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2024年四川省成都市成华区中考二诊数学试题
1．（2024九下·成华模拟）数π，，0，中，最小的数是（　　）
A．π B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴数π，，0，中，最小的数是．
故选：B．
【分析】
正数都大于0，负数都小于0；负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．（2024九下·成华模拟）由一个长方体和一个圆柱组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图，即从上面看下边是一个矩形，矩形的内部是一个圆，
故答案为：D．
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据图形的组合，构思分析从上面看到的图形的形状，即可解答．A选项的图形是从下往上看到的图形形状；B选项的图形是主视图看到的图形形状；C选项的图形是左视图看到的图形形状。
3．（2024九下·成华模拟）经国家统计局初步核算，2023年我国国内生产总值1260582亿元，按不变价格计算，比上年增长5.2%．其中数据“1260582亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解；1260582亿．
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为，为整数）的形式，的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．本题首先确定a=1.260582，然后再确定n=14，即可选出答案。
4．（2024九下·成华模拟）下列运算中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】A选项根据幂的乘方计算即可；B选项根据合并同类项法则计算即可；C选项根据完全平方公式计算即可；D选项根据同底数幂的除法法则计算即可。
5．（2024九下·成华模拟）为了解某班学生2023年5月27日参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取5名同学进行调查．经统计，他们这天的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为65，60，75，60，80．这组数据的众数为（　　）
A．65 B．60 C．75 D．80
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：因为60出现的次数最多，所以这组数据的众数为：60.
故答案为：B。
【分析】根据众数的定义进行选择即可。
6．（2024九下·成华模拟）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：
为等边三角形，
，
是的一个外角，，
，
，
，
直线，
，
．
故答案为：C。
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质。首先根据等边三角形性质得出，再根据三角形外角定理和平行线的性质，逐步推算出，最后计算可得的度数．
7．（2024九下·成华模拟）如图，内接于，是的直径，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示
由是的直径可得出，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论。连接之后，根据“直径所对的圆周角是”得，从而求出，然后根据“同弧所对的圆周角相等”得，计算即可得到答案．
8．（2024九下·成华模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是(　　)
A．b＞0
B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图象上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据图像知，a＜0，因此当时，，
故B选项结论正确，不符合题意，
，
，
故A选项结论正确，不符合题意；
由题可知二次函数对称轴为，
，
，
故B选项结论正确，不符合题意；
根据图像可知是关于的方程的一个根，
故选项结论正确，不符合题意，
若点，在二次函数的图象上，
当时，，
故D选项结论不正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】本题根据二次函数的图象、性质以及与x轴的交点，可以首先判断出ABC选项是正确的，D选项需要考虑x1和x2是在对称轴一侧还是在对称轴两侧，因此是错误的。
9．（2024九下·成华模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】先根据提公因式法因式分解，再根据公式法进行因式分解即可求解。
10．（2024九下·成华模拟）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为　 　°．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是，
故答案为：．
【分析】本题首先知道，多边形的外角和是360°，因此正五边形的外角和也是360°，并且正五边形有5个外角，因此计算即可得到的度数，也就是旋转的角度．
11．（2024九下·成华模拟）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移3个单位长度得到直线，
将点代入得：，
故答案为：5.
【分析】根据平移的规律先求出直线，再将点代入计算求解即可。
12．（2024九下·成华模拟）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是　 　．
【答案】20
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设良马要x天追上劣马，根据题意得
240x=150（x+12）
解之：x=20.
故答案为：20.
【分析】此题是行程问题中的追击问题，利用良马的速度×追击的时间=劣马的速度×（追击的时间+12），据此设未知数，列方程，求出方程的解.
13．（2024九下·成华模拟）如图，在中，，，交于点O．以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；作射线交于点P．若的中点为点M，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图知，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的中点为点M，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：2．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、角平分线的尺规作图和定义。由作图可以得出，平分，可得，然后根据平行线的性质“两直线平行、内错角相等”得到，因此，从而可计算出，最后根据三角形中位线定理即可得到结论．
14．（2024九下·成华模拟）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）．
；
（2）解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）按照绝对值的非负性、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数的性质和结果进行运算即可；
（2）分别解出不等式①和②的解，然后综合确定不等式组的解集即可．
15．（2024九下·成华模拟）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学一门独立课程．为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题：
（1）班学生共有 人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为 ；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有 人；
（2）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
【答案】（1）50；；150
（2）解：列表如下：
男 女 女 女
男
（男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男）
（女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，女）
（女，女）
女 （女，男） （女，女） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中所选同学中有男生的结果有：
（男，女），（男，女），（男，女），（女，男），（女，男），（女，男），共6种，
∴所选同学中有男生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解： 9.1班学生共有（人）．
扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为．
9.1班参与“做饭”的人数为（人），
∴估计该校初中学生中参与“做饭”的人数约有（人）．
故答案为：50；；150．
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体。
（1）用条形统计图中“刷碗”的人数除以扇形统计图中“刷碗”的百分比可得9.1班的学生人数；用乘以“洗衣”的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数；求出9.1班参与“做饭”的人数，根据用样本估计总体，用1500乘以“做饭”的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及所选同学中有男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
16．（2024九下·成华模拟）图1是一款手机支架，由托板、支撑板和底座构成，图2是手机放置在托板上后侧面的截面图．量得托板长为，支撑板长为，手机长为，，求手机顶端A到底座的距离的长（结果精确到）．参考数据：．
【答案】解：如图，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N，
由题意得
∴四边形是矩形，
∴
由题意可知，，
在中，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
因此点A到直线的距离约为．
【知识点】平行线的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】利用直角三角形的边角关系以及三角函数值，可以求出，即可求出点A到直线DE的距离。
17．（2024九下·成华模拟）如图，为的直径，C是下半圆弧的中点，D为半径（除端点外）上一点，的延长线交于点E，过点E作的切线交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径及的值．
【答案】（1）证明：连接，如图，
∵点C是下半圆弧的中点，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴。
（2）解：设的半径为r，则，，在中，，
解得，，
当r=2时，OD=7-2=5，此时OD＞OB，明显不符合条件，因此r=5.
∴，，
设，则，
在中，，
解得，
即，
∴．
因此的半径是5，的值是．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理和解直角三角形．
（1）连接之后，根据垂径定理得到，然后根据切线的性质得到，最后利用角度变换推出，即可得到；
（2）先在中利用勾股定理计算并验证得出r=5，然后得到，，接着在中利用勾股定理列式得出，最后根据正切的定义求解．
18．（2024九下·成华模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若C为反比例函数图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足，求点C的坐标．
（3）若点P在反比例函数图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标．
【答案】（1）解：将代入得，，解得，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴反比例函数的解析式为。
（2）解：由题意知，分两种情况求解，①如图1，当点C在A点下方时，
图1
∵，，
∴点C为中点，
∴点C纵坐标为，
当时，，
解得，，
∴C；
②如图2，当C在A点上方时，作轴于，于，
∵，，
∴，即，解得，
当时，，
解得，，
∴C，
综上所述，点C坐标为或．
（3）解：当时，，即，如图3，
①当为平行四边形的边时，是平行四边形，
则，即，
解得，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形，
∵，， Q点纵坐标为0，
∴对角线中点的纵坐标相同，即，
解得，，
当 时，，
解得，
∴．
综上所述，符合条件的点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先将A点的坐标代入一次函数中求出a值，然后再用待定系数法将A点的坐标代入求出反比例函数解析式即可；
（2）分两种情况，即点C在A点下方时和C在A点上方时，分别计算解出点C坐标即可；
（3）分两种情况进行解答，①当为平行四边形的边时，是平行四边形，②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形，分别求出点P坐标即可．
19．（2024九下·成华模拟）若m、n满足，则　 　．
【答案】16
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：16
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法结合题意即可求解。
20．（2024九下·成华模拟）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；位似变换
【解析】【解答】解：如图，连接，
正方形与四边形是位似图形，
四边形是正方形，
，
∴是四边形的外接圆直径，
正方形的边长为4，，
，
，
四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形的边长为4和位似比求出，然后利用勾股定理求出的长度，最后即可得出四边形的外接圆半径的长度。
21．（2024九下·成华模拟）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴则PQ的最小值为，
故答案为：．
【分析】
如图所示，设PQ交AC于点O，由于平行四边形的对角线互相平分，则PQ=2OP，显然当OP垂直BC时PQ长度最小，此时可利用两角对应相等两三角形相似来证明，再利用相似比求OP的最小值即可．
22．（2024九下·成华模拟）数学综合与实践活动小组用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接和与分别相交于点P，O，Q．若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；四边形的综合；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设，，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
四条，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题证明并利用和，可以求出，然后利用勾股定理求出BC和AQ的长，即可得出AC、OA、OQ的长度，然后再利用正方形的特点和全等三角形的特点，可得，然后根据正方形的性质求出，即可得出答案．
23．（2024九下·成华模拟）若点的坐标满足其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：双曲线上存在“好点”，
，
①②得：，
，
，
，
整理得：，
，
．
故答案为：．
【分析】本题首先根据“好点”的定义列出方程组，然后变形得到关于x和k的二元一次方程，继续变形为抛物线方程，根据抛物线方程的特点即可求出k的取值范围。
24．（2024九下·成华模拟）某校为落实立德树人的根本任务，积极探索“五育并举，融合育人”的育人途径，计划组织八年级师生租用客车到成都大熊猫基地开展跨学科主题研学活动．已知每辆60座客车的租费是45座客车租费的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆．
（1）问每辆45座客车租费和每辆60座客车租费分别是多少元？
（2）该校八年级师生共有400人，若只租用同一种客车，应该租用哪种客车合算？
【答案】（1）解：设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是元，由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每辆45座客车租费是400元，每辆60座客车租费是500元。
（2）解：∵，，∴租用45座客车9辆，租费为（元），
租用60座客车7辆，租费为（元），
∵，
∴租用60座客车合算．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）本题首先用分式分别表示出60座客车的数量和45座客车的数量，根据花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆即可列出分式方程，解方程即可；
（2）求出租用45座客车9辆的租费和租用60座客车7辆的租费，再比较即可．
25．（2024九下·成华模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于点B，C（点B在点C的左边）．
（1）求点A的坐标；
（2）作点B关于x轴的对称点，若以点A，，C为顶点的三角形为直角三角形，求a的值；
（3）我们把平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．若直线）与抛物线所围成的封闭图形内部（不包含边界）的格点数有且只有6个，请直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，即ax+2a=0，
∵a＞0，∴，
∴。
（2）解：当时，解得或，
∴，
∵与B关于x轴对称，
∴，
∴，
①当为斜边时，，
解得或（舍去）；
②当为斜边时，，
解得或（舍）；
③当为斜边时，，
此时a无解；
综上所述：a的值为或1。
（3）解：如图：当直线经过点时，，此时有5个格点；
当直线经过点时，，此时有6个格点；
当时，此时有6个格点；
综上所述：或时，有6个格点．
【知识点】勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊三角形存在性问题；数形结合
【解析】【分析】（1）将代入y=a+2a（a＞0）中，求出x的值即可求出A点坐标；
（2）分别求出、C坐标，然后利用勾股定理，再分为斜边、为斜边、为斜边三种情况，建立方程求a的值即可；
（3）画出图象，结合图象，当直线经过点时，，此时有5个格点；当直线经过点时，，此时有6个格点；当时，此时有6个格点；即可求或，有6个格点．
26．（2024九下·成华模拟）在矩形中，，，点E从点A出发，沿边，向点C运动，点A，D关于直线的对称点分别为点，，连接，，．
（1）【初步感知】如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）【深入探究】当点E运动到中点时，连接，求的长；
（3）【拓展运用】当直线恰好经过点C时，求的长．
【答案】（1）解：如图1，连接，
设，则，由对称性得，
四边形是矩形，
，，，
在中，，
由对称性得，
，
在中，，
，
解得，
即。
（2）解：如图1，连接，交于点，由对称性得，
点是中点，
，
在中，，
在中，，，
，，
，
，
，
由对称性得，
，
，
，
，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
。
（3）解：分以下两种情况讨论：
①如图，当点在边上时，恰好经过点，
由对称性得，，
，
在中，，
在矩形中，，，
，，
在和中，
，
，
；
②如图3，当点在边上时，恰好经过点，
由对称性得，，，，
，
在中，，
，
恰好经过点，
，
在矩形中，，
，
，
，
，
在和中，，，
，
，
，
解得，
即，
综上所述，的长为或．
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）连接，由对称性得，利用勾股定理求出，最后列出方程，即可可得出答案；
（2）连接之后，由对称性得，随后证明，得出即可求出的长，最后由三角形中位线定理可得出答案；
（3）分当点在边上、当点在边上两种情况，由矩形的性质，相似三角形的性质及勾股定理可得出答案．
1 / 12024年四川省成都市成华区中考二诊数学试题
1．（2024九下·成华模拟）数π，，0，中，最小的数是（　　）
A．π B． C．0 D．
2．（2024九下·成华模拟）由一个长方体和一个圆柱组成的几何体如图所示，则这个几何体的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·成华模拟）经国家统计局初步核算，2023年我国国内生产总值1260582亿元，按不变价格计算，比上年增长5.2%．其中数据“1260582亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·成华模拟）下列运算中，计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·成华模拟）为了解某班学生2023年5月27日参加体育锻炼的情况，从该班学生中随机抽取5名同学进行调查．经统计，他们这天的体育锻炼时间（单位：分钟）分别为65，60，75，60，80．这组数据的众数为（　　）
A．65 B．60 C．75 D．80
6．（2024九下·成华模拟）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·成华模拟）如图，内接于，是的直径，若，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·成华模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图像过点（2，0），下列结论错误的是(　　)
A．b＞0
B．a+b＞0
C．x＝2是关于x的方程ax2+bx＝0（a≠0）的一个根
D．点（x1，y1），（x2，y2）在二次函数的图象上，当x1＞x2＞2时，y2＜y1＜0
9．（2024九下·成华模拟）分解因式：　 　．
10．（2024九下·成华模拟）以正五边形的顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新五边形的顶点落在直线上，则正五边形旋转的度数至少为　 　°．
11．（2024九下·成华模拟）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为　 　．
12．（2024九下·成华模拟）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．” 其题意为：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马要几天追上劣马？”答：良马追上劣马需要的天数是　 　．
13．（2024九下·成华模拟）如图，在中，，，交于点O．以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点E，F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G；作射线交于点P．若的中点为点M，则的长为　 　．
14．（2024九下·成华模拟）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
15．（2024九下·成华模拟）《义务教育课程方案》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》正式发布，劳动课正式成为中小学一门独立课程．为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅尚不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题：
（1）班学生共有 人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为 ；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有 人；
（2）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
16．（2024九下·成华模拟）图1是一款手机支架，由托板、支撑板和底座构成，图2是手机放置在托板上后侧面的截面图．量得托板长为，支撑板长为，手机长为，，求手机顶端A到底座的距离的长（结果精确到）．参考数据：．
17．（2024九下·成华模拟）如图，为的直径，C是下半圆弧的中点，D为半径（除端点外）上一点，的延长线交于点E，过点E作的切线交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径及的值．
18．（2024九下·成华模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若C为反比例函数图象上一点，直线AC与x轴交于点D，且满足，求点C的坐标．
（3）若点P在反比例函数图象上，点Q在x轴上，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点P的坐标．
19．（2024九下·成华模拟）若m、n满足，则　 　．
20．（2024九下·成华模拟）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的边长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆半径为　 　．
21．（2024九下·成华模拟）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为　 　．
22．（2024九下·成华模拟）数学综合与实践活动小组用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，得到正方形和正方形，连接和与分别相交于点P，O，Q．若，则的值是　 　．
23．（2024九下·成华模拟）若点的坐标满足其中，t为常数，则称点M为“好点”．若双曲线上存在“好点”，则k的取值范围是　 　．
24．（2024九下·成华模拟）某校为落实立德树人的根本任务，积极探索“五育并举，融合育人”的育人途径，计划组织八年级师生租用客车到成都大熊猫基地开展跨学科主题研学活动．已知每辆60座客车的租费是45座客车租费的倍，花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆．
（1）问每辆45座客车租费和每辆60座客车租费分别是多少元？
（2）该校八年级师生共有400人，若只租用同一种客车，应该租用哪种客车合算？
25．（2024九下·成华模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于点B，C（点B在点C的左边）．
（1）求点A的坐标；
（2）作点B关于x轴的对称点，若以点A，，C为顶点的三角形为直角三角形，求a的值；
（3）我们把平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．若直线）与抛物线所围成的封闭图形内部（不包含边界）的格点数有且只有6个，请直接写出a的取值范围．
26．（2024九下·成华模拟）在矩形中，，，点E从点A出发，沿边，向点C运动，点A，D关于直线的对称点分别为点，，连接，，．
（1）【初步感知】如图1，当点落在的延长线上时，求的长；
（2）【深入探究】当点E运动到中点时，连接，求的长；
（3）【拓展运用】当直线恰好经过点C时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵，
∴数π，，0，中，最小的数是．
故选：B．
【分析】
正数都大于0，负数都小于0；负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：俯视图，即从上面看下边是一个矩形，矩形的内部是一个圆，
故答案为：D．
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据图形的组合，构思分析从上面看到的图形的形状，即可解答．A选项的图形是从下往上看到的图形形状；B选项的图形是主视图看到的图形形状；C选项的图形是左视图看到的图形形状。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解；1260582亿．
故答案为：C．
【分析】科学记数法的表示形式为，为整数）的形式，的绝对值与小数点移动的位数相同是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．本题首先确定a=1.260582，然后再确定n=14，即可选出答案。
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】A选项根据幂的乘方计算即可；B选项根据合并同类项法则计算即可；C选项根据完全平方公式计算即可；D选项根据同底数幂的除法法则计算即可。
5．【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：因为60出现的次数最多，所以这组数据的众数为：60.
故答案为：B。
【分析】根据众数的定义进行选择即可。
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：
为等边三角形，
，
是的一个外角，，
，
，
，
直线，
，
．
故答案为：C。
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质。首先根据等边三角形性质得出，再根据三角形外角定理和平行线的性质，逐步推算出，最后计算可得的度数．
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，如图所示
由是的直径可得出，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】本题主要考查了圆周角定理及其推论。连接之后，根据“直径所对的圆周角是”得，从而求出，然后根据“同弧所对的圆周角相等”得，计算即可得到答案．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：根据图像知，a＜0，因此当时，，
故B选项结论正确，不符合题意，
，
，
故A选项结论正确，不符合题意；
由题可知二次函数对称轴为，
，
，
故B选项结论正确，不符合题意；
根据图像可知是关于的方程的一个根，
故选项结论正确，不符合题意，
若点，在二次函数的图象上，
当时，，
故D选项结论不正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】本题根据二次函数的图象、性质以及与x轴的交点，可以首先判断出ABC选项是正确的，D选项需要考虑x1和x2是在对称轴一侧还是在对称轴两侧，因此是错误的。
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：
【分析】先根据提公因式法因式分解，再根据公式法进行因式分解即可求解。
10．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵五边形是正五边形，
∴，
∴新五边形的顶点落在直线上，则旋转的最小角度是，
故答案为：．
【分析】本题首先知道，多边形的外角和是360°，因此正五边形的外角和也是360°，并且正五边形有5个外角，因此计算即可得到的度数，也就是旋转的角度．
11．【答案】5
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移3个单位长度得到直线，
将点代入得：，
故答案为：5.
【分析】根据平移的规律先求出直线，再将点代入计算求解即可。
12．【答案】20
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设良马要x天追上劣马，根据题意得
240x=150（x+12）
解之：x=20.
故答案为：20.
【分析】此题是行程问题中的追击问题，利用良马的速度×追击的时间=劣马的速度×（追击的时间+12），据此设未知数，列方程，求出方程的解.
13．【答案】2
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；三角形的中位线定理；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由作图知，平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的中点为点M，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：2．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、角平分线的尺规作图和定义。由作图可以得出，平分，可得，然后根据平行线的性质“两直线平行、内错角相等”得到，因此，从而可计算出，最后根据三角形中位线定理即可得到结论．
14．【答案】解：（1）．
；
（2）解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）按照绝对值的非负性、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数的性质和结果进行运算即可；
（2）分别解出不等式①和②的解，然后综合确定不等式组的解集即可．
15．【答案】（1）50；；150
（2）解：列表如下：
男 女 女 女
男
（男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男）
（女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，女）
（女，女）
女 （女，男） （女，女） （女，女）
共有12种等可能的结果，其中所选同学中有男生的结果有：
（男，女），（男，女），（男，女），（女，男），（女，男），（女，男），共6种，
∴所选同学中有男生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解： 9.1班学生共有（人）．
扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为．
9.1班参与“做饭”的人数为（人），
∴估计该校初中学生中参与“做饭”的人数约有（人）．
故答案为：50；；150．
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体。
（1）用条形统计图中“刷碗”的人数除以扇形统计图中“刷碗”的百分比可得9.1班的学生人数；用乘以“洗衣”的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数；求出9.1班参与“做饭”的人数，根据用样本估计总体，用1500乘以“做饭”的人数所占的百分比，即可得出答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及所选同学中有男生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
16．【答案】解：如图，过点C作，垂足为F，过点C作，垂足为N，
由题意得
∴四边形是矩形，
∴
由题意可知，，
在中，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
因此点A到直线的距离约为．
【知识点】平行线的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】利用直角三角形的边角关系以及三角函数值，可以求出，即可求出点A到直线DE的距离。
17．【答案】（1）证明：连接，如图，
∵点C是下半圆弧的中点，
∴，
∴，
∵为的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴。
（2）解：设的半径为r，则，，在中，，
解得，，
当r=2时，OD=7-2=5，此时OD＞OB，明显不符合条件，因此r=5.
∴，，
设，则，
在中，，
解得，
即，
∴．
因此的半径是5，的值是．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；切线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理和解直角三角形．
（1）连接之后，根据垂径定理得到，然后根据切线的性质得到，最后利用角度变换推出，即可得到；
（2）先在中利用勾股定理计算并验证得出r=5，然后得到，，接着在中利用勾股定理列式得出，最后根据正切的定义求解．
18．【答案】（1）解：将代入得，，解得，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴反比例函数的解析式为。
（2）解：由题意知，分两种情况求解，①如图1，当点C在A点下方时，
图1
∵，，
∴点C为中点，
∴点C纵坐标为，
当时，，
解得，，
∴C；
②如图2，当C在A点上方时，作轴于，于，
∵，，
∴，即，解得，
当时，，
解得，，
∴C，
综上所述，点C坐标为或．
（3）解：当时，，即，如图3，
①当为平行四边形的边时，是平行四边形，
则，即，
解得，
∴；
②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形，
∵，， Q点纵坐标为0，
∴对角线中点的纵坐标相同，即，
解得，，
当 时，，
解得，
∴．
综上所述，符合条件的点P的坐标为或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先将A点的坐标代入一次函数中求出a值，然后再用待定系数法将A点的坐标代入求出反比例函数解析式即可；
（2）分两种情况，即点C在A点下方时和C在A点上方时，分别计算解出点C坐标即可；
（3）分两种情况进行解答，①当为平行四边形的边时，是平行四边形，②当为平行四边形的对角线时，是平行四边形，分别求出点P坐标即可．
19．【答案】16
【知识点】同底数幂的除法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：由题意得，
∴，
故答案为：16
【分析】根据积的乘方、同底数幂的除法结合题意即可求解。
20．【答案】
【知识点】勾股定理；圆内接正多边形；位似变换
【解析】【解答】解：如图，连接，
正方形与四边形是位似图形，
四边形是正方形，
，
∴是四边形的外接圆直径，
正方形的边长为4，，
，
，
四边形的外接圆半径为，
故答案为：．
【分析】本题考查位似图形的性质，根据正方形的边长为4和位似比求出，然后利用勾股定理求出的长度，最后即可得出四边形的外接圆半径的长度。
21．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴则PQ的最小值为，
故答案为：．
【分析】
如图所示，设PQ交AC于点O，由于平行四边形的对角线互相平分，则PQ=2OP，显然当OP垂直BC时PQ长度最小，此时可利用两角对应相等两三角形相似来证明，再利用相似比求OP的最小值即可．
22．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；四边形的综合；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：设，，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或（舍去），
四条，
∴，，
∴，，
∴，
∴
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】本题证明并利用和，可以求出，然后利用勾股定理求出BC和AQ的长，即可得出AC、OA、OQ的长度，然后再利用正方形的特点和全等三角形的特点，可得，然后根据正方形的性质求出，即可得出答案．
23．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：双曲线上存在“好点”，
，
①②得：，
，
，
，
整理得：，
，
．
故答案为：．
【分析】本题首先根据“好点”的定义列出方程组，然后变形得到关于x和k的二元一次方程，继续变形为抛物线方程，根据抛物线方程的特点即可求出k的取值范围。
24．【答案】（1）解：设每辆45座客车租费是x元，则每辆60座客车租费是元，由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：每辆45座客车租费是400元，每辆60座客车租费是500元。
（2）解：∵，，∴租用45座客车9辆，租费为（元），
租用60座客车7辆，租费为（元），
∵，
∴租用60座客车合算．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】（1）本题首先用分式分别表示出60座客车的数量和45座客车的数量，根据花4000元可租45座客车的辆数比租60座客车多2辆即可列出分式方程，解方程即可；
（2）求出租用45座客车9辆的租费和租用60座客车7辆的租费，再比较即可．
25．【答案】（1）解：当时，即ax+2a=0，
∵a＞0，∴，
∴。
（2）解：当时，解得或，
∴，
∵与B关于x轴对称，
∴，
∴，
①当为斜边时，，
解得或（舍去）；
②当为斜边时，，
解得或（舍）；
③当为斜边时，，
此时a无解；
综上所述：a的值为或1。
（3）解：如图：当直线经过点时，，此时有5个格点；
当直线经过点时，，此时有6个格点；
当时，此时有6个格点；
综上所述：或时，有6个格点．
【知识点】勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-特殊三角形存在性问题；数形结合
【解析】【分析】（1）将代入y=a+2a（a＞0）中，求出x的值即可求出A点坐标；
（2）分别求出、C坐标，然后利用勾股定理，再分为斜边、为斜边、为斜边三种情况，建立方程求a的值即可；
（3）画出图象，结合图象，当直线经过点时，，此时有5个格点；当直线经过点时，，此时有6个格点；当时，此时有6个格点；即可求或，有6个格点．
26．【答案】（1）解：如图1，连接，
设，则，由对称性得，
四边形是矩形，
，，，
在中，，
由对称性得，
，
在中，，
，
解得，
即。
（2）解：如图1，连接，交于点，由对称性得，
点是中点，
，
在中，，
在中，，，
，，
，
，
，
由对称性得，
，
，
，
，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
。
（3）解：分以下两种情况讨论：
①如图，当点在边上时，恰好经过点，
由对称性得，，
，
在中，，
在矩形中，，，
，，
在和中，
，
，
；
②如图3，当点在边上时，恰好经过点，
由对称性得，，，，
，
在中，，
，
恰好经过点，
，
在矩形中，，
，
，
，
，
在和中，，，
，
，
，
解得，
即，
综上所述，的长为或．
【知识点】四边形-动点问题
【解析】【分析】（1）连接，由对称性得，利用勾股定理求出，最后列出方程，即可可得出答案；
（2）连接之后，由对称性得，随后证明，得出即可求出的长，最后由三角形中位线定理可得出答案；
（3）分当点在边上、当点在边上两种情况，由矩形的性质，相似三角形的性质及勾股定理可得出答案．
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