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四川省成都市高新技术产业开发区2023-2024学年七年级下学期6月期末数学试题
1．（2024七下·成都期末）下列标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·成都期末）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．任意买一张电影票，座位号是单号
C．在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是
D．射击运动员射击一次，命中靶心
3．（2024七下·成都期末）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某芯片的晶体管栅极的宽度为0.0000014．将数据0.0000014用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·成都期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·成都期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·成都期末）在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．下表是研究某种弹簧的长度与所挂物体质量关系的实验表格，则弹簧不挂物体时的长度为（　　）
所挂物体重量x(kg) 1 2 3 5
弹簧长度y() 9 11 13 17
A．6 B．7 C．8 D．8.5
7．（2024七下·成都期末）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·成都期末）数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
9．（2024七下·成都期末）计算：（x+1）（x+2）＝　 　．
10．（2024七下·成都期末）数学实践活动中，为了测量校园内假山底部A，B两点之间的距离，小明首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，并测得D，E两点之间的距离为，则A，B两点之间的距离为　 　．
11．（2024七下·成都期末）某种黄豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
试验粒数 500 1000 2000 4000 7000 10000 12000 15000
发芽的粒数 421 868 1714 3456 6020 8580 10308 12915
发芽的频率 0.842 0.868 0.857 0.864 0.860 0.858 0.859 0.861
估计该种黄豆发芽的概率为　 　（精确到0.01）．
12．（2024七下·成都期末）如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为　 　．
13．（2024七下·成都期末）如图，将长方形沿对角线折叠，B的对应点为E，与交于点F．若，则的度数为　 　．
14．（2024七下·成都期末）（1）计算∶；
（2） 计算∶．
15．（2024七下·成都期末）某路口东西方向交通信号灯的设置时间为∶ 红灯20秒，绿灯27秒，黄灯m秒．张师傅随机地由东向西开车到达该路口．
（1）张师傅遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？为什么？
（2）若张师傅遇到红灯的概率为，则黄灯每次开启多少秒？
16．（2024七下·成都期末）如图，在中，点D在边上，连接为的角平分线，，点E，F分别在线段上，且．
（1）求证∶；
（2），求的度数．
17．（2024七下·成都期末）某市电力公司为鼓励居民节约用电，采用分档计费的方法计算电费，各档次计费方法如下表∶
档次 标准
第一档 每月用电不超过210度时，按0.6元/度计费
第二档 每月用电超过210度但不超过400度时，其中的210度按0.6元/度计费，超过210度的部分按0.7元/度计费
第三档 每月用电超过400度时，其中的210度按0.6元/度计费，超过210度但不超过400度的部分按0.7元/度计费，超出400度的部分按0.9元/度计费
（1）小明家5月用电200度，需交电费 元；
（2）若设某月用电量为x()度，应交电费为y元，求y与x之间的关系式；
（3）若小明家8月交电费268元，求小明家8月用了多少度电？
18．（2024七下·成都期末）在等腰直角中，，点D在边上，过点B作射线的垂线，垂足为点E．
（1）如图1，过点C作射线的垂线，垂足为点F，求证∶；
（2）在射线上取点G，使，连接与交于点H．
i)如图2，若，求线段的长；
ii)若，求的值．
19．（2024七下·成都期末）已知，则　 　．
20．（2024七下·成都期末）图1是某移动硬臀助力机械手，图2是其示意图，现立柱基座，小臂立柱，上臂与立柱构成的角为，下臂与上臂构成的角为，则小臂与下臂构成角度数为　 　．
21．（2024七下·成都期末）如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径是小圆半径的2倍，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞每次都落在游戏板上)，则击中阴影部分的概率是　 　．
22．（2024七下·成都期末）任取一个三位数，把这个三位数的百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字，对起始数的十位数字和个位数字进行相同的操作，得到下一个数的十位数字和个位数字，完成第1次操作；然后重复这个过程．如：以126作为原始数，第一次操作后得到的数为243．若以470作为原始数，则第99次操作后得到的数是　 　．
23．（2024七下·成都期末）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为1，则周长的最小值为　 　．
24．（2024七下·成都期末）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲、乙两人分别从A，C两地同时出发前往B地，甲匀速步行至B地，乙前15分钟匀速步行，中途休息了一段时间后，再匀速骑共享单车至B地．已知，乙骑行的速度是自己步行速度的3倍，甲、乙两人同时到终点．甲、乙两人各自到A地的距离(米)与所用时间(分 )的关系如图所示，请结合图象解答下列问题∶
（1）A，C两地之间的距离是____米；
（2）求乙中途休息了多少分钟；
（3）乙骑行前，甲步行多少分钟，甲、乙两人之间的距离为400米．
25．（2024七下·成都期末）[基础]
（1），，求的值．
［变式］
（2）已知，求的值．
[应用]
（3）为深入贯彻落实中共中央国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》某校规划了如图所示的五边形劳动试验田，该劳动试验田中，四边形区域的形状是边长为a米的正方形，四边形(点E在上)区域及四边形区域的形状都是边长为b米的正方形．图中阴影部分区域种植了小白菜，已知的长为米，，求劳动试验田中小白菜的种植面积．
26．（2024七下·成都期末）在中，，，为的角平分线，点E，F分别在边，上，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，连接，与交于点G．猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求证∶．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形都不能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形都不能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形都不能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故此选项符合题意.故答案为：D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，不符合题意；
C、在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，据此求解即可.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，此选项原计算错误，不符合题意；
B、，此选项原计算错误，不符合题意；
C、，此选项原计算错误，不符合题意；
D、，此选项原计算正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断A选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断B选项；由单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式，据此计算可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，即：，
当时，可以证明；故选项A不符合题意；
当时，不能判定；故选项B符合题意；
当时，可以证明；故选项C不符合题意；
当时，可以证明；故选项D不符合题意；
故选B．
【分析】
三角形全等的判定，共有三个定理和一个推论，即三边对应相等，两三角形全等（SSS）；两边及夹角对应相等，两三角形全等（SAS)；两角及夹边对应相等，两三角形全等（ASA） ；一角及一角的对边对应相等，两三角形全等（AAS）．
6．【答案】B
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：设弹簧不挂物体时的长度为xcm，由题意可得x+2=9，
解得x=7，即弹簧不挂物体时的长度为7cm.
故答案为：B．
【分析】由表格可得， 在弹性限度内， 弹簧所挂重物每增加1kg，弹簧伸长2cm，设弹簧不挂物体时的长度为xcm，由弹簧不挂物体时的长度+挂物体时伸长的长度=弹簧的实际长度，列出方程，求解即可.
7．【答案】A
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：A．
【分析】过点B作BD∥m，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得到BD∥m∥n，由二直线平行，同位角相等（内错角相等）可得∠1=∠3，∠2=∠4，进而根据角的构成代值计算即可.
8．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为，则大直角三角形的直角边长为，
∴大正方形的面积为，
解得，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：C．
【分析】设小正方形的边长为acm，则大直角三角形的直角边长为2acm，由大正方形的面积=直角边长为2a的四个等腰直角三角形的面积之和列出方程，解方程得出a2=2，进而根据阴影部分的面积=边长为a的小正方形面积+直角边长为2a的等腰直角三角形的面积之和，列式化简后整体代入计算可得答案.
9．【答案】x2+3x+2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：原式＝x2+2x+x+2＝x2+3x+2，
故答案为：x2+3x+2.
【分析】根据多项式乘多项式法则计算求解即可。
10．【答案】
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意，得：，，，
又∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】结合对顶角相等，由SAS判断出△ACB≌△DCE，由全等三角形的对应边相等得AB=DE=8m.
11．【答案】0.86
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.86，故用频率估计概率，黄豆发芽的概率估计值是0.86．
故答案为：0.86．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此结合题意可得答案.
12．【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：的周长为20，
，
，
由已知作图可知垂直平分，
，
的周长．
故答案为：12．
【分析】根据三角形周长计算公式结合△ABC的周长为20，可得AB+AC=12；，根据作图过程可知MN垂直平分BC，再由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到BD=CD，最后再根据三角形周长计算公式、等量代换及线段的和差，可将△ACD的周长转化为AB+AC，从而代值计算可得答案.
13．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴，，
∵，
∴，
由折叠性质得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：20°．
【分析】由长方形性质可得∠BCD=90°，AB∥CD，根据角的和差得出∠BCE=140°，由折叠的性质得到∠ECA=∠BCA=70°，再根据角的构成可得∠DCA=20°，最后根据二直线平行，内错角相等得∠CAB=∠DCA=20°.
14．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】整式的混合运算；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）由有理数乘方运算法则、绝对值代数意义、0指数幂性质“a0=1(a≠0)”及负整数指数幂性质“”分别计算，再根据有理数加减法法则计算可得答案；
（2）先根据完全平方公式、单项式乘以多形式法则分别展开小括号，再合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则计算即可.
15．【答案】（1）解：张师傅遇到绿灯的概率大，原因是：绿灯时长比红灯的时长要长；
（2）解：由题意，得：，
解得：；
故黄灯每次开启3秒．
【知识点】概率的意义；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式，张师傅遇到绿（红）灯的概率=绿（红）灯亮的时间比上三种交通信号灯亮的总时间，由于绿灯时长比红灯的时长要长，从而即可得出结论；
（2）根据张师傅遇到红灯的概率=红灯亮的时间比上三种交通信号灯亮的总时间，列出方程，求解即可.
16．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵AC∥DG，，
∴∠BDG=∠A=35°，
∵DG平分∠BDC，
∴∠CDG=∠BDG=35°，
∵AC∥DG，
∴∠ACD=∠CDG=35°，
∵EF∥CD，
∴∠CEF=180°-∠ACD=145°.
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠ACD=∠CDG，结合已知，由等量代换得出∠AEF=∠ACD，从而由同位角相等，两直线平行，得出结论；
（2）由二直线平行，同位角相等得∠BDG=∠A=35°，由角平分线的定义得∠CDG=∠BDG=35°，再由二直线平行，内错角相等得∠ACD=∠CDG=35°，最后根据二直线平行，同旁内角互补得∠CEF=180°-∠ACD=145°.
17．【答案】（1）120
（2）解：由题意，得： ()；
（3）解：当用电量为度时，应缴费：元，
∵，
∴小明家8月电费超过400度，
∴小明家8月份用电度数为：（度）．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：（元）；
故答案为：120；
【分析】（1）由于200＜210，故直接根据第一档标准收取费用，进而利用单价乘以数量等于总价列式计算即可；
（2）根据应交电费=前210度电的电费+ 超过210度但不超过400度部分的电费，结合单价乘以数量等于总价，列式计算即可；
（3）求出400度时需交的费用，判断用电度数，再列式计算即可．
18．【答案】（1）证明：∵等腰直角中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
i)∵，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴；
ii)∵
∴设，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得AB=AC，由垂直的定义得∠F=∠AEB=90°，由同角的余角相等得∠ABE=∠CAF，从而根据AAS判断出△ABE≌△CAF；
（2）过点C作射线AD的垂线，垂足为点F，由（1）可得△ABE≌△CAF，由全等三角形的对应边相等得CF=AE=GE，BE=AF，从而结合对顶角相等，可用AAS判断出△EHG≌△FHC，由全等三角形的对应边相等得EH=FH；
i)易得∠EGH=45°，由等腰直角三角形的性质及等量代换得EH=GE=FH=FC=AE，则BE=3AE，BG=2AE，在Rt△ABE中，由勾股定理建立方程，求出AE即可；
ii)设BG=3x，AH=5x，EG=AE=CF=a，则BE=AF=3X+a，EH=AH-AE=5x-a，则，FH=AF-AH=a-2x，由EH=FH建立方程，解得，即可得到．
19．【答案】4
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
∴，
∴；
故答案为：4．
【分析】先根据有理数乘方运算法则将已知等于左子第一个因数及右边的积变形为以2为底的幂得形式，然后左边根据同底数幂的乘法法则“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”进行计算，最后根据幂的性质及等式性质“底数相同，幂相等，则指数一定相等”建立出关于字母n的方程，求解即可.
20．【答案】102°
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：102°．
【分析】过点E作EH∥CD，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥EH∥FG，根据二直线平行，同旁内角互补，得∠EFG+∠FEH=180°，∠DEH+∠CDE=180°，结合∠CD、∠FED的度数及角的构成，计算可得答案.
21．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意，不妨设大圆的半径为2，小圆的半径为1，
∴；
故答案为：．
【分析】由圆环面积=大圆面积-小圆面积，并根据圆的面积公式可求出圆环面积，进而根据几何概率的意义，用圆环的面积比上大圆的面积即可求出击中阴影部分的概率．
22．【答案】520
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，∴第一次操作后的数为：，
∵，
∴第二次操作后的数为：，
∵，
∴第三次操作后的数为：，
∵，
∴第四次操作后的数为：，
∵，
∴第五次操作后的数为：，
∵，
∴第六次操作后的数为：，
∴6次操作为一个循环，
∵，
∴第次操作后得到的数是．
故答案为：520．
【分析】按照题干给出的计算规则依次进行循环操作，观察操作后得到的结果就会发现第六次操作后的数又回到了470，故6次操作作为一个循环，由于99÷6=16……3，所以第99次操作后得到的数与第3次操作后的数一样，从而即可得出答案.
23．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点D关于BC的对称点N，关于AC的对称点M，连接CD、CM、CN、MN、EN、FM，
则：，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴的周长，
∴当四点共线时，的周长最小，为的长，即为的长，
∴当最小时，的周长最小，
过点C作CP⊥AB，过点D作DQ⊥AB，
∴，，
∴，，
∴点在平行于且距离等于的直线上，
∴当为与的交点时，的长度最小，
此时，
∴周长的最小值为；
故答案为：．
【分析】作点D关于BC的对称点N，关于AC的对称点M，连接CD、CM、CN、MN、EN、FM，由轴对称的性质得CD=CN=CM，EN=DE，DF=MF，∠DCE=∠NCE，∠DCF=∠MCF，结合已知及角的构成可得∠MCN=60°，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△CMN是等边三角形；由等边三角形的三边相等得MN=CD，由三角形周长计算公式、等量代换可将△DEF的周长转化为FM+EN+EF，由两点之间线段最短得当M、E、F、N四点共线时，△DEF的周长最小为MN，即为CD的长；而当CD最小时，△DEF的周长最小；过点C作CP⊥AB，过点D作DQ⊥AB，由三角形面积公式算出CP、DQ的长，从而根据平行间的距离处处相等得点D在平行于AB，且距离等于的直线HG上，当D为HG与CP的交点时，CD的长度最小，从而即可得出答案.
24．【答案】（1）
（2）解：乙步行速度为（米/分钟），
∴骑车速度为（米/分钟），
∴骑行时间为（分钟），
∴乙中途休息时间为（分钟）；
（3）解：甲速度为（米/分钟），
设乙休息前，甲步行分钟，甲、乙两人之间的距离为400米，
由题意可得，
解得，符合题意，
当乙休息后，骑行前，若甲、乙两人之间的距离为400米，则甲步行驶路程为米，用时分钟
∴乙骑行前，甲步行或分钟，甲、乙两人之间的距离为400米．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，当时，甲乙的距离即为A，C两地之间的距离为米，
故答案为：；
【分析】（1）由于图象反应的是甲、乙两人各自到A地的距离(米)与所用时间(分 )的关系，且C地位于A，B两地之间，甲、乙两人分别从A，C两地同时出发前往B地， 故乙图象的起点纵坐标值就是A、C两地之间的距离；
（2）由图象可得乙15分钟走了（1800-600）米，根据速度=路程除以时间可求出乙步行速度，进而根据“ 乙骑行的速度是自己步行速度的3倍 ”求出乙骑车的速度，再计算出乙骑行时间，最后根据乙休息的时间=总时间-步行时间-骑行时间，即可求解；
（3）由图象得甲30分钟步行了3000米，根据速度=路程除以时间可求出甲步行速度，再按乙休息前后分类讨论计算即可．
25．【答案】解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴
∴
∴；
（3）由题意可得，阴影部分面积为
∵，，
∴，
∵
∴，
∴解得，
∴劳动试验田中小白菜的种植面积（平方米）．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的恒等变形可得x2+y2=(x+y)2-2xy，从而整体代入计算即可；
（2）由完全平方公式的恒等变形可得，从而整体代入计算即可得出答案；
（3）首先根据几何图形面积公式，由S阴影=S△BCD+S正方形EFGC+S△MGF+S△DEM，列式并化简表示出S阴影；再根据ab=27，a-b=1.5，由(a+b)2=(a-b)2-4ab求出a+b的值，从而解关于字母a、b的二元一次方程组得出a、b的值，最后代值计算求值即可．
26．【答案】（1）解：如图：过点D作，
∵，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵为的角平分线，，
∴，
∴
∴．
（2）解：解：，理由如下：
过F作，过D作．
用（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：过G作，过B作，在上取一点H，使．
设，
由（2），
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）过点D作DG⊥BC于点G，首先根据三角形的内角和定理算出∠ABC=60°，由四边形的内角和定理、及同角的补角相等可推出∠AED=∠DFG，由角平分线上的点到角两边的距离相等得AD=DG，从而由AAS判断出△AED≌△GFD，由全等三角形的对应边相等得DE=DF；
（2）过点F作FQ⊥GD，过点D作DM⊥BC，由（1）知△AED≌△MFD，由全等三角形的性质得∠MDF=∠ADE，MF=AE，由角的构成、等量代换推出∠ADM=120°，由三角形内角定理推出∠ADB=∠MDB=60°，由平角定义及角的和差推出∠EDG=45°，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠DEG=∠DFG=30°，进而推出∠FDG=∠FGD=75°，由等角对等边得FG=FD，则GD=2全等从而由AAS判断出△FQD≌△DMF，由全等三角形的对应边相等得QD=MF，从而可得结论；
（3）过点G作GM⊥ED，过点B作BN⊥EG，在BN上取一点H，使∠NHG=30°，设EG=m，GF=n，由（2）∠AED=75°，结合对顶角相等得∠BEG=∠BGE=75°，由等角对等边得BE=BG，由等腰三角形的三线合一可得，由含30°角直角三角形的性质得，进而根据等腰直角三角形的性质得，从而由勾股定理可得到，，由，从而即可解决此题.
1 / 1四川省成都市高新技术产业开发区2023-2024学年七年级下学期6月期末数学试题
1．（2024七下·成都期末）下列标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形都不能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形都不能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形都不能找到一条或多条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、此选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故此选项符合题意.故答案为：D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断得出答案.
2．（2024七下·成都期末）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．任意买一张电影票，座位号是单号
C．在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，不符合题意；
C、在同一平面内，任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．（2024七下·成都期末）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管．某芯片的晶体管栅极的宽度为0.0000014．将数据0.0000014用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：；
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于0且小于1的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n等原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0，据此求解即可.
4．（2024七下·成都期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；单项式除以单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，此选项原计算错误，不符合题意；
B、，此选项原计算错误，不符合题意；
C、，此选项原计算错误，不符合题意；
D、，此选项原计算正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】由同底数幂的乘法，底数不变，指数相加，可判断A选项；由完全平方公式的展开式是一个三项式，可判断B选项；由单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同指数作为商的一个因式，据此计算可判断C选项；由幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断D选项.
5．（2024七下·成都期末）如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，只添加一个条件，不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，
∴，即：，
当时，可以证明；故选项A不符合题意；
当时，不能判定；故选项B符合题意；
当时，可以证明；故选项C不符合题意；
当时，可以证明；故选项D不符合题意；
故选B．
【分析】
三角形全等的判定，共有三个定理和一个推论，即三边对应相等，两三角形全等（SSS）；两边及夹角对应相等，两三角形全等（SAS)；两角及夹边对应相等，两三角形全等（ASA） ；一角及一角的对边对应相等，两三角形全等（AAS）．
6．（2024七下·成都期末）在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．下表是研究某种弹簧的长度与所挂物体质量关系的实验表格，则弹簧不挂物体时的长度为（　　）
所挂物体重量x(kg) 1 2 3 5
弹簧长度y() 9 11 13 17
A．6 B．7 C．8 D．8.5
【答案】B
【知识点】用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】解：设弹簧不挂物体时的长度为xcm，由题意可得x+2=9，
解得x=7，即弹簧不挂物体时的长度为7cm.
故答案为：B．
【分析】由表格可得， 在弹性限度内， 弹簧所挂重物每增加1kg，弹簧伸长2cm，设弹簧不挂物体时的长度为xcm，由弹簧不挂物体时的长度+挂物体时伸长的长度=弹簧的实际长度，列出方程，求解即可.
7．（2024七下·成都期末）如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：A．
【分析】过点B作BD∥m，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得到BD∥m∥n，由二直线平行，同位角相等（内错角相等）可得∠1=∠3，∠2=∠4，进而根据角的构成代值计算即可.
8．（2024七下·成都期末）数学活动课上，小明用一张边长为的正方形纸片制作了一副如图1的七巧板，并用这副七巧板设计成如图2的“天鹅”作品，该“天鹅”作品中，阴影部分的面积为（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为，则大直角三角形的直角边长为，
∴大正方形的面积为，
解得，
∴阴影部分的面积为，
故答案为：C．
【分析】设小正方形的边长为acm，则大直角三角形的直角边长为2acm，由大正方形的面积=直角边长为2a的四个等腰直角三角形的面积之和列出方程，解方程得出a2=2，进而根据阴影部分的面积=边长为a的小正方形面积+直角边长为2a的等腰直角三角形的面积之和，列式化简后整体代入计算可得答案.
9．（2024七下·成都期末）计算：（x+1）（x+2）＝　 　．
【答案】x2+3x+2
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：原式＝x2+2x+x+2＝x2+3x+2，
故答案为：x2+3x+2.
【分析】根据多项式乘多项式法则计算求解即可。
10．（2024七下·成都期末）数学实践活动中，为了测量校园内假山底部A，B两点之间的距离，小明首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，并测得D，E两点之间的距离为，则A，B两点之间的距离为　 　．
【答案】
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意，得：，，，
又∵，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】结合对顶角相等，由SAS判断出△ACB≌△DCE，由全等三角形的对应边相等得AB=DE=8m.
11．（2024七下·成都期末）某种黄豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示：
试验粒数 500 1000 2000 4000 7000 10000 12000 15000
发芽的粒数 421 868 1714 3456 6020 8580 10308 12915
发芽的频率 0.842 0.868 0.857 0.864 0.860 0.858 0.859 0.861
估计该种黄豆发芽的概率为　 　（精确到0.01）．
【答案】0.86
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：当n足够大时，发芽的频率逐渐稳定于0.86，故用频率估计概率，黄豆发芽的概率估计值是0.86．
故答案为：0.86．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此结合题意可得答案.
12．（2024七下·成都期末）如图，的周长为20，，分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线，交边于点D，连接，则的周长为　 　．
【答案】12
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：的周长为20，
，
，
由已知作图可知垂直平分，
，
的周长．
故答案为：12．
【分析】根据三角形周长计算公式结合△ABC的周长为20，可得AB+AC=12；，根据作图过程可知MN垂直平分BC，再由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到BD=CD，最后再根据三角形周长计算公式、等量代换及线段的和差，可将△ACD的周长转化为AB+AC，从而代值计算可得答案.
13．（2024七下·成都期末）如图，将长方形沿对角线折叠，B的对应点为E，与交于点F．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴，，
∵，
∴，
由折叠性质得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：20°．
【分析】由长方形性质可得∠BCD=90°，AB∥CD，根据角的和差得出∠BCE=140°，由折叠的性质得到∠ECA=∠BCA=70°，再根据角的构成可得∠DCA=20°，最后根据二直线平行，内错角相等得∠CAB=∠DCA=20°.
14．（2024七下·成都期末）（1）计算∶；
（2） 计算∶．
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】整式的混合运算；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）由有理数乘方运算法则、绝对值代数意义、0指数幂性质“a0=1(a≠0)”及负整数指数幂性质“”分别计算，再根据有理数加减法法则计算可得答案；
（2）先根据完全平方公式、单项式乘以多形式法则分别展开小括号，再合并中括号内的同类项，进而根据多项式除以单项式法则计算即可.
15．（2024七下·成都期末）某路口东西方向交通信号灯的设置时间为∶ 红灯20秒，绿灯27秒，黄灯m秒．张师傅随机地由东向西开车到达该路口．
（1）张师傅遇到红灯的概率大还是遇到绿灯的概率大？为什么？
（2）若张师傅遇到红灯的概率为，则黄灯每次开启多少秒？
【答案】（1）解：张师傅遇到绿灯的概率大，原因是：绿灯时长比红灯的时长要长；
（2）解：由题意，得：，
解得：；
故黄灯每次开启3秒．
【知识点】概率的意义；概率公式
【解析】【分析】（1）根据概率公式，张师傅遇到绿（红）灯的概率=绿（红）灯亮的时间比上三种交通信号灯亮的总时间，由于绿灯时长比红灯的时长要长，从而即可得出结论；
（2）根据张师傅遇到红灯的概率=红灯亮的时间比上三种交通信号灯亮的总时间，列出方程，求解即可.
16．（2024七下·成都期末）如图，在中，点D在边上，连接为的角平分线，，点E，F分别在线段上，且．
（1）求证∶；
（2），求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵AC∥DG，，
∴∠BDG=∠A=35°，
∵DG平分∠BDC，
∴∠CDG=∠BDG=35°，
∵AC∥DG，
∴∠ACD=∠CDG=35°，
∵EF∥CD，
∴∠CEF=180°-∠ACD=145°.
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由二直线平行，内错角相等得∠ACD=∠CDG，结合已知，由等量代换得出∠AEF=∠ACD，从而由同位角相等，两直线平行，得出结论；
（2）由二直线平行，同位角相等得∠BDG=∠A=35°，由角平分线的定义得∠CDG=∠BDG=35°，再由二直线平行，内错角相等得∠ACD=∠CDG=35°，最后根据二直线平行，同旁内角互补得∠CEF=180°-∠ACD=145°.
17．（2024七下·成都期末）某市电力公司为鼓励居民节约用电，采用分档计费的方法计算电费，各档次计费方法如下表∶
档次 标准
第一档 每月用电不超过210度时，按0.6元/度计费
第二档 每月用电超过210度但不超过400度时，其中的210度按0.6元/度计费，超过210度的部分按0.7元/度计费
第三档 每月用电超过400度时，其中的210度按0.6元/度计费，超过210度但不超过400度的部分按0.7元/度计费，超出400度的部分按0.9元/度计费
（1）小明家5月用电200度，需交电费 元；
（2）若设某月用电量为x()度，应交电费为y元，求y与x之间的关系式；
（3）若小明家8月交电费268元，求小明家8月用了多少度电？
【答案】（1）120
（2）解：由题意，得： ()；
（3）解：当用电量为度时，应缴费：元，
∵，
∴小明家8月电费超过400度，
∴小明家8月份用电度数为：（度）．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：（元）；
故答案为：120；
【分析】（1）由于200＜210，故直接根据第一档标准收取费用，进而利用单价乘以数量等于总价列式计算即可；
（2）根据应交电费=前210度电的电费+ 超过210度但不超过400度部分的电费，结合单价乘以数量等于总价，列式计算即可；
（3）求出400度时需交的费用，判断用电度数，再列式计算即可．
18．（2024七下·成都期末）在等腰直角中，，点D在边上，过点B作射线的垂线，垂足为点E．
（1）如图1，过点C作射线的垂线，垂足为点F，求证∶；
（2）在射线上取点G，使，连接与交于点H．
i)如图2，若，求线段的长；
ii)若，求的值．
【答案】（1）证明：∵等腰直角中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点C作射线的垂线，垂足为点F，由（1）可得，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
i)∵，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴；
ii)∵
∴设，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴
【知识点】勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-AAS；异侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得AB=AC，由垂直的定义得∠F=∠AEB=90°，由同角的余角相等得∠ABE=∠CAF，从而根据AAS判断出△ABE≌△CAF；
（2）过点C作射线AD的垂线，垂足为点F，由（1）可得△ABE≌△CAF，由全等三角形的对应边相等得CF=AE=GE，BE=AF，从而结合对顶角相等，可用AAS判断出△EHG≌△FHC，由全等三角形的对应边相等得EH=FH；
i)易得∠EGH=45°，由等腰直角三角形的性质及等量代换得EH=GE=FH=FC=AE，则BE=3AE，BG=2AE，在Rt△ABE中，由勾股定理建立方程，求出AE即可；
ii)设BG=3x，AH=5x，EG=AE=CF=a，则BE=AF=3X+a，EH=AH-AE=5x-a，则，FH=AF-AH=a-2x，由EH=FH建立方程，解得，即可得到．
19．（2024七下·成都期末）已知，则　 　．
【答案】4
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：，
∴，
∴；
故答案为：4．
【分析】先根据有理数乘方运算法则将已知等于左子第一个因数及右边的积变形为以2为底的幂得形式，然后左边根据同底数幂的乘法法则“同底数幂的乘法，底数不变，指数相加”进行计算，最后根据幂的性质及等式性质“底数相同，幂相等，则指数一定相等”建立出关于字母n的方程，求解即可.
20．（2024七下·成都期末）图1是某移动硬臀助力机械手，图2是其示意图，现立柱基座，小臂立柱，上臂与立柱构成的角为，下臂与上臂构成的角为，则小臂与下臂构成角度数为　 　．
【答案】102°
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故答案为：102°．
【分析】过点E作EH∥CD，根据平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥EH∥FG，根据二直线平行，同旁内角互补，得∠EFG+∠FEH=180°，∠DEH+∠CDE=180°，结合∠CD、∠FED的度数及角的构成，计算可得答案.
21．（2024七下·成都期末）如图所示是一圆形飞镖游戏板，大圆的半径是小圆半径的2倍，向游戏板随机投掷一枚飞镖(飞每次都落在游戏板上)，则击中阴影部分的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由题意，不妨设大圆的半径为2，小圆的半径为1，
∴；
故答案为：．
【分析】由圆环面积=大圆面积-小圆面积，并根据圆的面积公式可求出圆环面积，进而根据几何概率的意义，用圆环的面积比上大圆的面积即可求出击中阴影部分的概率．
22．（2024七下·成都期末）任取一个三位数，把这个三位数的百位数字乘2，若积不大于9，则将积作为下一个数的百位数字，若积大于9，则将积的两个数位上的数字之和作为下一个数的百位数字，对起始数的十位数字和个位数字进行相同的操作，得到下一个数的十位数字和个位数字，完成第1次操作；然后重复这个过程．如：以126作为原始数，第一次操作后得到的数为243．若以470作为原始数，则第99次操作后得到的数是　 　．
【答案】520
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：∵，∴第一次操作后的数为：，
∵，
∴第二次操作后的数为：，
∵，
∴第三次操作后的数为：，
∵，
∴第四次操作后的数为：，
∵，
∴第五次操作后的数为：，
∵，
∴第六次操作后的数为：，
∴6次操作为一个循环，
∵，
∴第次操作后得到的数是．
故答案为：520．
【分析】按照题干给出的计算规则依次进行循环操作，观察操作后得到的结果就会发现第六次操作后的数又回到了470，故6次操作作为一个循环，由于99÷6=16……3，所以第99次操作后得到的数与第3次操作后的数一样，从而即可得出答案.
23．（2024七下·成都期末）如图，在面积为的锐角中，，，D是内部一点，E，F分别是边上的动点，连接．若的面积为1，则周长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点D关于BC的对称点N，关于AC的对称点M，连接CD、CM、CN、MN、EN、FM，
则：，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴的周长，
∴当四点共线时，的周长最小，为的长，即为的长，
∴当最小时，的周长最小，
过点C作CP⊥AB，过点D作DQ⊥AB，
∴，，
∴，，
∴点在平行于且距离等于的直线上，
∴当为与的交点时，的长度最小，
此时，
∴周长的最小值为；
故答案为：．
【分析】作点D关于BC的对称点N，关于AC的对称点M，连接CD、CM、CN、MN、EN、FM，由轴对称的性质得CD=CN=CM，EN=DE，DF=MF，∠DCE=∠NCE，∠DCF=∠MCF，结合已知及角的构成可得∠MCN=60°，从而由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得△CMN是等边三角形；由等边三角形的三边相等得MN=CD，由三角形周长计算公式、等量代换可将△DEF的周长转化为FM+EN+EF，由两点之间线段最短得当M、E、F、N四点共线时，△DEF的周长最小为MN，即为CD的长；而当CD最小时，△DEF的周长最小；过点C作CP⊥AB，过点D作DQ⊥AB，由三角形面积公式算出CP、DQ的长，从而根据平行间的距离处处相等得点D在平行于AB，且距离等于的直线HG上，当D为HG与CP的交点时，CD的长度最小，从而即可得出答案.
24．（2024七下·成都期末）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B两地之间，甲、乙两人分别从A，C两地同时出发前往B地，甲匀速步行至B地，乙前15分钟匀速步行，中途休息了一段时间后，再匀速骑共享单车至B地．已知，乙骑行的速度是自己步行速度的3倍，甲、乙两人同时到终点．甲、乙两人各自到A地的距离(米)与所用时间(分 )的关系如图所示，请结合图象解答下列问题∶
（1）A，C两地之间的距离是____米；
（2）求乙中途休息了多少分钟；
（3）乙骑行前，甲步行多少分钟，甲、乙两人之间的距离为400米．
【答案】（1）
（2）解：乙步行速度为（米/分钟），
∴骑车速度为（米/分钟），
∴骑行时间为（分钟），
∴乙中途休息时间为（分钟）；
（3）解：甲速度为（米/分钟），
设乙休息前，甲步行分钟，甲、乙两人之间的距离为400米，
由题意可得，
解得，符合题意，
当乙休息后，骑行前，若甲、乙两人之间的距离为400米，则甲步行驶路程为米，用时分钟
∴乙骑行前，甲步行或分钟，甲、乙两人之间的距离为400米．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，当时，甲乙的距离即为A，C两地之间的距离为米，
故答案为：；
【分析】（1）由于图象反应的是甲、乙两人各自到A地的距离(米)与所用时间(分 )的关系，且C地位于A，B两地之间，甲、乙两人分别从A，C两地同时出发前往B地， 故乙图象的起点纵坐标值就是A、C两地之间的距离；
（2）由图象可得乙15分钟走了（1800-600）米，根据速度=路程除以时间可求出乙步行速度，进而根据“ 乙骑行的速度是自己步行速度的3倍 ”求出乙骑车的速度，再计算出乙骑行时间，最后根据乙休息的时间=总时间-步行时间-骑行时间，即可求解；
（3）由图象得甲30分钟步行了3000米，根据速度=路程除以时间可求出甲步行速度，再按乙休息前后分类讨论计算即可．
25．（2024七下·成都期末）[基础]
（1），，求的值．
［变式］
（2）已知，求的值．
[应用]
（3）为深入贯彻落实中共中央国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》某校规划了如图所示的五边形劳动试验田，该劳动试验田中，四边形区域的形状是边长为a米的正方形，四边形(点E在上)区域及四边形区域的形状都是边长为b米的正方形．图中阴影部分区域种植了小白菜，已知的长为米，，求劳动试验田中小白菜的种植面积．
【答案】解：（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴
∴
∴；
（3）由题意可得，阴影部分面积为
∵，，
∴，
∵
∴，
∴解得，
∴劳动试验田中小白菜的种植面积（平方米）．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的恒等变形可得x2+y2=(x+y)2-2xy，从而整体代入计算即可；
（2）由完全平方公式的恒等变形可得，从而整体代入计算即可得出答案；
（3）首先根据几何图形面积公式，由S阴影=S△BCD+S正方形EFGC+S△MGF+S△DEM，列式并化简表示出S阴影；再根据ab=27，a-b=1.5，由(a+b)2=(a-b)2-4ab求出a+b的值，从而解关于字母a、b的二元一次方程组得出a、b的值，最后代值计算求值即可．
26．（2024七下·成都期末）在中，，，为的角平分线，点E，F分别在边，上，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，，连接，与交于点G．猜想与之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求证∶．
【答案】（1）解：如图：过点D作，
∵，，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵为的角平分线，，
∴，
∴
∴．
（2）解：解：，理由如下：
过F作，过D作．
用（1）得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（3）证明：过G作，过B作，在上取一点H，使．
设，
由（2），
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴．
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）过点D作DG⊥BC于点G，首先根据三角形的内角和定理算出∠ABC=60°，由四边形的内角和定理、及同角的补角相等可推出∠AED=∠DFG，由角平分线上的点到角两边的距离相等得AD=DG，从而由AAS判断出△AED≌△GFD，由全等三角形的对应边相等得DE=DF；
（2）过点F作FQ⊥GD，过点D作DM⊥BC，由（1）知△AED≌△MFD，由全等三角形的性质得∠MDF=∠ADE，MF=AE，由角的构成、等量代换推出∠ADM=120°，由三角形内角定理推出∠ADB=∠MDB=60°，由平角定义及角的和差推出∠EDG=45°，由等边对等角及三角形的内角和定理得∠DEG=∠DFG=30°，进而推出∠FDG=∠FGD=75°，由等角对等边得FG=FD，则GD=2全等从而由AAS判断出△FQD≌△DMF，由全等三角形的对应边相等得QD=MF，从而可得结论；
（3）过点G作GM⊥ED，过点B作BN⊥EG，在BN上取一点H，使∠NHG=30°，设EG=m，GF=n，由（2）∠AED=75°，结合对顶角相等得∠BEG=∠BGE=75°，由等角对等边得BE=BG，由等腰三角形的三线合一可得，由含30°角直角三角形的性质得，进而根据等腰直角三角形的性质得，从而由勾股定理可得到，，由，从而即可解决此题.
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