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湖南省邵阳市邵东市2024年数学初中学业水平模拟考试试卷
1．（2024·邵东模拟）已知，若，则的相反数是（　　）
A．-2024 B． C． D．
2．（2024·邵东模拟）如图，，点为BC上一点，连接DE．若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·邵东模拟）如图是小强用八块相同的小正方体积木搭建的几何体，这个几何体的左视图是主视方向（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·邵东模拟）《红楼梦》是我国古典四大名著之一，其总字数大约731000字，其中731000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·邵东模拟）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为的长为，贴纸部分的宽AC为，则弧AB的长为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·邵东模拟）下列说法正确的是（　　）
A．随机抛掷一枚硬币，反面一定朝上
B．数据3，3，5，5，8的众数是8
C．某商场抽奖活动获奖的概率为，说明每买50张奖券中一定有一张中奖
D．想了解湖南省城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查
7．（2024·邵东模拟）如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，若∠1+∠2＝90°，则∠A的度数是（　　）
A．45° B．40° C．35° D．30°
8．（2024·邵东模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板距离地面的高度就与人的身高相等，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长 "若设绳索长为尺，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024·邵东模拟）如图，点A，B，C，D在上，，垂足为，若，，则（　　）
A．6 B． C． D．3
10．（2024·邵东模拟）如图，二次函数的图像与轴正半轴相交于A，B两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024·邵东模拟）已知，那么　 　.
12．（2024·邵东模拟）如图，在中，，则　 　度．
13．（2024·邵东模拟）已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为　 　.
14．（2024·邵东模拟）如图，小明在处测得风筝的仰角为，同时在正对着风筝方向距处30米的处，小明测得风筝的仰角为，则风筝此．时的高度　 　米．（结果保留根号）
15．（2024·邵东模拟）下列算式中计算正确的有　 　（填序号）．
①，②，
③，④．
16．（2024·邵东模拟）不等式组的正整数解是　 　．
17．（2024·邵东模拟）如图，是坐标原点，平行四边形OABC的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图像经过位于第二象限的顶点，若平行四边形OABC的面积为16，则的值为　 　．
18．（2024·邵东模拟）如图1，在中，，点为AB边的中点，作，射线MN交边AC于点，设，若与的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为　 　．
19．（2024·邵东模拟）计算：.
20．（2024·邵东模拟）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值．
21．（2024·邵东模拟）端午节是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子"的习俗．我市某食品厂为了了解市民对今年销量较好的肉馅粽，豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味的粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人
（2）请将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小明吃了两个。请用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
22．（2024·邵东模拟）在Rt中，是BC的中点，是AD的中点，过点作交BE的延长线于点．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC=4，，求菱形ADCF的面积．
23．（2024·邵东模拟）商场某柜台销售每台进价分别为160元、120元的两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 型号销售数量 型号销售数量 销售收入
第一周 3台 4台 1200元
二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若商场准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求种型号的电风扇最多能采购多少台
（3）在（2）的条件下，商场销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
24．（2024·邵东模拟）在四边形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点，线段OA、OB的中点分别为点E、F.
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD、BC分别相交于点G、H，△AEG的面积为2，求四边形ABCD的面积
25．（2024·邵东模拟）如图，平面内有一条线段AB，分别过点A、B向轴作垂线，垂足分别点C、D，我们把线段CD称之为线段AB在轴上的射影，线段CD的长称之为线段AB在轴上的射影长．
（1）若双曲线上有两点，求线段AB在轴上的射影长；
（2）若直线的图象上有两点A、B，且线段AB在轴上的射影长为4，求AB的长；
（3）若已知抛物线和直线，其中a、b、c满足，抛物线过点，且与直线相交于A、B两点，求线段AB在轴上的射影长CD的取值范围.
26．（2024·邵东模拟）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段.
问题探究：
（1）如图1，等边△ABC边长为3，求垂直于BC边的等积垂分线段长度；
（2）如图2，在△ABC中，，求垂直于BC边的等积垂分线段长度；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，求出它的等积垂分线段长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：由ab=1知a和b互为倒数，故b=，因此b的相反数为.
故答案为：B.
【分析】本题首先根据倒数的特点可以先求出b的值，然后根据相反数的特点即可求出b的相反数。
2．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B=∠C=38°，
∴∠BED=∠D+∠C=37°+38°=75°。
故答案为：C.
【分析】本题首先根据“两直线平行、内错角相等”可以求出∠B=∠C=38°，然后根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”，即可求出答案。
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 这个几何体的左视图是主视方向是 。
故答案为：D.
【分析】选项A是主视图，即从正面观察到的图形；选项B是俯视图，即从上面往下看观察到的图形；选项C是从右侧观察到的图形；选项D是左视图，从左侧观察到的图形。
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 731000=
故答案为：B.
【分析】 科学记数法是一种表示大数或小数的方法，通常形式为a× 10n ，其中 1 ≤ | a | < 10 ， n是整数，表示1后面有n个0。本题首先确定a=7.31，然后确定n=5，即可表示出。
5．【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：cm
因此弧AB的长为25πcm。
故答案为：D.
【分析】本题需要利用弧长公式，其中n是夹角、r是半径。代入计算即可。
6．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；事件发生的可能性；众数
【解析】【解答】解：选项A， 随机抛掷一枚硬币，反面一定朝上 ，错误；
选项B， 数据3，3，5，5，8的众数是8 ，错误；
选项C， 某商场抽奖活动获奖的概率为，说明每买50张奖券中一定有一张中奖 ，错误；
选项D， 想了解湖南省城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查 ，正确。
故答案为：D.
【分析】选项A，随机抛掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上；选项B，数据3，3，5，5，8的众数是5；选项C，某商场抽奖活动获奖的概率为 ，说明每买50张奖券中可能有一张中奖。
7．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，
∴∠3+∠4= （180°-∠1）+ （180°-∠2）=180°- （∠1+∠2），
∵∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=180°- ×90°=180°-45°=135°，
在△AEF中，∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°.
故答案为：A.
【分析】 根据翻折变换的性质和平角的定义求出∠3＋∠4的度数，再利用三角形的内角和定理列式计算即可求解．
8．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，其中DE=1尺，DF=10尺，CG=5尺，
∴BC=DF=10尺，BD=5-1=4尺，此时AB=（x-4）尺，AC=x尺，
在直角三角形ABC中，BC2+AB2=AC2，即，
解得x=14.5尺
故答案为：B
【分析】本题画出图来进行分析，最后放到直角三角形ABC中利用勾股定理列式即可。
9．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接OC、CA，如图所示
∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2×30°=60°，
∵OC=OA，∴△ACO是等边三角形。
∴∠OAC=60°，OC=OA=CA
，∴△AEC≌△OEC（HL）
∴AE=OE=，OC=OA=CA=2，
CE=，
∴BC=2CE=2×3=6。
故答案为：A.
【分析】本题首先利用“同一个圆内，相同弧长对应的圆周角是圆心角的一半”，先求出∠AOC=60°，即可证明出△ACO是等边三角形；然后利用HL判定△AEC≌△OEC，继而求出OC=OA=CA=2，最后利用勾股定理求出CE的长度，即可求出BC的长度。
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数开口向下，可知 a <0，
与 y 轴的交点在 x 轴的下方，可知 c <0，
又对称轴为直线 x =2，
∴>0，
∴ b >0，
∴abc >0，故①正确；
由图象可知当 x =3时， y >0，
∴9a+3b+c >0，故②错误；
由图象可知 OA <1，
∴OA = OC ，
∴OC <1，即﹣ c <1，
∴-1< c <0，故③正确；
∵OA = OC =- c ，
将 A (- c ，0)代入 y =ax2+ bx + c 得：
ac2- bc + c =0，
两边同除以 ac 变形得：，
而ax2+ bx + c =0( a ≠0）的根x=，将代入，得到x=。
当b≥2时，x的一个值为 。故④正确；
综上可知正确的结论有①③④，
故答案为：C.
【分析】本题首先根据二次函数开口方向、与y轴交点以及对称轴可以轻松判断①是正确的；然后将x=3代入即可判断②是错误的；然后根据OA=OC，推出③是正确的；最后根据二次函数的求根公式和，即可判断④是正确的。
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：a2-b2=（a+b）（a-b）==
故答案为：。
【分析】本题无需具体求出a和b的值，可以利用平方差公式变形，然后代入计算即可。
12．【答案】70
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：（180°-40°）÷2=70°
因此∠B=70°
故答案为：70.
【分析】因为，并且在同一个圆内，因此AB=AC，此时△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，然后利用三角形内角和即可求出∠B的值。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=0代入原一元二次方程中，得到a2-4=0，因此a=2或a=-2.
因为方程是一元二次方程，因此a=-2.
∴原一元二次方程式为-4x2+2x=0，
解得x=0和x=.
故答案为：.
【分析】先将x=0代入，求出a的两个值，根据一元二次方程的概念进一步确定a值，进而求解方程即可。
14．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得：AB=30米，CD⊥AD，
∵∠CBD是△ABC的一个外角，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAB=60°-30°=30°
∴∠ACB=∠CAB=30°，
∴AB=BC=30米，
在Rt△CBD中，
(米)，
∴风筝C此时的高度为米，
故答案为：.
【分析】利用三角形的外角性质和等腰三角形的性质，结合直角三角形中的正弦函数计算风筝的高度.
15．【答案】②③
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：①，
②，
③
④．
因此正确的有②③。
故答案为：②③.
【分析】 本题需要运用到代数的基本规则和二次根式的性质，对每个算式逐一分析，确定其计算的准确性。对于①，因为两个相同幂次的项相加，幂次不变，系数相加，计算即可；②可以利用完全平方公式进行计算；③先去掉括号，然后进行同底数幂相乘计算；④因为没有同类项，无法进行合并计算。
16．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
首先，解析第一个不等式 2 ( x 1 ) + 4 > 0 。
化简得： 2 x 2 + 4 > 0
进一步化简得： 2 x + 2 > 0
即： x + 1 > 0
解得： x> 1
第二个不等式是 ，
两边同乘以-2，得：x < 2
综上，不等式组的解集是： 1 < x < 2 ，
因此，这个不等式组的正整数解是 1 。
故答案为：1.
【分析】本题求不等式组的正整数解，首先要求出不等式组的解集，即分别计算出不等式组中的两个方程x的取值范围，然后找到交集综合列出x的取值范围，最后找到在这个范围内的正整数即可。需要注意的是，不等式的左右两边同时乘以负数时，不等号方向改变。
17．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 平行四边形OABC的面积为16，且的坐标为 ，
∴OC=AB=16÷4=4，
∵ 顶点在轴的负半轴上，且 反比例函数的图像经过位于第二象限的顶点，
∴B点坐标为（-3-4，4），即B点坐标为（-7，4），
将B点坐标代入反比例函数 ，即，
解得k=-28.
故答案为：-28.
【分析】本题首先根据点A的坐标和平行四边形的面积，即可求出OC=AB=4，因为反比例函数在第二象限，因此B的坐标中横坐标为负数，纵坐标为正数，即可写出B点的坐标，最后代入计算即可。
18．【答案】
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当点 M 运动到点 C 处时， x =4，即 BC =4，
∵∠BAC =90°， AB = AC ，
∴ ∠B =∠C =45°，
∴AB =4×sin45°=，
∵点 P 为 AB 边的中点，
∴BP =，
∵BM = x ，∴CM =4-x，
∵∠PMN =45°，
∴ ∠BMP +∠CMN =135°，而∠BMP + ∠BPM =135°，
∴∠BPM = ∠CMN ，
∵∠B = ∠C ，
∴△ BPM ~△ CMN ，
∴BM ： CN = BP ： CM ，
即 x ： y =：(4-x)，
： y =
因此顶点坐标为（2，），
∴m =2， n =，
m + n =
故答案为：。
【分析】本题首先确定BC、AB、AC的长度，然后利用相似三角形△ BPM ~△ CMN的性质列出函数关系式，进而确定顶点坐标，即可确定m、n值。
19．【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题根据“ 任何非零数字的0次幂都等于1 ”、“ 一个数的负指数幂等于其倒数的正指数幂 ”“三角函数值”以及“绝对值的非负性”，分别计算出数值，然后进行下一步计算即可。
20．【答案】解：因为一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
又，
当时，．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】本题首先根据条件“一元二次方程有两个相等的实数根”，因此，从而求出a的值，然后代入代数式即可求解。
21．【答案】（1）解：（人），
∴本次参加抽样调查的居民有600人。
（2）解：180÷600×100%=30%，1-40%-30%-10%=20%，600-240-180-60=120人，
∴C是120人，占20%；A占30%。
（3）解：画树状图如下，
第二次有12种情况，吃到C的有3种情况，因此概率P=。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）从突破口D有240人、占比40%可以倒推出参加抽样调查的居民总人数；
（2）根据（1）题的计算结果，求出C的人数，从而可算出C的占比，因为ABCD占比总和是1，因此可求出A的占比，最后画图即可；
（3）画出树状图，然后计算即可求出第二个吃到的恰好是C粽的概率。
22．【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴，
∵，
∴，又是AD的中点，
∴，
∴，
因此，则，所以四边形ADCF是菱形.
（2）解：连结DF，如图
∵，
∴四边形ABDF是平行四边形，则，
∴．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）题利用中点性质和平行线性质，可以得出，然后利用菱形判定办法即可证明出结果；
（2）首先证明出四边形ABDF是平行四边形，然后利用菱形的面积计算公式计算即可。
23．【答案】（1）解：设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元、元，
则，解得，
答：A，B两种型号风扇销售单价分别为200元，150元.
（2）解：设A种型号电风扇采购台，则型号风扇采购台，则
，
解得，
∴型号最多采购37台．
（3）解：，
解得，
即，
∵为整数，∴或37，
则采购方案：①型36台，型14台；②型37台，型13台．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分别设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元、元，然后根据表格中的数据列出二元一次方程组，求解即可；
（2）根据条件列出不等式组，求出m的取值范围之后，找到最大的整数即可；
（3）结合（2）题的m的取值并计算，最后确定m的整数解有2个，即可得出答案。
24．【答案】（1）解：点E，F分别为OA，OB的中点，
，
，
．
（2）解：，
则，
又．
（3）解：的面积为的面积为是等腰直角三角形，，
，则．
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）利用中位线性质和平行线性质，同时利用ASA即可证明出两个三角形全等；
（2）利用平行线性质，将 ∠OEF 转化为∠CAB，并放到直角三角形ABC中进行计算即可；
（3）首先证明出△AEG∽△ACD，然后利用相似比的平方等于面积比，即可求出△BDC的面积，进而求出平行四边形ABCD的面积。
25．【答案】（1）解：，所以线段AB在轴上的射影长．
（2）解：点A、B在上，所以，
．
（3）解：令，则，设其两根为，
且，则，
，
，
所以，即线段AB在轴上的射影长CD的取值范围为．
【知识点】二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点代入双曲线中，求出m和n的值，最后m和n之间的距离就是射影长；
（2）已知x轴的摄影长是4，因此可以利用绝对值和两点之间的距离公式列式计算即可；
（3）利用根与系数的关系，可以化简计算出CD的关系式，最后根据a和c的取值范围进行进一步计算即可求出线段AB在轴上的射影长CD的取值范围.
26．【答案】（1）解：过点作BC的垂线AD，AD为垂直于BC边的等积垂分线，
．
（2）解：作于，线段EF是垂直于BC边的等级垂分线，设，在Rt中，，
，
，
∵EF=x，∴BE=2x，BF=
，解得或（舍弃），
边的等级垂分线段的长度为．
（3）解：①当线段EF是等积垂分线段时，作于，
设EF交BD于．设，在Rt中，，
四边形EFCD的面积=四边形EFBA的面积，的面积的面积，的面积的面积，，解得：（负根已经舍弃），
②作于G，EF交BD于，当线段EF是等积垂分线段时，设，
，由的面积的面积，
，解得（负根已经舍弃），
综上所述，四边形ABCD的一条等积垂分线段的长为．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）先做出等积垂分线，然后利用三角函数进行计算即可；
（2）因为∠B=30°，因此求AH和EF均可以利用“30°锐角对应的直角边是斜边的一半”来求出，并且利用勾股定理求出BH、BF的长度，最后利用面积列出方程，求解即可。
（3）分两种情况先画出等积垂分线，然后利用勾股定理、相似三角形、全等三角形等性质特点分析推理计算即可。
1 / 1湖南省邵阳市邵东市2024年数学初中学业水平模拟考试试卷
1．（2024·邵东模拟）已知，若，则的相反数是（　　）
A．-2024 B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：由ab=1知a和b互为倒数，故b=，因此b的相反数为.
故答案为：B.
【分析】本题首先根据倒数的特点可以先求出b的值，然后根据相反数的特点即可求出b的相反数。
2．（2024·邵东模拟）如图，，点为BC上一点，连接DE．若，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B=∠C=38°，
∴∠BED=∠D+∠C=37°+38°=75°。
故答案为：C.
【分析】本题首先根据“两直线平行、内错角相等”可以求出∠B=∠C=38°，然后根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”，即可求出答案。
3．（2024·邵东模拟）如图是小强用八块相同的小正方体积木搭建的几何体，这个几何体的左视图是主视方向（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解： 这个几何体的左视图是主视方向是 。
故答案为：D.
【分析】选项A是主视图，即从正面观察到的图形；选项B是俯视图，即从上面往下看观察到的图形；选项C是从右侧观察到的图形；选项D是左视图，从左侧观察到的图形。
4．（2024·邵东模拟）《红楼梦》是我国古典四大名著之一，其总字数大约731000字，其中731000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 731000=
故答案为：B.
【分析】 科学记数法是一种表示大数或小数的方法，通常形式为a× 10n ，其中 1 ≤ | a | < 10 ， n是整数，表示1后面有n个0。本题首先确定a=7.31，然后确定n=5，即可表示出。
5．（2024·邵东模拟）图1是一把扇形书法纸扇，图2是其完全打开后的示意图，外侧两竹条OA和OB的夹角为的长为，贴纸部分的宽AC为，则弧AB的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：cm
因此弧AB的长为25πcm。
故答案为：D.
【分析】本题需要利用弧长公式，其中n是夹角、r是半径。代入计算即可。
6．（2024·邵东模拟）下列说法正确的是（　　）
A．随机抛掷一枚硬币，反面一定朝上
B．数据3，3，5，5，8的众数是8
C．某商场抽奖活动获奖的概率为，说明每买50张奖券中一定有一张中奖
D．想了解湖南省城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；概率的意义；事件发生的可能性；众数
【解析】【解答】解：选项A， 随机抛掷一枚硬币，反面一定朝上 ，错误；
选项B， 数据3，3，5，5，8的众数是8 ，错误；
选项C， 某商场抽奖活动获奖的概率为，说明每买50张奖券中一定有一张中奖 ，错误；
选项D， 想了解湖南省城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查 ，正确。
故答案为：D.
【分析】选项A，随机抛掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上；选项B，数据3，3，5，5，8的众数是5；选项C，某商场抽奖活动获奖的概率为 ，说明每买50张奖券中可能有一张中奖。
7．（2024·邵东模拟）如图，将四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，若∠1+∠2＝90°，则∠A的度数是（　　）
A．45° B．40° C．35° D．30°
【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形纸片ABCD沿EF折叠，点A落在A1处，
∴∠3+∠4= （180°-∠1）+ （180°-∠2）=180°- （∠1+∠2），
∵∠1+∠2=90°，
∴∠3+∠4=180°- ×90°=180°-45°=135°，
在△AEF中，∠A=180°-（∠3+∠4）=180°-135°=45°.
故答案为：A.
【分析】 根据翻折变换的性质和平角的定义求出∠3＋∠4的度数，再利用三角形的内角和定理列式计算即可求解．
8．（2024·邵东模拟）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几 ”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板距离地面的高度就与人的身高相等，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长 "若设绳索长为尺，则根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示，其中DE=1尺，DF=10尺，CG=5尺，
∴BC=DF=10尺，BD=5-1=4尺，此时AB=（x-4）尺，AC=x尺，
在直角三角形ABC中，BC2+AB2=AC2，即，
解得x=14.5尺
故答案为：B
【分析】本题画出图来进行分析，最后放到直角三角形ABC中利用勾股定理列式即可。
9．（2024·邵东模拟）如图，点A，B，C，D在上，，垂足为，若，，则（　　）
A．6 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接OC、CA，如图所示
∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2×30°=60°，
∵OC=OA，∴△ACO是等边三角形。
∴∠OAC=60°，OC=OA=CA
，∴△AEC≌△OEC（HL）
∴AE=OE=，OC=OA=CA=2，
CE=，
∴BC=2CE=2×3=6。
故答案为：A.
【分析】本题首先利用“同一个圆内，相同弧长对应的圆周角是圆心角的一半”，先求出∠AOC=60°，即可证明出△ACO是等边三角形；然后利用HL判定△AEC≌△OEC，继而求出OC=OA=CA=2，最后利用勾股定理求出CE的长度，即可求出BC的长度。
10．（2024·邵东模拟）如图，二次函数的图像与轴正半轴相交于A，B两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：二次函数开口向下，可知 a <0，
与 y 轴的交点在 x 轴的下方，可知 c <0，
又对称轴为直线 x =2，
∴>0，
∴ b >0，
∴abc >0，故①正确；
由图象可知当 x =3时， y >0，
∴9a+3b+c >0，故②错误；
由图象可知 OA <1，
∴OA = OC ，
∴OC <1，即﹣ c <1，
∴-1< c <0，故③正确；
∵OA = OC =- c ，
将 A (- c ，0)代入 y =ax2+ bx + c 得：
ac2- bc + c =0，
两边同除以 ac 变形得：，
而ax2+ bx + c =0( a ≠0）的根x=，将代入，得到x=。
当b≥2时，x的一个值为 。故④正确；
综上可知正确的结论有①③④，
故答案为：C.
【分析】本题首先根据二次函数开口方向、与y轴交点以及对称轴可以轻松判断①是正确的；然后将x=3代入即可判断②是错误的；然后根据OA=OC，推出③是正确的；最后根据二次函数的求根公式和，即可判断④是正确的。
11．（2024·邵东模拟）已知，那么　 　.
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：a2-b2=（a+b）（a-b）==
故答案为：。
【分析】本题无需具体求出a和b的值，可以利用平方差公式变形，然后代入计算即可。
12．（2024·邵东模拟）如图，在中，，则　 　度．
【答案】70
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：（180°-40°）÷2=70°
因此∠B=70°
故答案为：70.
【分析】因为，并且在同一个圆内，因此AB=AC，此时△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，然后利用三角形内角和即可求出∠B的值。
13．（2024·邵东模拟）已知关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将x=0代入原一元二次方程中，得到a2-4=0，因此a=2或a=-2.
因为方程是一元二次方程，因此a=-2.
∴原一元二次方程式为-4x2+2x=0，
解得x=0和x=.
故答案为：.
【分析】先将x=0代入，求出a的两个值，根据一元二次方程的概念进一步确定a值，进而求解方程即可。
14．（2024·邵东模拟）如图，小明在处测得风筝的仰角为，同时在正对着风筝方向距处30米的处，小明测得风筝的仰角为，则风筝此．时的高度　 　米．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得：AB=30米，CD⊥AD，
∵∠CBD是△ABC的一个外角，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAB=60°-30°=30°
∴∠ACB=∠CAB=30°，
∴AB=BC=30米，
在Rt△CBD中，
(米)，
∴风筝C此时的高度为米，
故答案为：.
【分析】利用三角形的外角性质和等腰三角形的性质，结合直角三角形中的正弦函数计算风筝的高度.
15．（2024·邵东模拟）下列算式中计算正确的有　 　（填序号）．
①，②，
③，④．
【答案】②③
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的混合运算；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：①，
②，
③
④．
因此正确的有②③。
故答案为：②③.
【分析】 本题需要运用到代数的基本规则和二次根式的性质，对每个算式逐一分析，确定其计算的准确性。对于①，因为两个相同幂次的项相加，幂次不变，系数相加，计算即可；②可以利用完全平方公式进行计算；③先去掉括号，然后进行同底数幂相乘计算；④因为没有同类项，无法进行合并计算。
16．（2024·邵东模拟）不等式组的正整数解是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
首先，解析第一个不等式 2 ( x 1 ) + 4 > 0 。
化简得： 2 x 2 + 4 > 0
进一步化简得： 2 x + 2 > 0
即： x + 1 > 0
解得： x> 1
第二个不等式是 ，
两边同乘以-2，得：x < 2
综上，不等式组的解集是： 1 < x < 2 ，
因此，这个不等式组的正整数解是 1 。
故答案为：1.
【分析】本题求不等式组的正整数解，首先要求出不等式组的解集，即分别计算出不等式组中的两个方程x的取值范围，然后找到交集综合列出x的取值范围，最后找到在这个范围内的正整数即可。需要注意的是，不等式的左右两边同时乘以负数时，不等号方向改变。
17．（2024·邵东模拟）如图，是坐标原点，平行四边形OABC的顶点的坐标为，顶点在轴的负半轴上，反比例函数的图像经过位于第二象限的顶点，若平行四边形OABC的面积为16，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 平行四边形OABC的面积为16，且的坐标为 ，
∴OC=AB=16÷4=4，
∵ 顶点在轴的负半轴上，且 反比例函数的图像经过位于第二象限的顶点，
∴B点坐标为（-3-4，4），即B点坐标为（-7，4），
将B点坐标代入反比例函数 ，即，
解得k=-28.
故答案为：-28.
【分析】本题首先根据点A的坐标和平行四边形的面积，即可求出OC=AB=4，因为反比例函数在第二象限，因此B的坐标中横坐标为负数，纵坐标为正数，即可写出B点的坐标，最后代入计算即可。
18．（2024·邵东模拟）如图1，在中，，点为AB边的中点，作，射线MN交边AC于点，设，若与的函数图象如图2所示，且其顶点坐标为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【解答】解：当点 M 运动到点 C 处时， x =4，即 BC =4，
∵∠BAC =90°， AB = AC ，
∴ ∠B =∠C =45°，
∴AB =4×sin45°=，
∵点 P 为 AB 边的中点，
∴BP =，
∵BM = x ，∴CM =4-x，
∵∠PMN =45°，
∴ ∠BMP +∠CMN =135°，而∠BMP + ∠BPM =135°，
∴∠BPM = ∠CMN ，
∵∠B = ∠C ，
∴△ BPM ~△ CMN ，
∴BM ： CN = BP ： CM ，
即 x ： y =：(4-x)，
： y =
因此顶点坐标为（2，），
∴m =2， n =，
m + n =
故答案为：。
【分析】本题首先确定BC、AB、AC的长度，然后利用相似三角形△ BPM ~△ CMN的性质列出函数关系式，进而确定顶点坐标，即可确定m、n值。
19．（2024·邵东模拟）计算：.
【答案】解：原式．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题根据“ 任何非零数字的0次幂都等于1 ”、“ 一个数的负指数幂等于其倒数的正指数幂 ”“三角函数值”以及“绝对值的非负性”，分别计算出数值，然后进行下一步计算即可。
20．（2024·邵东模拟）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求代数式的值．
【答案】解：因为一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，
又，
当时，．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-化简代入求值
【解析】【分析】本题首先根据条件“一元二次方程有两个相等的实数根”，因此，从而求出a的值，然后代入代数式即可求解。
21．（2024·邵东模拟）端午节是我国的传统佳节，民间历来有吃“粽子"的习俗．我市某食品厂为了了解市民对今年销量较好的肉馅粽，豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽（以下分别用A、B、C、D表示）这四种不同口味的粽子的喜爱情况，在节前对某居民区市民进行了抽样调查，并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图：
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）本次参加抽样调查的居民有多少人
（2）请将两幅不完整的统计图补充完整；
（3）若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个，煮熟后，小明吃了两个。请用列表或画树状图的方法，求他第二个吃到的恰好是C粽的概率．
【答案】（1）解：（人），
∴本次参加抽样调查的居民有600人。
（2）解：180÷600×100%=30%，1-40%-30%-10%=20%，600-240-180-60=120人，
∴C是120人，占20%；A占30%。
（3）解：画树状图如下，
第二次有12种情况，吃到C的有3种情况，因此概率P=。
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）从突破口D有240人、占比40%可以倒推出参加抽样调查的居民总人数；
（2）根据（1）题的计算结果，求出C的人数，从而可算出C的占比，因为ABCD占比总和是1，因此可求出A的占比，最后画图即可；
（3）画出树状图，然后计算即可求出第二个吃到的恰好是C粽的概率。
22．（2024·邵东模拟）在Rt中，是BC的中点，是AD的中点，过点作交BE的延长线于点．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC=4，，求菱形ADCF的面积．
【答案】（1）解：∵∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴，
∵，
∴，又是AD的中点，
∴，
∴，
因此，则，所以四边形ADCF是菱形.
（2）解：连结DF，如图
∵，
∴四边形ABDF是平行四边形，则，
∴．
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）题利用中点性质和平行线性质，可以得出，然后利用菱形判定办法即可证明出结果；
（2）首先证明出四边形ABDF是平行四边形，然后利用菱形的面积计算公式计算即可。
23．（2024·邵东模拟）商场某柜台销售每台进价分别为160元、120元的两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 型号销售数量 型号销售数量 销售收入
第一周 3台 4台 1200元
二周 5台 6台 1900元
（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本）
（1）A、B两种型号的电风扇的销售单价；
（2）若商场准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求种型号的电风扇最多能采购多少台
（3）在（2）的条件下，商场销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元、元，
则，解得，
答：A，B两种型号风扇销售单价分别为200元，150元.
（2）解：设A种型号电风扇采购台，则型号风扇采购台，则
，
解得，
∴型号最多采购37台．
（3）解：，
解得，
即，
∵为整数，∴或37，
则采购方案：①型36台，型14台；②型37台，型13台．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）分别设A、B两种型号的电风扇的销售单价分别为元、元，然后根据表格中的数据列出二元一次方程组，求解即可；
（2）根据条件列出不等式组，求出m的取值范围之后，找到最大的整数即可；
（3）结合（2）题的m的取值并计算，最后确定m的整数解有2个，即可得出答案。
24．（2024·邵东模拟）在四边形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点，线段OA、OB的中点分别为点E、F.
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD、BC分别相交于点G、H，△AEG的面积为2，求四边形ABCD的面积
【答案】（1）解：点E，F分别为OA，OB的中点，
，
，
．
（2）解：，
则，
又．
（3）解：的面积为的面积为是等腰直角三角形，，
，则．
【知识点】相似三角形的判定；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）利用中位线性质和平行线性质，同时利用ASA即可证明出两个三角形全等；
（2）利用平行线性质，将 ∠OEF 转化为∠CAB，并放到直角三角形ABC中进行计算即可；
（3）首先证明出△AEG∽△ACD，然后利用相似比的平方等于面积比，即可求出△BDC的面积，进而求出平行四边形ABCD的面积。
25．（2024·邵东模拟）如图，平面内有一条线段AB，分别过点A、B向轴作垂线，垂足分别点C、D，我们把线段CD称之为线段AB在轴上的射影，线段CD的长称之为线段AB在轴上的射影长．
（1）若双曲线上有两点，求线段AB在轴上的射影长；
（2）若直线的图象上有两点A、B，且线段AB在轴上的射影长为4，求AB的长；
（3）若已知抛物线和直线，其中a、b、c满足，抛物线过点，且与直线相交于A、B两点，求线段AB在轴上的射影长CD的取值范围.
【答案】（1）解：，所以线段AB在轴上的射影长．
（2）解：点A、B在上，所以，
．
（3）解：令，则，设其两根为，
且，则，
，
，
所以，即线段AB在轴上的射影长CD的取值范围为．
【知识点】二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将A、B两点代入双曲线中，求出m和n的值，最后m和n之间的距离就是射影长；
（2）已知x轴的摄影长是4，因此可以利用绝对值和两点之间的距离公式列式计算即可；
（3）利用根与系数的关系，可以化简计算出CD的关系式，最后根据a和c的取值范围进行进一步计算即可求出线段AB在轴上的射影长CD的取值范围.
26．（2024·邵东模拟）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段.
问题探究：
（1）如图1，等边△ABC边长为3，求垂直于BC边的等积垂分线段长度；
（2）如图2，在△ABC中，，求垂直于BC边的等积垂分线段长度；
（3）如图3，在四边形ABCD中，，求出它的等积垂分线段长．
【答案】（1）解：过点作BC的垂线AD，AD为垂直于BC边的等积垂分线，
．
（2）解：作于，线段EF是垂直于BC边的等级垂分线，设，在Rt中，，
，
，
∵EF=x，∴BE=2x，BF=
，解得或（舍弃），
边的等级垂分线段的长度为．
（3）解：①当线段EF是等积垂分线段时，作于，
设EF交BD于．设，在Rt中，，
四边形EFCD的面积=四边形EFBA的面积，的面积的面积，的面积的面积，，解得：（负根已经舍弃），
②作于G，EF交BD于，当线段EF是等积垂分线段时，设，
，由的面积的面积，
，解得（负根已经舍弃），
综上所述，四边形ABCD的一条等积垂分线段的长为．
【知识点】三角形的综合
【解析】【分析】（1）先做出等积垂分线，然后利用三角函数进行计算即可；
（2）因为∠B=30°，因此求AH和EF均可以利用“30°锐角对应的直角边是斜边的一半”来求出，并且利用勾股定理求出BH、BF的长度，最后利用面积列出方程，求解即可。
（3）分两种情况先画出等积垂分线，然后利用勾股定理、相似三角形、全等三角形等性质特点分析推理计算即可。
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