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四川省苍溪县2023-2024学年中考数学二模试题
1．（2023·苍溪模拟）-5的绝对值是：
A． B． C．5 D．-5
【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】
-5的绝对值为5
故答案选C
2．（2023·苍溪模拟）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题.以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B是轴对称图形，也是中心对称图形，故B不符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 。按照轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析即可选择出正确的选项。
3．（2023·苍溪模拟）下列运算中， 正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解： 对A选项，，故A错误；
对B选项，，故B正确；
对C选项，，故C错误；
对D选项，，故D错误；
故答案为：B.
【分析】依次根据“括号前是符号，去括号后括号里面的符号要改变”、“同底数幂相除，底数不变、指数相减“、“完全平方公式”分别进行计算，即可得结果.
4．（2023·苍溪模拟）我国古代数学家刘徽利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是 (　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，可知下面正方形中有一个圆，故A选项符合题意；
故答案为：A.
【分析】直接根据左边观察的图形的特点进行判断即可.
5．（2023·苍溪模拟）下列说法正确的是(　　)
A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查；
B．任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件；
C．数据4， 9， 5， 7的中位数是6；
D．甲、乙两组数据的方差分别是 则乙组数据比甲组数据稳定.
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；中位数；方差；分析数据的波动程度；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A选项中，载人飞船的零件，应该全面调查，故A错误；
B选项中， 任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件，故B错误；
C选项中，从小到大排列为4、5、7、9，中位数为5和7的平均数6，故C正确；
D选项中，甲的数据比乙的数据更稳定，故D错误；
故答案为：C.
【分析】本题根据全面调查和抽样调查的选择方法、必然事件的判定、中位数和方差的概念，依次判断各选项中的命题的真假，即可得结果.
6．（2023·苍溪模拟）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
计算①，不等式左右两边同时加1，得x≤2；
计算②，不等式左右两边同时减3，得2x＞-2；然后不等式左右两边同时除以2，得x＞-1；
综上，得-1＜x≤2.
故答案为：A。
【分析】本题先分别求出不等式组中两个不等式的x的取值范围，然后综合得出不等式组中x的取值，然后在四个选项中即可找出正确选项。
7．（2023·苍溪模拟）为响应“绿色出行”的号召，张叔叔上班由自驾车改为乘坐公交车.已知张叔叔家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少10km.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的 ，求张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶多少千米 设张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶xkm，则下面所列方程中正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： 张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶xkm，∴ 乘公交车所用的时间是；
而他自驾车平均每小时行驶的速度是（x+10）km，∴自驾车所用时间是；
因此 。
故答案为：B。
【分析】本题首先根据条件“张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶xkm”，可以列出乘公交车所用时间；而条件“ 他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少10km ”，即自驾车的速度比公交车的速度每小时快10km，此时可以列出自驾车所用时间，最后根据“ 乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的 ”即可列出方程式。
8．（2023·苍溪模拟）如图， 四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD， ED⊥AD， BC⊥AC， 且 则 的值为 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角平分线的概念；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵AC平分∠BAD，ED⊥AD，
∴∠DAE=∠CAB，EF=ED，
∵∠EFB=90°，∠ABE=30°，
∴BE=2EF，
∵BC⊥AC，
∴∠BCA=∠EDA=90°
∵
∴，即
∵∠EAD=∠BAC，∠ADE=∠ACB
∴△ADE∽△ACB，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质和直角三角形的性质，确定相关线段的比例关系；利用相似三角形的判定定理，证明△ADE∽△ACB，并求解AD与AC的比例关系.
9．（2023·苍溪模拟）如右图， AB， CE是⊙O的两条直径， D是劣弧BC的中点， 连接BC， DE.若∠ABC=34°，则∠CED的度数为 (　　)
A．26° B．28° C．34° D．56°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OD、BE。
∵ ∠ABC=34° ，OB=OC，∴∠BCO=34° ，∠COA=∠BOE=34°+34°=68°，
∵OB=OE，∴∠BEO=∠OBE=（180°-68°）÷2=56°，
∵ D是劣弧BC的中点 ，∴∠BED=∠CED=56°÷2=28°。
故答案为：B。
【分析】本题首先利用等腰三角形性质和三角形外角和定理以及对顶角相等，计算出∠COA=∠BOE=68°，然后利用三角形内角和定理和等腰三角形性质，计算出∠BEO=∠OBE=56°，最后利用“同一个圆内，等弧对应的圆周角相等”，即可计算出答案。
10．（2023·苍溪模拟）如图， 已知二次函数 (a，b，c是常数)的图象关于直线x=-1对称， 则下列五个结论： ①abc>0； ②2a-b=0； ③9a-3b+c<0； (m为任意实数)； <0.其中结论正确的个数为(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象可知， a <0，
对称轴x=-1=，∴b <0，
二次函数交y轴于上半轴，∴c >0，
因此 abc >0，故①正确．
∵抛物线的对称轴为直线 x =-1，即=-1，
∴2a- b =0，故②正确．
∵抛物线的对称轴为直线 x =-1，且 x =1时，函数值小于零，1点关于-1点的对称点是-3，
∴ x =-3时，函数值小于零，则9a-3b+ c <0，故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线 x =-1，且开口向下，所以当 x = m 时，am2+ bm + c ≤ a - b + c ，
即am2-a+ bm + b ≤0，
所以 a (m2-1)+ b ( m +1)≤0，故④正确．
由函数图象可知，当 x =1时，函数值小于零，
则 a + b + c <0，
又因为 b =2a，所以3a+ c <0，故⑤正确．
综上五个都是正确的。
故答案为： D .
【分析】本题可以根据函数图象的开口方向、对称轴以及与y轴的交点位置，即可判断出a、b、c的正负性和2a和b的关系即可判断①和②的正确，然后利用对称轴的特点找到x=-3与x=1对应的函数值是相同的，即可判断③的正确；同样利用对称轴的特点，将方程变形即可判断④是正确的，最后利用函数图象与特定值x=1是函数的正负性，变形即可判断⑤是正确的。
11．（2023·苍溪模拟）将数据0.000000023用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000023=
故答案为：。
【分析】科学记数发的表示形式是，其中，n是整数。本题首先判断a=2.3，然后确定n=-8，列式表示即可。
12．（2023·苍溪模拟）已知关于x的一元二次方程 若方程的两个实数根为x1、x2，且( 则m的值为　 　.
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 变形为
∵ x1、x2 是一元二次方程的两个实数根，
∴x1+x2=4，x1x2=m
∴就变形为m-4m+m2=10，整理得（m+2）（m-5）=0
解得m=-2或5.
当m=-2时，原一元二次方程为，有两个实数根；
当m=5时，原一元二次方程为，没有实数根；
∴m的值为-2.
【分析】本题先将变形，然后利用根与系数的关系进行替换，最后求出m有两个值。此时要将m的两个值分别代入一元二次方程中进行验证，最后即可得出m的值是-2.
13．（2023·苍溪模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数. 与反比例函数 的图象交于A，B两点.当 时， 自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x<-1或0【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ ，∴
当x＞0时，变形为x2-2x-3＜0，即（x+1）（x-3）＜0，解得0当x＜0时，变形为x2-2x-3＞0，即（x+1）（x-3）＞0，解得x＜-1；
因此自变量x的取值范围是x<-1或0故答案为：x<-1或0【分析】本题可以画出图，从图上观察，因为 ，意味着一次函数在反比例函数的上方，然后找到自变量x的取值范围即可。也可以列出不等式方程，分两种情况x＞0和x＜0分别计算化简，最后求出自变量的取值范围。
14．（2023·苍溪模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F， BC=6， 则BF=　 　.
【答案】6
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：由作法得BE=BC=6，BF平分∠CBE，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC
∴∠F=∠CBF
∴∠F=∠EBF=30°，
∴BE=FE，
过E点作EH⊥BF于H，如图，则BH=FH，
在Rt△BEH中，
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】利用基本作图得到BE=BC=6，BF平分∠CBE，则∠CBF=∠EBF=30°，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明∠F=∠EBE=30°，所以BE=FE，过E点作EH⊥BF于H，如图，则BH=FH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BH，从而得到BF的长.
15．（2023·苍溪模拟）如图所示，AB是半圆O的直径，将直径BA绕点B顺时针旋转45°得对应线段BC，若AB=2，则图中阴影部分的面积是　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示。
∵∠DBO=45°，且OD=OB，∴∠DOB=∠DOA=90°，
∴OD=OB=OA=2÷2=1
S扇形ABC=，
S扇形AOD=，
S△BOD=，
∴ 图中阴影部分的面积=S扇形ABC-S扇形AOD-S△BOD= 12π-14π-12=14π-12
故答案为：。
【分析】本题从图中可以发现，阴影部分的面积就是扇形ABC的面积减去扇形AOD的面积和△BOD的面积，然后利用扇形面积计算公式和三角形面积计算公式分别求出，最后计算化简即可。
16．（2023·苍溪模拟）如图，在矩形ABCD中， AB=6， BC=8， 点M， N分别在边AD， BC上. 沿着直线MN折叠矩形ABCD，点A， B分别落在点E， F处， 且点F在线段CD上(不与两端点重合)， 过点M作MH⊥BC于点H， 连接BF. 已知下列判断： ①MN⊥BF；②△MHN ∽△BCF； ③MN/BF=3/4 ④6【答案】①②③④
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图1，由折叠可知MN⊥BF，①正确；
∴∠BOM=90°
∵MH⊥BC，
∴∠BHP=90°=∠BOM
∵∠BPH=∠OPM，
∴∠CBF=∠NMH
∵∠MHN=∠C=90°
∴MHN∽△BCF，②正确：
∵△MHN∽△BCF，
∴，③正确；
当F与C重合时，MN=6，此时MN最小，
当F与D重合时，如图，此时MN最大，
由勾股定理得：，
∵OB=OD=5，，即，
∴
∵AD//BC，
∴∠MDO=∠OBN
在△MOD和△NOB中，
∴△DOM≌△BON(ASA)
∴OM=ON，
∴
∵点F在线段CD上(不与两端点重合)，
∴折痕MN的长度的取值范围为；
综上，①②③④都是正确的，
故答案为：①②③④.
【分析】根据折叠的性质可判定①正确；根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定②正确；根据MN最大值和最小值时F的位置可判定③正确；求得tan∠FNC的值，可判定④正确；从而求解.
17．（2023·苍溪模拟） 计算：
【答案】解：原式
【知识点】实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题首先根据“1的任何次幂都得1”、tan45°=1、绝对值的非负性先进行变形，然后再进行计算即可。
18．（2023·苍溪模拟）先化简， 再求值： 其中x满足方程
【答案】解：原式
∴原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】本题无需求出x的具体值。首先对原式进行化简，然后对方程进行变形，最后代入到原式中化简到最后的值进行计算即可。
19．（2023·苍溪模拟）如图， 中， 点D为AB 边中点， 过D 点作 AB 的垂线交 BC于点 E，在直线DE 上截取DF， 使 连接AE、AF、BF.
（1）求证： 四边形AEBF 是菱形；
（2）若 连接CD， 求 CD的长.
【答案】（1）证明：∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE=DF，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴四边形AEBF是菱形；
（2）解：
∵四边形AEBF是菱形，
∴AE∥BF， AE=BF=BE=5，
∴∠AEC=∠EBF，
∵∠ACB=90° ，
∵AC=4，
∵D是AB的中点， ∠ACB=90° ，
∴CD= AB=2
【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据菱形判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，首先判定四边形AEBF是平行四边形，然后根据EF⊥AB即可得出证明；
（2）结合（1）中的证明结果，放到直角三角形ACE中利用勾股定理先求出CE的长，然后放到直角三角形ABC中求出BC和AB的长，最后利用“直角三角形斜边中线等于斜线的一半”即可求出CD的长。
20．（2023·苍溪模拟）整理错题是一种优秀的学习习惯和学习方法.为此，某校就这项优秀的学习习惯对部分九年级学生进行了问卷调查.设计的调查问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正情况；答案选项为：A、很少，B、有时，C、常常，D、总是.将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：a=　 　%，b=　 　%， “常常”对应扇形的圆心角度数为　 　；
（2）请你补全条形统计图；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中各选出两人，再从四人中选取两位学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位学生恰好组合成功(即“很少”和“总是”的两人为一组)的概率.
【答案】（1）12；36；108°
（2）解：“常常”的人数有： 200×30%=60 (人)，
补全条形统计图如图所示：

（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况数，其中所选两位同学恰好组合成功的有8种，
则所选两位同学恰好组合成功(即“很少”和“总是”的两人为一组)的概率是
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）解：44÷22%=200人，
a=24÷200×100%=12%；b=72÷200×100%=36%；360×30%=108°
故答案为：（1）12；36；108°。
【分析】（1）首先利用“有时”的22%占比和人数44人，即可计算出总人数，然后分别根据“很少”的24人、“总是”的72人即可计算出a、b的值，因为圆是360°，因此“常常”对应的圆心角即可计算得出；（2）根据（1）题的总人数200人和“常常”的占比30%，可以计算出“常常”的人数，然后补充条形统计图即可；（3）先画出树状图，然后从图上观察计算即可。
21．（2023·苍溪模拟）如图，已知AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D， E是 的中点， AE与BC交于点F， ∠C=2∠EAB.
（1） 求证： AC是⊙O的切线；
（2） 若 求AF的长.
【答案】（1）证明：连接AD， 如图所示，
∵E是 的中点，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°， ∠DAC+∠ACB =90°，
∴∠DAC+∠DAB=90°， 即∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∵AB是圆的直径，
∴AC是⊙O的切线。
（2）解：在Rt△ACD中，
∵AC 是⊙O的切线，
∴∠CAE+∠BAE=90°，
∵∠EAD+∠AFD=90°， ∠EAD=∠EAB，
∴∠CAE=∠AFD， ∴CF=AC=12，
∴DF=4，
【知识点】切线的判定与性质；已知余弦值求边长
【解析】【分析】（1）首先根据“同一个圆内，等弧对应的圆周角相等”推断出进而证明出∠ACB=∠DAB，然后利用“ 过直径的圆内接三角形是直角三角形 ”证明出∠ADB=90°，随后逐步推出∠BAC=90°，即可得出证明结论；
（2）首先利用余弦值求出CD的长，然后推出∠CAE=∠AFD，进而得出CF=AC=12，DF=4，然后利用勾股定理求出AD的长和AF的长即可。
22．（2023·苍溪模拟）如图， 一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A(a， 1)，B(- 2， b)两点， 与 x轴相交于点 C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2） 若 P(m， 0) 为 x轴上的一动点， 连接 AP， 当△APC的面积为 时，求点 P 的坐标.
【答案】（1）解：的图象经过 A(a，1)
解得：a=4
把(4， 1) 代入 得k=4
∴反比例函数的表达式为
（2）解：当y=0时， 得
解得：x=2
∴点 C坐标为(2，0)
∴PC=|m-2|
解得：m=7或m=-3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将 A(a， 1) 代入一次函数中，即可求出a的值，然后再次代入反比例函数中，即可求出k的值，此时反比例函数的表达式即可写出；（2）先求出C点的坐标，然后△APC可以看做是底为|m-2|、高为1的三角形，根据三角形面积计算公式列式计算即可。
23．（2023·苍溪模拟）随着科学技术不断的发展，自动机器人用于生产、生活的技术已日益成熟.如图1，是一款自动焊接机器人，主要从事焊接，切割或热喷涂等工作.如图2，是该自动焊接机器人某次工作状态下的示意图，底座OA与地面垂直且可根据需要进行移动，AB，BC为机械臂， BC=3m， ∠OAB=150°， ∠ABC=95°. 求机械臂端点C到地面OM的距离. (结果精确到0.1m， 参考数据：
【答案】解：过点B作BD⊥OM于点 D， 过点C作 CM⊥OM 于点 N， 过点 C作 CF⊥BD 于点F， 过点A 作AE⊥BD 于点E，
∵AE⊥BD，BD⊥OM，AO⊥OM，
∴四边形 DEAO 为矩形，
∴∠EAO=90° ， DE=AO=1m，
∵∠OAB=150° ，
∴∠BAE=∠OAB-∠EAO=150°-90°=60° ，
∴∠ABE=30° ，
∵AB=6m，
，
∵∠ABC=95° ，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABE=95°-30°=65° ，
∴∠BCF=25° ，
∵BC=3m，
∴BF=BC·sin∠BCF≈3×0.42=1.26(m)，
∵CM⊥OM， CF⊥BD， BD⊥OM，
∴四边形 CMDF 为矩形，
答：机械臂端点C到地面OM的距离为4.9m.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题首先证明出四边形 DEAO 为矩形，然后利用三角函数计算出BE和BF的长，从而计算出EF的长和DF的长。然后证明出四边形 CMDF 为矩形，即可计算出CM的值。
24．（2023·苍溪模拟）为全面实现“乡村振兴”，某“枇杷合作社”带动村民大量栽种枇杷.现阶段枇杷陆续成熟， “枇杷合作社”为解决果农后顾之忧，于是邀请部分网络平台实现网络销售，每箱枇杷的成本是40元.某平台经过调查发现，当每箱枇杷的售价是80元时，每天可售出100箱.如果降价销售，每降价1元，每天可多售出10箱.
（1）若该平台某天销售枇杷的利润为6000元，且使顾客得到最大优惠，求每箱枇杷的售价；
（2）这批枇杷在市场一售而空，该平台又以同样的价格购进一批枇杷，当每箱枇杷的售价为多少元时，每天可以获得最大利润 最大利润为多少元
【答案】（1）解：设每箱枇杷的售价为x元，
根据题意，得[[100+10×(80-x)](x-40)=6000， 整理得
解得x1=60，x2=70
∵要使顾客得到最大优惠，60<70，
∴x=60，
答：每箱枇杷的售价为60元.
（2）解：设每箱枇杷的售价为a元，销售利润为w元，
依题意得，
∵-10<0，
∴当a=65时，w有最大值，w最大=6250，
答：当每箱的售价为65元时，每天可以获得最大利润，最大利润为6250元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先写出售价和利润之间的函数关系式，变形化简得到一个一元二次方程，求出x的两个值之后，取最小的x值，就是答案；
（2）列出W和a之间的函数关系式，然后判断该函数的图象，此时即可判断出当a=65时，W取最大值。
25．（2023·苍溪模拟）实践探究
（1） 【问题发现】
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以BD为一边作正方形BDEF，点E与点A重合， 易知△ABF ∽△CBE， 则线段AF与CE的数量关系是　 　；
（2） 【拓展研究】
在(1) 的条件下，将正方形BDEF绕点 B旋转至如图2所示的位置，连接BE，CE，AF.请猜想线段 AF和CE 的数量关系，并证明你的结论；
（3） 【结论运用】
在(1) (2)条件下， 若△ABC的面积为8， 当正方形BDEF旋转到C、E、F三点共线时，如图3所示.请求出线段AF的长.
【答案】（1）
（2）证明：
由(1)得：
∵四边形 BDEF 是正方形，
∴EF=BF，∠EFB=90°
∴∠EBF=∠BEF=45°
∵∠ABF=45°-∠ABE=∠CBE
∴△ABF∽△CBE
（3）解：在Rt△ABC中， AB=AC， ∠BAC=90°， △ABC的面积为8， 则AB=4或-4(负值舍去)，
由(1)知，
∵C、E、F三点共线， 设AF=x， 则 如图，
在 Rt△CFB 中， .
由( 得：
∵x＞0，
解得 ，
因此AF的长是。
【知识点】旋转的性质；三角形的综合；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵ △ABF ∽△CBE ， AB=AC ， ∠BAC=90° ，
∴△ABF 和△CBE都是等腰直角三角形，且AF=BF，
设AF=BF=a，则AB=AC=。
因此，
∴
故答案为：（1）。
【分析】（1）题根据两个三角形相似，可以先求出相似比，变形即可确定线段AF与CE的数量关系；
（2）利用旋转定理和三角函数，可以先求出，然后证明出△ABF∽△CBE，即可得出线段 AF和CE 的数量关系；
（3）先利用△ABC的面积为8求出AB、BC的长，然后结合（1）中，利用勾股定理代入计算即可。
26．（2023·苍溪模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于A(6， 0)， B(-2， 0)，交y轴于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2， 连接AC， 点P是直线AC上方抛物线上的一动点， 过点 P作PE∥y轴交AC于点E，过点P作 PF∥AC 交x轴于点 F， 求 的最大值及此时点P坐标；
（3）将抛物线沿y轴方向向下平移，平移后所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DM∥x轴交新抛物线于点M，射线MO交新抛物线于点 N，如果MO=4ON，请写出所有符合条件的点N的坐标.
【答案】（1）解：∵抛物线 交x轴于A(6，0) ， B (-2， 0).
（2）解：延长PE交x轴于点Q，
∵PE∥y轴，
∴PE⊥x轴.
∵当x=0时， y=4，
∴C(0，4) ，
∵PF∥AC，
∴∠PFA=∠CAO.
设直线AC的解析式为y=kx+4，则6k+4=0，
设 则
∴当 1时，取得最大值 此时
（3）解：当点M在x轴的上方时，如图，
过点C作x轴的平行线交抛物线与点G，
∴对称轴为直线x=2，
∴G(4，4).
设M(4，4n)， 则D(0，4n)，
∴平移后的解析式为
∵MO=4ON，
∴N(-1，-n)，
把N(-1，-n)代入 得
当点M在x轴的下方时，如图，
同理可求 综上可知，点N的坐标为 或
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）将A、B点代入抛物线关系式中，联立二元一次方程组求出b、c， 抛物线的表达式即可求出；
（2）利用勾股定理、三角函数等，求出，然后用m来表示，变形为一元二次方程即可求出最大值和P点的坐标；
（3）分点M在x轴的上方和点M在x轴的下方两种情况，分别计算即可。
1 / 1四川省苍溪县2023-2024学年中考数学二模试题
1．（2023·苍溪模拟）-5的绝对值是：
A． B． C．5 D．-5
2．（2023·苍溪模拟）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题.以下关于鱼的剪纸中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是 (　　)
A． B．
C． D．
3．（2023·苍溪模拟）下列运算中， 正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
4．（2023·苍溪模拟）我国古代数学家刘徽利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法.“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵、横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体.如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的左视图是 (　　)
A． B． C． D．
5．（2023·苍溪模拟）下列说法正确的是(　　)
A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查；
B．任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件；
C．数据4， 9， 5， 7的中位数是6；
D．甲、乙两组数据的方差分别是 则乙组数据比甲组数据稳定.
6．（2023·苍溪模拟）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
7．（2023·苍溪模拟）为响应“绿色出行”的号召，张叔叔上班由自驾车改为乘坐公交车.已知张叔叔家距上班地点18km，他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少10km.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的 ，求张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶多少千米 设张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶xkm，则下面所列方程中正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
8．（2023·苍溪模拟）如图， 四边形ABCD的对角线AC平分∠BAD， ED⊥AD， BC⊥AC， 且 则 的值为 (　　)
A． B． C． D．
9．（2023·苍溪模拟）如右图， AB， CE是⊙O的两条直径， D是劣弧BC的中点， 连接BC， DE.若∠ABC=34°，则∠CED的度数为 (　　)
A．26° B．28° C．34° D．56°
10．（2023·苍溪模拟）如图， 已知二次函数 (a，b，c是常数)的图象关于直线x=-1对称， 则下列五个结论： ①abc>0； ②2a-b=0； ③9a-3b+c<0； (m为任意实数)； <0.其中结论正确的个数为(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．（2023·苍溪模拟）将数据0.000000023用科学记数法表示为　 　.
12．（2023·苍溪模拟）已知关于x的一元二次方程 若方程的两个实数根为x1、x2，且( 则m的值为　 　.
13．（2023·苍溪模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数. 与反比例函数 的图象交于A，B两点.当 时， 自变量x的取值范围是　 　.
14．（2023·苍溪模拟）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心、大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F， BC=6， 则BF=　 　.
15．（2023·苍溪模拟）如图所示，AB是半圆O的直径，将直径BA绕点B顺时针旋转45°得对应线段BC，若AB=2，则图中阴影部分的面积是　 　.
16．（2023·苍溪模拟）如图，在矩形ABCD中， AB=6， BC=8， 点M， N分别在边AD， BC上. 沿着直线MN折叠矩形ABCD，点A， B分别落在点E， F处， 且点F在线段CD上(不与两端点重合)， 过点M作MH⊥BC于点H， 连接BF. 已知下列判断： ①MN⊥BF；②△MHN ∽△BCF； ③MN/BF=3/4 ④617．（2023·苍溪模拟） 计算：
18．（2023·苍溪模拟）先化简， 再求值： 其中x满足方程
19．（2023·苍溪模拟）如图， 中， 点D为AB 边中点， 过D 点作 AB 的垂线交 BC于点 E，在直线DE 上截取DF， 使 连接AE、AF、BF.
（1）求证： 四边形AEBF 是菱形；
（2）若 连接CD， 求 CD的长.
20．（2023·苍溪模拟）整理错题是一种优秀的学习习惯和学习方法.为此，某校就这项优秀的学习习惯对部分九年级学生进行了问卷调查.设计的调查问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正情况；答案选项为：A、很少，B、有时，C、常常，D、总是.将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）填空：a=　 　%，b=　 　%， “常常”对应扇形的圆心角度数为　 　；
（2）请你补全条形统计图；
（3）为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中各选出两人，再从四人中选取两位学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位学生恰好组合成功(即“很少”和“总是”的两人为一组)的概率.
21．（2023·苍溪模拟）如图，已知AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D， E是 的中点， AE与BC交于点F， ∠C=2∠EAB.
（1） 求证： AC是⊙O的切线；
（2） 若 求AF的长.
22．（2023·苍溪模拟）如图， 一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于 A(a， 1)，B(- 2， b)两点， 与 x轴相交于点 C.
（1）求反比例函数的表达式；
（2） 若 P(m， 0) 为 x轴上的一动点， 连接 AP， 当△APC的面积为 时，求点 P 的坐标.
23．（2023·苍溪模拟）随着科学技术不断的发展，自动机器人用于生产、生活的技术已日益成熟.如图1，是一款自动焊接机器人，主要从事焊接，切割或热喷涂等工作.如图2，是该自动焊接机器人某次工作状态下的示意图，底座OA与地面垂直且可根据需要进行移动，AB，BC为机械臂， BC=3m， ∠OAB=150°， ∠ABC=95°. 求机械臂端点C到地面OM的距离. (结果精确到0.1m， 参考数据：
24．（2023·苍溪模拟）为全面实现“乡村振兴”，某“枇杷合作社”带动村民大量栽种枇杷.现阶段枇杷陆续成熟， “枇杷合作社”为解决果农后顾之忧，于是邀请部分网络平台实现网络销售，每箱枇杷的成本是40元.某平台经过调查发现，当每箱枇杷的售价是80元时，每天可售出100箱.如果降价销售，每降价1元，每天可多售出10箱.
（1）若该平台某天销售枇杷的利润为6000元，且使顾客得到最大优惠，求每箱枇杷的售价；
（2）这批枇杷在市场一售而空，该平台又以同样的价格购进一批枇杷，当每箱枇杷的售价为多少元时，每天可以获得最大利润 最大利润为多少元
25．（2023·苍溪模拟）实践探究
（1） 【问题发现】
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以BD为一边作正方形BDEF，点E与点A重合， 易知△ABF ∽△CBE， 则线段AF与CE的数量关系是　 　；
（2） 【拓展研究】
在(1) 的条件下，将正方形BDEF绕点 B旋转至如图2所示的位置，连接BE，CE，AF.请猜想线段 AF和CE 的数量关系，并证明你的结论；
（3） 【结论运用】
在(1) (2)条件下， 若△ABC的面积为8， 当正方形BDEF旋转到C、E、F三点共线时，如图3所示.请求出线段AF的长.
26．（2023·苍溪模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于A(6， 0)， B(-2， 0)，交y轴于点C.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2， 连接AC， 点P是直线AC上方抛物线上的一动点， 过点 P作PE∥y轴交AC于点E，过点P作 PF∥AC 交x轴于点 F， 求 的最大值及此时点P坐标；
（3）将抛物线沿y轴方向向下平移，平移后所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DM∥x轴交新抛物线于点M，射线MO交新抛物线于点 N，如果MO=4ON，请写出所有符合条件的点N的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】绝对值及有理数的绝对值
【解析】
-5的绝对值为5
故答案选C
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A不符合题意；
B是轴对称图形，也是中心对称图形，故B不符合题意；
C是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D是轴对称图形，不是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 。按照轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析即可选择出正确的选项。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；整数指数幂的运算
【解析】【解答】解： 对A选项，，故A错误；
对B选项，，故B正确；
对C选项，，故C错误；
对D选项，，故D错误；
故答案为：B.
【分析】依次根据“括号前是符号，去括号后括号里面的符号要改变”、“同底数幂相除，底数不变、指数相减“、“完全平方公式”分别进行计算，即可得结果.
4．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看，可知下面正方形中有一个圆，故A选项符合题意；
故答案为：A.
【分析】直接根据左边观察的图形的特点进行判断即可.
5．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；中位数；方差；分析数据的波动程度；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A选项中，载人飞船的零件，应该全面调查，故A错误；
B选项中， 任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件，故B错误；
C选项中，从小到大排列为4、5、7、9，中位数为5和7的平均数6，故C正确；
D选项中，甲的数据比乙的数据更稳定，故D错误；
故答案为：C.
【分析】本题根据全面调查和抽样调查的选择方法、必然事件的判定、中位数和方差的概念，依次判断各选项中的命题的真假，即可得结果.
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
计算①，不等式左右两边同时加1，得x≤2；
计算②，不等式左右两边同时减3，得2x＞-2；然后不等式左右两边同时除以2，得x＞-1；
综上，得-1＜x≤2.
故答案为：A。
【分析】本题先分别求出不等式组中两个不等式的x的取值范围，然后综合得出不等式组中x的取值，然后在四个选项中即可找出正确选项。
7．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解： 张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶xkm，∴ 乘公交车所用的时间是；
而他自驾车平均每小时行驶的速度是（x+10）km，∴自驾车所用时间是；
因此 。
故答案为：B。
【分析】本题首先根据条件“张叔叔乘公交车上班平均每小时行驶xkm”，可以列出乘公交车所用时间；而条件“ 他乘公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程少10km ”，即自驾车的速度比公交车的速度每小时快10km，此时可以列出自驾车所用时间，最后根据“ 乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的 ”即可列出方程式。
8．【答案】C
【知识点】角平分线的概念；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵AC平分∠BAD，ED⊥AD，
∴∠DAE=∠CAB，EF=ED，
∵∠EFB=90°，∠ABE=30°，
∴BE=2EF，
∵BC⊥AC，
∴∠BCA=∠EDA=90°
∵
∴，即
∵∠EAD=∠BAC，∠ADE=∠ACB
∴△ADE∽△ACB，
∴，
故答案为：C.
【分析】利用角平分线的性质和直角三角形的性质，确定相关线段的比例关系；利用相似三角形的判定定理，证明△ADE∽△ACB，并求解AD与AC的比例关系.
9．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OD、BE。
∵ ∠ABC=34° ，OB=OC，∴∠BCO=34° ，∠COA=∠BOE=34°+34°=68°，
∵OB=OE，∴∠BEO=∠OBE=（180°-68°）÷2=56°，
∵ D是劣弧BC的中点 ，∴∠BED=∠CED=56°÷2=28°。
故答案为：B。
【分析】本题首先利用等腰三角形性质和三角形外角和定理以及对顶角相等，计算出∠COA=∠BOE=68°，然后利用三角形内角和定理和等腰三角形性质，计算出∠BEO=∠OBE=56°，最后利用“同一个圆内，等弧对应的圆周角相等”，即可计算出答案。
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象可知， a <0，
对称轴x=-1=，∴b <0，
二次函数交y轴于上半轴，∴c >0，
因此 abc >0，故①正确．
∵抛物线的对称轴为直线 x =-1，即=-1，
∴2a- b =0，故②正确．
∵抛物线的对称轴为直线 x =-1，且 x =1时，函数值小于零，1点关于-1点的对称点是-3，
∴ x =-3时，函数值小于零，则9a-3b+ c <0，故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线 x =-1，且开口向下，所以当 x = m 时，am2+ bm + c ≤ a - b + c ，
即am2-a+ bm + b ≤0，
所以 a (m2-1)+ b ( m +1)≤0，故④正确．
由函数图象可知，当 x =1时，函数值小于零，
则 a + b + c <0，
又因为 b =2a，所以3a+ c <0，故⑤正确．
综上五个都是正确的。
故答案为： D .
【分析】本题可以根据函数图象的开口方向、对称轴以及与y轴的交点位置，即可判断出a、b、c的正负性和2a和b的关系即可判断①和②的正确，然后利用对称轴的特点找到x=-3与x=1对应的函数值是相同的，即可判断③的正确；同样利用对称轴的特点，将方程变形即可判断④是正确的，最后利用函数图象与特定值x=1是函数的正负性，变形即可判断⑤是正确的。
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 0.000000023=
故答案为：。
【分析】科学记数发的表示形式是，其中，n是整数。本题首先判断a=2.3，然后确定n=-8，列式表示即可。
12．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解： 变形为
∵ x1、x2 是一元二次方程的两个实数根，
∴x1+x2=4，x1x2=m
∴就变形为m-4m+m2=10，整理得（m+2）（m-5）=0
解得m=-2或5.
当m=-2时，原一元二次方程为，有两个实数根；
当m=5时，原一元二次方程为，没有实数根；
∴m的值为-2.
【分析】本题先将变形，然后利用根与系数的关系进行替换，最后求出m有两个值。此时要将m的两个值分别代入一元二次方程中进行验证，最后即可得出m的值是-2.
13．【答案】x<-1或0【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ ，∴
当x＞0时，变形为x2-2x-3＜0，即（x+1）（x-3）＜0，解得0当x＜0时，变形为x2-2x-3＞0，即（x+1）（x-3）＞0，解得x＜-1；
因此自变量x的取值范围是x<-1或0故答案为：x<-1或0【分析】本题可以画出图，从图上观察，因为 ，意味着一次函数在反比例函数的上方，然后找到自变量x的取值范围即可。也可以列出不等式方程，分两种情况x＞0和x＜0分别计算化简，最后求出自变量的取值范围。
14．【答案】6
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：由作法得BE=BC=6，BF平分∠CBE，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC
∴∠F=∠CBF
∴∠F=∠EBF=30°，
∴BE=FE，
过E点作EH⊥BF于H，如图，则BH=FH，
在Rt△BEH中，
∵，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】利用基本作图得到BE=BC=6，BF平分∠CBE，则∠CBF=∠EBF=30°，再根据平行四边形的性质和平行线的性质证明∠F=∠EBE=30°，所以BE=FE，过E点作EH⊥BF于H，如图，则BH=FH，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出BH，从而得到BF的长.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：连接OD，如图所示。
∵∠DBO=45°，且OD=OB，∴∠DOB=∠DOA=90°，
∴OD=OB=OA=2÷2=1
S扇形ABC=，
S扇形AOD=，
S△BOD=，
∴ 图中阴影部分的面积=S扇形ABC-S扇形AOD-S△BOD= 12π-14π-12=14π-12
故答案为：。
【分析】本题从图中可以发现，阴影部分的面积就是扇形ABC的面积减去扇形AOD的面积和△BOD的面积，然后利用扇形面积计算公式和三角形面积计算公式分别求出，最后计算化简即可。
16．【答案】①②③④
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图1，由折叠可知MN⊥BF，①正确；
∴∠BOM=90°
∵MH⊥BC，
∴∠BHP=90°=∠BOM
∵∠BPH=∠OPM，
∴∠CBF=∠NMH
∵∠MHN=∠C=90°
∴MHN∽△BCF，②正确：
∵△MHN∽△BCF，
∴，③正确；
当F与C重合时，MN=6，此时MN最小，
当F与D重合时，如图，此时MN最大，
由勾股定理得：，
∵OB=OD=5，，即，
∴
∵AD//BC，
∴∠MDO=∠OBN
在△MOD和△NOB中，
∴△DOM≌△BON(ASA)
∴OM=ON，
∴
∵点F在线段CD上(不与两端点重合)，
∴折痕MN的长度的取值范围为；
综上，①②③④都是正确的，
故答案为：①②③④.
【分析】根据折叠的性质可判定①正确；根据矩形的性质和三角形的内角和定理即可判定②正确；根据MN最大值和最小值时F的位置可判定③正确；求得tan∠FNC的值，可判定④正确；从而求解.
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题首先根据“1的任何次幂都得1”、tan45°=1、绝对值的非负性先进行变形，然后再进行计算即可。
18．【答案】解：原式
∴原式
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】本题无需求出x的具体值。首先对原式进行化简，然后对方程进行变形，最后代入到原式中化简到最后的值进行计算即可。
19．【答案】（1）证明：∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DE=DF，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴四边形AEBF是菱形；
（2）解：
∵四边形AEBF是菱形，
∴AE∥BF， AE=BF=BE=5，
∴∠AEC=∠EBF，
∵∠ACB=90° ，
∵AC=4，
∵D是AB的中点， ∠ACB=90° ，
∴CD= AB=2
【知识点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据菱形判定方法“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，首先判定四边形AEBF是平行四边形，然后根据EF⊥AB即可得出证明；
（2）结合（1）中的证明结果，放到直角三角形ACE中利用勾股定理先求出CE的长，然后放到直角三角形ABC中求出BC和AB的长，最后利用“直角三角形斜边中线等于斜线的一半”即可求出CD的长。
20．【答案】（1）12；36；108°
（2）解：“常常”的人数有： 200×30%=60 (人)，
补全条形统计图如图所示：

（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的情况数，其中所选两位同学恰好组合成功的有8种，
则所选两位同学恰好组合成功(即“很少”和“总是”的两人为一组)的概率是
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率的简单应用
【解析】【解答】（1）解：44÷22%=200人，
a=24÷200×100%=12%；b=72÷200×100%=36%；360×30%=108°
故答案为：（1）12；36；108°。
【分析】（1）首先利用“有时”的22%占比和人数44人，即可计算出总人数，然后分别根据“很少”的24人、“总是”的72人即可计算出a、b的值，因为圆是360°，因此“常常”对应的圆心角即可计算得出；（2）根据（1）题的总人数200人和“常常”的占比30%，可以计算出“常常”的人数，然后补充条形统计图即可；（3）先画出树状图，然后从图上观察计算即可。
21．【答案】（1）证明：连接AD， 如图所示，
∵E是 的中点，
∵∠ACB=2∠EAB，
∴∠ACB=∠DAB，
∵AB 是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°， ∠DAC+∠ACB =90°，
∴∠DAC+∠DAB=90°， 即∠BAC=90°，
∴AC⊥AB，
∵AB是圆的直径，
∴AC是⊙O的切线。
（2）解：在Rt△ACD中，
∵AC 是⊙O的切线，
∴∠CAE+∠BAE=90°，
∵∠EAD+∠AFD=90°， ∠EAD=∠EAB，
∴∠CAE=∠AFD， ∴CF=AC=12，
∴DF=4，
【知识点】切线的判定与性质；已知余弦值求边长
【解析】【分析】（1）首先根据“同一个圆内，等弧对应的圆周角相等”推断出进而证明出∠ACB=∠DAB，然后利用“ 过直径的圆内接三角形是直角三角形 ”证明出∠ADB=90°，随后逐步推出∠BAC=90°，即可得出证明结论；
（2）首先利用余弦值求出CD的长，然后推出∠CAE=∠AFD，进而得出CF=AC=12，DF=4，然后利用勾股定理求出AD的长和AF的长即可。
22．【答案】（1）解：的图象经过 A(a，1)
解得：a=4
把(4， 1) 代入 得k=4
∴反比例函数的表达式为
（2）解：当y=0时， 得
解得：x=2
∴点 C坐标为(2，0)
∴PC=|m-2|
解得：m=7或m=-3
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将 A(a， 1) 代入一次函数中，即可求出a的值，然后再次代入反比例函数中，即可求出k的值，此时反比例函数的表达式即可写出；（2）先求出C点的坐标，然后△APC可以看做是底为|m-2|、高为1的三角形，根据三角形面积计算公式列式计算即可。
23．【答案】解：过点B作BD⊥OM于点 D， 过点C作 CM⊥OM 于点 N， 过点 C作 CF⊥BD 于点F， 过点A 作AE⊥BD 于点E，
∵AE⊥BD，BD⊥OM，AO⊥OM，
∴四边形 DEAO 为矩形，
∴∠EAO=90° ， DE=AO=1m，
∵∠OAB=150° ，
∴∠BAE=∠OAB-∠EAO=150°-90°=60° ，
∴∠ABE=30° ，
∵AB=6m，
，
∵∠ABC=95° ，
∴∠CBF=∠ABC-∠ABE=95°-30°=65° ，
∴∠BCF=25° ，
∵BC=3m，
∴BF=BC·sin∠BCF≈3×0.42=1.26(m)，
∵CM⊥OM， CF⊥BD， BD⊥OM，
∴四边形 CMDF 为矩形，
答：机械臂端点C到地面OM的距离为4.9m.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题首先证明出四边形 DEAO 为矩形，然后利用三角函数计算出BE和BF的长，从而计算出EF的长和DF的长。然后证明出四边形 CMDF 为矩形，即可计算出CM的值。
24．【答案】（1）解：设每箱枇杷的售价为x元，
根据题意，得[[100+10×(80-x)](x-40)=6000， 整理得
解得x1=60，x2=70
∵要使顾客得到最大优惠，60<70，
∴x=60，
答：每箱枇杷的售价为60元.
（2）解：设每箱枇杷的售价为a元，销售利润为w元，
依题意得，
∵-10<0，
∴当a=65时，w有最大值，w最大=6250，
答：当每箱的售价为65元时，每天可以获得最大利润，最大利润为6250元.
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）先写出售价和利润之间的函数关系式，变形化简得到一个一元二次方程，求出x的两个值之后，取最小的x值，就是答案；
（2）列出W和a之间的函数关系式，然后判断该函数的图象，此时即可判断出当a=65时，W取最大值。
25．【答案】（1）
（2）证明：
由(1)得：
∵四边形 BDEF 是正方形，
∴EF=BF，∠EFB=90°
∴∠EBF=∠BEF=45°
∵∠ABF=45°-∠ABE=∠CBE
∴△ABF∽△CBE
（3）解：在Rt△ABC中， AB=AC， ∠BAC=90°， △ABC的面积为8， 则AB=4或-4(负值舍去)，
由(1)知，
∵C、E、F三点共线， 设AF=x， 则 如图，
在 Rt△CFB 中， .
由( 得：
∵x＞0，
解得 ，
因此AF的长是。
【知识点】旋转的性质；三角形的综合；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵ △ABF ∽△CBE ， AB=AC ， ∠BAC=90° ，
∴△ABF 和△CBE都是等腰直角三角形，且AF=BF，
设AF=BF=a，则AB=AC=。
因此，
∴
故答案为：（1）。
【分析】（1）题根据两个三角形相似，可以先求出相似比，变形即可确定线段AF与CE的数量关系；
（2）利用旋转定理和三角函数，可以先求出，然后证明出△ABF∽△CBE，即可得出线段 AF和CE 的数量关系；
（3）先利用△ABC的面积为8求出AB、BC的长，然后结合（1）中，利用勾股定理代入计算即可。
26．【答案】（1）解：∵抛物线 交x轴于A(6，0) ， B (-2， 0).
（2）解：延长PE交x轴于点Q，
∵PE∥y轴，
∴PE⊥x轴.
∵当x=0时， y=4，
∴C(0，4) ，
∵PF∥AC，
∴∠PFA=∠CAO.
设直线AC的解析式为y=kx+4，则6k+4=0，
设 则
∴当 1时，取得最大值 此时
（3）解：当点M在x轴的上方时，如图，
过点C作x轴的平行线交抛物线与点G，
∴对称轴为直线x=2，
∴G(4，4).
设M(4，4n)， 则D(0，4n)，
∴平移后的解析式为
∵MO=4ON，
∴N(-1，-n)，
把N(-1，-n)代入 得
当点M在x轴的下方时，如图，
同理可求 综上可知，点N的坐标为 或
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）将A、B点代入抛物线关系式中，联立二元一次方程组求出b、c， 抛物线的表达式即可求出；
（2）利用勾股定理、三角函数等，求出，然后用m来表示，变形为一元二次方程即可求出最大值和P点的坐标；
（3）分点M在x轴的上方和点M在x轴的下方两种情况，分别计算即可。
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