资源简介

四川省绵阳市三台县2024年中考数学二模试卷
1．（2024·三台二模）的倒数是（　　）
A． B． C．2024 D．
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是-2024.
故答案为：D.
【分析】非零数a的倒数是，即可得结果.
2．（2024·三台二模）三台经济主要以纺织鞋服为主导，加上健康食品医药、新能源两大产业，构成了三台的产业格局。围绕三大产业做文章，不断拓展产业集群是三台经济不断增长的关键。2023年三台经济增长快速，GDP已经达到530亿元，用科学记数法表示530亿元是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：530亿=53000000000=5.3×1010
故答案为：B.
【分析】科学记数发的表示形式是，其中，n是整数。本题可以先将530亿完整书写出来，然后a=5.3，n=10，列式表示即可。
3．（2024·三台二模）我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：选项A是主视图，选项B是左视图，选项C是俯视图，选项D什么示意图都不是。
故答案为：A.
【分析】主视图就是从示意图正面观察的图形样式，左视图是从示意图左侧观察的图形样式，俯视图是从示意图上方往下观察的图形样式。按照这些即可选出正确答案。
4．（2024·三台二模）如图，直尺的一边经过三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，在直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B=60°，
∴∠C=30°。
∠4=∠1+∠C=32°+30°=62°。
而∠3=∠4，
∠2=∠A+∠3=90°+62°=152°
故答案为：B.
【分析】本题先求出∠C的度数，然后利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”，求出∠4；因为在直尺，∴∠3=∠4，最后再次利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”即可求出∠2.
5．（2024·三台二模）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：△ABC绕点 A 逆时针旋转到△AB'C'的位置，∴AC = AC'，∠C'AC =∠B'AB ，
∵ C'C // AB ，
∴ ∠C'CA =∠CAB =65°，
∵AC = AC'，
∴∠AC'C =∠C'CA =65°，
∴∠C'AC =180°-2×65°=50°，
∴∠B'AB =50°
故答案为：D.
【分析】本题利用旋转性质、平行线性质以及等腰三角形的性质，逐步可以计算出∠AC'C =∠C'CA =65°，最后利用三角形内角和定理即可计算出答案。
6．（2024·三台二模）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，，错误；
B选项，，错误；
C选项，，错误；
D选项，，正确。
故答案为：D.
【分析】A选项利用合并同类项的计算步骤，“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和指数不变”计算即可；B和C选项，按照“同底数幂相乘除，底数不变、指数相加减”计算即可；D选项，按照乘方法则，“把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”计算即可。
7．（2024·三台二模）在北京举行的2022年冬季奥运会，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某滑雪场雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B时高度上升了100m，最后到达终点C.已知，且BC段的运行路线与水平面的夹角为，他从点A运行到点C垂直上升的高度约是（结果保留整数.参考数据：，，）（　　）
A．280m B．300m C．325m D．340m
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵BE∥AF，∴∠CBE=∠A=37°
∵BD=EF=100m，∴AB=，
故答案为：A.
【分析】本题首先根据平行线性质“两直线平行、同位角相等”得出∠CBE=∠A=37°，然后利用正弦值三角函数先计算出AB的长，最后再次利用正弦值三角函数计算出CF的长即可。
8．（2024·三台二模）如图，圆锥的底面半径为1cm，母线AB的长为3cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（　　）度.
A．120 B．150 C．135 D．125
【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥底面周长=弧长BB'=2×π×1=2πcm，
这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为=
故答案为：A.
【分析】本题利用公式“”，分别求出圆锥底面周长长度，然后代入计算即可。
9．（2024·三台二模）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或制盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？设用张制盒身，张制盒底.根据题意可列出的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解： 设用张制盒身，张制盒底 ，
，
故答案为：D.
【分析】根据盒身用的铁皮和盒底用的铁皮是36张，列出方程； 一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，列出方程即可.
10．（2024·三台二模）若关于 的方程 的解为正数， 则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：方程两边同乘
∴
且解为正数
∴且
∴ 且
故答案为：D.
【分析】把m作为参数解关于x的分式方程，由解为正数可得x的取值大于0且x的取值使得最简公分母≠0，即可得m的取值范围.
11．（2024·三台二模）如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为.则的值为（　　）
A．100 B．199 C．5050 D．10000
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：从图上可以看出，
a1=1，
a2=1+2=3，
a3=1+2+3=6，
a4=1+2+3+4=10，
a5=1+2+3+4+5=15，
......
a100=1+2+3+4+5+...+100=（1+100）×100÷2=5050.
故答案为：C.
【分析】本题分别将a1、a2、a3、a4、a5展开列出，然后发现规律，再利用高斯求和法计算即可。
12．（2024·三台二模）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，某同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠性质可得：DG=OG=AG，AE=OE=BE，OC=BC，
∠DGF=∠FGO，∠AGE=∠OGE，∠AEG=∠OEG，∠OEC=∠BEC，
∴∠FGE=∠FGO+∠OGE=90°，
∠GEC=∠OEG+∠OEC=90°，
∴∠FGE+∠GEC=180°，
∴GF//CE，故①正确；
设AD=2a，AB=2b，则DG=OG=AG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=3a，
在Rt△CGE中，CG2=GE2+CE2，
(3a)2=a2+b2+b2+(2a)2，
解得：，
∴，故②错误；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则
，
∴，
解得：，
∴，
，
在Rt△AGE中，，
∴，，故③④正确；
无法证明∠FCO=∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点G为AD中点，点E为AB中点，设AD=2a，AB=2b，利用勾股定理分析求得AB与AD的数量关系，从而判断②；利用相似三角形的判定和性质分析判读GE和DF、OC和OF的数量关系，从而判断③和④；根据相似三角形的判定分析判断⑤.
13．（2024·三台二模）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=m(m2-25)=m(m+5)(m-5).
故答案为：m(m+5)(m-5).
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
14．（2024·三台二模）不等式组 的最小整数解是　 　．
【答案】0
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
原不等式组的解集为
原不等式组的最小整数解为0.
故答案为：0.
【分析】分别解不等式，找出解集的公共部分，找出嘴角整数解即可.
15．（2024·三台二模）四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O.点A与点E对应，若，四边形ABCD的面积为8，则四边形EFGH的面积为　 　.
【答案】72
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD与四边形EFGH位似 ，且
∵ 四边形ABCD的面积为8 ，
∴ 四边形EFGH的面积=8×9=72.
故答案为：72.
【分析】本题利用面积比等于位似比的平方，可以先求出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比，然后代入计算即可。
16．（2024·三台二模）若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则m的范围是　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵ 关于y的方程有实数根 ，∴（-2）2-4m≥0，解得m≤1；
∵ 关于x的分式方程有解 ，∴m≠0，
∴m的范围是。
故答案为：.
【分析】本题首先根据条件“ 关于y的方程有实数根 ”对应的△≥0，计算出m的取值范围，然后结合“x的分式方程有解 ”判断出m≠0，综合即可得出m的取值范围。
17．（2024·三台二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间.下列结论：①；②；③；④若，为方程的两个根，则；其中正确的有　 　（填序号）。
【答案】③④
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线 y =ax2+ bx + c ( a ≠0）的对称轴为直线x =1，
∴=1，即2a+b=0，故①错误；
抛物线开口向下，对称轴在 y 轴的右边，与 y 轴交点在正半轴上，
∴a <0， b >0， c >0，因此 bc >0，故②错误；
抛物线的对称轴为直线 x =1， x =3时， y <0，
∴当x =-1时， y <0，即 a - b + c <0，
∴ a -(-2a)+ c <0，即；故③正确；
由图象可得：-1∴-3因此正确的有③④，
故答案为：③④.
【分析】本题根据对称轴x=1可以判断2a和b的关系，然后再根据抛物线开口、对称轴以及与 y 轴交点，即可判断①②是错误的；当x =-1时，a - b + c <0，然后结合2a+b=0进行变形，即可判断出③是正确的；根与系数的关系x1x2=＜0，然后结合x1和x2的取值范围即可判断④是正确的。
18．（2024·三台二模）正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E是CD边上一动点，连接BE交AC于点G，过点C作，垂足为F，连接OF，当点E运动到恰好使时，则的值是　 　。
【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；四点共圆模型；求正切值
【解析】【解答】解：取BC的中点M，连接MO、MF，过点E作EN⊥BD于点N，
设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDE=∠CBD=45°，BC=CD=a，∠BCD=90°，BD⊥AC，
∴，
∵BD⊥AC，CF⊥BE，M是BC的中点，
∴BM=CM=OM=MF，
∴点B、C、F、O，四点共圆，
∵∠OCF=∠OBF，CF=OF，
∴，
∴∠OBF=∠OCF=∠FBC=22.5°，
∴NE=CE，
∵BE=BE，
∴Rt△BEN≌Rt△BEC(HL)，
∴BN=BC=a，
∴，
∵∠NDE=45°，NE⊥BD，
∴∠DEN=∠NDE=45°，
∴，
∵∠NBE=∠GCF，
∴tan∠NBE=tan∠GCF，
∴
故答案为：.
【分析】取BC的中点M，连接MO、MF，过点E作EN⊥BD于点N，设正方形的边长为a，正方形的性质得∠BDE=∠CBD=45°，BC=CD=a，∠BCD=90°，BD⊥AC，进而得，再证点B、C、F、0，四点共圆，得∠OCF=∠OBF，从而得∠OBF=∠OCF=∠FBC=22.5°，又证Rt△BEN≌Rt△BEC(HL)，得BN=BC=a，，最后利用正切的意义即可得解.
19．（2024·三台二模）（1）计算：
（2）化简求值：，其中.
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
当时，
原式
【知识点】二次根式的混合运算；整数指数幂的运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）现根据二次根式计算化简办法、三角函数值、绝对值的非负性以及负指数幂的化简步骤分别计算化简，最后再进行计算即可。
（2）先利用因式分解的方法、分式的运算法则对原式进行变形并化简计算，最后将m的值代入计算即可。
20．（2024·三台二模）中考体考已经结束，为了更好地分析初三年级学生的体育水平，现从体育考试成绩中随机抽查了10名男生和10名女生的体考成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
10名男生的体考成绩（单位：分）：80，80，77，74，78，78，79，79，75，80.
10名女生的体考成绩为B等级的数据为：78，77，78，78.
所抽取的学生体考成绩统计表：
性别 平均数 中位数 众数
男 78 m n
女 78 78 78
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中m=　 　，n=　 　。
（2）若该校有800名学生，请估计获得B等级的学生共有多少人？
（3）体考选考项目由学生自愿选择，现有男女各一名同学准备从排球、乒乓球、羽毛球三个项目中选择自己擅长的项目，求这两名同学选择相同项目的概率。
【答案】（1）78.5；80
（2）解：.
答：获得B等级的同学大约有280人。
（3）解：一共有9种等可能情况，其中男女同学选择相同的项目的有3种，所以
.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解： 10名男生的体考成绩（单位：分）从高到低排列顺序为：80，80，80，79，79，78，78，77，75，74.
其中众数是80，中间数字由两个，即79，78，这两个数的平均值是（79+78）÷2=78.5
∴m=78.5，n=80
故答案为：（1）78.5；80.
【分析】（1）众数就是一组数中出现最多的数。中位数就是一组数据从小到大或者从大到小排列，中间的那个数就是中位数；如果中间有两个数，那么就是这两个数的平均数为中位数。按照中位数和众数是概念即可作答；
（2）首先找出B等级的人数有7人，对应的分数分别是男生中的 77，78，78和女生中的 78，77，78，78。而总共是随机20人的信息，因此列式即可计算；
（3）画出树状图，然后找出数据进行计算即可。
21．（2024·三台二模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点.（，，为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）P为y轴上一点，若的面积为3，求P点的坐标.
【答案】（1）解：将点代入之中，得：，
∴反比例函数的解析式为：，
将代入反比例函数之中，得：，
∴点B的坐标为，
将点，代入之中，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝x+5．
（2）解：观察函数的图象可知：当或时，一次函数的图象均在反比例函数的上方，
∴的解集为：或．
（3）解：过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，
∵，，
∴AC＝4，OC＝1，BD＝1，OD＝4，
∴CD＝OD﹣OC＝4﹣1＝3，
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴四边形ACDB为直角梯形，
∴，
设点P的坐标为，
∵△PAB的面积为3，
∴有以下两种情况：
①点P在线段CD上，
∴OP＝t，
∴DP＝OD﹣OP＝4﹣t，PC＝OP﹣OC＝t﹣1，
∴，，
∴，
解得：t＝3，
∴此时点P的坐标为；
②当P在CD延长线上时，记作
，，
，，
又∵，
，
解得：t＝7，
此时点P的坐标为．
综上所述：点P的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A代入可以先求出k2的值，然后将B点代入可以求出m的值，最后将A、B代入一次函数中，列出二元一次方程组即可求出一次函数的解析式。
（2）因为一次函数和反比例函数的交点是（-4，1）（-1，4），而 意味着一次函数在反比例函数的上方，找到对应的x取值范围即可直接写出不等式的解集。
（3）先写出四边形ACDB的面积关系式，然后分两种情况，即点P在线段CD上和P在CD延长线上，分别计算即可。
22．（2024·三台二模）如图，在中，，垂足为E，，垂足为F，BD与AE，AF分别相交于点G，H，.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，，①求；②求的面积.
【答案】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠BAG＝90°﹣∠ABE，∠DAH＝90°﹣∠ADF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF，
∴∠BAG＝∠DAH，
∵AG＝AH，
∴∠AGH＝∠AHG，
∴∠AGB＝∠AHD，
∴△ABG≌△ADH（ASA），
∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形。
（2）解：①∵，∴△ADG∽△EBG，
∴
∵，
∴
∵菱形
∴
∴
∵
∴
②∵
∴
∴
∴
【知识点】菱形的判定与性质；平行四边形的面积；求正弦值
【解析】【分析】（1）根据菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，首先证明出四边形ABCD是平行四边形，然后证明出△ABG≌△ADH（ASA），得出AB＝AD，即可证明结论；
（2）①首先判定△ADG∽△EBG，然后找到对应边成比例，逐步变形即可求出；②根据①的计算结果，求出，然后根据平行四边形面积计算公式计算即可。
23．（2024·三台二模）某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元.
（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用.
【答案】（1）解：设A种盐皮蛋每箱价格为a元，B种盐皮蛋每箱价格为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种盐皮蛋每箱价格为30元，B种盐皮蛋每箱价格为20元；
（2）解：设购买A种盐皮蛋x箱，则购买B种盐皮蛋箱，总费用为w元，
由题意可得：，
∴w随x的增大而增大，
∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，
∴，
解得17.5≤x≤20，
∵x为整数，
∴当x＝18时，w取得最小值，此时，，
答：购买18箱A种盐皮蛋，12箱B种盐皮蛋才能使总费用最少，最少费用为780元
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）题，根据“ 购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元 ”，分别列出方程，然后组成方程组求解即可；
（2）题先求出w和x的关系式，然后根据“A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍 ”列出不等式组，最后求出整数x，最后代入w和x的关系式中计算出w的值即可。
24．（2024·三台二模）如图，在中，，以斜边AB上的中线CD为直径作，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E.过点N作，垂足为F.其中，。
（1）求证：NF是的切线。
（2）求NF和DH的长。
【答案】（1）证明：连接ON，ND，如图，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边中线，
∴CD= BD，
∵CD是☉O的直径
∴∠CND=90°，
∴DN⊥BC，
∴∠CDN=∠BDN
∵ON=OD，
∴∠ODN=∠OND
∴∠OND=∠BDN
∴ON//AB，
∵NE⊥AB
∴ON⊥NF
∵ON是☉O的半径
∴NF是☉O的切线.
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
由(1)得点N为BC得中点，
∵BC=8，
∴，
∵∠B=∠B，∠BFN=∠BCA=90°，
∴△BFN∽△BCA，
∴，即
∴
∵D、N分别是AB，BC的中点，
∴DN是△ABC是中位线，
∴，DN//AC，
∴△ACH∽△NDH，
∴
∴
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)连接ON和ND，利用圆的直径所对的圆周角为直角的性质，证明∠CND=90°，进而证明ON//AB，最后利用NE⊥AB证明ON⊥NE，根据切线的定义得出结论；
(2)在Rt△ABC中，利用勾股定理计算AB的长度，再利用相似三角形△BFN∽△BCA的性质，通过比例关系计算NF的长度；利用三角形中位线定理，证明DN是△ABC的中位线，再利用相似三角形△ACH∽△NDH的性质，通过比例关系计算DH的长度.
25．（2024·三台二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将沿直线AD翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值.
【答案】（1）解：抛物线与y轴交于点，
∴，
∵对称轴为，
∴，，
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图，过作轴的垂线，垂足为H，
令，
解得：，，
∴，，
∴，
由翻折可得，
∵对称轴为，
∴AB'＝AB＝5＝2AH，
∴∠AB'H＝30°，∠B'AB＝60°，
在Rt△AOD中，，
∴
（3）解：如图2，PF交x轴于Q，设BC所在直线的解析式为，
把B、C坐标代入得：，
解得：，
∴，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝45°，
∵∠AEF＝90°，
∴直线PE与x轴所成夹角为45°，即∠PQO＝45°，
设，
设PE所在直线的解析式为：，
把点P代入得，
∴，
令，则，
解得：
∴，，
∴
∵点P在直线AC上方，
∴，
∴当时，的最大值为.
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将C点的坐标代入抛物线表达式中，可以先求出c，然后利用对称轴求出b，此时抛物线表达式即可写出；
（2）首先求出AB=5，然后利用翻折定理和三角函数关系等，即可求出OD的长，最后D点坐标即可求出；
（3）先求出BC所在的直线解析式，然后假设P点的坐标，用m来表示出FG和FP，最后将 转化为含有m的一元二次方程，在m的取值范围内即可求出最大值。
1 / 1四川省绵阳市三台县2024年中考数学二模试卷
1．（2024·三台二模）的倒数是（　　）
A． B． C．2024 D．
2．（2024·三台二模）三台经济主要以纺织鞋服为主导，加上健康食品医药、新能源两大产业，构成了三台的产业格局。围绕三大产业做文章，不断拓展产业集群是三台经济不断增长的关键。2023年三台经济增长快速，GDP已经达到530亿元，用科学记数法表示530亿元是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·三台二模）我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种卯构件的示意图，其主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·三台二模）如图，直尺的一边经过三角板的顶点，另一边与三角板的两条直角边分别相交，若，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·三台二模）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·三台二模）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024·三台二模）在北京举行的2022年冬季奥运会，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某滑雪场雪道缆车线路示意图，滑雪者从点A出发，途经点B时高度上升了100m，最后到达终点C.已知，且BC段的运行路线与水平面的夹角为，他从点A运行到点C垂直上升的高度约是（结果保留整数.参考数据：，，）（　　）
A．280m B．300m C．325m D．340m
8．（2024·三台二模）如图，圆锥的底面半径为1cm，母线AB的长为3cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为（　　）度.
A．120 B．150 C．135 D．125
9．（2024·三台二模）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身个，或制盒底个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，现有张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？设用张制盒身，张制盒底.根据题意可列出的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024·三台二模）若关于 的方程 的解为正数， 则 的取值范围是（　　）
A． B．
C． 且 D． 且
11．（2024·三台二模）如图，被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”.其规律是：从第二行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和，表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第n个数记为.则的值为（　　）
A．100 B．199 C．5050 D．10000
12．（2024·三台二模）如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上，某同学得出以下结论：①；②；③；④；⑤.其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①④⑤ D．②③④
13．（2024·三台二模）因式分解：　 　．
14．（2024·三台二模）不等式组 的最小整数解是　 　．
15．（2024·三台二模）四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心为点O.点A与点E对应，若，四边形ABCD的面积为8，则四边形EFGH的面积为　 　.
16．（2024·三台二模）若关于x的分式方程有解，且关于y的方程有实数根，则m的范围是　 　.
17．（2024·三台二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间.下列结论：①；②；③；④若，为方程的两个根，则；其中正确的有　 　（填序号）。
18．（2024·三台二模）正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，点E是CD边上一动点，连接BE交AC于点G，过点C作，垂足为F，连接OF，当点E运动到恰好使时，则的值是　 　。
19．（2024·三台二模）（1）计算：
（2）化简求值：，其中.
20．（2024·三台二模）中考体考已经结束，为了更好地分析初三年级学生的体育水平，现从体育考试成绩中随机抽查了10名男生和10名女生的体考成绩进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：
10名男生的体考成绩（单位：分）：80，80，77，74，78，78，79，79，75，80.
10名女生的体考成绩为B等级的数据为：78，77，78，78.
所抽取的学生体考成绩统计表：
性别 平均数 中位数 众数
男 78 m n
女 78 78 78
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中m=　 　，n=　 　。
（2）若该校有800名学生，请估计获得B等级的学生共有多少人？
（3）体考选考项目由学生自愿选择，现有男女各一名同学准备从排球、乒乓球、羽毛球三个项目中选择自己擅长的项目，求这两名同学选择相同项目的概率。
21．（2024·三台二模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点.（，，为常数）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）P为y轴上一点，若的面积为3，求P点的坐标.
22．（2024·三台二模）如图，在中，，垂足为E，，垂足为F，BD与AE，AF分别相交于点G，H，.
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若，，①求；②求的面积.
23．（2024·三台二模）某超市销售A、B两种品牌的盐皮蛋，若购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；若购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元.
（1）A种盐皮蛋、B种盐皮蛋每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种盐皮蛋共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用.
24．（2024·三台二模）如图，在中，，以斜边AB上的中线CD为直径作，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E.过点N作，垂足为F.其中，。
（1）求证：NF是的切线。
（2）求NF和DH的长。
25．（2024·三台二模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，其对称轴为.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点D是线段OC上的一动点，连接AD，BD，将沿直线AD翻折，得到，当点恰好落在抛物线的对称轴上时，求点D的坐标；
（3）如图2，动点P在直线AC上方的抛物线上，过点P作直线AC的垂线，分别交直线AC，线段BC于点E，F，过点F作轴，垂足为G，求的最大值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是-2024.
故答案为：D.
【分析】非零数a的倒数是，即可得结果.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：530亿=53000000000=5.3×1010
故答案为：B.
【分析】科学记数发的表示形式是，其中，n是整数。本题可以先将530亿完整书写出来，然后a=5.3，n=10，列式表示即可。
3．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：选项A是主视图，选项B是左视图，选项C是俯视图，选项D什么示意图都不是。
故答案为：A.
【分析】主视图就是从示意图正面观察的图形样式，左视图是从示意图左侧观察的图形样式，俯视图是从示意图上方往下观察的图形样式。按照这些即可选出正确答案。
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图所示，在直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B=60°，
∴∠C=30°。
∠4=∠1+∠C=32°+30°=62°。
而∠3=∠4，
∠2=∠A+∠3=90°+62°=152°
故答案为：B.
【分析】本题先求出∠C的度数，然后利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”，求出∠4；因为在直尺，∴∠3=∠4，最后再次利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和”即可求出∠2.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：△ABC绕点 A 逆时针旋转到△AB'C'的位置，∴AC = AC'，∠C'AC =∠B'AB ，
∵ C'C // AB ，
∴ ∠C'CA =∠CAB =65°，
∵AC = AC'，
∴∠AC'C =∠C'CA =65°，
∴∠C'AC =180°-2×65°=50°，
∴∠B'AB =50°
故答案为：D.
【分析】本题利用旋转性质、平行线性质以及等腰三角形的性质，逐步可以计算出∠AC'C =∠C'CA =65°，最后利用三角形内角和定理即可计算出答案。
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A选项，，错误；
B选项，，错误；
C选项，，错误；
D选项，，正确。
故答案为：D.
【分析】A选项利用合并同类项的计算步骤，“把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和指数不变”计算即可；B和C选项，按照“同底数幂相乘除，底数不变、指数相加减”计算即可；D选项，按照乘方法则，“把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”计算即可。
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：∵BE∥AF，∴∠CBE=∠A=37°
∵BD=EF=100m，∴AB=，
故答案为：A.
【分析】本题首先根据平行线性质“两直线平行、同位角相等”得出∠CBE=∠A=37°，然后利用正弦值三角函数先计算出AB的长，最后再次利用正弦值三角函数计算出CF的长即可。
8．【答案】A
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥底面周长=弧长BB'=2×π×1=2πcm，
这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角为=
故答案为：A.
【分析】本题利用公式“”，分别求出圆锥底面周长长度，然后代入计算即可。
9．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【解答】解： 设用张制盒身，张制盒底 ，
，
故答案为：D.
【分析】根据盒身用的铁皮和盒底用的铁皮是36张，列出方程； 一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒，列出方程即可.
10．【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：方程两边同乘
∴
且解为正数
∴且
∴ 且
故答案为：D.
【分析】把m作为参数解关于x的分式方程，由解为正数可得x的取值大于0且x的取值使得最简公分母≠0，即可得m的取值范围.
11．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：从图上可以看出，
a1=1，
a2=1+2=3，
a3=1+2+3=6，
a4=1+2+3+4=10，
a5=1+2+3+4+5=15，
......
a100=1+2+3+4+5+...+100=（1+100）×100÷2=5050.
故答案为：C.
【分析】本题分别将a1、a2、a3、a4、a5展开列出，然后发现规律，再利用高斯求和法计算即可。
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由折叠性质可得：DG=OG=AG，AE=OE=BE，OC=BC，
∠DGF=∠FGO，∠AGE=∠OGE，∠AEG=∠OEG，∠OEC=∠BEC，
∴∠FGE=∠FGO+∠OGE=90°，
∠GEC=∠OEG+∠OEC=90°，
∴∠FGE+∠GEC=180°，
∴GF//CE，故①正确；
设AD=2a，AB=2b，则DG=OG=AG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=3a，
在Rt△CGE中，CG2=GE2+CE2，
(3a)2=a2+b2+b2+(2a)2，
解得：，
∴，故②错误；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则
，
∴，
解得：，
∴，
，
在Rt△AGE中，，
∴，，故③④正确；
无法证明∠FCO=∠GCE，
∴无法判断△COF∽△CEG，故⑤错误；
综上，正确的是①③④，
故答案为：B.
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点G为AD中点，点E为AB中点，设AD=2a，AB=2b，利用勾股定理分析求得AB与AD的数量关系，从而判断②；利用相似三角形的判定和性质分析判读GE和DF、OC和OF的数量关系，从而判断③和④；根据相似三角形的判定分析判断⑤.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=m(m2-25)=m(m+5)(m-5).
故答案为：m(m+5)(m-5).
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可.
14．【答案】0
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
原不等式组的解集为
原不等式组的最小整数解为0.
故答案为：0.
【分析】分别解不等式，找出解集的公共部分，找出嘴角整数解即可.
15．【答案】72
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵ 四边形ABCD与四边形EFGH位似 ，且
∵ 四边形ABCD的面积为8 ，
∴ 四边形EFGH的面积=8×9=72.
故答案为：72.
【分析】本题利用面积比等于位似比的平方，可以先求出四边形ABCD与四边形EFGH的面积比，然后代入计算即可。
16．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：∵ 关于y的方程有实数根 ，∴（-2）2-4m≥0，解得m≤1；
∵ 关于x的分式方程有解 ，∴m≠0，
∴m的范围是。
故答案为：.
【分析】本题首先根据条件“ 关于y的方程有实数根 ”对应的△≥0，计算出m的取值范围，然后结合“x的分式方程有解 ”判断出m≠0，综合即可得出m的取值范围。
17．【答案】③④
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线 y =ax2+ bx + c ( a ≠0）的对称轴为直线x =1，
∴=1，即2a+b=0，故①错误；
抛物线开口向下，对称轴在 y 轴的右边，与 y 轴交点在正半轴上，
∴a <0， b >0， c >0，因此 bc >0，故②错误；
抛物线的对称轴为直线 x =1， x =3时， y <0，
∴当x =-1时， y <0，即 a - b + c <0，
∴ a -(-2a)+ c <0，即；故③正确；
由图象可得：-1∴-3因此正确的有③④，
故答案为：③④.
【分析】本题根据对称轴x=1可以判断2a和b的关系，然后再根据抛物线开口、对称轴以及与 y 轴交点，即可判断①②是错误的；当x =-1时，a - b + c <0，然后结合2a+b=0进行变形，即可判断出③是正确的；根与系数的关系x1x2=＜0，然后结合x1和x2的取值范围即可判断④是正确的。
18．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；四点共圆模型；求正切值
【解析】【解答】解：取BC的中点M，连接MO、MF，过点E作EN⊥BD于点N，
设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDE=∠CBD=45°，BC=CD=a，∠BCD=90°，BD⊥AC，
∴，
∵BD⊥AC，CF⊥BE，M是BC的中点，
∴BM=CM=OM=MF，
∴点B、C、F、O，四点共圆，
∵∠OCF=∠OBF，CF=OF，
∴，
∴∠OBF=∠OCF=∠FBC=22.5°，
∴NE=CE，
∵BE=BE，
∴Rt△BEN≌Rt△BEC(HL)，
∴BN=BC=a，
∴，
∵∠NDE=45°，NE⊥BD，
∴∠DEN=∠NDE=45°，
∴，
∵∠NBE=∠GCF，
∴tan∠NBE=tan∠GCF，
∴
故答案为：.
【分析】取BC的中点M，连接MO、MF，过点E作EN⊥BD于点N，设正方形的边长为a，正方形的性质得∠BDE=∠CBD=45°，BC=CD=a，∠BCD=90°，BD⊥AC，进而得，再证点B、C、F、0，四点共圆，得∠OCF=∠OBF，从而得∠OBF=∠OCF=∠FBC=22.5°，又证Rt△BEN≌Rt△BEC(HL)，得BN=BC=a，，最后利用正切的意义即可得解.
19．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
当时，
原式
【知识点】二次根式的混合运算；整数指数幂的运算；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）现根据二次根式计算化简办法、三角函数值、绝对值的非负性以及负指数幂的化简步骤分别计算化简，最后再进行计算即可。
（2）先利用因式分解的方法、分式的运算法则对原式进行变形并化简计算，最后将m的值代入计算即可。
20．【答案】（1）78.5；80
（2）解：.
答：获得B等级的同学大约有280人。
（3）解：一共有9种等可能情况，其中男女同学选择相同的项目的有3种，所以
.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解： 10名男生的体考成绩（单位：分）从高到低排列顺序为：80，80，80，79，79，78，78，77，75，74.
其中众数是80，中间数字由两个，即79，78，这两个数的平均值是（79+78）÷2=78.5
∴m=78.5，n=80
故答案为：（1）78.5；80.
【分析】（1）众数就是一组数中出现最多的数。中位数就是一组数据从小到大或者从大到小排列，中间的那个数就是中位数；如果中间有两个数，那么就是这两个数的平均数为中位数。按照中位数和众数是概念即可作答；
（2）首先找出B等级的人数有7人，对应的分数分别是男生中的 77，78，78和女生中的 78，77，78，78。而总共是随机20人的信息，因此列式即可计算；
（3）画出树状图，然后找出数据进行计算即可。
21．【答案】（1）解：将点代入之中，得：，
∴反比例函数的解析式为：，
将代入反比例函数之中，得：，
∴点B的坐标为，
将点，代入之中，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝x+5．
（2）解：观察函数的图象可知：当或时，一次函数的图象均在反比例函数的上方，
∴的解集为：或．
（3）解：过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，
∵，，
∴AC＝4，OC＝1，BD＝1，OD＝4，
∴CD＝OD﹣OC＝4﹣1＝3，
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴四边形ACDB为直角梯形，
∴，
设点P的坐标为，
∵△PAB的面积为3，
∴有以下两种情况：
①点P在线段CD上，
∴OP＝t，
∴DP＝OD﹣OP＝4﹣t，PC＝OP﹣OC＝t﹣1，
∴，，
∴，
解得：t＝3，
∴此时点P的坐标为；
②当P在CD延长线上时，记作
，，
，，
又∵，
，
解得：t＝7，
此时点P的坐标为．
综上所述：点P的坐标为或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点A代入可以先求出k2的值，然后将B点代入可以求出m的值，最后将A、B代入一次函数中，列出二元一次方程组即可求出一次函数的解析式。
（2）因为一次函数和反比例函数的交点是（-4，1）（-1，4），而 意味着一次函数在反比例函数的上方，找到对应的x取值范围即可直接写出不等式的解集。
（3）先写出四边形ACDB的面积关系式，然后分两种情况，即点P在线段CD上和P在CD延长线上，分别计算即可。
22．【答案】（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
∴∠BAG＝90°﹣∠ABE，∠DAH＝90°﹣∠ADF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF，
∴∠BAG＝∠DAH，
∵AG＝AH，
∴∠AGH＝∠AHG，
∴∠AGB＝∠AHD，
∴△ABG≌△ADH（ASA），
∴AB＝AD，
∴ ABCD是菱形。
（2）解：①∵，∴△ADG∽△EBG，
∴
∵，
∴
∵菱形
∴
∴
∵
∴
②∵
∴
∴
∴
【知识点】菱形的判定与性质；平行四边形的面积；求正弦值
【解析】【分析】（1）根据菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，首先证明出四边形ABCD是平行四边形，然后证明出△ABG≌△ADH（ASA），得出AB＝AD，即可证明结论；
（2）①首先判定△ADG∽△EBG，然后找到对应边成比例，逐步变形即可求出；②根据①的计算结果，求出，然后根据平行四边形面积计算公式计算即可。
23．【答案】（1）解：设A种盐皮蛋每箱价格为a元，B种盐皮蛋每箱价格为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种盐皮蛋每箱价格为30元，B种盐皮蛋每箱价格为20元；
（2）解：设购买A种盐皮蛋x箱，则购买B种盐皮蛋箱，总费用为w元，
由题意可得：，
∴w随x的增大而增大，
∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，
∴，
解得17.5≤x≤20，
∵x为整数，
∴当x＝18时，w取得最小值，此时，，
答：购买18箱A种盐皮蛋，12箱B种盐皮蛋才能使总费用最少，最少费用为780元
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）题，根据“ 购买9箱A种盐皮蛋和6箱B种盐皮蛋共需390元；购买5箱A种盐皮蛋和8箱B种盐皮蛋共需310元 ”，分别列出方程，然后组成方程组求解即可；
（2）题先求出w和x的关系式，然后根据“A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍 ”列出不等式组，最后求出整数x，最后代入w和x的关系式中计算出w的值即可。
24．【答案】（1）证明：连接ON，ND，如图，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边中线，
∴CD= BD，
∵CD是☉O的直径
∴∠CND=90°，
∴DN⊥BC，
∴∠CDN=∠BDN
∵ON=OD，
∴∠ODN=∠OND
∴∠OND=∠BDN
∴ON//AB，
∵NE⊥AB
∴ON⊥NF
∵ON是☉O的半径
∴NF是☉O的切线.
（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
由(1)得点N为BC得中点，
∵BC=8，
∴，
∵∠B=∠B，∠BFN=∠BCA=90°，
∴△BFN∽△BCA，
∴，即
∴
∵D、N分别是AB，BC的中点，
∴DN是△ABC是中位线，
∴，DN//AC，
∴△ACH∽△NDH，
∴
∴
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)连接ON和ND，利用圆的直径所对的圆周角为直角的性质，证明∠CND=90°，进而证明ON//AB，最后利用NE⊥AB证明ON⊥NE，根据切线的定义得出结论；
(2)在Rt△ABC中，利用勾股定理计算AB的长度，再利用相似三角形△BFN∽△BCA的性质，通过比例关系计算NF的长度；利用三角形中位线定理，证明DN是△ABC的中位线，再利用相似三角形△ACH∽△NDH的性质，通过比例关系计算DH的长度.
25．【答案】（1）解：抛物线与y轴交于点，
∴，
∵对称轴为，
∴，，
∴抛物线的解析式为
（2）解：如图，过作轴的垂线，垂足为H，
令，
解得：，，
∴，，
∴，
由翻折可得，
∵对称轴为，
∴AB'＝AB＝5＝2AH，
∴∠AB'H＝30°，∠B'AB＝60°，
在Rt△AOD中，，
∴
（3）解：如图2，PF交x轴于Q，设BC所在直线的解析式为，
把B、C坐标代入得：，
解得：，
∴，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝45°，
∵∠AEF＝90°，
∴直线PE与x轴所成夹角为45°，即∠PQO＝45°，
设，
设PE所在直线的解析式为：，
把点P代入得，
∴，
令，则，
解得：
∴，，
∴
∵点P在直线AC上方，
∴，
∴当时，的最大值为.
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）将C点的坐标代入抛物线表达式中，可以先求出c，然后利用对称轴求出b，此时抛物线表达式即可写出；
（2）首先求出AB=5，然后利用翻折定理和三角函数关系等，即可求出OD的长，最后D点坐标即可求出；
（3）先求出BC所在的直线解析式，然后假设P点的坐标，用m来表示出FG和FP，最后将 转化为含有m的一元二次方程，在m的取值范围内即可求出最大值。
1 / 1

展开更多......

收起↑