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四川省成都市成华区2023-2024学年八年级下学期数学期末试题
1．（2024八下·成华期末）若分式有意义，则实数x满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·成华期末）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（　　）．
A． B．
C． D．
3．（2024八下·成华期末）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024八下·成华期末）如果 ，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·成华期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·成华期末）如图，是的边的垂直平分线，分别交边，于点，，连接，且，，则的周长是
A．12 B．15 C．16 D．18
7．（2024八下·成华期末）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米 设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024八下·成华期末）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2024八下·成华期末）因式分解：　 　．
10．（2024八下·成华期末）若分式的值为零，则的值为　 　．
11．（2024八下·成华期末）如图，以正五边形的顶点为旋转中心，将正五边形顺时针旋转，若得到的新五边形的顶点落在的延长线上，则旋转的最小度数为　 　．
12．（2024八下·成华期末）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价　 　元．
13．（2024八下·成华期末）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为　 　．
14．（2024八下·成华期末）（）解不等式：；
（）解不等式组：
15．（2024八下·成华期末）（1）解方程：；
（2）先化简：，然后从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
16．（2024八下·成华期末）如图，在中，点，分别为，的中点，点在边上（不与，重合），连接，点，分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求线段的长．
17．（2024八下·成华期末）新能源汽车既是汽车产业发展的大势所趋，也是新动能的重要支撑点．为加快补齐重点城市之间路网充电基础设施短板，某高速路服务区停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
（2）该停车场计划花费不超过26万元购买A，B两种型号充电桩共计25个，且B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的一半．问共有几种购买方案？购买总费用最少为多少万元？
18．（2024八下·成华期末）如图，在中，，．点D，E分别为，的中点，点P为线段上一动点（不与点D重合），将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，，，交于点N．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在点P运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由．
19．（2024八下·成华期末）已知实数a，b，满足，，则的值为　 　．
20．（2024八下·成华期末）关于的分式方程有增根，则　 　 ．
21．（2024八下·成华期末）在如图所示的运行程序中，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于95”为一次程序操作，如果程序操作进行了二次才停止，那么输入的x的取值范围是　 　．
22．（2024八下·成华期末）在数学综合与实践活动中，活动小组将一张腰为的等腰直角三角形硬纸片（其中，分别为，，的中点，分别为的中点）剪成如图所示的①②③④四块，然后将这四块纸片重新组合拼成（相互不重叠，不留空隙）一个四边形，则所能拼成的四边形的周长为　 　．
23．（2024八下·成华期末）如图，是线段上一动点，分别以，为边长在同侧作等边和等边，连接．若，则四边形面积的最小值是　 　．
24．（2024八下·成华期末）受北京冬奥会影响，小明爱上了滑雪运动．一天，小明在成都热雪奇迹滑雪场训练滑雪，他从中级赛道顶端匀速滑到终点，第一次用了40秒；第二次比第一次速度提高了1米/秒，用了32秒．
（1）问小明第一次训练速度是多少米/秒？从中级赛道顶端到终点的路程是多少米？
（2）若要使所用时间小于20秒，则滑行速度应大于多少米/秒？
25．（2024八下·成华期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别交于点A，B，的顶点C的坐标为．
（1）求点D的坐标；
（2）直线l经过的中点M，与直线交于点N（点N住x轴下方），且的面积为，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q为y轴上的动点，则在x轴上是否存在点P，使以点C，N，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（2024八下·成华期末）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点，，连接．
（1）如图，当点落在的延长线上时，求的长．
（2）如图，连接交于点，求证：点是的中点；
（3）在旋转过程中，图中的四边形能否形成平行四边形？若能，请说明理由，并求出的长；若不能，为什么？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得，解得.
故答案为：C．
【分析】根据分式有意义的条件“分母不为零”，列出不等式并求解即可．
2．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
3．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上辨识出不等式的解集，然后作出选择.
4．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由x＜y可得： ，故此选项成立；
B、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
C、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
D、由x＜y可得： ，故此选项不成立.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都乘以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个负数不等号的方向改变；在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，对各选项分析判断后利用排除法求解.
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当时，直线的图象位于直线图象的下方，即关于的不等式的解集为：，
故答案为：C．
【分析】求关于x的不等式的解集，从图象角度看，就是求直线y=x+5的图象位于直线y=ax+b(a＜0)图象的下方部分对应的自变量的取值范围，然后结合两直线的交点P即可得到答案．
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的边的垂直平分线，
，
的周长，
又，，
的周长，
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DB=DC，然后根据三角形周长计算公式、等量代换及将△ACD的周长转化为AB+AC，从而代值计算可得答案.
7．【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
，
故选：D．
【分析】
设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米， 整幅图画长为(2.4+2x)米，根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．
8．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴；
故选：A.
【分析】
由平行四边形的对边平行结合角平分线概念得，由平行四边形的对边相等得，再根据三角形的中位线定理得OE等于BP的一半.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】此题的多项式各项含有相同的因式a，故先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式法继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
10．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=2，
故答案为：2.
【分析】利用分式的值为0的条件：①分子为0，②分母不为0，列出方程和不等式求解即可.
11．【答案】
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：五边形ABCDE是正五边形，
，
点D'在BC的延长线上，
，
，
旋转的最小度数为，
故答案为：72°．
【分析】由多边形的内角和公式可得正n边形的一个内角的度数为“”据此算出∠BCD的度数，进而根据邻补角定义可算出∠DCD'的度数，从而得出答案.
12．【答案】32
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，，
解得：；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
【分析】
设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可．
13．【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过作于，
由作图得：平分，
，，，
，
，
，
又，平分，
，
，
，
，
，
设．
则，即：，
解得：，
，
故答案为：5．
【分析】根据基本作图可判断BG平分∠BAC，过G点作GH⊥AC于H，再利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到HG=GC，利用HL判断出证明Rt△CBG≌Rt△HBG，由全等三角形的对应边相等得BH=6，设AG=x，然后在Rt△AHG中，由勾股定理建立方程即可求解．
14．【答案】解：（）去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，；
（）由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先去分母（两边同时乘以8，左边的1也要乘以8，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
15．【答案】解：（1），
方程两边同时乘以得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
的系数化为1得，，
经检验是原分式方程的解；
（2）
，
，且为整数，
，0，1，2，
，，，
，1，，
当时，原式．
【知识点】去分母法解分式方程；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以各个分母的最简公分母x(x+1)(x-1)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况；
（2）根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入x取值范围内使原分式有意义的x的值按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
16．【答案】（1）证明：点、分别为、的中点，点、分别为、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，DG∥AC，
又，
，
，
，
即线段的长度为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得，，，，则，，再由平行四边形的判定方法“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论；
（2）由平行四边形的对边平行且相等得，DG∥AC，根据平行线的性质可推出∠DGB=90°，再由勾股定理求出BG的长即可．
（1）证明：点、分别为、的中点，点、分别为、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
即线段的长度为．
17．【答案】（1）解：设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价是万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：A型充电桩的单价是0.9万元，B型充电桩的单价是1.2万元；
（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
，15，16，
共有3种购买方案：
①购买14个A型充电桩、11个B型充电桩，总费用为（万元）；
②购买15个A型充电桩、10个B型充电桩，总费用为（万元）；
③购买16个A型充电桩、9个B型充电桩；总费用为（万元）．
购买方案③总费用最少万元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价是(x+0.3)万元，根据总价除以单价等于数量及用15万元购买A型充电桩与用20方元购买B型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25-m)个，根据购买m个A型充电桩的费用+购买(25-m)个B型充电桩的费用不超过26万元及购买A、B两种型号的充电桩，且B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组求出其整数解，即可解决问题．
（1）解：设型充电桩的单价是万元，则型充电桩的单价是万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：型充电桩的单价是0.9万元，型充电桩的单价是1.2万元；
（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
，15，16，
共有3种购买方案：
①购买14个型充电桩、11个型充电桩，总费用为（万元）；
②购买15个型充电桩、10个型充电桩，总费用为（万元）；
③购买16个型充电桩、9个型充电桩；总费用为（万元）．
购买方案③总费用最少万元．
18．【答案】（1）证明：∵线段绕点C逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点C作于点H，如图，
∵点D、E分别是AC、BC的中点，AC=BC，
∴CD=CE=AC=BC
又∵∠ACB=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
又∵CH⊥DE，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点P在运动过程中能时△CMN成为等腰三角形，此时PD的长为或3或.
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（3）∵．，
∴，，
∵点D，E分别为，的中点，
∴为中位线，
∴，，
①当，此时，点P、点N和点E重合，则；
②当，
∵线段绕点C逆时针旋转得到，
∴，
∴，
由（1）得，
则，
∴；
③当，则，
由（1）得，
∴；
故的长为或3或.
【分析】（1）由旋转的性质得，，由同角的余角相等得到，结合，从而用SAS证出△ACP≌△BCM，由全等三角形的对应边相等即可得到AP=BM；
（2）过点C作CH⊥DE于点H，易得△CDE是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得DH=EH=CH，结合勾股定理即可得出结论；
（3）由等腰直角三角形的性质得，，由三角形的中位线定理得，；①当，此时，点P、点N和点E重合，则；②当，得，由等边对等角及三角形的内角和定理得，由等角对等边得；③当，由等边对等角得，由（1）得，进而根据等腰直角三角形的性质得，综上即可得出答案.
（1）证明：∵线段绕点C逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点C作交于点H，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵．，
∴，，
∵点D，E分别为，的中点，
∴为中位线，
∴，，
①当，此时，点P、点N和点E重合，则；
②当，
∵线段绕点C逆时针旋转得到，
∴，
∴，
由（1）得，
则，
∴；
③当，则，
由（1）得，
∴；
故的长为或3或；
19．【答案】42
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=6，ab=7，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=6×7=42.
故答案为：42.
【分析】将待求式子，利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
20．【答案】-1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：因为 关于的分式方程有增根 ，所以分式方程的增根为x=2，把分式方程去分母转化为整式方程为：2x=m+5，把x=2代入2x=m+5中，得m=-1.
故 第1空答案为：-1.
【分析】先求出分式方程的增根，然后把增根代入转化后的整式方程，即可求得系数m的值。
21．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解不等式①得，
解不等式②得，
所以，的取值范围是．
故答案为：．
【分析】 第一次输入x时，运算结果小于等于95，根据运算程序，可列不等式3x-1＜95；则第二次输入3x-1时，运算结果大于95，根据运算程序，可列不等式3(3x-1)-1＞95，联立两不等式组成不等式组，求解即可.
22．【答案】或或
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；图形的剪拼；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，可求出各线段长度如图所示：
第一种拼法：如图，可知所拼四边形为平行四边形，其周长为；
第二种拼法：如图，可知所拼四边形为矩形，其周长为；
第三种拼法：如图，可知所拼四边形为直角梯形，其周长为；
综上，所能拼成的四边形的周长为或或，
故答案为：或或．
【分析】由勾股定理算出BC的长，再由三角形的中位线定理得出DE的长，进而有中点定义得出AD=AE=BD=CE=2，DG=GE=，BH=HF=，CF=，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形BDGH是平行四边形，由平行四边形的对边相等得GH=BD=2，进而再根据勾股定理求出GF=；进而画出几种不同的拼法，最后根据四边形周长计算方法分别计算可得答案.
23．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；配方法的应用
【解析】【解答】解：过作于，过作于，如图，
设，则，
和是等边三角形，DK⊥AB，CT⊥AB，
，，，，∠DKA=∠CTB=90°，
，
，，
，，，
，
当时，四边形面积的最小值为，
故答案为：．
【分析】过点D作DK⊥AB于点K，过点C作CT⊥AB于点T，设AP=2m，根据线段和差得PB=6-2m，根据等边三角形的性质得DP=AP=2m，CP=BP=6-2m，AK=KP=AP=m，BT=TP=BP=3-m，则KT=KP+TP=AB=3，根据勾股定理分别表示出DK、CT，然后根据三角形面积计算公式及直角梯形面积计算公式，由S四边形ABCD=S△ADK+S△BCT+S梯形DCTK，列出关系式，进而利用配方法配成(ax+b)2+k的形式，结合偶数次幂的非负性即可得出结论.
24．【答案】（1）解：设从中级赛道顶端到终点的路程是s米， 第一次训练速度是v米/秒，则
，
解得，
答：小明第一次训练速度是4米/秒，从中级赛道顶端到终点的路程是160米．
（2）解：根据题意可得，
解得，
答：滑行速度应大于8米/秒．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设从中级赛道顶端到终点的路程是s米， 第一次训练速度是v米/秒，则第二次训练的速度为(v+1)米/秒，根据路程等于速度和时间的乘积，列出方程组求解即可；
（2）结合速度等于路程除以时间结合“ 所用时间小于20秒 ”列出不等式求解即可．
（1）解：设从中级赛道顶端到终点的路程是x米， 第一次训练速度是v米/秒，则
，解得，
答：小明第一次训练速度是4米/秒，从中级赛道顶端到终点的路程是160米．
（2）根据题意可得，解得，
答：滑行速度应大于8米/秒．
25．【答案】（1）解：直线与y轴和x轴分别交于点A，B，
则点A、B的坐标分别为∶、，
∵点C的坐标为，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴点；
（2）解：∵点M是的中点，
∴则点，
则，
设点，
则的面积，解得∶，
则点，
设直线l的表达式为∶，
将点的坐标代入上式得∶，解得，
则直线l的表达式为∶；
（3）解：存在，或或.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（3）存在，理由∶
设点、点，
当为对角线时，由中点坐标公式得∶，即，
则点；
当或为对角线时，同理可得∶或，则，
即点或，
综上，点P的坐标为∶或或；
【分析】（1）令直线 中的x=0算出对应的函数值可得点A的坐标为（0，3），再令直线中的y=0算出对应的x的值，可得点B的坐标为（2，0）；根据两点间的距离可得BC=5，由平行四边形的对边相等得AD=BC=5，进而根据点的坐标与图形性质即可求得点D坐标；
（2）由中点坐标公式得点M（2.5，3），由两点间距离公式得AM=2.5，由点的坐标与图形性质，设点，利用三角形面积公式建立方程，解得m的值，得出点N的只能，然后利用待定系数法求出直线l的解析式；
（3）设点、点，分类讨论：当CN为对角线时，由中点坐标公式得∶，求得x，当CP或CQ为对角线时，同理可得∶或，求得对应的x即可.
（1）解：直线与y轴和x轴分别交于点A，B，
则点A、B的坐标分别为∶、，
∵点C的坐标为，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
即点；
（2）解：∵点M是的中点，
∴则点，
则，
设点，
则的面积，解得∶，
则点，
设直线l的表达式为∶，
将点的坐标代入上式得∶，解得，
则直线l的表达式为∶；
（3）存在，理由∶
设点、点，
当为对角线时，由中点坐标公式得∶，即，
则点；
当或为对角线时，同理可得∶或，则，
即点或，
综上，点P的坐标为∶或或；
26．【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∵，即
∴，
又由旋转可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：作AF=AC，交C'C的延长线于点F，如图所示：
，
由旋转性质可知：，，，
，，，
，
在和中，
点是的中点；
（3）解：四边形能形成平行四边形，如图所示：
假设四边形为平行四边形时，
，
由（2）可知：，
，
四边形是平行四边形，
四边形为矩形，
，，
过点作，
∵，
∴，
，即
∴
在中，由勾股定理得：
.
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，由旋转的性质得A'B=AB，从而用HL判断出Rt△A'BC≌Rt△ABC，由全等三角形的对应边相等得A'C=AC=3，进而根据AA'=A'C+AC可算出答案；
（2）作AF=AC，交C'C延长线于F，由等边对等角得∠F=∠1，由旋转的性质得AF=AC=A'C'，BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=90°，由等边对等角得∠2=∠3，由等角的余角相等得∠1=∠4=∠F，从而利用AAS判断出△FAD≌△C'A'D，由全等三角形的对应边相等得AD=A'D，从而根据中点定义可得结论；
（3）假设四边形ABC'D为平行四边形时，由平行四边形的对边相等且平行及（2）可得A'D∥BC'，A'D=BC'，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形”四边形A'DBC'为矩形，由矩形的对边相等及旋转的性质得C'D=A'B=AB=5，BD=A'C'=AC=3，过点B作BH⊥CC'，由等腰三角形的三线合一得C'H=CH=CC'，由面积法求出BH的长，进而由勾股定理求出C'H，由此可得CC'的长.
（1）解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∵，即
∴，
又由旋转可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作，交的延长线于点F，如图所示：
，
由旋转性质可知：，，，
，，，
，
在和中，
点是的中点；
（3）解：四边形能形成平行四边形，如图所示：
假设四边形为平行四边形时，
，
由（2）可知：，
，
四边形是平行四边形，
四边形为矩形，
，，
过点作，
∵，
∴，
，即
∴
在中，由勾股定理得：
1 / 1四川省成都市成华区2023-2024学年八年级下学期数学期末试题
1．（2024八下·成华期末）若分式有意义，则实数x满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得，解得.
故答案为：C．
【分析】根据分式有意义的条件“分母不为零”，列出不等式并求解即可．
2．（2024八下·成华期末）我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘徽割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D. 是中心对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D
【分析】将图形沿某一点旋转180°后能够与原图形重合的图形为中心对称图形.
3．（2024八下·成华期末）在数轴上表示不等式的解集，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上辨识出不等式的解集，然后作出选择.
4．（2024八下·成华期末）如果 ，那么下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、由x＜y可得： ，故此选项成立；
B、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
C、由x＜y可得： ，故此选项不成立；
D、由x＜y可得： ，故此选项不成立.
故答案为：A.
【分析】根据不等式的性质：在不等式的两边都乘以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边都乘以同一个负数不等号的方向改变；在不等式的两边都加上或减去同一个数，不等号的方向不变，对各选项分析判断后利用排除法求解.
5．（2024八下·成华期末）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线和直线相交于点，则根据图象可知关于x的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；数形结合
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当时，直线的图象位于直线图象的下方，即关于的不等式的解集为：，
故答案为：C．
【分析】求关于x的不等式的解集，从图象角度看，就是求直线y=x+5的图象位于直线y=ax+b(a＜0)图象的下方部分对应的自变量的取值范围，然后结合两直线的交点P即可得到答案．
6．（2024八下·成华期末）如图，是的边的垂直平分线，分别交边，于点，，连接，且，，则的周长是
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：是的边的垂直平分线，
，
的周长，
又，，
的周长，
故答案为：B．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DB=DC，然后根据三角形周长计算公式、等量代换及将△ACD的周长转化为AB+AC，从而代值计算可得答案.
7．（2024八下·成华期末）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米 设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得
，
故选：D．
【分析】
设边衬的宽度为x米，则整幅图画宽为(1.4+2x)米， 整幅图画长为(2.4+2x)米，根据整幅图画宽与长的比是8：13，列出方程即可．
8．（2024八下·成华期末）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴；
故选：A.
【分析】
由平行四边形的对边平行结合角平分线概念得，由平行四边形的对边相等得，再根据三角形的中位线定理得OE等于BP的一半.
9．（2024八下·成华期末）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式，
故答案为：．
【分析】此题的多项式各项含有相同的因式a，故先利用提取公因式法分解因式，再利用完全平方公式法继续分解到每一个因式都不能再分解为止.
10．（2024八下·成华期末）若分式的值为零，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=2，
故答案为：2.
【分析】利用分式的值为0的条件：①分子为0，②分母不为0，列出方程和不等式求解即可.
11．（2024八下·成华期末）如图，以正五边形的顶点为旋转中心，将正五边形顺时针旋转，若得到的新五边形的顶点落在的延长线上，则旋转的最小度数为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角；旋转的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：五边形ABCDE是正五边形，
，
点D'在BC的延长线上，
，
，
旋转的最小度数为，
故答案为：72°．
【分析】由多边形的内角和公式可得正n边形的一个内角的度数为“”据此算出∠BCD的度数，进而根据邻补角定义可算出∠DCD'的度数，从而得出答案.
12．（2024八下·成华期末）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价　 　元．
【答案】32
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，，
解得：；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
【分析】
设该商品最多可降价x元，列不等式，求解即可．
13．（2024八下·成华期末）如图，在中，．以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，，则的长为　 　．
【答案】5
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：过作于，
由作图得：平分，
，，，
，
，
，
又，平分，
，
，
，
，
，
设．
则，即：，
解得：，
，
故答案为：5．
【分析】根据基本作图可判断BG平分∠BAC，过G点作GH⊥AC于H，再利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到HG=GC，利用HL判断出证明Rt△CBG≌Rt△HBG，由全等三角形的对应边相等得BH=6，设AG=x，然后在Rt△AHG中，由勾股定理建立方程即可求解．
14．（2024八下·成华期末）（）解不等式：；
（）解不等式组：
【答案】解：（）去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为得，；
（）由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先去分母（两边同时乘以8，左边的1也要乘以8，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（）分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
15．（2024八下·成华期末）（1）解方程：；
（2）先化简：，然后从的范围内选择一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
【答案】解：（1），
方程两边同时乘以得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
的系数化为1得，，
经检验是原分式方程的解；
（2）
，
，且为整数，
，0，1，2，
，，，
，1，，
当时，原式．
【知识点】去分母法解分式方程；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）方程两边同时乘以各个分母的最简公分母x(x+1)(x-1)约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程根的情况；
（2）根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入x取值范围内使原分式有意义的x的值按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序计算可得答案.
16．（2024八下·成华期末）如图，在中，点，分别为，的中点，点在边上（不与，重合），连接，点，分别为，的中点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求线段的长．
【答案】（1）证明：点、分别为、的中点，点、分别为、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，DG∥AC，
又，
，
，
，
即线段的长度为．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）由三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半得，，，，则，，再由平行四边形的判定方法“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出结论；
（2）由平行四边形的对边平行且相等得，DG∥AC，根据平行线的性质可推出∠DGB=90°，再由勾股定理求出BG的长即可．
（1）证明：点、分别为、的中点，点、分别为、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
四边形为平行四边形；
（2）解：四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
即线段的长度为．
17．（2024八下·成华期末）新能源汽车既是汽车产业发展的大势所趋，也是新动能的重要支撑点．为加快补齐重点城市之间路网充电基础设施短板，某高速路服务区停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元．且用15万元购买A型充电桩与用20万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
（2）该停车场计划花费不超过26万元购买A，B两种型号充电桩共计25个，且B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的一半．问共有几种购买方案？购买总费用最少为多少万元？
【答案】（1）解：设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价是万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：A型充电桩的单价是0.9万元，B型充电桩的单价是1.2万元；
（2）解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
，15，16，
共有3种购买方案：
①购买14个A型充电桩、11个B型充电桩，总费用为（万元）；
②购买15个A型充电桩、10个B型充电桩，总费用为（万元）；
③购买16个A型充电桩、9个B型充电桩；总费用为（万元）．
购买方案③总费用最少万元．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价是(x+0.3)万元，根据总价除以单价等于数量及用15万元购买A型充电桩与用20方元购买B型充电桩的数量相等，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩(25-m)个，根据购买m个A型充电桩的费用+购买(25-m)个B型充电桩的费用不超过26万元及购买A、B两种型号的充电桩，且B型充电桩的数量不少于A型充电桩数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组求出其整数解，即可解决问题．
（1）解：设型充电桩的单价是万元，则型充电桩的单价是万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：型充电桩的单价是0.9万元，型充电桩的单价是1.2万元；
（2）设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，
根据题意得：，
解得：，
为整数，
，15，16，
共有3种购买方案：
①购买14个型充电桩、11个型充电桩，总费用为（万元）；
②购买15个型充电桩、10个型充电桩，总费用为（万元）；
③购买16个型充电桩、9个型充电桩；总费用为（万元）．
购买方案③总费用最少万元．
18．（2024八下·成华期末）如图，在中，，．点D，E分别为，的中点，点P为线段上一动点（不与点D重合），将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，，，交于点N．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）在点P运动过程中，能否使为等腰三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵线段绕点C逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点C作于点H，如图，
∵点D、E分别是AC、BC的中点，AC=BC，
∴CD=CE=AC=BC
又∵∠ACB=90°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
又∵CH⊥DE，
∴，
∵，
∴；
（3）解：点P在运动过程中能时△CMN成为等腰三角形，此时PD的长为或3或.
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：（3）∵．，
∴，，
∵点D，E分别为，的中点，
∴为中位线，
∴，，
①当，此时，点P、点N和点E重合，则；
②当，
∵线段绕点C逆时针旋转得到，
∴，
∴，
由（1）得，
则，
∴；
③当，则，
由（1）得，
∴；
故的长为或3或.
【分析】（1）由旋转的性质得，，由同角的余角相等得到，结合，从而用SAS证出△ACP≌△BCM，由全等三角形的对应边相等即可得到AP=BM；
（2）过点C作CH⊥DE于点H，易得△CDE是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得DH=EH=CH，结合勾股定理即可得出结论；
（3）由等腰直角三角形的性质得，，由三角形的中位线定理得，；①当，此时，点P、点N和点E重合，则；②当，得，由等边对等角及三角形的内角和定理得，由等角对等边得；③当，由等边对等角得，由（1）得，进而根据等腰直角三角形的性质得，综上即可得出答案.
（1）证明：∵线段绕点C逆时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：过点C作交于点H，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）∵．，
∴，，
∵点D，E分别为，的中点，
∴为中位线，
∴，，
①当，此时，点P、点N和点E重合，则；
②当，
∵线段绕点C逆时针旋转得到，
∴，
∴，
由（1）得，
则，
∴；
③当，则，
由（1）得，
∴；
故的长为或3或；
19．（2024八下·成华期末）已知实数a，b，满足，，则的值为　 　．
【答案】42
【知识点】因式分解的应用
【解析】【解答】解：∵a+b=6，ab=7，
∴a2b+ab2=ab(a+b)=6×7=42.
故答案为：42.
【分析】将待求式子，利用提取公因式法分解因式后，整体代入计算可得答案.
20．（2024八下·成华期末）关于的分式方程有增根，则　 　 ．
【答案】-1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解：因为 关于的分式方程有增根 ，所以分式方程的增根为x=2，把分式方程去分母转化为整式方程为：2x=m+5，把x=2代入2x=m+5中，得m=-1.
故 第1空答案为：-1.
【分析】先求出分式方程的增根，然后把增根代入转化后的整式方程，即可求得系数m的值。
21．（2024八下·成华期末）在如图所示的运行程序中，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于95”为一次程序操作，如果程序操作进行了二次才停止，那么输入的x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意得：
，
解不等式①得，
解不等式②得，
所以，的取值范围是．
故答案为：．
【分析】 第一次输入x时，运算结果小于等于95，根据运算程序，可列不等式3x-1＜95；则第二次输入3x-1时，运算结果大于95，根据运算程序，可列不等式3(3x-1)-1＞95，联立两不等式组成不等式组，求解即可.
22．（2024八下·成华期末）在数学综合与实践活动中，活动小组将一张腰为的等腰直角三角形硬纸片（其中，分别为，，的中点，分别为的中点）剪成如图所示的①②③④四块，然后将这四块纸片重新组合拼成（相互不重叠，不留空隙）一个四边形，则所能拼成的四边形的周长为　 　．
【答案】或或
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；图形的剪拼；等腰直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：根据题意，可求出各线段长度如图所示：
第一种拼法：如图，可知所拼四边形为平行四边形，其周长为；
第二种拼法：如图，可知所拼四边形为矩形，其周长为；
第三种拼法：如图，可知所拼四边形为直角梯形，其周长为；
综上，所能拼成的四边形的周长为或或，
故答案为：或或．
【分析】由勾股定理算出BC的长，再由三角形的中位线定理得出DE的长，进而有中点定义得出AD=AE=BD=CE=2，DG=GE=，BH=HF=，CF=，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得四边形BDGH是平行四边形，由平行四边形的对边相等得GH=BD=2，进而再根据勾股定理求出GF=；进而画出几种不同的拼法，最后根据四边形周长计算方法分别计算可得答案.
23．（2024八下·成华期末）如图，是线段上一动点，分别以，为边长在同侧作等边和等边，连接．若，则四边形面积的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；配方法的应用
【解析】【解答】解：过作于，过作于，如图，
设，则，
和是等边三角形，DK⊥AB，CT⊥AB，
，，，，∠DKA=∠CTB=90°，
，
，，
，，，
，
当时，四边形面积的最小值为，
故答案为：．
【分析】过点D作DK⊥AB于点K，过点C作CT⊥AB于点T，设AP=2m，根据线段和差得PB=6-2m，根据等边三角形的性质得DP=AP=2m，CP=BP=6-2m，AK=KP=AP=m，BT=TP=BP=3-m，则KT=KP+TP=AB=3，根据勾股定理分别表示出DK、CT，然后根据三角形面积计算公式及直角梯形面积计算公式，由S四边形ABCD=S△ADK+S△BCT+S梯形DCTK，列出关系式，进而利用配方法配成(ax+b)2+k的形式，结合偶数次幂的非负性即可得出结论.
24．（2024八下·成华期末）受北京冬奥会影响，小明爱上了滑雪运动．一天，小明在成都热雪奇迹滑雪场训练滑雪，他从中级赛道顶端匀速滑到终点，第一次用了40秒；第二次比第一次速度提高了1米/秒，用了32秒．
（1）问小明第一次训练速度是多少米/秒？从中级赛道顶端到终点的路程是多少米？
（2）若要使所用时间小于20秒，则滑行速度应大于多少米/秒？
【答案】（1）解：设从中级赛道顶端到终点的路程是s米， 第一次训练速度是v米/秒，则
，
解得，
答：小明第一次训练速度是4米/秒，从中级赛道顶端到终点的路程是160米．
（2）解：根据题意可得，
解得，
答：滑行速度应大于8米/秒．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-行程问题
【解析】【分析】（1）设从中级赛道顶端到终点的路程是s米， 第一次训练速度是v米/秒，则第二次训练的速度为(v+1)米/秒，根据路程等于速度和时间的乘积，列出方程组求解即可；
（2）结合速度等于路程除以时间结合“ 所用时间小于20秒 ”列出不等式求解即可．
（1）解：设从中级赛道顶端到终点的路程是x米， 第一次训练速度是v米/秒，则
，解得，
答：小明第一次训练速度是4米/秒，从中级赛道顶端到终点的路程是160米．
（2）根据题意可得，解得，
答：滑行速度应大于8米/秒．
25．（2024八下·成华期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别交于点A，B，的顶点C的坐标为．
（1）求点D的坐标；
（2）直线l经过的中点M，与直线交于点N（点N住x轴下方），且的面积为，求直线l的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q为y轴上的动点，则在x轴上是否存在点P，使以点C，N，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：直线与y轴和x轴分别交于点A，B，
则点A、B的坐标分别为∶、，
∵点C的坐标为，
∴，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
∴点；
（2）解：∵点M是的中点，
∴则点，
则，
设点，
则的面积，解得∶，
则点，
设直线l的表达式为∶，
将点的坐标代入上式得∶，解得，
则直线l的表达式为∶；
（3）解：存在，或或.
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：（3）存在，理由∶
设点、点，
当为对角线时，由中点坐标公式得∶，即，
则点；
当或为对角线时，同理可得∶或，则，
即点或，
综上，点P的坐标为∶或或；
【分析】（1）令直线 中的x=0算出对应的函数值可得点A的坐标为（0，3），再令直线中的y=0算出对应的x的值，可得点B的坐标为（2，0）；根据两点间的距离可得BC=5，由平行四边形的对边相等得AD=BC=5，进而根据点的坐标与图形性质即可求得点D坐标；
（2）由中点坐标公式得点M（2.5，3），由两点间距离公式得AM=2.5，由点的坐标与图形性质，设点，利用三角形面积公式建立方程，解得m的值，得出点N的只能，然后利用待定系数法求出直线l的解析式；
（3）设点、点，分类讨论：当CN为对角线时，由中点坐标公式得∶，求得x，当CP或CQ为对角线时，同理可得∶或，求得对应的x即可.
（1）解：直线与y轴和x轴分别交于点A，B，
则点A、B的坐标分别为∶、，
∵点C的坐标为，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
即点；
（2）解：∵点M是的中点，
∴则点，
则，
设点，
则的面积，解得∶，
则点，
设直线l的表达式为∶，
将点的坐标代入上式得∶，解得，
则直线l的表达式为∶；
（3）存在，理由∶
设点、点，
当为对角线时，由中点坐标公式得∶，即，
则点；
当或为对角线时，同理可得∶或，则，
即点或，
综上，点P的坐标为∶或或；
26．（2024八下·成华期末）在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中点的对应点分别为点，，连接．
（1）如图，当点落在的延长线上时，求的长．
（2）如图，连接交于点，求证：点是的中点；
（3）在旋转过程中，图中的四边形能否形成平行四边形？若能，请说明理由，并求出的长；若不能，为什么？
【答案】（1）解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∵，即
∴，
又由旋转可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：作AF=AC，交C'C的延长线于点F，如图所示：
，
由旋转性质可知：，，，
，，，
，
在和中，
点是的中点；
（3）解：四边形能形成平行四边形，如图所示：
假设四边形为平行四边形时，
，
由（2）可知：，
，
四边形是平行四边形，
四边形为矩形，
，，
过点作，
∵，
∴，
，即
∴
在中，由勾股定理得：
.
【知识点】矩形的判定与性质；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）由勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，由旋转的性质得A'B=AB，从而用HL判断出Rt△A'BC≌Rt△ABC，由全等三角形的对应边相等得A'C=AC=3，进而根据AA'=A'C+AC可算出答案；
（2）作AF=AC，交C'C延长线于F，由等边对等角得∠F=∠1，由旋转的性质得AF=AC=A'C'，BC=BC'，∠ACB=∠A'C'B=90°，由等边对等角得∠2=∠3，由等角的余角相等得∠1=∠4=∠F，从而利用AAS判断出△FAD≌△C'A'D，由全等三角形的对应边相等得AD=A'D，从而根据中点定义可得结论；
（3）假设四边形ABC'D为平行四边形时，由平行四边形的对边相等且平行及（2）可得A'D∥BC'，A'D=BC'，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形”四边形A'DBC'为矩形，由矩形的对边相等及旋转的性质得C'D=A'B=AB=5，BD=A'C'=AC=3，过点B作BH⊥CC'，由等腰三角形的三线合一得C'H=CH=CC'，由面积法求出BH的长，进而由勾股定理求出C'H，由此可得CC'的长.
（1）解：∵，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∵，即
∴，
又由旋转可得，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）解：作，交的延长线于点F，如图所示：
，
由旋转性质可知：，，，
，，，
，
在和中，
点是的中点；
（3）解：四边形能形成平行四边形，如图所示：
假设四边形为平行四边形时，
，
由（2）可知：，
，
四边形是平行四边形，
四边形为矩形，
，，
过点作，
∵，
∴，
，即
∴
在中，由勾股定理得：
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