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期末复习易错题(31个考点60题)
一.因式分解的意义(共1小题)
1.仔细阅读下面的例题,并解答问题:
例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.
解法一:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n,
∴解得n=﹣7,m=﹣21.
∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21.
解法二:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
∴当x=﹣3时,x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)=0
即(﹣3)2﹣4×(﹣3)+m=0,解得m=﹣21
∴x2﹣4x+m=x2﹣4x﹣21=(x+3)(x﹣7)
∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21.
问题:仿照以上一种方法解答下面问题.
(1)若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3,则实数p= .
(2)已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5,求另一个因式及k的值.
二.因式分解-运用公式法(共1小题)
2.若4x2﹣(k﹣1)x+9能用完全平方公式因式分解,则k的值为 .
三.因式分解的应用(共1小题)
3.已知a+b=2,则a2﹣b2+4b的值为 .
四.分式的基本性质(共2小题)
4.如果将分式中x,y都扩大到原来的2倍,则分式的值( )
A.扩大到原来的2倍 B.不变
C.扩大到原来的4倍 D.缩小到原来的.
5.若2,则 .
五.分式的加减法(共2小题)
6.对于正数x,规定,例如:f(2),f(),f(3),f(),计算:f()+f()+f()+…+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)=( )
A.199 B.200 C.201 D.202
7.定义:若两个分式的差的绝对值为2,则称这两个分式属于“友好分式组”.
(1)下列3组分式:
①与;②与;③与.其中属于“友好分式组”的有 (只填序号);
(2)若正实数a,b互为倒数,求证,分式与属于“友好分式组”;
(3)若a,b均为非零实数,且分式与属于“友好分式组”,求分式的值.
六.分式的混合运算(共2小题)
8.试卷上一个正确的式子()÷★被小颖同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为( )
A. B. C. D.
9.已知一列均不为1的数a1,a2,a3,…,an满足如下关系:a2,a3,,…,,若a1=2,则a2023的值是( )
A. B. C.﹣3 D.2
七.分式的化简求值(共1小题)
10.先化简,再求值:,其中x=2.
八.分式方程的解(共4小题)
11.已知关于x的分式方程1的解是非负数,则m的取值范围是( )
A.m≥1 B.m≤1 C.m≥﹣1且m≠0 D.m≥﹣1
12.若数a使关于x的不等式组,有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程1有整数解,则满足条件的所有a的值之和是( )
A.﹣10 B.﹣12 C.﹣16 D.﹣18
13.若关于x的分式方程1无解,则m的值 .
14.关于x的分式方程2的解为正实数,则k的取值范围是 .
九.解分式方程(共1小题)
15.解方程2.
一十.分式方程的增根(共1小题)
(1)若解关于x的分式方程会产生增根,求m的值
若方程1的解是正数,求a的取值范围.
一十一.分式方程的应用(共1小题)
17.在“扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户.已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同.
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少?
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?
一十二.不等式的性质(共2小题)
18.下列说法错误的是( )
A.若a+3>b+3,则a>b
B.若,则a>b
C.若a>b,则ac>bc
D.若a>b,则a+3>b+2
19.下列不等式说法中,不正确的是( )
A.若x>y,y>2,则x>2
B.若x>y,则x﹣2<y﹣2
C.若x>y,则2x>2y
D.若x>y,则﹣2x﹣2<﹣2y﹣2
一十三.一元一次不等式的应用(共1小题)
20.某校在开展“校园献爱心”活动中,准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.已知男款书包的单价50元/个,女款书包的单价70元/个.
(1)原计划募捐3400元,购买两种款式的书包共60个,那么这两种款式的书包各买多少个?
(2)在捐款活动中,由于学生捐款的积极性高涨,实际共捐款4800元,如果购买两种款式的书包共80个,那么女款书包最多能买多少个?
一十四.一元一次不等式组的整数解(共4小题)
21.已知关于x的不等式组恰有3个整数解,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
22.若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k,且关于y的方程2y=3+k有正整数解,则符合条件的所有整数k的和为( )
A.5 B.8 C.9 D.15
23.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y,且关于s的不等式组恰好有4个整数解,那么所有符合条件的整数a的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
整数m满足关于x,y的二元一次方程组的解是正整数,且关于x的不等式组有且仅有2个整数解,则m的值为 .
一十五.由实际问题抽象出一元一次不等式组(共1小题)
25.八年级某班级部分同学去植树,若每人平均植树7棵,还剩9棵,若每人平均植树9棵,则有1名同学植树的棵数不到8棵.若设同学人数为x人,下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A.7x+9﹣9(x﹣1)>0
B.7x+9﹣9(x﹣1)<8
C.
D.
一十六.一次函数与一元一次不等式(共4小题)
26.如图,已知:函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P(﹣2,﹣5),则根据图象可得不等式3x+b>ax﹣3的解集是( )
A.x>﹣5 B.x>﹣2 C.x>﹣3 D.x<﹣2
27.如图,已知直线y=ax+b与直线y=x+c的交点的横坐标为1,根据图象有下列四个结论:①a<0;②c>0;③对于直线y=x+c上任意两点A(xA,yA)、B(xB,yB),若xA<xB,则yA>yB;④x>1是不等式ax+b<x+c的解集,其中正确的结论是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
28.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则kx+b>x+a的解集是 .
29.如图,函数y=ax﹣1的图象过点(1,2),则不等式ax﹣1>2的解集是 .
一十七.线段垂直平分线的性质(共1小题)
30.如图,△ABC中,D是AB的中点,DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180°,EF⊥AC交AC于F,AC=12,BC=8,则AF= .
一十八.等腰三角形的性质(共1小题)
31.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°,则顶角的度数为 .
一十九.等腰三角形的判定(共2小题)
32.如图,网格中的每个小正方形的边长为1,A、B是格点,以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
33.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=36°,以C为原点,AC所在直线为y轴,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有( )
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
二十.等腰三角形的判定与性质(共2小题)
34.如图,BP是∠ABC的平分线,AP⊥BP于P,连接PC,若△ABC的面积为1cm2,则△PBC的面积为( )
A.0.4cm2 B.0.5cm2 C.0.6cm2 D.不能确定
35.已知在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,∠BCD=∠A.
(1)如图1,试说明CD=CB的理由;
(2)如图2,过点B作BE⊥AC,垂足为点E,BE与CD相交于点F.
①试说明∠BCD=2∠CBE的理由;
②如果△BDF是等腰三角形,求∠A的度数.
二十一.等边三角形的判定与性质(共1小题)
36.数学课上,李老师出示了如下的题目:
“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目
解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
二十二.含30度角的直角三角形(共1小题)
37.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4cm,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为VP=2cm/s,VQ=1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.
(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?
(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?
二十三.勾股定理(共4小题)
38.如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
39.如图,以Rt△ABC的三条边作三个正三角形,则S1、S2、S3、S4的关系为( )
A.S1+S2+S3=S4 B.S1+S2=S3+S4
C.S1+S3=S2+S4 D.不能确定
40.如图,分别以直角三角形三边向外作三个半圆,若S1=30,S2=40,则S3= .
41.如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,M,N是△ABC边上的两个动点,其中点N从点A开始沿A→B方向运动,且速度为2cm/s,点M从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为4cm/s,它们同时出发,设运动的时间为t s.
(1)出发2s后,求MN的长;
(2)当点M在边BC上运动时,出发几秒钟,△MNB是等腰三角形?
(3)当点M在边CA上运动时,求能使△BCM成为等腰三角形的t的值.
二十四.勾股定理的证明(共3小题)
42.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m>n).若小正方形面积为5,(m+n)2=21,则大正方形面积为( )
A.12 B.13 C.14 D.15
43.如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形.连结DG并延长,交BC于点P,点P为BC的中点.若EF=2,则AE的长为( )
A.4 B. C. D.
44.如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=60,则S2的值是( )
A.12 B.15 C.20 D.30
二十五.三角形中位线定理(共2小题)
45.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则△ABC的周长是( )
A.28 B.32 C.18 D.25
46.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE、BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.
(1)求证:FG=FH;
(2)若∠A=90°,求证:FG⊥FH;
(3)若∠A=80°,求∠GFH的度数.
二十六.多边形内角与外角(共5小题)
47.如图,在四边形ABCD中,∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,且∠D+∠C=210°,则∠P=( )
A.10° B.15° C.30° D.40°
48.如图,七边形ABCDEFG中,AB、ED的延长线交于点O,若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°,则∠BOD的度数为( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
49.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是( )
A.240° B.360° C.540° D.720°
50.如图,小明从O点出发,前进6米后向右转20°,再前进6米后又向右转20°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点O时一共走了( )
A.72米 B.108米 C.144米 D.120米
51.已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°.
(1)求这个正多边形一个内角的度数;
(2)求这个正多边形的内角和.
二十七.平行四边形的性质(共1小题)
52.如图,平行四边形ABCD中∠A=60°,AB=6cm,AD=3cm,点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动,同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动,当一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设运动的时间为t(s).
(1)求平行四边形ABCD的面积;
(2)求当t=2s时,求△AEF的面积;
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时,求t的值.
二十八.平行四边形的判定与性质(共1小题)
53.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠BCD=90°,AB=DC=4,AD=BC=8.延长BC到E,使CE=3,连接DE,由直角三角形的性质可知DE=5.动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P运动的时间为t秒.(t>0)
(1)当t=3时,BP= ;
(2)当t= 时,点P运动到∠B的角平分线上;
(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S;
(4)当0<t<6时,直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值.
二十九.平移的性质(共1小题)
54.如图:直角△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,则内部五个小直角三角形的周长为 .
三十.旋转的性质(共5小题)
55.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,连接DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为 cm.
56.如图,在△ABC中,AB=6,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,则阴影部分的面积为 .
57.如图,∠AOB=120°,点P为∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:①PM=PN;②OM+ON=OP;③四边形PMON的面积保持不变;④△PMN的周长保持不变.其中说法正确的是 (填序号).
58.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,12),点B为x轴上一动点,以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC.若点P为OA的中点,连接PC,则PC的长的最小值为 .
59.阅读下面材料,并解决问题:
(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数.
为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB= ;
(2)基本运用
请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题
已知如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2;
(3)能力提升
如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值.
三十一.关于原点对称的点的坐标(共1小题)
60.若点P1(2﹣m,5)关于原点对称的点是P2(3,2n+1),则m﹣n的值为( )
A.6 B.﹣3 C.8 D.9
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)期末复习易错题(31个考点60题)
一.因式分解的意义(共1小题)
1.仔细阅读下面的例题,并解答问题:
例题:已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3,求另一个因式以及m的值.
解法一:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
则x2﹣4x+m=x2+(n+3)x+3n,
∴解得n=﹣7,m=﹣21.
∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21.
解法二:设另一个因式为x+n,得x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)
∴当x=﹣3时,x2﹣4x+m=(x+3)(x+n)=0
即(﹣3)2﹣4×(﹣3)+m=0,解得m=﹣21
∴x2﹣4x+m=x2﹣4x﹣21=(x+3)(x﹣7)
∴另一个因式为x﹣7,m的值为﹣21.
问题:仿照以上一种方法解答下面问题.
(1)若多项式x2﹣px﹣6分解因式的结果中有因式x﹣3,则实数p= 1 .
(2)已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是2x+5,求另一个因式及k的值.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)设另一个因式为x+a,得x2﹣px﹣6=(x﹣3)(x+a)
则x2﹣px﹣6=x2+(a﹣3)x﹣3a,
∴,解得a=2,p=1.
故答案为:1.
(2)设另一个因式为(x+n),得2x2+3x﹣k=(2x+5)(x+n)
则2x2+3x﹣k=2x2+(2n+5)x+5n
∴,
解得n=﹣1,k=5,
∴另一个因式为(x﹣1),k的值为5.
二.因式分解-运用公式法(共1小题)
2.若4x2﹣(k﹣1)x+9能用完全平方公式因式分解,则k的值为 13或﹣11 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:∵4x2﹣(k﹣1)x+9是一个完全平方式,
∴k﹣1=±12,
解得:k=13或k=﹣11,
故选:13或﹣11.
三.因式分解的应用(共1小题)
3.已知a+b=2,则a2﹣b2+4b的值为 4 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:∵a+b=2,
∴a2﹣b2+4b,
=(a+b)(a﹣b)+4b,
=2(a﹣b)+4b,
=2a+2b,
=2(a+b),
=2×2,
=4.
故答案为:4.
四.分式的基本性质(共2小题)
4.如果将分式中x,y都扩大到原来的2倍,则分式的值( )
A.扩大到原来的2倍 B.不变
C.扩大到原来的4倍 D.缩小到原来的.
【答案】A
【解答】解:用2x和2y代替式子中的x和y得:,
则分式的值扩大为原来的2倍.
故选:A.
5.若2,则 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:由2,得x+y=2xy
则.
故答案为.
五.分式的加减法(共2小题)
6.对于正数x,规定,例如:f(2),f(),f(3),f(),计算:f()+f()+f()+…+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)=( )
A.199 B.200 C.201 D.202
【答案】C
【解答】解:∵f(1)1,f(2),f(),f(3),f(),f(4),f(),…,f(101),f(),
∴f(2)+f()2,f(3)+f()2,f(4)+f()2,…,f(101)+f()2,
f()+f()+f()+…+f()+f()+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(99)+f(100)+f(101)
=2×100+1
=201.
故选:C.
7.定义:若两个分式的差的绝对值为2,则称这两个分式属于“友好分式组”.
(1)下列3组分式:
①与;②与;③与.其中属于“友好分式组”的有 ②③ (只填序号);
(2)若正实数a,b互为倒数,求证,分式与属于“友好分式组”;
(3)若a,b均为非零实数,且分式与属于“友好分式组”,求分式的值.
【答案】(1)②③;(2)证明过程见上面具体过程;(3)的值为或.
【解答】解:(1)①2,
②2,
③||=||=2,
∴属于“友好分式组”的有②③,
故答案为:②③.
(2)∵a,b互为倒数,
∴ab=1,b,
∴||
=||
=||
=||
=2,
∴分式与属于“友好分式组”;
(3)∵||
=||
=||
=||,
∵与属于“友好分式组”,
∴||=2,
∴2a2+2ab=2(a2﹣4b2)或2a2+2ab=﹣2(a2﹣4b2),
①a=﹣4b,②ab=4b2﹣2a2,
把①代入,
把②代入,
综上所述:的值为或.
六.分式的混合运算(共2小题)
8.试卷上一个正确的式子()÷★被小颖同学不小心滴上墨汁.被墨汁遮住部分的代数式为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解答】解:()÷★,
∴被墨汁遮住部分的代数式是()
;
故选:A.
9.已知一列均不为1的数a1,a2,a3,…,an满足如下关系:a2,a3,,…,,若a1=2,则a2023的值是( )
A. B. C.﹣3 D.2
【答案】A
【解答】解:由题意得,
a1=2,
a23,
a3,
a4,
a52,
……,
∴an的值按照2,﹣3,,,……4次一个循环周期的规律出现,
∵2023÷4=505……3,
∴a2023的值是,
故选:A.
七.分式的化简求值(共1小题)
10.先化简,再求值:,其中x=2.
【答案】,原式.
【解答】解:
,
当x=2时,原式.
八.分式方程的解(共4小题)
11.已知关于x的分式方程1的解是非负数,则m的取值范围是( )
A.m≥1 B.m≤1 C.m≥﹣1且m≠0 D.m≥﹣1
【答案】C
【解答】解:分式方程去分母得:m=x﹣1,
即x=m+1,
由分式方程的解为非负数,得到
m+1≥0,且m+1≠1,
解得:m≥﹣1且m≠0,
故选:C.
12.若数a使关于x的不等式组,有且仅有三个整数解,且使关于y的分式方程1有整数解,则满足条件的所有a的值之和是( )
A.﹣10 B.﹣12 C.﹣16 D.﹣18
【答案】B
【解答】解:,
解①得x≥﹣3,
解②得x,
不等式组的解集是﹣3≤x.
∵仅有三个整数解,
∴﹣10
∴﹣8≤a<﹣3,
1
3y﹣a﹣12=y﹣2.
∴y
∵y≠2,
∴a≠﹣6,
又y有整数解,
∴a=﹣8或﹣4,
所有满足条件的整数a的值之和是(﹣8)+(﹣4)=﹣12,
故选:B.
13.若关于x的分式方程1无解,则m的值 或 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:方程两边同乘x(x﹣3),得x(2m+x)﹣(x﹣3)x=2(x﹣3)
(2m+1)x=﹣6
x,
当2m+1=0,方程无解,解得m.
x=3时,m,
x=0时,m无解.
故答案为:或.
14.关于x的分式方程2的解为正实数,则k的取值范围是 k>﹣2且k≠2 .
【答案】k>﹣2且k≠2.
【解答】解:方程2两边同乘(x﹣2),得
1+2(x﹣2)=k﹣1,
解得,x,
∵2,
∴k≠2,
由题意得,0,
解得,k>﹣2,
∴k的取值范围是k>﹣2且k≠2.
故答案为:k>﹣2且k≠2.
九.解分式方程(共1小题)
15.解方程2.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:方程的两边同乘(x﹣3),得:2﹣x=﹣1﹣2(x﹣3),
解得:x=3,
检验:当x=3时,(x﹣3)=0,
∴x=3是原分式方程的增根,原分式方程无解.
一十.分式方程的增根(共1小题)
16.(1)若解关于x的分式方程会产生增根,求m的值.
(2)若方程1的解是正数,求a的取值范围.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)方程两边都乘(x+2)(x﹣2),得
2(x+2)+mx=3(x﹣2)
∵最简公分母为(x+2)(x﹣2),
∴原方程增根为x=±2,
∴把x=2代入整式方程,得m=﹣4.
把x=﹣2代入整式方程,得m=6.
综上,可知m=﹣4或6.
(2)解:去分母,得2x+a=2﹣x
解得:x,
∵解为正数,
∴,
∴2﹣a>0,
∴a<2,且x≠2,
∴a≠﹣4
∴a<2且a≠﹣4.
一十一.分式方程的应用(共1小题)
17.在“扶贫攻坚”活动中,某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户.已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元,若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同.
①请问甲、乙两种物品的单价各为多少?
②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件,总费用不少于5000元且不超过5050元,通过计算得出共有几种选购方案?
【答案】见试题解答内容
【解答】解:①设乙种物品单价为x元,则甲种物品单价为(x+10)元,由题意得:
解得x=90
经检验,x=90符合题意
∴甲种物品的单价为100元,乙种物品的单价为90元.
②设购买甲种物品y件,则乙种物品购进(55﹣y)件
由题意得:5000≤100y+90(55﹣y)≤5050
解得5≤y≤10
∴共有6种选购方案.
一十二.不等式的性质(共2小题)
18.下列说法错误的是( )
A.若a+3>b+3,则a>b
B.若,则a>b
C.若a>b,则ac>bc
D.若a>b,则a+3>b+2
【答案】C
【解答】解:A、若a+3>b+3,则a>b,原变形正确,故此选项不符合题意;
B、若,则a>b,原变形正确,故此选项不符合题意;
C、若a>b,则ac>bc,这里必须满足c≠0,原变形错误,故此选项符合题意;
D、若a>b,则a+3>b+2,原变形正确,故此选项不符合题意;
故选:C.
19.下列不等式说法中,不正确的是( )
A.若x>y,y>2,则x>2
B.若x>y,则x﹣2<y﹣2
C.若x>y,则2x>2y
D.若x>y,则﹣2x﹣2<﹣2y﹣2
【答案】B
【解答】解:A、∵x>y,y>2,
∴x>2,原说法正确,故本选项不符合题意;
B、∵x>y,
∴x﹣2>y﹣2,原说法错误,故本选项符合题意;
C、∵x>y,
∴2x>2y,原说法正确,故本选项不符合题意;
D、∵x>y,
∴﹣2x﹣2<﹣2y﹣2,原说法正确,故本选项不符合题意;
故选:B.
一十三.一元一次不等式的应用(共1小题)
20.某校在开展“校园献爱心”活动中,准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.已知男款书包的单价50元/个,女款书包的单价70元/个.
(1)原计划募捐3400元,购买两种款式的书包共60个,那么这两种款式的书包各买多少个?
(2)在捐款活动中,由于学生捐款的积极性高涨,实际共捐款4800元,如果购买两种款式的书包共80个,那么女款书包最多能买多少个?
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)设原计划买男款书包x个,则女款书包(60﹣x)个,
根据题意得:50x+70(60﹣x)=3400,
解得:x=40,
60﹣x=60﹣40=20,
答:原计划买男款书包40个,则女款书包20个.
(2)设女款书包能买y个,则男款书包(80﹣y)个,
根据题意得:70y+50(80﹣y)≤4800,
解得:y≤40,
∴女款书包最多能买40个.
一十四.一元一次不等式组的整数解(共4小题)
21.已知关于x的不等式组恰有3个整数解,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】解:由于不等式组有解,则,必定有整数解0,
∵,
∴三个整数解不可能是﹣2,﹣1,0.
若三个整数解为﹣1,0,1,则不等式组无解;
若三个整数解为0,1,2,则;
解得.
故选:B.
22.若关于x的一元一次不等式组的解集是x≤k,且关于y的方程2y=3+k有正整数解,则符合条件的所有整数k的和为( )
A.5 B.8 C.9 D.15
【答案】B
【解答】解:,
解不等式①得x≤k,
解不等式②得x<7,
由题意得k<7,
解关于y的方程2y=3+k得,
y,
由题意得,1,
解得k≥﹣1,
∴k的取值范围为:﹣1≤k<7,且k为整数,
∴k的取值为﹣1,0,1,2,3,4,5,6,
当k=﹣1时,y1,
当k=0时,y,
当k=1时,y2,
当k=2时,y,
当k=3时,y3,
当k=4时,y,
当k=5时,y4,
当k=6时,y,
∵为整数,且k为整数,
∴符合条件的整数k为﹣1,1,3,5,
∵﹣1+1+3+5=8,
∴符合条件的所有整数k的和为8.
故选:B.
23.已知关于x、y的二元一次方程组的解满足x≥y,且关于s的不等式组恰好有4个整数解,那么所有符合条件的整数a的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】C
【解答】解:解方程组得:,
∵x≥y,
∴a+1a﹣2,
解得:a,
解不等式组得s≤1,
∵关于s的不等式组恰好有4个整数解(﹣2,﹣1,0,1),
∴﹣32,
解得:﹣2≤a<1,
∵a,
∴a<1,
∴所有符合条件的整数a有﹣1,0,共有2个,
故选:C.
24.整数m满足关于x,y的二元一次方程组的解是正整数,且关于x的不等式组有且仅有2个整数解,则m的值为 5 .
【答案】m的值是5.
【解答】解:由二元一次方程组,得
,
∵二元一次方程组解是正整数,
∴,
解得,m,
∴m=5或6,
m=5时,x=3,y=2,
当m=6时,x=1.5不符合题意,舍去;
∴m=5.
由不等式组得x≤6,
∵关于x的不等式组有且仅有2个整数解,
∴45,
解得,5≤m,
∴m的值是5.
故m的值是5.
一十五.由实际问题抽象出一元一次不等式组(共1小题)
25.八年级某班级部分同学去植树,若每人平均植树7棵,还剩9棵,若每人平均植树9棵,则有1名同学植树的棵数不到8棵.若设同学人数为x人,下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A.7x+9﹣9(x﹣1)>0
B.7x+9﹣9(x﹣1)<8
C.
D.
【答案】C
【解答】解:(x﹣1)位同学植树棵数为9×(x﹣1),
∵有1位同学植树的棵数不到8棵.植树的棵数为(7x+9)棵,
∴可列不等式组为:,
即.
故选:C.
一十六.一次函数与一元一次不等式(共4小题)
26.如图,已知:函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P(﹣2,﹣5),则根据图象可得不等式3x+b>ax﹣3的解集是( )
A.x>﹣5 B.x>﹣2 C.x>﹣3 D.x<﹣2
【答案】B
【解答】解:∵函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P(﹣2,﹣5),
则根据图象可得不等式3x+b>ax﹣3的解集是x>﹣2,
故选:B.
27.如图,已知直线y=ax+b与直线y=x+c的交点的横坐标为1,根据图象有下列四个结论:①a<0;②c>0;③对于直线y=x+c上任意两点A(xA,yA)、B(xB,yB),若xA<xB,则yA>yB;④x>1是不等式ax+b<x+c的解集,其中正确的结论是( )
A.①② B.①③ C.①④ D.③④
【答案】C
【解答】解:∵直线y=ax+b,y随x的增大而减小,
∴a<0,①正确;
∵直线y=x+c与y轴交于负半轴,
∴c<0,②错误;
直线y=x+c中,k=1>0,
∴y随x的增大而增大,
∴xA<xB,则yA<yB,③错误;
x>1是不等式ax+b<x+c的解集,④正确;
故选:C.
28.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则kx+b>x+a的解集是 x<﹣2 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:由图象得:不等式组kx+b>x+a的解集是x<﹣2.
故答案为:x<﹣2.
29.如图,函数y=ax﹣1的图象过点(1,2),则不等式ax﹣1>2的解集是 x>1 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:方法一∵把(1,2)代入y=ax﹣1得:2=a﹣1,
解得:a=3,
∴y=3x﹣1>2,
解得:x>1,
方法二:根据图象可知:y=ax﹣1>2的x的范围是x>1,
即不等式ax﹣1>2的解集是x>1,
故答案为:x>1.
一十七.线段垂直平分线的性质(共1小题)
30.如图,△ABC中,D是AB的中点,DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180°,EF⊥AC交AC于F,AC=12,BC=8,则AF= 10 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:连接AE,BE,过E作EG⊥BC于G,
∵D是AB的中点,DE⊥AB,
∴DE垂直平分AB,
∴AE=BE,
∵∠ACE+∠BCE=180°,∠ECG+∠BCE=180°,
∴∠ACE=∠ECG,
又∵EF⊥AC,EG⊥BC,
∴EF=EG,∠FEC=∠GEC,
∵CF⊥EF,CG⊥EG,
∴CF=CG,
在Rt△AEF和Rt△BEG中,
,
∴Rt△AEF≌Rt△BEG(HL),
∴AF=BG,
设CF=CG=x,则AF=AC﹣CF=12﹣x,BG=BC+CG=8+x,
∴12﹣x=8+x,
解得x=2,
∴AF=12﹣2=10.
故答案为:10.
一十八.等腰三角形的性质(共1小题)
31.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°,则顶角的度数为 115°或65° .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:①如图1,当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+25°=115°;
②如图2,当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,
故顶角是90°﹣25°=65°.
故答案为:115°或65°.
一十九.等腰三角形的判定(共2小题)
32.如图,网格中的每个小正方形的边长为1,A、B是格点,以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为( )
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
【答案】B
【解答】解:如图所示,以A为圆心,AB长为半径画弧,则圆弧经过的格点C3、C8、C7即为点C的位置;
以B为圆心,AB长为半径画弧,则圆弧经过的格点C1、C2、C6、C4、C5即为点C的位置;
作线段AB的垂直平分线,垂直平分线没有经过格点.
故以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个.
故选:B.
33.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=36°,以C为原点,AC所在直线为y轴,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形,符合条件的M点有( )
A.6个 B.7个 C.8个 D.9个
【答案】C
【解答】解:如图,
①以A为圆心,AB为半径画圆,交直线AC有二点M1,M2,交BC有一点M3,(此时AB=AM);
②以B为圆心,BA为半径画圆,交直线BC有二点M5,M4,交AC有一点M6(此时BM=BA).
③AB的垂直平分线交AC一点M7(MA=MB),交直线BC于点M8;
∴符合条件的点有8个.
故选:C.
二十.等腰三角形的判定与性质(共2小题)
34.如图,BP是∠ABC的平分线,AP⊥BP于P,连接PC,若△ABC的面积为1cm2,则△PBC的面积为( )
A.0.4cm2 B.0.5cm2 C.0.6cm2 D.不能确定
【答案】B
【解答】解:如图,延长AP交BC于E,
∵BP平分∠ABC,
∴∠ABP=∠EBP,
∵AP⊥BP,
∴∠APB=∠EPB=90°,
∴△ABP≌△EBP(ASA),
∴AP=PE,
∴S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△ECP,
∴S△PBCS△ABC1=0.5(cm2),
故选:B.
35.已知在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,∠BCD=∠A.
(1)如图1,试说明CD=CB的理由;
(2)如图2,过点B作BE⊥AC,垂足为点E,BE与CD相交于点F.
①试说明∠BCD=2∠CBE的理由;
②如果△BDF是等腰三角形,求∠A的度数.
【答案】(1)说明过程见解答;
(2)①说明过程见解答;
②如果△BDF是等腰三角形,∠A的度数为45°或36°.
【解答】解:(1)∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵∠BDC是△ADC的一个外角,
∴∠BDC=∠A+∠ACD,
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,
∴∠BDC=∠ACB,
∴∠ABC=∠BDC.
∴CD=CB;
(2)①∵BE⊥AC,
∴∠BEC=90°,
∴∠CBE+∠ACB=90°,
设∠CBE=α,则∠ACB=90°﹣α,
∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°﹣α,
∴∠BCD=180°﹣∠BDC﹣∠ABC=180°﹣(90°﹣α)﹣(90°﹣α)=2α,
∴∠BCD=2∠CBE;
②∵∠BFD是△CBF的一个外角,
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α,
分三种情况:
当BD=BF时,
∴∠BDC=∠BFD=3α,
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°﹣α,
∴90°﹣α=3α,
∴α=22.5°,
∴∠A=∠BCD=2α=45°;
当DB=DF时,
∴∠DBE=∠BFD=3α,
∵∠DBE=∠ABC﹣∠CBE=90°﹣α﹣α=90°﹣2α,
∴90°﹣2α=3α,
∴α=18°,
∴∠A=∠BCD=2α=36°;
当FB=FD时,
∴∠DBE=∠BDF,
∵∠BDF=∠ABC>∠DBF,
∴不存在FB=FD,
综上所述:如果△BDF是等腰三角形,∠A的度数为45°或36°.
二十一.等边三角形的判定与性质(共1小题)
36.数学课上,李老师出示了如下的题目:
“在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC,如图,试确定线段AE与DB的大小关系,并说明理由”.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点E为AB的中点时,如图1,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE = DB(填“>”,“<”或“=”).
(2)特例启发,解答题目
解:题目中,AE与DB的大小关系是:AE = DB(填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在直线BC上,且ED=EC.若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你直接写出结果).
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)故答案为:=.
(2)过E作EF∥BC交AC于F,
∵等边三角形ABC,
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC=BC,
∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,
即∠AEF=∠AFE=∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF=AF,
∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°,
∴∠DBE=∠EFC=120°,∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°,
∵DE=EC,
∴∠D=∠ECD,
∴∠BED=∠ECF,
在△DEB和△ECF中
,
∴△DEB≌△ECF(AAS),
∴BD=EF=AE,
即AE=BD,
故答案为:=.
(3)解:CD=1或3,
理由是:分为两种情况:①如图1
过A作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,
则AM∥EN,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=1,
∵AM⊥BC,
∴BM=CMBC,
∵DE=CE,EN⊥BC,
∴CD=2CN,
∵AB=1,AE=2,
∴AB=BE=1,
∵EN⊥DC,AM⊥BC,
∴∠AMB=∠ENB=90°,
在△ABM和△EBN中,
,
∴△AMB≌△ENB(AAS),
∴BN=BM,
∴CN=1,
∴CD=2CN=3;
②如图2,作AM⊥BC于M,过E作EN⊥BC于N,
则AM∥EN,
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC=1,
∵AM⊥BC,
∴BM=CMBC,
∵DE=CE,EN⊥BC,
∴CD=2CN,
∵AM∥EN,
∴,
∴,
∴MN=1,
∴CN=1,
∴CD=2CN=1,
即CD=3或1.
二十二.含30度角的直角三角形(共1小题)
37.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=4cm,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为VP=2cm/s,VQ=1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点同时停止运动,设点P的运动时间为t s.
(1)当t为何值时,△PBQ为等边三角形?
(2)当t为何值时,△PBQ为直角三角形?
【答案】(1);
(2)或t=1.
【解答】解:在△ABC中,∵∠C=90°,∠A=30°,
∴∠B=60°.
∵4÷2=2,
∴0≤t≤2,BP=(4﹣2t)cm,BQ=t cm.
(1)当BP=BQ时,△PBQ为等边三角形.
即4﹣2t=t.
∴.
当时,△PBQ为等边三角形;
(2)若△PBQ为直角三角形,
①当∠BQP=90°时,BP=2BQ,
即4﹣2t=2t,
∴t=1.
②当∠BPQ=90°时,BQ=2BP,
即t=2(4﹣2t),
∴.
即当或t=1时,△PBQ为直角三角形.
二十三.勾股定理(共4小题)
38.如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于的长为半径作弧(弧所在圆的半径都相等),两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边BC,AC相交于点D,E,连接AD.若BD=DC,AE=4,AD=5,则AB的长为( )
A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】D
【解答】解:由题意得:MN是AC的垂直平分线,
∴AC=2AE=8,DA=DC,
∴∠DAC=∠C,
∵BD=CD,
∴BD=AD,
∴∠B=∠BAD,
∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC=180°,
∴2∠BAD+2∠DAC=180°,
∴∠BAD+∠DAC=90°,
∴∠BAC=90°,
在Rt△ABC中,BC=BD+CD=2AD=10,
∴AB6,
故选:D.
39.如图,以Rt△ABC的三条边作三个正三角形,则S1、S2、S3、S4的关系为( )
A.S1+S2+S3=S4 B.S1+S2=S3+S4
C.S1+S3=S2+S4 D.不能确定
【答案】C
【解答】解:如图,设Rt△ABC的三条边AB=c,AC=b,BC=a,
∵△ACG,△BCH,△ABF是等边三角形,
∴S1=S△ACG﹣S5b2﹣S5,S3=S△BCH﹣S6a2﹣S6,
∴S1+S3(a2+b2)﹣S5﹣S6,
∵S2+S4=S△ABF﹣S5﹣S6c2﹣S5﹣S6,
∵c2=a2+b2,
∴S1+S3=S2+S4,
故选:C.
40.如图,分别以直角三角形三边向外作三个半圆,若S1=30,S2=40,则S3= 70 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:设直角三角形三边分别为a、b、c,如图所示:
则S1π()2,S2π()2,S3π()2.
因为a2+b2=c2,所以.
即S1+S2=S3.
所以S3=70.
41.如图,已知△ABC中,∠B=90°,AB=16cm,BC=12cm,M,N是△ABC边上的两个动点,其中点N从点A开始沿A→B方向运动,且速度为2cm/s,点M从点B开始沿B→C→A方向运动,且速度为4cm/s,它们同时出发,设运动的时间为t s.
(1)出发2s后,求MN的长;
(2)当点M在边BC上运动时,出发几秒钟,△MNB是等腰三角形?
(3)当点M在边CA上运动时,求能使△BCM成为等腰三角形的t的值.
【答案】(1)MN的长为4cm.
(2)出发s后△MNB是等腰三角形.
(3)当t的值为6.6或6或5.5时,△BCM为等腰三角形.
【解答】解:(1)当t=2时,AN=2t=4cm,BM=2t=8cm.
∵AB=16cm,
∴BN=AB﹣AN=16﹣4=12(cm),
在Rt△BPQ中,由勾股定理可得,
MN4(cm),
即MN的长为4cm.
(2)由题意可知AN=2t,BM=4t,
又∵AB=16cm,
∴BN=AB﹣AN=(16﹣2t)cm,
当△MNB为等腰三角形时,则有BM=BN,
∴16﹣2t=4t,解得t,
∴出发s后△MNB是等腰三角形.
(3)在△ABC中,由勾股定理可求得AC=20cm,
当点M在AC上运动时,AM=BC+AC﹣4t=32﹣4t,
∴CM=AC﹣AM=20﹣(32﹣4t)=4t﹣12,
∵△BCM为等腰三角形,
∴有BM=BC,CM=BC和CM=BM三种情况:
①当BM=BC=12时,如图,过B作BE⊥AC,则CECM=2t﹣6,
在Rt△ABC中,可求得BE;
在Rt△BCE中,由勾股定理可得BC2=BE2+CE2,即122=()2+(2t﹣6)2,
解得t=6.6或t=﹣0.6(舍去),
②当CM=BC=12时,则4t﹣12=12,解得t=6,
③当CM=BM时,则∠C=∠MBC,
∵∠C+∠A=90°=∠CBM+∠MBA,
∴∠A=∠MBA,
∴MB=MA,
∴CM=AM=10,即4t﹣12=10,解得t=5.5,
综上可知,当t的值为6.6或6或5.5时,△BCM为等腰三角形.
二十四.勾股定理的证明(共3小题)
42.“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为m,n(m>n).若小正方形面积为5,(m+n)2=21,则大正方形面积为( )
A.12 B.13 C.14 D.15
【答案】B
【解答】解:由题意可知,中间小正方形的边长为m﹣n,
∴(m﹣n)2=5,即m2+n2﹣2mn=5①,
∵(m+n)2=21,
∴m2+n2+2mn=21②,
①+②得2(m2+n2)=26,
∴大正方形的面积为:m2+n2=13,
故选:B.
43.如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形.连结DG并延长,交BC于点P,点P为BC的中点.若EF=2,则AE的长为( )
A.4 B. C. D.
【答案】C
【解答】解:由题意,EF=HG=FG=2,AD∥BC,BG⊥HC,DH⊥HG,∠ADE=∠GBP,
∴∠ADG=∠GPC.
∵点P为BC的中点,
∴PB=PG=PC.
∴∠BGP=∠GBP,∠GPC=2∠GBP.
∴∠GPC﹣∠ADE=2∠GBP﹣∠ADE,即∠GDH=∠GBP.
∴△GDH∽△CBG.
∴,即.
设AE=BF=HD=x,
∴.
∴x=1或x=1(舍去).
故选:C.
44.如图是由“赵爽弦图”变化得到的,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为S1、S2、S3.若S1+S2+S3=60,则S2的值是( )
A.12 B.15 C.20 D.30
【答案】C
【解答】解:设每个小直角三角形的面积为m,则S1=4m+S2,S3=S2﹣4m,
因为S1+S2+S3=60,
所以4m+S2+S2+S2﹣4m=60,
即3S2=60,
解得S2=20.
故选:C.
二十五.三角形中位线定理(共2小题)
45.如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,且BN⊥AN,垂足为N,且AB=6,BC=10,MN=1.5,则△ABC的周长是( )
A.28 B.32 C.18 D.25
【答案】D
【解答】解:延长线段BN交AC于E.
∵AN平分∠BAC,
∴∠BAN=∠EAN,AN=AN,∠ANB=∠ANE=90°,
∴△ABN≌△AEN,
∴AE=AB=6,BN=NE,
又∵M是△ABC的边BC的中点,
∴CE=2MN=2×1.5=3,
∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25,
故选:D.
46.如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE、BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.
(1)求证:FG=FH;
(2)若∠A=90°,求证:FG⊥FH;
(3)若∠A=80°,求∠GFH的度数.
【答案】见试题解答内容
【解答】(1)证明:∵AB=AC,点D,E分别是边AB,AC的中点,
∴BD=EC,
∵点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点,
∴FG∥BD,GF,
FH∥EC,FH,
∴FG=FH;
(2)证明:由(1)FG∥BD,
又∵∠A=90°,
∴FG⊥AC,
∵FH∥EC,
∴FG⊥FH;
(3)解:延长FG交AC于点K,
∵FG∥BD,∠A=80°,
∴∠FKC=∠A=80°,
∵FH∥EC,
∴∠GFH=180°﹣∠FKC=100°.
二十六.多边形内角与外角(共5小题)
47.如图,在四边形ABCD中,∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,且∠D+∠C=210°,则∠P=( )
A.10° B.15° C.30° D.40°
【答案】B
【解答】解:如图,∵∠D+∠C=210°,∠DAB+∠ABC+∠C+∠D=360°,
∴∠DAB+∠ABC=150°.
又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P,
∴∠PAB+∠ABP∠DAB+∠ABC(180°﹣∠ABC)=90°(∠DAB+∠ABC)=165°,
∴∠P=180°﹣(∠PAB+∠ABP)=15°.
故选:B.
48.如图,七边形ABCDEFG中,AB、ED的延长线交于点O,若∠1、∠2、∠3、∠4对应的邻补角和等于215°,则∠BOD的度数为( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
【答案】B
【解答】解:∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°,
∵五边形OAGFE内角和=(5﹣2)×180°=540°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°,
∴∠BOD=540°﹣505°=35°,
故选:B.
49.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的值是( )
A.240° B.360° C.540° D.720°
【答案】B
【解答】解:如图,AC、DF与BE分别相交于点M、N,
在四边形NMCD中,∠MND+∠CMN+∠C+∠D=360°,
∵∠CMN=∠A+∠E,∠MND=∠B+∠F,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°,
故选:B.
50.如图,小明从O点出发,前进6米后向右转20°,再前进6米后又向右转20°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点O时一共走了( )
A.72米 B.108米 C.144米 D.120米
【答案】B
【解答】解:依题意可知,小陈所走路径为正多边形,设这个正多边形的边数为n,
则20n=360,解得n=18,
∴他第一次回到出发点O时一共走了:6×18=108(米),
故选:B.
51.已知某正多边形的一个内角都比与它相邻外角的3倍还多20°.
(1)求这个正多边形一个内角的度数;
(2)求这个正多边形的内角和.
【答案】(1)140°;
(2)1260°.
【解答】解:(1)设这个正多边形的一个外角的度数为x°,
根据题意得180﹣x=3x+20,解得x=40,
180°﹣x°=140°,
所以这个正多边形一个内角的度数140°;
(2)因为这个正多边形的一个外角的度数为40°,
所以这个正多边形边数=360°÷40°=9,
所以这个正多边形的内角和是(9﹣2)×180°=1260°.
二十七.平行四边形的性质(共1小题)
52.如图,平行四边形ABCD中∠A=60°,AB=6cm,AD=3cm,点E以1cm/s的速度从点A出发沿A一B一C向点C运动,同时点F以1cm/s的速度从点A出发沿A一D一C向点C运动,当一个点到达终点时,另一个点也停止运动,设运动的时间为t(s).
(1)求平行四边形ABCD的面积;
(2)求当t=2s时,求△AEF的面积;
(3)当△AEF的面积为平行四边形ABCD的面积的时,求t的值.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)平行四边形ABCD中,
∵∠A=60°,AB=6cm,AD=3cm,
∴CD=AB=6cm,BC=AD=3cm,
如图,过点B作BG⊥CD于点G,
∴∠BGC=90°,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴∠A=∠C=60°,
在Rt△BCG中,∠CBG=30°,
∴CGBCcm,
∴BG(cm),
∴平行四边形ABCD的面积为:CD×BG=69(cm2).
答:平行四边形ABCD的面积为9cm2;
(2)当t=2s时,
AE=2×1=2cm,AF=2×1=2cm,
∵∠A=60°,
∴△AEF是等边三角形,
如图,过点F作FH⊥AE于点H,
∴FHAF(cm),
∴△AEF的面积为:AE×FH2(cm2),
答:当t=2s时,△AEF的面积为cm2;
(3)∵由(1)知平行四边形ABCD的面积为9cm2.
∴当△AEF的面积是平行四边形ABCD面积的时,△AEF的面积为:93(cm2),
当点E在线段AB上运动t秒时,点F在AD上运动t秒,(0<t≤3),AE=t cm,AF=t cm,高为AFt(cm),
∴tt=3,
∴t=23,不符合题意舍去;
当点E在线段AB上运动t秒时,点F在CD上运动t秒,(3<t≤6),
∴t3,
∴t=4,符合题意;
当点E′运动到线段BC上时,且运动时间为t秒时,点F′也运动到线段CD上,(6<t<9),
如图,过点E′作MN垂直CD于点H,垂直于AB延长线于点G,
∵四边形ABCD为平行四边形,∠A=∠C=60°,CD=AB=6cm,BC=AD=3cm,
∴AB∥CD,
∴∠E′BG=∠C=60°,
∴E′GBE′(t﹣6)(cm),E′H=1.5(t﹣6)(9﹣t)(cm),
∴S△AEF=96(t﹣6)[6﹣(t﹣3)]×[(9﹣t)](t﹣3)×1.53,
化简得:t2﹣9t+12=0,
∴t(不符合题意,舍)或t,
当t时,点E位于线段BC上,点F位于线段CD上,符合题意.
综上所述,t的值为4或.
二十八.平行四边形的判定与性质(共1小题)
53.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠BCD=90°,AB=DC=4,AD=BC=8.延长BC到E,使CE=3,连接DE,由直角三角形的性质可知DE=5.动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P运动的时间为t秒.(t>0)
(1)当t=3时,BP= 6 ;
(2)当t= 8 时,点P运动到∠B的角平分线上;
(3)请用含t的代数式表示△ABP的面积S;
(4)当0<t<6时,直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)BP=2t=2×3=6,
故答案为:6;
(2)作∠B的角平分线交AD于F,
∴∠ABF=∠FBC,
∵∠A=∠ABC=∠BCD=90°,
∴四边形ABCD是矩形,
∵AD∥BC,
∴∠AFB=∠FBC,
∴∠ABF=∠AFB,
∴AF=AB=4,
∴DF=AD﹣AF=8﹣4=4,
∴BC+CD+DF=8+4+4=16,
∴2t=16,解得t=8.
∴当t=8时,点P运动到∠ABC的角平分线上;
故答案为:8;
(3)根据题意分3种情况讨论:
①当点P在BC上运动时,
S△ABPBP×AB2t×4=4t;(0<t<4);
②当点P在CD上运动时,
S△ABPAB×BC4×8=16;(4≤t≤6);
③当点P在AD上运动时,
S△ABPAB×AP4×(20﹣2t)=﹣4t+40;(6<t≤10);
(4)当0<t<6时,点P在BC、CD边上运动,
根据题意分情况讨论:
①当点P在BC上,点P到四边形ABED相邻两边距离相等,
∴点P到AD边的距离为4,
∴点P到AB边的距离也为4,
即BP=4,
∴2t=4,解得t=2s;
②当点P在BC上,点P到AD边的距离为4,
∴点P到DE边的距离也为4,
∴PE=DE=5,
∴PC=PE﹣CE=2,
∴8﹣2t=2,解得t=3s;
③当点P在CD上,如图,过点P作PH⊥DE于点H,
点P到DE、BE边的距离相等,
即PC=PH,
∵PC=2t﹣8,
∵S△DCE=S△DPE+S△PCE,
∴3×45×PH3×PC,
∴12=8PH,
∴12=8(2t﹣8),
解得t.
综上所述:t=2或t=3或t时,点P到四边形ABED相邻两边距离相等.
二十九.平移的性质(共1小题)
54.如图:直角△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,则内部五个小直角三角形的周长为 30 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:由图形可以看出:内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的,
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB=30.
故答案为:30.
三十.旋转的性质(共5小题)
55.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5cm,BC=12cm,将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,连接DC交AB于点F,则△ACF与△BDF的周长之和为 42 cm.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°,得到△BDE,
∴△ABC≌△BDE,∠CBD=60°,
∴BD=BC=12cm,
∴△BCD为等边三角形,
∴CD=BC=CD=12cm,
在Rt△ACB中,AB13,
△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42(cm),
故答案为:42.
56.如图,在△ABC中,AB=6,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,则阴影部分的面积为 9 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:∵在△ABC中,AB=6,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,
∴△ABC≌△A1BC1,
∴A1B=AB=6,
∴△A1BA是等腰三角形,∠A1BA=30°,
如图,过A1作A1D⊥AB于D,则A1DA1B=3,
∴S△A1BA6×3=9,
又∵S阴影=S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC,
S△A1BC1=S△ABC,
∴S阴影=S△A1BA=9.
故答案为:9.
57.如图,∠AOB=120°,点P为∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补,若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA、OB相交于M、N两点,则以下结论:①PM=PN;②OM+ON=OP;③四边形PMON的面积保持不变;④△PMN的周长保持不变.其中说法正确的是 ①②③ (填序号).
【答案】①②③.
【解答】解:过点P作PE⊥OA,垂足为E,过点P作PF⊥OB,垂足为F,
∴∠PEO=90°,∠PFO=90°,
∵∠AOB=120°,
∴∠EPF=360°﹣∠AOB﹣∠PEO﹣∠PFO=60°,
∵∠MPN+∠AOB=180°,
∴∠MPN=180°﹣∠AOB=60°,
∴∠MPN﹣∠EPN=∠EPF﹣∠EPN,
∴∠MPE=∠NPF,
∵OP平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF,
∵∠MEP=∠NFP=90°,
∴△MEP≌△NFP(ASA),
∴PM=PN,ME=NF,
故①正确;
∵OP=OP,
∴Rt△PEO≌Rt△PFO(HL),
∴OE=OF,
∴OM+ON=OE+ME+OF﹣NF=2OE,
∵OP平分∠AOB,
∴∠EOP∠AOB=60°,
∴∠EPO=90°﹣∠EOP=30°,
∴PO=2OE,
∴OM+ON=OP,
故②正确;
∵△MEP≌△NFP,
∴四边形PMON的面积=四边形PEOF的面积,
∴四边形PMON的面积保持不变,
故③正确;
∵PM=PN,∠MPN=60°,
∴△PMN是等边三角形,
∵MN的长度是变化的,
∴△PMN的周长是变化的,
故④错误;
所以,说法正确的是:①②③,
故答案为:①②③.
58.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(0,12),点B为x轴上一动点,以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC.若点P为OA的中点,连接PC,则PC的长的最小值为 9 .
【答案】见试题解答内容
【解答】解:如图,以AP为边作等边三角形APE,连接BE,过点E作EF⊥AP于F,
∵点A的坐标为(0,12),
∴OA=12,
∵点P为OA的中点,
∴AP=6,
∵△AEP是等边三角形,EF⊥AP,
∴AF=PF=3,AE=AP,∠EAP=∠BAC=60°,
∴∠BAE=∠CAP,
在△ABE和△ACP中,
,
∴△ABE≌△ACP(SAS),
∴BE=PC,
∴当BE有最小值时,PC有最小值,
即BE⊥x轴时,BE有最小值,
∴BE的最小值为OF=OP+PF=6+3=9,
∴PC的最小值为9,
故答案为:9.
59.阅读下面材料,并解决问题:
(1)如图①等边△ABC内有一点P,若点P到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求∠APB的度数.
为了解决本题,我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处,此时△ACP′≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中,从而求出∠APB= 150° ;
(2)基本运用
请你利用第(1)题的解答思想方法,解答下面问题
已知如图②,△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E、F为BC上的点且∠EAF=45°,求证:EF2=BE2+FC2;
(3)能力提升
如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,求OA+OB+OC的值.
【答案】见试题解答内容
【解答】解:(1)∵△ACP′≌△ABP,
∴AP′=AP=3、CP′=BP=4、∠AP′C=∠APB,
由题意知旋转角∠PA P′=60°,
∴△AP P′为等边三角形,
P P′=AP=3,∠A P′P=60°,
易证△P P′C为直角三角形,且∠P P′C=90°,
∴∠APB=∠AP′C=∠A P′P+∠P P′C=60°+90°=150°;
故答案为:150°;
(2)如图2,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′,
由旋转的性质得,AE′=AE,CE′=BE,∠CAE′=∠BAE,∠ACE′=∠B,∠EAE′=90°,
∵∠EAF=45°,
∴∠E′AF=∠CAE′+∠CAF=∠BAE+∠CAF=∠BAC﹣∠EAF=90°﹣45°=45°,
∴∠EAF=∠E′AF,
在△EAF和△E′AF中,
∴△EAF≌△E′AF(SAS),
∴E′F=EF,
∵∠CAB=90°,AB=AC,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠E′CF=45°+45°=90°,
由勾股定理得,E′F2=CE′2+FC2,
即EF2=BE2+FC2.
(3)如图3,将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处,连接OO′,
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,
∴AB=2,
∴BC,
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,
∴△A′O′B如图所示;
∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°,
∵∠C=90°,AC=1,∠ABC=30°,
∴AB=2AC=2,
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°,得到△A′O′B,
∴A′B=AB=2,BO=BO′,A′O′=AO,
∴△BOO′是等边三角形,
∴BO=OO′,∠BOO′=∠BO′O=60°,
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BOO′=120°+60°=180°,
∴C、O、A′、O′四点共线,
在Rt△A′BC中,A′C,
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C.
三十一.关于原点对称的点的坐标(共1小题)
60.若点P1(2﹣m,5)关于原点对称的点是P2(3,2n+1),则m﹣n的值为( )
A.6 B.﹣3 C.8 D.9
【答案】C
【解答】解:∵点P1(2﹣m,5)关于原点对称的点是P2(3,2n+1),
∴2﹣m+3=0,5+2n+1=0,
解得m=5,n=﹣3,
所以,m﹣n=5﹣(﹣3)=5+3=8.
故选:C.
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