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浙江省宁波市余姚市城区初中 2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
1．（2025七下·余姚期中）如图，、被所截，则的同位角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：如图，、被所截，
和在和的上方，在的同一侧
的同位角是
故答案为：A．
【分析】根据同位角的定义“位于截线的同侧，被截线的同旁的两个角是同位角”解答即可．
2．（2025七下·余姚期中）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、把代入方程，
左边，
右边，
左边=右边，
是二元一次方程的解，A不符合题意；
B、把代入方程，
左边，
右边，
左边=右边，
是二元一次方程的解，B不符合题意；
C、把代入方程，
左边，
右边，
左边=右边，
是二元一次方程的解，C不符合题意；
D、把代入方程，
左边，
右边，
左边右边，
不是二元一次方程的解，D符合题意，
故答案为：D.
【分析】将x、y的值代入方程即可验证是否是方程的解.
3．（2025七下·余姚期中） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方结合题意对选项逐一分析计算即可求解。
4．（2025七下·余姚期中）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、不能用平方差公式计算，故A错误；
B、原式可化为，可以用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故B错误；
C、原式可化为，能用平方差公式计算，故C正确；
D、原式可化为，可以用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式的特征：两个数的和与这两个数的差相乘，对各项进行逐一分析即可．
5．（2025七下·余姚期中）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：OB⊥AB，
∴OA＞OB，
即的力臂＞的力臂，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故答案为：A．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
6．（2025七下·余姚期中）若的乘积中不含的二次项，则的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．1
【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：将多项式展开：，
合并同类项得：，
项的系数为m-2，
根据题意，该系数应为零，即m-2=0，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，由不含的二次项，则的系数为，即可得出答案．
7．（2025七下·余姚期中）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ）
A．纸带①、②的边线都平行
B．纸带①、②的边线都不平行
C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；对顶角及其性质；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：对于纸带①，如图所示：
根据题意可知：，
∴，
∴，
由翻折的性质得，，
∴，
∴与不平行，
对于纸带②，由翻折的性质得，，，
又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
综上，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行，
故答案为：D．
【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，可求得，再由翻折的性质可得，据此可求出∠DBE=56°，据此可判断纸袋①的边线不平行；对于纸带②，由翻折的性质得，，，再根据C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上可得，，据此可判定纸带②的边线平行，即可得出答案.
8．（2025七下·余姚期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房、设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有客房x间，客人y人，则可列方程组：
.
故答案为：D.
【分析】设有客房x间，客人y人，根据题中的相等关系“一房七客多七客，一房九客一房空”可列方程组.
9．（2025七下·余姚期中）下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：
①如图，过点作直线，
，
，
∴∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，
∴∠1+∠A+∠2+∠C=180°+180°=360°
∵∠AEC=∠1+∠2，
∴∠AEC+∠A+∠C=360°，故结论①错误；
②如图，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠1，
又∵∠1=∠C+∠P，
∴∠A=∠C+∠P，
∴∠P=∠A-∠C，故结论②正确；
③如图，过点作直线，
，
，
∴∠1=∠2，∠3+∠A=180°，
∴∠3=180°-∠A，
又∵∠AEC=∠2+∠3，
∴∠AEC=∠1+180°-∠A，即∠AEC=180°+∠1-∠A，故结论③错误；
④如图，
，
∴∠α+∠1=180°，
∴∠1=180°-∠α，
，
∴∠α+∠1=180°，
∴∠2=180°-∠γ，
又∵∠1+∠β+∠γ=180°，
∴180°-∠α+∠β+180°-∠γ=180°，
∴∠α-∠β+∠γ=180°，故结论④正确，
综上所述：结论②和④正确，共有2个，
故答案为：B．
【分析】①过点作直线，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论①错误；②如图，先根据行线的性质：两直线平行，内错角相等，得出∠A=∠1，再根据三角形外角的性质得出∠1=∠C+∠P，即可得出结论②正确；③如图，过点作直线，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，可得出∠1=∠2，∠3+∠A=180°，进而可得∠AEC=180°+∠1-∠A，即可得出结论③错误；④如图，根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得出∠α+∠1=180°，∠α+∠1=180°，再根据平角的定义可得，180°-∠α+∠β+180°-∠γ=180°，即∠α-∠β+∠γ=180°，即可得出结论④正确，从而得出正确答案.
10．（2025七下·余姚期中）用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为64．用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为36．用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．50
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的面积是64，边长为8，图2中阴影部分的面积是36，边长是6，设长方形的长为a，宽为b，
根据题意，得，
解得：，
∴图3中阴影部分的面积为：（a-3b）2=（10-3×2）2=16.
故答案为：B．
【分析】设长方形的长为a，宽为b，由图1中阴影部分的面积是64可求出a-b=8，由图2中阴影部分的面积是36可求出a-2b=6，进而求出a=10，b=2，图3阴影部分的面积为（a-3b）2代入计算即可.
11．（2025七下·余姚期中）已知 ，用含 的代数式表示 ，则 .
【答案】2x+6
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：方程 ，
解得： .
故答案为：2x+6.
【分析】将不含y的项移至等号的右边即可.
12．（2025七下·余姚期中）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意可知：1阿秒=秒，
∴43阿秒秒，
故答案为：．
【分析】根据“ 1阿秒是秒 ”可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法即可求解．
13．（2025七下·余姚期中）若是一个完全平方式，则的值为 .
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2-2mx+36是一个完全平方式，
∴x2-2mx+36=（x±6）2，
∴m=±6.
故答案为：±6.
【分析】根据完全平方公式可得-2mx=2·x·6，据此即可求解.
14．（2025七下·余姚期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ．
【答案】4
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入关于x、y的二元一次方程组中，
解得：，
∴a+3b=4，
故答案为：．
【分析】将已知解代入原方程组，求解得出a、b的值，再计算a+3b即可得到答案．
15．（2025七下·余姚期中）已知，求得的值为 ．
【答案】3
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵原式
∵，
∴，
∴把代入得，原式=-3×5+18=3，
故答案为：3．
【分析】首先将代数式展开并化简，然后利用已知方程中得出，并整体代入求值即可.
16．（2025七下·余姚期中）如图，把一张长方形纸板截去两个边长为的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盆，纸盒底面长方形的边长为，宽为则：
（1）截去的每个小长方形面积为 ；（用的代数式表示）
（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的奇数倍，则正整数的值为 ．
【答案】；2或10
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知：截去的小长方形的宽为，长为，
∴S裁去的小长方形=，
故答案为：；
（2）根据题意可知：S长方体纸盒的底面积=；
S长方体纸盒的表面积=2k·3k·2+2k·6×2+3k·6×2=12k2+60k（cm2），
又∵长方体纸盒的表面积是底面积的奇数倍，
∴（为奇数），
化简整理得：，
∴n=
为奇数，为正整数，
或，
∴正整数的值为或，
故答案为：或．
【分析】（1）根据题意，分别表示出小长方形的长与宽，再根据长方形的面积公式进行计算即可；
（2）先根据图示先表示出长方体纸盒的底面积和表面积，再根据长方体纸盒的表面积与底面积的关系得到，得出n=，最后由为奇数，为正整数即可求出k的值．
17．（2025七下·余姚期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式=
；
（2）解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；整数指数幂的运算
【解析】【分析（1）根据有理数的混合运算法则，先算零指数幂，负整数指数幂及乘方运算，再算加减即可；
（2）根据整式乘法的运算法则，先计算积的乘方，同底数幂的乘法，进行整式的加减即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025七下·余姚期中）解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
由①得：y=7-2x③，
将③代入②，得：2x-3y=2x-3（7-2x）=8x-21=3，
解得：x=3，
将x=3代入③，得：y=7-2×3=1，
∴原方程组的解是：.
（2）解：方程组整理为，
由②得：y=2x-4③，
将③代入①得：x-3y=x-3(2x-4)=-3，
解得：x=3，
将x=3代入③得：y=2×3-4=2，
∴原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可.
（1）解：
①②，得
∴
把代入①，得 ，
解得：，
∴原方程组的解是：．
（2）解：方程组整理为
①②，得
∴
把代入①，得 ，
解得：，
∴原方程组的解为．
19．（2025七下·余姚期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处，现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点．
（1）请画出平移后的；
（2）若连接，，则这两条线段之间的位置关系是______ ，数量关系是______ ；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示：△DEF即为所求：
（2）平行，相等
（3）解：△DEF的面积==16-（2+3+4）=7.
答：△DEF的面积为7.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）由平移的性质可知，线段AD与BE的位置关系是平行，数量关系相等，
故答案为：平行；相等．
【分析】（1）将点B、C均向右平移6格、向下平移2格。再顺次连接即可；
（2）根据平移的性质即可得出这两条线段之间的关系；
（3）利用割补法即可求出的面积．
20．（2025七下·余姚期中）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：
当时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式及平方差公式展开小括号，再合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则算出最简结果，最后再把a、b的值代入计算即可.
21．（2025七下·余姚期中）如图，，，，点C，D，E在同一条直线上．
（1）判断的位置关系，并说明理由．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，
理由：∵，（已知），
∴∠EFD=∠EBC=90°（垂直定义），
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）.
（2）解：∵，∠E=28°（已知），
∴∠ABE=∠E=28°（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（垂直定义），
．
【知识点】垂线的概念；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由垂直定义可得，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得出结论；
（2）由AB∥CD根据“两直线平行，内错角相等”可得∠ABE=∠E，再结合垂直定义可得，根据角的和差即可得出答案．
（1）解：，理由如下：
，，
；
（2）解：
．
，
，
．
22．（2025七下·余姚期中）我们将进行变形，如：，等．请灵活利用这些变形解决下列问题：
（1）已知，，则 ．
（2）若满足，求的值．
（3）如图，四边形是梯形，，，，，连结，若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】（1）
（2）解：设2025-x=a，x-2028=b，则 足= ab=-45，=，
根据题意可知 ： ，
∴=[]2-2，
即=（-3）2-2×（-45）=9+90=99；
（3）27.
【知识点】完全平方公式及运用；数形结合
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知：，且，，
∴将，代入，得ab==6，
故答案为：6；
（3）据图可知：S阴影部分=S梯形-S△ADC-S△BCE，
设，，则，
∴S阴影部分=
=，
=
=ab，
∵，
∴S阴影部分=27.
故答案为：．
【分析】（1）直接将，代入求值即可；
（2）设，，则，再整体代入求值即可；
（3）据图可知，S阴影部分=S梯形-S△ADC-S△BCE，设，，则S阴影部分=，即可得出答案．
（1）解：∵，，
∴，
故答案为：6；
（2）解：设，．
∵，
∴
．
（3）解：设，，则，
则阴影部分的面积为
，
故答案为：．
23．（2025七下·余姚期中）根据以下素材，探索完成任务
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励．
素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元；
买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元．
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．
素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的 ．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？
任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？
【答案】任务1：设A款奶茶的销售单价为x元，B款奶茶的销售单价为y元，由题意得，
解得，
所以，A款奶茶的销售单价为14元，B款奶茶的销售单价为16元；
任务2：设A款奶茶为a杯，B款奶茶的销售单价为b杯，
由题意得，
∵a、b均为正整数，
∴或，
所以，共有2种购买方案；
任务3：设班主任购买的奶茶中A型不加料的奶茶买了m杯，A型加料的奶茶和B型不加料的奶茶买了n杯，则B型加料的奶茶买了杯，
由题意得，
∴，
∵均为正整数，
∴，
∴（杯），
所以，班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意找出数量关系，列出二元一次方程（组）是解题的关键．
任务1：由素材1知，2杯A型奶茶+3杯B型奶茶＝76、4杯A型奶茶+7杯B型奶茶＝168，设出未知数联立方程组即可；
任务2：根据题意列出二元一次方程，求正整数解即可；
任务3：同任务2，根据题意列出二元一次方程，并求方程的正整数解即可．
24．（2025七下·余姚期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．
（1）如图2，当为的角平分线时，求此时t的值；
（2）当旋转至的内部时，求与的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时t等于 （直接写出答案即可）．
【答案】（1）解：根据题意可知：∠EDC=90°，∠DEC=60°，
∴∠DCE=180°-∠EDC-∠DEC=180°-90°-60°=30°，
∵AC是∠DCE的平分线，
∴∠ACE=∠ACD==15°，
∴t=15°÷5°=3 s.
（2）解： 当旋转至的内部时， ∠ECB-∠DCA=15°，
由旋转的性质可得：∠ACE=5t，
∴∠DCA=∠DCE-∠ACE=30°-5t，∠ECB=∠ACB-∠ACE=45°-5t，
∴∠ECB-∠DCA=（45°-5t）-（30°-5t）=15°.
（3）或或或
【知识点】角的运算；平行线的性质；旋转的性质；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：（3）当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，可能会出现四种情况：
①，如图4所示：
根据题意可知：∠DCE=30°，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠DCE+∠ACB=30°+45°=75°，
此时旋转时间；
②，如图5所示：，
根据题意可知：，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠BCE+∠ACB=90°+45°=135°，
此时旋转时间；
③，如图6所示：
根据题意可知：，∠DCE=30°，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠DCE+∠DCB+∠ACB=30°+90°+45°=165°，
此时旋转时间；
④，如图7所示：
根据题意可知：∠DCE=30°，∠ACD=∠D=90°，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠DCE+∠ACD=30°+90°=120°，
此时旋转时间；
综上所述，此时旋转时间tt的值为或或或．
故答案为：或或或．
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACE=∠ACD==15°，然后求出t的值即可；
（2）根据旋转得：∠ACE=5t，表示出∠DCA=30°-5t，∠ECB=45°-5t，即可得出∠ECB-∠DCA=15°；
（3）当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，可能会出现四种情况：、、、，分情况进行讨论，画出图形，求出t的值即可.
（1）解：如图2，，，
，
平分，
，
，
答：此时的值是；
（2）当旋转至的内部时，如图3，与的数量关系是：；
理由是：由旋转得：，
，，
；
（3）分四种情况：
①当时，如图4，，
；
②当时，如图5，则，
，
；
③当时，如图6，则，
，
；
④当时，如图7，
，
，
；
综上，的值是或或或．
故答案为：或或或．
1 / 1浙江省宁波市余姚市城区初中 2024-2025学年七年级下学期4月期中数学试题
1．（2025七下·余姚期中）如图，、被所截，则的同位角是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025七下·余姚期中）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七下·余姚期中） 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025七下·余姚期中）下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·余姚期中）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
6．（2025七下·余姚期中）若的乘积中不含的二次项，则的值为（ ）
A．0 B．2 C． D．1
7．（2025七下·余姚期中）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ）
A．纸带①、②的边线都平行
B．纸带①、②的边线都不平行
C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行
D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行
8．（2025七下·余姚期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房、设有客房x间，客人y人，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025七下·余姚期中）下列结论：①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线，点在直线上，则．正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2025七下·余姚期中）用若干张形状、大小完全相同的长方形纸片围成正方形，4张长方形纸片围成如图1所示的正方形，其阴影部分的面积为64．用8张长方形纸片围成如图2所示的正方形，其阴影部分的面积为36．用12张长方形纸片围成如图3所示的正方形，其阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．16 C．24 D．50
11．（2025七下·余姚期中）已知 ，用含 的代数式表示 ，则 .
12．（2025七下·余姚期中）2023年10月诺贝尔物理学奖授予三位“追光”科学家，以表彰他们“为研究物质中的电子动力学而产生阿秒光脉冲的实验方法”．什么是阿秒？1阿秒是秒，也就是十亿分之一秒的十亿分之一．目前世界上最短的单个阿秒光学脉冲是43阿秒．将43阿秒用科学记数法表示为 秒．
13．（2025七下·余姚期中）若是一个完全平方式，则的值为 .
14．（2025七下·余姚期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为 ．
15．（2025七下·余姚期中）已知，求得的值为 ．
16．（2025七下·余姚期中）如图，把一张长方形纸板截去两个边长为的小正方形和两个全等的小长方形，再把剩余部分（阴影部分）四周折起，恰好做成一个有底有盖的长方体纸盆，纸盒底面长方形的边长为，宽为则：
（1）截去的每个小长方形面积为 ；（用的代数式表示）
（2）若长方体纸盒的表面积是底面积的奇数倍，则正整数的值为 ．
17．（2025七下·余姚期中）计算：
（1）
（2）
18．（2025七下·余姚期中）解方程组：
（1）
（2）
19．（2025七下·余姚期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点都在网格顶点处，现将平移得到，使点的对应点为点，点的对应点为点．
（1）请画出平移后的；
（2）若连接，，则这两条线段之间的位置关系是______ ，数量关系是______ ；
（3）求的面积．
20．（2025七下·余姚期中）先化简，再求值：，其中.
21．（2025七下·余姚期中）如图，，，，点C，D，E在同一条直线上．
（1）判断的位置关系，并说明理由．
（2）若，求的度数．
22．（2025七下·余姚期中）我们将进行变形，如：，等．请灵活利用这些变形解决下列问题：
（1）已知，，则 ．
（2）若满足，求的值．
（3）如图，四边形是梯形，，，，，连结，若，则图中阴影部分的面积为 ．
23．（2025七下·余姚期中）根据以下素材，探索完成任务
背景 为表彰同学在班级活动中的优异表现，班主任去奶茶店购买A，B两种款式的奶茶作为奖励．
素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶共需76元；
买4杯A型奶茶，7杯B型奶茶共需168元．
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．
素材3 班主任用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的 ．
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶（两种都要）刚好花280元，问有几种购买方案？
任务3 结合素材3，求班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了多少杯？
24．（2025七下·余姚期中）将一副直角三角板如图1，摆放在直线MN上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．
（1）如图2，当为的角平分线时，求此时t的值；
（2）当旋转至的内部时，求与的数量关系；
（3）在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，求此时t等于 （直接写出答案即可）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同位角的概念
【解析】【解答】解：如图，、被所截，
和在和的上方，在的同一侧
的同位角是
故答案为：A．
【分析】根据同位角的定义“位于截线的同侧，被截线的同旁的两个角是同位角”解答即可．
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、把代入方程，
左边，
右边，
左边=右边，
是二元一次方程的解，A不符合题意；
B、把代入方程，
左边，
右边，
左边=右边，
是二元一次方程的解，B不符合题意；
C、把代入方程，
左边，
右边，
左边=右边，
是二元一次方程的解，C不符合题意；
D、把代入方程，
左边，
右边，
左边右边，
不是二元一次方程的解，D符合题意，
故答案为：D.
【分析】将x、y的值代入方程即可验证是否是方程的解.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B不符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方结合题意对选项逐一分析计算即可求解。
4．【答案】C
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、不能用平方差公式计算，故A错误；
B、原式可化为，可以用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故B错误；
C、原式可化为，能用平方差公式计算，故C正确；
D、原式可化为，可以用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据平方差公式的特征：两个数的和与这两个数的差相乘，对各项进行逐一分析即可．
5．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：OB⊥AB，
∴OA＞OB，
即的力臂＞的力臂，
其体现的数学依据是垂线段最短，
故答案为：A．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
6．【答案】B
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：将多项式展开：，
合并同类项得：，
项的系数为m-2，
根据题意，该系数应为零，即m-2=0，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，由不含的二次项，则的系数为，即可得出答案．
7．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）；对顶角及其性质；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：对于纸带①，如图所示：
根据题意可知：，
∴，
∴，
由翻折的性质得，，
∴，
∴与不平行，
对于纸带②，由翻折的性质得，，，
又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
综上，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行，
故答案为：D．
【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，可求得，再由翻折的性质可得，据此可求出∠DBE=56°，据此可判断纸袋①的边线不平行；对于纸带②，由翻折的性质得，，，再根据C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上可得，，据此可判定纸带②的边线平行，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解： 设有客房x间，客人y人，则可列方程组：
.
故答案为：D.
【分析】设有客房x间，客人y人，根据题中的相等关系“一房七客多七客，一房九客一房空”可列方程组.
9．【答案】B
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型
【解析】【解答】解：
①如图，过点作直线，
，
，
∴∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，
∴∠1+∠A+∠2+∠C=180°+180°=360°
∵∠AEC=∠1+∠2，
∴∠AEC+∠A+∠C=360°，故结论①错误；
②如图，
∵AB∥CD，
∴∠A=∠1，
又∵∠1=∠C+∠P，
∴∠A=∠C+∠P，
∴∠P=∠A-∠C，故结论②正确；
③如图，过点作直线，
，
，
∴∠1=∠2，∠3+∠A=180°，
∴∠3=180°-∠A，
又∵∠AEC=∠2+∠3，
∴∠AEC=∠1+180°-∠A，即∠AEC=180°+∠1-∠A，故结论③错误；
④如图，
，
∴∠α+∠1=180°，
∴∠1=180°-∠α，
，
∴∠α+∠1=180°，
∴∠2=180°-∠γ，
又∵∠1+∠β+∠γ=180°，
∴180°-∠α+∠β+180°-∠γ=180°，
∴∠α-∠β+∠γ=180°，故结论④正确，
综上所述：结论②和④正确，共有2个，
故答案为：B．
【分析】①过点作直线，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论①错误；②如图，先根据行线的性质：两直线平行，内错角相等，得出∠A=∠1，再根据三角形外角的性质得出∠1=∠C+∠P，即可得出结论②正确；③如图，过点作直线，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，可得出∠1=∠2，∠3+∠A=180°，进而可得∠AEC=180°+∠1-∠A，即可得出结论③错误；④如图，根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，得出∠α+∠1=180°，∠α+∠1=180°，再根据平角的定义可得，180°-∠α+∠β+180°-∠γ=180°，即∠α-∠β+∠γ=180°，即可得出结论④正确，从而得出正确答案.
10．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：图1中阴影部分的面积是64，边长为8，图2中阴影部分的面积是36，边长是6，设长方形的长为a，宽为b，
根据题意，得，
解得：，
∴图3中阴影部分的面积为：（a-3b）2=（10-3×2）2=16.
故答案为：B．
【分析】设长方形的长为a，宽为b，由图1中阴影部分的面积是64可求出a-b=8，由图2中阴影部分的面积是36可求出a-2b=6，进而求出a=10，b=2，图3阴影部分的面积为（a-3b）2代入计算即可.
11．【答案】2x+6
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：方程 ，
解得： .
故答案为：2x+6.
【分析】将不含y的项移至等号的右边即可.
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意可知：1阿秒=秒，
∴43阿秒秒，
故答案为：．
【分析】根据“ 1阿秒是秒 ”可知，43阿秒秒，再根据科学记数法的表示方法即可求解．
13．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2-2mx+36是一个完全平方式，
∴x2-2mx+36=（x±6）2，
∴m=±6.
故答案为：±6.
【分析】根据完全平方公式可得-2mx=2·x·6，据此即可求解.
14．【答案】4
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：把代入关于x、y的二元一次方程组中，
解得：，
∴a+3b=4，
故答案为：．
【分析】将已知解代入原方程组，求解得出a、b的值，再计算a+3b即可得到答案．
15．【答案】3
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：∵原式
∵，
∴，
∴把代入得，原式=-3×5+18=3，
故答案为：3．
【分析】首先将代数式展开并化简，然后利用已知方程中得出，并整体代入求值即可.
16．【答案】；2或10
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知：截去的小长方形的宽为，长为，
∴S裁去的小长方形=，
故答案为：；
（2）根据题意可知：S长方体纸盒的底面积=；
S长方体纸盒的表面积=2k·3k·2+2k·6×2+3k·6×2=12k2+60k（cm2），
又∵长方体纸盒的表面积是底面积的奇数倍，
∴（为奇数），
化简整理得：，
∴n=
为奇数，为正整数，
或，
∴正整数的值为或，
故答案为：或．
【分析】（1）根据题意，分别表示出小长方形的长与宽，再根据长方形的面积公式进行计算即可；
（2）先根据图示先表示出长方体纸盒的底面积和表面积，再根据长方体纸盒的表面积与底面积的关系得到，得出n=，最后由为奇数，为正整数即可求出k的值．
17．【答案】（1）解：原式=
；
（2）解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；整数指数幂的运算
【解析】【分析（1）根据有理数的混合运算法则，先算零指数幂，负整数指数幂及乘方运算，再算加减即可；
（2）根据整式乘法的运算法则，先计算积的乘方，同底数幂的乘法，进行整式的加减即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：，
由①得：y=7-2x③，
将③代入②，得：2x-3y=2x-3（7-2x）=8x-21=3，
解得：x=3，
将x=3代入③，得：y=7-2×3=1，
∴原方程组的解是：.
（2）解：方程组整理为，
由②得：y=2x-4③，
将③代入①得：x-3y=x-3(2x-4)=-3，
解得：x=3，
将x=3代入③得：y=2×3-4=2，
∴原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用代入消元法解二元一次方程组即可.
（1）解：
①②，得
∴
把代入①，得 ，
解得：，
∴原方程组的解是：．
（2）解：方程组整理为
①②，得
∴
把代入①，得 ，
解得：，
∴原方程组的解为．
19．【答案】（1）解：如图所示：△DEF即为所求：
（2）平行，相等
（3）解：△DEF的面积==16-（2+3+4）=7.
答：△DEF的面积为7.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【解答】解：（2）由平移的性质可知，线段AD与BE的位置关系是平行，数量关系相等，
故答案为：平行；相等．
【分析】（1）将点B、C均向右平移6格、向下平移2格。再顺次连接即可；
（2）根据平移的性质即可得出这两条线段之间的关系；
（3）利用割补法即可求出的面积．
20．【答案】解：
当时，原式.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式及平方差公式展开小括号，再合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则算出最简结果，最后再把a、b的值代入计算即可.
21．【答案】（1）解：，
理由：∵，（已知），
∴∠EFD=∠EBC=90°（垂直定义），
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）.
（2）解：∵，∠E=28°（已知），
∴∠ABE=∠E=28°（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（垂直定义），
．
【知识点】垂线的概念；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）由垂直定义可得，再根据“同位角相等，两直线平行”即可得出结论；
（2）由AB∥CD根据“两直线平行，内错角相等”可得∠ABE=∠E，再结合垂直定义可得，根据角的和差即可得出答案．
（1）解：，理由如下：
，，
；
（2）解：
．
，
，
．
22．【答案】（1）
（2）解：设2025-x=a，x-2028=b，则 足= ab=-45，=，
根据题意可知 ： ，
∴=[]2-2，
即=（-3）2-2×（-45）=9+90=99；
（3）27.
【知识点】完全平方公式及运用；数形结合
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知：，且，，
∴将，代入，得ab==6，
故答案为：6；
（3）据图可知：S阴影部分=S梯形-S△ADC-S△BCE，
设，，则，
∴S阴影部分=
=，
=
=ab，
∵，
∴S阴影部分=27.
故答案为：．
【分析】（1）直接将，代入求值即可；
（2）设，，则，再整体代入求值即可；
（3）据图可知，S阴影部分=S梯形-S△ADC-S△BCE，设，，则S阴影部分=，即可得出答案．
（1）解：∵，，
∴，
故答案为：6；
（2）解：设，．
∵，
∴
．
（3）解：设，，则，
则阴影部分的面积为
，
故答案为：．
23．【答案】任务1：设A款奶茶的销售单价为x元，B款奶茶的销售单价为y元，由题意得，
解得，
所以，A款奶茶的销售单价为14元，B款奶茶的销售单价为16元；
任务2：设A款奶茶为a杯，B款奶茶的销售单价为b杯，
由题意得，
∵a、b均为正整数，
∴或，
所以，共有2种购买方案；
任务3：设班主任购买的奶茶中A型不加料的奶茶买了m杯，A型加料的奶茶和B型不加料的奶茶买了n杯，则B型加料的奶茶买了杯，
由题意得，
∴，
∵均为正整数，
∴，
∴（杯），
所以，班主任购买的奶茶中B型加料的奶茶买了7杯．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，根据题意找出数量关系，列出二元一次方程（组）是解题的关键．
任务1：由素材1知，2杯A型奶茶+3杯B型奶茶＝76、4杯A型奶茶+7杯B型奶茶＝168，设出未知数联立方程组即可；
任务2：根据题意列出二元一次方程，求正整数解即可；
任务3：同任务2，根据题意列出二元一次方程，并求方程的正整数解即可．
24．【答案】（1）解：根据题意可知：∠EDC=90°，∠DEC=60°，
∴∠DCE=180°-∠EDC-∠DEC=180°-90°-60°=30°，
∵AC是∠DCE的平分线，
∴∠ACE=∠ACD==15°，
∴t=15°÷5°=3 s.
（2）解： 当旋转至的内部时， ∠ECB-∠DCA=15°，
由旋转的性质可得：∠ACE=5t，
∴∠DCA=∠DCE-∠ACE=30°-5t，∠ECB=∠ACB-∠ACE=45°-5t，
∴∠ECB-∠DCA=（45°-5t）-（30°-5t）=15°.
（3）或或或
【知识点】角的运算；平行线的性质；旋转的性质；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：（3）当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，可能会出现四种情况：
①，如图4所示：
根据题意可知：∠DCE=30°，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠DCE+∠ACB=30°+45°=75°，
此时旋转时间；
②，如图5所示：，
根据题意可知：，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠BCE+∠ACB=90°+45°=135°，
此时旋转时间；
③，如图6所示：
根据题意可知：，∠DCE=30°，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠DCE+∠DCB+∠ACB=30°+90°+45°=165°，
此时旋转时间；
④，如图7所示：
根据题意可知：∠DCE=30°，∠ACD=∠D=90°，∠ACB=45°，
∴∠ACE=∠DCE+∠ACD=30°+90°=120°，
此时旋转时间；
综上所述，此时旋转时间tt的值为或或或．
故答案为：或或或．
【分析】（1）根据角平分线的定义求出∠ACE=∠ACD==15°，然后求出t的值即可；
（2）根据旋转得：∠ACE=5t，表示出∠DCA=30°-5t，∠ECB=45°-5t，即可得出∠ECB-∠DCA=15°；
（3）当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，可能会出现四种情况：、、、，分情况进行讨论，画出图形，求出t的值即可.
（1）解：如图2，，，
，
平分，
，
，
答：此时的值是；
（2）当旋转至的内部时，如图3，与的数量关系是：；
理由是：由旋转得：，
，，
；
（3）分四种情况：
①当时，如图4，，
；
②当时，如图5，则，
，
；
③当时，如图6，则，
，
；
④当时，如图7，
，
，
；
综上，的值是或或或．
故答案为：或或或．
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