资源简介

四川省成都市天府第七中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·成都期末）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．（2024七下·成都期末）华为 手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 。
故答案为：D。
【分析】用科学记数法表示一个绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0。
3．（2024七下·成都期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；整式的混合运算；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意，
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方、整式的混合运算结合题意对选项逐一分析即可求解。
4．（2024七下·成都期末）如图，在与中，，再添加一个下列条件，能判断的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、由，不能证明，故不正确；
B、由，，根据能证明，故正确；
C、由，，不等证明，故不正确；
D、，则，不能证明，故不正确.
故答案为：B．
【分析】题干中给出了∠B=∠C，图形中隐含了AD=AD，根据三角形全等的判断方法“AAS”，可以添加∠ADC=∠ADB或∠DAC=∠DAB，根据三角形全等的判定方法HL，可以添加∠C=90°且AC=AB或CD=BD，据此逐一判断得出答案.
5．（2024七下·成都期末）下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．福山气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着福山明天一定下雨
C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件
D．拋掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5
【答案】D
【知识点】事件的分类；概率的意义；概率公式
【解析】【解答】解：A、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
B、福山气象局预报说“明天的降水概率为”，只是说明天降水的概率较大，不一定下雨， 是随机事件，原说法错误，不符合题意．
C、“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
D、拋掷一枚质地均匀的硬币，只会出现正面朝上与反面朝上两种情况，∴正面朝上的概率为0.5，原说法正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，据此可判断选项A、C；概率是描述随机事件发生可能性大小的一个量，概率越大，其发生的可能性就越大，反之概率越小，事件发生的可能性就越小，据此可判断选项B；根据概率公式可判断D选项.
6．（2024七下·成都期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A．，，不符合题意；
B．，，不符合题意；
C．，不能判断，符合题意；
D．，∠2＝∠5，∴∠4＋∠2＝180°，，不符合题意；
故选：C
【分析】
平行线的判定定理：判定方法1：同位角相等，两直线平行；判定方法2：内错角相等，两直线平行；判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
7．（2024七下·成都期末）孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】 设绳子长x尺，木长y尺，
由题意可得：，
故答案为：B.
【分析】根据题意直接列出方程组即可。
8．（2024七下·成都期末）如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值是（　　）
A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12
【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点运动到点处时，，，即，，
，
，，
当点在上运动时，，
，
，
当点在上运动时，，
，
，
故选：B
【分析】
由矩形的性质知，当点P从点A运动到点B的过程中面积逐渐增大，且当达到点B时面积达到最大值12，此时AB=6、AD=4；从点B到达点C时面积保持不变均为12；再从点C到达点D的运动过程中，面积逐渐减小，到达点D时最小，最小值为0；则当AP=4时，的面积等于8；当P运动到CD上时，当DP=4时，的面积也等于8，此时AP=6+4+6-4=12．
9．（2024七下·成都期末）计算　 　．
【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：(-0.125)2000×82001
=(-0.125)2000×82000×8
=[(-0.125)×8]2020×8
=(-1)2020×8
=1×8
=8.
故答案为：8.
【分析】根据同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则可得原式=[(-0.125)×8]2020×8，据此进行计算.
10．（2024七下·成都期末）已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为　 　．
【答案】12
【知识点】绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：等腰三角形的两边长满足，
，解得，
三角形是等腰三角形，
分两种情况：①是腰、是底；②是底、是腰；
当是腰、是底时，等腰三角形的边长为，由三角形三边关系可知，此种情况不存在；
当是底、是腰时，等腰三角形的边长为，则这个等腰三角形的周长为12；
故答案为：12．
【分析】
先利用完全平方公式把原等式转化成两个非负数的和，即，则，再根据等腰三角形的概念结合三角形三边关系定理即可．
11．（2024七下·成都期末）已知是一个完全平方式，则　 　．
【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
解得：或．
故答案为：或．
【分析】
完全平方公式的特点是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍．
12．（2024七下·成都期末）为了测量一幢层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度都等于米，量得旗杆与楼之间距离为米，则每层楼的高度大约　 　米．
【答案】3
【知识点】全等三角形的应用；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
，
，
，
，
米，米，
（米），
在和中，
，
，
米，
每层楼的高度（米），
故答案为3．
【分析】
由垂直的概念结合两锐角互余可得，再根据证明，再由全等三角形的性质可得米，最后进行计算即可解答．
13．（2024七下·成都期末）如图，在中，分别以点A和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，交于点，连接．若，若，求的度数是　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据作图可知，MN垂直平分AB，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：36°．
【分析】根据作图可知，MN垂直平分AB，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出BD=AD，由等边对等角得出∠ABD=∠A，设∠CBD=x，则∠ABD=∠A=2x，进而根据直角三角形两锐角互余建立方程，求解可得答案.
14．（2024七下·成都期末）（1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】解：（1）原式
；
（2）
整理得：
①②得：，解得：，
将代入②，得，解得，
则原方程的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）利用绝对值代数意义、乘方法则、负整数指数幂法则“”及0指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算，再进行有理数的加减法运算即可；
（2）首先将方程组整理成二元一次方程组的一般形式，然后发现两个方程中未知数y的系数互为相反数，故利用加减消元法求解较为简单，从而用方程①+②消去y求出x的值，再将x的值代入②方程求出y的值，从而即可得到方程组的解.
15．（2024七下·成都期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）在直线上找一点，使的长最短．
（3）的面积是______．
【答案】（1）解：如图，△DEF即为所求；
（2）解：如图，连接BF交直线l于点P，则点P即为所求；
（3）8
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3）S△ABC=．
故答案为：8.
【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质分别作出A、B、C三点关于直线l的对称点D、E、F，再顺次连接D、E、F即可；
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案；
（3）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形的面积减去△ABC周围三个直角三角形的面积即可得到△AB长的面积，据此列式计算即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，连接交直线l于点P，则点P即为所求；
（3）解：的面积是．
故答案为：8
16．（2024七下·成都期末）如图，已知平分，点在线段上，于点，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由已知易得，由同旁内角互补，两直线平行得，由二直线平行，内错角相等得，结合已知得出，进而根据同位角相等，两直线平行推出，最后根据二直线平行，同位角相等得，从而根据垂直的定义即可求证；
（2）由角平分线的定义得，则，利用平角的定义即可求解．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，，，
∴，
∵，
∴．
17．（2024七下·成都期末）某社区超市用520元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示：
商品名 甲 乙
批发价（元/千克） 4 6
零售价（元/千克） 10 12
（1）该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克；
（2）甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得464元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？
【答案】（1）解：设批发甲商品千克，则批发乙商品千克，
依题意，得，
解得，
∴（千克），
∴批发甲商品40千克，乙商品60千克；
（2）解：设打折前售出相同的重量为千克，
由题意可得：，
解得，
∴甲商品：（千克）；乙商品：（千克）；
∴打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设批发甲商品x千克，则批发乙商品千克， 根据总价等于单价乘以数量及购买x千克甲商品的费用+购买（100-x）千克乙商品的费用=520元列出方程，解之即可；
（2）设打折前售出相同的重量为m千克，根据每千克的利润乘以销售数量等于总利润，及打折前和打折后的利润之和为464元列出方程，解之可得结果．
（1）解：设批发甲商品千克，则批发乙商品千克，
依题意，得，
解得，
∴（千克），
∴批发甲商品40千克，乙商品60千克；
（2）解：设打折前售出相同的重量为千克，由题意可得：
，
解得，
∴甲商品：（千克）；乙商品：（千克）；
∴打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克．
18．（2024七下·成都期末）已知点是线段上的一点，是等腰直角三角形，，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接为的中点，连接．
（1）如图1，延长交于点．
①求证：；
②判断线段与之间的关系，并证明．
（2）将绕点逆时针旋转到图2的位置时，判断线段与之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）解：①证明：，，
，
；
②，
证明：为的中点，
，
，
，
，即点F是中点，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：，理由如下：
将BD绕点B逆时针旋转90°到BG，交CE于点N，过点D作DM⊥BD交CE于点M，连接CG、FG，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
三点共线，
，，
是等腰直角三角形，
，，
．
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）①由旋转的性质得到，从而由同旁内角互补，两直线平行即可证明，进而根据两直线平行，内错角相等即可得出；
②由二直线平行，内错角相等得，结合中点定义，可用AAS证明，由全等三角形的对应边相等得，由等量加等量和相等得到，由等腰直角三角形性质得且BF=FD；
（2）将BD绕点B逆时针旋转90°到BG，交CE于点N，过点D作DM⊥BD交CE于点M，连接CG、FG，由同角的余角相等得，由SAS证，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）得到CG=AD，∠BDA=∠BGC；由同一平面内，垂直同一直线的两条直线互相平行得BG∥MD，由二直线平行，同位角相等及对顶角相等推出∠CNE=∠DME，由旋转的性质及等量代换得出DE=CG，由同角的余角相等得∠MDE=∠BDA，则∠MDE=∠BGC，用AAS证△NGC≌△MDE，由全等三角形的对应角相等得∠E=∠GCN，由内错角相等，两直线平行推出，再用AAS证△CFH≌△FDE，得到∠CFG=∠DFE，FG=DF，推出G、F、D三点共线，从而根据等腰直角三角形的性质即可得出结论.
（1）①证明：，，
，
；
②，
证明：为的中点，
，
，
，
，即点F是中点，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：，理由如下：
将绕点逆时针旋转到，交于点N，过点D作交于点M，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
三点共线，
，，
是等腰直角三角形，
，，
．
19．（2024七下·成都期末）如果，那么代数式　 　．
【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：1．
【分析】
先根据整式的混合运算求出代数式的结果，注意运算时准确应用乘法公式可简化运算，最后再整体代入即可．
20．（2024七下·成都期末）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：根据题意解二元一次方程组，
得，，
把的值代入①得，，
解得，，
把的值代入方程，
∴，
解得，，
故答案为：．
【分析】
先根据加减消元法解二元一次方程组，用含的式子表示方程的解，再代入得到关于m的一元一次方程并解方程即可．
21．（2024七下·成都期末）如图是一盏可调节台灯示意图，其中支架与底座垂直，支架分别为可绕点和点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度．当支架和灯罩平行时，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，分别过点A，B作，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】分别过点A，B作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥MN∥BQ∥PA，由二直线平行，内错角相等得∠PAO=∠AON=90°，∠BCE=∠ABC，∠BAP=∠ABQ，由二直线平行，同旁内角互补得∠BCD+∠CBQ=180°，结合，，即可求解．
22．（2024七下·成都期末）如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【解答】解：过点E作BA的垂线，交BA延长线于点H，过点C作交AB于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即点F是中点，即，
，，
，
，即点A是中点，
，
，
故答案为：．
【分析】过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G，由同角的余角相等得∠ADB=∠EAH，从而由AAS证明，由全等三角形的对应边相等得到，由内错角相等，两直线平行得BC∥EH，由二直线平行，内错角相等得，， 由角的构成及等式性质推出， 从而用ASA证，得到，再用AAS证明，得到，进而推出，即点F是中点，即，由，得到，从而得出，即点A是中点，推出，即可求出．
23．（2024七下·成都期末）如图，是等腰直角三角形，为边上一点，为边上一动点，连接，以为边并在的左侧作等边，连接，则的最小值为　 　．（提示：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）
【答案】7
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，以为边在左侧作等边三角形，连接，延长交于点P，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
如图，当点三点共线时，有最小值，
此时，，
，
，即，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：7．
【分析】以AD为边，在AD左侧作等边三角形AGD，连接，延长交于点P，根据等边三角形的性质可得，推出，从而用SAS证，得到，当点三点共线时，有最小值，此时，即，由二直线平行，同位角相等得∠PGE=PAC=60°，由直角三角形的两锐角互余得，由30°角所对的直角边等于斜边的一半得到，进而得到，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得到，即可得出结果．
24．（2024七下·成都期末）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）由图2可以直接写出之间的一个等量关系是______．
（2）两个正方形如图3摆放，边长分别为．，，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）
（2）解：根据图形可得：，
，
，
，
，
，，
，
，
为正数，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：长方形的面积为：，大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：；
；
故答案为：；
【分析】（1）根据长方形及正方形面积公式分别表示出图2中正方形及长方形的面积，然后根据边长为(a+b)的大正方形面积=边长为(a-b)的小正方形面积+4个长为a、宽为b的矩形面积，即可得出结论；
（2）根据正方形四边相等、线段和差可得出AE=CG=2，再根据三角形面积公式，由，求出，进而利用完全平方公式的变形得到，从而整体代入计算后再求算术平方根即可.
（1）解：长方形的面积为：，大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：；
；
（2）解：根据图形可得：，
，
，
，
，
，，
，
，
为正数，
，
．
25．（2024七下·成都期末）2024年成都马拉松比赛将在10月17日举行，小天和爸爸都完成了比赛报名，并且计划每周进行一次全长6000米的训练．第一次训练时小天和爸爸同时从同起点出发，行程S（单位：米）随时间（单位：分钟）变化的图象如图所示．已知小天中途提速后用了16分钟到达终点．因为爸爸中途体力不支减速，所以当小天到达终点时，爸爸离终点还有1280米．请根据图中信息回答以下问题：
（1）小天比爸爸早到终点多长时间？
（2）在小天跑步的过程中，小天出发几分钟后和爸爸相距150米？
【答案】（1）解：小天全程所用时间为：（分钟），
爸爸全程所用时间为：（分钟），
（分钟），
答：小天比爸爸早到终点8分钟；
（2）解：设小天出发分钟后和爸爸相距150米，
爸爸减速前的速度为：（米/分钟）
爸爸减速后的速度为：（米/分钟）
小天提速前的速度为：（米/分钟）
小天提速后的速度为：（米/分钟）
爸爸与小天相遇时：
则，
解得：；
爸爸与小天相遇前：
在0到4分钟这个过程中，爸爸在小天前面，
则，解得：；
在4到10分钟这个过程中，爸爸在小天前面，
则，解得：（不符合题意）；
在10到分钟这个过程中，爸爸在小天前面，
则，解得：；
爸爸与小天相遇后：
在到26分钟这个过程中，爸爸在小天后面，
则，解得：；
综上，在小天跑步的过程中，小天出发分钟或分钟或分钟后和爸爸相距150米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）由函数图象得到小天在10分钟时提速，利用提速后用了16分到达终点，即可得到小天全程所用时间；根据小天到达终点时，爸爸离终点还有1280米，结合函数图象得到爸爸在4分钟时跑了1200米，并且开始减速，则可得爸爸减速后到小天跑到终点这段时间是26-4=22分，爸爸跑的路程是6000-1200-1280=3520米，根据路程、速速、时间三者的关系求出爸爸减速后的速度，进而可算出爸爸减速后直至到达终点所用时间，进而即可求出爸爸全程所用时间，即可解答；
（2）首先求出减速前后的速度及小天提速前后的速度，然后根据追击问题情景建立方程求出爸爸与小天相遇的时得时间，进而分相遇前和相遇后两种情况讨论，相遇前由分在0到4分钟这个过程中、在4到10分钟这个过程中及相遇后在10到分钟这个过程中；相遇后在到26分钟这个过程中几种情况，分别根据行程问题等量关系建立方程，求解即可.
（1）解：小天全程所用时间为：（分钟），
爸爸全程所用时间为：（分钟），
（分钟），
答：小天比爸爸早到终点8分钟；
（2）解：设小天出发分钟后和爸爸相距150米，
爸爸减速前的速度为：（米/分钟）
爸爸减速后的速度为：（米/分钟）
小天提速前的速度为：（米/分钟）
小天提速后的速度为：（米/分钟）
爸爸与小天相遇时：
则，
解得：；
爸爸与小天相遇前：
在0到4分钟这个过程中，爸爸在小天前面，
则，解得：；
在4到10分钟这个过程中，爸爸在小天前面，
则，解得：（不符合题意）；
在10到分钟这个过程中，爸爸在小天前面，
则，解得：；
爸爸与小天相遇后：
在到26分钟这个过程中，爸爸在小天后面，
则，解得：；
综上，在小天跑步的过程中，小天出发分钟或分钟或分钟后和爸爸相距150米．
26．（2024七下·成都期末）已知为等边三角形，过点的射线在的外部，为射线上的一点，为平面内的一点，满足．
（1）如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数；
（2）如图2，连接交于点，若，且恰为的中点，求证：；
（3）如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上截取一点，在边上截取一点，使，连接则当的值最小时，请直接写出的度数．
【答案】（1）解：如图，
，，
为等边三角形，
∴，
，
为等边三角形，
，AB=BC，
，
，
，
，
，
．
故．
（2）证明：在上取点，使得，连接、、，如图所示，
F为边的中点
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，即；
（3）解：
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示，
和都是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，
当线段的长度最小时，即过点C向直线作垂线，为垂足，
即，，
，，
，
在中，，
又 ，
，
，
以点B为顶点，作，且，连接，如图所示，
，
，
，
，
连接交射线于点，在中，
，
当三点共线时，的值最小，
此时， ，
为等腰三角形，又，
，
在中，，
，
在中，，
，
又 ，
，
在中，，
在中，，
，
故当的值最小，．
【分析】（1）由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可知△BDE为等边三角形，由等边三角形的性质、角的构成、等式性质及邻补角可得，∠BEC=120°，从而用SAS证，得到，进而根据 即得解；
（2）在ED上取点N，使得FN=EF，连接NC、BN、AN，用SAS证△CFN≌△BFE，得CN=BE=BD，∠NCF=∠EBF，根据角的构成及等式性质可得∠ACN=∠ABD，从而由SAS证△ACN≌△ABD，得到AN=AD，∠CAN=∠BAD，再根据角的构成、等式性质及等边三角形性质得出∠NAD=60°，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△AND为等边三角形，进而根据等边是哪些的三边相等、线段和差及等量代换可得结论；
（3）以BC为边向下作等边三角形△BCP，连接PE，由等边三角形的性质得AB=BC=PB，由等边三角形的性质及角的构成推出∠ABD=∠PBE，从而由SAS证明，得到，即得当点D在射线AM上运动时，点E的运动轨迹是在直线PE上，且满足，由此得到当时，线段CE最短；要证明两条线段的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化；以点B为顶点，作，且，连接NI，用SAS证明，得到，由此，只需求的值最小，由图可知当三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和，求角即可.
（1）解：如图，
，，
为等边三角形，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故．
（2）解：在上取点，使得，连接、、，如图所示，
F为边的中点
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，即；
（3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示，
和都是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，
当线段的长度最小时，即过点C向直线作垂线，为垂足，
即，，
，，
，
在中，，
又 ，
，
，
以点B为顶点，作，且，连接，如图所示，
，
，
，
，
连接交射线于点，在中，
，
当三点共线时，的值最小，
此时， ，
为等腰三角形，又，
，
在中，，
，
在中，，
，
又 ，
，
在中，，
在中，，
，
故当的值最小，．
1 / 1四川省成都市天府第七中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·成都期末）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·成都期末）华为 手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米.数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）.
A． B． C． D．
3．（2024七下·成都期末）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·成都期末）如图，在与中，，再添加一个下列条件，能判断的是（　　）．
A． B． C． D．
5．（2024七下·成都期末）下列说法正确的是（ ）
A．“买中奖率为的奖券10张，中奖”是必然事件
B．福山气象局预报说“明天的降水概率为”，意味着福山明天一定下雨
C．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件
D．拋掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为0.5
6．（2024七下·成都期末）如图，下列条件中，不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·成都期末）孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024七下·成都期末）如图1，在长方形中，动点从点出发，沿运动，至点处停止．点运动的路程为，的面积为，且与之间满足的关系如图2所示，则当时，对应的的值是（　　）
A．4 B．4或12 C．4或16 D．5或12
9．（2024七下·成都期末）计算　 　．
10．（2024七下·成都期末）已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为　 　．
11．（2024七下·成都期末）已知是一个完全平方式，则　 　．
12．（2024七下·成都期末）为了测量一幢层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度都等于米，量得旗杆与楼之间距离为米，则每层楼的高度大约　 　米．
13．（2024七下·成都期末）如图，在中，分别以点A和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，交于点，连接．若，若，求的度数是　 　．
14．（2024七下·成都期末）（1）计算：；
（2）解方程组：．
15．（2024七下·成都期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点、、在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）在直线上找一点，使的长最短．
（3）的面积是______．
16．（2024七下·成都期末）如图，已知平分，点在线段上，于点，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
17．（2024七下·成都期末）某社区超市用520元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，已知甲、乙商品的批发价与零售价如下表所示：
商品名 甲 乙
批发价（元/千克） 4 6
零售价（元/千克） 10 12
（1）该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克；
（2）甲商品和乙商品按零售价售出相同的重量后，剩下的商品都按零售价打八折售出，最终当天甲乙商品全部卖完，共获得464元利润，求打折后卖出的甲、乙商品的重量分别为多少？
18．（2024七下·成都期末）已知点是线段上的一点，是等腰直角三角形，，将线段绕点顺时针旋转得线段，连接为的中点，连接．
（1）如图1，延长交于点．
①求证：；
②判断线段与之间的关系，并证明．
（2）将绕点逆时针旋转到图2的位置时，判断线段与之间的关系，并说明理由．
19．（2024七下·成都期末）如果，那么代数式　 　．
20．（2024七下·成都期末）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为　 　．
21．（2024七下·成都期末）如图是一盏可调节台灯示意图，其中支架与底座垂直，支架分别为可绕点和点旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度．当支架和灯罩平行时，，，，则　 　．
22．（2024七下·成都期末）如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则　 　．
23．（2024七下·成都期末）如图，是等腰直角三角形，为边上一点，为边上一动点，连接，以为边并在的左侧作等边，连接，则的最小值为　 　．（提示：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）
24．（2024七下·成都期末）如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成如图2的正方形．
（1）由图2可以直接写出之间的一个等量关系是______．
（2）两个正方形如图3摆放，边长分别为．，，求图中阴影部分面积和．
25．（2024七下·成都期末）2024年成都马拉松比赛将在10月17日举行，小天和爸爸都完成了比赛报名，并且计划每周进行一次全长6000米的训练．第一次训练时小天和爸爸同时从同起点出发，行程S（单位：米）随时间（单位：分钟）变化的图象如图所示．已知小天中途提速后用了16分钟到达终点．因为爸爸中途体力不支减速，所以当小天到达终点时，爸爸离终点还有1280米．请根据图中信息回答以下问题：
（1）小天比爸爸早到终点多长时间？
（2）在小天跑步的过程中，小天出发几分钟后和爸爸相距150米？
26．（2024七下·成都期末）已知为等边三角形，过点的射线在的外部，为射线上的一点，为平面内的一点，满足．
（1）如图1，连接，若点恰好在上，且，求的度数；
（2）如图2，连接交于点，若，且恰为的中点，求证：；
（3）如图3，若，连接，当线段的长度最小时，在射线上截取一点，在边上截取一点，使，连接则当的值最小时，请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解： 。
故答案为：D。
【分析】用科学记数法表示一个绝对值非常小的数，一般表示成a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数左边第一个非0数字前面所有0的个数，包括小数点前面的那个0。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；整式的混合运算；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、，B符合题意；
C、，C不符合题意；
D、，D不符合题意，
故答案为：B
【分析】根据完全平方公式、同底数幂的乘法、积的乘方、整式的混合运算结合题意对选项逐一分析即可求解。
4．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、由，不能证明，故不正确；
B、由，，根据能证明，故正确；
C、由，，不等证明，故不正确；
D、，则，不能证明，故不正确.
故答案为：B．
【分析】题干中给出了∠B=∠C，图形中隐含了AD=AD，根据三角形全等的判断方法“AAS”，可以添加∠ADC=∠ADB或∠DAC=∠DAB，根据三角形全等的判定方法HL，可以添加∠C=90°且AC=AB或CD=BD，据此逐一判断得出答案.
5．【答案】D
【知识点】事件的分类；概率的意义；概率公式
【解析】【解答】解：A、“买中奖率为的奖券10张，中奖”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
B、福山气象局预报说“明天的降水概率为”，只是说明天降水的概率较大，不一定下雨， 是随机事件，原说法错误，不符合题意．
C、“汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，原说法错误，不符合题意；
D、拋掷一枚质地均匀的硬币，只会出现正面朝上与反面朝上两种情况，∴正面朝上的概率为0.5，原说法正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，据此可判断选项A、C；概率是描述随机事件发生可能性大小的一个量，概率越大，其发生的可能性就越大，反之概率越小，事件发生的可能性就越小，据此可判断选项B；根据概率公式可判断D选项.
6．【答案】C
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A．，，不符合题意；
B．，，不符合题意；
C．，不能判断，符合题意；
D．，∠2＝∠5，∴∠4＋∠2＝180°，，不符合题意；
故选：C
【分析】
平行线的判定定理：判定方法1：同位角相等，两直线平行；判定方法2：内错角相等，两直线平行；判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．
7．【答案】B
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】 设绳子长x尺，木长y尺，
由题意可得：，
故答案为：B.
【分析】根据题意直接列出方程组即可。
8．【答案】B
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：当点运动到点处时，，，即，，
，
，，
当点在上运动时，，
，
，
当点在上运动时，，
，
，
故选：B
【分析】
由矩形的性质知，当点P从点A运动到点B的过程中面积逐渐增大，且当达到点B时面积达到最大值12，此时AB=6、AD=4；从点B到达点C时面积保持不变均为12；再从点C到达点D的运动过程中，面积逐渐减小，到达点D时最小，最小值为0；则当AP=4时，的面积等于8；当P运动到CD上时，当DP=4时，的面积也等于8，此时AP=6+4+6-4=12．
9．【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法；积的乘方运算
【解析】【解答】解：(-0.125)2000×82001
=(-0.125)2000×82000×8
=[(-0.125)×8]2020×8
=(-1)2020×8
=1×8
=8.
故答案为：8.
【分析】根据同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则可得原式=[(-0.125)×8]2020×8，据此进行计算.
10．【答案】12
【知识点】绝对值的非负性；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：等腰三角形的两边长满足，
，解得，
三角形是等腰三角形，
分两种情况：①是腰、是底；②是底、是腰；
当是腰、是底时，等腰三角形的边长为，由三角形三边关系可知，此种情况不存在；
当是底、是腰时，等腰三角形的边长为，则这个等腰三角形的周长为12；
故答案为：12．
【分析】
先利用完全平方公式把原等式转化成两个非负数的和，即，则，再根据等腰三角形的概念结合三角形三边关系定理即可．
11．【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵是一个完全平方式，
∴，
解得：或．
故答案为：或．
【分析】
完全平方公式的特点是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍．
12．【答案】3
【知识点】全等三角形的应用；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
，
，
，
，
米，米，
（米），
在和中，
，
，
米，
每层楼的高度（米），
故答案为3．
【分析】
由垂直的概念结合两锐角互余可得，再根据证明，再由全等三角形的性质可得米，最后进行计算即可解答．
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：根据作图可知，MN垂直平分AB，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：36°．
【分析】根据作图可知，MN垂直平分AB，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出BD=AD，由等边对等角得出∠ABD=∠A，设∠CBD=x，则∠ABD=∠A=2x，进而根据直角三角形两锐角互余建立方程，求解可得答案.
14．【答案】解：（1）原式
；
（2）
整理得：
①②得：，解得：，
将代入②，得，解得，
则原方程的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）利用绝对值代数意义、乘方法则、负整数指数幂法则“”及0指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算，再进行有理数的加减法运算即可；
（2）首先将方程组整理成二元一次方程组的一般形式，然后发现两个方程中未知数y的系数互为相反数，故利用加减消元法求解较为简单，从而用方程①+②消去y求出x的值，再将x的值代入②方程求出y的值，从而即可得到方程组的解.
15．【答案】（1）解：如图，△DEF即为所求；
（2）解：如图，连接BF交直线l于点P，则点P即为所求；
（3）8
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（3）S△ABC=．
故答案为：8.
【分析】（1）利用方格纸的特点及轴对称的性质分别作出A、B、C三点关于直线l的对称点D、E、F，再顺次连接D、E、F即可；
（2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案；
（3）利用方格纸的特点及割补法，用△ABC外接矩形的面积减去△ABC周围三个直角三角形的面积即可得到△AB长的面积，据此列式计算即可.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，连接交直线l于点P，则点P即为所求；
（3）解：的面积是．
故答案为：8
16．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】角的运算；垂线的概念；角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由已知易得，由同旁内角互补，两直线平行得，由二直线平行，内错角相等得，结合已知得出，进而根据同位角相等，两直线平行推出，最后根据二直线平行，同位角相等得，从而根据垂直的定义即可求证；
（2）由角平分线的定义得，则，利用平角的定义即可求解．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，，，
∴，
∵，
∴．
17．【答案】（1）解：设批发甲商品千克，则批发乙商品千克，
依题意，得，
解得，
∴（千克），
∴批发甲商品40千克，乙商品60千克；
（2）解：设打折前售出相同的重量为千克，
由题意可得：，
解得，
∴甲商品：（千克）；乙商品：（千克）；
∴打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克．
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设批发甲商品x千克，则批发乙商品千克， 根据总价等于单价乘以数量及购买x千克甲商品的费用+购买（100-x）千克乙商品的费用=520元列出方程，解之即可；
（2）设打折前售出相同的重量为m千克，根据每千克的利润乘以销售数量等于总利润，及打折前和打折后的利润之和为464元列出方程，解之可得结果．
（1）解：设批发甲商品千克，则批发乙商品千克，
依题意，得，
解得，
∴（千克），
∴批发甲商品40千克，乙商品60千克；
（2）解：设打折前售出相同的重量为千克，由题意可得：
，
解得，
∴甲商品：（千克）；乙商品：（千克）；
∴打折后卖出的甲商品20千克，乙商品40千克．
18．【答案】（1）解：①证明：，，
，
；
②，
证明：为的中点，
，
，
，
，即点F是中点，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：，理由如下：
将BD绕点B逆时针旋转90°到BG，交CE于点N，过点D作DM⊥BD交CE于点M，连接CG、FG，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
三点共线，
，，
是等腰直角三角形，
，，
．
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）①由旋转的性质得到，从而由同旁内角互补，两直线平行即可证明，进而根据两直线平行，内错角相等即可得出；
②由二直线平行，内错角相等得，结合中点定义，可用AAS证明，由全等三角形的对应边相等得，由等量加等量和相等得到，由等腰直角三角形性质得且BF=FD；
（2）将BD绕点B逆时针旋转90°到BG，交CE于点N，过点D作DM⊥BD交CE于点M，连接CG、FG，由同角的余角相等得，由SAS证，由全等三角形的对应边相等（对应角相等）得到CG=AD，∠BDA=∠BGC；由同一平面内，垂直同一直线的两条直线互相平行得BG∥MD，由二直线平行，同位角相等及对顶角相等推出∠CNE=∠DME，由旋转的性质及等量代换得出DE=CG，由同角的余角相等得∠MDE=∠BDA，则∠MDE=∠BGC，用AAS证△NGC≌△MDE，由全等三角形的对应角相等得∠E=∠GCN，由内错角相等，两直线平行推出，再用AAS证△CFH≌△FDE，得到∠CFG=∠DFE，FG=DF，推出G、F、D三点共线，从而根据等腰直角三角形的性质即可得出结论.
（1）①证明：，，
，
；
②，
证明：为的中点，
，
，
，
，即点F是中点，
，
，即，
是等腰直角三角形，
，
；
（2）解：，理由如下：
将绕点逆时针旋转到，交于点N，过点D作交于点M，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
三点共线，
，，
是等腰直角三角形，
，，
．
19．【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：原式
，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：1．
【分析】
先根据整式的混合运算求出代数式的结果，注意运算时准确应用乘法公式可简化运算，最后再整体代入即可．
20．【答案】
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：根据题意解二元一次方程组，
得，，
把的值代入①得，，
解得，，
把的值代入方程，
∴，
解得，，
故答案为：．
【分析】
先根据加减消元法解二元一次方程组，用含的式子表示方程的解，再代入得到关于m的一元一次方程并解方程即可．
21．【答案】
【知识点】垂线的概念；平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，分别过点A，B作，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】分别过点A，B作，由平行于同一直线的两条直线互相平行得CD∥MN∥BQ∥PA，由二直线平行，内错角相等得∠PAO=∠AON=90°，∠BCE=∠ABC，∠BAP=∠ABQ，由二直线平行，同旁内角互补得∠BCD+∠CBQ=180°，结合，，即可求解．
22．【答案】
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【解答】解：过点E作BA的垂线，交BA延长线于点H，过点C作交AB于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即点F是中点，即，
，，
，
，即点A是中点，
，
，
故答案为：．
【分析】过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G，由同角的余角相等得∠ADB=∠EAH，从而由AAS证明，由全等三角形的对应边相等得到，由内错角相等，两直线平行得BC∥EH，由二直线平行，内错角相等得，， 由角的构成及等式性质推出， 从而用ASA证，得到，再用AAS证明，得到，进而推出，即点F是中点，即，由，得到，从而得出，即点A是中点，推出，即可求出．
23．【答案】7
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，以为边在左侧作等边三角形，连接，延长交于点P，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
如图，当点三点共线时，有最小值，
此时，，
，
，即，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：7．
【分析】以AD为边，在AD左侧作等边三角形AGD，连接，延长交于点P，根据等边三角形的性质可得，推出，从而用SAS证，得到，当点三点共线时，有最小值，此时，即，由二直线平行，同位角相等得∠PGE=PAC=60°，由直角三角形的两锐角互余得，由30°角所对的直角边等于斜边的一半得到，进而得到，再根据角所对的直角边等于斜边的一半，得到，即可得出结果．
24．【答案】（1）
（2）解：根据图形可得：，
，
，
，
，
，，
，
，
为正数，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1）解：长方形的面积为：，大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：；
；
故答案为：；
【分析】（1）根据长方形及正方形面积公式分别表示出图2中正方形及长方形的面积，然后根据边长为(a+b)的大正方形面积=边长为(a-b)的小正方形面积+4个长为a、宽为b的矩形面积，即可得出结论；
（2）根据正方形四边相等、线段和差可得出AE=CG=2，再根据三角形面积公式，由，求出，进而利用完全平方公式的变形得到，从而整体代入计算后再求算术平方根即可.
（1）解：长方形的面积为：，大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：；
；
（2）解：根据图形可得：，
，
，
，
，
，，
，
，
为正数，
，
．
25．【答案】（1）解：小天全程所用时间为：（分钟），
爸爸全程所用时间为：（分钟），
（分钟），
答：小天比爸爸早到终点8分钟；
（2）解：设小天出发分钟后和爸爸相距150米，
爸爸减速前的速度为：（米/分钟）
爸爸减速后的速度为：（米/分钟）
小天提速前的速度为：（米/分钟）
小天提速后的速度为：（米/分钟）
爸爸与小天相遇时：
则，
解得：；
爸爸与小天相遇前：
在0到4分钟这个过程中，爸爸在小天前面，
则，解得：；
在4到10分钟这个过程中，爸爸在小天前面，
则，解得：（不符合题意）；
在10到分钟这个过程中，爸爸在小天前面，
则，解得：；
爸爸与小天相遇后：
在到26分钟这个过程中，爸爸在小天后面，
则，解得：；
综上，在小天跑步的过程中，小天出发分钟或分钟或分钟后和爸爸相距150米．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）由函数图象得到小天在10分钟时提速，利用提速后用了16分到达终点，即可得到小天全程所用时间；根据小天到达终点时，爸爸离终点还有1280米，结合函数图象得到爸爸在4分钟时跑了1200米，并且开始减速，则可得爸爸减速后到小天跑到终点这段时间是26-4=22分，爸爸跑的路程是6000-1200-1280=3520米，根据路程、速速、时间三者的关系求出爸爸减速后的速度，进而可算出爸爸减速后直至到达终点所用时间，进而即可求出爸爸全程所用时间，即可解答；
（2）首先求出减速前后的速度及小天提速前后的速度，然后根据追击问题情景建立方程求出爸爸与小天相遇的时得时间，进而分相遇前和相遇后两种情况讨论，相遇前由分在0到4分钟这个过程中、在4到10分钟这个过程中及相遇后在10到分钟这个过程中；相遇后在到26分钟这个过程中几种情况，分别根据行程问题等量关系建立方程，求解即可.
（1）解：小天全程所用时间为：（分钟），
爸爸全程所用时间为：（分钟），
（分钟），
答：小天比爸爸早到终点8分钟；
（2）解：设小天出发分钟后和爸爸相距150米，
爸爸减速前的速度为：（米/分钟）
爸爸减速后的速度为：（米/分钟）
小天提速前的速度为：（米/分钟）
小天提速后的速度为：（米/分钟）
爸爸与小天相遇时：
则，
解得：；
爸爸与小天相遇前：
在0到4分钟这个过程中，爸爸在小天前面，
则，解得：；
在4到10分钟这个过程中，爸爸在小天前面，
则，解得：（不符合题意）；
在10到分钟这个过程中，爸爸在小天前面，
则，解得：；
爸爸与小天相遇后：
在到26分钟这个过程中，爸爸在小天后面，
则，解得：；
综上，在小天跑步的过程中，小天出发分钟或分钟或分钟后和爸爸相距150米．
26．【答案】（1）解：如图，
，，
为等边三角形，
∴，
，
为等边三角形，
，AB=BC，
，
，
，
，
，
．
故．
（2）证明：在上取点，使得，连接、、，如图所示，
F为边的中点
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，即；
（3）解：
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示，
和都是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，
当线段的长度最小时，即过点C向直线作垂线，为垂足，
即，，
，，
，
在中，，
又 ，
，
，
以点B为顶点，作，且，连接，如图所示，
，
，
，
，
连接交射线于点，在中，
，
当三点共线时，的值最小，
此时， ，
为等腰三角形，又，
，
在中，，
，
在中，，
，
又 ，
，
在中，，
在中，，
，
故当的值最小，．
【分析】（1）由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可知△BDE为等边三角形，由等边三角形的性质、角的构成、等式性质及邻补角可得，∠BEC=120°，从而用SAS证，得到，进而根据 即得解；
（2）在ED上取点N，使得FN=EF，连接NC、BN、AN，用SAS证△CFN≌△BFE，得CN=BE=BD，∠NCF=∠EBF，根据角的构成及等式性质可得∠ACN=∠ABD，从而由SAS证△ACN≌△ABD，得到AN=AD，∠CAN=∠BAD，再根据角的构成、等式性质及等边三角形性质得出∠NAD=60°，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形可得△AND为等边三角形，进而根据等边是哪些的三边相等、线段和差及等量代换可得结论；
（3）以BC为边向下作等边三角形△BCP，连接PE，由等边三角形的性质得AB=BC=PB，由等边三角形的性质及角的构成推出∠ABD=∠PBE，从而由SAS证明，得到，即得当点D在射线AM上运动时，点E的运动轨迹是在直线PE上，且满足，由此得到当时，线段CE最短；要证明两条线段的最小值，通常利用两点之间线段最短，因此需要将其中一条线段进行转化；以点B为顶点，作，且，连接NI，用SAS证明，得到，由此，只需求的值最小，由图可知当三点共线时，取得最小值，最后根据三角形内角和，求角即可.
（1）解：如图，
，，
为等边三角形，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故．
（2）解：在上取点，使得，连接、、，如图所示，
F为边的中点
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，即；
（3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示，
和都是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足，
当线段的长度最小时，即过点C向直线作垂线，为垂足，
即，，
，，
，
在中，，
又 ，
，
，
以点B为顶点，作，且，连接，如图所示，
，
，
，
，
连接交射线于点，在中，
，
当三点共线时，的值最小，
此时， ，
为等腰三角形，又，
，
在中，，
，
在中，，
，
又 ，
，
在中，，
在中，，
，
故当的值最小，．
1 / 1

展开更多......

收起↑