资源简介 期末复习易错题(31个考点60题)一.因式分解的意义(共1小题)1.仔细阅读下面的例题,并解答问题:例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.解法一:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n,∴解得n=﹣7,m=﹣21.∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21.解法二:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)∴当x=﹣3时,x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)=0即(﹣3)2﹣4×(﹣3)+m=0,解得m=﹣21∴x2﹣4x+m=x2﹣4x﹣21=(x+3)(x﹣7)∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21.问题:仿照以上一种方法解答下面问题.(1)若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3,则实数p= .(2)已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5,求另一个因式及k的值.二.因式分解-运用公式法(共1小题)2.若4x2﹣(k﹣1)x+9能用完全平方公式因式分解,则k的值为 .三.因式分解的应用(共1小题)3.已知a+b=2,则a2﹣b2+4b的值为 .四.分式的基本性质(共2小题)4.如果将分式中x,y都扩大到原来的2倍,则分式的值( )A.扩大到原来的2倍 B.不变C.扩大到原来的4倍 D.缩小到原来的.5.若2,则 .五.分式的加减法(共2小题)6.对于正数x,规定,例如:f(2),f(),f(3),f(),计算:f()+f()+f()+…+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)=( )A.199 B.200 C.201 D.2027.定义:若两个分式的差的绝对值为2,则称这两个分式属于“友好分式组”.(1)下列3组分式:①与;②与;③与.其中属于“友好分式组”的有 (只填序号);(2)若正实数a,b互为倒数,求证,分式与属于“友好分式组”;(3)若a,b均为非零实数,且分式与属于“友好分式组”,求分式的值.六.分式的混合运算(共2小题)8.试卷上一个正确的式子()÷★被小颖同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为( )A. B. C. D.9.已知一列均不为1的数a1,a2,a3,…,an满足如下关系:a2,a3,,…,,若a1=2,则a2023的值是( )A. B. C.﹣3 D.2七.分式的化简求值(共1小题)10.先化简,再求值:,其中x=2.八.分式方程的解(共4小题)11.已知关于x的分式方程1的解是非负数,则m的取值范围是( )A.m≥1 B.m≤1 C.m≥﹣1且m≠0 D.m≥﹣112.若数a使关于x的不等式组,有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程1有整数解,则满足条件的所有a的值之和是( )A.﹣10 B.﹣12 C.﹣16 D.﹣1813.若关于x的分式方程1无解,则m的值 .14.关于x的分式方程2的解为正实数,则k的取值范围是 .九.解分式方程(共1小题)15.解方程2.一十.分式方程的增根(共1小题)(1)若解关于x的分式方程会产生增根,求m的值若方程1的解是正数,求a的取值范围.一十一.分式方程的应用(共1小题)17.在“扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户.已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同.①请问甲、乙两种物品的单价各为多少?②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?一十二.不等式的性质(共2小题)18.下列说法错误的是( )A.若a+3>b+3,则a>bB.若,则a>bC.若a>b,则ac>bcD.若a>b,则a+3>b+219.下列不等式说法中,不正确的是( )A.若x>y,y>2,则x>2B.若x>y,则x﹣2<y﹣2C.若x>y,则2x>2yD.若x>y,则﹣2x﹣2<﹣2y﹣2一十三.一元一次不等式的应用(共1小题)20.某校在开展“校园献爱心”活动中,准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.已知男款书包的单价50元/个,女款书包的单价70元/个.(1)原计划募捐3400元,购买两种款式的书包共60个,那么这两种款式的书包各买多少个?(2)在捐款活动中,由于学生捐款的积极性高涨,实际共捐款4800元,如果购买两种款式的书包共80个,那么女款书包最多能买多少个?一十四.一元一次不等式组的整数解(共4小题)21.已知关于x的不等式组恰有3个整数解,则a的取值范围是( )A. B. C. D.22.若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k,且关于y的方程2y=3+k有正整数解,则符合条件的所有整数k的和为( )A.5 B.8 C.9 D.1523.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y,且关于s的不等式组恰好有4个整数解,那么所有符合条件的整数a的个数为( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个整数m满足关于x,y的二元一次方程组的解是正整数,且关于x的不等式组有且仅有2个整数解,则m的值为 .一十五.由实际问题抽象出一元一次不等式组(共1小题)25.八年级某班级部分同学去植树,若每人平均植树7棵,还剩9棵,若每人平均植树9棵,则有1名同学植树的棵数不到8棵.若设同学人数为x人,下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )A.7x+9﹣9(x﹣1)>0B.7x+9﹣9(x﹣1)<8C.D.一十六.一次函数与一元一次不等式(共4小题)26.如图,已知:函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P(﹣2,﹣5),则根据图象可得不等式3x+b>ax﹣3的解集是( )A.x>﹣5 B.x>﹣2 C.x>﹣3 D.x<﹣227.如图,已知直线y=ax+b与直线y=x+c的交点的横坐标为1,根据图象有下列四个结论:①a<0;②c>0;③对于直线y=x+c上任意两点A(xA,yA)、B(xB,yB),若xA<xB,则yA>yB;④x>1是不等式ax+b<x+c的解集,其中正确的结论是( )A.①② B.①③ C.①④ D.③④28.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则kx+b>x+a的解集是 .29.如图,函数y=ax﹣1的图象过点(1,2),则不等式ax﹣1>2的解集是 .一十七.线段垂直平分线的性质(共1小题)30.如图,△ABC中,D是AB的中点,DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180°,EF⊥AC交AC于F,AC=12,BC=8,则AF= .一十八.等腰三角形的性质(共1小题)31.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°,则顶角的度数为 .一十九.等腰三角形的判定(共2小题)32.如图,网格中的每个小正方形的边长为1,A、B是格点,以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为( )A.7个 B.8个 C.9个 D.10个33.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=36°,以C为原点,AC所在直线为y轴,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有( )A.6个 B.7个 C.8个 D.9个二十.等腰三角形的判定与性质(共2小题)34.如图,BP是∠ABC的平分线,AP⊥BP于P,连接PC,若△ABC的面积为1cm2,则△PBC的面积为( )A.0.4cm2 B.0.5cm2 C.0.6cm2 D.不能确定35.已知在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,∠BCD=∠A.(1)如图1,试说明CD=CB的理由;(2)如图2,过点B作BE⊥AC,垂足为点E,BE与CD相交于点F.①试说明∠BCD=2∠CBE的理由;②如果△BDF是等腰三角形,求∠A的度数.二十一.等边三角形的判定与性质(共1小题)36.数学课上,李老师出示了如下的题目:“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况,探索结论当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“>”,“<”或“=”).(2)特例启发,解答题目解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).二十二.含30度角的直角三角形(共1小题)37.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4cm,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为VP=2cm/s,VQ=1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?二十三.勾股定理(共4小题)38.如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为( )A.9 B.8 C.7 D.639.如图,以Rt△ABC的三条边作三个正三角形,则S1、S2、S3、S4的关系为( )A.S1+S2+S3=S4 B.S1+S2=S3+S4C.S1+S3=S2+S4 D.不能确定40.如图,分别以直角三角形三边向外作三个半圆,若S1=30,S2=40,则S3= .41.如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,M,N是△ABC边上的两个动点,其中点N从点A开始沿A→B方向运动,且速度为2cm/s,点M从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为4cm/s,它们同时出发,设运动的时间为t s.(1)出发2s后,求MN的长;(2)当点M在边BC上运动时,出发几秒钟,△MNB是等腰三角形?(3)当点M在边CA上运动时,求能使△BCM成为等腰三角形的t的值.二十四.勾股定理的证明(共3小题)42.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m>n).若小正方形面积为5,(m+n)2=21,则大正方形面积为( )A.12 B.13 C.14 D.1543.如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形.连结DG并延长,交BC于点P,点P为BC的中点.若EF=2,则AE的长为( )A.4 B. C. D.44.如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=60,则S2的值是( )A.12 B.15 C.20 D.30二十五.三角形中位线定理(共2小题)45.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则△ABC的周长是( )A.28 B.32 C.18 D.2546.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE、BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.(1)求证:FG=FH;(2)若∠A=90°,求证:FG⊥FH;(3)若∠A=80°,求∠GFH的度数.二十六.多边形内角与外角(共5小题)47.如图,在四边形ABCD中,∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,且∠D+∠C=210°,则∠P=( )A.10° B.15° C.30° D.40°48.如图,七边形ABCDEFG中,AB、ED的延长线交于点O,若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°,则∠BOD的度数为( )A.30° B.35° C.40° D.45°49.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是( )A.240° B.360° C.540° D.720°50.如图,小明从O点出发,前进6米后向右转20°,再前进6米后又向右转20°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点O时一共走了( )A.72米 B.108米 C.144米 D.120米51.已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°.(1)求这个正多边形一个内角的度数;(2)求这个正多边形的内角和.二十七.平行四边形的性质(共1小题)52.如图,平行四边形ABCD中∠A=60°,AB=6cm,AD=3cm,点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动,同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动,当一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设运动的时间为t(s).(1)求平行四边形ABCD的面积;(2)求当t=2s时,求△AEF的面积;(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时,求t的值.二十八.平行四边形的判定与性质(共1小题)53.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠BCD=90°,AB=DC=4,AD=BC=8.延长BC到E,使CE=3,连接DE,由直角三角形的性质可知DE=5.动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P运动的时间为t秒.(t>0)(1)当t=3时,BP= ;(2)当t= 时,点P运动到∠B的角平分线上;(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S;(4)当0<t<6时,直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值.二十九.平移的性质(共1小题)54.如图:直角△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,则内部五个小直角三角形的周长为 .三十.旋转的性质(共5小题)55.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,连接DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为 cm.56.如图,在△ABC中,AB=6,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,则阴影部分的面积为 .57.如图,∠AOB=120°,点P为∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:①PM=PN;②OM+ON=OP;③四边形PMON的面积保持不变;④△PMN的周长保持不变.其中说法正确的是 (填序号).58.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,12),点B为x轴上一动点,以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC.若点P为OA的中点,连接PC,则PC的长的最小值为 .59.阅读下面材料,并解决问题:(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数.为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB= ;(2)基本运用请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题已知如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2;(3)能力提升如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值.三十一.关于原点对称的点的坐标(共1小题)60.若点P1(2﹣m,5)关于原点对称的点是P2(3,2n+1),则m﹣n的值为( )A.6 B.﹣3 C.8 D.921世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)21世纪教育网(www.21cnjy.com)期末复习易错题(31个考点60题)一.因式分解的意义(共1小题)1.仔细阅读下面的例题,并解答问题:例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.解法一:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n,∴解得n=﹣7,m=﹣21.∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21.解法二:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)∴当x=﹣3时,x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)=0即(﹣3)2﹣4×(﹣3)+m=0,解得m=﹣21∴x2﹣4x+m=x2﹣4x﹣21=(x+3)(x﹣7)∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21.问题:仿照以上一种方法解答下面问题.(1)若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3,则实数p= 1 .(2)已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5,求另一个因式及k的值.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)设另一个因式为x+a,得x2﹣px﹣6=(x﹣3)(x+a)则x2﹣px﹣6=x2+(a﹣3)x﹣3a,∴,解得a=2,p=1.故答案为:1.(2)设另一个因式为(x+n),得2x2+3x﹣k=(2x+5)(x+n)则2x2+3x﹣k=2x2+(2n+5)x+5n∴,解得n=﹣1,k=5,∴另一个因式为(x﹣1),k的值为5.二.因式分解-运用公式法(共1小题)2.若4x2﹣(k﹣1)x+9能用完全平方公式因式分解,则k的值为 13或﹣11 .【答案】见试题解答内容【解答】解:∵4x2﹣(k﹣1)x+9是一个完全平方式,∴k﹣1=±12,解得:k=13或k=﹣11,故选:13或﹣11.三.因式分解的应用(共1小题)3.已知a+b=2,则a2﹣b2+4b的值为 4 .【答案】见试题解答内容【解答】解:∵a+b=2,∴a2﹣b2+4b,=(a+b)(a﹣b)+4b,=2(a﹣b)+4b,=2a+2b,=2(a+b),=2×2,=4.故答案为:4.四.分式的基本性质(共2小题)4.如果将分式中x,y都扩大到原来的2倍,则分式的值( )A.扩大到原来的2倍 B.不变C.扩大到原来的4倍 D.缩小到原来的.【答案】A【解答】解:用2x和2y代替式子中的x和y得:,则分式的值扩大为原来的2倍.故选:A.5.若2,则 .【答案】见试题解答内容【解答】解:由2,得x+y=2xy则.故答案为.五.分式的加减法(共2小题)6.对于正数x,规定,例如:f(2),f(),f(3),f(),计算:f()+f()+f()+…+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)=( )A.199 B.200 C.201 D.202【答案】C【解答】解:∵f(1)1,f(2),f(),f(3),f(),f(4),f(),…,f(101),f(),∴f(2)+f()2,f(3)+f()2,f(4)+f()2,…,f(101)+f()2,f()+f()+f()+…+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)=2×100+1=201.故选:C.7.定义:若两个分式的差的绝对值为2,则称这两个分式属于“友好分式组”.(1)下列3组分式:①与;②与;③与.其中属于“友好分式组”的有 ②③ (只填序号);(2)若正实数a,b互为倒数,求证,分式与属于“友好分式组”;(3)若a,b均为非零实数,且分式与属于“友好分式组”,求分式的值.【答案】(1)②③;(2)证明过程见上面具体过程;(3)的值为或.【解答】解:(1)①2,②2,③||=||=2,∴属于“友好分式组”的有②③,故答案为:②③.(2)∵a,b互为倒数,∴ab=1,b,∴||=||=||=||=2,∴分式与属于“友好分式组”;(3)∵||=||=||=||,∵与属于“友好分式组”,∴||=2,∴2a2+2ab=2(a2﹣4b2)或2a2+2ab=﹣2(a2﹣4b2),①a=﹣4b,②ab=4b2﹣2a2,把①代入,把②代入,综上所述:的值为或.六.分式的混合运算(共2小题)8.试卷上一个正确的式子()÷★被小颖同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为( )A. B. C. D.【答案】A【解答】解:()÷★,∴被墨汁遮住部分的代数式是() ;故选:A.9.已知一列均不为1的数a1,a2,a3,…,an满足如下关系:a2,a3,,…,,若a1=2,则a2023的值是( )A. B. C.﹣3 D.2【答案】A【解答】解:由题意得,a1=2,a23,a3,a4,a52,……,∴an的值按照2,﹣3,,,……4次一个循环周期的规律出现,∵2023÷4=505……3,∴a2023的值是,故选:A.七.分式的化简求值(共1小题)10.先化简,再求值:,其中x=2.【答案】,原式.【解答】解: ,当x=2时,原式.八.分式方程的解(共4小题)11.已知关于x的分式方程1的解是非负数,则m的取值范围是( )A.m≥1 B.m≤1 C.m≥﹣1且m≠0 D.m≥﹣1【答案】C【解答】解:分式方程去分母得:m=x﹣1,即x=m+1,由分式方程的解为非负数,得到m+1≥0,且m+1≠1,解得:m≥﹣1且m≠0,故选:C.12.若数a使关于x的不等式组,有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程1有整数解,则满足条件的所有a的值之和是( )A.﹣10 B.﹣12 C.﹣16 D.﹣18【答案】B【解答】解:,解①得x≥﹣3,解②得x,不等式组的解集是﹣3≤x.∵仅有三个整数解,∴﹣10∴﹣8≤a<﹣3,13y﹣a﹣12=y﹣2.∴y∵y≠2,∴a≠﹣6,又y有整数解,∴a=﹣8或﹣4,所有满足条件的整数a的值之和是(﹣8)+(﹣4)=﹣12,故选:B.13.若关于x的分式方程1无解,则m的值 或 .【答案】见试题解答内容【解答】解:方程两边同乘x(x﹣3),得x(2m+x)﹣(x﹣3)x=2(x﹣3)(2m+1)x=﹣6x,当2m+1=0,方程无解,解得m.x=3时,m,x=0时,m无解.故答案为:或.14.关于x的分式方程2的解为正实数,则k的取值范围是 k>﹣2且k≠2 .【答案】k>﹣2且k≠2.【解答】解:方程2两边同乘(x﹣2),得1+2(x﹣2)=k﹣1,解得,x,∵2,∴k≠2,由题意得,0,解得,k>﹣2,∴k的取值范围是k>﹣2且k≠2.故答案为:k>﹣2且k≠2.九.解分式方程(共1小题)15.解方程2.【答案】见试题解答内容【解答】解:方程的两边同乘(x﹣3),得:2﹣x=﹣1﹣2(x﹣3),解得:x=3,检验:当x=3时,(x﹣3)=0,∴x=3是原分式方程的增根,原分式方程无解.一十.分式方程的增根(共1小题)16.(1)若解关于x的分式方程会产生增根,求m的值.(2)若方程1的解是正数,求a的取值范围.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)方程两边都乘(x+2)(x﹣2),得2(x+2)+mx=3(x﹣2)∵最简公分母为(x+2)(x﹣2),∴原方程增根为x=±2,∴把x=2代入整式方程,得m=﹣4.把x=﹣2代入整式方程,得m=6.综上,可知m=﹣4或6.(2)解:去分母,得2x+a=2﹣x解得:x,∵解为正数,∴,∴2﹣a>0,∴a<2,且x≠2,∴a≠﹣4∴a<2且a≠﹣4.一十一.分式方程的应用(共1小题)17.在“扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户.已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同.①请问甲、乙两种物品的单价各为多少?②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?【答案】见试题解答内容【解答】解:①设乙种物品单价为x元,则甲种物品单价为(x+10)元,由题意得:解得x=90经检验,x=90符合题意∴甲种物品的单价为100元,乙种物品的单价为90元.②设购买甲种物品y件,则乙种物品购进(55﹣y)件由题意得:5000≤100y+90(55﹣y)≤5050解得5≤y≤10∴共有6种选购方案.一十二.不等式的性质(共2小题)18.下列说法错误的是( )A.若a+3>b+3,则a>bB.若,则a>bC.若a>b,则ac>bcD.若a>b,则a+3>b+2【答案】C【解答】解:A、若a+3>b+3,则a>b,原变形正确,故此选项不符合题意;B、若,则a>b,原变形正确,故此选项不符合题意;C、若a>b,则ac>bc,这里必须满足c≠0,原变形错误,故此选项符合题意;D、若a>b,则a+3>b+2,原变形正确,故此选项不符合题意;故选:C.19.下列不等式说法中,不正确的是( )A.若x>y,y>2,则x>2B.若x>y,则x﹣2<y﹣2C.若x>y,则2x>2yD.若x>y,则﹣2x﹣2<﹣2y﹣2【答案】B【解答】解:A、∵x>y,y>2,∴x>2,原说法正确,故本选项不符合题意;B、∵x>y,∴x﹣2>y﹣2,原说法错误,故本选项符合题意;C、∵x>y,∴2x>2y,原说法正确,故本选项不符合题意;D、∵x>y,∴﹣2x﹣2<﹣2y﹣2,原说法正确,故本选项不符合题意;故选:B.一十三.一元一次不等式的应用(共1小题)20.某校在开展“校园献爱心”活动中,准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.已知男款书包的单价50元/个,女款书包的单价70元/个.(1)原计划募捐3400元,购买两种款式的书包共60个,那么这两种款式的书包各买多少个?(2)在捐款活动中,由于学生捐款的积极性高涨,实际共捐款4800元,如果购买两种款式的书包共80个,那么女款书包最多能买多少个?【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)设原计划买男款书包x个,则女款书包(60﹣x)个,根据题意得:50x+70(60﹣x)=3400,解得:x=40,60﹣x=60﹣40=20,答:原计划买男款书包40个,则女款书包20个.(2)设女款书包能买y个,则男款书包(80﹣y)个,根据题意得:70y+50(80﹣y)≤4800,解得:y≤40,∴女款书包最多能买40个.一十四.一元一次不等式组的整数解(共4小题)21.已知关于x的不等式组恰有3个整数解,则a的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解答】解:由于不等式组有解,则,必定有整数解0,∵,∴三个整数解不可能是﹣2,﹣1,0.若三个整数解为﹣1,0,1,则不等式组无解;若三个整数解为0,1,2,则;解得.故选:B.22.若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k,且关于y的方程2y=3+k有正整数解,则符合条件的所有整数k的和为( )A.5 B.8 C.9 D.15【答案】B【解答】解:,解不等式①得x≤k,解不等式②得x<7,由题意得k<7,解关于y的方程2y=3+k得,y,由题意得,1,解得k≥﹣1,∴k的取值范围为:﹣1≤k<7,且k为整数,∴k的取值为﹣1,0,1,2,3,4,5,6,当k=﹣1时,y1,当k=0时,y,当k=1时,y2,当k=2时,y,当k=3时,y3,当k=4时,y,当k=5时,y4,当k=6时,y,∵为整数,且k为整数,∴符合条件的整数k为﹣1,1,3,5,∵﹣1+1+3+5=8,∴符合条件的所有整数k的和为8.故选:B.23.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y,且关于s的不等式组恰好有4个整数解,那么所有符合条件的整数a的个数为( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】C【解答】解:解方程组得:,∵x≥y,∴a+1a﹣2,解得:a,解不等式组得s≤1,∵关于s的不等式组恰好有4个整数解(﹣2,﹣1,0,1),∴﹣32,解得:﹣2≤a<1,∵a,∴a<1,∴所有符合条件的整数a有﹣1,0,共有2个,故选:C.24.整数m满足关于x,y的二元一次方程组的解是正整数,且关于x的不等式组有且仅有2个整数解,则m的值为 5 .【答案】m的值是5.【解答】解:由二元一次方程组,得,∵二元一次方程组解是正整数,∴,解得,m,∴m=5或6,m=5时,x=3,y=2,当m=6时,x=1.5不符合题意,舍去;∴m=5.由不等式组得x≤6,∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解,∴45,解得,5≤m,∴m的值是5.故m的值是5.一十五.由实际问题抽象出一元一次不等式组(共1小题)25.八年级某班级部分同学去植树,若每人平均植树7棵,还剩9棵,若每人平均植树9棵,则有1名同学植树的棵数不到8棵.若设同学人数为x人,下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )A.7x+9﹣9(x﹣1)>0B.7x+9﹣9(x﹣1)<8C.D.【答案】C【解答】解:(x﹣1)位同学植树棵数为9×(x﹣1),∵有1位同学植树的棵数不到8棵.植树的棵数为(7x+9)棵,∴可列不等式组为:,即.故选:C.一十六.一次函数与一元一次不等式(共4小题)26.如图,已知:函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P(﹣2,﹣5),则根据图象可得不等式3x+b>ax﹣3的解集是( )A.x>﹣5 B.x>﹣2 C.x>﹣3 D.x<﹣2【答案】B【解答】解:∵函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P(﹣2,﹣5),则根据图象可得不等式3x+b>ax﹣3的解集是x>﹣2,故选:B.27.如图,已知直线y=ax+b与直线y=x+c的交点的横坐标为1,根据图象有下列四个结论:①a<0;②c>0;③对于直线y=x+c上任意两点A(xA,yA)、B(xB,yB),若xA<xB,则yA>yB;④x>1是不等式ax+b<x+c的解集,其中正确的结论是( )A.①② B.①③ C.①④ D.③④【答案】C【解答】解:∵直线y=ax+b,y随x的增大而减小,∴a<0,①正确;∵直线y=x+c与y轴交于负半轴,∴c<0,②错误;直线y=x+c中,k=1>0,∴y随x的增大而增大,∴xA<xB,则yA<yB,③错误;x>1是不等式ax+b<x+c的解集,④正确;故选:C.28.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则kx+b>x+a的解集是 x<﹣2 .【答案】见试题解答内容【解答】解:由图象得:不等式组kx+b>x+a的解集是x<﹣2.故答案为:x<﹣2.29.如图,函数y=ax﹣1的图象过点(1,2),则不等式ax﹣1>2的解集是 x>1 .【答案】见试题解答内容【解答】解:方法一∵把(1,2)代入y=ax﹣1得:2=a﹣1,解得:a=3,∴y=3x﹣1>2,解得:x>1,方法二:根据图象可知:y=ax﹣1>2的x的范围是x>1,即不等式ax﹣1>2的解集是x>1,故答案为:x>1.一十七.线段垂直平分线的性质(共1小题)30.如图,△ABC中,D是AB的中点,DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180°,EF⊥AC交AC于F,AC=12,BC=8,则AF= 10 .【答案】见试题解答内容【解答】解:连接AE,BE,过E作EG⊥BC于G,∵D是AB的中点,DE⊥AB,∴DE垂直平分AB,∴AE=BE,∵∠ACE+∠BCE=180°,∠ECG+∠BCE=180°,∴∠ACE=∠ECG,又∵EF⊥AC,EG⊥BC,∴EF=EG,∠FEC=∠GEC,∵CF⊥EF,CG⊥EG,∴CF=CG,在Rt△AEF和Rt△BEG中,,∴Rt△AEF≌Rt△BEG(HL),∴AF=BG,设CF=CG=x,则AF=AC﹣CF=12﹣x,BG=BC+CG=8+x,∴12﹣x=8+x,解得x=2,∴AF=12﹣2=10.故答案为:10.一十八.等腰三角形的性质(共1小题)31.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°,则顶角的度数为 115°或65° .【答案】见试题解答内容【解答】解:①如图1,当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+25°=115°;②如图2,当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,故顶角是90°﹣25°=65°.故答案为:115°或65°.一十九.等腰三角形的判定(共2小题)32.如图,网格中的每个小正方形的边长为1,A、B是格点,以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为( )A.7个 B.8个 C.9个 D.10个【答案】B【解答】解:如图所示,以A为圆心,AB长为半径画弧,则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置;以B为圆心,AB长为半径画弧,则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置;作线段AB的垂直平分线,垂直平分线没有经过格点.故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个.故选:B.33.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=36°,以C为原点,AC所在直线为y轴,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有( )A.6个 B.7个 C.8个 D.9个【答案】C【解答】解:如图,①以A为圆心,AB为半径画圆,交直线AC有二点M1,M2,交BC有一点M3,(此时AB=AM);②以B为圆心,BA为半径画圆,交直线BC有二点M5,M4,交AC有一点M6(此时BM=BA).③AB的垂直平分线交AC一点M7(MA=MB),交直线BC于点M8;∴符合条件的点有8个.故选:C.二十.等腰三角形的判定与性质(共2小题)34.如图,BP是∠ABC的平分线,AP⊥BP于P,连接PC,若△ABC的面积为1cm2,则△PBC的面积为( )A.0.4cm2 B.0.5cm2 C.0.6cm2 D.不能确定【答案】B【解答】解:如图,延长AP交BC于E,∵BP平分∠ABC,∴∠ABP=∠EBP,∵AP⊥BP,∴∠APB=∠EPB=90°,∴△ABP≌△EBP(ASA),∴AP=PE,∴S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP,∴S△PBCS△ABC1=0.5(cm2),故选:B.35.已知在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,∠BCD=∠A.(1)如图1,试说明CD=CB的理由;(2)如图2,过点B作BE⊥AC,垂足为点E,BE与CD相交于点F.①试说明∠BCD=2∠CBE的理由;②如果△BDF是等腰三角形,求∠A的度数.【答案】(1)说明过程见解答;(2)①说明过程见解答;②如果△BDF是等腰三角形,∠A的度数为45°或36°.【解答】解:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠BDC是△ADC的一个外角,∴∠BDC=∠A+∠ACD,∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,∴∠BDC=∠ACB,∴∠ABC=∠BDC.∴CD=CB;(2)①∵BE⊥AC,∴∠BEC=90°,∴∠CBE+∠ACB=90°,设∠CBE=α,则∠ACB=90°﹣α,∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°﹣α,∴∠BCD=180°﹣∠BDC﹣∠ABC=180°﹣(90°﹣α)﹣(90°﹣α)=2α,∴∠BCD=2∠CBE;②∵∠BFD是△CBF的一个外角,∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α,分三种情况:当BD=BF时,∴∠BDC=∠BFD=3α,∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°﹣α,∴90°﹣α=3α,∴α=22.5°,∴∠A=∠BCD=2α=45°;当DB=DF时,∴∠DBE=∠BFD=3α,∵∠DBE=∠ABC﹣∠CBE=90°﹣α﹣α=90°﹣2α,∴90°﹣2α=3α,∴α=18°,∴∠A=∠BCD=2α=36°;当FB=FD时,∴∠DBE=∠BDF,∵∠BDF=∠ABC>∠DBF,∴不存在FB=FD,综上所述:如果△BDF是等腰三角形,∠A的度数为45°或36°.二十一.等边三角形的判定与性质(共1小题)36.数学课上,李老师出示了如下的题目:“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:(1)特殊情况,探索结论当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE = DB(填“>”,“<”或“=”).(2)特例启发,解答题目解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE = DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)(3)拓展结论,设计新题在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)故答案为:=.(2)过E作EF∥BC交AC于F,∵等边三角形ABC,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,∴AE=EF=AF,∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,∵DE=EC,∴∠D=∠ECD,∴∠BED=∠ECF,在△DEB和△ECF中,∴△DEB≌△ECF(AAS),∴BD=EF=AE,即AE=BD,故答案为:=.(3)解:CD=1或3,理由是:分为两种情况:①如图1过A作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,则AM∥EN,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC,∴BM=CMBC,∵DE=CE,EN⊥BC,∴CD=2CN,∵AB=1,AE=2,∴AB=BE=1,∵EN⊥DC,AM⊥BC,∴∠AMB=∠ENB=90°,在△ABM和△EBN中,,∴△AMB≌△ENB(AAS),∴BN=BM,∴CN=1,∴CD=2CN=3;②如图2,作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,则AM∥EN,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC=1,∵AM⊥BC,∴BM=CMBC,∵DE=CE,EN⊥BC,∴CD=2CN,∵AM∥EN,∴,∴,∴MN=1,∴CN=1,∴CD=2CN=1,即CD=3或1.二十二.含30度角的直角三角形(共1小题)37.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4cm,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为VP=2cm/s,VQ=1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?【答案】(1);(2)或t=1.【解答】解:在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠B=60°.∵4÷2=2,∴0≤t≤2,BP=(4﹣2t)cm,BQ=t cm.(1)当BP=BQ时,△PBQ为等边三角形.即4﹣2t=t.∴.当时,△PBQ为等边三角形;(2)若△PBQ为直角三角形,①当∠BQP=90°时,BP=2BQ,即4﹣2t=2t,∴t=1.②当∠BPQ=90°时,BQ=2BP,即t=2(4﹣2t),∴.即当或t=1时,△PBQ为直角三角形.二十三.勾股定理(共4小题)38.如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为( )A.9 B.8 C.7 D.6【答案】D【解答】解:由题意得:MN是AC的垂直平分线,∴AC=2AE=8,DA=DC,∴∠DAC=∠C,∵BD=CD,∴BD=AD,∴∠B=∠BAD,∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°,∴2∠BAD+2∠DAC=180°,∴∠BAD+∠DAC=90°,∴∠BAC=90°,在Rt△ABC中,BC=BD+CD=2AD=10,∴AB6,故选:D.39.如图,以Rt△ABC的三条边作三个正三角形,则S1、S2、S3、S4的关系为( )A.S1+S2+S3=S4 B.S1+S2=S3+S4C.S1+S3=S2+S4 D.不能确定【答案】C【解答】解:如图,设Rt△ABC的三条边AB=c,AC=b,BC=a,∵△ACG,△BCH,△ABF是等边三角形,∴S1=S△ACG﹣S5b2﹣S5,S3=S△BCH﹣S6a2﹣S6,∴S1+S3(a2+b2)﹣S5﹣S6,∵S2+S4=S△ABF﹣S5﹣S6c2﹣S5﹣S6,∵c2=a2+b2,∴S1+S3=S2+S4,故选:C.40.如图,分别以直角三角形三边向外作三个半圆,若S1=30,S2=40,则S3= 70 .【答案】见试题解答内容【解答】解:设直角三角形三边分别为a、b、c,如图所示:则S1π()2,S2π()2,S3π()2.因为a2+b2=c2,所以.即S1+S2=S3.所以S3=70.41.如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,M,N是△ABC边上的两个动点,其中点N从点A开始沿A→B方向运动,且速度为2cm/s,点M从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为4cm/s,它们同时出发,设运动的时间为t s.(1)出发2s后,求MN的长;(2)当点M在边BC上运动时,出发几秒钟,△MNB是等腰三角形?(3)当点M在边CA上运动时,求能使△BCM成为等腰三角形的t的值.【答案】(1)MN的长为4cm.(2)出发s后△MNB是等腰三角形.(3)当t的值为6.6或6或5.5时,△BCM为等腰三角形.【解答】解:(1)当t=2时,AN=2t=4cm,BM=2t=8cm.∵AB=16cm,∴BN=AB﹣AN=16﹣4=12(cm),在Rt△BPQ中,由勾股定理可得,MN4(cm),即MN的长为4cm.(2)由题意可知AN=2t,BM=4t,又∵AB=16cm,∴BN=AB﹣AN=(16﹣2t)cm,当△MNB为等腰三角形时,则有BM=BN,∴16﹣2t=4t,解得t,∴出发s后△MNB是等腰三角形.(3)在△ABC中,由勾股定理可求得AC=20cm,当点M在AC上运动时,AM=BC+AC﹣4t=32﹣4t,∴CM=AC﹣AM=20﹣(32﹣4t)=4t﹣12,∵△BCM为等腰三角形,∴有BM=BC,CM=BC和CM=BM三种情况:①当BM=BC=12时,如图,过B作BE⊥AC,则CECM=2t﹣6,在Rt△ABC中,可求得BE;在Rt△BCE中,由勾股定理可得BC2=BE2+CE2,即122=()2+(2t﹣6)2,解得t=6.6或t=﹣0.6(舍去),②当CM=BC=12时,则4t﹣12=12,解得t=6,③当CM=BM时,则∠C=∠MBC,∵∠C+∠A=90°=∠CBM+∠MBA,∴∠A=∠MBA,∴MB=MA,∴CM=AM=10,即4t﹣12=10,解得t=5.5,综上可知,当t的值为6.6或6或5.5时,△BCM为等腰三角形.二十四.勾股定理的证明(共3小题)42.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m>n).若小正方形面积为5,(m+n)2=21,则大正方形面积为( )A.12 B.13 C.14 D.15【答案】B【解答】解:由题意可知,中间小正方形的边长为m﹣n,∴(m﹣n)2=5,即m2+n2﹣2mn=5①,∵(m+n)2=21,∴m2+n2+2mn=21②,①+②得2(m2+n2)=26,∴大正方形的面积为:m2+n2=13,故选:B.43.如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形.连结DG并延长,交BC于点P,点P为BC的中点.若EF=2,则AE的长为( )A.4 B. C. D.【答案】C【解答】解:由题意,EF=HG=FG=2,AD∥BC,BG⊥HC,DH⊥HG,∠ADE=∠GBP,∴∠ADG=∠GPC.∵点P为BC的中点,∴PB=PG=PC.∴∠BGP=∠GBP,∠GPC=2∠GBP.∴∠GPC﹣∠ADE=2∠GBP﹣∠ADE,即∠GDH=∠GBP.∴△GDH∽△CBG.∴,即.设AE=BF=HD=x,∴.∴x=1或x=1(舍去).故选:C.44.如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=60,则S2的值是( )A.12 B.15 C.20 D.30【答案】C【解答】解:设每个小直角三角形的面积为m,则S1=4m+S2,S3=S2﹣4m,因为S1+S2+S3=60,所以4m+S2+S2+S2﹣4m=60,即3S2=60,解得S2=20.故选:C.二十五.三角形中位线定理(共2小题)45.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则△ABC的周长是( )A.28 B.32 C.18 D.25【答案】D【解答】解:延长线段BN交AC于E.∵AN平分∠BAC,∴∠BAN=∠EAN,AN=AN,∠ANB=∠ANE=90°,∴△ABN≌△AEN,∴AE=AB=6,BN=NE,又∵M是△ABC的边BC的中点,∴CE=2MN=2×1.5=3,∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25,故选:D.46.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE、BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.(1)求证:FG=FH;(2)若∠A=90°,求证:FG⊥FH;(3)若∠A=80°,求∠GFH的度数.【答案】见试题解答内容【解答】(1)证明:∵AB=AC,点D,E分别是边AB,AC的中点,∴BD=EC,∵点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点,∴FG∥BD,GF,FH∥EC,FH,∴FG=FH;(2)证明:由(1)FG∥BD,又∵∠A=90°,∴FG⊥AC,∵FH∥EC,∴FG⊥FH;(3)解:延长FG交AC于点K,∵FG∥BD,∠A=80°,∴∠FKC=∠A=80°,∵FH∥EC,∴∠GFH=180°﹣∠FKC=100°.二十六.多边形内角与外角(共5小题)47.如图,在四边形ABCD中,∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,且∠D+∠C=210°,则∠P=( )A.10° B.15° C.30° D.40°【答案】B【解答】解:如图,∵∠D+∠C=210°,∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360°,∴∠DAB+∠ABC=150°.又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,∴∠PAB+∠ABP∠DAB+∠ABC(180°﹣∠ABC)=90°(∠DAB+∠ABC)=165°,∴∠P=180°﹣(∠PAB+∠ABP)=15°.故选:B.48.如图,七边形ABCDEFG中,AB、ED的延长线交于点O,若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°,则∠BOD的度数为( )A.30° B.35° C.40° D.45°【答案】B【解答】解:∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°,∵五边形OAGFE内角和=(5﹣2)×180°=540°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°,∴∠BOD=540°﹣505°=35°,故选:B.49.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是( )A.240° B.360° C.540° D.720°【答案】B【解答】解:如图,AC、DF与BE分别相交于点M、N,在四边形NMCD中,∠MND+∠CMN+∠C+∠D=360°,∵∠CMN=∠A+∠E,∠MND=∠B+∠F,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°,故选:B.50.如图,小明从O点出发,前进6米后向右转20°,再前进6米后又向右转20°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点O时一共走了( )A.72米 B.108米 C.144米 D.120米【答案】B【解答】解:依题意可知,小陈所走路径为正多边形,设这个正多边形的边数为n,则20n=360,解得n=18,∴他第一次回到出发点O时一共走了:6×18=108(米),故选:B.51.已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°.(1)求这个正多边形一个内角的度数;(2)求这个正多边形的内角和.【答案】(1)140°;(2)1260°.【解答】解:(1)设这个正多边形的一个外角的度数为x°,根据题意得180﹣x=3x+20,解得x=40,180°﹣x°=140°,所以这个正多边形一个内角的度数140°;(2)因为这个正多边形的一个外角的度数为40°,所以这个正多边形边数=360°÷40°=9,所以这个正多边形的内角和是(9﹣2)×180°=1260°.二十七.平行四边形的性质(共1小题)52.如图,平行四边形ABCD中∠A=60°,AB=6cm,AD=3cm,点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动,同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动,当一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设运动的时间为t(s).(1)求平行四边形ABCD的面积;(2)求当t=2s时,求△AEF的面积;(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时,求t的值.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)平行四边形ABCD中,∵∠A=60°,AB=6cm,AD=3cm,∴CD=AB=6cm,BC=AD=3cm,如图,过点B作BG⊥CD于点G,∴∠BGC=90°,∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠A=∠C=60°,在Rt△BCG中,∠CBG=30°,∴CGBCcm,∴BG(cm),∴平行四边形ABCD的面积为:CD×BG=69(cm2).答:平行四边形ABCD的面积为9cm2;(2)当t=2s时,AE=2×1=2cm,AF=2×1=2cm,∵∠A=60°,∴△AEF是等边三角形,如图,过点F作FH⊥AE于点H,∴FHAF(cm),∴△AEF的面积为:AE×FH2(cm2),答:当t=2s时,△AEF的面积为cm2;(3)∵由(1)知平行四边形ABCD的面积为9cm2.∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时,△AEF的面积为:93(cm2),当点E在线段AB上运动t秒时,点F在AD上运动t秒,(0<t≤3),AE=t cm,AF=t cm,高为AFt(cm),∴tt=3,∴t=23,不符合题意舍去;当点E在线段AB上运动t秒时,点F在CD上运动t秒,(3<t≤6),∴t3,∴t=4,符合题意;当点E′运动到线段BC上时,且运动时间为t秒时,点F′也运动到线段CD上,(6<t<9),如图,过点E′作MN垂直CD于点H,垂直于AB延长线于点G,∵四边形ABCD为平行四边形,∠A=∠C=60°,CD=AB=6cm,BC=AD=3cm,∴AB∥CD,∴∠E′BG=∠C=60°,∴E′GBE′(t﹣6)(cm),E′H=1.5(t﹣6)(9﹣t)(cm),∴S△AEF=96(t﹣6)[6﹣(t﹣3)]×[(9﹣t)](t﹣3)×1.53,化简得:t2﹣9t+12=0,∴t(不符合题意,舍)或t,当t时,点E位于线段BC上,点F位于线段CD上,符合题意.综上所述,t的值为4或.二十八.平行四边形的判定与性质(共1小题)53.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠BCD=90°,AB=DC=4,AD=BC=8.延长BC到E,使CE=3,连接DE,由直角三角形的性质可知DE=5.动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P运动的时间为t秒.(t>0)(1)当t=3时,BP= 6 ;(2)当t= 8 时,点P运动到∠B的角平分线上;(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S;(4)当0<t<6时,直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)BP=2t=2×3=6,故答案为:6;(2)作∠B的角平分线交AD于F,∴∠ABF=∠FBC,∵∠A=∠ABC=∠BCD=90°,∴四边形ABCD是矩形,∵AD∥BC,∴∠AFB=∠FBC,∴∠ABF=∠AFB,∴AF=AB=4,∴DF=AD﹣AF=8﹣4=4,∴BC+CD+DF=8+4+4=16,∴2t=16,解得t=8.∴当t=8时,点P运动到∠ABC的角平分线上;故答案为:8;(3)根据题意分3种情况讨论:①当点P在BC上运动时,S△ABPBP×AB2t×4=4t;(0<t<4);②当点P在CD上运动时,S△ABPAB×BC4×8=16;(4≤t≤6);③当点P在AD上运动时,S△ABPAB×AP4×(20﹣2t)=﹣4t+40;(6<t≤10);(4)当0<t<6时,点P在BC、CD边上运动,根据题意分情况讨论:①当点P在BC上,点P到四边形ABED相邻两边距离相等,∴点P到AD边的距离为4,∴点P到AB边的距离也为4,即BP=4,∴2t=4,解得t=2s;②当点P在BC上,点P到AD边的距离为4,∴点P到DE边的距离也为4,∴PE=DE=5,∴PC=PE﹣CE=2,∴8﹣2t=2,解得t=3s;③当点P在CD上,如图,过点P作PH⊥DE于点H,点P到DE、BE边的距离相等,即PC=PH,∵PC=2t﹣8,∵S△DCE=S△DPE+S△PCE,∴3×45×PH3×PC,∴12=8PH,∴12=8(2t﹣8),解得t.综上所述:t=2或t=3或t时,点P到四边形ABED相邻两边距离相等.二十九.平移的性质(共1小题)54.如图:直角△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,则内部五个小直角三角形的周长为 30 .【答案】见试题解答内容【解答】解:由图形可以看出:内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的,故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=30.故答案为:30.三十.旋转的性质(共5小题)55.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,连接DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为 42 cm.【答案】见试题解答内容【解答】解:∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,∴△ABC≌△BDE,∠CBD=60°,∴BD=BC=12cm,∴△BCD为等边三角形,∴CD=BC=CD=12cm,在Rt△ACB中,AB13,△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42(cm),故答案为:42.56.如图,在△ABC中,AB=6,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,则阴影部分的面积为 9 .【答案】见试题解答内容【解答】解:∵在△ABC中,AB=6,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,∴△ABC≌△A1BC1,∴A1B=AB=6,∴△A1BA是等腰三角形,∠A1BA=30°,如图,过A1作A1D⊥AB于D,则A1DA1B=3,∴S△A1BA6×3=9,又∵S阴影=S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC,S△A1BC1=S△ABC,∴S阴影=S△A1BA=9.故答案为:9.57.如图,∠AOB=120°,点P为∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:①PM=PN;②OM+ON=OP;③四边形PMON的面积保持不变;④△PMN的周长保持不变.其中说法正确的是 ①②③ (填序号).【答案】①②③.【解答】解:过点P作PE⊥OA,垂足为E,过点P作PF⊥OB,垂足为F,∴∠PEO=90°,∠PFO=90°,∵∠AOB=120°,∴∠EPF=360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠PFO=60°,∵∠MPN+∠AOB=180°,∴∠MPN=180°﹣∠AOB=60°,∴∠MPN﹣∠EPN=∠EPF﹣∠EPN,∴∠MPE=∠NPF,∵OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,∴PE=PF,∵∠MEP=∠NFP=90°,∴△MEP≌△NFP(ASA),∴PM=PN,ME=NF,故①正确;∵OP=OP,∴Rt△PEO≌Rt△PFO(HL),∴OE=OF,∴OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE,∵OP平分∠AOB,∴∠EOP∠AOB=60°,∴∠EPO=90°﹣∠EOP=30°,∴PO=2OE,∴OM+ON=OP,故②正确;∵△MEP≌△NFP,∴四边形PMON的面积=四边形PEOF的面积,∴四边形PMON的面积保持不变,故③正确;∵PM=PN,∠MPN=60°,∴△PMN是等边三角形,∵MN的长度是变化的,∴△PMN的周长是变化的,故④错误;所以,说法正确的是:①②③,故答案为:①②③.58.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,12),点B为x轴上一动点,以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC.若点P为OA的中点,连接PC,则PC的长的最小值为 9 .【答案】见试题解答内容【解答】解:如图,以AP为边作等边三角形APE,连接BE,过点E作EF⊥AP于F,∵点A的坐标为(0,12),∴OA=12,∵点P为OA的中点,∴AP=6,∵△AEP是等边三角形,EF⊥AP,∴AF=PF=3,AE=AP,∠EAP=∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAP,在△ABE和△ACP中,,∴△ABE≌△ACP(SAS),∴BE=PC,∴当BE有最小值时,PC有最小值,即BE⊥x轴时,BE有最小值,∴BE的最小值为OF=OP+PF=6+3=9,∴PC的最小值为9,故答案为:9.59.阅读下面材料,并解决问题:(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数.为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB= 150° ;(2)基本运用请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题已知如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2;(3)能力提升如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值.【答案】见试题解答内容【解答】解:(1)∵△ACP′≌△ABP,∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB,由题意知旋转角∠PA P′=60°,∴△AP P′为等边三角形,P P′=AP=3,∠A P′P=60°,易证△P P′C为直角三角形,且∠P P′C=90°,∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C=60°+90°=150°;故答案为:150°;(2)如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′,由旋转的性质得,AE′=AE,CE′=BE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′=90°,∵∠EAF=45°,∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°,∴∠EAF=∠E′AF,在△EAF和△E′AF中,∴△EAF≌△E′AF(SAS),∴E′F=EF,∵∠CAB=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠E′CF=45°+45°=90°,由勾股定理得,E′F2=CE′2+FC2,即EF2=BE2+FC2.(3)如图3,将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处,连接OO′,∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2,∴BC,∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,∴△A′O′B如图所示;∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°,∵∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2AC=2,∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′O′B,∴A′B=AB=2,BO=BO′,A′O′=AO,∴△BOO′是等边三角形,∴BO=OO′,∠BOO′=∠BO′O=60°,∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BOO′=120°+60°=180°,∴C、O、A′、O′四点共线,在Rt△A′BC中,A′C,∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C.三十一.关于原点对称的点的坐标(共1小题)60.若点P1(2﹣m,5)关于原点对称的点是P2(3,2n+1),则m﹣n的值为( )A.6 B.﹣3 C.8 D.9【答案】C【解答】解:∵点P1(2﹣m,5)关于原点对称的点是P2(3,2n+1),∴2﹣m+3=0,5+2n+1=0,解得m=5,n=﹣3,所以,m﹣n=5﹣(﹣3)=5+3=8.故选:C.声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2025/5/16 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