资源简介

四川省成都市第七中学初中学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·成都期末）下列标志中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·成都期末）若，则下列结论不成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·成都期末）若分式的值为0，则的值为（　　）
A．1 B． C．1或 D．0
4．（2024八下·成都期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·成都期末）如图，足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成，其中黑皮的正五边形有12块，白皮的正六边形有20块．如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
6．（2024八下·成都期末）下列命题是假命题的是（　　）
A．到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
7．（2024八下·成都期末）若函数和函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·成都期末）市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024八下·成都期末）分解因式： 　 　．
10．（2024八下·成都期末）如图，将一根有弹性的皮筋自然伸直固定在水平面上，然后把皮筋中点竖直向上拉升到点，如果皮筋自然长度为（即），则此时　 　．
11．（2024八下·成都期末）若关于x的方程 =0有增根，则m的值是　 　．
12．（2024八下·成都期末）如图，在等腰中，，，将绕点逆时针旋转至且点的对应点落在延长线上，则　 　．
13．（2024八下·成都期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，，则　 　．
14．（2024八下·成都期末）（1）解不等式组：
（2）解方程：．
15．（2024八下·成都期末）先化简，再求值：，再从不等式的整数解中选择一个适当的数代入求值．
16．（2024八下·成都期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣2，3）．
（1）将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）直接写出以C1、B1、B2为顶点的三角形的形状是　 　．
17．（2024八下·成都期末）四边形中，，，且，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的周长．
18．（2024八下·成都期末）如图，是等腰直角三角形，，BC=5，点为平面内任意一点，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．
（1）若点为内部任意一点时．
①如图1，判断线段与的数量关系并给出证明；
②如图2，连接，当点，，在同一直线上且时，求线段的长；
（2）如图3，直线与直线相交于点，延长到点，使得，连接，请求出的取值范围．
19．（2024八下·成都期末）多项式 因式分解后有一个因式为 ，则k的值为　 　.
20．（2024八下·成都期末）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m为 　 　．
21．（2024八下·成都期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，称为平面图形的镶嵌．某工人师傅把四块完全相同的平面图形按如图所示的方式进行镶嵌，经测量，，，B、D两点之间的距离为，则图中阴影部分的面积为　 　．
22．（2024八下·成都期末）在中，，，点为斜边的中点，为边一动点，沿着所在的直线对折得到．若与重合部分的面积为的面积一半，此时　 　．
23．（2024八下·成都期末）如图，已知中，，点为上一动点，，连接．与交于点，，若，则　 　．
24．（2024八下·成都期末）某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
（1）求甲、乙玩具的进货单价格是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？
25．（2024八下·成都期末）如图1．直线(b为常数）交x轴的正半轴于点A(2，0)，交y轴正半轴于点B．
（1）求直线AB的解析式
（2）点C是线段AB中点，点P是上x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A，C，P，Q为顶点的四边形给好是平行四边形，请直接写出点P的坐标．
（3）如图2．若点P是x负半轴上一点，设点P的横坐标为t，以AP为底边作等腰三角形APM（点M在x轴下方），过点A作连直线，过点O作于E，延长EO交直线于点F，连接PF，OM，若，请用含t的代数式表示三角形PMO的面积．
26．（2024八下·成都期末）已知：如图，在中，，，，，垂足为D，点E是点D关于的对称点，连接，．
（1）求和的长；
（2）若将线段沿着射线方向平移，当点E平移到线段上时，求此时的长；
（3）如图，将绕点A顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q，若存在这样的P，Q两点，使为等腰三角形，请求出此时的长，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的标志是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、此选项中的标志既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的标志是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的标志是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，
∴2a＞2b，故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴，故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴a+m＞b+m，故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴-4a＜-4b，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用不等式的性质2，可对A、B作出判断；利用不等式的性质1，可对C作出判断；再利用不等式的性质3，可对D作出判断.
3．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依题意，得
，且
即：且
解得：
故选：A．
【分析】
若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0：（2）分母不为0，这两个条件缺一．
4．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：根据因式分解的定义可得，属于因式分解，
故答案为：A.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
∴足球图片中的一块黑色皮块的内角和是540°，
故答案为：C．
【分析】根据n边形内角和为(n-2)×180°，代值计算即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，是真命题；
B、一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；
C、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，是真命题；
D、三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，是真命题；
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的判定定理判断A；根据全等三角形的判定定理判断B；根据等边三角形的判定定理判断C；根据角平分线的性质判断D.
7．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象上方，
当时，，
不等式的解集为，
故答案为：D.
【分析】从函数图象的角度看，求关于x的不等式ax＞bx+c的解集，就是确定直线y=ax的图象在直线y=bx+c的图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合其交点的横坐标即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为(1+25%)x，实际所需的时间为，原计划所需的时间为，
∵结果提前30天完成了任务，
∴-=30.
故答案为：A.
【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为(1+25%)x，然后表示出实际、原计划所需的时间，结合结果提前30天完成了任务就可列出方程.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a（ －9）=a（a+3）（a－3）．
【分析】先利用提公因式法分解，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
10．【答案】13
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵中点C竖直向上拉升5cm至D点，
∴CD=5cm，CD⊥AB，AC=BC=AB=12cm，
∴∠ACD=90°，
由勾股定理得：．
故答案为：13．
【分析】由题意易得CD=5cm，CD⊥AB，AC=BC=AB=12cm，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AD即可.
11．【答案】2
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得，m-1-x=0.
∵方程有增根，
∴x=1，
∴m-1-1=0，
∴m=2.
12．【答案】80°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，
，
，
由旋转得：，，
∴∠BAD=∠BDA=50°，
∴∠CBE=∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=80°，
故答案：80°．
【分析】由等边对等角得∠ABC=∠C=25°，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠BAD=∠C+∠ABC=50°，由旋转的性质得BA=BD，∠DBC=∠EBC，然后根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠ABD的度数，从而得到答案.
13．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，
，
由题知，直线为的垂直平分线，
，
，
，
，
．
【分析】
由基本尺规作图知MN垂直平分BC，则DB=DC，所以；由于已知CA=CD，则；再利用三角形外角的性质得，则可求．
14．【答案】解：（1），
解不等式①得：，∴
解不等式②得：，∴
∴原不等式组的解集为：；
(2)，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据解不等式的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”分别解不等式组中的每一个不等式，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定出该不等式组的解集即可；
（2）方程两边同时乘以各个分母的最简公分母(x-3)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
15．【答案】解：原式，
∵0，1，
∴当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先对括号内的分式进行通分，再进行分式的混合运算，然后再将x的值代入化简后的分式求值.选取x值时应注意不能使化简过程中的任何一个分式的分母为零.
16．【答案】解：（1）如图，将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则△A1B1C1即为所作；
点A1，B1，C1的坐标分别为（﹣3，﹣2），（0，﹣2），（﹣1，0）
（2）如图，每个点都绕原点顺时针旋转90°，则△A2B2C2即为所作．
（3）等腰直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）∵C1B12＝5，C1B22＝5，B1B22＝10，
∴C1B12+C1B22＝B1B22，C1B1＝C1B2，
∴以C1、B1、B2为顶点的三角形的形状是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C点右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可得出所求的△A1B1C1，进而根据点A1、B1、C1所在的位置读出其坐标即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C绕原点顺时针旋转90°的对应点A2、B2、C2，再顺次连接得到△A2B2C2；
（3）利用那个方格纸的特点及勾股定理分别计算出C1B12、C1B22、B1B22，进而利用勾股定理的逆定理进行判断．
17．【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠CED=∠AFB=90°，从而利用SAS判断出△ABF≌△CDE，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）得AB=CD，∠BAF=∠DCE，由内错角相等，两直线平行得AB∥CD，从而由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论；
（2）由勾股定理得，，再由平行四边形的性质得，，进而根据平行四边形周长计算公式即可得出结论．
18．【答案】（1）解：①，理由如下：
证明：是等腰三角形，，
，
将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
；
②解：如图，设与的交点为，
由①已证，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
在等腰直角中，
；
（2）解：由（1）已证，
，
，
，
又，
，
，
点在以AB为直径的圆上运动，当点和重合时最小，当经过中点时，最大，
最小值为，
取中点为，取中点，
则，，
，
，
，，
，
最大值为，
.
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）①由等腰直角三角形性质得AC=BC，由旋转的性质得CD=CE，∠ECD=∠ACB=90°，由同角的余角相等得∠ACE=∠BCD，从而由SAS判断出△ACE≌△BCD，由全等三角形的对应边相等得AE=BD；
②设AC与BE的交点为O，由①得△ACE≌△BCD，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）得∠EAC=∠DBC，AE=BD=2；利用勾股定理求出AB，结合对顶角相等，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOE∽△BOC，由相似三角形对应角相等得∠AEB=∠ACB=90°，从而利用勾股定理算出BE，根据DE=BE-BD算出DE，最后利用等腰直角三角形的性质期初CD；
（2）由①已证△ACE≌△BCD，由全等三角形的对应角相等得∠EAC=∠DBC，由邻补角、等量代换及四边形的内角和可推出∠APB=90°，根据圆周角定理“直径所对的圆周角等于90°”得出点P在以AB为直径的圆上运动，根据点与圆的位置关系得出当点P和C重合时PF最小，当PF经过AB中点N时，PF最大，据此即可求解．
19．【答案】5
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】根据题意可得：
∴
∴k=5
故答案为5.
【分析】根据十字相乘的进行因式分解即可得出答案.
20．【答案】0
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】方程两边同乘，得
解得
分式方程有正整数解
即
即
故答案为：0．
【分析】先利用分式方程的解法求出方程的解，再根据分式方程的解是正整数可得，即，再结合，然后求出m的值即可。
21．【答案】1200
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，阴影部分的面积即为四边形ABCD的面积，且四边形ABCD是平行四边形，
∵，，BD=，
∴CD2+BD2=302+402=502=BC2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴图中阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积=CD×BD=30×40=1200(cm2)，
故答案为：1200．
【分析】利用割补法可得阴影部分的面积即为四边形ABCD的面积，且四边形ABCD是平行四边形，由勾股定理的逆定理求得△BCD是直角三角形且∠BDC=90°，进而根据平行四边形的面积公式计算可得面积．
22．【答案】5
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接BE，AE
∵D是AB的中点
∴AD=
由折叠性质可得
BP=PE，DE=BD=13
∴PD垂直平分BE，BD=AD=DE
∴∠DBE=∠BED，∠DEA=∠DAE
∴∠BHD=∠AEB=90°
∴PD∥AE
∴∠PDE=∠AED
又∵△PDG的面积是△PDE面积的一半
∴G是DE的中点
∴DG=GE
又∠PGD=∠AGE
∴△PGD≌△AGE（ASA）
∴PG=AG
∴四边形PDAE是平行四边形
∴PE=AD=13
∴PB=PE=13
∴PC=
故答案为：5.
【分析】连接BE，AE，根据折叠性质BP=PE，DE=BD=13，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线证出PD垂直平分BE，结合中点定义得BD=AD=DE，由等边对等角及三角形内角和定理得到∠BHD=∠AEB=90°，根据同位角相等，两直线平行得PD∥AE，由二直线平行，内错角相等得∠PDE=∠AED，由同高三角形面积之间得关系就是对应底的关系得G是DE的中点，从而结合对顶角相等，可用ASA证明△PGD≌△AGE，得PG=AG，由“对角线互相平分得四边形是平行四边形”证出四边形PDAE是平行四边形，由平行四边形的对边相等得到PE=AD=13，再利用勾股定理可得．
23．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长BA，过点E作，交BA的延长线于点G，如图所示：
，
，BG∥CD
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴四边形为平行四边形，
，，
，即，
解得：或（舍去），
在中根据勾股定理得：，
，
．
故答案为：．
【分析】延长BA，过点E作GE⊥ED，交BA的延长线于点G，由一线三垂直模型推出∠BGE=∠CED，用AAS判断出△BEG≌△CDE，由全等三角形的对应边相等得出，；由等腰直角三角形的性质得出∠DFC=∠GDE=45°，由内错角相等，两直线平行得AC∥AG，从而由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得四边形ACDG为平行四边形，由平行四边形的对边相等得出，，利用勾股定理，，得出AG=，进而根据线段和差求出AB=，最后再根据勾股定理求出即可．
24．【答案】（1）解：设乙玩具的进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的根，
（元），
答：甲玩具的进货单价是6元，乙玩具的进货单价是5元；
（2）解：设该超市采购甲玩具a件，
根据题意得：，
解得：，
答：该超市最多采购甲玩具75件．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙玩具的进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是(x+1)元，根据总价除以单价等于数量及“ 用1200元购进甲玩具件数是用500元乙玩具件数的2倍”列出分式方程，解之即可；
（2）设该超市采购甲玩具a件，根据“购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件”得出购进乙玩具(2a+40)件，然后根据“ 超市用不超过1400元购进两种玩具”列出不等式，解之取其最大整数，即可得出结论．
25．【答案】解：（1）∵直线y=-2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A(2，0)，
∴0=-4+b，
∴b=4，
∴直线AB解析式为：y=-2x+4；
（2）点P的坐标为(3，0)或（-1，0)或（1，0)；
（3）△AMP是等腰三角形，MP=MA，
所以∠MAP=∠MPA，
设∠MAP=，
直线l//MP，
所以∠FAP=∠MPA=，
所以∠FAE=2，
因为，
所以∠FEA=90°，
所以∠AFE=90°-2，
又因为∠NFP+∠PFO+∠AFE=180°，
2∠PFO+∠AFE=180°，
所以∠NFP=∠PFO= (180°-∠AFE)
=，
又∠NFP=∠FPA+∠FAP，
45°+=∠FPA+，
得∠FPA=45°，
过点P作x轴于点P，交直线l于点N，
过点M作x轴于点Q，交直线l点T，
如图2所示，
所以∠NPA=90°，
所以∠FPN=45°，
在△NFP和△OFP中，
所以（ASA）
所以NP=OP
因为PN//MT，MP//直线l．
所以四边形NPMT是平行四边形，
所以NP=MT
又因为，AQ=AQ，
所以PN=MT=2MQ=2QT，
因为点P的横坐标为t，点P是x 轴负半轴上一点，
所以，
所以三角形PMO的面积为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-ASA；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（2）∵直线y=-2x+4（b为常数）交y轴正半轴于点B，
∴点B(0，4)，
∵点C是线段AB中点，
∴点C(1，2)，
∵点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，
设P(a，0)，Q(0，b)，
以A，C，P，Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，
当AC、PQ为对角线，
有，解得a=2，b=3，则(3，0)，
当AP、CQ为对角线，
有，解得a=-1，b=-2，则(-1，0)，
当AQ、PC为对角线，
有，解得a=1，b=2，则(1，0)，
则P点坐标为（3，0)或（-1，0)或(1，0)；
【分析】（1）将点A坐标代入y=-2x+b算出b的值，即可得出直线AB的解析式；
（2）令直线y=-2x+4中的x=0，算出对应的y的值，可得点B的坐标为（0，4），根据中点坐标公式可得点C（1，2），根据坐标轴上点的坐标特点设P(a，0)，Q(0，b)，分当AC、PQ为对角线，当AP、CQ为对角线，当AQ、PC为对角线，三种情况，利用平行四边形对角线互相平分和中点坐标公式，分别建立方程组，求解即可得出答案；
（3）利用角的数量关系可求∠FPA=45°，由“ASA”可证△NFP≌△OFP，可得NP=OP，通过证明四边形NPMT是平行四边形，可得NP=MT，可得PN=MT=2MQ=2QT，由三角形的面积公式可求解．
26．【答案】（1）解：，，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图1，连接ED交AC于O，设点E平移到线段AC上于点H，
点是点关于的对称点，
，，，，
将沿射线方向平移，
∴，
，
又，
，
，
由等面积法得；
∴，
∴，
∴，
即平移后的为；
（3）解：由（2）可知：，，
①旋转的过程中，和线段相交，的延长线相交时，
如图2，
由旋转得，，，
，，
，
，
，
，
为等腰三角形，且是钝角，
，
，
，
，
在中，，，
；
②如图3，当C'E'与AB相交，与BC的延长线相交时，
为等腰三角形，
，
，，
，
由旋转得，，，，，
，
∴，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
③如图4，
旋转的过程中，和线段，相交时，
Ⅰ、当时，
，，
，
，
Ⅱ、当时，
，
，
，
，
根据勾股定理得，，
即满足条件的的长为或或或15．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）首先在Rt△ABC由勾股定理可求AB的长，由等面积法建立方程可求CD的长，再在Rt△ACD中，由勾股定理可求AD的长；
（2）连接ED交AC于O，设点E平移到线段AC上于点H，由轴对称性质得EO=DO，AC⊥DE，AE=AD=9，CD=CE=12；由平移的性质得EH∥AD，由二直线平行，内错角相等得∠HEO=∠ADO，结合对顶角相等，用ASA判断出△AOD≌△HOE，由全等三角形的对应边相等得EH=AD=9；由等面积法求出DO，进而根据勾股定理算出AO，可得AH的长，最后根据CH=AC-AH代值计算即可；
（3）分类讨论：①旋转的过程中，C'E'和线段BC相交，AB的延长线相交时，②当C'E'与AB相交，与BC的延长线相交时，③当C'E'的延长线与AB相交，与BC相交，分别画出满足条件的图形，根据勾股定理和等腰三角形的性质直接求解．
1 / 1四川省成都市第七中学初中学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·成都期末）下列标志中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的标志是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；B、此选项中的标志既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的标志是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的标志是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形；把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
2．（2024八下·成都期末）若，则下列结论不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＞b，
∴2a＞2b，故A不符合题意；
B、∵a＞b，
∴，故B不符合题意；
C、∵a＞b，
∴a+m＞b+m，故C不符合题意；
D、∵a＞b，
∴-4a＜-4b，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用不等式的性质2，可对A、B作出判断；利用不等式的性质1，可对C作出判断；再利用不等式的性质3，可对D作出判断.
3．（2024八下·成都期末）若分式的值为0，则的值为（　　）
A．1 B． C．1或 D．0
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：依题意，得
，且
即：且
解得：
故选：A．
【分析】
若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0：（2）分母不为0，这两个条件缺一．
4．（2024八下·成都期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：根据因式分解的定义可得，属于因式分解，
故答案为：A.
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
5．（2024八下·成都期末）如图，足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成，其中黑皮的正五边形有12块，白皮的正六边形有20块．如图，足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（　　）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：，
∴足球图片中的一块黑色皮块的内角和是540°，
故答案为：C．
【分析】根据n边形内角和为(n-2)×180°，代值计算即可.
6．（2024八下·成都期末）下列命题是假命题的是（　　）
A．到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
B．一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等
C．有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形
D．三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；等边三角形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上，是真命题；
B、一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；
C、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，是真命题；
D、三角形三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等，是真命题；
故答案为：B.
【分析】根据垂直平分线的判定定理判断A；根据全等三角形的判定定理判断B；根据等边三角形的判定定理判断C；根据角平分线的性质判断D.
7．（2024八下·成都期末）若函数和函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当时，函数的图象在函数图象上方，
当时，，
不等式的解集为，
故答案为：D.
【分析】从函数图象的角度看，求关于x的不等式ax＞bx+c的解集，就是确定直线y=ax的图象在直线y=bx+c的图象上方部分相应的自变量的取值范围，结合其交点的横坐标即可得出答案.
8．（2024八下·成都期末）市政府为了贯彻落实“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造美好家园，促进旅游发展．某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了任务．设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为(1+25%)x，实际所需的时间为，原计划所需的时间为，
∵结果提前30天完成了任务，
∴-=30.
故答案为：A.
【分析】设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为(1+25%)x，然后表示出实际、原计划所需的时间，结合结果提前30天完成了任务就可列出方程.
9．（2024八下·成都期末）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a（ －9）=a（a+3）（a－3）．
【分析】先利用提公因式法分解，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
10．（2024八下·成都期末）如图，将一根有弹性的皮筋自然伸直固定在水平面上，然后把皮筋中点竖直向上拉升到点，如果皮筋自然长度为（即），则此时　 　．
【答案】13
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵中点C竖直向上拉升5cm至D点，
∴CD=5cm，CD⊥AB，AC=BC=AB=12cm，
∴∠ACD=90°，
由勾股定理得：．
故答案为：13．
【分析】由题意易得CD=5cm，CD⊥AB，AC=BC=AB=12cm，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AD即可.
11．（2024八下·成都期末）若关于x的方程 =0有增根，则m的值是　 　．
【答案】2
【知识点】解分式方程；分式方程的增根
【解析】【解答】解：去分母得，m-1-x=0.
∵方程有增根，
∴x=1，
∴m-1-1=0，
∴m=2.
12．（2024八下·成都期末）如图，在等腰中，，，将绕点逆时针旋转至且点的对应点落在延长线上，则　 　．
【答案】80°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，
，
，
由旋转得：，，
∴∠BAD=∠BDA=50°，
∴∠CBE=∠ABD=180°-∠BAD-∠BDA=80°，
故答案：80°．
【分析】由等边对等角得∠ABC=∠C=25°，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠BAD=∠C+∠ABC=50°，由旋转的性质得BA=BD，∠DBC=∠EBC，然后根据等边对等角及三角形的内角和定理可求出∠ABD的度数，从而得到答案.
13．（2024八下·成都期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：，，
，
由题知，直线为的垂直平分线，
，
，
，
，
．
【分析】
由基本尺规作图知MN垂直平分BC，则DB=DC，所以；由于已知CA=CD，则；再利用三角形外角的性质得，则可求．
14．（2024八下·成都期末）（1）解不等式组：
（2）解方程：．
【答案】解：（1），
解不等式①得：，∴
解不等式②得：，∴
∴原不等式组的解集为：；
(2)，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据解不等式的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”分别解不等式组中的每一个不等式，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”确定出该不等式组的解集即可；
（2）方程两边同时乘以各个分母的最简公分母(x-3)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况.
15．（2024八下·成都期末）先化简，再求值：，再从不等式的整数解中选择一个适当的数代入求值．
【答案】解：原式，
∵0，1，
∴当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先对括号内的分式进行通分，再进行分式的混合运算，然后再将x的值代入化简后的分式求值.选取x值时应注意不能使化简过程中的任何一个分式的分母为零.
16．（2024八下·成都期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣1，1），C（﹣2，3）．
（1）将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2；
（3）直接写出以C1、B1、B2为顶点的三角形的形状是　 　．
【答案】解：（1）如图，将△ABC向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，则△A1B1C1即为所作；
点A1，B1，C1的坐标分别为（﹣3，﹣2），（0，﹣2），（﹣1，0）
（2）如图，每个点都绕原点顺时针旋转90°，则△A2B2C2即为所作．
（3）等腰直角三角形
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（3）∵C1B12＝5，C1B22＝5，B1B22＝10，
∴C1B12+C1B22＝B1B22，C1B1＝C1B2，
∴以C1、B1、B2为顶点的三角形的形状是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
【分析】（1）利用方格纸的特点及平移的性质，分别作出点A、B、C点右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度后的对应点A1、B1、C1，再顺次连接即可得出所求的△A1B1C1，进而根据点A1、B1、C1所在的位置读出其坐标即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C绕原点顺时针旋转90°的对应点A2、B2、C2，再顺次连接得到△A2B2C2；
（3）利用那个方格纸的特点及勾股定理分别计算出C1B12、C1B22、B1B22，进而利用勾股定理的逆定理进行判断．
17．（2024八下·成都期末）四边形中，，，且，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：，，
，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，
，
，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）由垂直的定义得∠CED=∠AFB=90°，从而利用SAS判断出△ABF≌△CDE，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）得AB=CD，∠BAF=∠DCE，由内错角相等，两直线平行得AB∥CD，从而由“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论；
（2）由勾股定理得，，再由平行四边形的性质得，，进而根据平行四边形周长计算公式即可得出结论．
18．（2024八下·成都期末）如图，是等腰直角三角形，，BC=5，点为平面内任意一点，将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，连接．
（1）若点为内部任意一点时．
①如图1，判断线段与的数量关系并给出证明；
②如图2，连接，当点，，在同一直线上且时，求线段的长；
（2）如图3，直线与直线相交于点，延长到点，使得，连接，请求出的取值范围．
【答案】（1）解：①，理由如下：
证明：是等腰三角形，，
，
将线段绕点逆时针方向旋转得到线段，
，，
，
，
，
，
；
②解：如图，设与的交点为，
由①已证，
，，
，
在中，由勾股定理得：
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
在等腰直角中，
；
（2）解：由（1）已证，
，
，
，
又，
，
，
点在以AB为直径的圆上运动，当点和重合时最小，当经过中点时，最大，
最小值为，
取中点为，取中点，
则，，
，
，
，，
，
最大值为，
.
【知识点】圆周角定理；点与圆的位置关系；旋转的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】（1）①由等腰直角三角形性质得AC=BC，由旋转的性质得CD=CE，∠ECD=∠ACB=90°，由同角的余角相等得∠ACE=∠BCD，从而由SAS判断出△ACE≌△BCD，由全等三角形的对应边相等得AE=BD；
②设AC与BE的交点为O，由①得△ACE≌△BCD，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）得∠EAC=∠DBC，AE=BD=2；利用勾股定理求出AB，结合对顶角相等，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△AOE∽△BOC，由相似三角形对应角相等得∠AEB=∠ACB=90°，从而利用勾股定理算出BE，根据DE=BE-BD算出DE，最后利用等腰直角三角形的性质期初CD；
（2）由①已证△ACE≌△BCD，由全等三角形的对应角相等得∠EAC=∠DBC，由邻补角、等量代换及四边形的内角和可推出∠APB=90°，根据圆周角定理“直径所对的圆周角等于90°”得出点P在以AB为直径的圆上运动，根据点与圆的位置关系得出当点P和C重合时PF最小，当PF经过AB中点N时，PF最大，据此即可求解．
19．（2024八下·成都期末）多项式 因式分解后有一个因式为 ，则k的值为　 　.
【答案】5
【知识点】因式分解﹣十字相乘法
【解析】【解答】根据题意可得：
∴
∴k=5
故答案为5.
【分析】根据十字相乘的进行因式分解即可得出答案.
20．（2024八下·成都期末）若关于x的分式方程＝有正整数解，则整数m为 　 　．
【答案】0
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】方程两边同乘，得
解得
分式方程有正整数解
即
即
故答案为：0．
【分析】先利用分式方程的解法求出方程的解，再根据分式方程的解是正整数可得，即，再结合，然后求出m的值即可。
21．（2024八下·成都期末）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，称为平面图形的镶嵌．某工人师傅把四块完全相同的平面图形按如图所示的方式进行镶嵌，经测量，，，B、D两点之间的距离为，则图中阴影部分的面积为　 　．
【答案】1200
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意得，阴影部分的面积即为四边形ABCD的面积，且四边形ABCD是平行四边形，
∵，，BD=，
∴CD2+BD2=302+402=502=BC2，
∴△BCD是直角三角形，∠BDC=90°，
∴图中阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积=CD×BD=30×40=1200(cm2)，
故答案为：1200．
【分析】利用割补法可得阴影部分的面积即为四边形ABCD的面积，且四边形ABCD是平行四边形，由勾股定理的逆定理求得△BCD是直角三角形且∠BDC=90°，进而根据平行四边形的面积公式计算可得面积．
22．（2024八下·成都期末）在中，，，点为斜边的中点，为边一动点，沿着所在的直线对折得到．若与重合部分的面积为的面积一半，此时　 　．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；勾股定理；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：连接BE，AE
∵D是AB的中点
∴AD=
由折叠性质可得
BP=PE，DE=BD=13
∴PD垂直平分BE，BD=AD=DE
∴∠DBE=∠BED，∠DEA=∠DAE
∴∠BHD=∠AEB=90°
∴PD∥AE
∴∠PDE=∠AED
又∵△PDG的面积是△PDE面积的一半
∴G是DE的中点
∴DG=GE
又∠PGD=∠AGE
∴△PGD≌△AGE（ASA）
∴PG=AG
∴四边形PDAE是平行四边形
∴PE=AD=13
∴PB=PE=13
∴PC=
故答案为：5.
【分析】连接BE，AE，根据折叠性质BP=PE，DE=BD=13，由到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上及两点确定一条直线证出PD垂直平分BE，结合中点定义得BD=AD=DE，由等边对等角及三角形内角和定理得到∠BHD=∠AEB=90°，根据同位角相等，两直线平行得PD∥AE，由二直线平行，内错角相等得∠PDE=∠AED，由同高三角形面积之间得关系就是对应底的关系得G是DE的中点，从而结合对顶角相等，可用ASA证明△PGD≌△AGE，得PG=AG，由“对角线互相平分得四边形是平行四边形”证出四边形PDAE是平行四边形，由平行四边形的对边相等得到PE=AD=13，再利用勾股定理可得．
23．（2024八下·成都期末）如图，已知中，，点为上一动点，，连接．与交于点，，若，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：延长BA，过点E作，交BA的延长线于点G，如图所示：
，
，BG∥CD
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
∴四边形为平行四边形，
，，
，即，
解得：或（舍去），
在中根据勾股定理得：，
，
．
故答案为：．
【分析】延长BA，过点E作GE⊥ED，交BA的延长线于点G，由一线三垂直模型推出∠BGE=∠CED，用AAS判断出△BEG≌△CDE，由全等三角形的对应边相等得出，；由等腰直角三角形的性质得出∠DFC=∠GDE=45°，由内错角相等，两直线平行得AC∥AG，从而由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得四边形ACDG为平行四边形，由平行四边形的对边相等得出，，利用勾股定理，，得出AG=，进而根据线段和差求出AB=，最后再根据勾股定理求出即可．
24．（2024八下·成都期末）某超市用1200元购进一批甲玩具，用500元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是乙玩具件数的2倍，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多1元．
（1）求甲、乙玩具的进货单价格是多少元？
（2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变），购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件，求该超市用不超过1400元最多可以采购甲玩具多少件？
【答案】（1）解：设乙玩具的进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是分式方程的根，
（元），
答：甲玩具的进货单价是6元，乙玩具的进货单价是5元；
（2）解：设该超市采购甲玩具a件，
根据题意得：，
解得：，
答：该超市最多采购甲玩具75件．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设乙玩具的进货单价是x元，则甲玩具的进货单价是(x+1)元，根据总价除以单价等于数量及“ 用1200元购进甲玩具件数是用500元乙玩具件数的2倍”列出分式方程，解之即可；
（2）设该超市采购甲玩具a件，根据“购进乙玩具的件数比甲玩具件数的2倍多40件”得出购进乙玩具(2a+40)件，然后根据“ 超市用不超过1400元购进两种玩具”列出不等式，解之取其最大整数，即可得出结论．
25．（2024八下·成都期末）如图1．直线(b为常数）交x轴的正半轴于点A(2，0)，交y轴正半轴于点B．
（1）求直线AB的解析式
（2）点C是线段AB中点，点P是上x轴上一点，点Q是y轴上一点，若以A，C，P，Q为顶点的四边形给好是平行四边形，请直接写出点P的坐标．
（3）如图2．若点P是x负半轴上一点，设点P的横坐标为t，以AP为底边作等腰三角形APM（点M在x轴下方），过点A作连直线，过点O作于E，延长EO交直线于点F，连接PF，OM，若，请用含t的代数式表示三角形PMO的面积．
【答案】解：（1）∵直线y=-2x+b（b为常数）交x轴的正半轴于点A(2，0)，
∴0=-4+b，
∴b=4，
∴直线AB解析式为：y=-2x+4；
（2）点P的坐标为(3，0)或（-1，0)或（1，0)；
（3）△AMP是等腰三角形，MP=MA，
所以∠MAP=∠MPA，
设∠MAP=，
直线l//MP，
所以∠FAP=∠MPA=，
所以∠FAE=2，
因为，
所以∠FEA=90°，
所以∠AFE=90°-2，
又因为∠NFP+∠PFO+∠AFE=180°，
2∠PFO+∠AFE=180°，
所以∠NFP=∠PFO= (180°-∠AFE)
=，
又∠NFP=∠FPA+∠FAP，
45°+=∠FPA+，
得∠FPA=45°，
过点P作x轴于点P，交直线l于点N，
过点M作x轴于点Q，交直线l点T，
如图2所示，
所以∠NPA=90°，
所以∠FPN=45°，
在△NFP和△OFP中，
所以（ASA）
所以NP=OP
因为PN//MT，MP//直线l．
所以四边形NPMT是平行四边形，
所以NP=MT
又因为，AQ=AQ，
所以PN=MT=2MQ=2QT，
因为点P的横坐标为t，点P是x 轴负半轴上一点，
所以，
所以三角形PMO的面积为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题；三角形全等的判定-ASA；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（2）∵直线y=-2x+4（b为常数）交y轴正半轴于点B，
∴点B(0，4)，
∵点C是线段AB中点，
∴点C(1，2)，
∵点P是x轴上一点，点Q是y轴上一点，
设P(a，0)，Q(0，b)，
以A，C，P，Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，
当AC、PQ为对角线，
有，解得a=2，b=3，则(3，0)，
当AP、CQ为对角线，
有，解得a=-1，b=-2，则(-1，0)，
当AQ、PC为对角线，
有，解得a=1，b=2，则(1，0)，
则P点坐标为（3，0)或（-1，0)或(1，0)；
【分析】（1）将点A坐标代入y=-2x+b算出b的值，即可得出直线AB的解析式；
（2）令直线y=-2x+4中的x=0，算出对应的y的值，可得点B的坐标为（0，4），根据中点坐标公式可得点C（1，2），根据坐标轴上点的坐标特点设P(a，0)，Q(0，b)，分当AC、PQ为对角线，当AP、CQ为对角线，当AQ、PC为对角线，三种情况，利用平行四边形对角线互相平分和中点坐标公式，分别建立方程组，求解即可得出答案；
（3）利用角的数量关系可求∠FPA=45°，由“ASA”可证△NFP≌△OFP，可得NP=OP，通过证明四边形NPMT是平行四边形，可得NP=MT，可得PN=MT=2MQ=2QT，由三角形的面积公式可求解．
26．（2024八下·成都期末）已知：如图，在中，，，，，垂足为D，点E是点D关于的对称点，连接，．
（1）求和的长；
（2）若将线段沿着射线方向平移，当点E平移到线段上时，求此时的长；
（3）如图，将绕点A顺时针旋转一个角，记旋转中的为，在旋转过程中，设所在的直线与直线交于点P，与直线交于点Q，若存在这样的P，Q两点，使为等腰三角形，请求出此时的长，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图1，连接ED交AC于O，设点E平移到线段AC上于点H，
点是点关于的对称点，
，，，，
将沿射线方向平移，
∴，
，
又，
，
，
由等面积法得；
∴，
∴，
∴，
即平移后的为；
（3）解：由（2）可知：，，
①旋转的过程中，和线段相交，的延长线相交时，
如图2，
由旋转得，，，
，，
，
，
，
，
为等腰三角形，且是钝角，
，
，
，
，
在中，，，
；
②如图3，当C'E'与AB相交，与BC的延长线相交时，
为等腰三角形，
，
，，
，
由旋转得，，，，，
，
∴，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
；
③如图4，
旋转的过程中，和线段，相交时，
Ⅰ、当时，
，，
，
，
Ⅱ、当时，
，
，
，
，
根据勾股定理得，，
即满足条件的的长为或或或15．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；轴对称的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）首先在Rt△ABC由勾股定理可求AB的长，由等面积法建立方程可求CD的长，再在Rt△ACD中，由勾股定理可求AD的长；
（2）连接ED交AC于O，设点E平移到线段AC上于点H，由轴对称性质得EO=DO，AC⊥DE，AE=AD=9，CD=CE=12；由平移的性质得EH∥AD，由二直线平行，内错角相等得∠HEO=∠ADO，结合对顶角相等，用ASA判断出△AOD≌△HOE，由全等三角形的对应边相等得EH=AD=9；由等面积法求出DO，进而根据勾股定理算出AO，可得AH的长，最后根据CH=AC-AH代值计算即可；
（3）分类讨论：①旋转的过程中，C'E'和线段BC相交，AB的延长线相交时，②当C'E'与AB相交，与BC的延长线相交时，③当C'E'的延长线与AB相交，与BC相交，分别画出满足条件的图形，根据勾股定理和等腰三角形的性质直接求解．
1 / 1

展开更多......

收起↑