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湖南省长沙市长郡芙蓉中学2023-2024学年八年级下册期末数学模拟试题（二）
1．（2024八下·芙蓉期末）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；数形结合
【解析】【解答】解：A、此函数中，对于自变量x的任何值，因变量y不是有唯一的一个值与它对应，所以y不是x的函数，故A错误；
B、此函数中，对于自变量x的任何值，因变量y不是有唯一的一个值与它对应，所以y不是x的函数，故B错误；
C、此函数中，对于自变量x的任何值，因变量y不是有唯一的一个值与它对应，所以y不是x的函数，故C错误；
D、此函数中，对于自变量x的任何值，因变量y都有唯一的一个值与它相对应，所以y是x的函数，故D正确；
故选：D．
【分析】根据函数的定义：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一进行判断即可得出答案.
2．（2024八下·芙蓉期末）如图，在ABCD中，，则∠A＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
，
∴∠A+∠C=360°-280°=80°
，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质可得，结合已知条件即可求解．
3．（2024八下·芙蓉期末）若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴，
故选：．
【分析】
由一次函数的性质即可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
4．（2024八下·芙蓉期末）下列说法中不正确的是（ ）．
A．矩形的对角线互相垂直且相等 B．平行四边形的对角线互相平分
C．四条边相等的四边形是菱形 D．正方形的对角线相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：
A、矩形的对角线不互相垂直但相等，A符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，B不符合题意；
C、四条边相等的四边形是菱形，C不符合题意；
D、正方形的对角线相等，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的性质对选项逐一分析即可求解。
5．（2024八下·芙蓉期末）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：因为23出现的次数最多，
所以这组数据的众数是23，
将这组数据按从小到大进行排序为 ，
则这组数据的中位数是24，
故答案为：C.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；根据定义并结合已知条件可求解.
6．（2024八下·芙蓉期末）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x 的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵一次函数与一次函数的图象交于点，
∴根据图象得，当时，，
∴关于x的不等式的解集为：，
故答案为：C．
【分析】由函数图象，直接得出的图象在的图象上方所对应的自变量的范围，即可求出关于x的不等式的解集.
7．（2024八下·芙蓉期末）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且∠BCD=120°，
∴∠ABC=60°，
∵B（-1，0），
∴OB=1，OA=，AB=2，
∴A（0，），
∴BC=AD=2，
∴OC=BC-OB=2-1=1，
∴C（1，0），D（2，）.故答案为：D，
【分析】根据直角三角形的性质得出OB、OA的长，进而利用菱形的性质得出点C、D得坐标即可.
8．（2024八下·芙蓉期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE=BF=，
∵AB=6，
∴DE=BF=3，
同理可得：EF=BD=，
∵BC=8，
∴EF=BD=4，
∴C四边形BDEF=BD+DE+EF+BF=4+3+4+3=14.
【分析】根据三角形中位线的性质得DE=BF=，EF=BD=，即可求得四边形的周长．
9．（2024八下·芙蓉期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数 及方差 如下表所示，若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ）
甲 乙 丙 丁
8 9 9 8
1 1.1 1.2 1.3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由题意可知，甲、乙、丙、丁中，乙、丙的平均数最大，为9
∵1＜1.1＜1.2＜1.3
∴乙的方差比丙的方差小
∴选择乙更为合适
故答案为：B.
【分析】平均数越大，成绩越好，方差越小成绩波动越小，据此即可得出答案.
10．（2024八下·芙蓉期末）关于x的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实根，
，并且，
∴且．
故选：C．
【分析】
对于一元二次方程，根的判别式；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
11．（2024八下·芙蓉期末）关于的方程有一个根为零，它的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把代入方程得，，
∴，
∴方程为，
解得，，
∴方程的另一个根是，
故选：．
【分析】
根据方程解的概念把代入方程可得，再解方程即可．
12．（2024八下·芙蓉期末）如图，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积为定值；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过作轴于，轴于，与交于点，则，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，故①正确；
∵与的交点恰好是的中点，
∴，
在中，是斜边的中线，
∴，
在中，是斜边的中线，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，故②正确；
∵，
∴四边形的面积四边形的面积的面积
四边形的面积的面积，
正方形的面积，
，
，
∴四边形的面积为定值，故③正确；
∵与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形，
∴，故④错误；
∴正确的结论有①②③，
故选：．
【分析】
因为，可过作轴于，轴于，与交于点，则，即可判定四边形是正方形，则，可由同角的余角相等得，则利用“ASA”可证，则，即可判断①；
若OP与AB互相平分，可得四边形是矩形，由可知矩形是正方形，即可判断②；
由于，则，由割补法求图形面积可得，即可判断③；
由②知，当OP与AB互相平分时，，即可判断④．
13．（2024八下·芙蓉期末）一次函数的图象不经过第 象限.
【答案】二
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数，
，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
【分析】
对于一次函数，当时，直线过一、二、三象限；当时，直线过一、四、三象限；
当时，直线过二、三、四象限；当时，直线过一、二、四象限．
14．（2024八下·芙蓉期末）若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 ．
【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，周长是20，BD=8，
∴AC⊥BD，OA=，OB==4，AB=5，
∴OA==3，
∴AC=2OA=6，
∴S菱形ABCD＝6×8÷2＝24，
故答案为：24．
【分析】先根据菱形的性质求出AC⊥BD，OA=，OB==4，AB=5，根据勾股定理再求得另一对角线的长，最后根据菱形的面积公式求出菱形的面积．
15．（2024八下·芙蓉期末）如图，在中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为
【答案】21
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10，
∵AC+BD=22，
∴OC+BO=11，
∵BC=10，
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21．
故答案为：21．
【分析】根据平行四边形性质可得AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．（2024八下·芙蓉期末）若方程的有两个相等的实数根，则 ．
【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，，，
，
整理得：，即
或，
故答案为：或．
【分析】
对于一元二次方程，根的判别式；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
17．（2024八下·芙蓉期末）某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、考止形态这三项的得分分别为95分，80分，80分，若依次按照40%，25%，35%的百分比确定成绩，该选手的成绩是 ．
【答案】86分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵95×40%+80×25%+80×35%=86（分），
∴该选手的成绩是86分．
故答案为：86分．
【分析】
根据加权平均数的定义进行计算即可，即用各成绩分别乘以对应的占比再求和．
18．（2024八下·芙蓉期末）已知函数，当时，y的值为 ．
【答案】3
【知识点】分段函数；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，．
故答案为：3．
【分析】
根据自变量的取值范围选择对应的函数表达式，即将代入中，求出y值即可．
19．（2024八下·芙蓉期末）解方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
，
解得；
（2）解：，
，
，
解得．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先去括号化一元二次方程为一般形式，然后再利用配方法求解；配方法的一般步骤是：若二次项系数为1，先把常数项移到等号的右边，再给两边都加上一次项系数一半的平方化左边为完全平方式，再直接开平方即可；
（2）当一元二次方程两边存在公因式时，先移项，再提公因式分解因式即可．
（1）解：，
，
，
，
，
解得；
（2），
，
，
解得．
20．（2024八下·芙蓉期末）某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行了抽样调查．随机调查了八年级部分学生每天完成作业所用的时间，并根据统计结果制成了条形统计图（时间取整数，图中从左至右依次为第1、2、3、4、5组）和扇形统计图，请结合图中信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）根据图中提供的信息，可知下列结论正确的是 （只填所有正确的代号）；
A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内
B．由图（1）知学生完成作业所用时间的众数在第二组内
C．学生每天完成作业的时间不超过120分钟，视为课业负担适中，根据以上调查，估计该校八年级1000名学生中，课业负担适中的学生有600人.
【答案】（1）60
（2）
（3）A、C
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的学生人数为（人），
故答案为：60；
（2）
解：用时至90分钟的学生人数有（人），
补全条形统计图如下：
（3）
解：A、∵共有60人，处于中间位置的是第30、31个数的平均数，
∴学生完成作业所用时间的中位数在第三组内；
B、∵第三组的人数最多，有18人，
∴学生完成作业所用时间的众数在第三组内；
C、根据题意得人，
正确的是A、C，
故答案为：A、C．
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可根据第1组的人数和所占的百分比即可得出总人数；
（2）用总人数减去其它时间段的人数，求出第二组的人数，从而补全统计图；
（3）求中位数，先按照从小到大的顺序对数据进行排序，再取最中间的一个数据或正中间两个数据的平均值；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；用样本估计总体时，可用总人数乘以时间不超过120分钟的人数所占的百分比即可．
（1）解：本次调查的学生人数为（人），
故答案为：60；
（2）解：用时至90分钟的学生人数有（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：A、∵共有60人，处于中间位置的是第30、31个数的平均数，
∴学生完成作业所用时间的中位数在第三组内；
B、∵第三组的人数最多，有18人，
∴学生完成作业所用时间的众数在第三组内；
C、根据题意得人，
正确的是A、C，
故答案为：A、C．
21．（2024八下·芙蓉期末）如图，一次函数的图象与x轴相交于点B，与过点的一次函数的图象相交于点．
（1）求一次函数图象相应的函数表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：（1 ）∵点在一次函数的图象上，∴，
∴点，
设一次函数图象相应的函数表达式为，
把点，代入得：
，
解得，
∴一次函数图象相应的函数表达式；
（2）解：∵一次函数的图象与x轴交于点B，∴当时，，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由函数图象上点的坐标特征可把点代入先求得m的值，再利用待定系数法即可；
（2）利用直线上点的坐标特征令直线的函数值为0可求得B的坐标，则底边AB长可求，由点的坐标特征可知点C的纵坐标即AB上的高的值，然后根据三角形面积公式求得即可．
（1）解：（1 ）∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴点，
设一次函数图象相应的函数表达式为，
把点，代入得：
，
解得，
∴一次函数图象相应的函数表达式；
（2）解：∵一次函数的图象与x轴交于点B，
∴当时，，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．（2024八下·芙蓉期末）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∵∠AB∥DC，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∵AB=AD，
∴AB=DC，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，BD=2，
∴OA=OC=，OB=OD==1，OA⊥OB，
∴O是AC的中点，
∵AB=，
∴OA==2，
∵CE⊥AB，O是AC的中点，
∴OE==OA=2.
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可得∠DAC=∠DCA，可得AD=DC，进而得出AB=DC证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD，四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，求出OB的长度，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出OA的长度，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出OE的长度．
23．（2024八下·芙蓉期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为），另外三边用的篱笆围成．
（1）令苗圃园长（平行于墙的边长）为，宽为，写出关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少米？
（3）苗圃园的面积能否达到？请说明理由；并写出苗圃园的面积最大值．
【答案】（1）解：由题意得：，∵，
∴，
即y关于的函数关系式为，的取值范围为；
（2）解：设苗圃园的面积为，由知，，
令，
则，
解得：，（舍去，
∴平行于墙的边长，
∴垂直于墙的边长为，
即垂直于墙的边长为12m；
（3）解：由知，令，
则，
整理得：，
∵，
∴方程无实数解，
∴苗圃园的面积不能达到；
∵，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，
即苗圃园的面积不能达到，当平行于墙的边长为时，苗圃园的面积最大值．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设苗圃园长（平行于墙的边长）为，宽为，则，由于墙长为，所以；
（2）设苗圃园的面积为，由矩形的面积公式可得S是关于的二次函数；令，解关于的一元二次方程，再选取符合条件的解即可；
（3）先令得到关于的一元二次方程，由于根的送别式，可知苗圃园面积不能达到；由于二次函数的二次项系数小于0，则抛物线开口向下，对称轴为，因为在自变量取值范围内，则此时S有最大值，求出这个最大值即可．
（1）由题意得：，
∵，
∴，
即y关于的函数关系式为，的取值范围为；
（2）设苗圃园的面积为，
由知，，
令，
则，
解得：，（舍去，
∴平行于墙的边长，
∴垂直于墙的边长为，
即垂直于墙的边长为12m；
（3）由知，
令，
则，
整理得：，
∵，
∴方程无实数解，
∴苗圃园的面积不能达到；
∵，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，
即苗圃园的面积不能达到，当平行于墙的边长为时，苗圃园的面积最大值．
24．（2024八下·芙蓉期末）一方有难，八方支援，为支援上海抗击新冠肺炎，甲地捐赠了600吨的救援物质并联系了一家快递公司进行运送．快递公司准备安排A、B两种车型把这批物资从甲地快速送到上海．其中，从甲地到上海，A型货车6辆、B型货车5辆，一共需补贴油费3800元；A型货车2辆、B型货车3辆，一共需补贴油费1800元．
（1）从甲地到上海，A、B两种型号的货车，每辆车需补贴的油费分别是多少元？
（2）A型货车每辆可装12吨物资，B型货车每辆可装15吨物资，安排的A型货车的数量是B型货车的2倍还多4辆，且B型车最多可安排18辆．运送这批物资，怎样安排运送车辆才能使得补贴的总的油费最少 求出最少油费．
【答案】（1）解：设从甲地到上海，每辆A型货车补贴油费x元，每辆B型货车补贴油费y元，依题意，得：
，
解得：．
答：从甲地到上海，每辆A型货车补贴油费300元，每辆B型货车补贴油费400元；
（2）解：设安排B型货车m辆，则安排A型货车（2m+4）辆，依题意，得：，
解得：14≤m≤18．
∵m为整数，
∴m可取15，16，17，18，
设补贴的总的油费是w元，
w=400m+300（2m+4）=1000m+1200，
∵1000＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m=15时，w取最小值，最小值为1000×15+1200=16200（元），
此时2m+4=2×15+4=34（辆），
答：安排A型货车34辆，安排B型货车15辆，才能使得补贴的总的油费最少，最少油费是16200元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设从甲地到上海，每辆A种型号的货车需补贴的油费是x元，每辆B种型号的货车需补贴的油费是y元，根据“A型货车6辆、B型货车5辆，一共需补贴油费3800元；A型货车2辆、B型货车3辆，一共需补贴油费1800元”列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设安排的B型货车m辆，则安排的A型货车（2m+4）辆，根据“捐赠了600吨的救援物质，B型车最多可安排18辆”可得不等式组，求得m的取值范围；设补贴的总的油费是w元，w=400m+300（2m+4）=1000m+1200，由于1000>0，则w随m的增大而增大，即m=15时费用最小．
（1）解：设从甲地到上海，每辆A型货车补贴油费x元，每辆B型货车补贴油费y元，依题意，得：
，
解得：．
答：从甲地到上海，每辆A型货车补贴油费300元，每辆B型货车补贴油费400元；
（2）解：设安排B型货车m辆，则安排A型货车（2m+4）辆，依题意，得：
，
解得：14≤m≤18．
∵m为整数，
∴m可取15，16，17，18，
设补贴的总的油费是w元，
w=400m+300（2m+4）=1000m+1200，
∵1000＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m=15时，w取最小值，最小值为1000×15+1200=16200（元），
此时2m+4=2×15+4=34（辆），
答：安排A型货车34辆，安排B型货车15辆，才能使得补贴的总的油费最少，最少油费是16200元．
25．（2024八下·芙蓉期末）武汉某文化公司向市场投放型和型商品共件进行试销，型商品成本价元/件，型商品成本价元/件，要求两种商品的总成本价不超过元，已知型商品的售价为元/件，型商品的售价为元/件，全部售出且获得的利润不低于元．设该公司投放型商品件，销售这批商品的利润为元．
（1）求与之间的函数解析式，并求出的取值范围；
（2）该公司决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时，求的值．
（3）公司发现，将这两款商品成套以的价格销售时可以卖出套。公司决定降价成套出售，经过市场调查发现：销售单价每降价元，可多卖出套.当销售单价为多少元时利润可达到元且尽可能让利于顾客？
【答案】（1）解：根据题意得，，
∵两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元，
∴，
解得，
∴与之间的函数解析式为，的取值范围是；
（2）解：根据题意可知一共捐出元，∴，
当时，的最大值小于，不符合最大收益为元，
∴.这种情况不存在；
当时，可知时，取最大值，
∴，
解得，
∴的值为；
（3）解：设销售单价为元时，利润可达到元，由题意得，，
整理得，，
解得，，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
答：当销售单价为元时利润可达到元且尽可能让利于顾客．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（） 设该公司投放型商品件， 则投放B型商品件，则总利润等于A、B两种商品的利润和，再根据不等关系“两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元”列不等式组并求解即可得到的范围；
（）由于售出一件A型商品需要捐献a元，则售出x件需捐出ax 元，即，因为当时，y总小于10000元，不符合要求；因此，此时y随x的增大而增大，即当x＝120时，y有最大值19600，解关于a的一元一次方程即可；
（）设销售单价为元时，则降价元，此时销售客为，每套利润为元，则由总利润可达到元列出一元二次方程并求解，由于要让利于民，因此取较小的解即可．
（1）解：根据题意得，，
∵两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元，
∴，
解得，
∴与之间的函数解析式为，的取值范围是；
（2）解：根据题意可知一共捐出元，
∴，
当时，的最大值小于，不符合最大收益为元，
∴.这种情况不存在；
当时，可知时，取最大值，
∴，
解得，
∴的值为；
（3）解：设销售单价为元时，利润可达到元，
由题意得，，
整理得，，
解得，，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
答：当销售单价为元时利润可达到元且尽可能让利于顾客．
26．（2024八下·芙蓉期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持．
（1）求点的坐标（用含的式子表示）；
（2）求的大小；
（3）若整数使得关于的一元二次方程的两根均为整数，请求出的值及此种情况下面积的最小值．
【答案】（1）解：如图，作轴于，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
（2）解：如图，连接，
四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：设方程两个根为，，
，
，
，
当时，，
此时（舍去），
当时，，
此时（舍去），
当时，，
此时，
当时，，
此时，
当时，，
此时（舍去），
当时，
此时（舍去），
综上所述，，
此时，，
，
连接，
由（2）证得，
，
，
，
过作于，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
过作交的延长线于，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
点在线段上且不与、重合，
，
，
，
，，
当时，有最小值，为，
，此时面积的最小值为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）作轴于，由菱形 的性质可得OC＝OA、是，则，则可求，再根据勾股定理求出即可表示出点的坐标；
（2）连接，由菱形的性质结合其内角可证明是等边三角形，则结合已知可证BM＝AN，则依据SAS可证，同全等三角形的对应角相等可求得即；
（3）设方程两个根为，，根据一元二次方程根与系数的关系可分别表示出两根的和与积，再利用等式的基本性质和添项法分解因式可得两根之间的数量关系，即，求出这个方程的整数解现结合m是正整数的特点可求出m的值，再设，则BN＝2－x，再利用割补法可把的面积表示成与的面积差，整理得的面积是关于x的二次函数，且二次项系数为正，则开口向上，其有最小值，求出这个最小值即可．
（1）解：如图，作轴于，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
（2）解：如图，连接，
四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：设方程两个根为，，
，
，
，
当时，，
此时（舍去），
当时，，
此时（舍去），
当时，，
此时，
当时，，
此时，
当时，，
此时（舍去），
当时，
此时（舍去），
综上所述，，
此时，，
，
连接，
由（2）证得，
，
，
，
过作于，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
过作交的延长线于，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
点在线段上且不与、重合，
，
，
，
，，
当时，有最小值，为，
，此时面积的最小值为．
1 / 1湖南省长沙市长郡芙蓉中学2023-2024学年八年级下册期末数学模拟试题（二）
1．（2024八下·芙蓉期末）下列各曲线中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·芙蓉期末）如图，在ABCD中，，则∠A＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八下·芙蓉期末）若一次函数的图象经过点，，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·芙蓉期末）下列说法中不正确的是（ ）．
A．矩形的对角线互相垂直且相等 B．平行四边形的对角线互相平分
C．四条边相等的四边形是菱形 D．正方形的对角线相等
5．（2024八下·芙蓉期末）“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是：22，23，24，23，24，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24
6．（2024八下·芙蓉期末）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x 的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024八下·芙蓉期末）如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·芙蓉期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．若，，则四边形的周长是（ ）
A．28 B．14 C．10 D．7
9．（2024八下·芙蓉期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均环数 及方差 如下表所示，若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛，那么应选运动员（ ）
甲 乙 丙 丁
8 9 9 8
1 1.1 1.2 1.3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
10．（2024八下·芙蓉期末）关于x的一元二次方程有实根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
11．（2024八下·芙蓉期末）关于的方程有一个根为零，它的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
12．（2024八下·芙蓉期末）如图，点的坐标为，点分别在轴，轴的正半轴上运动，且，连接，下列结论：①；②若与的交点恰好是的中点，则四边形是正方形；③四边形的面积为定值；④．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
13．（2024八下·芙蓉期末）一次函数的图象不经过第 象限.
14．（2024八下·芙蓉期末）若菱形ABCD的周长是20，对角线BD＝8，则菱形ABCD的面积是 ．
15．（2024八下·芙蓉期末）如图，在中，AD=10，对角线AC 与BD相交于点O，AC+BD=22，则△BOC的周长为
16．（2024八下·芙蓉期末）若方程的有两个相等的实数根，则 ．
17．（2024八下·芙蓉期末）某校举办了以“展礼仪风采，树文明形象”为主题的比赛．已知某位选手的礼仪服装、语言表达、考止形态这三项的得分分别为95分，80分，80分，若依次按照40%，25%，35%的百分比确定成绩，该选手的成绩是 ．
18．（2024八下·芙蓉期末）已知函数，当时，y的值为 ．
19．（2024八下·芙蓉期末）解方程：
（1）．
（2）．
20．（2024八下·芙蓉期末）某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行了抽样调查．随机调查了八年级部分学生每天完成作业所用的时间，并根据统计结果制成了条形统计图（时间取整数，图中从左至右依次为第1、2、3、4、5组）和扇形统计图，请结合图中信息回答下列问题：
（1）本次调查的学生人数为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）根据图中提供的信息，可知下列结论正确的是 （只填所有正确的代号）；
A．由图（1）知，学生完成作业所用时间的中位数在第三组内
B．由图（1）知学生完成作业所用时间的众数在第二组内
C．学生每天完成作业的时间不超过120分钟，视为课业负担适中，根据以上调查，估计该校八年级1000名学生中，课业负担适中的学生有600人.
21．（2024八下·芙蓉期末）如图，一次函数的图象与x轴相交于点B，与过点的一次函数的图象相交于点．
（1）求一次函数图象相应的函数表达式；
（2）求的面积．
22．（2024八下·芙蓉期末）如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
23．（2024八下·芙蓉期末）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为），另外三边用的篱笆围成．
（1）令苗圃园长（平行于墙的边长）为，宽为，写出关于的函数关系式，并写出的取值范围；
（2）若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少米？
（3）苗圃园的面积能否达到？请说明理由；并写出苗圃园的面积最大值．
24．（2024八下·芙蓉期末）一方有难，八方支援，为支援上海抗击新冠肺炎，甲地捐赠了600吨的救援物质并联系了一家快递公司进行运送．快递公司准备安排A、B两种车型把这批物资从甲地快速送到上海．其中，从甲地到上海，A型货车6辆、B型货车5辆，一共需补贴油费3800元；A型货车2辆、B型货车3辆，一共需补贴油费1800元．
（1）从甲地到上海，A、B两种型号的货车，每辆车需补贴的油费分别是多少元？
（2）A型货车每辆可装12吨物资，B型货车每辆可装15吨物资，安排的A型货车的数量是B型货车的2倍还多4辆，且B型车最多可安排18辆．运送这批物资，怎样安排运送车辆才能使得补贴的总的油费最少 求出最少油费．
25．（2024八下·芙蓉期末）武汉某文化公司向市场投放型和型商品共件进行试销，型商品成本价元/件，型商品成本价元/件，要求两种商品的总成本价不超过元，已知型商品的售价为元/件，型商品的售价为元/件，全部售出且获得的利润不低于元．设该公司投放型商品件，销售这批商品的利润为元．
（1）求与之间的函数解析式，并求出的取值范围；
（2）该公司决定在试销活动中每售出一件型商品，就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元，当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时，求的值．
（3）公司发现，将这两款商品成套以的价格销售时可以卖出套。公司决定降价成套出售，经过市场调查发现：销售单价每降价元，可多卖出套.当销售单价为多少元时利润可达到元且尽可能让利于顾客？
26．（2024八下·芙蓉期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，四边形是菱形，点在轴的正半轴上，点的坐标为，，点在边上移动（不与、重合），点在边上移动（不与、重合），在移动的过程中保持．
（1）求点的坐标（用含的式子表示）；
（2）求的大小；
（3）若整数使得关于的一元二次方程的两根均为整数，请求出的值及此种情况下面积的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】函数的图象；数形结合
【解析】【解答】解：A、此函数中，对于自变量x的任何值，因变量y不是有唯一的一个值与它对应，所以y不是x的函数，故A错误；
B、此函数中，对于自变量x的任何值，因变量y不是有唯一的一个值与它对应，所以y不是x的函数，故B错误；
C、此函数中，对于自变量x的任何值，因变量y不是有唯一的一个值与它对应，所以y不是x的函数，故C错误；
D、此函数中，对于自变量x的任何值，因变量y都有唯一的一个值与它相对应，所以y是x的函数，故D正确；
故选：D．
【分析】根据函数的定义：对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，逐一进行判断即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
，
∴∠A+∠C=360°-280°=80°
，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质可得，结合已知条件即可求解．
3．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，
∴随的增大而增大，
∵，
∴，
故选：．
【分析】
由一次函数的性质即可知，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：
A、矩形的对角线不互相垂直但相等，A符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，B不符合题意；
C、四条边相等的四边形是菱形，C不符合题意；
D、正方形的对角线相等，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的性质对选项逐一分析即可求解。
5．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：因为23出现的次数最多，
所以这组数据的众数是23，
将这组数据按从小到大进行排序为 ，
则这组数据的中位数是24，
故答案为：C.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；根据定义并结合已知条件可求解.
6．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解：∵一次函数与一次函数的图象交于点，
∴根据图象得，当时，，
∴关于x的不等式的解集为：，
故答案为：C．
【分析】由函数图象，直接得出的图象在的图象上方所对应的自变量的范围，即可求出关于x的不等式的解集.
7．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；菱形的判定与性质；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且∠BCD=120°，
∴∠ABC=60°，
∵B（-1，0），
∴OB=1，OA=，AB=2，
∴A（0，），
∴BC=AD=2，
∴OC=BC-OB=2-1=1，
∴C（1，0），D（2，）.故答案为：D，
【分析】根据直角三角形的性质得出OB、OA的长，进而利用菱形的性质得出点C、D得坐标即可.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE=BF=，
∵AB=6，
∴DE=BF=3，
同理可得：EF=BD=，
∵BC=8，
∴EF=BD=4，
∴C四边形BDEF=BD+DE+EF+BF=4+3+4+3=14.
【分析】根据三角形中位线的性质得DE=BF=，EF=BD=，即可求得四边形的周长．
9．【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：由题意可知，甲、乙、丙、丁中，乙、丙的平均数最大，为9
∵1＜1.1＜1.2＜1.3
∴乙的方差比丙的方差小
∴选择乙更为合适
故答案为：B.
【分析】平均数越大，成绩越好，方差越小成绩波动越小，据此即可得出答案.
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有实根，
，并且，
∴且．
故选：C．
【分析】
对于一元二次方程，根的判别式；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
11．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：把代入方程得，，
∴，
∴方程为，
解得，，
∴方程的另一个根是，
故选：．
【分析】
根据方程解的概念把代入方程可得，再解方程即可．
12．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过作轴于，轴于，与交于点，则，
∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴
∴，故①正确；
∵与的交点恰好是的中点，
∴，
在中，是斜边的中线，
∴，
在中，是斜边的中线，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，故②正确；
∵，
∴四边形的面积四边形的面积的面积
四边形的面积的面积，
正方形的面积，
，
，
∴四边形的面积为定值，故③正确；
∵与的交点恰好是的中点时，四边形是正方形，
∴，故④错误；
∴正确的结论有①②③，
故选：．
【分析】
因为，可过作轴于，轴于，与交于点，则，即可判定四边形是正方形，则，可由同角的余角相等得，则利用“ASA”可证，则，即可判断①；
若OP与AB互相平分，可得四边形是矩形，由可知矩形是正方形，即可判断②；
由于，则，由割补法求图形面积可得，即可判断③；
由②知，当OP与AB互相平分时，，即可判断④．
13．【答案】二
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：一次函数，
，
∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故答案为：二．
【分析】
对于一次函数，当时，直线过一、二、三象限；当时，直线过一、四、三象限；
当时，直线过二、三、四象限；当时，直线过一、二、四象限．
14．【答案】24
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，周长是20，BD=8，
∴AC⊥BD，OA=，OB==4，AB=5，
∴OA==3，
∴AC=2OA=6，
∴S菱形ABCD＝6×8÷2＝24，
故答案为：24．
【分析】先根据菱形的性质求出AC⊥BD，OA=，OB==4，AB=5，根据勾股定理再求得另一对角线的长，最后根据菱形的面积公式求出菱形的面积．
15．【答案】21
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10，
∵AC+BD=22，
∴OC+BO=11，
∵BC=10，
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21．
故答案为：21．
【分析】根据平行四边形性质可得AO=OC=AC，BO=OD=BD，BC=AD=10，再根据边之间的关系即可求出答案.
16．【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，，，
，
整理得：，即
或，
故答案为：或．
【分析】
对于一元二次方程，根的判别式；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
17．【答案】86分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵95×40%+80×25%+80×35%=86（分），
∴该选手的成绩是86分．
故答案为：86分．
【分析】
根据加权平均数的定义进行计算即可，即用各成绩分别乘以对应的占比再求和．
18．【答案】3
【知识点】分段函数；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：当时，．
故答案为：3．
【分析】
根据自变量的取值范围选择对应的函数表达式，即将代入中，求出y值即可．
19．【答案】（1）解：，
，
，
，
，
解得；
（2）解：，
，
，
解得．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先去括号化一元二次方程为一般形式，然后再利用配方法求解；配方法的一般步骤是：若二次项系数为1，先把常数项移到等号的右边，再给两边都加上一次项系数一半的平方化左边为完全平方式，再直接开平方即可；
（2）当一元二次方程两边存在公因式时，先移项，再提公因式分解因式即可．
（1）解：，
，
，
，
，
解得；
（2），
，
，
解得．
20．【答案】（1）60
（2）
（3）A、C
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查的学生人数为（人），
故答案为：60；
（2）
解：用时至90分钟的学生人数有（人），
补全条形统计图如下：
（3）
解：A、∵共有60人，处于中间位置的是第30、31个数的平均数，
∴学生完成作业所用时间的中位数在第三组内；
B、∵第三组的人数最多，有18人，
∴学生完成作业所用时间的众数在第三组内；
C、根据题意得人，
正确的是A、C，
故答案为：A、C．
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可根据第1组的人数和所占的百分比即可得出总人数；
（2）用总人数减去其它时间段的人数，求出第二组的人数，从而补全统计图；
（3）求中位数，先按照从小到大的顺序对数据进行排序，再取最中间的一个数据或正中间两个数据的平均值；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个，也可能是多个；用样本估计总体时，可用总人数乘以时间不超过120分钟的人数所占的百分比即可．
（1）解：本次调查的学生人数为（人），
故答案为：60；
（2）解：用时至90分钟的学生人数有（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：A、∵共有60人，处于中间位置的是第30、31个数的平均数，
∴学生完成作业所用时间的中位数在第三组内；
B、∵第三组的人数最多，有18人，
∴学生完成作业所用时间的众数在第三组内；
C、根据题意得人，
正确的是A、C，
故答案为：A、C．
21．【答案】（1）解：（1 ）∵点在一次函数的图象上，∴，
∴点，
设一次函数图象相应的函数表达式为，
把点，代入得：
，
解得，
∴一次函数图象相应的函数表达式；
（2）解：∵一次函数的图象与x轴交于点B，∴当时，，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】（1）由函数图象上点的坐标特征可把点代入先求得m的值，再利用待定系数法即可；
（2）利用直线上点的坐标特征令直线的函数值为0可求得B的坐标，则底边AB长可求，由点的坐标特征可知点C的纵坐标即AB上的高的值，然后根据三角形面积公式求得即可．
（1）解：（1 ）∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴点，
设一次函数图象相应的函数表达式为，
把点，代入得：
，
解得，
∴一次函数图象相应的函数表达式；
（2）解：∵一次函数的图象与x轴交于点B，
∴当时，，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴．
22．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∵∠AB∥DC，
∴∠DCA=∠BAC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∵AB=AD，
∴AB=DC，
∴四边形ABCD是菱形.
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，BD=2，
∴OA=OC=，OB=OD==1，OA⊥OB，
∴O是AC的中点，
∵AB=，
∴OA==2，
∵CE⊥AB，O是AC的中点，
∴OE==OA=2.
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质和角平分线的性质可得∠DAC=∠DCA，可得AD=DC，进而得出AB=DC证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD，四边形ABCD是菱形；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质，求出OB的长度，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出OA的长度，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出OE的长度．
23．【答案】（1）解：由题意得：，∵，
∴，
即y关于的函数关系式为，的取值范围为；
（2）解：设苗圃园的面积为，由知，，
令，
则，
解得：，（舍去，
∴平行于墙的边长，
∴垂直于墙的边长为，
即垂直于墙的边长为12m；
（3）解：由知，令，
则，
整理得：，
∵，
∴方程无实数解，
∴苗圃园的面积不能达到；
∵，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，
即苗圃园的面积不能达到，当平行于墙的边长为时，苗圃园的面积最大值．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设苗圃园长（平行于墙的边长）为，宽为，则，由于墙长为，所以；
（2）设苗圃园的面积为，由矩形的面积公式可得S是关于的二次函数；令，解关于的一元二次方程，再选取符合条件的解即可；
（3）先令得到关于的一元二次方程，由于根的送别式，可知苗圃园面积不能达到；由于二次函数的二次项系数小于0，则抛物线开口向下，对称轴为，因为在自变量取值范围内，则此时S有最大值，求出这个最大值即可．
（1）由题意得：，
∵，
∴，
即y关于的函数关系式为，的取值范围为；
（2）设苗圃园的面积为，
由知，，
令，
则，
解得：，（舍去，
∴平行于墙的边长，
∴垂直于墙的边长为，
即垂直于墙的边长为12m；
（3）由知，
令，
则，
整理得：，
∵，
∴方程无实数解，
∴苗圃园的面积不能达到；
∵，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，
即苗圃园的面积不能达到，当平行于墙的边长为时，苗圃园的面积最大值．
24．【答案】（1）解：设从甲地到上海，每辆A型货车补贴油费x元，每辆B型货车补贴油费y元，依题意，得：
，
解得：．
答：从甲地到上海，每辆A型货车补贴油费300元，每辆B型货车补贴油费400元；
（2）解：设安排B型货车m辆，则安排A型货车（2m+4）辆，依题意，得：，
解得：14≤m≤18．
∵m为整数，
∴m可取15，16，17，18，
设补贴的总的油费是w元，
w=400m+300（2m+4）=1000m+1200，
∵1000＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m=15时，w取最小值，最小值为1000×15+1200=16200（元），
此时2m+4=2×15+4=34（辆），
答：安排A型货车34辆，安排B型货车15辆，才能使得补贴的总的油费最少，最少油费是16200元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设从甲地到上海，每辆A种型号的货车需补贴的油费是x元，每辆B种型号的货车需补贴的油费是y元，根据“A型货车6辆、B型货车5辆，一共需补贴油费3800元；A型货车2辆、B型货车3辆，一共需补贴油费1800元”列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设安排的B型货车m辆，则安排的A型货车（2m+4）辆，根据“捐赠了600吨的救援物质，B型车最多可安排18辆”可得不等式组，求得m的取值范围；设补贴的总的油费是w元，w=400m+300（2m+4）=1000m+1200，由于1000>0，则w随m的增大而增大，即m=15时费用最小．
（1）解：设从甲地到上海，每辆A型货车补贴油费x元，每辆B型货车补贴油费y元，依题意，得：
，
解得：．
答：从甲地到上海，每辆A型货车补贴油费300元，每辆B型货车补贴油费400元；
（2）解：设安排B型货车m辆，则安排A型货车（2m+4）辆，依题意，得：
，
解得：14≤m≤18．
∵m为整数，
∴m可取15，16，17，18，
设补贴的总的油费是w元，
w=400m+300（2m+4）=1000m+1200，
∵1000＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m=15时，w取最小值，最小值为1000×15+1200=16200（元），
此时2m+4=2×15+4=34（辆），
答：安排A型货车34辆，安排B型货车15辆，才能使得补贴的总的油费最少，最少油费是16200元．
25．【答案】（1）解：根据题意得，，
∵两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元，
∴，
解得，
∴与之间的函数解析式为，的取值范围是；
（2）解：根据题意可知一共捐出元，∴，
当时，的最大值小于，不符合最大收益为元，
∴.这种情况不存在；
当时，可知时，取最大值，
∴，
解得，
∴的值为；
（3）解：设销售单价为元时，利润可达到元，由题意得，，
整理得，，
解得，，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
答：当销售单价为元时利润可达到元且尽可能让利于顾客．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（） 设该公司投放型商品件， 则投放B型商品件，则总利润等于A、B两种商品的利润和，再根据不等关系“两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元”列不等式组并求解即可得到的范围；
（）由于售出一件A型商品需要捐献a元，则售出x件需捐出ax 元，即，因为当时，y总小于10000元，不符合要求；因此，此时y随x的增大而增大，即当x＝120时，y有最大值19600，解关于a的一元一次方程即可；
（）设销售单价为元时，则降价元，此时销售客为，每套利润为元，则由总利润可达到元列出一元二次方程并求解，由于要让利于民，因此取较小的解即可．
（1）解：根据题意得，，
∵两种商品的总成本价不超过元，全部售出且获得的利润不低于元，
∴，
解得，
∴与之间的函数解析式为，的取值范围是；
（2）解：根据题意可知一共捐出元，
∴，
当时，的最大值小于，不符合最大收益为元，
∴.这种情况不存在；
当时，可知时，取最大值，
∴，
解得，
∴的值为；
（3）解：设销售单价为元时，利润可达到元，
由题意得，，
整理得，，
解得，，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
答：当销售单价为元时利润可达到元且尽可能让利于顾客．
26．【答案】（1）解：如图，作轴于，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
（2）解：如图，连接，
四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：设方程两个根为，，
，
，
，
当时，，
此时（舍去），
当时，，
此时（舍去），
当时，，
此时，
当时，，
此时，
当时，，
此时（舍去），
当时，
此时（舍去），
综上所述，，
此时，，
，
连接，
由（2）证得，
，
，
，
过作于，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
过作交的延长线于，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
点在线段上且不与、重合，
，
，
，
，，
当时，有最小值，为，
，此时面积的最小值为．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）作轴于，由菱形 的性质可得OC＝OA、是，则，则可求，再根据勾股定理求出即可表示出点的坐标；
（2）连接，由菱形的性质结合其内角可证明是等边三角形，则结合已知可证BM＝AN，则依据SAS可证，同全等三角形的对应角相等可求得即；
（3）设方程两个根为，，根据一元二次方程根与系数的关系可分别表示出两根的和与积，再利用等式的基本性质和添项法分解因式可得两根之间的数量关系，即，求出这个方程的整数解现结合m是正整数的特点可求出m的值，再设，则BN＝2－x，再利用割补法可把的面积表示成与的面积差，整理得的面积是关于x的二次函数，且二次项系数为正，则开口向上，其有最小值，求出这个最小值即可．
（1）解：如图，作轴于，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
（2）解：如图，连接，
四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：设方程两个根为，，
，
，
，
当时，，
此时（舍去），
当时，，
此时（舍去），
当时，，
此时，
当时，，
此时，
当时，，
此时（舍去），
当时，
此时（舍去），
综上所述，，
此时，，
，
连接，
由（2）证得，
，
，
，
过作于，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
过作交的延长线于，则，
，
，
，
，
，
设，
，
，
点在线段上且不与、重合，
，
，
，
，，
当时，有最小值，为，
，此时面积的最小值为．
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