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浙江省杭州市萧山区2025年中考一模数学试题
1．（2025·萧山模拟）如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（　　）
A．P B．Q C．M D．N
【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴可得，，，
∴数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是，
故选：A．
【分析】
绝对值表示数轴上一点到原点的距离．
2．（2025·萧山模拟）根据杭州市统计局发布的《2024年杭州市人口主要数据公报》，萧山区常住人口总量达216.4万人，则216.4万用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：216.4万．
故选：C．
【分析】
用科学记数法把个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，n为这个数字整数部分数位个数与1的差．
3．（2025·萧山模拟）如图是某几何体的三视图，则此几何体为（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．直三棱锥 D．球
【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥，
此几何体为圆锥，
故选：B．
【分析】
主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面观察所得到的图形．
4．（2025·萧山模拟）已知，则代数式的值为（　　）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：C．
【分析】
先将原代数式变形为，再整体代入得，再变形得，再次整体代入即可得出答案．
5．（2025·萧山模拟）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意得，，，，，，
，
，即，
故选：D
【分析】
由两直线平行同位角相等可证，再利用相似比可求得EC的长，则井深可求．
6．（2025·萧山模拟）从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00—10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】折线统计图；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：通过统计图发现，乘坐地铁所用的时间的连线最接近水平，受时间段的影响产生的波动的幅度最小，即地铁出行受出发时刻的影响较小，①说法正确；
通过统计图发现，若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短，②说法正确；
通过统计图发现要30分钟内到达必须要在6：30之前出发才可以，故③说法错误；
故选：A．
【分析】
根据折线统计图提供的信息逐项判断即可．
7．（2025·萧山模拟）如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】
过点作于点，可由等腰三角形三线合一得到，再解即可表示，即可求解．
8．（2025·萧山模拟）如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（　　）
A．10 B．15 C．20 D．40
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用；等腰三角形的概念
【解析】【解答】设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，
则，
∴，
∵，
∴．
故选C．
【分析】
本题考查了三角形的面积，设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，则均可用含a、b 的代数式表示，则可发现和结果相等即可解答．
9．（2025·萧山模拟）已知二次函数的图象经过点，，若，则下列可能成立的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质
【解析】【解答】解：、∵二次函数的图象经过点，，
∴，，
∵，
∴，
∴，原选项错误，不符合题意；
、∵，
∴，
∴当时，可能成立，原选项正确，符合题意；
、∵，
∴，即，
若若时，则，原选项可能不成立，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，
若时，则，原选项可能不成立，不符合题意；
故选：．
【分析】
由二次函数图象上点的坐标特征可把点的坐标分别代入解析式得到，，再根据，依次对各选项进行判断即可.
10．（2025·萧山模拟）如图，E是正方形的边上一动点（不与C，D重合），连结，以为边作正方形，点M是的中点，连结．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
【答案】A
【知识点】正方形的性质；四边形的综合；四点共圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
② 如图所示，连接BD，EM.
∵，
∴，
∴
∴四点共圆，且
∴
∵正方形ABCD中，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴B、M、D三点共线，
故选：A．
【分析】
① 连接，由正方形的性质知，则可证，则，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，故结论正确；
② 连接BD，EM，则是等腰直角三角形，且、，则可证明点四点共圆，则由圆周角定理得；再利用SAS证，则，因为正方形ABCD中，则B、M、D三点共线.
11．（2025·萧山模拟）计算：　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】
先计算幂的乘方，即底数不变指数相乘；再计算同底数幂的乘法运算，即底数不变指数相加.
12．（2025·萧山模拟）有9张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到9中的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，则抽到的卡片上的数是2的倍数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵1到9中2的倍数有2，4，6，8四个数，
∴P= .
【分析】先得出2的倍数，再根据概率公式即可得出结论．
13．（2025·萧山模拟）如图，，平分，若，则　 　．
【答案】
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：．
【分析】
先由两直线平行同旁内角互补得到，再由角平分线的定义即可求解．
14．（2025·萧山模拟）命题“若，则关于x的一元二次方程必有实数根”是　 　命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴关于x的一元二次方程必有实数根，
∴该命题是真命题，
故答案为：真．
【分析】
先由基本不等式得根，再结合已知可得根的判别式大于等于0即可．
15．（2025·萧山模拟）已知点A是正比例函数图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则　 　．
【答案】2
【知识点】正比例函数的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设，则把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为，
∵在正比例函数的图象上，
∴，解得：，
∵
∴．
故答案为：2．
【分析】
由正比例函数图象上点的坐标特征知，可设，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为，然后代入求解即可．
16．（2025·萧山模拟）如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接、，如图所示：
∵，
∴，
根据折叠可知：，，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，，则，，，
∵，
∴，
整理得：，
∴，
∴．
【分析】
连接、，先求出，证明为等腰直角三角形，得出，设，，则，，，根据，得出，求出，最后求出结果即可．
17．（2025·萧山模拟）计算：．
【答案】解：原式，
，
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查了实数的运算，先计算乘方和二次根式的乘法运算，再进行有理数的乘法运算，最后进行加减计算．
18．（2025·萧山模拟）解不等式组．
【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．（2025·萧山模拟）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
信息一：配送速度得分（满分10分）：
甲：
乙：
信息二：服务质量得分统计图（满分10分）：
信息三：配送速度和服务质量得分统计表：
项目统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 7
乙 8 8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的______；______；______．（填“”“”或“”）．
（2）综合表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
【答案】（1），，
（2）解：∵从配送速度得分看，在平均数和中位数上，甲和乙的得分相差不大；从服务质量得分看，甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，∴甲快递公司的评价得分更稳定，
∴小丽应选择甲快递公司．
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：将甲快递公司的配送速度得分按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数，
则，
，
，
，
则，
故答案为：，，．
【分析】
（1）求甲的中位数、由于甲的数据已按照从小到大的顺序排列，直接取第5名和第6名的平均值即可；平均数直接按照公式计算即可；由于平均值已计算出来，方差也直接依照公式求解即可；
（2）由于两家公司的平均值和中位数比较接近，可参考方差的大小来选择，考虑到方差越小，数据越稳定，可选择甲公司．
20．（2025·萧山模拟）科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？
【答案】（1）解：∵反比例函数图象经过点∴，
∴反比例函数表达式为；
又当时，，
∴一次函数图象经过点，，
即，
∴，
∴一次函数表达式为；
（2）解：当时，对于反比例函数，对于一次函数，∴月利润不高于100万元的月份有2月份，3月份，4月份和5月份，
∴月利润不高于100万元时共经历4个月．
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据反比例函数图象经过点，利用待定系数法求解出反比例函数解析式，再求出一次函数图象经过点，利用待定系数求解即可；
（2）分别求出当时，反比例函数中，一次函数中，即可解答．
（1）解：∵反比例函数图象经过点
∴，
∴反比例函数表达式为；
又当时，，
∴一次函数图象经过点，，
即，
∴，
∴一次函数表达式为；
（2）解：当时，对于反比例函数，对于一次函数，
∴月利润不高于100万元的月份有2月份，3月份，4月份和5月份，
∴月利润不高于100万元时共经历4个月．
21．（2025·萧山模拟）小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时三点共线）．已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？（参考数据：，，）
【答案】解：中，，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
在中，，，
∴ ，
∴，
∴小车行驶的速度为，
∴小车行驶符合安全规范．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
过点O作AB的垂线交AB的延长线于点D，先由勾股定理得，再证，则，可求出 ，再解直角三角形得出 ，最后比较即可．
22．（2025·萧山模拟）如图，已知点P是线段的黄金分割点，，以点B为圆心，以长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵点P是线段的黄金分割点，，∴，，
由作图可知，，
∴，即，
又，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）先由黄金分割的定义得到，然后由作图可知，进行等量代换，再由两边成比例且夹角相等证明相似；
（2）由得到，则，再代入数据求解．
（1）证明：∵点P是线段的黄金分割点，，
∴，，
由作图可知，，
∴，即，
又，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（2025·萧山模拟）已知二次函数．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式．
（3）已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：．
【答案】（1）解：对称轴为直线，当时，，
∴顶点坐标为；
（2）解：由题意得平移后的解析式为，将代入，∴，
∴，
∴二次函数表达式为；
（3）证明：二次函数化为一般式得，∴，
∵和是该二次函数图象上任意两点，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，，
∴原式，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∵二次函数对称轴直线为，
∴当时，，
∴．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】
（1）关于x 的二次函数的对称轴为直线，因此可先求出对称轴，则顶点坐标可求；
（2）由题意得平移后的解析式为，将代入，运用待定系数法即可得到解析式；
（3）根据二次函数图象上点的坐标特征先表示出m和n ，再依据可得a的取值范围，从而可确定二次函数的开口方向向下，即函数有最大值，代入顶点坐标计算即可.
（1）解：对称轴为直线，
当时，，
∴顶点坐标为；
（2）解：由题意得平移后的解析式为，将代入，
∴，
∴，
∴二次函数表达式为；
（3）证明：二次函数化为一般式得，
∴，
∵和是该二次函数图象上任意两点，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，，
∴原式，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∵二次函数对称轴直线为，
∴当时，，
∴．
24．（2025·萧山模拟）已知正方形内接于，边以点C为中心顺时针旋转到，连接分别交，边于点F，G．
（1）如图1，若是的切线，
①求的度数；
②连结，求证：．
（2）如图2，连接，求证：．
【答案】（1）解：如图，①连接，∵正方形内接于，
∴由对称性可知，经过圆心O，
∴
而是切线，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，
∴；
②证明：连接，延长相交于点M，
由题可知，，，，
∴
∴，
又是的直径，
∴，
而，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示
∵是内接于的正方形的边长，∴，
∴，
又，
∴点B，D，E在以点C为圆心，为半径的上，
∴，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；切线的性质；旋转的性质；圆内知识的综合
【解析】【分析】
（1）①连接，由切线和正方形的性质得，则，即；由旋转知，则利用等腰三角形的内角和知；
②连接，延长相交于点M，由正方形的性质可证，则， 再由角平分的概念可证，则，等量代换即可证明；
（2）根据是内接于的正方形的边长，得到，进而得到，由于CB=CD=CE，则点B，D，E在以点C为圆心，为半径的上，利用圆周角定理求出，得到，即可得出结论．
（1）解：如图，①连接，
∵正方形内接于，
∴由对称性可知，经过圆心O，
∴
而是切线，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，
∴；
②证明：连接，延长相交于点M，
由题可知，，，，
∴
∴，
又是的直径，
∴，
而，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵是内接于的正方形的边长，
∴，
∴，
又，
∴点B，D，E在以点C为圆心，为半径的上，
∴，
∴，
∴．
1 / 1浙江省杭州市萧山区2025年中考一模数学试题
1．（2025·萧山模拟）如图，数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是（　　）
A．P B．Q C．M D．N
2．（2025·萧山模拟）根据杭州市统计局发布的《2024年杭州市人口主要数据公报》，萧山区常住人口总量达216.4万人，则216.4万用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·萧山模拟）如图是某几何体的三视图，则此几何体为（　　）
A．圆柱 B．圆锥 C．直三棱锥 D．球
4．（2025·萧山模拟）已知，则代数式的值为（　　）
A． B．0 C．2 D．4
5．（2025·萧山模拟）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形，设井深为尺，下列所列方程中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·萧山模拟）从A地到B地有驾车、公交、地铁三种出行方式，为了选择合适的出行方式，对6：00—10：00时段这三种出行方式不同出发时刻所用时长（从A地到B地）进行了调查、记录与整理，如图所示．根据统计图提供的信息，给出下列推断：①地铁出行所用时长受出发时刻影响较小；②若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短；③若选择公交出行且需要30分钟以内到达，则7：30之前出发即可，其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．（2025·萧山模拟）如图，梯子，梯子与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·萧山模拟）如图，点C是线段上一点（），分别以为直角边在同侧作等腰和等腰，连结．记，，，，若，则（　　）
A．10 B．15 C．20 D．40
9．（2025·萧山模拟）已知二次函数的图象经过点，，若，则下列可能成立的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2025·萧山模拟）如图，E是正方形的边上一动点（不与C，D重合），连结，以为边作正方形，点M是的中点，连结．给出下列结论：①；②点B，M，D三点共线，则下列判断正确的是（　　）
A．①，②都对 B．①，②都错 C．①对，②错 D．①错，②对
11．（2025·萧山模拟）计算：　 　．
12．（2025·萧山模拟）有9张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到9中的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，则抽到的卡片上的数是2的倍数的概率是　 　．
13．（2025·萧山模拟）如图，，平分，若，则　 　．
14．（2025·萧山模拟）命题“若，则关于x的一元二次方程必有实数根”是　 　命题（填“真”或“假”）．
15．（2025·萧山模拟）已知点A是正比例函数图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则　 　．
16．（2025·萧山模拟）如图，等腰内接于，，将折叠至，使点D落在上．若过点O，则　 　．
17．（2025·萧山模拟）计算：．
18．（2025·萧山模拟）解不等式组．
19．（2025·萧山模拟）蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
信息一：配送速度得分（满分10分）：
甲：
乙：
信息二：服务质量得分统计图（满分10分）：
信息三：配送速度和服务质量得分统计表：
项目统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分
平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 7
乙 8 8
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的______；______；______．（填“”“”或“”）．
（2）综合表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由．
20．（2025·萧山模拟）科技创新为实现可持续发展赋能．某企业自2024年1月开始限产进行技术改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式．
（2）求当月利润不高于100万元时共经历了多少个月？
21．（2025·萧山模拟）小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时三点共线）．已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？（参考数据：，，）
22．（2025·萧山模拟）如图，已知点P是线段的黄金分割点，，以点B为圆心，以长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
23．（2025·萧山模拟）已知二次函数．
（1）求该二次函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象向上平移3个单位长度后经过点，求该二次函数的表达式．
（3）已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：．
24．（2025·萧山模拟）已知正方形内接于，边以点C为中心顺时针旋转到，连接分别交，边于点F，G．
（1）如图1，若是的切线，
①求的度数；
②连结，求证：．
（2）如图2，连接，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-数轴比较法
【解析】【解答】解：由数轴可得，，，
∴数轴上点P，Q，M，N所表示的数中，绝对值最大的是，
故选：A．
【分析】
绝对值表示数轴上一点到原点的距离．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：216.4万．
故选：C．
【分析】
用科学记数法把个绝对值较大的数字表示成的形式，其中，n为这个数字整数部分数位个数与1的差．
3．【答案】B
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥，
此几何体为圆锥，
故选：B．
【分析】
主视图，左视图，俯视图是分别从物体正面，左面和上面观察所得到的图形．
4．【答案】C
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：C．
【分析】
先将原代数式变形为，再整体代入得，再变形得，再次整体代入即可得出答案．
5．【答案】D
【知识点】列分式方程；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意得，，，，，，
，
，即，
故选：D
【分析】
由两直线平行同位角相等可证，再利用相似比可求得EC的长，则井深可求．
6．【答案】A
【知识点】折线统计图；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：通过统计图发现，乘坐地铁所用的时间的连线最接近水平，受时间段的影响产生的波动的幅度最小，即地铁出行受出发时刻的影响较小，①说法正确；
通过统计图发现，若在6：30以前或9：30以后出发，则选择驾车出行所用时长最短，②说法正确；
通过统计图发现要30分钟内到达必须要在6：30之前出发才可以，故③说法错误；
故选：A．
【分析】
根据折线统计图提供的信息逐项判断即可．
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
【分析】
过点作于点，可由等腰三角形三线合一得到，再解即可表示，即可求解．
8．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；因式分解的应用；等腰三角形的概念
【解析】【解答】设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，
则，
∴，
∵，
∴．
故选C．
【分析】
本题考查了三角形的面积，设等腰的直角边长为a，等腰的直角边长为b，则均可用含a、b 的代数式表示，则可发现和结果相等即可解答．
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；不等式的性质
【解析】【解答】解：、∵二次函数的图象经过点，，
∴，，
∵，
∴，
∴，原选项错误，不符合题意；
、∵，
∴，
∴当时，可能成立，原选项正确，符合题意；
、∵，
∴，即，
若若时，则，原选项可能不成立，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，
若时，则，原选项可能不成立，不符合题意；
故选：．
【分析】
由二次函数图象上点的坐标特征可把点的坐标分别代入解析式得到，，再根据，依次对各选项进行判断即可.
10．【答案】A
【知识点】正方形的性质；四边形的综合；四点共圆模型；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
② 如图所示，连接BD，EM.
∵，
∴，
∴
∴四点共圆，且
∴
∵正方形ABCD中，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴B、M、D三点共线，
故选：A．
【分析】
① 连接，由正方形的性质知，则可证，则，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，故结论正确；
② 连接BD，EM，则是等腰直角三角形，且、，则可证明点四点共圆，则由圆周角定理得；再利用SAS证，则，因为正方形ABCD中，则B、M、D三点共线.
11．【答案】
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：
．
故答案为：．
【分析】
先计算幂的乘方，即底数不变指数相乘；再计算同底数幂的乘法运算，即底数不变指数相加.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】∵1到9中2的倍数有2，4，6，8四个数，
∴P= .
【分析】先得出2的倍数，再根据概率公式即可得出结论．
13．【答案】
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：．
【分析】
先由两直线平行同旁内角互补得到，再由角平分线的定义即可求解．
14．【答案】真
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴关于x的一元二次方程必有实数根，
∴该命题是真命题，
故答案为：真．
【分析】
先由基本不等式得根，再结合已知可得根的判别式大于等于0即可．
15．【答案】2
【知识点】正比例函数的性质；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：设，则把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为，
∵在正比例函数的图象上，
∴，解得：，
∵
∴．
故答案为：2．
【分析】
由正比例函数图象上点的坐标特征知，可设，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为，然后代入求解即可．
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：连接、，如图所示：
∵，
∴，
根据折叠可知：，，，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，，则，，，
∵，
∴，
整理得：，
∴，
∴．
【分析】
连接、，先求出，证明为等腰直角三角形，得出，设，，则，，，根据，得出，求出，最后求出结果即可．
17．【答案】解：原式，
，
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题考查了实数的运算，先计算乘方和二次根式的乘法运算，再进行有理数的乘法运算，最后进行加减计算．
18．【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19．【答案】（1），，
（2）解：∵从配送速度得分看，在平均数和中位数上，甲和乙的得分相差不大；从服务质量得分看，甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，∴甲快递公司的评价得分更稳定，
∴小丽应选择甲快递公司．
【知识点】分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：将甲快递公司的配送速度得分按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为中位数，
则，
，
，
，
则，
故答案为：，，．
【分析】
（1）求甲的中位数、由于甲的数据已按照从小到大的顺序排列，直接取第5名和第6名的平均值即可；平均数直接按照公式计算即可；由于平均值已计算出来，方差也直接依照公式求解即可；
（2）由于两家公司的平均值和中位数比较接近，可参考方差的大小来选择，考虑到方差越小，数据越稳定，可选择甲公司．
20．【答案】（1）解：∵反比例函数图象经过点∴，
∴反比例函数表达式为；
又当时，，
∴一次函数图象经过点，，
即，
∴，
∴一次函数表达式为；
（2）解：当时，对于反比例函数，对于一次函数，∴月利润不高于100万元的月份有2月份，3月份，4月份和5月份，
∴月利润不高于100万元时共经历4个月．
【知识点】反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据反比例函数图象经过点，利用待定系数法求解出反比例函数解析式，再求出一次函数图象经过点，利用待定系数求解即可；
（2）分别求出当时，反比例函数中，一次函数中，即可解答．
（1）解：∵反比例函数图象经过点
∴，
∴反比例函数表达式为；
又当时，，
∴一次函数图象经过点，，
即，
∴，
∴一次函数表达式为；
（2）解：当时，对于反比例函数，对于一次函数，
∴月利润不高于100万元的月份有2月份，3月份，4月份和5月份，
∴月利润不高于100万元时共经历4个月．
21．【答案】解：中，，
由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
在中，，，
∴ ，
∴，
∴小车行驶的速度为，
∴小车行驶符合安全规范．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
过点O作AB的垂线交AB的延长线于点D，先由勾股定理得，再证，则，可求出 ，再解直角三角形得出 ，最后比较即可．
22．【答案】（1）证明：∵点P是线段的黄金分割点，，∴，，
由作图可知，，
∴，即，
又，
∴；
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）先由黄金分割的定义得到，然后由作图可知，进行等量代换，再由两边成比例且夹角相等证明相似；
（2）由得到，则，再代入数据求解．
（1）证明：∵点P是线段的黄金分割点，，
∴，，
由作图可知，，
∴，即，
又，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：对称轴为直线，当时，，
∴顶点坐标为；
（2）解：由题意得平移后的解析式为，将代入，∴，
∴，
∴二次函数表达式为；
（3）证明：二次函数化为一般式得，∴，
∵和是该二次函数图象上任意两点，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，，
∴原式，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∵二次函数对称轴直线为，
∴当时，，
∴．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】
（1）关于x 的二次函数的对称轴为直线，因此可先求出对称轴，则顶点坐标可求；
（2）由题意得平移后的解析式为，将代入，运用待定系数法即可得到解析式；
（3）根据二次函数图象上点的坐标特征先表示出m和n ，再依据可得a的取值范围，从而可确定二次函数的开口方向向下，即函数有最大值，代入顶点坐标计算即可.
（1）解：对称轴为直线，
当时，，
∴顶点坐标为；
（2）解：由题意得平移后的解析式为，将代入，
∴，
∴，
∴二次函数表达式为；
（3）证明：二次函数化为一般式得，
∴，
∵和是该二次函数图象上任意两点，
∴，，
∴
，
∵，，
∴，，
∴原式，
∵，
∴，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∵二次函数对称轴直线为，
∴当时，，
∴．
24．【答案】（1）解：如图，①连接，∵正方形内接于，
∴由对称性可知，经过圆心O，
∴
而是切线，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，
∴；
②证明：连接，延长相交于点M，
由题可知，，，，
∴
∴，
又是的直径，
∴，
而，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示
∵是内接于的正方形的边长，∴，
∴，
又，
∴点B，D，E在以点C为圆心，为半径的上，
∴，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；切线的性质；旋转的性质；圆内知识的综合
【解析】【分析】
（1）①连接，由切线和正方形的性质得，则，即；由旋转知，则利用等腰三角形的内角和知；
②连接，延长相交于点M，由正方形的性质可证，则， 再由角平分的概念可证，则，等量代换即可证明；
（2）根据是内接于的正方形的边长，得到，进而得到，由于CB=CD=CE，则点B，D，E在以点C为圆心，为半径的上，利用圆周角定理求出，得到，即可得出结论．
（1）解：如图，①连接，
∵正方形内接于，
∴由对称性可知，经过圆心O，
∴
而是切线，
∴，
∴，
∵旋转，
∴，
∴；
②证明：连接，延长相交于点M，
由题可知，，，，
∴
∴，
又是的直径，
∴，
而，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：∵是内接于的正方形的边长，
∴，
∴，
又，
∴点B，D，E在以点C为圆心，为半径的上，
∴，
∴，
∴．
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