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专题05分式及分式方程（六大题型）
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题型一 分式有意义的条件
题型二 分式的基本性质（高频）
题型三 分式化简求值（高频）
题型四 解分式方程（重点）
题型五 分式方程的解及增根问题（易错）
题型六 分式方程的实际应用（重点）
【题型1】分式有意义的条件
1．（24-25八年级上·河北沧州·期末）若分式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·山东滨州·期末）根据下列表格信息，可能为（ ）
… 0 1 2 …
… * 0 * * 无意义 …
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
4．（23-24九年级上·山东淄博·期末）若分式无意义，则x的取值范围是 ．
5．（24-25八年级上·云南临沧·期末）若分式的值为0，则x的值为 ．
【题型2】分式的基本性质
6．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（　 ）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．缩小为原来的
7．（24-25八年级上·福建福州·期末）若分式中x，y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　）
A．不变 B．扩大到原来的3倍
C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的
8.（24-25八年级上·四川泸州·期末）若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不能确定
9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．缩小为原来一半 B．扩大为原来的2倍
C．无法确定 D．保持不变
【题型3】分式化简求值
10．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）若，则的值是 ．
11．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知，且，则的值为 ．
12．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若实数x满足，则的值为 ．
13．（2024·四川成都·模拟预测）若，则 ．
14．（24-25八年级上·湖北随州·期末）先化简，再求值：，其中．
15．（24-25八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中从中选取一个合适的数代入求值．
16．（24-25八年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中．
17．（24-25八年级上·四川南充·期末）先化简，然后从，0，1，2四个数中选取一个适当的数作为x的值再代入求值．
18．（24-25八年级上·四川泸州·期末）先化简，再求值：，其中．
【题型4】解分式方程
19．（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程：
(1)； (2)．
20．（24-25八年级上·湖北随州·期末）解下列分式方程
(1)；
(2)．
21．（24-25八年级上·山东淄博·期末）解方程：
(1) (2)
22．（24-25八年级上·云南昭通·期末）解下列分式方程：
(1) (2)
23．（24-25八年级上·河南周口·期末）解分式方程：
(1)； (2)．
【题型5】分式方程的解及增根问题
24．（24-25八年级上·云南临沧·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
25．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
26．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
27．（24-25八年级上·云南保山·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
28．（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．且
29．（24-25八年级上·全国·期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【题型6】分式方程的实际应用
30．（24-25八年级上·河北保定·期末）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
31．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）初二1班同学们计划购进A，B两种水果送给社区养老院，其中A种水果的售价比B种水果的售价低4元，用240元购进种水果的数量是用160元购进种水果数量的2倍，求A种水果的售价？若设A种水果的售价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
32．（24-25八年级上·青海海东·期末）《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定时间．设规定时间为天，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
33．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）在六盘水市“六个强化”政策保障下，我市快递业务投递量不断增加．某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求现在平均每人每周投递快件多少件？设现在平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
34．（2025·重庆綦江·一模）孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元．
(1)求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？
(2)“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值．
35．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
(2)该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？
36．（23-24八年级下·云南红河·期末）文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买、两种绘画工具用于打造文化手绘墙．已知每件种工具的单价比每件种工具便宜元，用元购买种工具的数量和用元购买种工具的数量相同．
(1)求、两种工具的单价各是多少元．
(2)该县计划购买、两种工具共件，且种工具的数量不大于种工具数量的倍，请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用．
37．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．
(1)求每辆型汽车进价是多少万元？
(2)若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多可以购买A型汽车多少辆？
38．（24-25八年级上·河南新乡·期末）为改善道路通行条件，某市在周年国庆前夕将城市一段主干道进行拓宽改造．该项工程若由甲工程队单独施工，恰好能在规定时间内完成；若由乙工程队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙两个工程队先合作施工天，那么余下的工程由甲工程队单独施工还需天完成．
(1)求这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元．为了缩短工期以减少对交通的影响，工程指挥部决定该工程由甲、乙两个工程队合作来完成，则该工程的施工费用是多少？
39．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
40．（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？专题05分式及分式方程（六大题型）
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题型一 分式有意义的条件
题型二 分式的基本性质（高频）
题型三 分式化简求值（高频）
题型四 解分式方程（重点）
题型五 分式方程的解及增根问题（易错）
题型六 分式方程的实际应用（重点）
【题型1】分式有意义的条件
1．（24-25八年级上·河北沧州·期末）若分式有意义，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和解一元一次不等式，解题的关键是掌握分式的分母不能为零．
根据分式有意义的条件即可求出结果．
【详解】解：根据分式有意义的条件可得，
解得
故选：B．
2．（24-25八年级上·山东滨州·期末）根据下列表格信息，可能为（ ）
… 0 1 2 …
… * 0 * * 无意义 …
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了分式的值为零的条件、分式无意义的条件，根据分式的值为零的条件以及分式无意义的条件并结合表格即可得解．
【详解】解：由表格可得，当时，分式的值为零，当时，分式的值无意义，故符合题意，
故选：C．
3．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）若分式的值为0，则x的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】此题主要考查了分式值为零的条件，分式的值为0的条件是同时满足：（1）分子为0；（2）分母不为0．据此解答即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
解得．
故选：D．
4．（23-24九年级上·山东淄博·期末）若分式无意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查分式无意义的条件，根据题意得到分母等于0，得到，进而求解．掌握分式无意义的条件是分母等于0是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，
∴，
故答案为：．
5．（24-25八年级上·云南临沧·期末）若分式的值为0，则x的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为，②分母的值不为，这两个条件缺一不可．根据分子等于，且分母不等于列式求解即可．
【详解】解：由题意得，且，
解得．
故答案为：．
【题型2】分式的基本性质
6．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（　 ）
A．扩大3倍 B．缩小为原来的
C．不变 D．缩小为原来的
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解题关键是用到了整体代入的思想．把原分式中的、换成、，进行计算，再与原分式比较即可．
【详解】解：把原分式中的、换成、，则
，
所以缩小为原来的
故选：B．
7．（24-25八年级上·福建福州·期末）若分式中x，y都扩大为原来的3倍，则该分式的值（　　）
A．不变 B．扩大到原来的3倍
C．扩大到原来的9倍 D．缩小到原来的
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴该分式的值扩大到原来的3倍．
故选：B．
8.（24-25八年级上·四川泸州·期末）若分式中x，y的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大为原来的2倍
C．扩大为原来的4倍 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，
将x，y分别扩大2倍，再约分可得答案．
【详解】解：根据题意，得，
所以分式的值扩大为原来的2倍．
故选：B．
9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）
A．缩小为原来一半 B．扩大为原来的2倍
C．无法确定 D．保持不变
【答案】D
【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可．
【详解】解：由题意得：，
即分式的值保持不变，
故选：D．
【题型3】分式化简求值
10．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）若，则的值是 ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式的化简求值，由题意可得，再将所求式子变形，代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知，且，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算性质是解题的关键．先将变形得到，将其代入化简计算即可．
【详解】解： ，
，
．
故答案为：1．
12．（24-25九年级上·福建泉州·期末）若实数x满足，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式化简求值．将，整理得，代入中即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
将代入中得．
故答案为：．
13．（2024·四川成都·模拟预测）若，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查分式的化简求值，利用整体思想求解是解答的关键．先由已知得到，再化简原式，然后整体代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：4．
14．（24-25八年级上·湖北随州·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据分式的运算法则进行化简，再代入求值．
【详解】解：原式
；
将代入原式．
15．（24-25八年级上·吉林·期末）先化简，再求值：，其中从中选取一个合适的数代入求值．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再根据分式有意义的条件确定的值，最后把的值代入化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的运算法则和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵且且，
∴且且，
∴，
∴原式．
16．（24-25八年级上·福建厦门·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，先计算式子中的括号内的运算，再计算括号外的除法，化简后将a的值代入即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
17．（24-25八年级上·四川南充·期末）先化简，然后从，0，1，2四个数中选取一个适当的数作为x的值再代入求值．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可．
【详解】解：
，
∵，0，
∴把代入得：原式．
18．（24-25八年级上·四川泸州·期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】，4
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则成为解题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简，然后将代入计算即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
【题型4】解分式方程
19．（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)无解
(2)
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键．
（1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题；
（2）解题方法与（1）类似．
【详解】（1）解：
化为整式方程得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
系数化为1得，，
检验：把代入，
∴是原方程的增根，原方程无解；
（2）解：
化为整式方程得，，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
检验：把代入，
∴是原方程的解．
20．（24-25八年级上·湖北随州·期末）解下列分式方程
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是分式方程的解法，掌握分式方程的解法步骤是解本题的关键．
（1）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可；
（2）先去分母，把方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
∴，
解得：；
经检验：是原方程的解．
（2），
去分母得：，
∴，即，
解得：，
经检验：是原方程的解．
21．（24-25八年级上·山东淄博·期末）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式方程，熟记解方程步骤，去分母，去括号，移项合并，系数化１，即可求解．
（1）方程两边同时乘去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
（2）方程两边同时乘去分母，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：
去分母得：
去括号得：
移项合并解得：
经检验，是原方程的解
所以；
（2）
去分母得：
去括号得：
移项合并得：
解得：
经检验，是原方程的解
所以．
22．（24-25八年级上·云南昭通·期末）解下列分式方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解分式方程：
（1）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；
（2）去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后进行检验即可；
【详解】（1）解：去分母，得：
解得：；
检验：当时，，
∴原分式方程的解为；
（2）解：去分母，得：
解得：；
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
23．（24-25八年级上·河南周口·期末）解分式方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
（1）方程两边同乘，可去分母，得到关于的一元一次方程，求解并检验即可；
（2）方程两边同乘，可去分母，得到关于的一元一次方程，求解并检验即可．
【详解】（1）方程两边同乘，
得：，
解得：．
检验：当时，
所以，原分式方程的解为．
（2）方程两边同乘，
得：，
解得：．
检验：当时，
因此不是原分式方程的解，
所以，原分式方程无解．
【题型5】分式方程的解及增根问题
24．（24-25八年级上·云南临沧·期末）若关于x的分式方程的解为正数，则a的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的解法，解分式方程，再根据题意列不等式即可求出答案．解题的关键是熟练运用分式方程的解法．
【详解】解：，
，
，
，
，
关于x的分式方程的解为正数，
，解得，
当时，，此时分式方程无解，
故，
a的取值范围是且，
故选：C．
25．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．将方程的第二个分母提取变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为，即可求出的值．
【详解】解：方程变形得：，
去分母得：，
解得：
∵方程有增根，
∴，即，
解得：，
故选：A．
26．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若关于x的分式方程的解为正实数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查根据分式方程的解得情况求参数的范围，求出方程的解，根据方程的解的情况结合分式有意义的条件，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：解，得：，
∵分式方程的解为正实数，
∴且，
∴且，
∴且；
故选C．
27．（24-25八年级上·云南保山·期末）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】先求出分式方程的解，由方程的解是非负数得，由，得，计算可得答案．此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
得，
∵分式方程的解是非负数，
∴，
即，
得，
∵，
∴，得，
∴且，
故选：C．
28．（24-25八年级上·四川自贡·期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．且
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，根据解分式方程的方法可以求得的取值范围，即可求解．解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得
，
移项及合并同类项，得
，
∵分式方程的解是非负数，，
∴，
解得，且，
故选：A．
29．（24-25八年级上·全国·期末）若关于的方程的解为负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程解的情况，解题关键是熟练的解分式方程并根据题意列出不等式，注意：分式的分母不为．先解方程，再根据题意列不等式即可．
【详解】解：
关于的方程的解为负数，
，且，
解得：，
故选：A．
【题型6】分式方程的实际应用
30．（24-25八年级上·河北保定·期末）《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为，宽为的长方形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少？设边框的宽度为，根据题意，可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可．
【详解】解：装裱后的长为，宽为，
根据题意，得，
故选：C
31．（24-25八年级上·重庆九龙坡·期末）初二1班同学们计划购进A，B两种水果送给社区养老院，其中A种水果的售价比B种水果的售价低4元，用240元购进种水果的数量是用160元购进种水果数量的2倍，求A种水果的售价？若设A种水果的售价为x元，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答时根据条件建立方程是关键．
根据用240元购进A种水果的数量是用160元购进B种水果数量的2倍，列方程即可．
【详解】解：设A种水果的进价为x元，则B种水果的进价为元，
由题意得，．
故选：D．
32．（24-25八年级上·青海海东·期末）《九章算术》中记录的一道题目译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定时间．设规定时间为天，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的应用，熟练掌握分式方程是解题的关键．根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天，根据题意列方程得，解答即可．
【详解】解：根据题意，慢马用时间为天，快马用时间为天，
根据题意列方程得．
故选：A．
33．（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）在六盘水市“六个强化”政策保障下，我市快递业务投递量不断增加．某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周件提高到件，平均每人每周比原来多投递件，若快递公司的快递员人数不变，求现在平均每人每周投递快件多少件？设现在平均每人每周投递快件件，根据题意可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意列式并找到等量关系是解题的关键．设现在平均每人每周投递快件件，则原来平均每人每周投递快件件，可以得出现在和原来快递公司的快递员人数，利用“快递公司的快递员人数不变”即可列式作答．
【详解】解：设现在平均每人每周投递快件件，
则原来平均每人每周投递快件件，
根据题意得，
故选：D．
34．（2025·重庆綦江·一模）孝敬父母是中华民族的传统美德．“母亲节”来临之际，花店纷纷搞促销活动，小丽发现某花店有康乃馨、玫瑰两种花束正在参加活动．购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元．
(1)求康乃馨花束和玫瑰花束的单价分别为多少元？
(2)“母亲节”当天，花店进行促销活动，将康乃馨花束的单价降低了元，玫瑰花束单价降低了m元，节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍，且康乃馨花束的销售额为1800元，玫瑰花束的销售额为900元，求m的值．
【答案】(1)康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元
(2)m的值为5
【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程或方程组．
（1）设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元，根据“购买3束康乃馨和4束玫瑰需要410元，购买5束康乃馨和6束玫瑰需要650元”列出方程组，即可解得答案；
（2）根据“节日当天康乃馨花束的销量是玫瑰花束销量的倍”可列分式方程求解即可．
【详解】（1）解：设康乃馨花束的单价为x元，玫瑰花束单价为y元，
由题意，得：，
解得：，
答：康乃馨花束的单价为70元，玫瑰花束的单价为50元．
（2）解：依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解且符合题意，
答：m的值为5．
35．（24-25八年级上·甘肃庆阳·期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩，已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
(1)A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
(2)该停车场计划购买A，B型充电桩共25个，购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？最少费用是多少万元？
【答案】(1)A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元
(2)停车场有3种购买方案，方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个；方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个；方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个；方案三所需购买总费用最少，最少费用为万元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．
（1）根据“用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解；
（2）根据“购买总费用不超过26万元，且购买B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解．
【详解】（1）解：设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价为万元．
根据题意，得．
解得：．
经检验，是所列分式方程的解且符合题意．
则．
所以A型充电桩的单价为0.9万元，B型充电桩的单价为1.2万元．
（2）解：设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩个．
根据题意，得，
解得．
为整数，
，15或16．
该停车场有3种购买方案．
方案一：购买A型充电桩14个、B型充电桩11个；
方案二：购买A型充电桩15个、B型充电桩10个；
方案三：购买A型充电桩16个，B型充电桩9个．
型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，
方案三所需购买总费用最少，最少费用（万元）．
36．（23-24八年级下·云南红河·期末）文化赋能乡村振兴，某县以文明实践引领乡村治理，在群众聚集地打造文化墙，以文化人、以文惠民、以文兴城，该县现欲购买、两种绘画工具用于打造文化手绘墙．已知每件种工具的单价比每件种工具便宜元，用元购买种工具的数量和用元购买种工具的数量相同．
(1)求、两种工具的单价各是多少元．
(2)该县计划购买、两种工具共件，且种工具的数量不大于种工具数量的倍，请你帮忙设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用．
【答案】(1)种工具的单价是元，则种工具的单价是元
(2)最省钱的购买方案是购进种工具件，购进种工具件，最低购买费用为元．
【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，利用一次函数的增减性求最值，读懂题意，列方程和不等式是解决问题的关键．
（1）设种工具的单价是元，则种工具的单价是元，根据题意，列分式方程，解方程即可；
（2）根据题意，列一元一次不等式，再根据一次函数的增减性进行求解即可．
【详解】（1）解：设种工具的单价是元，则种工具的单价是元，根据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意，
则种工具的单价是：元，
答：种工具的单价是元，则种工具的单价是元
（2）解：设够买种工具件，则购买种工具件，根据题意得，
解得：，
设购买费用为元，根据题意得，
∵
∴随的增大而减小,
∴时，取的最小值，此时元，
购进种工具件，
答：最省钱的购买方案是购进种工具件，购进种工具件，最低购买费用为元．
37．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的倍，若用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．
(1)求每辆型汽车进价是多少万元？
(2)若某公司决定购买以上两种新能源汽车一共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多可以购买A型汽车多少辆？
【答案】(1)B型汽车的进价为每辆10万元；
(2)最多可以购买36辆A型汽车．
【分析】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解决本题的关键．
（1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，根据总费用不超过1182万元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设B型汽车的进价为每辆万元，则A型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，
答： B型汽车的进价为每辆10万元；
（2）解：设购买辆A型汽车，则购买辆B型汽车，A型车每辆进价：（万元），
依题意得：，
解得：，
答：最多可以购买36辆A型汽车
38．（24-25八年级上·河南新乡·期末）为改善道路通行条件，某市在周年国庆前夕将城市一段主干道进行拓宽改造．该项工程若由甲工程队单独施工，恰好能在规定时间内完成；若由乙工程队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的倍．如果由甲、乙两个工程队先合作施工天，那么余下的工程由甲工程队单独施工还需天完成．
(1)求这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲工程队每天的施工费用为万元，乙工程队每天的施工费用为万元．为了缩短工期以减少对交通的影响，工程指挥部决定该工程由甲、乙两个工程队合作来完成，则该工程的施工费用是多少？
【答案】(1)天
(2)万元
【分析】（）设这项工程的规定时间是天，根据题意列出方程即可求解；
（ ）根据（ ）的结果求出甲、乙两队合作完成所需的时间，进而列式计算即可；
本题考查了分式方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设这项工程的规定时间是天，
由题意得， ，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
答：这项工程的规定时间是天；
（2）解：该工程由甲、乙两队合作完成，所需时间为天，
则该工程的施工费用是 万元，
答：该工程的施工费用为万元．
39．（2024·广西·中考真题）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为，每次拧干后校服上都残留水．
浓度关系式：．其中、分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗所加清水量（单位：）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
(1)如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要多少清水？
(2)如果把清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
(3)比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【答案】(1)只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
(2)进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
(3)两次漂洗的方法值得推广学习
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；
（1）把，代入， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【详解】（1）解：把，代入
得，
解得．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为，需要清水．
（2）解：第一次漂洗：
把，代入，
∴，
第二次漂洗：
把，代入，
∴，
而，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
40．（2021·山东青岛·中考真题）某超市经销甲、乙两种品牌的洗衣液，进货时发现，甲品牌洗衣液每瓶的进价比乙品牌高6元，用1800元购进甲品牌洗衣液的数量是用1800元购进乙品牌洗衣液数量的．销售时，甲品牌洗衣液的售价为36元/瓶，乙品牌洗衣液的售价为28元/瓶．
（1）求两种品牌洗衣液的进价；
（2）若超市需要购进甲、乙两种品牌的洗衣液共120瓶，且购进两种洗衣液的总成本不超过3120元，超市应购进甲、乙两种品牌洗衣液各多少瓶，才能在两种洗衣液完全售出后所获利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶；（2）购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元
【分析】（1）设甲品牌洗衣液每瓶的进价是x元，则乙品牌洗衣液每瓶的进价是（x-6）元，根据数量=总价÷单价，结合用1800元购进乙品牌洗衣液数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设可以购买m瓶乙品牌洗手液，则可以购买（100-m）瓶甲品牌洗手液，根据总价=单价×数量，结合总费用不超过1645元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】解：（1）设甲品牌洗衣液进价为元/瓶，则乙品牌洗衣液进价为元/瓶，
由题意可得，，
解得，
经检验是原方程的解.
答：甲品牌洗衣液进价为30元/瓶，乙品牌洗衣液进价为24元/瓶.
（2）设利润为元，购进甲品牌洗衣液瓶，
则购进乙品牌洗衣液瓶，
由题意可得，，
解得，
由题意可得，，
∵，∴随的增大而增大，
∴当时，取最大值，.
答：购进甲品牌洗衣液40瓶，乙品牌洗衣液80瓶时所获利润最大，最大利润是560元．
【点睛】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．

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