源》的总费用不超过2120元，这所中学今年至少要购买多少本《西游记》？
【答案】(1)去年《西游记》单价为8元，则《物种起源》单价为12元
(2)这所中学今年至少要购买140本《西游记》
【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是列出相应的等式或不等式，再进行计算求解；
（1）根据题意列出分式方程进行求解即可；
（2）设这所学校今年购买y本《西游记》，列出不等式求解即可，
【详解】（1）解：设去年《西游记》单价为元，则《物种起源》单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
当时，
答：去年《西游记》单价为8元，则《物种起源》单价为12元．
（2）解：设这所学校今年购买y本《西游记》，
根据题意得．，
解得：，
∴y最小值是140；
答：这所中学今年至少要购买140本《西游记》．
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