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期末复习易错题（31个考点60题）
一．因式分解的意义（共1小题）
1．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴解得n＝﹣7，m＝﹣21．
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0
即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21
∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
问题：仿照以上一种方法解答下面问题．
（1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　 　 ．
（2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值．
二．因式分解-运用公式法（共1小题）
2．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　 　 ．
三．因式分解的应用（共1小题）
3．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为　 　 ．
四．分式的基本性质（共2小题）
4．如果将分式中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（　　）
A．扩大到原来的2倍 B．不变
C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的．
5．若2，则 　 　 ．
五．分式的加减法（共2小题）
6．对于正数x，规定，例如：f（2），f（），f（3），f（），计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
7．定义：若两个分式的差的绝对值为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列3组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　 　 （只填序号）；
（2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”；
（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．
六．分式的混合运算（共2小题）
8．试卷上一个正确的式子（）÷★被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（　　）
A． B． C． D．
9．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2，a3，，…，，若a1＝2，则a2023的值是（　　）
A． B． C．﹣3 D．2
七．分式的化简求值（共1小题）
10．先化简，再求值：，其中x＝2．
八．分式方程的解（共4小题）
11．已知关于x的分式方程1的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1
12．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
13．若关于x的分式方程1无解，则m的值　 　 ．
14．关于x的分式方程2的解为正实数，则k的取值范围是　 　 ．
九．解分式方程（共1小题）
15．解方程2．
一十．分式方程的增根（共1小题）
（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值
若方程1的解是正数，求a的取值范围．
一十一．分式方程的应用（共1小题）
17．在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？
一十二．不等式的性质（共2小题）
18．下列说法错误的是（　　）
A．若a+3＞b+3，则a＞b
B．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bc
D．若a＞b，则a+3＞b+2
19．下列不等式说法中，不正确的是（　　）
A．若x＞y，y＞2，则x＞2
B．若x＞y，则x﹣2＜y﹣2
C．若x＞y，则2x＞2y
D．若x＞y，则﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2
一十三．一元一次不等式的应用（共1小题）
20．某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．
（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？
一十四．一元一次不等式组的整数解（共4小题）
21．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
22．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（　　）
A．5 B．8 C．9 D．15
23．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 　 　 ．
一十五．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题）
25．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0
B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C．
D．
一十六．一次函数与一元一次不等式（共4小题）
26．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）
A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2
27．如图，已知直线y＝ax+b与直线y＝x+c的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③对于直线y＝x+c上任意两点A（xA，yA）、B（xB，yB），若xA＜xB，则yA＞yB；④x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集，其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
28．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是　 　 ．
29．如图，函数y＝ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是 　 　 ．
一十七．线段垂直平分线的性质（共1小题）
30．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　 　 ．
一十八．等腰三角形的性质（共1小题）
31．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为　 　 ．
一十九．等腰三角形的判定（共2小题）
32．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
二十．等腰三角形的判定与性质（共2小题）
34．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　）
A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定
35．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
二十一．等边三角形的判定与性质（共1小题）
36．数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　 　 DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　 　 DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
二十二．含30度角的直角三角形（共1小题）
37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
二十三．勾股定理（共4小题）
38．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
39．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　）
A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定
40．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1＝30，S2＝40，则S3＝　 　 ．
41．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s．
（1）出发2s后，求MN的长；
（2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？
（3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值．
二十四．勾股定理的证明（共3小题）
42．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
43．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（　　）
A．4 B． C． D．
44．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　）
A．12 B．15 C．20 D．30
二十五．三角形中位线定理（共2小题）
45．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是（　　）
A．28 B．32 C．18 D．25
46．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；
（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．
二十六．多边形内角与外角（共5小题）
47．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　）
A．10° B．15° C．30° D．40°
48．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
49．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（　　）
A．240° B．360° C．540° D．720°
50．如图，小明从O点出发，前进6米后向右转20°，再前进6米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　）
A．72米 B．108米 C．144米 D．120米
51．已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
二十七．平行四边形的性质（共1小题）
52．如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝2s时，求△AEF的面积；
（3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
二十八．平行四边形的判定与性质（共1小题）
53．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　 　 ；
（2）当t＝　 　 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
二十九．平移的性质（共1小题）
54．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　 　 ．
三十．旋转的性质（共5小题）
55．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　 　 cm．
56．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　 　 ．
57．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 　 　 （填序号）．
58．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 　 　 ．
59．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　 　 ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
三十一．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
60．若点P1（2﹣m，5）关于原点对称的点是P2（3，2n+1），则m﹣n的值为（　　）
A．6 B．﹣3 C．8 D．9
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)期末复习易错题（31个考点60题）
一．因式分解的意义（共1小题）
1．仔细阅读下面的例题，并解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解法一：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴解得n＝﹣7，m＝﹣21．
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
解法二：设另一个因式为x+n，得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）
∴当x＝﹣3时，x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）＝0
即（﹣3）2﹣4×（﹣3）+m＝0，解得m＝﹣21
∴x2﹣4x+m＝x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）
∴另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
问题：仿照以上一种方法解答下面问题．
（1）若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3，则实数p＝　1　 ．
（2）已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5，求另一个因式及k的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设另一个因式为x+a，得x2﹣px﹣6＝（x﹣3）（x+a）
则x2﹣px﹣6＝x2+（a﹣3）x﹣3a，
∴，解得a＝2，p＝1．
故答案为：1．
（2）设另一个因式为（x+n），得2x2+3x﹣k＝（2x+5）（x+n）
则2x2+3x﹣k＝2x2+（2n+5）x+5n
∴，
解得n＝﹣1，k＝5，
∴另一个因式为（x﹣1），k的值为5．
二．因式分解-运用公式法（共1小题）
2．若4x2﹣（k﹣1）x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值为　13或﹣11　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，
∴k﹣1＝±12，
解得：k＝13或k＝﹣11，
故选：13或﹣11．
三．因式分解的应用（共1小题）
3．已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为　4　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a+b＝2，
∴a2﹣b2+4b，
＝（a+b）（a﹣b）+4b，
＝2（a﹣b）+4b，
＝2a+2b，
＝2（a+b），
＝2×2，
＝4．
故答案为：4．
四．分式的基本性质（共2小题）
4．如果将分式中x，y都扩大到原来的2倍，则分式的值（　　）
A．扩大到原来的2倍 B．不变
C．扩大到原来的4倍 D．缩小到原来的．
【答案】A
【解答】解：用2x和2y代替式子中的x和y得：，
则分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
5．若2，则 　　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由2，得x+y＝2xy
则．
故答案为．
五．分式的加减法（共2小题）
6．对于正数x，规定，例如：f（2），f（），f（3），f（），计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（　　）
A．199 B．200 C．201 D．202
【答案】C
【解答】解：∵f（1）1，f（2），f（），f（3），f（），f（4），f（），…，f（101），f（），
∴f（2）+f（）2，f（3）+f（）2，f（4）+f（）2，…，f（101）+f（）2，
f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）
＝2×100+1
＝201．
故选：C．
7．定义：若两个分式的差的绝对值为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．
（1）下列3组分式：
①与；②与；③与．其中属于“友好分式组”的有 　②③　 （只填序号）；
（2）若正实数a，b互为倒数，求证，分式与属于“友好分式组”；
（3）若a，b均为非零实数，且分式与属于“友好分式组”，求分式的值．
【答案】（1）②③；（2）证明过程见上面具体过程；（3）的值为或．
【解答】解：（1）①2，
②2，
③||＝||＝2，
∴属于“友好分式组”的有②③，
故答案为：②③．
（2）∵a，b互为倒数，
∴ab＝1，b，
∴||
＝||
＝||
＝||
＝2，
∴分式与属于“友好分式组”；
（3）∵||
＝||
＝||
＝||，
∵与属于“友好分式组”，
∴||＝2，
∴2a2+2ab＝2（a2﹣4b2）或2a2+2ab＝﹣2（a2﹣4b2），
①a＝﹣4b，②ab＝4b2﹣2a2，
把①代入，
把②代入，
综上所述：的值为或．
六．分式的混合运算（共2小题）
8．试卷上一个正确的式子（）÷★被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：（）÷★，
∴被墨汁遮住部分的代数式是（）


；
故选：A．
9．已知一列均不为1的数a1，a2，a3，…，an满足如下关系：a2，a3，，…，，若a1＝2，则a2023的值是（　　）
A． B． C．﹣3 D．2
【答案】A
【解答】解：由题意得，
a1＝2，
a23，
a3，
a4，
a52，
……，
∴an的值按照2，﹣3，，，……4次一个循环周期的规律出现，
∵2023÷4＝505……3，
∴a2023的值是，
故选：A．
七．分式的化简求值（共1小题）
10．先化简，再求值：，其中x＝2．
【答案】，原式．
【解答】解：


，
当x＝2时，原式．
八．分式方程的解（共4小题）
11．已知关于x的分式方程1的解是非负数，则m的取值范围是（　　）
A．m≥1 B．m≤1 C．m≥﹣1且m≠0 D．m≥﹣1
【答案】C
【解答】解：分式方程去分母得：m＝x﹣1，
即x＝m+1，
由分式方程的解为非负数，得到
m+1≥0，且m+1≠1，
解得：m≥﹣1且m≠0，
故选：C．
12．若数a使关于x的不等式组，有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程1有整数解，则满足条件的所有a的值之和是（　　）
A．﹣10 B．﹣12 C．﹣16 D．﹣18
【答案】B
【解答】解：，
解①得x≥﹣3，
解②得x，
不等式组的解集是﹣3≤x．
∵仅有三个整数解，
∴﹣10
∴﹣8≤a＜﹣3，
1
3y﹣a﹣12＝y﹣2．
∴y
∵y≠2，
∴a≠﹣6，
又y有整数解，
∴a＝﹣8或﹣4，
所有满足条件的整数a的值之和是（﹣8）+（﹣4）＝﹣12，
故选：B．
13．若关于x的分式方程1无解，则m的值　或　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x＝2（x﹣3）
（2m+1）x＝﹣6
x，
当2m+1＝0，方程无解，解得m．
x＝3时，m，
x＝0时，m无解．
故答案为：或．
14．关于x的分式方程2的解为正实数，则k的取值范围是　k＞﹣2且k≠2　 ．
【答案】k＞﹣2且k≠2．
【解答】解：方程2两边同乘（x﹣2），得
1+2（x﹣2）＝k﹣1，
解得，x，
∵2，
∴k≠2，
由题意得，0，
解得，k＞﹣2，
∴k的取值范围是k＞﹣2且k≠2．
故答案为：k＞﹣2且k≠2．
九．解分式方程（共1小题）
15．解方程2．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣3），得：2﹣x＝﹣1﹣2（x﹣3），
解得：x＝3，
检验：当x＝3时，（x﹣3）＝0，
∴x＝3是原分式方程的增根，原分式方程无解．
一十．分式方程的增根（共1小题）
16．（1）若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．
（2）若方程1的解是正数，求a的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得
2（x+2）+mx＝3（x﹣2）
∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），
∴原方程增根为x＝±2，
∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4．
把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6．
综上，可知m＝﹣4或6．
（2）解：去分母，得2x+a＝2﹣x
解得：x，
∵解为正数，
∴，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，且x≠2，
∴a≠﹣4
∴a＜2且a≠﹣4．
一十一．分式方程的应用（共1小题）
17．在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①设乙种物品单价为x元，则甲种物品单价为（x+10）元，由题意得：
解得x＝90
经检验，x＝90符合题意
∴甲种物品的单价为100元，乙种物品的单价为90元．
②设购买甲种物品y件，则乙种物品购进（55﹣y）件
由题意得：5000≤100y+90（55﹣y）≤5050
解得5≤y≤10
∴共有6种选购方案．
一十二．不等式的性质（共2小题）
18．下列说法错误的是（　　）
A．若a+3＞b+3，则a＞b
B．若，则a＞b
C．若a＞b，则ac＞bc
D．若a＞b，则a+3＞b+2
【答案】C
【解答】解：A、若a+3＞b+3，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、若，则a＞b，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、若a＞b，则ac＞bc，这里必须满足c≠0，原变形错误，故此选项符合题意；
D、若a＞b，则a+3＞b+2，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
19．下列不等式说法中，不正确的是（　　）
A．若x＞y，y＞2，则x＞2
B．若x＞y，则x﹣2＜y﹣2
C．若x＞y，则2x＞2y
D．若x＞y，则﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2
【答案】B
【解答】解：A、∵x＞y，y＞2，
∴x＞2，原说法正确，故本选项不符合题意；
B、∵x＞y，
∴x﹣2＞y﹣2，原说法错误，故本选项符合题意；
C、∵x＞y，
∴2x＞2y，原说法正确，故本选项不符合题意；
D、∵x＞y，
∴﹣2x﹣2＜﹣2y﹣2，原说法正确，故本选项不符合题意；
故选：B．
一十三．一元一次不等式的应用（共1小题）
20．某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包．已知男款书包的单价50元/个，女款书包的单价70元/个．
（1）原计划募捐3400元，购买两种款式的书包共60个，那么这两种款式的书包各买多少个？
（2）在捐款活动中，由于学生捐款的积极性高涨，实际共捐款4800元，如果购买两种款式的书包共80个，那么女款书包最多能买多少个？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设原计划买男款书包x个，则女款书包（60﹣x）个，
根据题意得：50x+70（60﹣x）＝3400，
解得：x＝40，
60﹣x＝60﹣40＝20，
答：原计划买男款书包40个，则女款书包20个．
（2）设女款书包能买y个，则男款书包（80﹣y）个，
根据题意得：70y+50（80﹣y）≤4800，
解得：y≤40，
∴女款书包最多能买40个．
一十四．一元一次不等式组的整数解（共4小题）
21．已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由于不等式组有解，则，必定有整数解0，
∵，
∴三个整数解不可能是﹣2，﹣1，0．
若三个整数解为﹣1，0，1，则不等式组无解；
若三个整数解为0，1，2，则；
解得．
故选：B．
22．若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k，且关于y的方程2y＝3+k有正整数解，则符合条件的所有整数k的和为（　　）
A．5 B．8 C．9 D．15
【答案】B
【解答】解：，
解不等式①得x≤k，
解不等式②得x＜7，
由题意得k＜7，
解关于y的方程2y＝3+k得，
y，
由题意得，1，
解得k≥﹣1，
∴k的取值范围为：﹣1≤k＜7，且k为整数，
∴k的取值为﹣1，0，1，2，3，4，5，6，
当k＝﹣1时，y1，
当k＝0时，y，
当k＝1时，y2，
当k＝2时，y，
当k＝3时，y3，
当k＝4时，y，
当k＝5时，y4，
当k＝6时，y，
∵为整数，且k为整数，
∴符合条件的整数k为﹣1，1，3，5，
∵﹣1+1+3+5＝8，
∴符合条件的所有整数k的和为8．
故选：B．
23．已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【解答】解：解方程组得：，
∵x≥y，
∴a+1a﹣2，
解得：a，
解不等式组得s≤1，
∵关于s的不等式组恰好有4个整数解（﹣2，﹣1，0，1），
∴﹣32，
解得：﹣2≤a＜1，
∵a，
∴a＜1，
∴所有符合条件的整数a有﹣1，0，共有2个，
故选：C．
24．整数m满足关于x，y的二元一次方程组的解是正整数，且关于x的不等式组有且仅有2个整数解，则m的值为 　5　 ．
【答案】m的值是5．
【解答】解：由二元一次方程组，得
，
∵二元一次方程组解是正整数，
∴，
解得，m，
∴m＝5或6，
m＝5时，x＝3，y＝2，
当m＝6时，x＝1.5不符合题意，舍去；
∴m＝5．
由不等式组得x≤6，
∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解，
∴45，
解得，5≤m，
∴m的值是5．
故m的值是5．
一十五．由实际问题抽象出一元一次不等式组（共1小题）
25．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　）
A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0
B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8
C．
D．
【答案】C
【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9×（x﹣1），
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵，
∴可列不等式组为：，
即．
故选：C．
一十六．一次函数与一元一次不等式（共4小题）
26．如图，已知：函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是（　　）
A．x＞﹣5 B．x＞﹣2 C．x＞﹣3 D．x＜﹣2
【答案】B
【解答】解：∵函数y＝3x+b和y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），
则根据图象可得不等式3x+b＞ax﹣3的解集是x＞﹣2，
故选：B．
27．如图，已知直线y＝ax+b与直线y＝x+c的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结论：①a＜0；②c＞0；③对于直线y＝x+c上任意两点A（xA，yA）、B（xB，yB），若xA＜xB，则yA＞yB；④x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集，其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【答案】C
【解答】解：∵直线y＝ax+b，y随x的增大而减小，
∴a＜0，①正确；
∵直线y＝x+c与y轴交于负半轴，
∴c＜0，②错误；
直线y＝x+c中，k＝1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴xA＜xB，则yA＜yB，③错误；
x＞1是不等式ax+b＜x+c的解集，④正确；
故选：C．
28．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是　x＜﹣2　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图象得：不等式组kx+b＞x+a的解集是x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
29．如图，函数y＝ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是 　x＞1　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：方法一∵把（1，2）代入y＝ax﹣1得：2＝a﹣1，
解得：a＝3，
∴y＝3x﹣1＞2，
解得：x＞1，
方法二：根据图象可知：y＝ax﹣1＞2的x的范围是x＞1，
即不等式ax﹣1＞2的解集是x＞1，
故答案为：x＞1．
一十七．线段垂直平分线的性质（共1小题）
30．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　10　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，
∴∠ACE＝∠ECG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，
∴CF＝CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），
∴AF＝BG，
设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，
∴12﹣x＝8+x，
解得x＝2，
∴AF＝12﹣2＝10．
故答案为：10．
一十八．等腰三角形的性质（共1小题）
31．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为　115°或65°　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；
②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，
故顶角是90°﹣25°＝65°．
故答案为：115°或65°．
一十九．等腰三角形的判定（共2小题）
32．如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A、B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】B
【解答】解：如图所示，以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置；
以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置；
作线段AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点．
故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个．
故选：B．
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【解答】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个．
故选：C．
二十．等腰三角形的判定与性质（共2小题）
34．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2，则△PBC的面积为（　　）
A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：如图，延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB＝∠EPB＝90°，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP＝PE，
∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，
∴S△PBCS△ABC1＝0.5（cm2），
故选：B．
35．已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．
（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；
（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．
①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；
②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．
【答案】（1）说明过程见解答；
（2）①说明过程见解答；
②如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∵∠ACB＝∠BCD+∠ACD，∠BCD＝∠A，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠BDC．
∴CD＝CB；
（2）①∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠CBE+∠ACB＝90°，
设∠CBE＝α，则∠ACB＝90°﹣α，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴∠BCD＝180°﹣∠BDC﹣∠ABC＝180°﹣（90°﹣α）﹣（90°﹣α）＝2α，
∴∠BCD＝2∠CBE；
②∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD＝∠CBE+∠BCD＝α+2α＝3α，
分三种情况：
当BD＝BF时，
∴∠BDC＝∠BFD＝3α，
∵∠ACB＝∠ABC＝∠BDC＝90°﹣α，
∴90°﹣α＝3α，
∴α＝22.5°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝45°；
当DB＝DF时，
∴∠DBE＝∠BFD＝3α，
∵∠DBE＝∠ABC﹣∠CBE＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，
∴90°﹣2α＝3α，
∴α＝18°，
∴∠A＝∠BCD＝2α＝36°；
当FB＝FD时，
∴∠DBE＝∠BDF，
∵∠BDF＝∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB＝FD，
综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°．
二十一．等边三角形的判定与性质（共1小题）
36．数学课上，李老师出示了如下的题目：
“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况，探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE 　＝　 DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．
（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE 　＝　 DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你直接写出结果）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）故答案为：＝．
（2）过E作EF∥BC交AC于F，
∵等边三角形ABC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，
∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，
即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，
∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D+∠BED＝∠FCE+∠ECD＝60°，
∵DE＝EC，
∴∠D＝∠ECD，
∴∠BED＝∠ECF，
在△DEB和△ECF中
，
∴△DEB≌△ECF（AAS），
∴BD＝EF＝AE，
即AE＝BD，
故答案为：＝．
（3）解：CD＝1或3，
理由是：分为两种情况：①如图1
过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CMBC，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AB＝1，AE＝2，
∴AB＝BE＝1，
∵EN⊥DC，AM⊥BC，
∴∠AMB＝∠ENB＝90°，
在△ABM和△EBN中，
，
∴△AMB≌△ENB（AAS），
∴BN＝BM，
∴CN＝1，
∴CD＝2CN＝3；
②如图2，作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，
则AM∥EN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
∵AM⊥BC，
∴BM＝CMBC，
∵DE＝CE，EN⊥BC，
∴CD＝2CN，
∵AM∥EN，
∴，
∴，
∴MN＝1，
∴CN＝1，
∴CD＝2CN＝1，
即CD＝3或1．
二十二．含30度角的直角三角形（共1小题）
37．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为VP＝2cm/s，VQ＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．
（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？
（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？
【答案】（1）；
（2）或t＝1．
【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵4÷2＝2，
∴0≤t≤2，BP＝（4﹣2t）cm，BQ＝t cm.
（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．
即4﹣2t＝t．
∴．
当时，△PBQ为等边三角形；
（2）若△PBQ为直角三角形，
①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，
即4﹣2t＝2t，
∴t＝1．
②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，
即t＝2（4﹣2t），
∴．
即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．
二十三．勾股定理（共4小题）
38．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，
∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵BD＝CD，
∴BD＝AD，
∴∠B＝∠BAD，
∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，
∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，
∴AB6，
故选：D．
39．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（　　）
A．S1+S2+S3＝S4 B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S3＝S2+S4 D．不能确定
【答案】C
【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，
∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，
∴S1＝S△ACG﹣S5b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6a2﹣S6，
∴S1+S3（a2+b2）﹣S5﹣S6，
∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6c2﹣S5﹣S6，
∵c2＝a2+b2，
∴S1+S3＝S2+S4，
故选：C．
40．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1＝30，S2＝40，则S3＝　70　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设直角三角形三边分别为a、b、c，如图所示：
则S1π（）2，S2π（）2，S3π（）2．
因为a2+b2＝c2，所以．
即S1+S2＝S3．
所以S3＝70．
41．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，M，N是△ABC边上的两个动点，其中点N从点A开始沿A→B方向运动，且速度为2cm/s，点M从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为4cm/s，它们同时出发，设运动的时间为t s．
（1）出发2s后，求MN的长；
（2）当点M在边BC上运动时，出发几秒钟，△MNB是等腰三角形？
（3）当点M在边CA上运动时，求能使△BCM成为等腰三角形的t的值．
【答案】（1）MN的长为4cm．
（2）出发s后△MNB是等腰三角形．
（3）当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形．
【解答】解：（1）当t＝2时，AN＝2t＝4cm，BM＝2t＝8cm．
∵AB＝16cm，
∴BN＝AB﹣AN＝16﹣4＝12（cm），
在Rt△BPQ中，由勾股定理可得，
MN4（cm），
即MN的长为4cm．
（2）由题意可知AN＝2t，BM＝4t，
又∵AB＝16cm，
∴BN＝AB﹣AN＝（16﹣2t）cm，
当△MNB为等腰三角形时，则有BM＝BN，
∴16﹣2t＝4t，解得t，
∴出发s后△MNB是等腰三角形．
（3）在△ABC中，由勾股定理可求得AC＝20cm，
当点M在AC上运动时，AM＝BC+AC﹣4t＝32﹣4t，
∴CM＝AC﹣AM＝20﹣（32﹣4t）＝4t﹣12，
∵△BCM为等腰三角形，
∴有BM＝BC，CM＝BC和CM＝BM三种情况：
①当BM＝BC＝12时，如图，过B作BE⊥AC，则CECM＝2t﹣6，
在Rt△ABC中，可求得BE；
在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2＝BE2+CE2，即122＝（）2+（2t﹣6）2，
解得t＝6.6或t＝﹣0.6（舍去），
②当CM＝BC＝12时，则4t﹣12＝12，解得t＝6，
③当CM＝BM时，则∠C＝∠MBC，
∵∠C+∠A＝90°＝∠CBM+∠MBA，
∴∠A＝∠MBA，
∴MB＝MA，
∴CM＝AM＝10，即4t﹣12＝10，解得t＝5.5，
综上可知，当t的值为6.6或6或5.5时，△BCM为等腰三角形．
二十四．勾股定理的证明（共3小题）
42．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，n（m＞n）．若小正方形面积为5，（m+n）2＝21，则大正方形面积为（　　）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为m﹣n，
∴（m﹣n）2＝5，即m2+n2﹣2mn＝5①，
∵（m+n）2＝21，
∴m2+n2+2mn＝21②，
①+②得2（m2+n2）＝26，
∴大正方形的面积为：m2+n2＝13，
故选：B．
43．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF＝2，则AE的长为（　　）
A．4 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：由题意，EF＝HG＝FG＝2，AD∥BC，BG⊥HC，DH⊥HG，∠ADE＝∠GBP，
∴∠ADG＝∠GPC．
∵点P为BC的中点，
∴PB＝PG＝PC．
∴∠BGP＝∠GBP，∠GPC＝2∠GBP．
∴∠GPC﹣∠ADE＝2∠GBP﹣∠ADE，即∠GDH＝∠GBP．
∴△GDH∽△CBG．
∴，即．
设AE＝BF＝HD＝x，
∴．
∴x＝1或x＝1（舍去）．
故选：C．
44．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3．若S1+S2+S3＝60，则S2的值是（　　）
A．12 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【解答】解：设每个小直角三角形的面积为m，则S1＝4m+S2，S3＝S2﹣4m，
因为S1+S2+S3＝60，
所以4m+S2+S2+S2﹣4m＝60，
即3S2＝60，
解得S2＝20．
故选：C．
二十五．三角形中位线定理（共2小题）
45．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，则△ABC的周长是（　　）
A．28 B．32 C．18 D．25
【答案】D
【解答】解：延长线段BN交AC于E．
∵AN平分∠BAC，
∴∠BAN＝∠EAN，AN＝AN，∠ANB＝∠ANE＝90°，
∴△ABN≌△AEN，
∴AE＝AB＝6，BN＝NE，
又∵M是△ABC的边BC的中点，
∴CE＝2MN＝2×1.5＝3，
∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25，
故选：D．
46．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，连接DE、BE，点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点．
（1）求证：FG＝FH；
（2）若∠A＝90°，求证：FG⊥FH；
（3）若∠A＝80°，求∠GFH的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴BD＝EC，
∵点F，G，H分别为BE，DE，BC的中点，
∴FG∥BD，GF，
FH∥EC，FH，
∴FG＝FH；
（2）证明：由（1）FG∥BD，
又∵∠A＝90°，
∴FG⊥AC，
∵FH∥EC，
∴FG⊥FH；
（3）解：延长FG交AC于点K，
∵FG∥BD，∠A＝80°，
∴∠FKC＝∠A＝80°，
∵FH∥EC，
∴∠GFH＝180°﹣∠FKC＝100°．
二十六．多边形内角与外角（共5小题）
47．如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（　　）
A．10° B．15° C．30° D．40°
【答案】B
【解答】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，
∴∠DAB+∠ABC＝150°．
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，
∴∠PAB+∠ABP∠DAB+∠ABC（180°﹣∠ABC）＝90°（∠DAB+∠ABC）＝165°，
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝15°．
故选：B．
48．如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°，则∠BOD的度数为（　　）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】B
【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°＝4×180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝505°，
∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，
∴∠BOD＝540°﹣505°＝35°，
故选：B．
49．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是（　　）
A．240° B．360° C．540° D．720°
【答案】B
【解答】解：如图，AC、DF与BE分别相交于点M、N，
在四边形NMCD中，∠MND+∠CMN+∠C+∠D＝360°，
∵∠CMN＝∠A+∠E，∠MND＝∠B+∠F，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，
故选：B．
50．如图，小明从O点出发，前进6米后向右转20°，再前进6米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　）
A．72米 B．108米 C．144米 D．120米
【答案】B
【解答】解：依题意可知，小陈所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，
则20n＝360，解得n＝18，
∴他第一次回到出发点O时一共走了：6×18＝108（米），
故选：B．
51．已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
【答案】（1）140°；
（2）1260°．
【解答】解：（1）设这个正多边形的一个外角的度数为x°，
根据题意得180﹣x＝3x+20，解得x＝40，
180°﹣x°＝140°，
所以这个正多边形一个内角的度数140°；
（2）因为这个正多边形的一个外角的度数为40°，
所以这个正多边形边数＝360°÷40°＝9，
所以这个正多边形的内角和是（9﹣2）×180°＝1260°．
二十七．平行四边形的性质（共1小题）
52．如图，平行四边形ABCD中∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动，同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为t（s）．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求当t＝2s时，求△AEF的面积；
（3）当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时，求t的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）平行四边形ABCD中，
∵∠A＝60°，AB＝6cm，AD＝3cm，
∴CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
如图，过点B作BG⊥CD于点G，
∴∠BGC＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C＝60°，
在Rt△BCG中，∠CBG＝30°，
∴CGBCcm，
∴BG（cm），
∴平行四边形ABCD的面积为：CD×BG＝69（cm2）．
答：平行四边形ABCD的面积为9cm2；
（2）当t＝2s时，
AE＝2×1＝2cm，AF＝2×1＝2cm，
∵∠A＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
如图，过点F作FH⊥AE于点H，
∴FHAF（cm），
∴△AEF的面积为：AE×FH2（cm2），
答：当t＝2s时，△AEF的面积为cm2；
（3）∵由（1）知平行四边形ABCD的面积为9cm2．
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时，△AEF的面积为：93（cm2），
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在AD上运动t秒，（0＜t≤3），AE＝t cm，AF＝t cm，高为AFt（cm），
∴tt＝3，
∴t＝23，不符合题意舍去；
当点E在线段AB上运动t秒时，点F在CD上运动t秒，（3＜t≤6），
∴t3，
∴t＝4，符合题意；
当点E′运动到线段BC上时，且运动时间为t秒时，点F′也运动到线段CD上，（6＜t＜9），
如图，过点E′作MN垂直CD于点H，垂直于AB延长线于点G，
∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＝∠C＝60°，CD＝AB＝6cm，BC＝AD＝3cm，
∴AB∥CD，
∴∠E′BG＝∠C＝60°，
∴E′GBE′（t﹣6）（cm），E′H＝1.5（t﹣6）（9﹣t）（cm），
∴S△AEF＝96（t﹣6）[6﹣（t﹣3）]×[（9﹣t）]（t﹣3）×1.53，
化简得：t2﹣9t+12＝0，
∴t（不符合题意，舍）或t，
当t时，点E位于线段BC上，点F位于线段CD上，符合题意．
综上所述，t的值为4或．
二十八．平行四边形的判定与性质（共1小题）
53．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0）
（1）当t＝3时，BP＝　6　 ；
（2）当t＝　8　 时，点P运动到∠B的角平分线上；
（3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S；
（4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）BP＝2t＝2×3＝6，
故答案为：6；
（2）作∠B的角平分线交AD于F，
∴∠ABF＝∠FBC，
∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AD∥BC，
∴∠AFB＝∠FBC，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝4，
∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4，
∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16，
∴2t＝16，解得t＝8．
∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上；
故答案为：8；
（3）根据题意分3种情况讨论：
①当点P在BC上运动时，
S△ABPBP×AB2t×4＝4t；（0＜t＜4）；
②当点P在CD上运动时，
S△ABPAB×BC4×8＝16；（4≤t≤6）；
③当点P在AD上运动时，
S△ABPAB×AP4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）；
（4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动，
根据题意分情况讨论：
①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等，
∴点P到AD边的距离为4，
∴点P到AB边的距离也为4，
即BP＝4，
∴2t＝4，解得t＝2s；
②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4，
∴点P到DE边的距离也为4，
∴PE＝DE＝5，
∴PC＝PE﹣CE＝2，
∴8﹣2t＝2，解得t＝3s；
③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H，
点P到DE、BE边的距离相等，
即PC＝PH，
∵PC＝2t﹣8，
∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE，
∴3×45×PH3×PC，
∴12＝8PH，
∴12＝8（2t﹣8），
解得t．
综上所述：t＝2或t＝3或t时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等．
二十九．平移的性质（共1小题）
54．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　30　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB＝30．
故答案为：30．
三十．旋转的性质（共5小题）
55．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为　42　 cm．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD＝60°，
∴BD＝BC＝12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝CD＝12cm，
在Rt△ACB中，AB13，
△ACF与△BDF的周长之和＝AC+AF+CF+BF+DF+BD＝AC+AB+CD+BD＝5+13+12+12＝42（cm），
故答案为：42．
56．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为　9　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝6，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1DA1B＝3，
∴S△A1BA6×3＝9，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，
S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝9．
故答案为：9．
57．如图，∠AOB＝120°，点P为∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM＝PN；②OM+ON＝OP；③四边形PMON的面积保持不变；④△PMN的周长保持不变．其中说法正确的是 　①②③　 （填序号）．
【答案】①②③．
【解答】解：过点P作PE⊥OA，垂足为E，过点P作PF⊥OB，垂足为F，
∴∠PEO＝90°，∠PFO＝90°，
∵∠AOB＝120°，
∴∠EPF＝360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠PFO＝60°，
∵∠MPN+∠AOB＝180°，
∴∠MPN＝180°﹣∠AOB＝60°，
∴∠MPN﹣∠EPN＝∠EPF﹣∠EPN，
∴∠MPE＝∠NPF，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF，
∵∠MEP＝∠NFP＝90°，
∴△MEP≌△NFP（ASA），
∴PM＝PN，ME＝NF，
故①正确；
∵OP＝OP，
∴Rt△PEO≌Rt△PFO（HL），
∴OE＝OF，
∴OM+ON＝OE+ME+OF﹣NF＝2OE，
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP∠AOB＝60°，
∴∠EPO＝90°﹣∠EOP＝30°，
∴PO＝2OE，
∴OM+ON＝OP，
故②正确；
∵△MEP≌△NFP，
∴四边形PMON的面积＝四边形PEOF的面积，
∴四边形PMON的面积保持不变，
故③正确；
∵PM＝PN，∠MPN＝60°，
∴△PMN是等边三角形，
∵MN的长度是变化的，
∴△PMN的周长是变化的，
故④错误；
所以，说法正确的是：①②③，
故答案为：①②③．
58．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 　9　 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，12），
∴OA＝12，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝6，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝3，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP+PF＝6+3＝9，
∴PC的最小值为9，
故答案为：9．
59．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 　150°　 ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C．
三十一．关于原点对称的点的坐标（共1小题）
60．若点P1（2﹣m，5）关于原点对称的点是P2（3，2n+1），则m﹣n的值为（　　）
A．6 B．﹣3 C．8 D．9
【答案】C
【解答】解：∵点P1（2﹣m，5）关于原点对称的点是P2（3，2n+1），
∴2﹣m+3＝0，5+2n+1＝0，
解得m＝5，n＝﹣3，
所以，m﹣n＝5﹣（﹣3）＝5+3＝8．
故选：C．
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