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四川省成都市龙泉驿区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·龙泉驿期末）2025年成都世界运动会是第十二届世界运动会，是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将在中国四川成都举行，是中国第二次举办世界运动会，下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，此选项符合题意；
B、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（对称轴）对称．根据定义并结合各选项即可判断求解.
2．（2024七下·龙泉驿期末）下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　）
A．一箭双雕 B．刻舟求剑 C．水涨船高 D．拔苗助长
【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、一箭双雕属于随机事件，此选项不符合题意；
B、刻舟求剑属于不可能事件，此选项不符合题意；
C、水涨船高属于必然事件，此选项符合题意；
D、拔苗助长属于不可能事件，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】 必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件.根据定义即可判断求解.
3．（2024七下·龙泉驿期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、∵≠9a4，∴此选项不符合题意；
、∵，∴此选项符合题意；
、∵≠2a2，∴此选项不符合题意；
、∵≠2a2-4ab+b2，∴此选项不符合题意．
故答案为：．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据单项式除以单项式的法则"把被除式与除式的系数和相同变数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的变数字母的幂也作为商的因式"可求解；
D、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”可求解.
4．（2024七下·龙泉驿期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，由角的和差求得，再由三角形内角和定理“三角形三内角的和等于180°”可求解．
5．（2024七下·龙泉驿期末）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：小明支起的这个点应该是三角形的重心，即三角形三边中线的交点.
故答案为：．
【分析】根据三角形的重点的性质进行判断即可.三角形的重心是三角形三边中线的交点.
6．（2024七下·龙泉驿期末）龙泉驿是闻名全国的花果山和风景名胜区，素以“四时花不断，八节佳果香”著称．阳春三月，龙泉漫山遍野，桃花盛霞，梨花如雪，风景如画，吸引成千上万的游客纷至沓来．若桃花的花粉直径约为，且已知，则用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为：
．
故答案为：A．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
7．（2024七下·龙泉驿期末）如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： A、在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴此选项不符合题意；
B、在△ABC和△DCB中
∴（ASA），
∴此选项不符合题意；
C、，，，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，
∴此选项符合题意；
D、在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（AAS），
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、由题意，用边角边可判断两个三角形全等；
B、由题意，用角边角可判断两个三角形全等；
C、由题意，没有条件可以判断两个三角形全等；
D、由题意，用角角边可判断两个三角形全等.
8．（2024七下·龙泉驿期末）小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（　　）
A．单价和金额 B．重量和金额
C．重量和单价 D．重量，单价和金额
【答案】B
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：根据题意，小华同学在市场买某种水果，图中称重时电子秤的数据显示牌，中具有重量、单价和金额，显然水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化，
其中的变量是重量和金额，
故答案为：B．
【分析】变量是指在某一变化过程中数值可以发生变化的量；根据定义并结合题意“水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化”即可求解.
9．（2024七下·龙泉驿期末）计算：　 　．
【答案】
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据积的乘方的逆运算可求解．
10．（2024七下·龙泉驿期末）若一个等腰三角形有两条边长分别为1和3，则这个等腰三角形的周长为　 　．
【答案】7
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：由题意可分两种情况：
当腰长为1，底边长为3时，
∵，
∴1，1，3不构成三角形，不成立；
当腰长为3，底边长为1时，
∵，
∴该等腰三角形成立，
∴此时这个等腰三角形的周长为．
综上可知这个等腰三角形的周长为7．
故答案为：7．
【分析】由题意和等腰三角形的定义可分两种情况：当该等腰三角形的腰长为1，底边长为3时和当该等腰三角形的腰长为3，底边长为1时，然后根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”验证是否成立，再根据三角形的周长等于三角形三边之和即可求解．
11．（2024七下·龙泉驿期末）某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知垂直于河岸，先在上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，小明在射线上移动，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出米，则的长是　 　米．
【答案】10.2
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：，，
，
在和中，
，
，
（米），
故答案为：10.2．
【分析】由题意，根据角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得即可求解.
12．（2024七下·龙泉驿期末）当光线从空气射向水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的．如图，水面和杯底互相平行，，，则的度数为　 　．
【答案】50度
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得；由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”得可求出的度数，结合已知可求得的度数．
13．（2024七下·龙泉驿期末）“与可爱的人，赴一场朝霞盛宴”吸引了大量户外爱好者夜爬龙泉山．大三学生张明为了感受一下这样的氛围，与同学相约从音乐广场出发，开始夜爬龙泉山，他们离音乐广场的距离与从音乐广场出发时间的关系如图所示，他们在此期间停下过若干次，请问总共停下来时间为　 　小时．
【答案】
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：观察图象得：总共停下来时间为小时．
故答案为：.
【分析】观察图象可得：1时至时间段和至时间段停下，将这两段时间相加即可求解．
14．（2024七下·龙泉驿期末）计算
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-3）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=9，再根据有理数的混合运算法则计算即可求解；
（2）根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”和完全平方和公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
15．（2024七下·龙泉驿期末）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
将，代入得，
原式=3×2×3+4．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】由平方差公式“（a+b）(a-b)=a2-b2”和完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”去小括号，根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”将括号内的代数式化简，再根据多项式除以单项式法则"多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加."化简，然后将，代入化简后的整式求值即可求解.
16．（2024七下·龙泉驿期末）如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点都在格点上．
（1）求的面积；
（2）在图中画出关于直线对称的；
（3）在直线上画出点，使得的周长最小．
【答案】（1）解：如图所示：
的面积为；
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：连接，交直线于点，连接，如图所示：
此时，为最小值，则的值最小，即的周长最小，
点即为所求．
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【分析】
（1）用割补法即可求解；
（2）根据轴对称的性质即可求解；
（3）在（2）的基础上，连接，交直线于点，则点即为所求．
（1）解：如图所示：
的面积为．
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：连接，交直线于点，连接，如图所示：
此时，为最小值，则的值最小，即的周长最小，
点即为所求．
17．（2024七下·龙泉驿期末）如图，是等腰三角形，是底边，是上的一点，连接，过点作，且，与全等吗？为什么？
【答案】解：全等，
理由如下：
是等腰三角形，是底边，
，
，
，
在和中
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；内错角的概念；等腰三角形的概念
【解析】【分析】全等，理由如下：由等腰三角形性质得到，由平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得，然后用边角边可判断两个三角形全等.
18．（2024七下·龙泉驿期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点．
（1）与全等吗？为什么？
（2）试说明点是线段的中点．
【答案】（1）解：，
理由如下：
，
，即，
在与中，
，
，
，，
在和中
，
；
（2）解：由（1）知，，
与相交于点，
，
在和中，
，
，
，
点是线段的中点．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由线段的和差可得AC=FD，结合已知，用定理可证，根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边（角）相等”可得，，再由边角边即可证；
（2）由题意和图形，用角角边可证，根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”及线段中点定义即可求解．
（1）解：，
理由如下：
，
，即，
在与中，
，
，
，，
在和中
，
；
（2）解：由（1）知，，
与相交于点，
，
在和中，
，
，
，
点是线段的中点．
19．（2024七下·龙泉驿期末）如果是一个完全平方式，那么的值是　 　．
【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
，
，
，
，
解得：或，
故答案为： 或．
【分析】根据完全平方式“a2±2ab+b2=（a±b）2”可得关于k的方程，解方程即可求解．
20．（2024七下·龙泉驿期末）如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是　 　．
【答案】3
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：3．
【分析】由同角的余角相等可得∠CAD=∠ABE，结合已知用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，，然后根据线段的和差即可求解.
21．（2024七下·龙泉驿期末）(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)的个位数字是　 　．
【答案】5．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】原式=（2-1）(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)
=(22﹣1)(22+1)(24+1)…(232+1)
=(24﹣1)(24+1)…(232+1)
=
=264﹣1．
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，
∴得个位数字是以2、4、8、6依次循环，
∵64÷4=16
∴264的末位数字是6，
∴264﹣1的末位数字是5．
故答案为：5．
【分析】原式乘以（2-1），再依次根据平方差公式进行计算，再根据的个位数字的规律，即可判断最后结果的个位数字.
22．（2024七下·龙泉驿期末）如图，在中，是的角平分线，若，，，则　 　．
【答案】10
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作于M，于N，
∵为的平分线，
∴，
∵若，，
∴
，
∵，
∴，
故答案为：10．
【分析】过D作于M，于N，根据角平分线性质定理"角的平分线上的点到角的两边的距离相等"可得DM=DN，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．
23．（2024七下·龙泉驿期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；
②分别以B，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，若，，，则　 　．
【答案】17
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示；
根据作图可知，，，BE=DE=8，
∴∠ADB=∠B=∠C+∠CAD，
∵BC=33，
∴CD=BC-BE-DE=17，
∵∠B=2∠C，
∴∠C+∠CAD=2∠C，
∴∠CAD=∠C，
∴AD=CD=AB，
∴CD=17，
故答案为：17．
【分析】连接，根据作图可知，，，BE=DE=8，则∠ADB=∠B=∠C+∠CAD，，根据∠B=2∠C，可得∠CAD=∠C，则AD=CD=AB，即可得出结论．
24．（2024七下·龙泉驿期末）《2022年义务教育数学课程标准》关于核心素养之运算能力的描述为“根据法则和运算律进行正确运算的能力”．下面请阅读理解并运算：
【理论依据】
当我们学习乘方运算后，我们知道，所以若，则；
当我们会运用整体思想后，可以解决这样的问题：
若，
所以，
所以或，
所以或；
当我们学习完全平方公式后，可以继续解决这样的问题：
若，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以或．
【实际应用】
请你仿照上面的方法解决下面的问题：
（1）解关于的方程；
（2）解关于x的方程．
【答案】（1）解：，
，
，
，
或，
∴或；
（2）解：，
，
，
，
或，
∴或．
【知识点】完全平方公式及运用；利用开平方求未知数
【解析】【分析】
（1）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
（2）同理可求解．
（1）解：，
，
，
，
或，即或；
（2）解：，
，
，
，
或，即或．
25．（2024七下·龙泉驿期末）和均为等腰直角三角形，．
（1）如图1，连接，，与交于点，请问，有怎样的数量和位置关系？为什么？
（2）如图2，连接，是中点，连接并延长交于点．与有怎样的位置关系？为什么？
【答案】（1）解：且，
理由如下：
设与交于点，如图1所示：
和为等腰直角三角形，且，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
∴；
（2）解：，
理由如下：
过点作，交延长线于点，如图2所示：
，，，
是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
和为等腰直角三角形，且，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）设与交于点，根据等腰直角三角形性质和角的和差可得，，，结合已知，用边角边可证≌，由全等三角形的性质“全等三角形的对应边（角）相等”可得，，再由角的和差可得，然后根据垂直的定义可求解；
（2）过点作，交延长线于点，由题意，用角角边可证≌，由全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”可得，由角的和差可得，然后由边角边可证≌，由全等三角形的性质可得，然后根据角的和差和垂直的定义k可判断求解．
（1）解：且，
理由如下：
设与交于点，如图1所示：
和为等腰直角三角形，且，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，即；
（2）解：，
理由如下：
过点作，交延长线于点，如图2所示：
，，，
是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
和为等腰直角三角形，且，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
26．（2024七下·龙泉驿期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，．
（1）与相等吗？为什么？
（2）与相等吗？为什么？
（3）如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
【答案】（1）解：，理由如下：
，，
；
（2）解：，理由如下：
过点作，，分别交于，，如图：
是线段的中点且为等腰三角形，
平分，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（3）解：由（2）可知，
，
为等边三角形，
，
求的最小值，即为求的最小值，
作点关于直线对称点，连接，，，，，
由对称的性质可得，
求最小值即为求最小值，
最小值为的长度，
则最小值为的长度，
由对称的性质可得．
，，，
为等腰三角形，，
，
，
为等边三角形，
由等边三角形对称性可得，
是线段的中点，
，
，
，，
，
最小值为15．
答：最小值为15.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）相等，理由：根据同角的补角相等可求解；
（2）过点作，，分别交于，，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DM=DN，结合已知，用角角边可证，然后由全等三角形的对应边相等即可求解；
（3）由题意易证为等边三角形，则，根据轴对称的性质可知：求最小值即为求的最小值；作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得，则最小值即为最小值，当G、E、D三点在同一直线上时，最小值为的长，由线段的和差=AG+AD即可求解．
（1）解：，，
；
（2）解：过点作，，分别交于，，如图所示：
是线段的中点且为等腰三角形，
平分，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（3）解：由（2）可知，
，
为等边三角形，
，
求的最小值，即为求的最小值，
作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得，
求最小值即为求最小值，
最小值为的长度，
则最小值为的长度，
由对称的性质可得．
，，，
为等腰三角形，，
，
，
为等边三角形，
由等边三角形对称性可得，
是线段的中点，
，
，
，，
，
最小值为15．
1 / 1四川省成都市龙泉驿区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·龙泉驿期末）2025年成都世界运动会是第十二届世界运动会，是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将在中国四川成都举行，是中国第二次举办世界运动会，下列各图都是成都世界运动会的预选图案，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·龙泉驿期末）下列成语所描述的事件中，属于必然事件的是（　　）
A．一箭双雕 B．刻舟求剑 C．水涨船高 D．拔苗助长
3．（2024七下·龙泉驿期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·龙泉驿期末）将一副直角三角板如图摆放，点A落在边上，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·龙泉驿期末）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（　　）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边高的交点 D．三边垂直平分线的交点
6．（2024七下·龙泉驿期末）龙泉驿是闻名全国的花果山和风景名胜区，素以“四时花不断，八节佳果香”著称．阳春三月，龙泉漫山遍野，桃花盛霞，梨花如雪，风景如画，吸引成千上万的游客纷至沓来．若桃花的花粉直径约为，且已知，则用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·龙泉驿期末）如图，已知，添加以下条件，不能判定的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·龙泉驿期末）小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（　　）
A．单价和金额 B．重量和金额
C．重量和单价 D．重量，单价和金额
9．（2024七下·龙泉驿期末）计算：　 　．
10．（2024七下·龙泉驿期末）若一个等腰三角形有两条边长分别为1和3，则这个等腰三角形的周长为　 　．
11．（2024七下·龙泉驿期末）某小组利用课堂上学习的“全等测距离法”测量本地一条河岸相对两点A，B的距离，如图所示，已知垂直于河岸，先在上取两点C，D，使，再过点D作的垂线，小明在射线上移动，当小明移动到点E时，点A，C，E在一条直线上，此时测出米，则的长是　 　米．
12．（2024七下·龙泉驿期末）当光线从空气射向水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象，由于折射率相同，所以在水中是平行的光线，在空气中也是平行的．如图，水面和杯底互相平行，，，则的度数为　 　．
13．（2024七下·龙泉驿期末）“与可爱的人，赴一场朝霞盛宴”吸引了大量户外爱好者夜爬龙泉山．大三学生张明为了感受一下这样的氛围，与同学相约从音乐广场出发，开始夜爬龙泉山，他们离音乐广场的距离与从音乐广场出发时间的关系如图所示，他们在此期间停下过若干次，请问总共停下来时间为　 　小时．
14．（2024七下·龙泉驿期末）计算
（1）；
（2）．
15．（2024七下·龙泉驿期末）先化简，再求值：，其中，．
16．（2024七下·龙泉驿期末）如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点都在格点上．
（1）求的面积；
（2）在图中画出关于直线对称的；
（3）在直线上画出点，使得的周长最小．
17．（2024七下·龙泉驿期末）如图，是等腰三角形，是底边，是上的一点，连接，过点作，且，与全等吗？为什么？
18．（2024七下·龙泉驿期末）如图，与中，，，线段与线段在一条直线上，且，连接，，，与相交于点．
（1）与全等吗？为什么？
（2）试说明点是线段的中点．
19．（2024七下·龙泉驿期末）如果是一个完全平方式，那么的值是　 　．
20．（2024七下·龙泉驿期末）如图，在中，，，于点，于点，，，则的长是　 　．
21．（2024七下·龙泉驿期末）(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)的个位数字是　 　．
22．（2024七下·龙泉驿期末）如图，在中，是的角平分线，若，，，则　 　．
23．（2024七下·龙泉驿期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；
②分别以B，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点；③连接交于点，若，，，则　 　．
24．（2024七下·龙泉驿期末）《2022年义务教育数学课程标准》关于核心素养之运算能力的描述为“根据法则和运算律进行正确运算的能力”．下面请阅读理解并运算：
【理论依据】
当我们学习乘方运算后，我们知道，所以若，则；
当我们会运用整体思想后，可以解决这样的问题：
若，
所以，
所以或，
所以或；
当我们学习完全平方公式后，可以继续解决这样的问题：
若，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以或．
【实际应用】
请你仿照上面的方法解决下面的问题：
（1）解关于的方程；
（2）解关于x的方程．
25．（2024七下·龙泉驿期末）和均为等腰直角三角形，．
（1）如图1，连接，，与交于点，请问，有怎样的数量和位置关系？为什么？
（2）如图2，连接，是中点，连接并延长交于点．与有怎样的位置关系？为什么？
26．（2024七下·龙泉驿期末）如图1，为等腰三角形，，是线段的中点，过点作射线和射线，分别交边，于点，，．
（1）与相等吗？为什么？
（2）与相等吗？为什么？
（3）如图2，若，，，试求的最小值．（在直角三角形中，如果有一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、图案是轴对称图形，此选项符合题意；
B、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
C、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、图案不是轴对称图形，此选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（对称轴）对称．根据定义并结合各选项即可判断求解.
2．【答案】C
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、一箭双雕属于随机事件，此选项不符合题意；
B、刻舟求剑属于不可能事件，此选项不符合题意；
C、水涨船高属于必然事件，此选项符合题意；
D、拔苗助长属于不可能事件，此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】 必然事件是指一定会发生或一定不会发生的事件；随机事件是指可能发生也可能不发生的事件.根据定义即可判断求解.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：、∵≠9a4，∴此选项不符合题意；
、∵，∴此选项符合题意；
、∵≠2a2，∴此选项不符合题意；
、∵≠2a2-4ab+b2，∴此选项不符合题意．
故答案为：．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据单项式除以单项式的法则"把被除式与除式的系数和相同变数字母的幂分别相除，其结果作为商的因式，将只含于被除式的变数字母的幂也作为商的因式"可求解；
D、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”可求解.
4．【答案】D
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，由角的和差求得，再由三角形内角和定理“三角形三内角的和等于180°”可求解．
5．【答案】A
【知识点】三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：小明支起的这个点应该是三角形的重心，即三角形三边中线的交点.
故答案为：．
【分析】根据三角形的重点的性质进行判断即可.三角形的重心是三角形三边中线的交点.
6．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为：
．
故答案为：A．
【分析】绝对值小于1且大于0的数用科学记数法表示为：a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n=从左向右第一个不是0的数字前的0的个数，根据科学记数法的意义可求解.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： A、在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴此选项不符合题意；
B、在△ABC和△DCB中
∴（ASA），
∴此选项不符合题意；
C、，，，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出，
∴此选项符合题意；
D、在△ABC和△DCB中
∴△ABC≌△DCB（AAS），
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、由题意，用边角边可判断两个三角形全等；
B、由题意，用角边角可判断两个三角形全等；
C、由题意，没有条件可以判断两个三角形全等；
D、由题意，用角角边可判断两个三角形全等.
8．【答案】B
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解：根据题意，小华同学在市场买某种水果，图中称重时电子秤的数据显示牌，中具有重量、单价和金额，显然水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化，
其中的变量是重量和金额，
故答案为：B．
【分析】变量是指在某一变化过程中数值可以发生变化的量；根据定义并结合题意“水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化”即可求解.
9．【答案】
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】根据积的乘方的逆运算可求解．
10．【答案】7
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：由题意可分两种情况：
当腰长为1，底边长为3时，
∵，
∴1，1，3不构成三角形，不成立；
当腰长为3，底边长为1时，
∵，
∴该等腰三角形成立，
∴此时这个等腰三角形的周长为．
综上可知这个等腰三角形的周长为7．
故答案为：7．
【分析】由题意和等腰三角形的定义可分两种情况：当该等腰三角形的腰长为1，底边长为3时和当该等腰三角形的腰长为3，底边长为1时，然后根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”验证是否成立，再根据三角形的周长等于三角形三边之和即可求解．
11．【答案】10.2
【知识点】全等三角形的应用
【解析】【解答】解：，，
，
在和中，
，
，
（米），
故答案为：10.2．
【分析】由题意，根据角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得即可求解.
12．【答案】50度
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图：
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得；由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”得可求出的度数，结合已知可求得的度数．
13．【答案】
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：观察图象得：总共停下来时间为小时．
故答案为：.
【分析】观察图象可得：1时至时间段和至时间段停下，将这两段时间相加即可求解．
14．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-3）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-2=9，再根据有理数的混合运算法则计算即可求解；
（2）根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”和完全平方和公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”计算即可求解．
（1）解：
；
（2）解：
．
15．【答案】解：
，
将，代入得，
原式=3×2×3+4．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】由平方差公式“（a+b）(a-b)=a2-b2”和完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”去小括号，根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”将括号内的代数式化简，再根据多项式除以单项式法则"多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加."化简，然后将，代入化简后的整式求值即可求解.
16．【答案】（1）解：如图所示：
的面积为；
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：连接，交直线于点，连接，如图所示：
此时，为最小值，则的值最小，即的周长最小，
点即为所求．
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【分析】
（1）用割补法即可求解；
（2）根据轴对称的性质即可求解；
（3）在（2）的基础上，连接，交直线于点，则点即为所求．
（1）解：如图所示：
的面积为．
（2）解：如图所示：
即为所求；
（3）解：连接，交直线于点，连接，如图所示：
此时，为最小值，则的值最小，即的周长最小，
点即为所求．
17．【答案】解：全等，
理由如下：
是等腰三角形，是底边，
，
，
，
在和中
，
．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；内错角的概念；等腰三角形的概念
【解析】【分析】全等，理由如下：由等腰三角形性质得到，由平行线性质“两直线平行，内错角相等”可得，然后用边角边可判断两个三角形全等.
18．【答案】（1）解：，
理由如下：
，
，即，
在与中，
，
，
，，
在和中
，
；
（2）解：由（1）知，，
与相交于点，
，
在和中，
，
，
，
点是线段的中点．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）由线段的和差可得AC=FD，结合已知，用定理可证，根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边（角）相等”可得，，再由边角边即可证；
（2）由题意和图形，用角角边可证，根据全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”及线段中点定义即可求解．
（1）解：，
理由如下：
，
，即，
在与中，
，
，
，，
在和中
，
；
（2）解：由（1）知，，
与相交于点，
，
在和中，
，
，
，
点是线段的中点．
19．【答案】或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：是一个完全平方式，
，
，
，
，
解得：或，
故答案为： 或．
【分析】根据完全平方式“a2±2ab+b2=（a±b）2”可得关于k的方程，解方程即可求解．
20．【答案】3
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：3．
【分析】由同角的余角相等可得∠CAD=∠ABE，结合已知用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，，然后根据线段的和差即可求解.
21．【答案】5．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；探索规律-末尾数字规律
【解析】【解答】原式=（2-1）(2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)
=(22﹣1)(22+1)(24+1)…(232+1)
=(24﹣1)(24+1)…(232+1)
=
=264﹣1．
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，…，
∴得个位数字是以2、4、8、6依次循环，
∵64÷4=16
∴264的末位数字是6，
∴264﹣1的末位数字是5．
故答案为：5．
【分析】原式乘以（2-1），再依次根据平方差公式进行计算，再根据的个位数字的规律，即可判断最后结果的个位数字.
22．【答案】10
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D作于M，于N，
∵为的平分线，
∴，
∵若，，
∴
，
∵，
∴，
故答案为：10．
【分析】过D作于M，于N，根据角平分线性质定理"角的平分线上的点到角的两边的距离相等"可得DM=DN，然后根据三角形的面积公式计算即可求解．
23．【答案】17
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示；
根据作图可知，，，BE=DE=8，
∴∠ADB=∠B=∠C+∠CAD，
∵BC=33，
∴CD=BC-BE-DE=17，
∵∠B=2∠C，
∴∠C+∠CAD=2∠C，
∴∠CAD=∠C，
∴AD=CD=AB，
∴CD=17，
故答案为：17．
【分析】连接，根据作图可知，，，BE=DE=8，则∠ADB=∠B=∠C+∠CAD，，根据∠B=2∠C，可得∠CAD=∠C，则AD=CD=AB，即可得出结论．
24．【答案】（1）解：，
，
，
，
或，
∴或；
（2）解：，
，
，
，
或，
∴或．
【知识点】完全平方公式及运用；利用开平方求未知数
【解析】【分析】
（1）由配方法的步骤“把常数项移到等号的右边，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，左边配成完全平方式，再两边开平方”即可求解；
（2）同理可求解．
（1）解：，
，
，
，
或，即或；
（2）解：，
，
，
，
或，即或．
25．【答案】（1）解：且，
理由如下：
设与交于点，如图1所示：
和为等腰直角三角形，且，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
∴；
（2）解：，
理由如下：
过点作，交延长线于点，如图2所示：
，，，
是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
和为等腰直角三角形，且，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）设与交于点，根据等腰直角三角形性质和角的和差可得，，，结合已知，用边角边可证≌，由全等三角形的性质“全等三角形的对应边（角）相等”可得，，再由角的和差可得，然后根据垂直的定义可求解；
（2）过点作，交延长线于点，由题意，用角角边可证≌，由全等三角形的性质“全等三角形的对应边相等”可得，由角的和差可得，然后由边角边可证≌，由全等三角形的性质可得，然后根据角的和差和垂直的定义k可判断求解．
（1）解：且，
理由如下：
设与交于点，如图1所示：
和为等腰直角三角形，且，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，即；
（2）解：，
理由如下：
过点作，交延长线于点，如图2所示：
，，，
是中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
和为等腰直角三角形，且，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
26．【答案】（1）解：，理由如下：
，，
；
（2）解：，理由如下：
过点作，，分别交于，，如图：
是线段的中点且为等腰三角形，
平分，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（3）解：由（2）可知，
，
为等边三角形，
，
求的最小值，即为求的最小值，
作点关于直线对称点，连接，，，，，
由对称的性质可得，
求最小值即为求最小值，
最小值为的长度，
则最小值为的长度，
由对称的性质可得．
，，，
为等腰三角形，，
，
，
为等边三角形，
由等边三角形对称性可得，
是线段的中点，
，
，
，，
，
最小值为15．
答：最小值为15.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）相等，理由：根据同角的补角相等可求解；
（2）过点作，，分别交于，，由角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DM=DN，结合已知，用角角边可证，然后由全等三角形的对应边相等即可求解；
（3）由题意易证为等边三角形，则，根据轴对称的性质可知：求最小值即为求的最小值；作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得，则最小值即为最小值，当G、E、D三点在同一直线上时，最小值为的长，由线段的和差=AG+AD即可求解．
（1）解：，，
；
（2）解：过点作，，分别交于，，如图所示：
是线段的中点且为等腰三角形，
平分，
，，
，，
在和中，
，
，
；
（3）解：由（2）可知，
，
为等边三角形，
，
求的最小值，即为求的最小值，
作点关于直线对称点，连接，，，，，由对称的性质可得，
求最小值即为求最小值，
最小值为的长度，
则最小值为的长度，
由对称的性质可得．
，，，
为等腰三角形，，
，
，
为等边三角形，
由等边三角形对称性可得，
是线段的中点，
，
，
，，
，
最小值为15．
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