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湖南省长沙市长郡芙蓉中学2023-2024学年八年级下册期末数学模拟试题(二)
1.(2024八下·芙蓉期末)下列各曲线中,表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【知识点】函数的图象;数形结合
【解析】【解答】解:A、此函数中,对于自变量x的任何值,因变量y不是有唯一的一个值与它对应,所以y不是x的函数,故A错误;
B、此函数中,对于自变量x的任何值,因变量y不是有唯一的一个值与它对应,所以y不是x的函数,故B错误;
C、此函数中,对于自变量x的任何值,因变量y不是有唯一的一个值与它对应,所以y不是x的函数,故C错误;
D、此函数中,对于自变量x的任何值,因变量y都有唯一的一个值与它相对应,所以y是x的函数,故D正确;
故选:D.
【分析】根据函数的定义:对于自变量x的每一个值,因变量y都有唯一的值与它对应,逐一进行判断即可得出答案.
2.(2024八下·芙蓉期末)如图,在ABCD中,,则∠A=( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形是平行四边形,
∴,,
,
∴∠A+∠C=360°-280°=80°
,
故答案为:B.
【分析】根据平行四边形的性质可得,结合已知条件即可求解.
3.(2024八下·芙蓉期末)若一次函数的图象经过点,,则与的大小关系是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系;比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解:∵,
∴随的增大而增大,
∵,
∴,
故选:.
【分析】
由一次函数的性质即可知,当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小.
4.(2024八下·芙蓉期末)下列说法中不正确的是( ).
A.矩形的对角线互相垂直且相等 B.平行四边形的对角线互相平分
C.四条边相等的四边形是菱形 D.正方形的对角线相等
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质;菱形的判定;矩形的性质;正方形的性质
【解析】【解答】解:
A、矩形的对角线不互相垂直但相等,A符合题意;
B、平行四边形的对角线互相平分,B不符合题意;
C、四条边相等的四边形是菱形,C不符合题意;
D、正方形的对角线相等,D不符合题意;
故答案为:A
【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的性质对选项逐一分析即可求解。
5.(2024八下·芙蓉期末)“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势,从稻田中随机抽取9株水稻苗,测得苗高(单位:cm)分别是:22,23,24,23,24,25,26,23,25.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A.24,25 B.23,23 C.23,24 D.24,24
【答案】C
【知识点】中位数;众数
【解析】【解答】解:因为23出现的次数最多,
所以这组数据的众数是23,
将这组数据按从小到大进行排序为 ,
则这组数据的中位数是24,
故答案为:C.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数;中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时,中间两个数的平均数就是这组数据的中位数;②奇数个数据时,中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数;根据定义并结合已知条件可求解.
6.(2024八下·芙蓉期末)如图,一次函数与一次函数的图象交于点,则关于x 的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式(组)的关系;两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解:∵一次函数与一次函数的图象交于点,
∴根据图象得,当时,,
∴关于x的不等式的解集为:,
故答案为:C.
【分析】由函数图象,直接得出的图象在的图象上方所对应的自变量的范围,即可求出关于x的不等式的解集.
7.(2024八下·芙蓉期末)如图,在直角坐标系中,菱形的顶点A,B,C在坐标轴上,若点B的坐标为,,则点D的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质;菱形的判定与性质;解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,且∠BCD=120°,
∴∠ABC=60°,
∵B(-1,0),
∴OB=1,OA=,AB=2,
∴A(0,),
∴BC=AD=2,
∴OC=BC-OB=2-1=1,
∴C(1,0),D(2,).故答案为:D,
【分析】根据直角三角形的性质得出OB、OA的长,进而利用菱形的性质得出点C、D得坐标即可.
8.(2024八下·芙蓉期末)如图,在中,D,E,F分别是,,的中点.若,,则四边形的周长是( )
A.28 B.14 C.10 D.7
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵D、E分别是BC、AC的中点,
∴DE=BF=,
∵AB=6,
∴DE=BF=3,
同理可得:EF=BD=,
∵BC=8,
∴EF=BD=4,
∴C四边形BDEF=BD+DE+EF+BF=4+3+4+3=14.
【分析】根据三角形中位线的性质得DE=BF=,EF=BD=,即可求得四边形的周长.
9.(2024八下·芙蓉期末)甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛,他们射击成绩的平均环数 及方差 如下表所示,若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛,那么应选运动员( )
甲 乙 丙 丁
8 9 9 8
1 1.1 1.2 1.3
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势(平均数、中位数、众数)
【解析】【解答】解:由题意可知,甲、乙、丙、丁中,乙、丙的平均数最大,为9
∵1<1.1<1.2<1.3
∴乙的方差比丙的方差小
∴选择乙更为合适
故答案为:B.
【分析】平均数越大,成绩越好,方差越小成绩波动越小,据此即可得出答案.
10.(2024八下·芙蓉期末)关于x的一元二次方程有实根,则的取值范围是( )
A. B.
C.且 D.且
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;解一元一次不等式
【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程有实根,
,并且,
∴且.
故选:C.
【分析】
对于一元二次方程,根的判别式;当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根.
11.(2024八下·芙蓉期末)关于的方程有一个根为零,它的另一个根是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根;因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解:把代入方程得,,
∴,
∴方程为,
解得,,
∴方程的另一个根是,
故选:.
【分析】
根据方程解的概念把代入方程可得,再解方程即可.
12.(2024八下·芙蓉期末)如图,点的坐标为,点分别在轴,轴的正半轴上运动,且,连接,下列结论:①;②若与的交点恰好是的中点,则四边形是正方形;③四边形的面积为定值;④.其中正确的结论是( )
A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②④
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质;矩形的判定;正方形的判定与性质;三角形全等的判定-ASA;全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解:如图,过作轴于,轴于,与交于点,则,
∵,
∴四边形是矩形,
∵,
∴,
∴四边形是正方形,
∴,,
∵,
∴,
在和中,
,
∴
∴,故①正确;
∵与的交点恰好是的中点,
∴,
在中,是斜边的中线,
∴,
在中,是斜边的中线,
∴,
∴,
∴四边形是矩形,
∵,
∴四边形是正方形,故②正确;
∵,
∴四边形的面积四边形的面积的面积
四边形的面积的面积,
正方形的面积,
,
,
∴四边形的面积为定值,故③正确;
∵与的交点恰好是的中点时,四边形是正方形,
∴,故④错误;
∴正确的结论有①②③,
故选:.
【分析】
因为,可过作轴于,轴于,与交于点,则,即可判定四边形是正方形,则,可由同角的余角相等得,则利用“ASA”可证,则,即可判断①;
若OP与AB互相平分,可得四边形是矩形,由可知矩形是正方形,即可判断②;
由于,则,由割补法求图形面积可得,即可判断③;
由②知,当OP与AB互相平分时,,即可判断④.
13.(2024八下·芙蓉期末)一次函数的图象不经过第 象限.
【答案】二
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解:一次函数,
,
∴该函数图象经过第一、三、四象限,不经过第二象限,
故答案为:二.
【分析】
对于一次函数,当时,直线过一、二、三象限;当时,直线过一、四、三象限;
当时,直线过二、三、四象限;当时,直线过一、二、四象限.
14.(2024八下·芙蓉期末)若菱形ABCD的周长是20,对角线BD=8,则菱形ABCD的面积是 .
【答案】24
【知识点】勾股定理;菱形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,周长是20,BD=8,
∴AC⊥BD,OA=,OB==4,AB=5,
∴OA==3,
∴AC=2OA=6,
∴S菱形ABCD=6×8÷2=24,
故答案为:24.
【分析】先根据菱形的性质求出AC⊥BD,OA=,OB==4,AB=5,根据勾股定理再求得另一对角线的长,最后根据菱形的面积公式求出菱形的面积.
15.(2024八下·芙蓉期末)如图,在中,AD=10,对角线AC 与BD相交于点O,AC+BD=22,则△BOC的周长为
【答案】21
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC=AC,BO=OD=BD,BC=AD=10,
∵AC+BD=22,
∴OC+BO=11,
∵BC=10,
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21.
故答案为:21.
【分析】根据平行四边形性质可得AO=OC=AC,BO=OD=BD,BC=AD=10,再根据边之间的关系即可求出答案.
16.(2024八下·芙蓉期末)若方程的有两个相等的实数根,则 .
【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程;一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解:,
,,,
,
整理得:,即
或,
故答案为:或.
【分析】
对于一元二次方程,根的判别式;当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根.
17.(2024八下·芙蓉期末)某校举办了以“展礼仪风采,树文明形象”为主题的比赛.已知某位选手的礼仪服装、语言表达、考止形态这三项的得分分别为95分,80分,80分,若依次按照40%,25%,35%的百分比确定成绩,该选手的成绩是 .
【答案】86分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解:∵95×40%+80×25%+80×35%=86(分),
∴该选手的成绩是86分.
故答案为:86分.
【分析】
根据加权平均数的定义进行计算即可,即用各成绩分别乘以对应的占比再求和.
18.(2024八下·芙蓉期末)已知函数,当时,y的值为 .
【答案】3
【知识点】分段函数;一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解:当时,.
故答案为:3.
【分析】
根据自变量的取值范围选择对应的函数表达式,即将代入中,求出y值即可.
19.(2024八下·芙蓉期末)解方程:
(1).
(2).
【答案】(1)解:,
,
,
,
,
解得;
(2)解:,
,
,
解得.
【知识点】配方法解一元二次方程;因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)先去括号化一元二次方程为一般形式,然后再利用配方法求解;配方法的一般步骤是:若二次项系数为1,先把常数项移到等号的右边,再给两边都加上一次项系数一半的平方化左边为完全平方式,再直接开平方即可;
(2)当一元二次方程两边存在公因式时,先移项,再提公因式分解因式即可.
(1)解:,
,
,
,
,
解得;
(2),
,
,
解得.
20.(2024八下·芙蓉期末)某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行了抽样调查.随机调查了八年级部分学生每天完成作业所用的时间,并根据统计结果制成了条形统计图(时间取整数,图中从左至右依次为第1、2、3、4、5组)和扇形统计图,请结合图中信息回答下列问题:
(1)本次调查的学生人数为 ;
(2)补全条形统计图;
(3)根据图中提供的信息,可知下列结论正确的是 (只填所有正确的代号);
A.由图(1)知,学生完成作业所用时间的中位数在第三组内
B.由图(1)知学生完成作业所用时间的众数在第二组内
C.学生每天完成作业的时间不超过120分钟,视为课业负担适中,根据以上调查,估计该校八年级1000名学生中,课业负担适中的学生有600人.
【答案】(1)60
(2)
(3)A、C
【知识点】扇形统计图;条形统计图;中位数;众数;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)解:本次调查的学生人数为(人),
故答案为:60;
(2)
解:用时至90分钟的学生人数有(人),
补全条形统计图如下:
(3)
解:A、∵共有60人,处于中间位置的是第30、31个数的平均数,
∴学生完成作业所用时间的中位数在第三组内;
B、∵第三组的人数最多,有18人,
∴学生完成作业所用时间的众数在第三组内;
C、根据题意得人,
正确的是A、C,
故答案为:A、C.
【分析】
(1)观察条形统计图和扇形统计图,可根据第1组的人数和所占的百分比即可得出总人数;
(2)用总人数减去其它时间段的人数,求出第二组的人数,从而补全统计图;
(3)求中位数,先按照从小到大的顺序对数据进行排序,再取最中间的一个数据或正中间两个数据的平均值;众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据,可能是一个,也可能是多个;用样本估计总体时,可用总人数乘以时间不超过120分钟的人数所占的百分比即可.
(1)解:本次调查的学生人数为(人),
故答案为:60;
(2)解:用时至90分钟的学生人数有(人),
补全条形统计图如下:
(3)解:A、∵共有60人,处于中间位置的是第30、31个数的平均数,
∴学生完成作业所用时间的中位数在第三组内;
B、∵第三组的人数最多,有18人,
∴学生完成作业所用时间的众数在第三组内;
C、根据题意得人,
正确的是A、C,
故答案为:A、C.
21.(2024八下·芙蓉期末)如图,一次函数的图象与x轴相交于点B,与过点的一次函数的图象相交于点.
(1)求一次函数图象相应的函数表达式;
(2)求的面积.
【答案】(1)解:(1 )∵点在一次函数的图象上,∴,
∴点,
设一次函数图象相应的函数表达式为,
把点,代入得:
,
解得,
∴一次函数图象相应的函数表达式;
(2)解:∵一次函数的图象与x轴交于点B,∴当时,,解得,
∴,
∵,,
∴,
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】(1)由函数图象上点的坐标特征可把点代入先求得m的值,再利用待定系数法即可;
(2)利用直线上点的坐标特征令直线的函数值为0可求得B的坐标,则底边AB长可求,由点的坐标特征可知点C的纵坐标即AB上的高的值,然后根据三角形面积公式求得即可.
(1)解:(1 )∵点在一次函数的图象上,
∴,
∴点,
设一次函数图象相应的函数表达式为,
把点,代入得:
,
解得,
∴一次函数图象相应的函数表达式;
(2)解:∵一次函数的图象与x轴交于点B,
∴当时,,解得,
∴,
∵,,
∴,
∴.
22.(2024八下·芙蓉期末)如图,在四边形中,AB//DC,,对角线,交于点,平分,过点作交的延长线于点,连接.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,,求的长.
【答案】(1)证明:∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠BAC,
∵∠AB∥DC,
∴∠DCA=∠BAC,
∴∠DAC=∠DCA,
∴AD=DC,
∵AB=AD,
∴AB=DC,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)解:由(1)可知,四边形ABCD是菱形,BD=2,
∴OA=OC=,OB=OD==1,OA⊥OB,
∴O是AC的中点,
∵AB=,
∴OA==2,
∵CE⊥AB,O是AC的中点,
∴OE==OA=2.
【知识点】勾股定理;菱形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质和角平分线的性质可得∠DAC=∠DCA,可得AD=DC,进而得出AB=DC证明四边形ABCD是平行四边形,再由AB=AD,四边形ABCD是菱形;
(2)根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质,求出OB的长度,在直角三角形AOB中,利用勾股定理求出OA的长度,再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出OE的长度.
23.(2024八下·芙蓉期末)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园(如图所示),其中一边靠墙(墙长为),另外三边用的篱笆围成.
(1)令苗圃园长(平行于墙的边长)为,宽为,写出关于的函数关系式,并写出的取值范围;
(2)若苗圃园的面积为,求垂直于墙的一边长为多少米?
(3)苗圃园的面积能否达到?请说明理由;并写出苗圃园的面积最大值.
【答案】(1)解:由题意得:,∵,
∴,
即y关于的函数关系式为,的取值范围为;
(2)解:设苗圃园的面积为,由知,,
令,
则,
解得:,(舍去,
∴平行于墙的边长,
∴垂直于墙的边长为,
即垂直于墙的边长为12m;
(3)解:由知,令,
则,
整理得:,
∵,
∴方程无实数解,
∴苗圃园的面积不能达到;
∵,
∵,
∴当时,S有最大值,最大值为,
即苗圃园的面积不能达到,当平行于墙的边长为时,苗圃园的面积最大值.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题;二次函数的实际应用-几何问题;一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设苗圃园长(平行于墙的边长)为,宽为,则,由于墙长为,所以;
(2)设苗圃园的面积为,由矩形的面积公式可得S是关于的二次函数;令,解关于的一元二次方程,再选取符合条件的解即可;
(3)先令得到关于的一元二次方程,由于根的送别式,可知苗圃园面积不能达到;由于二次函数的二次项系数小于0,则抛物线开口向下,对称轴为,因为在自变量取值范围内,则此时S有最大值,求出这个最大值即可.
(1)由题意得:,
∵,
∴,
即y关于的函数关系式为,的取值范围为;
(2)设苗圃园的面积为,
由知,,
令,
则,
解得:,(舍去,
∴平行于墙的边长,
∴垂直于墙的边长为,
即垂直于墙的边长为12m;
(3)由知,
令,
则,
整理得:,
∵,
∴方程无实数解,
∴苗圃园的面积不能达到;
∵,
∵,
∴当时,S有最大值,最大值为,
即苗圃园的面积不能达到,当平行于墙的边长为时,苗圃园的面积最大值.
24.(2024八下·芙蓉期末)一方有难,八方支援,为支援上海抗击新冠肺炎,甲地捐赠了600吨的救援物质并联系了一家快递公司进行运送.快递公司准备安排A、B两种车型把这批物资从甲地快速送到上海.其中,从甲地到上海,A型货车6辆、B型货车5辆,一共需补贴油费3800元;A型货车2辆、B型货车3辆,一共需补贴油费1800元.
(1)从甲地到上海,A、B两种型号的货车,每辆车需补贴的油费分别是多少元?
(2)A型货车每辆可装12吨物资,B型货车每辆可装15吨物资,安排的A型货车的数量是B型货车的2倍还多4辆,且B型车最多可安排18辆.运送这批物资,怎样安排运送车辆才能使得补贴的总的油费最少 求出最少油费.
【答案】(1)解:设从甲地到上海,每辆A型货车补贴油费x元,每辆B型货车补贴油费y元,依题意,得:
,
解得:.
答:从甲地到上海,每辆A型货车补贴油费300元,每辆B型货车补贴油费400元;
(2)解:设安排B型货车m辆,则安排A型货车(2m+4)辆,依题意,得:,
解得:14≤m≤18.
∵m为整数,
∴m可取15,16,17,18,
设补贴的总的油费是w元,
w=400m+300(2m+4)=1000m+1200,
∵1000>0,
∴w随m的增大而增大,
∴m=15时,w取最小值,最小值为1000×15+1200=16200(元),
此时2m+4=2×15+4=34(辆),
答:安排A型货车34辆,安排B型货车15辆,才能使得补贴的总的油费最少,最少油费是16200元.
【知识点】一元一次不等式组的应用;一次函数的实际应用-销售问题;二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)设从甲地到上海,每辆A种型号的货车需补贴的油费是x元,每辆B种型号的货车需补贴的油费是y元,根据“A型货车6辆、B型货车5辆,一共需补贴油费3800元;A型货车2辆、B型货车3辆,一共需补贴油费1800元”列出二元一次方程组,解方程组即可求解;
(2)设安排的B型货车m辆,则安排的A型货车(2m+4)辆,根据“捐赠了600吨的救援物质,B型车最多可安排18辆”可得不等式组,求得m的取值范围;设补贴的总的油费是w元,w=400m+300(2m+4)=1000m+1200,由于1000>0,则w随m的增大而增大,即m=15时费用最小.
(1)解:设从甲地到上海,每辆A型货车补贴油费x元,每辆B型货车补贴油费y元,依题意,得:
,
解得:.
答:从甲地到上海,每辆A型货车补贴油费300元,每辆B型货车补贴油费400元;
(2)解:设安排B型货车m辆,则安排A型货车(2m+4)辆,依题意,得:
,
解得:14≤m≤18.
∵m为整数,
∴m可取15,16,17,18,
设补贴的总的油费是w元,
w=400m+300(2m+4)=1000m+1200,
∵1000>0,
∴w随m的增大而增大,
∴m=15时,w取最小值,最小值为1000×15+1200=16200(元),
此时2m+4=2×15+4=34(辆),
答:安排A型货车34辆,安排B型货车15辆,才能使得补贴的总的油费最少,最少油费是16200元.
25.(2024八下·芙蓉期末)武汉某文化公司向市场投放型和型商品共件进行试销,型商品成本价元/件,型商品成本价元/件,要求两种商品的总成本价不超过元,已知型商品的售价为元/件,型商品的售价为元/件,全部售出且获得的利润不低于元.设该公司投放型商品件,销售这批商品的利润为元.
(1)求与之间的函数解析式,并求出的取值范围;
(2)该公司决定在试销活动中每售出一件型商品,就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元,当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时,求的值.
(3)公司发现,将这两款商品成套以的价格销售时可以卖出套。公司决定降价成套出售,经过市场调查发现:销售单价每降价元,可多卖出套.当销售单价为多少元时利润可达到元且尽可能让利于顾客?
【答案】(1)解:根据题意得,,
∵两种商品的总成本价不超过元,全部售出且获得的利润不低于元,
∴,
解得,
∴与之间的函数解析式为,的取值范围是;
(2)解:根据题意可知一共捐出元,∴,
当时,的最大值小于,不符合最大收益为元,
∴.这种情况不存在;
当时,可知时,取最大值,
∴,
解得,
∴的值为;
(3)解:设销售单价为元时,利润可达到元,由题意得,,
整理得,,
解得,,
∵尽可能让利于顾客,
∴,
答:当销售单价为元时利润可达到元且尽可能让利于顾客.
【知识点】一元一次不等式组的应用;一元二次方程的实际应用-销售问题;一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】() 设该公司投放型商品件, 则投放B型商品件,则总利润等于A、B两种商品的利润和,再根据不等关系“两种商品的总成本价不超过元,全部售出且获得的利润不低于元”列不等式组并求解即可得到的范围;
()由于售出一件A型商品需要捐献a元,则售出x件需捐出ax 元,即,因为当时,y总小于10000元,不符合要求;因此,此时y随x的增大而增大,即当x=120时,y有最大值19600,解关于a的一元一次方程即可;
()设销售单价为元时,则降价元,此时销售客为,每套利润为元,则由总利润可达到元列出一元二次方程并求解,由于要让利于民,因此取较小的解即可.
(1)解:根据题意得,,
∵两种商品的总成本价不超过元,全部售出且获得的利润不低于元,
∴,
解得,
∴与之间的函数解析式为,的取值范围是;
(2)解:根据题意可知一共捐出元,
∴,
当时,的最大值小于,不符合最大收益为元,
∴.这种情况不存在;
当时,可知时,取最大值,
∴,
解得,
∴的值为;
(3)解:设销售单价为元时,利润可达到元,
由题意得,,
整理得,,
解得,,
∵尽可能让利于顾客,
∴,
答:当销售单价为元时利润可达到元且尽可能让利于顾客.
26.(2024八下·芙蓉期末)如图,在平面直角坐标系中,点是坐标原点,四边形是菱形,点在轴的正半轴上,点的坐标为,,点在边上移动(不与、重合),点在边上移动(不与、重合),在移动的过程中保持.
(1)求点的坐标(用含的式子表示);
(2)求的大小;
(3)若整数使得关于的一元二次方程的两根均为整数,请求出的值及此种情况下面积的最小值.
【答案】(1)解:如图,作轴于,
四边形是菱形,
,,
,
,
,
在中,由勾股定理得:,
;
(2)解:如图,连接,
四边形是菱形,
,,,,
,
是等边三角形,
,
,,
,
在和中,
,
,
,
;
(3)解:设方程两个根为,,
,
,
,
当时,,
此时(舍去),
当时,,
此时(舍去),
当时,,
此时,
当时,,
此时,
当时,,
此时(舍去),
当时,
此时(舍去),
综上所述,,
此时,,
,
连接,
由(2)证得,
,
,
,
过作于,
为等边三角形,
,
,
,
,
,
,
过作交的延长线于,则,
,
,
,
,
,
设,
,
,
点在线段上且不与、重合,
,
,
,
,,
当时,有最小值,为,
,此时面积的最小值为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);等边三角形的判定与性质;菱形的性质;几何图形的面积计算-割补法;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)作轴于,由菱形 的性质可得OC=OA、是,则,则可求,再根据勾股定理求出即可表示出点的坐标;
(2)连接,由菱形的性质结合其内角可证明是等边三角形,则结合已知可证BM=AN,则依据SAS可证,同全等三角形的对应角相等可求得即;
(3)设方程两个根为,,根据一元二次方程根与系数的关系可分别表示出两根的和与积,再利用等式的基本性质和添项法分解因式可得两根之间的数量关系,即,求出这个方程的整数解现结合m是正整数的特点可求出m的值,再设,则BN=2-x,再利用割补法可把的面积表示成与的面积差,整理得的面积是关于x的二次函数,且二次项系数为正,则开口向上,其有最小值,求出这个最小值即可.
(1)解:如图,作轴于,
四边形是菱形,
,,
,
,
,
在中,由勾股定理得:,
;
(2)解:如图,连接,
四边形是菱形,
,,,,
,
是等边三角形,
,
,,
,
在和中,
,
,
,
;
(3)解:设方程两个根为,,
,
,
,
当时,,
此时(舍去),
当时,,
此时(舍去),
当时,,
此时,
当时,,
此时,
当时,,
此时(舍去),
当时,
此时(舍去),
综上所述,,
此时,,
,
连接,
由(2)证得,
,
,
,
过作于,
为等边三角形,
,
,
,
,
,
,
过作交的延长线于,则,
,
,
,
,
,
设,
,
,
点在线段上且不与、重合,
,
,
,
,,
当时,有最小值,为,
,此时面积的最小值为.
1 / 1湖南省长沙市长郡芙蓉中学2023-2024学年八年级下册期末数学模拟试题(二)
1.(2024八下·芙蓉期末)下列各曲线中,表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
2.(2024八下·芙蓉期末)如图,在ABCD中,,则∠A=( )
A. B. C. D.
3.(2024八下·芙蓉期末)若一次函数的图象经过点,,则与的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.(2024八下·芙蓉期末)下列说法中不正确的是( ).
A.矩形的对角线互相垂直且相等 B.平行四边形的对角线互相平分
C.四条边相等的四边形是菱形 D.正方形的对角线相等
5.(2024八下·芙蓉期末)“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势,从稻田中随机抽取9株水稻苗,测得苗高(单位:cm)分别是:22,23,24,23,24,25,26,23,25.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A.24,25 B.23,23 C.23,24 D.24,24
6.(2024八下·芙蓉期末)如图,一次函数与一次函数的图象交于点,则关于x 的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7.(2024八下·芙蓉期末)如图,在直角坐标系中,菱形的顶点A,B,C在坐标轴上,若点B的坐标为,,则点D的坐标为( )
A. B. C. D.
8.(2024八下·芙蓉期末)如图,在中,D,E,F分别是,,的中点.若,,则四边形的周长是( )
A.28 B.14 C.10 D.7
9.(2024八下·芙蓉期末)甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛,他们射击成绩的平均环数 及方差 如下表所示,若要选出一个成绩较好且状态稳定的运动员去参赛,那么应选运动员( )
甲 乙 丙 丁
8 9 9 8
1 1.1 1.2 1.3
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
10.(2024八下·芙蓉期末)关于x的一元二次方程有实根,则的取值范围是( )
A. B.
C.且 D.且
11.(2024八下·芙蓉期末)关于的方程有一个根为零,它的另一个根是( )
A. B. C. D.
12.(2024八下·芙蓉期末)如图,点的坐标为,点分别在轴,轴的正半轴上运动,且,连接,下列结论:①;②若与的交点恰好是的中点,则四边形是正方形;③四边形的面积为定值;④.其中正确的结论是( )
A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②④
13.(2024八下·芙蓉期末)一次函数的图象不经过第 象限.
14.(2024八下·芙蓉期末)若菱形ABCD的周长是20,对角线BD=8,则菱形ABCD的面积是 .
15.(2024八下·芙蓉期末)如图,在中,AD=10,对角线AC 与BD相交于点O,AC+BD=22,则△BOC的周长为
16.(2024八下·芙蓉期末)若方程的有两个相等的实数根,则 .
17.(2024八下·芙蓉期末)某校举办了以“展礼仪风采,树文明形象”为主题的比赛.已知某位选手的礼仪服装、语言表达、考止形态这三项的得分分别为95分,80分,80分,若依次按照40%,25%,35%的百分比确定成绩,该选手的成绩是 .
18.(2024八下·芙蓉期末)已知函数,当时,y的值为 .
19.(2024八下·芙蓉期末)解方程:
(1).
(2).
20.(2024八下·芙蓉期末)某中学对本校学生每天完成作业所用时间的情况进行了抽样调查.随机调查了八年级部分学生每天完成作业所用的时间,并根据统计结果制成了条形统计图(时间取整数,图中从左至右依次为第1、2、3、4、5组)和扇形统计图,请结合图中信息回答下列问题:
(1)本次调查的学生人数为 ;
(2)补全条形统计图;
(3)根据图中提供的信息,可知下列结论正确的是 (只填所有正确的代号);
A.由图(1)知,学生完成作业所用时间的中位数在第三组内
B.由图(1)知学生完成作业所用时间的众数在第二组内
C.学生每天完成作业的时间不超过120分钟,视为课业负担适中,根据以上调查,估计该校八年级1000名学生中,课业负担适中的学生有600人.
21.(2024八下·芙蓉期末)如图,一次函数的图象与x轴相交于点B,与过点的一次函数的图象相交于点.
(1)求一次函数图象相应的函数表达式;
(2)求的面积.
22.(2024八下·芙蓉期末)如图,在四边形中,AB//DC,,对角线,交于点,平分,过点作交的延长线于点,连接.
(1)求证:四边形是菱形;
(2)若,,求的长.
23.(2024八下·芙蓉期末)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园(如图所示),其中一边靠墙(墙长为),另外三边用的篱笆围成.
(1)令苗圃园长(平行于墙的边长)为,宽为,写出关于的函数关系式,并写出的取值范围;
(2)若苗圃园的面积为,求垂直于墙的一边长为多少米?
(3)苗圃园的面积能否达到?请说明理由;并写出苗圃园的面积最大值.
24.(2024八下·芙蓉期末)一方有难,八方支援,为支援上海抗击新冠肺炎,甲地捐赠了600吨的救援物质并联系了一家快递公司进行运送.快递公司准备安排A、B两种车型把这批物资从甲地快速送到上海.其中,从甲地到上海,A型货车6辆、B型货车5辆,一共需补贴油费3800元;A型货车2辆、B型货车3辆,一共需补贴油费1800元.
(1)从甲地到上海,A、B两种型号的货车,每辆车需补贴的油费分别是多少元?
(2)A型货车每辆可装12吨物资,B型货车每辆可装15吨物资,安排的A型货车的数量是B型货车的2倍还多4辆,且B型车最多可安排18辆.运送这批物资,怎样安排运送车辆才能使得补贴的总的油费最少 求出最少油费.
25.(2024八下·芙蓉期末)武汉某文化公司向市场投放型和型商品共件进行试销,型商品成本价元/件,型商品成本价元/件,要求两种商品的总成本价不超过元,已知型商品的售价为元/件,型商品的售价为元/件,全部售出且获得的利润不低于元.设该公司投放型商品件,销售这批商品的利润为元.
(1)求与之间的函数解析式,并求出的取值范围;
(2)该公司决定在试销活动中每售出一件型商品,就从一件型商品的利润中捐献慈善资金元,当该公司售完这件商品并捐献资金后获得的最大收益为元时,求的值.
(3)公司发现,将这两款商品成套以的价格销售时可以卖出套。公司决定降价成套出售,经过市场调查发现:销售单价每降价元,可多卖出套.当销售单价为多少元时利润可达到元且尽可能让利于顾客?
26.(2024八下·芙蓉期末)如图,在平面直角坐标系中,点是坐标原点,四边形是菱形,点在轴的正半轴上,点的坐标为,,点在边上移动(不与、重合),点在边上移动(不与、重合),在移动的过程中保持.
(1)求点的坐标(用含的式子表示);
(2)求的大小;
(3)若整数使得关于的一元二次方程的两根均为整数,请求出的值及此种情况下面积的最小值.
答案解析部分
1.【答案】D
【知识点】函数的图象;数形结合
【解析】【解答】解:A、此函数中,对于自变量x的任何值,因变量y不是有唯一的一个值与它对应,所以y不是x的函数,故A错误;
B、此函数中,对于自变量x的任何值,因变量y不是有唯一的一个值与它对应,所以y不是x的函数,故B错误;
C、此函数中,对于自变量x的任何值,因变量y不是有唯一的一个值与它对应,所以y不是x的函数,故C错误;
D、此函数中,对于自变量x的任何值,因变量y都有唯一的一个值与它相对应,所以y是x的函数,故D正确;
故选:D.
【分析】根据函数的定义:对于自变量x的每一个值,因变量y都有唯一的值与它对应,逐一进行判断即可得出答案.
2.【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形是平行四边形,
∴,,
,
∴∠A+∠C=360°-280°=80°
,
故答案为:B.
【分析】根据平行四边形的性质可得,结合已知条件即可求解.
3.【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系;比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解:∵,
∴随的增大而增大,
∵,
∴,
故选:.
【分析】
由一次函数的性质即可知,当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小.
4.【答案】A
【知识点】平行四边形的性质;菱形的判定;矩形的性质;正方形的性质
【解析】【解答】解:
A、矩形的对角线不互相垂直但相等,A符合题意;
B、平行四边形的对角线互相平分,B不符合题意;
C、四条边相等的四边形是菱形,C不符合题意;
D、正方形的对角线相等,D不符合题意;
故答案为:A
【分析】根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的判定、正方形的性质对选项逐一分析即可求解。
5.【答案】C
【知识点】中位数;众数
【解析】【解答】解:因为23出现的次数最多,
所以这组数据的众数是23,
将这组数据按从小到大进行排序为 ,
则这组数据的中位数是24,
故答案为:C.
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数;中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时,中间两个数的平均数就是这组数据的中位数;②奇数个数据时,中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数;根据定义并结合已知条件可求解.
6.【答案】C
【知识点】一次函数与不等式(组)的关系;两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】解:∵一次函数与一次函数的图象交于点,
∴根据图象得,当时,,
∴关于x的不等式的解集为:,
故答案为:C.
【分析】由函数图象,直接得出的图象在的图象上方所对应的自变量的范围,即可求出关于x的不等式的解集.
7.【答案】D
【知识点】坐标与图形性质;菱形的判定与性质;解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,且∠BCD=120°,
∴∠ABC=60°,
∵B(-1,0),
∴OB=1,OA=,AB=2,
∴A(0,),
∴BC=AD=2,
∴OC=BC-OB=2-1=1,
∴C(1,0),D(2,).故答案为:D,
【分析】根据直角三角形的性质得出OB、OA的长,进而利用菱形的性质得出点C、D得坐标即可.
8.【答案】B
【知识点】平行四边形的判定与性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵D、E分别是BC、AC的中点,
∴DE=BF=,
∵AB=6,
∴DE=BF=3,
同理可得:EF=BD=,
∵BC=8,
∴EF=BD=4,
∴C四边形BDEF=BD+DE+EF+BF=4+3+4+3=14.
【分析】根据三角形中位线的性质得DE=BF=,EF=BD=,即可求得四边形的周长.
9.【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势(平均数、中位数、众数)
【解析】【解答】解:由题意可知,甲、乙、丙、丁中,乙、丙的平均数最大,为9
∵1<1.1<1.2<1.3
∴乙的方差比丙的方差小
∴选择乙更为合适
故答案为:B.
【分析】平均数越大,成绩越好,方差越小成绩波动越小,据此即可得出答案.
10.【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用;解一元一次不等式
【解析】【解答】解:∵关于x的一元二次方程有实根,
,并且,
∴且.
故选:C.
【分析】
对于一元二次方程,根的判别式;当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根.
11.【答案】C
【知识点】一元二次方程的根;因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解:把代入方程得,,
∴,
∴方程为,
解得,,
∴方程的另一个根是,
故选:.
【分析】
根据方程解的概念把代入方程可得,再解方程即可.
12.【答案】B
【知识点】坐标与图形性质;矩形的判定;正方形的判定与性质;三角形全等的判定-ASA;全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解:如图,过作轴于,轴于,与交于点,则,
∵,
∴四边形是矩形,
∵,
∴,
∴四边形是正方形,
∴,,
∵,
∴,
在和中,
,
∴
∴,故①正确;
∵与的交点恰好是的中点,
∴,
在中,是斜边的中线,
∴,
在中,是斜边的中线,
∴,
∴,
∴四边形是矩形,
∵,
∴四边形是正方形,故②正确;
∵,
∴四边形的面积四边形的面积的面积
四边形的面积的面积,
正方形的面积,
,
,
∴四边形的面积为定值,故③正确;
∵与的交点恰好是的中点时,四边形是正方形,
∴,故④错误;
∴正确的结论有①②③,
故选:.
【分析】
因为,可过作轴于,轴于,与交于点,则,即可判定四边形是正方形,则,可由同角的余角相等得,则利用“ASA”可证,则,即可判断①;
若OP与AB互相平分,可得四边形是矩形,由可知矩形是正方形,即可判断②;
由于,则,由割补法求图形面积可得,即可判断③;
由②知,当OP与AB互相平分时,,即可判断④.
13.【答案】二
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解:一次函数,
,
∴该函数图象经过第一、三、四象限,不经过第二象限,
故答案为:二.
【分析】
对于一次函数,当时,直线过一、二、三象限;当时,直线过一、四、三象限;
当时,直线过二、三、四象限;当时,直线过一、二、四象限.
14.【答案】24
【知识点】勾股定理;菱形的判定与性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,周长是20,BD=8,
∴AC⊥BD,OA=,OB==4,AB=5,
∴OA==3,
∴AC=2OA=6,
∴S菱形ABCD=6×8÷2=24,
故答案为:24.
【分析】先根据菱形的性质求出AC⊥BD,OA=,OB==4,AB=5,根据勾股定理再求得另一对角线的长,最后根据菱形的面积公式求出菱形的面积.
15.【答案】21
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC=AC,BO=OD=BD,BC=AD=10,
∵AC+BD=22,
∴OC+BO=11,
∵BC=10,
∴△BOC的周长=OC+OB+BC=11+10=21.
故答案为:21.
【分析】根据平行四边形性质可得AO=OC=AC,BO=OD=BD,BC=AD=10,再根据边之间的关系即可求出答案.
16.【答案】或
【知识点】因式分解法解一元二次方程;一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解:,
,,,
,
整理得:,即
或,
故答案为:或.
【分析】
对于一元二次方程,根的判别式;当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根.
17.【答案】86分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解:∵95×40%+80×25%+80×35%=86(分),
∴该选手的成绩是86分.
故答案为:86分.
【分析】
根据加权平均数的定义进行计算即可,即用各成绩分别乘以对应的占比再求和.
18.【答案】3
【知识点】分段函数;一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解:当时,.
故答案为:3.
【分析】
根据自变量的取值范围选择对应的函数表达式,即将代入中,求出y值即可.
19.【答案】(1)解:,
,
,
,
,
解得;
(2)解:,
,
,
解得.
【知识点】配方法解一元二次方程;因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)先去括号化一元二次方程为一般形式,然后再利用配方法求解;配方法的一般步骤是:若二次项系数为1,先把常数项移到等号的右边,再给两边都加上一次项系数一半的平方化左边为完全平方式,再直接开平方即可;
(2)当一元二次方程两边存在公因式时,先移项,再提公因式分解因式即可.
(1)解:,
,
,
,
,
解得;
(2),
,
,
解得.
20.【答案】(1)60
(2)
(3)A、C
【知识点】扇形统计图;条形统计图;中位数;众数;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)解:本次调查的学生人数为(人),
故答案为:60;
(2)
解:用时至90分钟的学生人数有(人),
补全条形统计图如下:
(3)
解:A、∵共有60人,处于中间位置的是第30、31个数的平均数,
∴学生完成作业所用时间的中位数在第三组内;
B、∵第三组的人数最多,有18人,
∴学生完成作业所用时间的众数在第三组内;
C、根据题意得人,
正确的是A、C,
故答案为:A、C.
【分析】
(1)观察条形统计图和扇形统计图,可根据第1组的人数和所占的百分比即可得出总人数;
(2)用总人数减去其它时间段的人数,求出第二组的人数,从而补全统计图;
(3)求中位数,先按照从小到大的顺序对数据进行排序,再取最中间的一个数据或正中间两个数据的平均值;众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据,可能是一个,也可能是多个;用样本估计总体时,可用总人数乘以时间不超过120分钟的人数所占的百分比即可.
(1)解:本次调查的学生人数为(人),
故答案为:60;
(2)解:用时至90分钟的学生人数有(人),
补全条形统计图如下:
(3)解:A、∵共有60人,处于中间位置的是第30、31个数的平均数,
∴学生完成作业所用时间的中位数在第三组内;
B、∵第三组的人数最多,有18人,
∴学生完成作业所用时间的众数在第三组内;
C、根据题意得人,
正确的是A、C,
故答案为:A、C.
21.【答案】(1)解:(1 )∵点在一次函数的图象上,∴,
∴点,
设一次函数图象相应的函数表达式为,
把点,代入得:
,
解得,
∴一次函数图象相应的函数表达式;
(2)解:∵一次函数的图象与x轴交于点B,∴当时,,解得,
∴,
∵,,
∴,
∴.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【分析】(1)由函数图象上点的坐标特征可把点代入先求得m的值,再利用待定系数法即可;
(2)利用直线上点的坐标特征令直线的函数值为0可求得B的坐标,则底边AB长可求,由点的坐标特征可知点C的纵坐标即AB上的高的值,然后根据三角形面积公式求得即可.
(1)解:(1 )∵点在一次函数的图象上,
∴,
∴点,
设一次函数图象相应的函数表达式为,
把点,代入得:
,
解得,
∴一次函数图象相应的函数表达式;
(2)解:∵一次函数的图象与x轴交于点B,
∴当时,,解得,
∴,
∵,,
∴,
∴.
22.【答案】(1)证明:∵AC平分∠BAD,
∴∠DAC=∠BAC,
∵∠AB∥DC,
∴∠DCA=∠BAC,
∴∠DAC=∠DCA,
∴AD=DC,
∵AB=AD,
∴AB=DC,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)解:由(1)可知,四边形ABCD是菱形,BD=2,
∴OA=OC=,OB=OD==1,OA⊥OB,
∴O是AC的中点,
∵AB=,
∴OA==2,
∵CE⊥AB,O是AC的中点,
∴OE==OA=2.
【知识点】勾股定理;菱形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】(1)利用平行线的性质和角平分线的性质可得∠DAC=∠DCA,可得AD=DC,进而得出AB=DC证明四边形ABCD是平行四边形,再由AB=AD,四边形ABCD是菱形;
(2)根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质,求出OB的长度,在直角三角形AOB中,利用勾股定理求出OA的长度,再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求出OE的长度.
23.【答案】(1)解:由题意得:,∵,
∴,
即y关于的函数关系式为,的取值范围为;
(2)解:设苗圃园的面积为,由知,,
令,
则,
解得:,(舍去,
∴平行于墙的边长,
∴垂直于墙的边长为,
即垂直于墙的边长为12m;
(3)解:由知,令,
则,
整理得:,
∵,
∴方程无实数解,
∴苗圃园的面积不能达到;
∵,
∵,
∴当时,S有最大值,最大值为,
即苗圃园的面积不能达到,当平行于墙的边长为时,苗圃园的面积最大值.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题;二次函数的实际应用-几何问题;一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】(1)设苗圃园长(平行于墙的边长)为,宽为,则,由于墙长为,所以;
(2)设苗圃园的面积为,由矩形的面积公式可得S是关于的二次函数;令,解关于的一元二次方程,再选取符合条件的解即可;
(3)先令得到关于的一元二次方程,由于根的送别式,可知苗圃园面积不能达到;由于二次函数的二次项系数小于0,则抛物线开口向下,对称轴为,因为在自变量取值范围内,则此时S有最大值,求出这个最大值即可.
(1)由题意得:,
∵,
∴,
即y关于的函数关系式为,的取值范围为;
(2)设苗圃园的面积为,
由知,,
令,
则,
解得:,(舍去,
∴平行于墙的边长,
∴垂直于墙的边长为,
即垂直于墙的边长为12m;
(3)由知,
令,
则,
整理得:,
∵,
∴方程无实数解,
∴苗圃园的面积不能达到;
∵,
∵,
∴当时,S有最大值,最大值为,
即苗圃园的面积不能达到,当平行于墙的边长为时,苗圃园的面积最大值.
24.【答案】(1)解:设从甲地到上海,每辆A型货车补贴油费x元,每辆B型货车补贴油费y元,依题意,得:
,
解得:.
答:从甲地到上海,每辆A型货车补贴油费300元,每辆B型货车补贴油费400元;
(2)解:设安排B型货车m辆,则安排A型货车(2m+4)辆,依题意,得:,
解得:14≤m≤18.
∵m为整数,
∴m可取15,16,17,18,
设补贴的总的油费是w元,
w=400m+300(2m+4)=1000m+1200,
∵1000>0,
∴w随m的增大而增大,
∴m=15时,w取最小值,最小值为1000×15+1200=16200(元),
此时2m+4=2×15+4=34(辆),
答:安排A型货车34辆,安排B型货车15辆,才能使得补贴的总的油费最少,最少油费是16200元.
【知识点】一元一次不等式组的应用;一次函数的实际应用-销售问题;二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】(1)设从甲地到上海,每辆A种型号的货车需补贴的油费是x元,每辆B种型号的货车需补贴的油费是y元,根据“A型货车6辆、B型货车5辆,一共需补贴油费3800元;A型货车2辆、B型货车3辆,一共需补贴油费1800元”列出二元一次方程组,解方程组即可求解;
(2)设安排的B型货车m辆,则安排的A型货车(2m+4)辆,根据“捐赠了600吨的救援物质,B型车最多可安排18辆”可得不等式组,求得m的取值范围;设补贴的总的油费是w元,w=400m+300(2m+4)=1000m+1200,由于1000>0,则w随m的增大而增大,即m=15时费用最小.
(1)解:设从甲地到上海,每辆A型货车补贴油费x元,每辆B型货车补贴油费y元,依题意,得:
,
解得:.
答:从甲地到上海,每辆A型货车补贴油费300元,每辆B型货车补贴油费400元;
(2)解:设安排B型货车m辆,则安排A型货车(2m+4)辆,依题意,得:
,
解得:14≤m≤18.
∵m为整数,
∴m可取15,16,17,18,
设补贴的总的油费是w元,
w=400m+300(2m+4)=1000m+1200,
∵1000>0,
∴w随m的增大而增大,
∴m=15时,w取最小值,最小值为1000×15+1200=16200(元),
此时2m+4=2×15+4=34(辆),
答:安排A型货车34辆,安排B型货车15辆,才能使得补贴的总的油费最少,最少油费是16200元.
25.【答案】(1)解:根据题意得,,
∵两种商品的总成本价不超过元,全部售出且获得的利润不低于元,
∴,
解得,
∴与之间的函数解析式为,的取值范围是;
(2)解:根据题意可知一共捐出元,∴,
当时,的最大值小于,不符合最大收益为元,
∴.这种情况不存在;
当时,可知时,取最大值,
∴,
解得,
∴的值为;
(3)解:设销售单价为元时,利润可达到元,由题意得,,
整理得,,
解得,,
∵尽可能让利于顾客,
∴,
答:当销售单价为元时利润可达到元且尽可能让利于顾客.
【知识点】一元一次不等式组的应用;一元二次方程的实际应用-销售问题;一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】() 设该公司投放型商品件, 则投放B型商品件,则总利润等于A、B两种商品的利润和,再根据不等关系“两种商品的总成本价不超过元,全部售出且获得的利润不低于元”列不等式组并求解即可得到的范围;
()由于售出一件A型商品需要捐献a元,则售出x件需捐出ax 元,即,因为当时,y总小于10000元,不符合要求;因此,此时y随x的增大而增大,即当x=120时,y有最大值19600,解关于a的一元一次方程即可;
()设销售单价为元时,则降价元,此时销售客为,每套利润为元,则由总利润可达到元列出一元二次方程并求解,由于要让利于民,因此取较小的解即可.
(1)解:根据题意得,,
∵两种商品的总成本价不超过元,全部售出且获得的利润不低于元,
∴,
解得,
∴与之间的函数解析式为,的取值范围是;
(2)解:根据题意可知一共捐出元,
∴,
当时,的最大值小于,不符合最大收益为元,
∴.这种情况不存在;
当时,可知时,取最大值,
∴,
解得,
∴的值为;
(3)解:设销售单价为元时,利润可达到元,
由题意得,,
整理得,,
解得,,
∵尽可能让利于顾客,
∴,
答:当销售单价为元时利润可达到元且尽可能让利于顾客.
26.【答案】(1)解:如图,作轴于,
四边形是菱形,
,,
,
,
,
在中,由勾股定理得:,
;
(2)解:如图,连接,
四边形是菱形,
,,,,
,
是等边三角形,
,
,,
,
在和中,
,
,
,
;
(3)解:设方程两个根为,,
,
,
,
当时,,
此时(舍去),
当时,,
此时(舍去),
当时,,
此时,
当时,,
此时,
当时,,
此时(舍去),
当时,
此时(舍去),
综上所述,,
此时,,
,
连接,
由(2)证得,
,
,
,
过作于,
为等边三角形,
,
,
,
,
,
,
过作交的延长线于,则,
,
,
,
,
,
设,
,
,
点在线段上且不与、重合,
,
,
,
,,
当时,有最小值,为,
,此时面积的最小值为.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理);等边三角形的判定与性质;菱形的性质;几何图形的面积计算-割补法;三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)作轴于,由菱形 的性质可得OC=OA、是,则,则可求,再根据勾股定理求出即可表示出点的坐标;
(2)连接,由菱形的性质结合其内角可证明是等边三角形,则结合已知可证BM=AN,则依据SAS可证,同全等三角形的对应角相等可求得即;
(3)设方程两个根为,,根据一元二次方程根与系数的关系可分别表示出两根的和与积,再利用等式的基本性质和添项法分解因式可得两根之间的数量关系,即,求出这个方程的整数解现结合m是正整数的特点可求出m的值,再设,则BN=2-x,再利用割补法可把的面积表示成与的面积差,整理得的面积是关于x的二次函数,且二次项系数为正,则开口向上,其有最小值,求出这个最小值即可.
(1)解:如图,作轴于,
四边形是菱形,
,,
,
,
,
在中,由勾股定理得:,
;
(2)解:如图,连接,
四边形是菱形,
,,,,
,
是等边三角形,
,
,,
,
在和中,
,
,
,
;
(3)解:设方程两个根为,,
,
,
,
当时,,
此时(舍去),
当时,,
此时(舍去),
当时,,
此时,
当时,,
此时,
当时,,
此时(舍去),
当时,
此时(舍去),
综上所述,,
此时,,
,
连接,
由(2)证得,
,
,
,
过作于,
为等边三角形,
,
,
,
,
,
,
过作交的延长线于,则,
,
,
,
,
,
设,
,
,
点在线段上且不与、重合,
,
,
,
,,
当时,有最小值,为,
,此时面积的最小值为.
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