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安徽安庆市重点中学2024--2025高一下学期联考试卷
数 学 试 题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．已知G是的重心，点D满足，若，则为（ ）
A． B． C． D．1
2．如图，在中，，，为上一点，且满足 ，若，，则值为（ ）
A． B． C． D．
3．若复数z满足，那么的最大值是（ ）
A．1 B． C．2 D．
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，边BC上一点D满足，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．异面直线AD与CB1角为60° D．AC1⊥平面CB1D1
6．在中，A为直角，，，若用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，与所成角的度数为30°，则与所成角的度数为( )
A．90° B．45° C．60° D．30°
8．设三棱柱的侧棱垂直于底面，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
多项选择题：每小题6分，共18分．有选错的得0分，部分选对的部分分．
9．已知，内角分别对应边则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则为钝角三角形
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，则的面积为
D．若，且有两解，则的取值范围是
10．已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C．圆锥截面的面积的最大值为
D．从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为
11．如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，点E和点F分别在线段和上运动（不包含端点），下列说法正确的有（ ）
A．正方体被平面截得的截面面积为 B．的最小值为2
C．三棱锥的体积为 D．直线与平面可能垂直
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 .
13．在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为 .
14．在平面四边形中，，，，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(13分）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知：.
(1)求A；
(2)若，，求的面积.
16．(15分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点．
（1）求证: 平面平面；
（2）求三棱锥体积．
17．(15分）如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.
(1)求证：；
(2)若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使//平面？说明理由.
18．(17分）如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且.
(1)证明：；
(2)若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小.
19．(17分）如图，三棱柱中，，，，，．
(1)证明：．
(2)求三棱柱的体积．
(3)求二面角的平面角余弦值大小
参考答案
题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10
答案 A D B C B A C ABD BCD
题号 11
答案 AC
12． 13． 14．
15．（1）因为，由正弦定理得，
因,故，故，即，又，故.
（2）由正弦定理可得，则,可得
即，由（1） 根据余弦定理可得，则，即，可得，所以的面积
16．（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，
又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，因为AB平面，所以平面平面.
（2）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，
所以三棱锥的体积为：==.
17．（1）在梯形中，∥，又面，面，
∥面，面，面面 ∥ ∥
（3）取中点，连接，，，分别为，的中点，
∥，平面，平面平面，又由（1）可得∥平面，，、平面平面∥平面，是上的动点，平面，∥平面，当为中点时，∥平面.
18．（1）取中点，连接，由已知条件是边长为的正三角形，得.平面，所以平面 ，又平面 ，所以.（2）二面角的大小为，即平面平面.由平面平面，且由（1）知，平面，所以平面，从而即为与平面所成角
在中，，从而，在中，，
因为平面，且平面，所以，
所以在中，，且，易求得，即与平面所成角的大小为.
19．（1）取中点，连结，，，
，，是正三角形，．
，，，平面平面，
∴平面．又平面，；
（2）由题设知与都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故．因为，所以平面，即为三棱柱的高，又的面积，故三棱柱的体积．
（3）过作于点，连接，因为，，，平面，
所以平面，所以，又，，平面，
所以平面，因为平面，故，．则即为二面角的平面角．在中：，，所以，所以．

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