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专题02 一元一次不等式和一元一次不等式（组）
（八大题型）
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题型一 不等式的定义
题型二 不等式的性质（重点）
题型三 一元一次不等式(组)的定义
题型四 解一元一次不等式(组)（高频）
题型五 不等式组的解集求参数（重点）
题型六 不等式组与方程组的结合问题（重点）
题型七 一元一次不等式组的实际应用（高频）
题型八 一元一次不等式与一次函数（易错点）
【题型1】不等式的定义
1．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）下列各式是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24七年级下·山西临汾·期中）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（ ）
A． B． C． D．
【题型2】不等式的性质
4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如果，那么下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，若是任意实数，则下列不等式始终成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列不等式的变形中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【题型3】一元一次不等式(组)的定义
9．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）文天祥在《端午即事》中写道过“五月五日午，赠我一枝艾．故人不可见，新知万里外．丹心照夙昔，鬓发日已改．我欲从灵均，三湘隔辽海．”诗中写出了端午节欢愉的背后作者的一丝无奈，尽管在这种境况中，作者在内心深处仍然满怀着“丹心照夙昔”的壮志．端午节是中国传统节日之一，丹东市气象台发布端午节的天气情况，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为t（），则t的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4】解一元一次不等式(组)
12．（24-25七年级下·全国·单元测试）求不等式的正整数解．
13．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）解不等式：
(1)；
(2)．
14．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
15．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
16．（2024·江苏苏州·一模）解不等式组：
17．（24-25九年级上·山东济南·期末）解不等式组，并写出它的所有整数解．
18．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）解不等式组，并写出所有的整数解．
19．（24-25九年级上·北京顺义·期末）解不等式组：
【题型5】由一元一次不等式组的解集求参数
20．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．（23-24七年级下·陕西西安·期末）关于x的一元一次不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
22．（23-24七年级下·云南红河·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
23．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如果不等式组的解集为，则的取值范围为 ．
24．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m取值范围是 ．
25．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组 无解，则a的取值范围是
【题型6】不等式组与方程组的结合问题
26．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ．
27．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ．
28．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ．
29．（2023·山东淄博·一模）关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 .
30．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【题型7】一元一次不等式组的实际应用
31．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．

如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
(3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
32．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？
33．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情． 某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，设该商场采购x个篮球．
品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个
篮球 120 145
足球 100 120
(1)求该商场采购费用y （单位：元）与x（单位：个）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；
(3)受原材料和工艺调整等因素影响,采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求m的值．
34．（24-25八年级上·云南迪庆·期末）科技兴国，创新为本，某校在神舟一号发射成功20周年纪念日当天举办了第一届“科技节”展示活动，本届“科技节”以“筑梦航天”为主题，一一展示我国在航天事业上的成就，并对在本届“科技节”展示活动中表现优异的同学进行嘉奖．学校计划选购甲、乙两种图书作为本届“科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元购买甲种图书的数量和用400元购买乙种图书的数量相同．
(1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？
(2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
35．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元．
(1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？
(2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？
【题型8】一元一次不等式与一次函数
36．（2025·广东韶关·一模）如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
37．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
38．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
39．（24-25八年级下·北京·期中）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围为 ．
40．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图：
(1)【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质—应用，他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知，下表是y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 6 4 2 0 a 2 …
① ．
②描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接，根据函数图象写出该函数的一条性质： ．
(2)【拓展应用】
①若点，均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： ．
②结合函数的图象，请写出不等式的解集： ．
41．（23-24八年级下·广西河池·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
下面是小玉的探究过程，请补充完整：
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是y与x的几组对应值．
x … 0 1 2 3 …
y … 0 m 2 1 0 n …
表中 ， ；
(3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

(4)根据画出的函数图象，回答下列问题：
①当x 时，y随x的增大而增大；
②方程有 个解；
③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ．专题02 一元一次不等式和一元一次不等式（组）
（八大题型）
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题型一 不等式的定义
题型二 不等式的性质（重点）
题型三 一元一次不等式(组)的定义
题型四 解一元一次不等式(组)（高频）
题型五 不等式组的解集求参数（重点）
题型六 不等式组与方程组的结合问题（重点）
题型七 一元一次不等式组的实际应用（高频）
题型八 一元一次不等式与一次函数（易错点）
【题型1】不等式的定义
1．（23-24八年级下·甘肃张掖·阶段练习）下列各式是不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了不等式的定义，即用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，根据不等式的定义解答即可．
【详解】解：根据不等式定义：用不等号连接的用来表示不等关系的式子叫做不等式，
所以满足条件的只有A符合题意．
故选：A．
2．（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日是我国二十四节气中的冬至，道县当天最高气温是，最低气温，则这天气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的定义，根据题意找出不等关系是解答本题的关键．
根据题意可知，当天的气温应该大于或等于最低气温，且小于或等于最高气温，根据上述分析，即可列出不等式，得到答案．
【详解】解：根据题意可得：这天气温的变化范围是，
故选：D．
3．（23-24七年级下·山西临汾·期中）交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解．
【详解】解：由题意得：，故D正确．
故选：D．
【题型2】不等式的性质
4．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如果，那么下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，
根据不等式的基本性质1解答B，再根据不等式的基本性质2解答C，然后根据不等式的基本性质3解答D，最后根据不等式的基本性质解答A即可．
【详解】解：由，根据不等式的基本性质1，两边都减去1，得，所以B不正确；
由，根据不等式的基本性质2，两边都乘以5，得，所以C正确；
由，根据不等式的基本性质3，两边都除以，得，所以D不正确；
当，可知，但是，所以A不正确．
故选：C．
5．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）下列说法不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】此题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质进行判断即可得到答案．
【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意；
B、若，则，故本选项不符合题意；
C、若，则，故本选项不符合题意；
D、若，只有当时，，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（24-25八年级上·浙江衢州·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键．
根据所给数轴，得出及，再对所给选项依次进行判断即可．
【详解】解：由所给数轴可知，
且，所以故A选项不符合题意；
，故B选项不符合题意；
，故C选项不符合题意；
由，且得，，即故D选项符合题意．
故选：D．
7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）已知，若是任意实数，则下列不等式始终成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴，该选项错误，不合题意；
、∵，
∴，该选项正确，符合题意；
、∵，
当时，；当时，；当时，，该选项错误，不合题意；
、∵，
当时，；当时，；当时，，该选项错误，不合题意；
故选：．
8．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）下列不等式的变形中，错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题考查不等式的性质．根据不等式的性质进行逐项判断即可．
【详解】解：A、，则，故本选项不符合题意；
B、，则，故本选项不符合题意；
C、若，则，故本选项不符合题意；
D、若，则，故本选项符合题意；
故选：D．
【题型3】一元一次不等式(组)的定义
9．（23-24七年级下·全国·单元测试）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，逐一判断即可得．
【详解】解：A、中的次数为2，不是一元一次不等式，故本项不符合题意；
B、含有2个未知数x、y，不是一元一次不等式，故本项不符合题意；
C、是一元一次不等式，故本项符合题意；
D、中是分式，不是一元一次不等式，故本项不符合题意；
故选：C．
10．（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）文天祥在《端午即事》中写道过“五月五日午，赠我一枝艾．故人不可见，新知万里外．丹心照夙昔，鬓发日已改．我欲从灵均，三湘隔辽海．”诗中写出了端午节欢愉的背后作者的一丝无奈，尽管在这种境况中，作者在内心深处仍然满怀着“丹心照夙昔”的壮志．端午节是中国传统节日之一，丹东市气象台发布端午节的天气情况，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为t（），则t的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查列不等式组，根据题意列出不等式组是解题的关键．
【详解】解：t的变化范围是，
故选D．
11．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义．
一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：B．
【题型4】解一元一次不等式(组)
12．（24-25七年级下·全国·单元测试）求不等式的正整数解．
【答案】1，2，3，4，5
【分析】本题考查了求一元一次不等式的正整数解，先根据解一元一次不等式的步骤解不等式，再写出正整数解即可，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴正整数解有1，2，3，4，5．
13．（23-24八年级上·湖南湘潭·期末）解不等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
（1）按照去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项即可得到一元一次不等式的解集．
【详解】（1）解：，
去括号得，
移项得，
∴．
（2）解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
．
14．（23-24七年级下·辽宁鞍山·期末）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可．
【详解】解：去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：，
数轴表示如图：
15．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．
【答案】数轴见解析，
【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解不等式：
，
解不等式：
，
在数轴上表示为：
不等式组的解集为．
16．（2024·江苏苏州·一模）解不等式组：
【答案】
【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】解：由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
17．（24-25九年级上·山东济南·期末）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】，整数解为0，1
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，再得不等式组的解集为，最后结合整数解的定义进行作答即可．
【详解】解：∵
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
不等式组的所有整数解为0，1．
18．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）解不等式组，并写出所有的整数解．
【答案】，所有的整数解为
【分析】本题考查解不等式组，不等式的整数解．先分别求出各不等式的解集，取它们的公共部分即得不等式组的解集，进而得到其整数解．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∴所有的整数解为．
19．（24-25九年级上·北京顺义·期末）解不等式组：
【答案】
【分析】此题考查了解不等式组．求出每个不等式的解集，取公共部分即可．
【详解】解：
解不等式①得；
解不等式②得；
不等式组的解集为．
【题型5】由一元一次不等式组的解集求参数
20．（23-24七年级下·安徽黄山·期末）关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及整数解，正确掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
先求出的不等式组的解集，然后根据的不等式组只有3个整数解进行列不等式作答即可．
【详解】解：，
解得：，
∵不等式组只有3个整数解，
∴．
故选：B
21．（23-24七年级下·陕西西安·期末）关于x的一元一次不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．先求出不等式组的解集为，再根据这个不等式组只有4个整数解，确定，再进行求解即可．
【详解】解：，
由①得，，
由②得，，
∴不等式组的解集为，
又∵x的一元一次不等式组只有4个整数解，
∴整数解为：，，，；
∴，
∴，
故选：C．
22．（23-24七年级下·云南红河·期末）已知关于的不等式组无解，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组的求解，掌握不等式组解集的确定规则是解题的关键．由不等式组解的情况，构建关于待定参数的不等式，求解得解．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∵不等式组无解，
∴，
解得，；
故答案为：．
23．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如果不等式组的解集为，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解不等式组，根据所给不等式组解得，，根据此不等式组的解集为，即可得；掌握解不等式组的方法是解题关键．
【详解】解：
解不等式①，得，
由不等式②得，，
∵不等式组的解集为，
∴，
故答案为：．
24．（23-24七年级下·黑龙江鸡西·期末）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式组的整数解问题，先解不等式组，写出不等式组的解集，再根据恰有三个整数解，可求出m的范围．
【详解】解：解不等式得；
解不等式得，
∵恰有3个整数解，
∴整数解为，
∴，
解得：，
故答案为：．
25．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组 无解，则a的取值范围是
【答案】
【分析】本题主要考查了根据一元一次不等式组的解的情况求参数的取值范围、一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．根据原不等式组无解列出关于a的不等式，求解即可．
【详解】解：∵无解，
，
．
故答案为：．
【题型6】不等式组与方程组的结合问题
26．（23-24七年级下·新疆巴音郭楞·期末）已知关于x，y的方程组 的解都为负数，则整数a的值为 ．
【答案】0，
【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解、解一元一次不等式组，先解方程组，用a表示方程组的解，根据方程组的解都为负数得到关于a的不等式组，然后求解即可．
【详解】解：解关于x，y的方程组 ，得，
∵该方程组的解都为负数，
∴，即，
∴，
∴整数a的值为，，
故答案为：0，．
27．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得是解题关键．利用加减消元法求得，再建立不等式求m即可；
【详解】解：
由①②，得：，
∴，
当时，，
解得： ，
∴，
故答案为：
28．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解．
【详解】解：，
由得：，
∴，
∵，
∴，
∴a的取值范围是.
故答案为：.
29．（2023·山东淄博·一模）关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，把两个方程相减，可得，与的和不小于，即可求出答案．
【详解】把两个方程相减，可得
与的和不小于
解得：
k的取值范围为．
故答案为：．
30．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可．
【详解】解：∵、是二元一次方程组的解，
∴，
∵关于、的二元一次方程组的解满足，
∴，
∴解得：，
故答案为．
【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键．
【题型7】一元一次不等式组的实际应用
31．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2楼的转运问题，进行了调研，获得如下信息：
信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为．
信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列．

如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题：
(1)当辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为________（用含的代数式表示）；
(2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车；
(3)若该超市需转运100辆购物车，使用电梯总次数为5次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由．
【答案】(1)
(2)16
(3)见解析
【分析】本题考查了列代数式的应用，解一元一次方程，一元一次不等式组的应用，读懂题意列出代数式和不等式组是解题的关键．
（1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案；
（2）根据该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，由（1）可得，解出进而可求得答案；
（3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，
所以辆购物车叠放时长，
故答案为：．
（2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列，
因此由（1）可得，
解得，
（辆）
答：该超市直立电梯一次最多能转运16辆购物车．
（3）解：有3种方案，
设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，
由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输16辆购物车，
，
解得：，
为正整数，
，4，5，
共有3种运输方案：
①扶手电梯运3次，直立电梯运2次；
②扶手电梯运4次，直立电梯运1次；
③扶手电梯运5次．
32．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？
【答案】(1)
(2)5500元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用．
（1）根据利润等于单件利润乘以数量建立函数关系式即可；
（2）先求出自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
【详解】（1）解：由题知，
与的函数表达式为．
（2）解：由题知
由（1）知
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，（元）．
33．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的运动热情． 某商场体育用品需求量微增，采购员计划到厂家批发购买篮球和足球共100个，其中篮球个数不少于足球个数，付款总额不得超过11200元，已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如下表，设该商场采购x个篮球．
品名 厂家批发价元/个 商场零售价元/个
篮球 120 145
足球 100 120
(1)求该商场采购费用y （单位：元）与x（单位：个）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)该商场把这100个球全部以零售价售出，求商场能获得的最大利润；
(3)受原材料和工艺调整等因素影响,采购员实际采购时，篮球的批发价上调了元/个，同时足球批发价下调了元/个．该体育用品商场决定不调整商场零售价，发现将100个球全部卖出获得的最低利润是2150元，求m的值．
【答案】(1)
(2)2300元
(3)
【分析】（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可；
（2）设利润为W，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可；
（3）设利润为W，根据题意得到总利润，分和，利用一次函数的增减性质求解即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键．
【详解】（1）解：设该商场采购x个篮球，则采购个足球，
根据题意，，
由得，
答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为；
（2）解：该商场采购x个篮球，设利润为W，根据题意，得，
∵，
∴W随x的增大而增大，又，
∴当时，W最大，最大值为2300，
答：商场能获得的最大利润为2300元；
（3）解：该商场采购x个篮球，根据题意，得，
当即时，W随x的增大而增大，
又∵，
∴当时，W有最小值为，
解得，舍去；
当即时，W随x的增大而减小，
又∵，
∴当时，W有最小值为，
解得，
综上，满足条件的m值为．
34．（24-25八年级上·云南迪庆·期末）科技兴国，创新为本，某校在神舟一号发射成功20周年纪念日当天举办了第一届“科技节”展示活动，本届“科技节”以“筑梦航天”为主题，一一展示我国在航天事业上的成就，并对在本届“科技节”展示活动中表现优异的同学进行嘉奖．学校计划选购甲、乙两种图书作为本届“科技节”的奖品，已知甲种图书的单价比乙种图书单价多10元．用600元购买甲种图书的数量和用400元购买乙种图书的数量相同．
(1)甲、乙两种图书每本分别为多少元？
(2)若学校计划购买这两种图书共40本，且投入的经费不超过1050元，要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量，则共有几种购买方案？
【答案】(1)甲种图书每本为 30元，乙种图书每本为 20元
(2)共有 6 种购买方案
【分析】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
（1）用总费用除以单价即为数量，设乙种图书的单价为x元，则甲种图书的单价为元，根据两种图书数量之间的关系列方程；
（2）设购进甲种图书a本，则购进乙种图书本，根据“投入的经费不超过1050元，甲种图书数量不少于乙种图书的数量”列出不等式组解决问题．
【详解】（1）设乙种图书每本为 x 元，则甲种图书每本为元，
根据题意得：
解得：，
经检验， 是分式方程的根，且符合题意，
∴（元），
答：甲种图书每本为 30 元，乙种图书每本为 20 元；
（2）设购买甲种图书 a 本，由题意可得：
解得：，
∵a 为整数，
∴a 可取 20，21，22，23，24，25，
∴共有 6 种购买方案．
35．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元．
(1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？
(2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？
【答案】(1)A型50元，B型100元；
(2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件
【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系．
（1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案．
【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，
依题意得：
，
解得：，
答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元；
（2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，
由题意得：，
整理得：，
由题意可知，，
∴，
解得：，
∵n为正整数
∴n为8或9或10，
当时，；
当时，；
当时，；
∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件．
【题型8】一元一次不等式与一次函数
36．（2025·广东韶关·一模）如图，已知直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与不等式，先求出的值，根据图象法求出不等式的解集即可．
【详解】解：把代入，得：，
∴，
∵，
∴，
由图象可知：；
故选A．
37．（24-25九年级下·江苏淮安·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据一次函数的图象求一元一次不等式的解题，根据不等式即一次函数在轴下方求解即可．
【详解】解：不等式，即一次函数的图象在轴下方，
根据函数图像可知：当，不等式，
故答案为：．
38．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，正比例函数和一次函数的图象相交于点，则关于的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形法求不等式的解集，掌握自变量值的计算，图形法求不等式解集的方法是关键．
根据题意得到，结合图形即可求解．
【详解】解：正比例函数和一次函数的图象相交于点，
∴，
解得，，
∴，
结合图形，当时，，即，
故答案为： ．
39．（24-25八年级下·北京·期中）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想是解题的关键．根据函数图象即可求解．
【详解】解：由函数图象可知，当时，，
故答案为：．
40．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图：
(1)【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义—图象—性质—应用，他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知，下表是y与x的几组对应值：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 6 4 2 0 a 2 …
① ．
②描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接，根据函数图象写出该函数的一条性质： ．
(2)【拓展应用】
①若点，均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： ．
②结合函数的图象，请写出不等式的解集： ．
【答案】(1)①0；②见解析；该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线（答案不唯一）
(2)①；②或
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象和性质．
（1）①根据函数，计算出当对应的函数值，从而可以求得a的值；
②根据表格的数据，可以画出相应的函数图象，根据函数图象写出该函数的一条性质即可；
（2）①根据图象得出结论；
②观察函数图象，可以得到不等式的解集．
【详解】（1）解：①当时，代入，可得，
∴，
故答案为：0；
②利用表格中的x，y的对应值作为点的横纵坐标，描出各点，用平滑的线连接各点得：
观察函数图象发现：该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线，
故答案为：该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线；（答案不唯一）
（2）解：①若点，均在该函数图象上，则m，n满足的数量关系是：，
故答案为：；
②观察图象，不等式的解集是或，
故答案为：或．
41．（23-24八年级下·广西河池·期末）学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
下面是小玉的探究过程，请补充完整：
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)下表是y与x的几组对应值．
x … 0 1 2 3 …
y … 0 m 2 1 0 n …
表中 ， ；
(3)如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象；

(4)根据画出的函数图象，回答下列问题：
①当x 时，y随x的增大而增大；
②方程有 个解；
③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ．
【答案】(1)x为任意实数
(2)1，
(3)见解析
(4)①；②2；③
【分析】本题主要考查一次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键．
（1）根据函数解析式可得自变量x的取值范围是x为任意实数；
（2）把分别代入解析式可得m，n的值；
（3）根据表中各组对应值描点，画出函数的图象即可；
（4）①由图象可得答案；②观察图象可知，当时，或，即得方程有2个解；③由图象可知，当时，直线与的图象无交点即可解答．
【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是x为任意实数．
故答案为：x为任意实数；
（2）解：当时，；
当时，．
故答案为：1，；
（3）解：描出以表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象如下：
；
（4）解：①由图象可知，当时，y随x的增大而增大；
②由图象可知，当时，，
∴方程有2个解；
③由图象可知，当时，
∴关于x的方程无解，a的取值范围是．
故答案为：①；②2；③．

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