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四川省成都市第七中学初中学校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
1．（2025七下·成都期中）清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据用科学记数法表示为，
故选：D．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中1≤|a|<10，n为小数点向右移动位数的相反数．
2．（2025七下·成都期中）若，则的余角等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵，
∴的余角，
故选：B．
【分析】根据互为余角的两个数的和为90°解答即可．
3．（2025七下·成都期中）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为偶数
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．三角形的三条中线交于一点
D．两直线被第三条直线所截，同位角相等
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A： 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为偶数 。是随机事件，所以A不符合题意；
B： 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 。是随机事件，所以B不符合题意；
C： 三角形的三条中线交于一点 ，是必然事件，所以C符合题意；
D： 两直线平行线被第三条直线所截，同位角才是相等的，是随机事件，所以D不符合条件。
故答案为：C。
【分析】根据必然事件的意义进行选择即可。
4．（2025七下·成都期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据同底数幂乘除法计算，积的乘方和合并同类项的运算法则逐项判断解答即可．
5．（2025七下·成都期中）如图，，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ACD=∠1=65°，
∵，
∵，
∴，
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质得∠ACD=65°，由平角定义求出∠ADC，即可利用三角形内角和定理求出∠3的度数.
6．（2025七下·成都期中）如图，与交于点O，若，要用“SAS”证明，还需要的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、OB=OC，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故A正确；
B、AB=DC，OA=OD，∠AOB=∠DOC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故B错误；
C、∠A=∠D，OA=OD，∠AOB=∠DOC，符合全等三角形的判定定理ASA，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
D、∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理AAS，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
故答案为：A.
【分析】SAS指的是“边角边”关系判定三角形全等，已知OA=OD和∠AOB=∠DOC，只需要找到组成该角的另一条相等就可以解答.
7．（2025七下·成都期中）一块长方形劳动基地的长是am，宽是bm，现在要扩建这块劳动基地，给它的长和宽各增加2m，扩建后劳动驻地的面积比原来增加了（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：扩建后的劳动基地的面积=(a+2)(b+2)，扩建前的劳动基地的面积=ab，
∴ (a+2)(b+2)-ab=2a+2b+4，
即 扩建后劳动驻地的面积比原来增加了（2a+2b+4 ）m2.
故答案为：C.
【分析】先分别计算出扩建前后的基地面积，再求差，即可求得.
8．（2025七下·成都期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当，时，台灯光线最佳，则此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】铅笔头模型；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点E作，如图所示，
∵
∴
∴∠A+∠AEF=180°，∠FEC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠FEC+∠C=360°，
即∠EAB+∠AEC+∠C=360°，
∵∠AEC=137°，∠C=118°，
∴∠A=360°-（∠AEC+∠C）=105°，
故答案为：C.
【分析】
过点E作，则，根据平行线的判定和性质可得结论.
9．（2025七下·成都期中）已知am＝3，an＝2，则am＋n的值为　 　.
【答案】6
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵am＝3，an＝2，
∴am＋n= am×an=3×2=6。
故答案为：6。
【分析】根据同底数幂的乘法法则的逆用将代数式∴am＋n变为 am×an，再整体代入按有理数的乘法法则即可算出答案。
10．（2025七下·成都期中）如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式　 　．（请用含a，b的等式表示）
【答案】
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左边一幅图中，阴影部分面积为，
右边一幅图中，阴影部分面积为，
∵两幅图中阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：．
【分析】分别表示两个图形中阴影部分的面积即可解题．
11．（2025七下·成都期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为　 　．
【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：根据题意可得，所捂多项式=
故答案为：．
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则直接进行计算即可得出答案．
12．（2025七下·成都期中）如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，已知∠1＝75°，则∠2的度数为　 　．
【答案】30°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先根据平行线的性质由上下两条边平行，得到∠1=∠3=75°，再根据折叠的性质得∠4=∠3=75°，然后根据平角的定义可计算出∠2=30°．
【解答】解：
由折叠的性质可知：∠3=∠4，
∵此纸片为长方形，
∴∠1=∠3，
∵∠1=75°，
∴∠3=∠4=∠1=75°，
∴∠2=180°-∠3-∠4=30°，
故答案为：30°
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”可得∠1=∠3，根据折叠的性质可得∠3=∠4，然后根据平角的定义可计算出∠2=30°．
13．（2025七下·成都期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据AAS得到，即可得到，然后利用线段的和差解题即可．
14．（2025七下·成都期中）计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算零指数幂，负整数指数幂、乘方和绝对值，然后运算加减解题；
（2）先利用多项式的乘法展开，再合并同类项化简解题．
（1）解：
；
（2）解：
．
15．（2025七下·成都期中）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】括号内根据完全平方公式和平方差公式以及单项式乘以多项式的运算法则展开，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式运算，最后代入x，y的值计算解题．
16．（2025七下·成都期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个红球和白球，它们除了颜色不同外其余都相同，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的______，______；
（2）“摸到白球的”的概率的估值是______（精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，现从袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从袋中摸出一球是红球的概率是，问取走了多少个白球？
【答案】（1）；
（2）
（3）解：设取走了x个白球，
由题意得，，
解得，
答：取走了9个白球．
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由题意得，；；
故答案为：；
（2）解：由表格可知， 随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，
∴“摸到白球的”的概率的估值是；
故答案为： .
【分析】（1）利用频率等于频数除以总数计算解题；
（2）根据经过大量重复试验的频率即为事件发生的概率解答；
（3）设取走了x个白球，根据概率公式列方程解答即可．
（1）解：由题意得，；；
（2）解：由表格可知， 随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，
∴“摸到白球的”的概率的估值是；
（3）解：设取走了x个白球，
由题意得，，
解得，
答：取走了9个白球．
17．（2025七下·成都期中）如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先得到，再根据平行线得到，然后利用即可得到三角形的全等；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，根据三角形内角和定理求出∠A的度数，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
18．（2025七下·成都期中）已知，直线与交于点C，与交于点D，点C，D均不与点O重合，平分，平分．
（1）如图1，当时，的度数为______；
（2）如图2，延长与交于点F，过E作射线与交于点G，且满足，求证：；
（3）如图3，过点C作，是的外角平分线所在直线，与射线交于点N，与交于点M．在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出的度数．
【答案】（1）
（2）证明：平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：分情况讨论：①当时，
∵，即，
∴，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
，
∵平分，
；
②当时，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
当时，则，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，
∴，
∴，不符合题意，舍去；
当时，同理可得，则，
同理可得此时，不符合题意，舍去；
综上，的度数为或．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】（1）解：，，
，
平分，平分，
，，
，
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余得到，利用角平分线定义得到和，再根据三角形内角和定理解答；
（2）根据角平分线定义得到，然后根据三角形外角得到，即可得到，然后根据内错角相等，两直线平行解答即可；
（3）分四种情况：①，②，③，④，求出的度数，然后根据三角形外角求出，再利用角平分线定义解题即可．
（1）解：，，
，
平分，平分，
，，
，
（2）证明：平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：分情况讨论：①当时，
∵，即，
∴，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
，
∵平分，
；
②当时，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
当时，则，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，
∴，
∴，不符合题意，舍去；
当时，同理可得，则，
同理可得此时，不符合题意，舍去；
综上，的度数为或．
19．（2025七下·成都期中）若，则　 　．
【答案】解：∵，
∴，
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式展开，然后整体代入计算解题．
20．（2025七下·成都期中）若多项式与的乘积中不含的项，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
∵多项式与的乘积中不含的项，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则展开合并，根据无关型的系数为零得到，即可解题．
21．（2025七下·成都期中）从1至中50任意抽取的一个数记为a，则的末位数字是7的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；探索数与式的规律；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：的末位数字是3，
的末位数字是9，
的末位数字是7，
的末位数字是1，
的末位数字是3，
的末位数字是9，
……，
以此类推可知，这一列数每4个数字为一个循环，末位数字依次为3，9，7，1，
∵，
∴在1至中50中有12个数字能使的末位数字是7，
∴的末位数字是7的概率为，
故答案为：．
【分析】计算可得这一列数的末尾数字每4个为一个循环，末位数字依次为3，9，7，1，找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解答．
22．（2025七下·成都期中）如图，，，垂足为，交于点，点在射线上．若，在直线上取一点，连接，过点作．交直线于点．若，则　 　．
【答案】或
【知识点】直角三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，当点在线段上时，
，
，
，
，
，
，
，
当点在点上方时，
，，
，
，
，
；
故答案为：或．
【分析】根据题意画出图形，根据垂直得到，即可得到，进而得到，再利用两直线平行，同旁内角互补解答即可．
23．（2025七下·成都期中）如图，在中，，于点D，点E在上，连接交于点F，若，过A作，交的延长线于点G，交的延长线于点H．若的面积为14，且，则的值为　 　．
【答案】12
【知识点】完全平方公式的几何背景；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵的面积为14，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先得到，再根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形外角得到，即可得到，根据对应边长相等得到，利用三角形面积公式得到解答即可．
24．（2025七下·成都期中）已知a，b，c为的三条边，
（1）若，，的周长是小于17的奇数，求c的长．
（2）若为等腰三角形，且a，b满足，求的周长．
【答案】（1）解：∵a，b，c为的三条边，
∴，
∵，，
∴，
∵的周长是小于17的奇数，
∴，
∴，
∴，
∴且c是偶数，
∴或；
（2）解：∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当腰长为2时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为；
当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为；
综上所述，该三角形的周长为7或8．
【知识点】三角形三边关系；完全平方式；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系求出c的范围，再根据周长得到c的值即可解题；
（2）先配方得到，根据非负数的性质求出a、b的值，然后分为腰长为a，腰长为b两种情况，利用构成三角形的条件解答即可．
（1）解：∵a，b，c为的三条边，
∴，
∵，，
∴，
∵的周长是小于17的奇数，
∴，
∴，
∴，
∴且c是偶数，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当腰长为2时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为；
当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为；
综上所述，该三角形的周长为7或8．
25．（2025七下·成都期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．
（1）若是一个完全平方式，求常数k的值；
（2）若，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点E、G分别在边、上，连接、、、若，，，，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：由题意得，，∵是一个完全平方式，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴，
合并同类项得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：；
∵
∵，
∴阴影部分的面积为：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；完全平方式
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算法则展开，然后利用完全平方式的特征求出k值即可；
（2）根据新定义的运算法则展开整理得到，然后根据完全平方公式的变形解答即可；
（3）根据阴影部分的面积等于，表示阴影部分的面积，然后根据完全平方公式的变形计算解题．
（1）解：由题意得，，
∵是一个完全平方式，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
合并同类项得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：；
∵
∵，
∴阴影部分的面积为：．
26．（2025七下·成都期中）【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系．
【应用】（1）如图，，A，B分别在，上，平分交于点C．
①如图1，D为B点右侧的直线上一点，平分交于点E．当，，求和的度数；
②如图2，若点D在射线上运动，平分交于点E．过点E作，垂足为F，请求出与的数量关系．
【拓展】（2）如图3，，连接，且，射线自顺时针旋转至便立即回转，射线自顺时针旋转至便立即回转，两条射线不停交叉．射线转动的速度是4度/秒，射线转动的速度是12度/秒，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当射线第一次从转至的过程中，与互相垂直时，请求出此时t的值．
【答案】解：（1）①，
，
，
平分，
．．
，
又平分，
；
②如图所示，当点D在线段上时，设，，，
∵平分，平分．
，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，即；
如图所示，当点D在延长线上时，
平分，平分．
，
设，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
，
，
；
综上所述，或；
（）①当，未相遇时，设射线交于点，射线交于点，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
与互相垂直，
，
∴，
解得：；
②如图所示，当返回时，则，
同理可得，
与互相垂直，
，
解得：；
③当第次从出发，与垂直时，如图所示，
∵，
∴，
∵，
，
解得：
综上所述，或或时，与互相垂直．
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形内角和定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①根据两直线平行，内错角相等得到，，即可得到，然后利用角平分线的定义得到，再根据平角的定义解答即可；
②分点D在线段上和的延长线上，两种情况根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质列等式计算解题；
（2）分三种情况讨论，①当，未相遇，②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，根据平行线的性质和垂直的定义列一元一次方程解题即可．
1 / 1四川省成都市第七中学初中学校2024-2025学年七年级下学期4月期中考试数学试题
1．（2025七下·成都期中）清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·成都期中）若，则的余角等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·成都期中）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为偶数
B．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
C．三角形的三条中线交于一点
D．两直线被第三条直线所截，同位角相等
4．（2025七下·成都期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·成都期中）如图，，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·成都期中）如图，与交于点O，若，要用“SAS”证明，还需要的条件是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·成都期中）一块长方形劳动基地的长是am，宽是bm，现在要扩建这块劳动基地，给它的长和宽各增加2m，扩建后劳动驻地的面积比原来增加了（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·成都期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，经使用发现，当，时，台灯光线最佳，则此时的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·成都期中）已知am＝3，an＝2，则am＋n的值为　 　.
10．（2025七下·成都期中）如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式　 　．（请用含a，b的等式表示）
11．（2025七下·成都期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：，则所指的多项式为　 　．
12．（2025七下·成都期中）如图，把一张长方形纸片沿AB折叠，已知∠1＝75°，则∠2的度数为　 　．
13．（2025七下·成都期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线的两侧，且，，，若，，则的长为　 　．
14．（2025七下·成都期中）计算
（1）
（2）
15．（2025七下·成都期中）先化简，再求值：，其中，．
16．（2025七下·成都期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个红球和白球，它们除了颜色不同外其余都相同，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601
摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601
（1）上表中的______，______；
（2）“摸到白球的”的概率的估值是______（精确到0.1）；
（3）如果袋中有12个白球，现从袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从袋中摸出一球是红球的概率是，问取走了多少个白球？
17．（2025七下·成都期中）如图，已知、、、在同一条直线上，，，，与交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
18．（2025七下·成都期中）已知，直线与交于点C，与交于点D，点C，D均不与点O重合，平分，平分．
（1）如图1，当时，的度数为______；
（2）如图2，延长与交于点F，过E作射线与交于点G，且满足，求证：；
（3）如图3，过点C作，是的外角平分线所在直线，与射线交于点N，与交于点M．在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出的度数．
19．（2025七下·成都期中）若，则　 　．
20．（2025七下·成都期中）若多项式与的乘积中不含的项，则的值为　 　．
21．（2025七下·成都期中）从1至中50任意抽取的一个数记为a，则的末位数字是7的概率是　 　．
22．（2025七下·成都期中）如图，，，垂足为，交于点，点在射线上．若，在直线上取一点，连接，过点作．交直线于点．若，则　 　．
23．（2025七下·成都期中）如图，在中，，于点D，点E在上，连接交于点F，若，过A作，交的延长线于点G，交的延长线于点H．若的面积为14，且，则的值为　 　．
24．（2025七下·成都期中）已知a，b，c为的三条边，
（1）若，，的周长是小于17的奇数，求c的长．
（2）若为等腰三角形，且a，b满足，求的周长．
25．（2025七下·成都期中）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．
（1）若是一个完全平方式，求常数k的值；
（2）若，且，求的值；
（3）在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点E、G分别在边、上，连接、、、若，，，，求图中阴影部分的面积．
26．（2025七下·成都期中）【背景】在同一平面内，两条直线的位置关系有两种，分别是平行和相交，在相交这种位置关系中，包括垂直这种特殊位置关系．
【应用】（1）如图，，A，B分别在，上，平分交于点C．
①如图1，D为B点右侧的直线上一点，平分交于点E．当，，求和的度数；
②如图2，若点D在射线上运动，平分交于点E．过点E作，垂足为F，请求出与的数量关系．
【拓展】（2）如图3，，连接，且，射线自顺时针旋转至便立即回转，射线自顺时针旋转至便立即回转，两条射线不停交叉．射线转动的速度是4度/秒，射线转动的速度是12度/秒，若它们同时开始转动，设转动时间为t秒，当射线第一次从转至的过程中，与互相垂直时，请求出此时t的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据用科学记数法表示为，
故选：D．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中1≤|a|<10，n为小数点向右移动位数的相反数．
2．【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵，
∴的余角，
故选：B．
【分析】根据互为余角的两个数的和为90°解答即可．
3．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A： 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为偶数 。是随机事件，所以A不符合题意；
B： 车辆随机到达一个路口，遇到红灯 。是随机事件，所以B不符合题意；
C： 三角形的三条中线交于一点 ，是必然事件，所以C符合题意；
D： 两直线平行线被第三条直线所截，同位角才是相等的，是随机事件，所以D不符合条件。
故答案为：C。
【分析】根据必然事件的意义进行选择即可。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据同底数幂乘除法计算，积的乘方和合并同类项的运算法则逐项判断解答即可．
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，
∴∠ACD=∠1=65°，
∵，
∵，
∴，
故答案为：B
【分析】根据平行线的性质得∠ACD=65°，由平角定义求出∠ADC，即可利用三角形内角和定理求出∠3的度数.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：A、OB=OC，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故A正确；
B、AB=DC，OA=OD，∠AOB=∠DOC，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故B错误；
C、∠A=∠D，OA=OD，∠AOB=∠DOC，符合全等三角形的判定定理ASA，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
D、∠B=∠C，∠AOB=∠DOC，OA=OD，符合全等三角形的判定定理AAS，不符合全等三角形的判定定理SAS，故C错误；
故答案为：A.
【分析】SAS指的是“边角边”关系判定三角形全等，已知OA=OD和∠AOB=∠DOC，只需要找到组成该角的另一条相等就可以解答.
7．【答案】C
【知识点】用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：扩建后的劳动基地的面积=(a+2)(b+2)，扩建前的劳动基地的面积=ab，
∴ (a+2)(b+2)-ab=2a+2b+4，
即 扩建后劳动驻地的面积比原来增加了（2a+2b+4 ）m2.
故答案为：C.
【分析】先分别计算出扩建前后的基地面积，再求差，即可求得.
8．【答案】C
【知识点】铅笔头模型；平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点E作，如图所示，
∵
∴
∴∠A+∠AEF=180°，∠FEC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠FEC+∠C=360°，
即∠EAB+∠AEC+∠C=360°，
∵∠AEC=137°，∠C=118°，
∴∠A=360°-（∠AEC+∠C）=105°，
故答案为：C.
【分析】
过点E作，则，根据平行线的判定和性质可得结论.
9．【答案】6
【知识点】代数式求值；同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵am＝3，an＝2，
∴am＋n= am×an=3×2=6。
故答案为：6。
【分析】根据同底数幂的乘法法则的逆用将代数式∴am＋n变为 am×an，再整体代入按有理数的乘法法则即可算出答案。
10．【答案】
【知识点】平方差公式的几何背景
【解析】【解答】解：左边一幅图中，阴影部分面积为，
右边一幅图中，阴影部分面积为，
∵两幅图中阴影部分面积相等，
∴，
故答案为：．
【分析】分别表示两个图形中阴影部分的面积即可解题．
11．【答案】
【知识点】多项式除以单项式
【解析】【解答】解：根据题意可得，所捂多项式=
故答案为：．
【分析】根据多项式除以单项式的运算法则直接进行计算即可得出答案．
12．【答案】30°
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】先根据平行线的性质由上下两条边平行，得到∠1=∠3=75°，再根据折叠的性质得∠4=∠3=75°，然后根据平角的定义可计算出∠2=30°．
【解答】解：
由折叠的性质可知：∠3=∠4，
∵此纸片为长方形，
∴∠1=∠3，
∵∠1=75°，
∴∠3=∠4=∠1=75°，
∴∠2=180°-∠3-∠4=30°，
故答案为：30°
【分析】根据“两直线平行，内错角相等”可得∠1=∠3，根据折叠的性质可得∠3=∠4，然后根据平角的定义可计算出∠2=30°．
13．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据AAS得到，即可得到，然后利用线段的和差解题即可．
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】（1）先运算零指数幂，负整数指数幂、乘方和绝对值，然后运算加减解题；
（2）先利用多项式的乘法展开，再合并同类项化简解题．
（1）解：
；
（2）解：
．
15．【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】括号内根据完全平方公式和平方差公式以及单项式乘以多项式的运算法则展开，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式运算，最后代入x，y的值计算解题．
16．【答案】（1）；
（2）
（3）解：设取走了x个白球，
由题意得，，
解得，
答：取走了9个白球．
【知识点】频数与频率；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由题意得，；；
故答案为：；
（2）解：由表格可知， 随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，
∴“摸到白球的”的概率的估值是；
故答案为： .
【分析】（1）利用频率等于频数除以总数计算解题；
（2）根据经过大量重复试验的频率即为事件发生的概率解答；
（3）设取走了x个白球，根据概率公式列方程解答即可．
（1）解：由题意得，；；
（2）解：由表格可知， 随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在附近，
∴“摸到白球的”的概率的估值是；
（3）解：设取走了x个白球，
由题意得，，
解得，
答：取走了9个白球．
17．【答案】（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）先得到，再根据平行线得到，然后利用即可得到三角形的全等；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，根据三角形内角和定理求出∠A的度数，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．
（1）证明：∵，
∴，
即，
∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
18．【答案】（1）
（2）证明：平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：分情况讨论：①当时，
∵，即，
∴，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
，
∵平分，
；
②当时，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
当时，则，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，
∴，
∴，不符合题意，舍去；
当时，同理可得，则，
同理可得此时，不符合题意，舍去；
综上，的度数为或．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】（1）解：，，
，
平分，平分，
，，
，
【分析】（1）根据直角三角形的两锐角互余得到，利用角平分线定义得到和，再根据三角形内角和定理解答；
（2）根据角平分线定义得到，然后根据三角形外角得到，即可得到，然后根据内错角相等，两直线平行解答即可；
（3）分四种情况：①，②，③，④，求出的度数，然后根据三角形外角求出，再利用角平分线定义解题即可．
（1）解：，，
，
平分，平分，
，，
，
（2）证明：平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：分情况讨论：①当时，
∵，即，
∴，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
，
∵平分，
；
②当时，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
当时，则，
∴，
∵是的外角平分线所在直线，
∴，
∴，不符合题意，舍去；
当时，同理可得，则，
同理可得此时，不符合题意，舍去；
综上，的度数为或．
19．【答案】解：∵，
∴，
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】根据完全平方公式展开，然后整体代入计算解题．
20．【答案】
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
，
∵多项式与的乘积中不含的项，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则展开合并，根据无关型的系数为零得到，即可解题．
21．【答案】
【知识点】概率公式；探索数与式的规律；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】解：的末位数字是3，
的末位数字是9，
的末位数字是7，
的末位数字是1，
的末位数字是3，
的末位数字是9，
……，
以此类推可知，这一列数每4个数字为一个循环，末位数字依次为3，9，7，1，
∵，
∴在1至中50中有12个数字能使的末位数字是7，
∴的末位数字是7的概率为，
故答案为：．
【分析】计算可得这一列数的末尾数字每4个为一个循环，末位数字依次为3，9，7，1，找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解答．
22．【答案】或
【知识点】直角三角形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图，当点在线段上时，
，
，
，
，
，
，
，
当点在点上方时，
，，
，
，
，
；
故答案为：或．
【分析】根据题意画出图形，根据垂直得到，即可得到，进而得到，再利用两直线平行，同旁内角互补解答即可．
23．【答案】12
【知识点】完全平方公式的几何背景；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴，
∴，
∵的面积为14，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】先得到，再根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形外角得到，即可得到，根据对应边长相等得到，利用三角形面积公式得到解答即可．
24．【答案】（1）解：∵a，b，c为的三条边，
∴，
∵，，
∴，
∵的周长是小于17的奇数，
∴，
∴，
∴，
∴且c是偶数，
∴或；
（2）解：∵，∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当腰长为2时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为；
当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为；
综上所述，该三角形的周长为7或8．
【知识点】三角形三边关系；完全平方式；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形三边关系求出c的范围，再根据周长得到c的值即可解题；
（2）先配方得到，根据非负数的性质求出a、b的值，然后分为腰长为a，腰长为b两种情况，利用构成三角形的条件解答即可．
（1）解：∵a，b，c为的三条边，
∴，
∵，，
∴，
∵的周长是小于17的奇数，
∴，
∴，
∴，
∴且c是偶数，
∴或；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当腰长为2时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为；
当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3，
∵，
∴此时能构成三角形，
∴该三角形的周长为；
综上所述，该三角形的周长为7或8．
25．【答案】（1）解：由题意得，，∵是一个完全平方式，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴，
∴，
合并同类项得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：；
∵
∵，
∴阴影部分的面积为：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；完全平方式
【解析】【分析】（1）根据新定义的运算法则展开，然后利用完全平方式的特征求出k值即可；
（2）根据新定义的运算法则展开整理得到，然后根据完全平方公式的变形解答即可；
（3）根据阴影部分的面积等于，表示阴影部分的面积，然后根据完全平方公式的变形计算解题．
（1）解：由题意得，，
∵是一个完全平方式，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
合并同类项得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为：；
∵
∵，
∴阴影部分的面积为：．
26．【答案】解：（1）①，
，
，
平分，
．．
，
又平分，
；
②如图所示，当点D在线段上时，设，，，
∵平分，平分．
，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，即；
如图所示，当点D在延长线上时，
平分，平分．
，
设，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
，
，
；
综上所述，或；
（）①当，未相遇时，设射线交于点，射线交于点，
由题意得，
∴，
∵，
∴，
与互相垂直，
，
∴，
解得：；
②如图所示，当返回时，则，
同理可得，
与互相垂直，
，
解得：；
③当第次从出发，与垂直时，如图所示，
∵，
∴，
∵，
，
解得：
综上所述，或或时，与互相垂直．
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；三角形内角和定理；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）①根据两直线平行，内错角相等得到，，即可得到，然后利用角平分线的定义得到，再根据平角的定义解答即可；
②分点D在线段上和的延长线上，两种情况根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质列等式计算解题；
（2）分三种情况讨论，①当，未相遇，②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，根据平行线的性质和垂直的定义列一元一次方程解题即可．
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