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清单06 平行四边形
（4个考点梳理+10大题型解读+提升训练）
清单01 平行四边形的性质
边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
清单02 平行四边形的判定
1.与边有关的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
清单02 三角形的中位线
三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样，
连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
清单03 多边形的内角和与外角和
（1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°；
（2）正多边形的每个内角
（3）n 边形的外角和： 360°
（4）正多边形每个外角的度数：
【考点题型一】利用平行四边形的性质求解（）
【例1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【变式1-2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．以上都不对
【变式1-3】（22-23八年级下·江西南昌·期中）在中，对角线相交于点O，，则边的长度x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点题型二】利用平行四边形的性质证明（）
【例2】（2023·广西柳州·二模）如图，在平行四边形中，于E，于F．求证：．
【变式2-1】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，连接，延长至点E，延长至点F，使，连接．求证：．
【变式2-2】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平行四边形中，是对角线上两个点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数
【变式2-3】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点．
(1)求证：，；
(2)若对角线与的和为18，，求的周长．
【考点题型三】平行四边形的判定（）
【例3】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．，
C．， D．
【变式3-1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C．， D．，
【变式3-2】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，交于点O，O为中点，下列条件能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A． B．AB＝AD C． D．
【考点题型四】平行四边形的性质与判定（）
【例4】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若平分，求的长．
【变式4-1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，且，求两点之间的距离．
【变式4-2】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的面积．
【变式4-3】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，E，F是对角线AC上的两点，连接，，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，，求的长．
【考点题型五】利用三角形的中位线求解（）
【例5】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
【变式5-2】（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，，，垂足分别为点D、E．G为中点，H为中点连接，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式5-3】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在四边形中，，连接，点分别为的中点，若，，则四边形的周长为 ．
【考点题型六】（正）多边形的内角和（）
【例6】（22-23八年级下·北京丰台·期末）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【变式6-1】（24-25八年级上·全国·期末）正多边形的一个内角等于，则该多边形是正（ ）边形．
A．6 B．9 C．10 D．11
【变式6-2】（23-24七年级下·吉林四平·期末）如图，第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，此正九边形的内角和为 度．
【变式6-3】（23-24七年级下·河南周口·期末）如果一个多边形的每一个内角都等于，那么这个多边形是 边形
【变式6-4】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ．
【考点题型七】多边形截角后的内角和（）
【例7】（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6
【变式7-1】（22-23八年级下·山东济南·期末）剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩余多边形纸片的内角和不可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（23-24八年级上·北京朝阳·期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ．
【考点题型八】复杂图形的内角和（）
【例8】（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，如界，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-1】（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）如图，的值等于（ ）

A．360° B．450° C．540° D．720°
【变式8-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图， ．
【变式8-3】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，的度数是 ．
【考点题型九】多边形的外角和的实际应用（）
【例9】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，已知，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【变式9-2】（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进5米后向左转，再沿直线前进5米，又向左转，…，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为 米．
【变式9-3】（23-24九年级下·重庆城口·期中）如图，五边形中，，则的度数是 ．

【考点题型十】多边形的内角和与外角和综合（）
【例10】（24-25八年级上·江西新余·期中）请看图解答下列问题：
(1)错把外角当内角的那个外角的度数是多少？
(2)小华求的是几边形的内角和？
【变式10-1】（23-24八年级下·全国·期末）若一个多边形的内角和度数为外角和的4倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【变式10-2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）一个多边形所有内角与外角的和为，则这个多边形的边数是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个内角都等于和它相邻的外角的3倍，求这个多边形的边数及内角和的度数．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)清单06 平行四边形
（4个考点梳理+10大题型解读+提升训练）
清单01 平行四边形的性质
边的性质：两组对边分别平行且相等，如下图：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；
角的性质：两组对角分别相等，如图：∠A=∠C，∠B=∠D
对角线的性质：对角线互相平分。如图：AO=CO，BO=DO
清单02 平行四边形的判定
1.与边有关的判定：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2.与角有关的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
3.与对角线有关的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形
清单02 三角形的中位线
三角形中位线：在△ABC 中，D，E 分别是 AC，AC 的中点，连接 DE.像 DE 这样，
连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B
中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。
清单03 多边形的内角和与外角和
（1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°；
（2）正多边形的每个内角
（3）n 边形的外角和： 360°
（4）正多边形每个外角的度数：
【考点题型一】利用平行四边形的性质求解（）
【例1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，的平分线交边于点，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，主要运用了平行四边形的两个性质：①边：平行四边形的对边平行．②角：平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得，，则，再由角平分线定义得，即可得出结论．
【详解】解：在中，，
．
平分交于点，
．
又四边形是平行四边形，
．
故选：C．
【变式1-1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】D
【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：如图，连接交于点F．
∵垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
【变式1-2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，在平行四边形中，，，，分别平分，，那么的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．以上都不对
【答案】B
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等角对等边，结合平行四边形的性质求得是解题的关键．
由平行四边形的性质可得，结合角平分线的定义可求得、，再由线段的和差可求得．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理，
，
故选：B．
【变式1-3】（22-23八年级下·江西南昌·期中）在中，对角线相交于点O，，则边的长度x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形三边的关系．熟练掌握平行四边形的对角线互相平分是解答本题的关键．根据平行四边形的性质，可求得与的长，然后由三角形三边关系可求得x的取值范围．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
， ，
∴边的长度x的取值范围是：，即，
故选：．
【考点题型二】利用平行四边形的性质证明（）
【例2】（2023·广西柳州·二模）如图，在平行四边形中，于E，于F．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
证明，进而结论得证．
【详解】证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式2-1】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，连接，延长至点E，延长至点F，使，连接．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，由四边形是平行四边形，得到，，进一步得到，由，得到，证明，即可得到，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【变式2-2】（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在平行四边形中，是对角线上两个点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）证明，即可得出结论；
（2）等边对等角，求出的度数，平角求出，全等三角形的性质，求出的度数即可．
【详解】（1）证明：四边形ABCD为平行四边形，
，
，
，即
在与中
（）
；
（2），
，
，
由（1）知，，则．
【变式2-3】（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点．
(1)求证：，；
(2)若对角线与的和为18，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质；
（1）根据平行四边形的对角线互相平分可直接得出结论；
（2）根据平行四边形的性质求出，然后即可计算的周长．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，；
（2）由题意得，
由（1）知，，
∴，
∴的周长为：．
【考点题型三】平行四边形的判定（）
【例3】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，已知四边形，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． B．，
C．， D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定定理．根据平行四边形的判定定理逐一判断即可．
【详解】解：由，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项A不符合题意；
，，可以根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项B不符合题意；
由，结合，可得，则，，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形，故选项C不符合题意；
由，则四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项D符合题意；
故选：D．
【变式3-1】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A． ， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理．
根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可．
【详解】解：、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意；
、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意；
、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，符合题意；
、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意．
故选：．
【变式3-2】（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，交于点O，O为中点，下列条件能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键
【详解】解：∵O为的中点，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，故A正确；
选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形，
故选：A
【变式3-3】（23-24八年级下·山西朔州·期末）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列正确的是（ ）
A． B．AB＝AD C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
【详解】解：A、由，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；
B、由，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵，
，
∴不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意；
D．∵，
，
，
，
，
又，
∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
故选：D．
【考点题型四】平行四边形的性质与判定（）
【例4】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若平分，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质和判定：
（1）根据平行四边形的性质可得，根据E、F分别是的中点，可得，即可得结论；
（2）利用角平分线的定义、平行线的性质可得到，进而利用平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E、F分别是边上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴．
【变式4-1】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，为对角线上的两点（点在点的上方），．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当时，且，求两点之间的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记平行四边形的判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键．
（1）连接交于点，如图所示，由平行四边形的性质及题中已知条件得到，从而结合对角线相互平分的四边形是平行四边形即可得证；
（2）在中，由勾股定理求出，再由平行四边形性质得到，最后由勾股定理即可得到两点之间的距离．
【详解】（1）证明：连接交于点，如图所示：
四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，两点之间的距离为．
【变式4-2】（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，，求的面积．
【答案】(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，
(1)根据平行四边形的性质，得，，根据平行线的性质，得，则，根据可以证明，得，，从而证明，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形；
(2)根据勾股定理得到,连接交于，进而可以得到的长，然后利用三角形面积公式即可得解；
熟练掌握其性质并能正确得到是解决此题的关键．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
，
，
．
【变式4-3】（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，E，F是对角线AC上的两点，连接，，，，．
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理，平行四边形的判定及性质等．
（1）由平行四边形的性质得，，由得，由全等三角形的性质得，即可得证；
（2）由勾股定理得 ，由全等三角形的性质得 ，由线段的和差得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：，
，
，
，
，
由（1）知，
，
．
【考点题型五】利用三角形的中位线求解（）
【例5】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质，平行四边形的判定和性质，先证明，且，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出．
【详解】解：∵点、分别是、的中点，
∴，且，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故选：B．
【变式5-1】（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，某景区要在处架一条钢丝，已知点P，Q分别是的边和的中点，且米，则的长是（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
【答案】D
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据三角形的中位线定理即可求解．
【详解】解：∵点P，Q分别是的边和的中点
∴是的中位线，又米，
∴（米），
故选：D．
【变式5-2】（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，，，垂足分别为点D、E．G为中点，H为中点连接，则的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】取中点，连接，利用三角形中位线定理证明是等边三角形即可．
本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：取中点，连接，
∵G为中点，H为中点，
∴，
∵等边中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
故选C．
【变式5-3】（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在四边形中，，连接，点分别为的中点，若，，则四边形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是勾股定理，三角形中位线的性质及判定，熟练掌握三角形中位线的性质及判定是解题的关键，
连接，根据勾股定理求出，再根据三角形中位线定理分别求出、、、，计算即可．
【详解】解：连接，
∵是的中点，，
∴，
∴，
∵点、、、分别为、、、的中点，
∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴，
∴四边形的周长为，
故答案为：．
【考点题型六】（正）多边形的内角和（）
【例6】（22-23八年级下·北京丰台·期末）若一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和公式及利用内角和公式列方程解决相关问题．利用多边形的内角和公式即可求解．
【详解】解：因为多边形的内角和公式为，
所以，
解得，
所以这个多边形的边数是．
故选：B．
【变式6-1】（24-25八年级上·全国·期末）正多边形的一个内角等于，则该多边形是正（ ）边形．
A．6 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】本题主要考查了正多边形的内角和以及一元一次方程的应用．多边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成，列方程可求解．
【详解】解：设该多边形是正n边形，
则，
解得：，
则该多边形是正6边形．
故选：A．
【变式6-2】（23-24七年级下·吉林四平·期末）如图，第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，此正九边形的内角和为 度．
【答案】1260
【分析】本题考查了求正多边形内角和问题．根据正多边形的内角和公式：，代入数据即可得出答案．
【详解】解：正九边形的内角和为，
故答案为：1260．
【变式6-3】（23-24七年级下·河南周口·期末）如果一个多边形的每一个内角都等于，那么这个多边形是 边形
【答案】正六
【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理，根据多边形的内角和定理列出方程，求出答案即可．
【详解】设这个多边形为n边形，根据题意，得
，
解得，
所以这个多边形是正六边形．
故答案为：正六．
【变式6-4】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是 ．
【答案】9
【分析】本题考查了边形的内角和，熟练掌握该知识点是解题的关键．设这个多边形为边形，根据公式可知，解方程即可得到答案．
【详解】解：设这个多边形为边形，
故答案为：9
【考点题型七】多边形截角后的内角和（）
【例7】（22-23八年级下·安徽池州·期末）一个多边形截去一个角后，得到的新多边形内角和为，则原多边形边数为（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．4或5或6
【答案】D
【分析】根据多边形的内角和公式求出n，再根据截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1来解答．
【详解】解：设新多边形边数为n，
∵新多边形内角和为，
∴，
解得，
若多边形截去一个角，则会存在以下三种情况，多边形边数不变，增加1或减少1，如下图所示：

∴原多边形边数为4或5或6，
故选：D．
【点睛】本题主要考查多边形内角和和边数的关系，掌握内角和公式是解题的关键.
【变式7-1】（22-23八年级下·山东济南·期末）剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩余多边形纸片的内角和不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变．根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案．
【详解】解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，
当截线为经过正方形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形，内角和为；
当截线为经过正方形一组对边的直线时，剩余图形是四边形，内角和；
当截线为只经过正方形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形，内角和为．
∴C不符合题意；
故选C
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和，解决本题的关键是理解剪掉多边形的一个角的含义．
【变式7-2】（23-24八年级上·北京朝阳·期末）在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ．
【答案】5或6或7
【分析】本题考查多边形内角和定理、剪纸问题，掌握多边形的内角和定理及分类讨论问题是解题的关键．设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有，解出方程就可以得到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多边形的边数．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数为n，则，
解得，
即得到的多边形是6边形，
当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形，
当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：
①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形；
②不过多边形的顶点，则原来的是5边形，
综上所述，原多边形的边数为5或6或7，
故答案为：5或6或7．
【考点题型八】复杂图形的内角和（）
【例8】（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，如界，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的外角性质，多边形的内角与外角，掌握知识点的应用是解题的关键．
连接，由外角性质可得，由四边形的内角和定理可得，则，又，从而求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
【变式8-1】（22-23八年级上·安徽芜湖·期中）如图，的值等于（ ）

A．360° B．450° C．540° D．720°
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理和多边形的内角和定理，利用四边形的内角和得到，，从而有，，然后利用三角形的内角和求的度数．
【详解】解：如图，连接，

∵，，
∴，
即，
∵，
∴，
故选：C．
【变式8-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图， ．
【答案】/度
【分析】本题考查了三角形的内角和以及四边形的内角和定理，连接，设交于点，根据三角形的内角和定理即可证得，进而根据四边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，设交于点
在和中，，
，
．
故答案为：．
【变式8-3】（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，的度数是 ．
【答案】/360度
【分析】本题考查了三角形内角与外角的关系，根据三角形内角与外角的关系可得，，再根据四边形内角和为可得答案，解题的关键是灵活运用三角形的外角性质及多边形内角和定理．
【详解】解：如图：
∵，，
∵，
∴，
故答案为：．
【考点题型九】多边形的外角和的实际应用（）
【例9】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，已知，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据任意多边形外角和都等于，进行计算即可解答．
本题考查了多边形的外角和定理，熟练掌握“任意多边形外角和都等于”是解题的关键．
【详解】由题意得，
∵，
∴，
故选：C．
【变式9-1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是正边形纸片的一部分，其中是正边形两条边的一部分，若所在的直线相交形成的锐角为，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和除以外角度数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，直线相交于点，则，
∵正多边形的每个内角相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴，
∴，
故选：．
【变式9-2】（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，小明从A点出发，沿直线前进5米后向左转，再沿直线前进5米，又向左转，…，照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为 米．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的外角和；由已知条件得走的图形是正多边形，且每个外角为，由外角和求出边数，即可求解；能判断出走的图形是正多边形是解题的关键．
【详解】解：第一次回到出发点A时，
走的图形是正多边形，且每个外角为，
，
解得：，
共走路程为（米），
故答案：．
【变式9-3】（23-24九年级下·重庆城口·期中）如图，五边形中，，则的度数是 ．

【答案】/300度
【分析】本题主要考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于是解题关键．如图（见解析），延长至点，先根据邻补角可得，再根据多边形的外角和等于即可得．
【详解】解：如图，延长至点，
，
，
又，
，
故答案为：．
【考点题型十】多边形的内角和与外角和综合（）
【例10】（24-25八年级上·江西新余·期中）请看图解答下列问题：
(1)错把外角当内角的那个外角的度数是多少？
(2)小华求的是几边形的内角和？
【答案】(1)
(2)十三边形
【分析】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是熟练掌握正确运用多边形的内角和公式．
（1）根据多边形内角和一定是180度的倍数，依此即可求解；
（2）根据多算的外角度数求出多边形内角和，再根据多边形内角和公式求出边数即可．
【详解】（1）解： ．
又多算了一个外角，
外角度数为；
（2）解：由（1）可知多边形内角和为
设小华求的是边形内角和，
，
解得：，
小华求的是十三边形的内角和．
【变式10-1】（23-24八年级下·全国·期末）若一个多边形的内角和度数为外角和的4倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【分析】设这个多边形的边数为，根据内角和公式和外角和公式，列出方程求解即可．本题考查了多边形的内角和与外角和，关键是熟练掌握多边形的内角和公式与外角和．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
，
解得，
故选：B．
【变式10-2】（23-24八年级下·安徽六安·期末）一个多边形所有内角与外角的和为，则这个多边形的边数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查多边形的内角和与外角和，解题的关键是掌握多边形的内角和公式，和多边形的外角和为．设该多边形的边数为，根据题意列方程即可求解．
【详解】解：设该多边形的边数为，
根据题意可得：，
解得：，
故选：B．
【变式10-3】（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个内角都等于和它相邻的外角的3倍，求这个多边形的边数及内角和的度数．
【答案】8；
【分析】本题主要考查了正多边形内角和外角综合，这个多边形的一个外角的度数为，则这个多边形的一个内角的度数为，根据多边形一个内角与其相邻的外角互补得到，解方程求出一个内角和一个外角的度数，再根据外角和为360度求出边数，进而求出内角和即可．
【详解】解：这个多边形的一个外角的度数为，则这个多边形的一个内角的度数为，
∴，
解得，
∴这个多边形的一个外角的度数为，则这个多边形的一个内角的度数为，
∴这个多边形的边数为，
∴这个多边形的内角和的度数为．
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