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四川省成都市高新技术产业开发区2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题
1．（2024八下·成都期末）下列图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·成都期末）若，则下列不等式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·成都期末）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·成都期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交边于点E，若的周长等于35，则线段的长为（　　）
A．15 B．17.5 C．20 D．25
5．（2024八下·成都期末）分式的计算结果是（　　）
A． B． C． D．1
6．（2024八下·成都期末）在平面直角坐标系中，把点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B，若点B的横、纵坐标相等，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．7
7．（2024八下·成都期末）如图，在四边形中，对角线、交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．（2024八下·成都期末）如图，中，，将绕点C顺时针方向旋转一定角度得到．若点D恰好落在边上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·成都期末）分解因式：　 　．
10．（2024八下·成都期末）如果分式的值为0，那么的值是　 　．
11．（2024八下·成都期末）数学实践活动中，为了测量校园内一建筑物底部A，B两点之间的距离，如图，小明同学在A，B两点外选择一点C，分别定出线段，中点D，E，测得D，E两点之间的距离为，则A，B两点之间的距离是　 　．
12．（2024八下·成都期末）如图，直线与直线(为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
13．（2024八下·成都期末）如图，在中，，，的平分线交于点，的平分线交于点，则线段的长为　 　．
14．（2024八下·成都期末）（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
15．（2024八下·成都期末）若两数的平方差能被整数整除，则将这两数称为“幸运倍数组合”，如：证明两个连续偶数是“幸运倍数组合”，设较小的偶数为（为整数），则较大的偶数为，因为，，为整数，所以，两个连续偶数是“幸运倍数组合”．你认为两个连续奇数是“幸运倍数组合”吗？为什么？
16．（2024八下·成都期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕原点O顺时针旋转得到的；
（2）在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标．
17．（2024八下·成都期末）如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为D，射线与射线交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求线段长．
18．（2024八下·成都期末）【基础巩固】
（1）如图1，在中，D是中点，平分，求证：．
【深入探究】
（2）如图2，在中，，点C在线段的延长线上，且．在射线上取点E，若，请写出与的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，对角线与交于点O，已知，，，点E在边上，连接的延长线交于点F，点G在对角线上，若，且的面积是面积的2倍，求线段的长．
19．（2024八下·成都期末）化简：　 　．
20．（2024八下·成都期末）某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板的边数是　 　．
21．（2024八下·成都期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是　 　．
22．（2024八下·成都期末）如图，中，，延长至点D，使，连接AD，过点C作的垂线，交的平分线于点E，则的度数为　 　．
23．（2024八下·成都期末）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两端点分别为，，将线段AB沿直线翻折得到线段（点A的对应点为），再将线段向右平移1个单位，向上平移5个单位得到线段（点的对应点为），此时的线段可看做是由线段AB绕点P旋转得到（点A的对应点为），则周长的最小值为　 　．
24．（2024八下·成都期末）2024年汤尤杯比赛于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行．作为世界羽毛球界的重要赛事，它的周边产品（如熊猫挂件）深受球迷喜爱．已知每件A型熊猫挂件比每件B型熊猫挂件多15元，用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同．
（1）每件A型熊猫挂件与每件B型熊猫挂件的售价是多少元？
（2）若某球迷决定用不超过2000元购买A，B两种型号的熊猫挂件共40件，则最多购买A型熊猫挂件多少件？
25．（2024八下·成都期末）如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且．
（1）求直线的函数表达式；
（2）点D在x轴负半轴上，在直线上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）直线：与y轴正半轴交于点F，与直线交于点P，若，求k的值．
26．（2024八下·成都期末）已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E．
（1）如图1，若，，求线段的长；
（2）如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值；
（3）如图3，过点A的直线，射线与直线交于点F，若，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、此选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：B．
【分析】平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＜b，∴-2a＞-2b，故此选项变形错误，不符合题意；
B、假设a=-1，b=1，满足a＜b，但a2=b2=1，故此选项变形错误，不符合题意；
C、∵a＜b，∴a-b＜b-b，即a-b＜0，故此选项变形错误，不符合题意；
D、∵a＜b，∴3a＜3b，∴3a-1＜3b-1，故此选项变形正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，是整式的乘法运算，不符合题意；
B、，故原分解因式错误，不符合题意；
C、，利用完全平方公式因式分解，符合题意；
D、，结果不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断是否是因式分解，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长等于35，
∴．
∵中，，
∴．
故答案为：C．
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后根据三角形周长计算公式、等量代换及线段的和差可将△ABC的周长转化为AC+BC，进而代值计算可得答案.
5．【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B
【分析】此题是异分母分式的减法，先确定各个分母的最简公分母为a(a-1)，然后在第一个分式的分子、分母同时乘以a进行通分，进而根据同分母分式减法法则“同分母分式相减，分母不变，分子相减”进行计算，最后约分化简即可.
6．【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵把点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B，
∴点B的坐标为，
∵点B的横、纵坐标相等，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据平面内点的坐标平移规律“横坐标左移减、右移加，纵坐标上移加、下移减”可得点B的坐标为，再由点B的横、纵坐标相等，可得，即可求解．
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：A、当，时，四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、当，时，四边形ABCD可能是等腰梯形，故四边形ABCD不一定是平行四边形，故该选项符合题意；
C、当，时，四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意.
故答案为∶B．
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定A选项， 根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，可判断B选项；根据对角线互相平分得四边形是平行四边形可判定C选项，先利用二直线平行，内错角相等得出，再用ASA证明，由全等三角形的对应边相等可得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定D选项．
8．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先由旋转的性质得到，再由等边对等角得到，，则由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得，再由三角形内角和定理建立方程求解即可．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】此题给出的多项式各项具有相同的因式2a，故直接利用提取公因式法分解即可.
10．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题可知，
且，
解得．
故答案为：．
【分析】
分式的值为零即分子为零且分母不为零．
11．【答案】16
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E是线段AC，BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
即A，B两点之间的距离是，
故答案为：16．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可得AB=2DE，从而代值即可得出答案.
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入得，解得，
当时，，
故答案为：．
【分析】
观察图象，寻找直线直线在直线下方时对应自变量x的取值范围 ．
13．【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形
，，
又平分
同理可得：
．
故答案为：4．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AB=CD=6，BC=AD=8，由二直线平行，内较长相等及角平分线的定义可得∠AEB=∠EBC=∠EBA，由等角对等边得AE=AB=6，同理可得DF=DC=6，进而根据EF=AE+FD-BC代值计算可得答案.
14．【答案】解：（1），解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为；，
（2）
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程无解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据解不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可；
（2）先在方程两边同时乘以(x-2)约去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，然后检验，即可求解．
15．【答案】解：两个连续奇数是“幸运倍数组合”，理由如下，
设较小的奇数为（为整数），则较大的奇数为，
∵，，为整数，
∴两个连续奇数是“幸运8倍数组合”．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】设较小的奇数为2n-1（n为整数），则较大的奇数为2n+1，则这两个连续奇数的平方差为(2n+1)2-(2n-1)2，然后利用完全平方公式分别展开括号后再合并同类项化简，进而即可根据“幸运m倍数组合”的定义得出结论.
16．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：设交y轴于点D，则点，
，
∵的面积是面积的倍，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别找出点A、B、C的绕原点O顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，然后用线段连接即可；
（2）设AB交y轴于点D，则点，利用方格纸的特点及割补法，由△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积即可求出△ABC的面积，然后由及S△ABP=S△BPD+S△ADP，并结合三角形的面积公式建立方程，从而得到DP长，即可求得点P的坐标.
17．【答案】（1）证明：由旋转的性质得：，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵AB=2BC=4，
∴BC=2，
∴，
由旋转的性质得：，
∵，
∴AF平分∠DFB，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由旋转性质得：，从而用HL证，进而根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）根据勾股定理可得AC的长，由旋转的性质得AB=AD，∠ADE=∠ABF=∠ABC=90°，由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得∠AFB=∠AFD，由二直线平行，内错角相等得∠EAF=∠AFB，则∠EAF=∠EFA，由等角对等边得出，最后根据线段和差及等量代换即可求解．
18．【答案】解：（1）证明：如图，延长至点E，使，连接，
∵点D是中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长至点K，使，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接，过点F作于点P，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）延长至点E，使，连接，用SAS证明，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）可得，结合角平分线的定义可得，由等角对等边得，从而利用等量代换即可得出答案；
（2）延长至点K，使，连接，用SAS证明，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）可得，，由等量代换得，然后根据等边对等角可得，最后由等量代换即可得出结论；
（3）连接，过点F作于点P，由平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC=5，OA=OC=2，由二直线平行，内错角相等得，从用AAS证，由全等三角形的对应边相等得OE=OF，AF=CE，由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得到四边形是平行四边形，从而得到，，由等量代换得到，根据等腰三角形的三线合一得出，由同高三角形的面积关系就是对应底的关系可得，由线段和差得到，然后根据含30°角直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理可求出，即可求解．
19．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】
分式的混合计算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，注意括号内是整式与分式的减法，可先通分化异分母分式为同分母分式，再作减法运算，然后把除式的分子与分母颠倒位置并与被除式作乘法运算，同时对分子和分母分别分解因式，最后再约分．
20．【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴该正多边形的一个外角的度数为，
∴这块正多边形纸板的边数是．
故答案为：6.
【分析】平面镶嵌的核心原理是“拼接点处的多边形内角之和必须为360°”，据此先求出∠AOB的度数，由多边形的一个内角与其相邻的一个外角互补可得该正多边形的一个外角的度数，进而用外角和除以外角的度数即可求解．
21．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵关于的不等式组无解，
由，得；
由，得，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】将m作为字母参数分别解两个不等式，再根据不等式组无解，由“大大小小无解了”得出，进而求解即可.
22．【答案】55°
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过E作于H，作于G，于M，连接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴平分，平分，
∴，是的垂直平分线，
∴，，
又，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即，
∴，
故答案为：55°．
【分析】 过E作EH⊥BC于H，作EG⊥AC于G，EM⊥BA于M，连接AE， 由角平分线上的点到角两边的距离相等得EM=EH，由等腰三角形的三线合一得出CE平分，CE平分AD，由角平分线上的点到角两边的距离相等得EG=EH=EM，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得AE平分，结合邻补角求出，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AC=CD，AE=DE，利用等边对等角得出，，从而根据等式性质即可求解．
23．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
设直线的解析式为
把，代入得，
，
解得，，
∴直线的解析式为
联立方程组，解得，，
∵与点关于直线对称，
设，则有：
∴
∴，
由平移规律得，，
设点，则，，
∴，
∴，
∴的周长
当时，的周长
而
∴
解得，，
所以，当时，的周长最小值为，
故答案为：
【分析】用两点间距离公式算出AB的长，运用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线AB和y=x+b，求解得出两线交点坐标，根据中点坐标公式得到，运用点的坐标平移规律“横坐标左移减、右移加，纵坐标上移加、下移减”得，设点，再根据中点对称性质及中点坐标公式得，，则，进而再利用两点间的距离公式表示出PA、PB，根据三角形周长计算公式及a+b≥2(a≥0，b≥0)，且当a=b时取等号可再求出△ABP的周长最小值.
24．【答案】（1）解：设每件A型熊猫挂件的售价是x元，则每件B型熊猫挂件的售价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意；
，
答：每件A型熊猫挂件的售价是60元，则每件B型熊猫挂件的售价是45元；
（2）解：设购买A型熊猫挂件m件，则购买B型熊猫挂件件，根据题意得：，
解得：，
∵m为整数，
∴m的最大值为13，
答：最多购买A型熊猫挂件13件．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件A型熊猫挂件的售价是x元，则每件B型熊猫挂件的售价是(x-15)元，根据总价除以单价等于数量及“ 用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同 ”，列出方程，即可求解；
（2）购买A型熊猫挂件m件，则购买B型熊猫挂件(40-x)件，根据单价乘以数量等于总价及购买m件A型熊猫挂件的费用+购买(40-m)件B型熊猫挂件的费用不超过2000元，列出不等式，求出最大整数解即可.
25．【答案】（1）解：对于，当时，当时，；
∴，
∴OA=
∵，
∴，
∴点，
设直线的表达式为：，
将点A的坐标代入上式得：，则，
则直线l2的表达式为：；
（2）解：设点、点，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，则，
即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或；
综上，或；
（3）解：令y=kx+k中的y=0得x=-1，设直线PF交x轴于点T（-1，0），
过点T作交于点M，则为等腰直角三角形，则，
过点T作轴，交过点P和x轴的平行线于点G，交过点M和x轴的平行线于点N，
设点、点，则G(-1，3n-4.5)，N(-1，3a-4.5)
∵，
∴，
∴，
则且，
则，且，
解得：，则点，
将点P的坐标代入得：，
解得：．
【知识点】坐标与图形性质；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据直线与纵坐标交点的坐标特点，分别令y=-2x+3中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点A、B的坐标及OA的长，然后结合OA∶OC=1∶3求出OC的长，得到点C的坐标，进而由待定系数法即可求解；
（2）根据点的坐标与图形性质，设D(x，0)，E(m，3m-4.5)，然后分类讨论：当AB为对角线时，由平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式列出等式，即可求解；当AD或AE为对角线时，同理可解；
（3）令y=kx+k中的y=0算出对应的x的值，可得直线y=kx+k与x轴交点T的坐标；过点T作TM⊥PF交AC于点M，则△PMT为等腰直角三角形，则TP=TM，过点T作GN∥y轴，交过点P和x轴的平行线于点G，交过点M和x轴的平行线于点N，根据点的坐标与图形性质，设P(n，3n-4.5)，M(a，3a-4.5)，则则G(-1，3n-4.5)，N(-1，3a-4.5)；由同角的余角相等得∠GTP=∠TMN，从而用AAS判断出△GTP≌△TMN，由全等三角形的对应边相等得GP=TN，GT=MN，据此结合两点间的距离公式建立方程求出n的值，从而可得点P的坐标，进而将点P的坐标代入直线y=kx+k即可算出k的值.
26．【答案】（1）解：过D作于H，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长交于M，在取点F，使，
∵，
∴，
∵翻折，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
（3）解：当F在A的右侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，于M，连接，
∵翻折，
∴，，，，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又，，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解得
∴；
当F在A的左侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，于M，连接，
同理可证平分，
∴，
又，
∴，
又，，
∴∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解得
∴；
综上，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）过D作DH⊥BC于H，由等边三角形的性质得∠C=60°，由直角三角形两锐角互余得∠HDC=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出CH=1，进而利用勾股定理求出DH；，利用翻折的性质得∠EBD=∠DBH=45°，BE=BC，由等腰直角三角形性质得BH=DH，进而根据BE=BC=BH+HC即可算出答案；
（2）延长ED交BC于M，在AC取点F，使AF=EF，由等边三角形的性质得∠C=60°，由直角三角形两锐角互余得∠MDC=30°，利用翻折的性质可求出∠BDC=∠BDE=105°，利用三角形内角和定理求出∠EBD=∠CBD=15°，利用等腰三角形三线合一性质得出BE⊥AC，利用等边对等角和三角形内角和定理求出∠BAE=∠AEB=75°由角的构成求得∠NAE=15°，利用等边对等角和三角形外角的性质求出∠EFN=30°，设NE=x，利用含30°的直角三角形的性质以AF=EF=2x，进而利用勾股定理得，，利用等角对等边求得DE=CD=2x，即可求解；
（3）分点F在A的右侧和左侧两种情况讨论，利用角平分线的性质与判定可证BF平分∠AFE，然后利用AAS证△ABF≌△EBF，由全等三角形的对应边相等得出AF=EF=1，在Rt△ADG与Rt△FDG中中，利用勾股定理可得出DG2=AD2-AG2=FD2-FG2，从而代入数据即可求解．
1 / 1四川省成都市高新技术产业开发区2023-2024学年八年级下学期6月期末数学试题
1．（2024八下·成都期末）下列图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、此选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D、此选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：B．
【分析】平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此逐一判断即可.
2．（2024八下·成都期末）若，则下列不等式变形正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、∵a＜b，∴-2a＞-2b，故此选项变形错误，不符合题意；
B、假设a=-1，b=1，满足a＜b，但a2=b2=1，故此选项变形错误，不符合题意；
C、∵a＜b，∴a-b＜b-b，即a-b＜0，故此选项变形错误，不符合题意；
D、∵a＜b，∴3a＜3b，∴3a-1＜3b-1，故此选项变形正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，据此逐一判断即可.
3．（2024八下·成都期末）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：A、，是整式的乘法运算，不符合题意；
B、，故原分解因式错误，不符合题意；
C、，利用完全平方公式因式分解，符合题意；
D、，结果不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，不是因式分解，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断是否是因式分解，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
4．（2024八下·成都期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交边于点E，若的周长等于35，则线段的长为（　　）
A．15 B．17.5 C．20 D．25
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长等于35，
∴．
∵中，，
∴．
故答案为：C．
【分析】由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，然后根据三角形周长计算公式、等量代换及线段的和差可将△ABC的周长转化为AC+BC，进而代值计算可得答案.
5．（2024八下·成都期末）分式的计算结果是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：B
【分析】此题是异分母分式的减法，先确定各个分母的最简公分母为a(a-1)，然后在第一个分式的分子、分母同时乘以a进行通分，进而根据同分母分式减法法则“同分母分式相减，分母不变，分子相减”进行计算，最后约分化简即可.
6．（2024八下·成都期末）在平面直角坐标系中，把点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B，若点B的横、纵坐标相等，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．7
【答案】A
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：∵把点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到点B，
∴点B的坐标为，
∵点B的横、纵坐标相等，
∴，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据平面内点的坐标平移规律“横坐标左移减、右移加，纵坐标上移加、下移减”可得点B的坐标为，再由点B的横、纵坐标相等，可得，即可求解．
7．（2024八下·成都期末）如图，在四边形中，对角线、交于点O．下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：A、当，时，四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、当，时，四边形ABCD可能是等腰梯形，故四边形ABCD不一定是平行四边形，故该选项符合题意；
C、当，时，四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴四边形ABCD是平行四边形，故该选项不符合题意.
故答案为∶B．
【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定A选项， 根据一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形，可判断B选项；根据对角线互相平分得四边形是平行四边形可判定C选项，先利用二直线平行，内错角相等得出，再用ASA证明，由全等三角形的对应边相等可得出，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可判定D选项．
8．（2024八下·成都期末）如图，中，，将绕点C顺时针方向旋转一定角度得到．若点D恰好落在边上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先由旋转的性质得到，再由等边对等角得到，，则由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和可得，再由三角形内角和定理建立方程求解即可．
9．（2024八下·成都期末）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：.
【分析】此题给出的多项式各项具有相同的因式2a，故直接利用提取公因式法分解即可.
10．（2024八下·成都期末）如果分式的值为0，那么的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题可知，
且，
解得．
故答案为：．
【分析】
分式的值为零即分子为零且分母不为零．
11．（2024八下·成都期末）数学实践活动中，为了测量校园内一建筑物底部A，B两点之间的距离，如图，小明同学在A，B两点外选择一点C，分别定出线段，中点D，E，测得D，E两点之间的距离为，则A，B两点之间的距离是　 　．
【答案】16
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D，E是线段AC，BC中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，
即A，B两点之间的距离是，
故答案为：16．
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半可得AB=2DE，从而代值即可得出答案.
12．（2024八下·成都期末）如图，直线与直线(为常数，)相交于点，则关于的不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入得，解得，
当时，，
故答案为：．
【分析】
观察图象，寻找直线直线在直线下方时对应自变量x的取值范围 ．
13．（2024八下·成都期末）如图，在中，，，的平分线交于点，的平分线交于点，则线段的长为　 　．
【答案】4
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形
，，
又平分
同理可得：
．
故答案为：4．
【分析】根据平行四边形的对边平行且相等得AD∥BC，AB=CD=6，BC=AD=8，由二直线平行，内较长相等及角平分线的定义可得∠AEB=∠EBC=∠EBA，由等角对等边得AE=AB=6，同理可得DF=DC=6，进而根据EF=AE+FD-BC代值计算可得答案.
14．（2024八下·成都期末）（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
【答案】解：（1），解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为；，
（2）
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程无解．
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）根据解不等式的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可；
（2）先在方程两边同时乘以(x-2)约去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程求出x的值，然后检验，即可求解．
15．（2024八下·成都期末）若两数的平方差能被整数整除，则将这两数称为“幸运倍数组合”，如：证明两个连续偶数是“幸运倍数组合”，设较小的偶数为（为整数），则较大的偶数为，因为，，为整数，所以，两个连续偶数是“幸运倍数组合”．你认为两个连续奇数是“幸运倍数组合”吗？为什么？
【答案】解：两个连续奇数是“幸运倍数组合”，理由如下，
设较小的奇数为（为整数），则较大的奇数为，
∵，，为整数，
∴两个连续奇数是“幸运8倍数组合”．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】设较小的奇数为2n-1（n为整数），则较大的奇数为2n+1，则这两个连续奇数的平方差为(2n+1)2-(2n-1)2，然后利用完全平方公式分别展开括号后再合并同类项化简，进而即可根据“幸运m倍数组合”的定义得出结论.
16．（2024八下·成都期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕原点O顺时针旋转得到的；
（2）在y轴上取点P，使的面积是面积的倍，求点P的坐标．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：设交y轴于点D，则点，
，
∵的面积是面积的倍，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为或．
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣旋转；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点及旋转的性质，分别找出点A、B、C的绕原点O顺时针旋转90°后的对应点A1、B1、C1，然后用线段连接即可；
（2）设AB交y轴于点D，则点，利用方格纸的特点及割补法，由△ABC外接矩形的面积分别减去周围三个直角三角形的面积即可求出△ABC的面积，然后由及S△ABP=S△BPD+S△ADP，并结合三角形的面积公式建立方程，从而得到DP长，即可求得点P的坐标.
17．（2024八下·成都期末）如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，点B的对应点为D，射线与射线交于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求线段长．
【答案】（1）证明：由旋转的性质得：，
在和中，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵AB=2BC=4，
∴BC=2，
∴，
由旋转的性质得：，
∵，
∴AF平分∠DFB，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）由旋转性质得：，从而用HL证，进而根据全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（2）根据勾股定理可得AC的长，由旋转的性质得AB=AD，∠ADE=∠ABF=∠ABC=90°，由到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得∠AFB=∠AFD，由二直线平行，内错角相等得∠EAF=∠AFB，则∠EAF=∠EFA，由等角对等边得出，最后根据线段和差及等量代换即可求解．
18．（2024八下·成都期末）【基础巩固】
（1）如图1，在中，D是中点，平分，求证：．
【深入探究】
（2）如图2，在中，，点C在线段的延长线上，且．在射线上取点E，若，请写出与的数量关系，并说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在中，对角线与交于点O，已知，，，点E在边上，连接的延长线交于点F，点G在对角线上，若，且的面积是面积的2倍，求线段的长．
【答案】解：（1）证明：如图，延长至点E，使，连接，
∵点D是中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图，延长至点K，使，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，连接，过点F作于点P，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵的面积是面积的2倍，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）延长至点E，使，连接，用SAS证明，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）可得，结合角平分线的定义可得，由等角对等边得，从而利用等量代换即可得出答案；
（2）延长至点K，使，连接，用SAS证明，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）可得，，由等量代换得，然后根据等边对等角可得，最后由等量代换即可得出结论；
（3）连接，过点F作于点P，由平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC=5，OA=OC=2，由二直线平行，内错角相等得，从用AAS证，由全等三角形的对应边相等得OE=OF，AF=CE，由“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可得到四边形是平行四边形，从而得到，，由等量代换得到，根据等腰三角形的三线合一得出，由同高三角形的面积关系就是对应底的关系可得，由线段和差得到，然后根据含30°角直角三角形的性质可得，最后根据勾股定理可求出，即可求解．
19．（2024八下·成都期末）化简：　 　．
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】
分式的混合计算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内，注意括号内是整式与分式的减法，可先通分化异分母分式为同分母分式，再作减法运算，然后把除式的分子与分母颠倒位置并与被除式作乘法运算，同时对分子和分母分别分解因式，最后再约分．
20．（2024八下·成都期末）某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O如图放置．若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠的拼在处，则这块正多边形纸板的边数是　 　．
【答案】6
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴该正多边形的一个外角的度数为，
∴这块正多边形纸板的边数是．
故答案为：6.
【分析】平面镶嵌的核心原理是“拼接点处的多边形内角之和必须为360°”，据此先求出∠AOB的度数，由多边形的一个内角与其相邻的一个外角互补可得该正多边形的一个外角的度数，进而用外角和除以外角的度数即可求解．
21．（2024八下·成都期末）关于的不等式组无解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵关于的不等式组无解，
由，得；
由，得，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】将m作为字母参数分别解两个不等式，再根据不等式组无解，由“大大小小无解了”得出，进而求解即可.
22．（2024八下·成都期末）如图，中，，延长至点D，使，连接AD，过点C作的垂线，交的平分线于点E，则的度数为　 　．
【答案】55°
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：过E作于H，作于G，于M，连接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴平分，平分，
∴，是的垂直平分线，
∴，，
又，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，即，
∴，
故答案为：55°．
【分析】 过E作EH⊥BC于H，作EG⊥AC于G，EM⊥BA于M，连接AE， 由角平分线上的点到角两边的距离相等得EM=EH，由等腰三角形的三线合一得出CE平分，CE平分AD，由角平分线上的点到角两边的距离相等得EG=EH=EM，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上可得AE平分，结合邻补角求出，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AC=CD，AE=DE，利用等边对等角得出，，从而根据等式性质即可求解．
23．（2024八下·成都期末）在平面直角坐标系中，已知线段AB的两端点分别为，，将线段AB沿直线翻折得到线段（点A的对应点为），再将线段向右平移1个单位，向上平移5个单位得到线段（点的对应点为），此时的线段可看做是由线段AB绕点P旋转得到（点A的对应点为），则周长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移；坐标系中的两点距离公式；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
设直线的解析式为
把，代入得，
，
解得，，
∴直线的解析式为
联立方程组，解得，，
∵与点关于直线对称，
设，则有：
∴
∴，
由平移规律得，，
设点，则，，
∴，
∴，
∴的周长
当时，的周长
而
∴
解得，，
所以，当时，的周长最小值为，
故答案为：
【分析】用两点间距离公式算出AB的长，运用待定系数法求出直线AB的解析式，联立直线AB和y=x+b，求解得出两线交点坐标，根据中点坐标公式得到，运用点的坐标平移规律“横坐标左移减、右移加，纵坐标上移加、下移减”得，设点，再根据中点对称性质及中点坐标公式得，，则，进而再利用两点间的距离公式表示出PA、PB，根据三角形周长计算公式及a+b≥2(a≥0，b≥0)，且当a=b时取等号可再求出△ABP的周长最小值.
24．（2024八下·成都期末）2024年汤尤杯比赛于4月27日至5月5日在成都高新体育中心举行．作为世界羽毛球界的重要赛事，它的周边产品（如熊猫挂件）深受球迷喜爱．已知每件A型熊猫挂件比每件B型熊猫挂件多15元，用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同．
（1）每件A型熊猫挂件与每件B型熊猫挂件的售价是多少元？
（2）若某球迷决定用不超过2000元购买A，B两种型号的熊猫挂件共40件，则最多购买A型熊猫挂件多少件？
【答案】（1）解：设每件A型熊猫挂件的售价是x元，则每件B型熊猫挂件的售价是元，根据题意得：
，
解得：，
经检验：是原方程的解且符合题意；
，
答：每件A型熊猫挂件的售价是60元，则每件B型熊猫挂件的售价是45元；
（2）解：设购买A型熊猫挂件m件，则购买B型熊猫挂件件，根据题意得：，
解得：，
∵m为整数，
∴m的最大值为13，
答：最多购买A型熊猫挂件13件．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每件A型熊猫挂件的售价是x元，则每件B型熊猫挂件的售价是(x-15)元，根据总价除以单价等于数量及“ 用1200元购买的A型熊猫挂件与900元购买的B型熊猫挂件数量相同 ”，列出方程，即可求解；
（2）购买A型熊猫挂件m件，则购买B型熊猫挂件(40-x)件，根据单价乘以数量等于总价及购买m件A型熊猫挂件的费用+购买(40-m)件B型熊猫挂件的费用不超过2000元，列出不等式，求出最大整数解即可.
25．（2024八下·成都期末）如图，已知直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线与y轴负半轴交于点C，且．
（1）求直线的函数表达式；
（2）点D在x轴负半轴上，在直线上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）直线：与y轴正半轴交于点F，与直线交于点P，若，求k的值．
【答案】（1）解：对于，当时，当时，；
∴，
∴OA=
∵，
∴，
∴点，
设直线的表达式为：，
将点A的坐标代入上式得：，则，
则直线l2的表达式为：；
（2）解：设点、点，
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，则，
即点；
当或为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点或；
综上，或；
（3）解：令y=kx+k中的y=0得x=-1，设直线PF交x轴于点T（-1，0），
过点T作交于点M，则为等腰直角三角形，则，
过点T作轴，交过点P和x轴的平行线于点G，交过点M和x轴的平行线于点N，
设点、点，则G(-1，3n-4.5)，N(-1，3a-4.5)
∵，
∴，
∴，
则且，
则，且，
解得：，则点，
将点P的坐标代入得：，
解得：．
【知识点】坐标与图形性质；两一次函数图象相交或平行问题；平行四边形的性质；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）根据直线与纵坐标交点的坐标特点，分别令y=-2x+3中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，可得点A、B的坐标及OA的长，然后结合OA∶OC=1∶3求出OC的长，得到点C的坐标，进而由待定系数法即可求解；
（2）根据点的坐标与图形性质，设D(x，0)，E(m，3m-4.5)，然后分类讨论：当AB为对角线时，由平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式列出等式，即可求解；当AD或AE为对角线时，同理可解；
（3）令y=kx+k中的y=0算出对应的x的值，可得直线y=kx+k与x轴交点T的坐标；过点T作TM⊥PF交AC于点M，则△PMT为等腰直角三角形，则TP=TM，过点T作GN∥y轴，交过点P和x轴的平行线于点G，交过点M和x轴的平行线于点N，根据点的坐标与图形性质，设P(n，3n-4.5)，M(a，3a-4.5)，则则G(-1，3n-4.5)，N(-1，3a-4.5)；由同角的余角相等得∠GTP=∠TMN，从而用AAS判断出△GTP≌△TMN，由全等三角形的对应边相等得GP=TN，GT=MN，据此结合两点间的距离公式建立方程求出n的值，从而可得点P的坐标，进而将点P的坐标代入直线y=kx+k即可算出k的值.
26．（2024八下·成都期末）已知为等边三角形，点D是边上一动点，连接，将沿翻折，点C的对应点为E．
（1）如图1，若，，求线段的长；
（2）如图2，连接，若所在直线与垂直，求的值；
（3）如图3，过点A的直线，射线与直线交于点F，若，，求线段的长．
【答案】（1）解：过D作于H，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵翻折，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长交于M，在取点F，使，
∵，
∴，
∵翻折，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴；
（3）解：当F在A的右侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，于M，连接，
∵翻折，
∴，，，，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，，
又，，
∴，
∴，
∴平分，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解得
∴；
当F在A的左侧时，如图，过D作于G，过B作于H，于N，于M，连接，
同理可证平分，
∴，
又，
∴，
又，，
∴∴，
∴，
设，则，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
解得
∴；
综上，的长为或．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）过D作DH⊥BC于H，由等边三角形的性质得∠C=60°，由直角三角形两锐角互余得∠HDC=30°，利用含30°角的直角三角形的性质求出CH=1，进而利用勾股定理求出DH；，利用翻折的性质得∠EBD=∠DBH=45°，BE=BC，由等腰直角三角形性质得BH=DH，进而根据BE=BC=BH+HC即可算出答案；
（2）延长ED交BC于M，在AC取点F，使AF=EF，由等边三角形的性质得∠C=60°，由直角三角形两锐角互余得∠MDC=30°，利用翻折的性质可求出∠BDC=∠BDE=105°，利用三角形内角和定理求出∠EBD=∠CBD=15°，利用等腰三角形三线合一性质得出BE⊥AC，利用等边对等角和三角形内角和定理求出∠BAE=∠AEB=75°由角的构成求得∠NAE=15°，利用等边对等角和三角形外角的性质求出∠EFN=30°，设NE=x，利用含30°的直角三角形的性质以AF=EF=2x，进而利用勾股定理得，，利用等角对等边求得DE=CD=2x，即可求解；
（3）分点F在A的右侧和左侧两种情况讨论，利用角平分线的性质与判定可证BF平分∠AFE，然后利用AAS证△ABF≌△EBF，由全等三角形的对应边相等得出AF=EF=1，在Rt△ADG与Rt△FDG中中，利用勾股定理可得出DG2=AD2-AG2=FD2-FG2，从而代入数据即可求解．
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