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浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
1．（2025八下·义乌期中）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． 赵爽弦图
B． 笛卡尔心形线
C． 科克曲线
D． 斐波那契螺旋线
2．（2025八下·义乌期中）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八下·义乌期中）七边形的内角和为（　　）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
4．（2025八下·义乌期中）二次根式中字母的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八下·义乌期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八下·义乌期中）下列条件中，不能判别四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2025八下·义乌期中）如图，在中，，点E为边上一点，将沿直线翻折，点A落在点F处，则等于（ ）
A． B．
C． D．无法判断，与点E的位置有关
8．（2025八下·义乌期中）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首.2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025八下·义乌期中）题目：“已知5个数据，，，，的平均数为6，求这5个数据的方差．”小方和小程计算时所列的式子不同，其中小方的式子为： ，小程的式子为： ．则小方，小程所列的式子（ ）
A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确
C．都正确 D．都错误
10．（2025八下·义乌期中）对于一元二次方程（其中，且）有以下说法：
方程必定有解；若方程的两个解相等，则；若是方程的解，则或．
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025八下·义乌期中）一元二次方程化成一般式为　 　.
12．（2025八下·义乌期中）若数据2，，4，8的平均数是4，则这组数据的众数是　 　．
13．（2025八下·义乌期中）已知，则计算　 　．
14．（2025八下·义乌期中）如图，是由，，，无缝拼接而成，，，则四边形的面积为　 　．
15．（2025八下·义乌期中）已知是关于的完全平方式，则常数　 　．
16．（2025八下·义乌期中）如图，在平行四边形中，，，平分，，G是的中点，连接，则　 　．
17．（2025八下·义乌期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025八下·义乌期中）解方程：
（1）；
（2）．
19．（2025八下·义乌期中）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1，请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个以为边，面积为6的平行四边形．
（2）在图2中画一个以为对角线，面积为4的平行四边形．
20．（2025八下·义乌期中）为激发学生对青春的热爱，展现学生的青春风采，提升学生的语言表达能力和文学素养，我校八年级举行“我是青春歌颂者”朗诵比赛，下面是十次评委为甲、乙两个班级的打分情况：甲班成绩如图所示，乙班次成绩依次是：7分、8分、8分、8分、6分、5分、5分、8分、5分、分．
（1）请将下表填完整：
平均数 方差 中位数
甲班 7
乙班
（2）现在要派其中的一个班级参加市里的朗诵比赛：
若从平均数和方差分析，你认为派哪个班参加比较好？
若从平均数和中位数分析，你认为派哪个班参加比较好？
21．（2025八下·义乌期中）【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，，
，即，
，
．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）若，求的值．
22．（2025八下·义乌期中）如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接．
（1）求证：平分．
（2）如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积．
（3）如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点．
23．（2025八下·义乌期中）已知关于的方程，其中，为实数．
（1）当，时，求方程两根的平方和．
（2）当时，若方程有一个根为，判断与的大小关系并说明理由．
（3）若对于任何实数，此方程都有实数根，求的取值范围．
24．（2025八下·义乌期中）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．
（1）当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ；
（2）当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）；
（3）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、∵不是轴对称图形，是中心对称图形，∴A错误；
B、∵是轴对称图形，不是中心对称图形，∴B错误；
C、∵是轴对称图形，是中心对称图形，∴C正确；
D、∵不是轴对称图形，不是中心对称图形，∴D错误；
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，不符合题意；
B、的未知数在分母里，是分式方程，不符合题意；
C、的未知数最高次数为2，且只有一个未知数，符合题意是一元二次方程，符合题意；
D、含有根式，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
【分析】
只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程．
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】七边形的内角和是：180°×（7-2）=900°；
故答案为：C.
【分析】由n边形的内角和是：180°（n-2），将n=7代入即可求得答案.
4．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得：．
故选B．
【分析】
根据分式有意义的条件分母不为0、二次根式有意义的条件被开方数不小于0列不等式组求解即可．
5．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【解答】解：A．和不是同类二次根式，不能相加减，即A选项错误；
B．，即B选项正确；
C．，即C选项错误；
D．，即D选项错误．
故选B．
【分析】
A、不是同类二次根式，不能合并；
B、先把各根式化为最简二次根式，并合并同类二次根式；
C、完全平方公式的结果是这两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍；
D、3.6的算术平方根不是0.6．
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定，A、B、C均能判定四边形是平行四边形；
D选项给出的四边形两组邻边相等，故不可以判断四边形是平行四边形．
故选：D．
【分析】
A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
D、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形．
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：在中，，
，
如图，过点作，
，
，
，
，
将沿直线翻折，点A落在点F处，
，
，
故选：A．
【分析】
由折叠和平行四边形的性质知，由于AB//CD，可过点F作FM//AB，则FM//CD，由两直线平行内错角相等可得恰好等于.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每天的票房增长率为x，
根据题意，得．
故选B．
【分析】
设平均每天的票房增长率为x，由于4月4日是1.2亿元，则4月5日为亿元，4月6日为亿元，然后根据题意列出一元二次方程即可．
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵5个数据，，，，的平均数为6，
∴，
∴方差为
∴小方，小程所列的式子都正确．
故选：C
【分析】
先由平均数的计算公式知这5个数据的和为30，再根据方差计算公式结合完全平方公式可得两个人的计算都正确．
10．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：①由，则是原方程的解，即方程至少有一个根，
所以该方程必有解，故①正确；
②由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，整理得：，即，故②正确；
③∵是方程的解，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∵，
∴，即，
∴，即，
∴或，故③正确．
综上：①②③正确．
故选D．
【分析】
当时原方程恰好变形为，即是原方程的解，即①正确；
因为，所以；若方程两个解相等，则，等量代换得，即，即②正确；
由是方程的解可得，因为，进而得到；再结合可得，然后移项并因式分解可得，即可判定③．
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】
先对左边去括号，然后把右边的常数项移到等号左边即可.
12．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵数据2，，4，8的平均数是4，
∴，
∴，
∴数据2，2，4，8的众数是2，
故答案为：2
【分析】
先根据平均数的计算公式求出x的值，再寻找重复出现次数最多的哪个数据即可．
13．【答案】1
【知识点】二次根式的化简求值；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：1．
【分析】
由知，当时，，，然后再根据绝对值的性质化简并进行整式的加减运算即可．
14．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设点A、点B到线段的距离分别为和，
∵，，
∴，则，
∵，，
∴，则，
∴，则，
那么，，
设，，则，，
∵，
∴，
则
，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查四边形面积公式和比值的应用，设点A、点B到线段的距离分别为和，根据已知面积和四边形面积公式求得和，进一步求得，则，设，，则，，，结合求得，则即可求得．
15．【答案】1
【知识点】完全平方式；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：∵是关于的完全平方式，
∴，
整理得：，
解得：，
故答案为：1．
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断得出，然后解方程即可得出结果．
16．【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴，
延长、交于点T，过点F作，如下图：
则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴点H为斜边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
故答案为：2．
【分析】
延长交的延长线于点，由平行四边形的性质结合角平分线的概念可得，即，；因为，则，过点作，则；因为平行四边形对边平行，即BC //AD，则FH//BG，又BG=4，则四边形BHFG是平行四边形，则．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法计算，再进行二次根式的化简，最后再合并同类二次根式；
（2）二次根式的混合运算，先利用完全平方公式和乘方分配律进行乘法运算，再进行二次根式的加减法即可．
（1）解：
（2）
18．【答案】（1）解：，
，
∴，；
（2）解：，
，
或，
∴，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（）先把两边的公因数约去，再利用直接开平方法求解即可；
（）当方程两边有公因式时，先移项再提公因式求解即可．
（1）解：
，
，
∴，；
（2）解：，
，
或，
∴，．
19．【答案】（1）解：如图1：平行四边形即为所求．
（2）解：如图2：平行四边形即为所求．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；作图-平行线
【解析】【分析】
（1）由于AB可看作是底边为1高为3的直角三角形的斜边，因此可把AB沿水平方向向右平移2个单位长度得到线段DC，再分别连接BC、AD即可；
（2）由于A、B两点的水平距离为1，因此可在竖直方向上选取点格点E，使AE=4，连接EB，再过点B作线段BF//EA且BF=EA，最后再连接AF即可．
（1）解：如图1：平行四边形即为所求．
（2）解：如图2：平行四边形即为所求．
20．【答案】（1）答：补全表格如下：
平均数 方差 中位数
甲班 7 7
乙班 7
（2）解：从平均数和方差分析，甲乙的平均数一样，但甲的方差较小，较稳定；故派甲班参加比较好；
从平均数和中位数分析，甲乙的平均数一样，但乙班的中位数较大，故派乙班参加比较好；
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】
（1）
解：将甲班的数据按照从小到大的顺序排列如下：，，，，，，，，，；
位于中间的数为：，；
则甲班中位数为：；
乙班平均数为：；
【分析】
（1）先按照从小到大的顺序把甲班的成绩排序，由于共有10人，则中位数等于第5名和第6名的平均值；直接利用公式可求得乙班的平均数；
（2）方差反映一组数据的稳定性，方差越小，说明数据越稳定；中位数反映一组数据的集中趋势，但容易受极端值影响.
（1）解：将甲班的数据按照从小到大的顺序排列如下：，，，，，，，，，；
位于中间的数为：，；
则甲班中位数为：；
乙班平均数为：；
（2）解：从平均数和方差分析，甲乙的平均数一样，但甲的方差较小，较稳定；故派甲班参加比较好；
从平均数和中位数分析，甲乙的平均数一样，但乙班的中位数较大，故派乙班参加比较好；
21．【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
（1）
解：；
故答案为：
（2）
解：
；
【分析】
（1）利用平方差公式对分母有理化；
（2）先对每一人分式进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算即可；
（3）先进行分母有理化可表示出a，再把所求多项式表示成一个完全平方式的整数倍与一个常数的和的形式，再把a的值代入计算即可．
（1）解：；
故答案为：
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴
22．【答案】（1）证明：如图1所示
由旋转可知
∴
∵在中
∴
∴
∴平分；
（2）解：如图所示，过C作
∵由旋转得到
∴，，
∵ B，E，F三点在同一直线，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴；
（3）解：如图，过B作，过G作，连接，，．
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴
∴四边形是平行四边形
∴点H为的中点．
【知识点】平行四边形的判定与性质；旋转的性质；平行四边形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可知，则，由于平行四边形的对边平行，则，等量代换即可；
（2）过C作，因为，则，，由平行四边形的性质知，结合（1）中的结论得，即，由等腰三角形三线合一得，可利用勾股定理求出，则；
（3）如图，过B作，过G作，连接，，，利用等面积法可得，则，又因为垂直于同一条直线的两条直线平行，则，则四边形是平行四边形，故结论成立．
（1）由旋转可知
∴
∵在中
∴
∴
∴平分；
（2）如图，过C作
∵由旋转得到
∴，，
∵ B，E，F三点在同一直线，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴；
（3）如图，过B作，过G作，连接，，．
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴
∴四边形是平行四边形
∴点H为的中点．
23．【答案】（1）解：当，时，方程为，
解得：，，
∴，
即两根的平方和为50．
（2）解：把方入方程得：，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）解：由题可知，整理得：，
即，
∵对于任何实数，此方程都有实数根，
∴对于任何实数，恒成立，
∴．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）先把，代入，得出，解方程得出，，然后求出结果即可；
（2）把方入方程得出，求出，即可得出答案；
（3）根据根的判别式得出，整理得出，根据对于任何实数，此方程都有实数根，得出对于任何实数，恒成立，即可得出答案．
（1）解：当，时，方程为，
解得：，，
∴，
即两根的平方和为50．
（2）解：把方入方程得：
，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）解：由题可知，
整理得：，
即，
∵对于任何实数，此方程都有实数根，
∴对于任何实数，恒成立，
∴．
24．【答案】（1）
（2）解：当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为K．
∵，
，
，
∴，
中
、
当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为F．
∵，可得，
∴
∵，，
∴
，
∴，
综上：的值为或
（3）解：∵，，，∴，
当点在线段上运动时，点与点重合，如图所示：
若点落在上，
∵点E、点F关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴此时，
故当时，满足题意；
当点与点重合时，
，
解得：，
综上所述：或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】
（1）
解：∵点E为中点，，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】
（1）由于，则；
（2）因为点Q是AD或DC上的点，因此分两种情况，一是点Q平分AD、二是点Q平分DC，当点Q平分AD时，可过点P作BC的垂线分别交BC于点H、交DA的延长线于点K，则三角形PBH为等腰直角三角形，利用勾股定理可得BH=PH，则EH的长也可求，PE的长可求；由于AB已知，则AP长可表示，则由平行四边形的性质得三角形PAK也是等腰直角三角形，则AK=PK，利用勾股定理再表示出PQ即可；当点Q平分CD时，分别过P、Q作BC的垂线段PH和QF，则，则，再利用勾股定理分别表示出PQ和PE即可．
（3）当点E在BE上运动时，A、Q两点重合，此时若点有的对称点F在AB上，则四边形EPFQ为轴对称图形，对称轴为AP，符合题意；当点P与点A重合时，则当点Q与点C重合时，点E的对称点恰好落在AD上，则四边形EPFQ是正方形，符合题意，分别计算即可.
（1）解：∵点E为中点，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为K．
∵，，
∴，
当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为F．
∵，可得，
∴
∵，，
∴
，
∴，
综上：的值为或
（3）解：∵，，，
∴，
当点在线段上运动时，点与点重合，如图所示：
若点落在上，
∵点E、点F关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴此时，
故当时，满足题意；
当点与点重合时，
，
解得：，
综上所述：或．
1 / 1浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
1．（2025八下·义乌期中）下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． 赵爽弦图
B． 笛卡尔心形线
C． 科克曲线
D． 斐波那契螺旋线
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、∵不是轴对称图形，是中心对称图形，∴A错误；
B、∵是轴对称图形，不是中心对称图形，∴B错误；
C、∵是轴对称图形，是中心对称图形，∴C正确；
D、∵不是轴对称图形，不是中心对称图形，∴D错误；
故答案为：C．
【分析】利用轴对称图形的定义和中心对称图形的定义，逐项分析判断即可.
2．（2025八下·义乌期中）下列方程为一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，不符合题意；
B、的未知数在分母里，是分式方程，不符合题意；
C、的未知数最高次数为2，且只有一个未知数，符合题意是一元二次方程，符合题意；
D、含有根式，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
【分析】
只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程．
3．（2025八下·义乌期中）七边形的内角和为（　　）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】七边形的内角和是：180°×（7-2）=900°；
故答案为：C.
【分析】由n边形的内角和是：180°（n-2），将n=7代入即可求得答案.
4．（2025八下·义乌期中）二次根式中字母的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：，解得：．
故选B．
【分析】
根据分式有意义的条件分母不为0、二次根式有意义的条件被开方数不小于0列不等式组求解即可．
5．（2025八下·义乌期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；完全平方式
【解析】【解答】解：A．和不是同类二次根式，不能相加减，即A选项错误；
B．，即B选项正确；
C．，即C选项错误；
D．，即D选项错误．
故选B．
【分析】
A、不是同类二次根式，不能合并；
B、先把各根式化为最简二次根式，并合并同类二次根式；
C、完全平方公式的结果是这两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍；
D、3.6的算术平方根不是0.6．
6．（2025八下·义乌期中）下列条件中，不能判别四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：根据平行四边形的判定，A、B、C均能判定四边形是平行四边形；
D选项给出的四边形两组邻边相等，故不可以判断四边形是平行四边形．
故选：D．
【分析】
A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
B、两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
D、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形．
7．（2025八下·义乌期中）如图，在中，，点E为边上一点，将沿直线翻折，点A落在点F处，则等于（ ）
A． B．
C． D．无法判断，与点E的位置有关
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：在中，，
，
如图，过点作，
，
，
，
，
将沿直线翻折，点A落在点F处，
，
，
故选：A．
【分析】
由折叠和平行四边形的性质知，由于AB//CD，可过点F作FM//AB，则FM//CD，由两直线平行内错角相等可得恰好等于.
8．（2025八下·义乌期中）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首.2025年清明档（4月4日—4月6日）以总票房亿元收官，4月4日的单日票房达到亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均每天的票房增长率为x，
根据题意，得．
故选B．
【分析】
设平均每天的票房增长率为x，由于4月4日是1.2亿元，则4月5日为亿元，4月6日为亿元，然后根据题意列出一元二次方程即可．
9．（2025八下·义乌期中）题目：“已知5个数据，，，，的平均数为6，求这5个数据的方差．”小方和小程计算时所列的式子不同，其中小方的式子为： ，小程的式子为： ．则小方，小程所列的式子（ ）
A．小方正确，小程错误 B．小方错误，小程正确
C．都正确 D．都错误
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵5个数据，，，，的平均数为6，
∴，
∴方差为
∴小方，小程所列的式子都正确．
故选：C
【分析】
先由平均数的计算公式知这5个数据的和为30，再根据方差计算公式结合完全平方公式可得两个人的计算都正确．
10．（2025八下·义乌期中）对于一元二次方程（其中，且）有以下说法：
方程必定有解；若方程的两个解相等，则；若是方程的解，则或．
其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；判断是否为一元二次方程的根
【解析】【解答】解：①由，则是原方程的解，即方程至少有一个根，
所以该方程必有解，故①正确；
②由一元二次方程的实数根与判别式的关系与判别式的关系可知：，
∵，
∴，
∵，
∴，整理得：，即，故②正确；
③∵是方程的解，
∴，
∵，
∴，
∴，即
∵，
∴，即，
∴，即，
∴或，故③正确．
综上：①②③正确．
故选D．
【分析】
当时原方程恰好变形为，即是原方程的解，即①正确；
因为，所以；若方程两个解相等，则，等量代换得，即，即②正确；
由是方程的解可得，因为，进而得到；再结合可得，然后移项并因式分解可得，即可判定③．
11．（2025八下·义乌期中）一元二次方程化成一般式为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的一般形式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】
先对左边去括号，然后把右边的常数项移到等号左边即可.
12．（2025八下·义乌期中）若数据2，，4，8的平均数是4，则这组数据的众数是　 　．
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵数据2，，4，8的平均数是4，
∴，
∴，
∴数据2，2，4，8的众数是2，
故答案为：2
【分析】
先根据平均数的计算公式求出x的值，再寻找重复出现次数最多的哪个数据即可．
13．（2025八下·义乌期中）已知，则计算　 　．
【答案】1
【知识点】二次根式的化简求值；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴．
故答案为：1．
【分析】
由知，当时，，，然后再根据绝对值的性质化简并进行整式的加减运算即可．
14．（2025八下·义乌期中）如图，是由，，，无缝拼接而成，，，则四边形的面积为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：设点A、点B到线段的距离分别为和，
∵，，
∴，则，
∵，，
∴，则，
∴，则，
那么，，
设，，则，，
∵，
∴，
则
，
故答案为：．
【分析】
本题主要考查四边形面积公式和比值的应用，设点A、点B到线段的距离分别为和，根据已知面积和四边形面积公式求得和，进一步求得，则，设，，则，，，结合求得，则即可求得．
15．（2025八下·义乌期中）已知是关于的完全平方式，则常数　 　．
【答案】1
【知识点】完全平方式；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：∵是关于的完全平方式，
∴，
整理得：，
解得：，
故答案为：1．
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断得出，然后解方程即可得出结果．
16．（2025八下·义乌期中）如图，在平行四边形中，，，平分，，G是的中点，连接，则　 　．
【答案】2
【知识点】平行四边形的判定与性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵G是的中点，
∴，
∴，
延长、交于点T，过点F作，如下图：
则，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴点H为斜边的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
故答案为：2．
【分析】
延长交的延长线于点，由平行四边形的性质结合角平分线的概念可得，即，；因为，则，过点作，则；因为平行四边形对边平行，即BC //AD，则FH//BG，又BG=4，则四边形BHFG是平行四边形，则．
17．（2025八下·义乌期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法计算，再进行二次根式的化简，最后再合并同类二次根式；
（2）二次根式的混合运算，先利用完全平方公式和乘方分配律进行乘法运算，再进行二次根式的加减法即可．
（1）解：
（2）
18．（2025八下·义乌期中）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
∴，；
（2）解：，
，
或，
∴，．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（）先把两边的公因数约去，再利用直接开平方法求解即可；
（）当方程两边有公因式时，先移项再提公因式求解即可．
（1）解：
，
，
∴，；
（2）解：，
，
或，
∴，．
19．（2025八下·义乌期中）如图，在的方格纸中，每个小方格的边长为1，请按要求画出格点四边形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中画一个以为边，面积为6的平行四边形．
（2）在图2中画一个以为对角线，面积为4的平行四边形．
【答案】（1）解：如图1：平行四边形即为所求．
（2）解：如图2：平行四边形即为所求．
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；作图-平行线
【解析】【分析】
（1）由于AB可看作是底边为1高为3的直角三角形的斜边，因此可把AB沿水平方向向右平移2个单位长度得到线段DC，再分别连接BC、AD即可；
（2）由于A、B两点的水平距离为1，因此可在竖直方向上选取点格点E，使AE=4，连接EB，再过点B作线段BF//EA且BF=EA，最后再连接AF即可．
（1）解：如图1：平行四边形即为所求．
（2）解：如图2：平行四边形即为所求．
20．（2025八下·义乌期中）为激发学生对青春的热爱，展现学生的青春风采，提升学生的语言表达能力和文学素养，我校八年级举行“我是青春歌颂者”朗诵比赛，下面是十次评委为甲、乙两个班级的打分情况：甲班成绩如图所示，乙班次成绩依次是：7分、8分、8分、8分、6分、5分、5分、8分、5分、分．
（1）请将下表填完整：
平均数 方差 中位数
甲班 7
乙班
（2）现在要派其中的一个班级参加市里的朗诵比赛：
若从平均数和方差分析，你认为派哪个班参加比较好？
若从平均数和中位数分析，你认为派哪个班参加比较好？
【答案】（1）答：补全表格如下：
平均数 方差 中位数
甲班 7 7
乙班 7
（2）解：从平均数和方差分析，甲乙的平均数一样，但甲的方差较小，较稳定；故派甲班参加比较好；
从平均数和中位数分析，甲乙的平均数一样，但乙班的中位数较大，故派乙班参加比较好；
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】
（1）
解：将甲班的数据按照从小到大的顺序排列如下：，，，，，，，，，；
位于中间的数为：，；
则甲班中位数为：；
乙班平均数为：；
【分析】
（1）先按照从小到大的顺序把甲班的成绩排序，由于共有10人，则中位数等于第5名和第6名的平均值；直接利用公式可求得乙班的平均数；
（2）方差反映一组数据的稳定性，方差越小，说明数据越稳定；中位数反映一组数据的集中趋势，但容易受极端值影响.
（1）解：将甲班的数据按照从小到大的顺序排列如下：，，，，，，，，，；
位于中间的数为：，；
则甲班中位数为：；
乙班平均数为：；
（2）解：从平均数和方差分析，甲乙的平均数一样，但甲的方差较小，较稳定；故派甲班参加比较好；
从平均数和中位数分析，甲乙的平均数一样，但乙班的中位数较大，故派乙班参加比较好；
21．（2025八下·义乌期中）【阅读理解】爱思考的小明同学在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，，
，即，
，
．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算： ；
（2）计算： ；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：∵，
∴
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
（1）
解：；
故答案为：
（2）
解：
；
【分析】
（1）利用平方差公式对分母有理化；
（2）先对每一人分式进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算即可；
（3）先进行分母有理化可表示出a，再把所求多项式表示成一个完全平方式的整数倍与一个常数的和的形式，再把a的值代入计算即可．
（1）解：；
故答案为：
（2）解：
；
（3）解：∵，
∴
22．（2025八下·义乌期中）如图，将平行四边形绕着点C按顺时针方向旋转得到平行四边形，使点B落在边上的点E处，连接．
（1）求证：平分．
（2）如图2，当B，E，F三点在同一直线时，且，，求平行四边形的面积．
（3）如图3，连接交于点H，求证：点H为的中点．
【答案】（1）证明：如图1所示
由旋转可知
∴
∵在中
∴
∴
∴平分；
（2）解：如图所示，过C作
∵由旋转得到
∴，，
∵ B，E，F三点在同一直线，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴；
（3）解：如图，过B作，过G作，连接，，．
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴
∴四边形是平行四边形
∴点H为的中点．
【知识点】平行四边形的判定与性质；旋转的性质；平行四边形的面积；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可知，则，由于平行四边形的对边平行，则，等量代换即可；
（2）过C作，因为，则，，由平行四边形的性质知，结合（1）中的结论得，即，由等腰三角形三线合一得，可利用勾股定理求出，则；
（3）如图，过B作，过G作，连接，，，利用等面积法可得，则，又因为垂直于同一条直线的两条直线平行，则，则四边形是平行四边形，故结论成立．
（1）由旋转可知
∴
∵在中
∴
∴
∴平分；
（2）如图，过C作
∵由旋转得到
∴，，
∵ B，E，F三点在同一直线，
∴
∴
∵，
∴
∴
∵，
∴
∴
∴
∵
∴；
（3）如图，过B作，过G作，连接，，．
∵，，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴
∴四边形是平行四边形
∴点H为的中点．
23．（2025八下·义乌期中）已知关于的方程，其中，为实数．
（1）当，时，求方程两根的平方和．
（2）当时，若方程有一个根为，判断与的大小关系并说明理由．
（3）若对于任何实数，此方程都有实数根，求的取值范围．
【答案】（1）解：当，时，方程为，
解得：，，
∴，
即两根的平方和为50．
（2）解：把方入方程得：，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）解：由题可知，整理得：，
即，
∵对于任何实数，此方程都有实数根，
∴对于任何实数，恒成立，
∴．
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）先把，代入，得出，解方程得出，，然后求出结果即可；
（2）把方入方程得出，求出，即可得出答案；
（3）根据根的判别式得出，整理得出，根据对于任何实数，此方程都有实数根，得出对于任何实数，恒成立，即可得出答案．
（1）解：当，时，方程为，
解得：，，
∴，
即两根的平方和为50．
（2）解：把方入方程得：
，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）解：由题可知，
整理得：，
即，
∵对于任何实数，此方程都有实数根，
∴对于任何实数，恒成立，
∴．
24．（2025八下·义乌期中）如图，在平行四边形中，，，，点为中点，动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．
（1）当在上运动时，用含的式子表示出线段的长 ；
（2）当点落在平行四边形的某边中点上时，求的值（用含t的代数式表示）；
（3）作点关于直线的对称点，连接、，当四边形和平行四边形重叠部分图形为轴对称四边形时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为K．
∵，
，
，
∴，
中
、
当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为F．
∵，可得，
∴
∵，，
∴
，
∴，
综上：的值为或
（3）解：∵，，，∴，
当点在线段上运动时，点与点重合，如图所示：
若点落在上，
∵点E、点F关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴此时，
故当时，满足题意；
当点与点重合时，
，
解得：，
综上所述：或．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；轴对称的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】
（1）
解：∵点E为中点，，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】
（1）由于，则；
（2）因为点Q是AD或DC上的点，因此分两种情况，一是点Q平分AD、二是点Q平分DC，当点Q平分AD时，可过点P作BC的垂线分别交BC于点H、交DA的延长线于点K，则三角形PBH为等腰直角三角形，利用勾股定理可得BH=PH，则EH的长也可求，PE的长可求；由于AB已知，则AP长可表示，则由平行四边形的性质得三角形PAK也是等腰直角三角形，则AK=PK，利用勾股定理再表示出PQ即可；当点Q平分CD时，分别过P、Q作BC的垂线段PH和QF，则，则，再利用勾股定理分别表示出PQ和PE即可．
（3）当点E在BE上运动时，A、Q两点重合，此时若点有的对称点F在AB上，则四边形EPFQ为轴对称图形，对称轴为AP，符合题意；当点P与点A重合时，则当点Q与点C重合时，点E的对称点恰好落在AD上，则四边形EPFQ是正方形，符合题意，分别计算即可.
（1）解：∵点E为中点，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为K．
∵，，
∴，
当点Q落在的中点时，如图所示作，延长，作，交点为F．
∵，可得，
∴
∵，，
∴
，
∴，
综上：的值为或
（3）解：∵，，，
∴，
当点在线段上运动时，点与点重合，如图所示：
若点落在上，
∵点E、点F关于直线对称，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴此时，
故当时，满足题意；
当点与点重合时，
，
解得：，
综上所述：或．
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