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专题03 图形的平移与旋转（十一大题型）
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题型一 生活中的平移现象
题型二 利用平移的性质求解（高频）
题型三 点坐标平移的变化
题型四 平移综合题（几何变换）（重点）
题型五 根据旋转的性质求解（高频）
题型六 坐标与旋转规律问题（重点）
题型七 旋转综合题（高频）
题型八 中心对称图形的识别（易错）
题型九 根据中心对称的性质求解
题型十 点坐标关于原点对称
题型十一 作图-平移旋转和中心对称综合
【题型1】生活中的平移现象
1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）下列哪个图形可以通过平移得到（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列现象中，属于平移的是（ ）
A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动
C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动
3．（2025七年级下·全国·专题练习）在中国园林建筑中，洞窗是最生动的眼睛，主要以镂空图案填心为主，故也称镂空花窗．花窗图案丰富多样，以各种植物，动物，字体，几何图案和其他图案为基础，相互交错形成多种吉祥图案．以下花窗的图样中，是通过平移设计的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24七年级下·全国·期末）下列各组图案中，属于平移变换的是（ ）
A．B．C． D．
5．（23-24七年级下·云南红河·期末）“写堂堂正正中国字，做堂堂正正中国人”，中国的汉字中有些也具有平移现象，下列汉字中可以看成由平移构成的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】利用平移的性质求解
6．（24-25八年级上·浙江·期末）四盏灯笼的位置如图，已知A，B，C，D的坐标分别是，，，，平移其中一盏灯，使得y轴两边的灯笼对称，下列说法正确的是（ ）
A．平移点A到 B．平移点C到
C．平移点C到 D．平移点B到
7．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
10．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，平移后得到，，，则的度数是 ．
11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，的周长是，将向右平移，得到．求四边形的周长 ．
12．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为 ．
【题型3】点坐标平移的变化
13．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）在平面直角坐标系内，将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，移动后的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
14．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于原点中心对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．（14-15八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，把经过一定的变换得到，若上一点P的坐标为，则这个点在中的对应点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
16．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【题型4】平移综合题(几何变换)
17．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且．
(1)直接写出点的坐标；
(2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系．
18．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，，连接．
(1)若，，求线段的长；
(2)若，
①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值；
②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围．
19．（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
(3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【题型5】根据旋转的性质求解
20．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，将C绕点A顺时针旋转，得到，点恰好落在斜边上，连接，则为（ ）
A． B． C． D．
21．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，将（其中）绕着直角顶点C逆时针方向旋转至，点B恰好落在上，若，，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．11 D．12
22．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
23．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，D、E是斜边BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后得到，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
24．（2023·福建厦门·三模）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为
25．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为 ．
【题型6】坐标与旋转规律问题
26．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．依次进行下去…若点，，则点的横坐标是（ ）
A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5
27．（24-25八年级上·山东泰安·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
28．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ．
29．（24-25九年级上·黑龙江·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点．，且．把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到 依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为 ．
【题型7】旋转综合题
30．（24-25八年级上·四川巴中·期末）（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____．
（2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长．
31．（24-25八年级上·山东东营·期末）【方法探索】
（1）如图1．已知点D是等边内一点，且，，．求的度数．
解：如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，连结，
∵，，
∴，，
∴ 是等边三角形
∴，
∵在中，
∴
∴
方法总结：通过旋转把已知线段转化在同一个三角形中，运用勾股定理逆定理解决．
【综合运用】
（2）如图1，在（1）的条件下，求的面积．
【类比迁移】
（3）如图2，已知点E为正方形内的一点，，，，把绕着点B逆时针旋转，得到，连接，求的度数．
【题型8】中心对称图形的识别
32．（23-24八年级上·陕西西安·期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选C．
33．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．斐波那契螺旋线 B．蝴蝶曲线
C．赵爽弦图 D．笛卡尔心形线
34．（24-25九年级上·浙江台州·期末）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
35．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）剪纸是中国的传统文化之一，剪纸图案中一般蕴含着对称美，下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
36．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）分形图形是一种具有自相似性的图形．下列四个分形图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【题型10】点坐标关于原点对称
37．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）已知点与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
38．（24-25九年级上·广东云浮·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为 ．
39．（24-25九年级上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
【题型11】作图-平移，旋转和中心对称综合
40．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出绕点B逆时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标为_____；
(2)画出与关于原点对称的．
41．（23-24九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)画出将关于原点O的中心对称图形．
(2)将绕点E顺时针旋转得到，画出．
(3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______．
42．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请直接写出顶点，的坐标；
(2)若和关于原点成中心对称图形，请直接写出的各顶点的坐标；
(3)将绕着点按顺时针方向旋转得到，请在坐标系中画出．专题03 图形的平移与旋转（十一大题型）
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题型一 生活中的平移现象
题型二 利用平移的性质求解（高频）
题型三 点坐标平移的变化
题型四 平移综合题（几何变换）（重点）
题型五 根据旋转的性质求解（高频）
题型六 坐标与旋转规律问题（重点）
题型七 旋转综合题（高频）
题型八 中心对称图形的识别（易错）
题型九 根据中心对称的性质求解
题型十 点坐标关于原点对称
题型十一 作图-平移旋转和中心对称综合
【题型1】生活中的平移现象
1．（24-25七年级下·福建厦门·期中）下列哪个图形可以通过平移得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查图形的平移，根据平移的基本性质，平移不改变图形的形状和大小，结合图形，对选项进行一一分析，即可求解．
【详解】解：由平移知，B选项可以通过平移得到，其余选项都不可以通过平移得到，
故选：B．
2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下列现象中，属于平移的是（ ）
A．足球在草坪上滚动 B．货物在传送带上移动
C．小朋友在荡秋千 D．汽车雨刮器的摆动
【答案】B
【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键．
根据平移的定义判断即可．
【详解】解：A．足球在草坪上滚动，属于旋转，故该选项不符合题意；
B．货物在传送带上移动，属于平移，故该选项符合题意；
C．小朋友在荡秋千，属于旋转，故该选项不符合题意；
D．汽车雨刮器的摆动，属于旋转，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）在中国园林建筑中，洞窗是最生动的眼睛，主要以镂空图案填心为主，故也称镂空花窗．花窗图案丰富多样，以各种植物，动物，字体，几何图案和其他图案为基础，相互交错形成多种吉祥图案．以下花窗的图样中，是通过平移设计的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的定义是解题的关键；
根据平移的定义逐项判断即可；
【详解】解∶A．该图案可以看作是由一个基本图形沿着某个方向进行平移，重复排列而形成的．平移过程中，基本图形的形状、大小和方向都没有发生变化，只是位置发生了改变，符合平移的定义，故该选项符合题意；
B．该图案明显是围绕着一个中心点进行旋转，旋转角度相同，从而形成了该图案，并非平移， 故该选项符合题意；
C．该图案是围绕着一个中心点进行旋转，旋转角度相同，从而形成了该图案，不满足平移的特征，故该选项符合题意；
D．该图案是基本图形围绕一个中心点进行旋转，其旋转一定角度后得到整个图案，不是平移得到的，故该选项符合题意；
故选：A．
4．（23-24七年级下·全国·期末）下列各组图案中，属于平移变换的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查图形的平移变换，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，运动前后形状与大小没有改变，并且对应线段平行且相等的图形即为平移得到的图案学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．
【详解】解：由于平移只改变位置，不改变方向，大小和形状，故四个选项中，只有D选项符合题意，
故选：D．
5．（23-24七年级下·云南红河·期末）“写堂堂正正中国字，做堂堂正正中国人”，中国的汉字中有些也具有平移现象，下列汉字中可以看成由平移构成的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的性质，进行判断即可．
【详解】解：根据题意， 可得：“朋”可以通过平移得到．
故选：B．
【题型2】利用平移的性质求解
6．（24-25八年级上·浙江·期末）四盏灯笼的位置如图，已知A，B，C，D的坐标分别是，，，，平移其中一盏灯，使得y轴两边的灯笼对称，下列说法正确的是（ ）
A．平移点A到 B．平移点C到
C．平移点C到 D．平移点B到
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与平移，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中关于y轴对称点的坐标特征．观察各个点的坐标，根据关于y轴对称点的坐标特征判断A、D两点关于y轴对称，从而判断点B不动，点C向右平移，根据 关于y轴对称点的坐标特征求出点C平移后的坐标即可．
【详解】解：∵A点坐标是，D点坐标是，
∴A、D两点关于y轴对称，
∵，
∴把点C向右平移3个单位后的坐标为，
∵2与是互为相反数，
∴和关于y轴对称，
∴平移点C到可使得y轴两边的灯笼对称，
故A，C，D选项的说法错误，B选项的说法正确，
故选：B．
7．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，进而可得，据此即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：由平移得，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．（24-25七年级下·全国·期末）如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置．若，阴影部分的面积为26，则的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】此题主要考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．由，推出即可解决问题；
【详解】解：∵，，
，
由题可得，，
，
，
解得．
故选：D．
9．（23-24七年级下·湖北荆门·期末）如图，将梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】11
【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解．
【详解】解： ，
，
梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，
，
，
，
故答案为：．
10．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，平移后得到，，，则的度数是 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理的运用，掌握平移的性质是解题的关键．
根据三角形内角和定理得到，再根据平移得到，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵平移后得到，
∴，
故答案为： ．
11．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，的周长是，将向右平移，得到．求四边形的周长 ．
【答案】/22厘米
【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，即可得到四边形的周长，熟知平移的性质是解题的关键．
【详解】解：由平移的性质可知，，，，
由于的周长是，即，
则四边形的周长
，
故答案为：．
12．（24-25八年级上·山东东营·期中）如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质、勾股定理，根据图形得到内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长是解题的关键．
由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，故内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长，利用勾股定理得到的长度，然后计算周长即可．
【详解】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的，
∵在中，，，
∴，
由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，
内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长，
内部五个小直角三角形的周长为：．
故答案为：24．
【题型3】点坐标平移的变化
13．（23-24八年级下·重庆沙坪坝·开学考试）在平面直角坐标系内，将先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，移动后的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化．根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案．
【详解】解：∵点，
∴先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的点的坐标是，
即，
故选：C．
14．（24-25八年级上·山东泰安·期末）如如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于原点中心对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，坐标与图形变化——平移（已知点平移前后的坐标，判断平移方式；由平移方式确定点的坐标）等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称，坐标与图形变化——平移是解题的关键．
先求出点、关于原点对称的点、的坐标，然后根据点、判断出平移方式，再根据点及平移方式确定出点的坐标即可．
【详解】解：与关于原点中心对称，且，，
，，
把平移后得到，且，
向上平移了个单位长度，
，即，
故选：．
15．（14-15八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，把经过一定的变换得到，若上一点P的坐标为，则这个点在中的对应点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．先观察和得到把向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到，然后把点向上平移2个单位，再关于y轴对称得到点的坐标为，即为点的坐标．
【详解】解：∵把向上平移2个单位，再关于y轴对称可得到，
∴点的对应点的坐标为．
故选：C．
16．（23-24八年级上·安徽滁州·期中）若将点先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到的，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平移的变坐标换，解题的关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得，再根据可得，，然后再解方程即可．
【详解】解：设，将点A先向左平移1个单位，再向上平移4个单位可得，
∵得到的，
∴，
解得：，
∴，
故选：C．
【题型4】平移综合题(几何变换)
17．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且．
(1)直接写出点的坐标；
(2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系．
【答案】(1)
(2)存在点满足，点的坐标为或
(3)点在运动过程中，或．
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图象的变换，掌握图形的平移规律，几何图形面积的计算方法，平行线的判定和性质等知识是解题的关键．
（1）根据平移的性质可得点向左边平移了6个单位，由此即可求解；
（2）根据题意，设点，则，用含的式子表示，根据绝对值的性质即可求解；
（3）根据题意，图形结合，分类讨论，当点在上时；当点在点的右边时；根据平行线的判定和性质即可求解．
【详解】（1）解：已知点，点，将线段平移至，
∴点的纵坐标为，横坐标为，
∴；
（2）解：存在，理由如下，
设点，则，且，，
∴，，
∵，
∴，整理得，，
当时，，
解得，，则；
当时，，
解得，，则；
综上所述，存在点满足，点的坐标为或；
（3）解：已知点在轴的正半轴上移动（不与点重合），
第一种情况，当点在上时，如图所示，作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
第二种情况，当点在点的右边时，如图所示，作，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上所述，点在运动过程中，或．
18．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知点，，连接．
(1)若，，求线段的长；
(2)若，
①平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，求c的值；
②连接，，记三角形的面积为S，若，，时，求b的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②，且
【分析】（1）可求，，可得A、B纵坐标相同，故线段轴，即可求解；
（2）①由得，则可得，，由平移的性质可得，，则可得，，进而可求出c的值
②分四种情况讨论：（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ），（ⅳ），先列出S与b的关系式，再根据列不等式求出b的范围即可．
【详解】（1）解：若，，
则，，
则轴，
．
（2）解：①若，
则，
∴，，
∴将点A向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到B点．
∴平移线段，使点A，B的对应点分别为点，，
∴，，
∴将点P向左移6个单位，再向上平移2个单位，即可得到Q点．
，，
解得，．
②由①得，．
（ⅰ）如图，当时，
，
∵，
，
解得，
时，成立；
（ⅱ）如图，当时，
此时，，且由图知，
∴，成立；
（ⅲ）如图，当时，
此时，，且由图知，
∴，成立；
（ⅳ）如图，当时，
，
，
，
解得，
∴当时，成立；
综上，当时，b的取值范围是：，且．
【点睛】本题主要考查了平行于坐标轴的线段长、平移变换、动点三角形面积问题、一元一次不等式的应用等知识，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题的关键．
19．（23-24七年级下·重庆江津·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标，点B的坐标是，将线段向右平移得到线段，点D的坐标为，过点D作轴，垂足为E，动点P以每秒2个单位长度的速度匀速从点A出发，沿着A→E→D的方向向终点D运动，设运动时间为t秒.
(1)点C的坐标是______，当点P出发5秒时，则点P的坐标是______；
(2)当点P运动时，用含t的式子表示出点P的坐标；
(3)当点P在线段上运动时，是否存在点P使得三角形的面积是四边形面积的，若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，试说明理由.
【答案】(1)； ；
(2)点在上运动时，，点P在上运动时，
(3)存在，或.
【分析】本题是平移综合题，考查了三角形的面积，动点问题，解题的关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据题意，，进而求出点的坐标；由题意得，，，点在上，且，进而表示出点的坐标；
（2）当点在上运动时，当点在上运动时，分别表示出点的坐标即可作答；
（3）先求出四边形的面积,点在上运动时列方程求解即可．
【详解】（1）解：点的坐标是，点的坐标为，
由平移的性质得，
点的坐标，
；
由题意得，，，
点的运动速度为每秒2个单位长度，
出发5秒时，运动的距离为10个单位长度，
此时点在上，且，
点的坐标为，
故答案为：，；
（2）解：当点在上运动时，
，
点的坐标为；
当点在上运动时，
，
点的坐标为，
点的坐标为；
（3）解：四边形的面积为，
，
当点在上运动时，边上的高为4，
即，
解得，
点的坐标为或，
【题型5】根据旋转的性质求解
20．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，将C绕点A顺时针旋转，得到，点恰好落在斜边上，连接，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出是解题的关键．
利用旋转的性质得出，，进而利用等腰三角形的性质得出的度数，然后直角三角形两锐角互余求出，即可由．
【详解】解：把绕点顺时针旋转，得到，点恰好落在边上，
，，
，
∵，
∴，
∴．
故选：A．
21．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，将（其中）绕着直角顶点C逆时针方向旋转至，点B恰好落在上，若，，，则的长为（ ）
A．8 B．9 C．11 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质和全等三角形的性质和判定等知识，根据旋转的性质得出，结合已知条件及利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵将绕点C逆时针旋转至，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
22．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，已知点，，与关于轴对称，连结，现将线段以点为中心逆时针旋转得，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查旋转的性质，坐标与图形---轴对称，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．过点作轴于点，结合旋转的性质证明，再利用坐标与图形---轴对称和全等三角形性质求解，即可解题．
【详解】解：过点作轴于点，
有，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，
点，，与关于轴对称，
，，
，
点的对应点的坐标为，
故选：A．
23．（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，在中，，D、E是斜边BC上两点，且，将绕点A顺时针旋转后得到，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
由旋转的性质可得，，可判断②；结合可得，即，运用可证明，即可判断①；再根据等腰三角形的性质以及等量代换可得，由勾股定理可判断③错误、④正确．
【详解】解：∵绕点A顺时针旋转后得到，
∴，，，即②正确；
∵，
∴，即，
∴，即①正确；
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，即：，即③错误，④正确．
综上，正确的为①②④．
故选B．
24．（2023·福建厦门·三模）如图，在中，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点B之间的距离为
【答案】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，先连接，先证明为等边三角形得到，再证明是等边三角形得到，再根据勾股定理求得，进而得出答案．
【详解】解：如图所示，连接，
根据旋转的性质得，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴，
∴
根据勾股定理，得，
∴，
∴点与点B之间的距离为，
故答案为：．
25．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点恰好在边上，连接，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，由题意可得，即得，，进而由旋转得为等边三角形，得到，即得，得到为等边三角形，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
由旋转得，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
故答案为：．
【题型6】坐标与旋转规律问题
26．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转到的位置，点，分别落在点，处，点在轴上．再将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．将绕点顺时针旋转到的位置，点在轴上．依次进行下去…若点，，则点的横坐标是（ ）
A．6072 B．6073.5 C．6078 D．6079.5
【答案】B
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系坐标的规律问题，
先求出各点的坐标，再根据规律解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴点的横坐标为．
故选：B．
27．（24-25八年级上·山东泰安·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为轴建立平面直角坐标系，如图2所示．已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点顺时针转动，则第2025秒时，点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查坐标变化的规律—旋转型，找到A点的坐标循环的规律是解题的关键．
根据旋转的性质分别求出第、、、、…时，点A的对应点、、、、…的坐标，找到规律，A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，进而得出第时，点的对应点的坐标．
【详解】解：如图．
∵，叶片每秒绕原点O顺时针转动，
∴，，，，…
∴A点的坐标以每4秒为一个周期依次循环，
∵
∴第时，点的对应点的坐标与相同，为．
故选：C．
28．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．
【详解】解：是等腰直角三角形，，
，
，
将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且，
再将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且，
，
依此规律，
∴每4次循环一周，
，
，
∴点与、、 同在一个象限内，
、、 的横坐标分别为、、 ，纵坐标分别为、、 ，
∴点，
故答案为：．
29．（24-25九年级上·黑龙江·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点．，且．把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到 依此类推，得到的等腰直角三角形的直角顶点的坐标为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了坐标与图形变化-旋转、等腰三角形的性质、图形的规律等知识点，发现各点坐标的变化规律是解题的关键．根据题意可以求得的坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，，从而发现其中的变化的规律，然后根据规律即可解答．
【详解】解：如图：作轴于H，
∵点，，
，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴的纵坐标为1，，
∵把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到，
∴的坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，
∴，
当时，．
故答案为：．
【题型7】旋转综合题
30．（24-25八年级上·四川巴中·期末）（1）问题：如图1，在中，，，为边上一点（不与点，重合），连接，过点作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是_____，位置关系是_____．
（2）探索：如图2，当点为边上一点（不与点，重合），与均为等腰直角三角形，，，．试探索，．之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长．
【答案】（1），；（2），证明见解析；（3）
【分析】（1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明得到，，再证明，得到，则，；
（2）如图所示，连接，先根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，得到，，则，由勾股定理得到，则；再由勾股定理得到，即可得到；
（3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，则，，即可推出，， 证明，得到， ，则由勾股定理得，进而得到，则．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
∴，；
故答案为：，；
（2），证明如下：
如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
（3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质，等腰直角三角形的性质等，掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键．
31．（24-25八年级上·山东东营·期末）【方法探索】
（1）如图1．已知点D是等边内一点，且，，．求的度数．
解：如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，连结，
∵，，
∴，，
∴ 是等边三角形
∴，
∵在中，
∴
∴
方法总结：通过旋转把已知线段转化在同一个三角形中，运用勾股定理逆定理解决．
【综合运用】
（2）如图1，在（1）的条件下，求的面积．
【类比迁移】
（3）如图2，已知点E为正方形内的一点，，，，把绕着点B逆时针旋转，得到，连接，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意，填空即可；
（2）过点作交延长线与点E，由（1）知，求出，求出利用含30度角的直角三角形的性质求出，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）由旋转的性质得，，，，求出，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且，由即可解答．
【详解】解：（1）解：如图1，将绕点A逆时针旋转，得到，连结，
∵，，
∴，，
∴是等边三角形
∴，
∵在中，
∴
∴；
（2）过点作交延长线与点E，
由（1）知
∴
∵，
∴
∵
∴的面积为：；
（3）由旋转的性质得，，，，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴
∵在中，，
∴
∴
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理逆定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质，解决问题的关键是熟练掌握旋转的性质．
【题型8】中心对称图形的识别
32．（23-24八年级上·陕西西安·期末）中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“大雪”“芒种”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
C．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
D．该图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；
故选C．
33．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．斐波那契螺旋线 B．蝴蝶曲线
C．赵爽弦图 D．笛卡尔心形线
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的概念即可判断，掌握中心对称的概念是解题的关键．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故选项不符合题意；
故选：C．
34．（24-25九年级上·浙江台州·期末）下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中心对称和轴对称图形定义．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．
【详解】解：∵A选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，
∵B选项是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意，
∵C选项不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意，
∵D选项不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，
故选：C．
35．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）剪纸是中国的传统文化之一，剪纸图案中一般蕴含着对称美，下列图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
36．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）分形图形是一种具有自相似性的图形．下列四个分形图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，
故此选项不合题意；
B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，
故此选项合题意；
C．该图形是中心对称图形，是轴对称图形，
故此选项合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，
故此选项不符合题意；
故选：C．
【题型10】点坐标关于原点对称
37．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）已知点与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．
【详解】解：平面直角坐标系中，已知点与点Q关于原点对称，
则Q点坐标为．
故选：C．
38．（24-25九年级上·广东云浮·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点为，则的值为 ．
【答案】36
【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得，，分别求出a、b的值，再代入即可得到答案．
【详解】解：∵点关于原点的对称点为，
∴，，
解得：，，
∴．
故答案为：36．
39．（24-25九年级上·江西南昌·期末）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】
【分析】此题考查关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数，据此解答即可
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：
【题型11】作图-平移，旋转和中心对称综合
40．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出绕点B逆时针旋转90°后得到的，并写出点的坐标为_____；
(2)画出与关于原点对称的．
【答案】(1)图见解析，
(2)如图，即为所作
【分析】本题考查作图：原点对称变换，旋转变换等知识．
（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到即可．
【详解】（1）解：如图，即为所作．点的坐标为，
故答案为：；
（2）解：如图，即为所作．
41．（23-24九年级上·北京·期中）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)画出将关于原点O的中心对称图形．
(2)将绕点E顺时针旋转得到，画出．
(3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)
【分析】本题主要考查了作关于原点对称的图形，旋转作图，确定旋转中心，
对于（1），作点A，B，C关于原点对称的点，再依次连接即可；
对于（2），将点D，F绕点E顺时针旋转得到点，再依次连接；
对于（3），连接，并作的垂直平分线，再连接，并作的垂直平分线，两条直线交于点P，确定坐标即可．
【详解】（1）如图所示，
（2）如图所示，
（3）如图所示，点P即为所求作的点，其坐标是．
故答案为：．
42．（23-24八年级下·山东枣庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，请直接写出顶点，的坐标；
(2)若和关于原点成中心对称图形，请直接写出的各顶点的坐标；
(3)将绕着点按顺时针方向旋转得到，请在坐标系中画出．
【答案】(1)，
(2)，，
(3)见解析
【分析】本题考查了平移的性质，关于原点对称的点的特征，画旋转图形．
（1）根据平移后坐标为，得出平移变换是向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，即可解答；
（2）根据关于原点对称的点横坐标和纵坐标都互为相反数，即可解答；
（3）根据旋转的性质，先画出点，再依次连接即可．
【详解】（1）解：∵平移后坐标为，
∴平移变换是向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，
∵，，
∴，．
（2）解：∵和关于原点成中心对称图形，且，，，
∴，，．
（3）解：根据旋转的性质，画图如下：

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