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四川省成都市青羊区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·青羊期末）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（　　）
A．0.7×10﹣3 B．7×10﹣3 C．7×10﹣4 D．7×10﹣5
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0007=7×10﹣4，
故选：C．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．（2024七下·青羊期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解∶A．≠8x2，此选项不符合题意；
B．，此选项符合题意；
C．≠8x，此选项不符合题意；
D．≠，此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、同A可求解；
C、根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解；
D、根据单项式除以单项式法则"单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式"可求解.
3．（2024七下·青羊期末）如图，等边三角形为轴对称图形，该图形对称轴的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：由题意可知，该图形的对称轴条数为3．
故答案为：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称；根据轴对称图形的定义并结合题意即可求解．．
4．（2024七下·青羊期末）小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影区域的概率为．
故答案为：B．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．（2024七下·青羊期末）圆的面积计算公式为（为圆的半径），其中变量是（　　）
A．， B． C．， D．，
【答案】A
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解： 圆的面积计算公式为（为圆的半径），其中变量是，，
故答案为∶A．
【分析】变量就是在一个变化过程中发生变化的量，数值不发生变化的量是常量，根据定义判断即可求解．
6．（2024七下·青羊期末）如图，能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】、∵，∴，∴此选项不符合题意；
、，不能判定直线平行，∴此选项不符合题意；
、∵，∴，∴此选项符合题意；
、∵，∴∥，∴此选项符合题意；
故答案为：．
【分析】A、根据“内错角相等，两直线平行”可判断求解；
B、∠1=∠3不能判定两直线平行；
C、根据“内错角相等，两直线平行”可判断求解；
D、根据“同旁内角互补，两直线平行”可判断求解.
7．（2024七下·青羊期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由图可知，左上角和左下角和这两角的夹边都可测量，为已知条件，
∴可根据角边角即可得与原图形全等的三角形，
即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（角边角）.
故选：B．
【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件，结合三角形全等的判定即可判断求解．
8．（2024七下·青羊期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解∶由作图过程可得，，
∴，
∴，
故答案为∶A．
【分析】根据作图过程可知，用边边边可证，然后由全等三角形的对应角相等即可求解．
9．（2024七下·青羊期末）若、满足，则　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：9．
【分析】根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可得，然后整体代入计算即可求解．
10．（2024七下·青羊期末）若式子有意义，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据负整数指数幂的底数不等于0可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
11．（2024七下·青羊期末）一个等腰三角形的周长为，设它的腰长为，底边长为，则与之间的关系式为　 　．
【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】∵等腰三角形的腰长为，底边长为，周长为，
∴，
，
解得．
故答案为．
【分析】根据三角形的周长等于三角形三边之和可得等腰三角形的底边长周长腰长，根据三角形任意两边之和大于第三边可得关于x的不等式组，解不等式组求出x的范围．
12．（2024七下·青羊期末）如图，将一副三角板在平行四边形中作如下摆放，设，那么　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；平行四边形的性质；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长EH交AB于点N，如图所示：
∵△EFH是等腰三角形，
∴∠FHE=45°，
∴∠NHB=∠FHE=45°，
∵∠1=30°，
∴∠HNA=∠1+∠NHB=75°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠HNA=75°，
故答案为：．
【分析】延长EH交AB于点N，先根据等腰三角形的性质得∠FHE=45°，根据对顶角相等得∠NHB=∠FHE=45°，进而可得∠HNA=75°，再根据平行四边形的性质可得可得∠2=∠HNA=75°，即可得出结论．
13．（2024七下·青羊期末）如图，在中，为上一点，平分，于点．若，，则　 　．
【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解∶过D作于H，
∵平分，，，
∴，
又，
∴，
故答案为：5．
【分析】 过D作于H，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，然后根据三角形面积求解即可．
14．（2024七下·青羊期末）（1）；
（2）；
（3）先化简，再求值：，其中．
【答案】解∶（1）原式
；
（2）原式
（3）
，
当时，原式.
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值；整数指数幂的运算
【解析】【分析】
（1）根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得（）-2=4，由零指数幂的的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”得（π-5）0=1，然后根据有理数的混合运算法则“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算”计算即可求解；
（2）根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"和多项式除以单项式法则"多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加."以及合并同类项法则计算即可求解；
（3）同理，根据单项式乘以多项式法则，多项式乘以多项式法则，完全平方公式将代数式化简，然后把x的值代入化简后的代数式计算即可求解．
15．（2024七下·青羊期末）如图，每一个小正方形的边长为．
（1）画出格点关于直线对称的；
（2）在上画出点，使的值最大；
（3）连结、，求的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图，延长交于，连接，
当点不与重合时，三点能组成三角形，
∴，
又∵当点与重合时，，
∴，
∴当点与重合时，的值最大．
（3）解：如图，
答：△ABB 的面积为2.
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】
（1）根据轴对称的性质先找出、、的对应点，然后顺次连接即可求解；
（）如图所示，延长交于，连接，根据三角形三边的关系“三角形任意两边之和大于第三边”可证，然后由两点之间线段最短可求解；
（）根据三角形的面积公式计算即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，延长交于，连接，
当点不与重合时，三点能组成三角形，
∴，
又∵当点与重合时，，
∴，
∴当点与重合时，的值最大．
（3）解：如图，
16．（2024七下·青羊期末）如图，中，是延长线上一点，，过点作，且，连接并延长，分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明∶∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解∶∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：∠FCD的度数为.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（1）由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，结合已知用边角边即可求解；
（2）由三角形内角和定理“三角形三内角之和等于180°”可求得∠DCE的度数，由（1）中的全等三角形可求出的度数，然后根据邻补角的性质“邻补角互补”可求解．
（1）证明∶∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解∶∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．（2024七下·青羊期末）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共40个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3．
（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；
（2）小明从纸箱中取出若干红球，再放进相同数量的黄球，她发现摸到黄球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的黄球的个数．
【答案】（1）解：，
答：蓝球的个数是20个；
（2）解：设放入黄球x个
，
解得，
答：放入黄球8个．
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】
（1）根据各小组频率之和等于1可求得蓝球的频率，然后根据蓝色球的个数等于总个数乘以摸到蓝色球的概率即可求解；
（2）设放入黄球x个，由题意，根据摸到黄球的频率在0.5附近波动可得摸出黄球的概率为0.5，根据概率公式列关于x的方程，解方程即可求解．
（1）解：，
答：蓝球的个数是20个；
（2）解：设放入黄球x个
，
解得，
答：放入黄球8个．
18．（2024七下·青羊期末）劳动课正式成为义务教育阶段必修课程，小明在区劳动教育实践基地学习铁艺作品的制作，他用铁丝弯折得到如下的形状．
（1）如图1，已知，，若，求的度数；
（2）若将铁丝弯折成如图2所示形状，若，求证：；
（3）再拿出另外一根铁丝弯折成，与图2中的铁丝叠放成如图3的形状．当，，，且，，求的度数．
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
又，
∴，
∴；
答：∠C的度数为135°；
（2）证明：过D作，过C作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
又，
∴；
（3）解：由（2）中的结论，得，∵，，
∴．
∵，，
∴，，，
，
同理可得，
∴．
答：∠G的度数为.
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】
（1）由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等”可得∠B+∠C=180°，∠C=∠D，结合已知即可求解；
（2）过D作，过C作，由平行线的判定与性质即可求解；
（3）由（2）中得到的结论，结合已知即可求解．
（1）解：∵，，
∴，，
又，
∴，
∴；
（2）证明：过D作，过C作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
又，
∴；
（3）解：由（2）中的结论，得，
∵，，
∴．
∵，，
∴，，，
，
同理可得，
∴．
19．（2024七下·青羊期末）若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴= ==27.
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式求解即可．
20．（2024七下·青羊期末）若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；乘方的相关概念；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平方差公式得，移项整理可得，然后由平方根的定义即可求解．
21．（2024七下·青羊期末）已知、、为的三边长，、满足，为方程的解，则的周长为　 　．
【答案】12
【知识点】三角形三边关系；乘方的相关概念；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解∶∵，
∴，，
∴，，
∵为方程的解，
∴或2，
又，
∴，
∴的周长为，
故答案为∶12．
【分析】由绝对值和偶次方的非负性可得关于b、c的方程，解方程求得b、c的值，再解含绝对值的方程可得a的值，然后根据三角形三边关系可得a的值，再根据三角形的周长等于三角形三边之和即可求解.
22．（2024七下·青羊期末）如图，、分别是、的垂直平分线，垂足分别为、，且，，，则　 　°．
【答案】44
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解∶连接，，
∵、分别是、的垂直平分线，
∴，，
在△ABO和△CDO中
∴，
∴，
设，，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为∶44．
【分析】 连接，，根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，，结合已知，用边边边可证，根据全等三角形的对应角相等可得，设，，根据角的构成可得关于α、β的方程组，解方程组即可求解．
23．（2024七下·青羊期末）如图，在中，，，点在边上，，连接，且平分，过点作于点，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过D作于H，
∵平分，
∴，
在△DHA和△DFA中
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过D作于H，结合已知用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，由线段的和差可得，根据度角所对的直角边等于斜边的一半可得，则可求，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，再由等边三角形的性质即可求解．
24．（2024七下·青羊期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．
（1）观察图1，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号）
①：②：③：
（2）如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，求的值．
（3）将正方形与正方形如图3摆放，当正方形与正方形面积和为74，，求图中阴影部分面积和．
【答案】（1）①
（2）解：∵边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，
∴，，
∴，
∴
；
（3）解：设正方形与正方形的变成分别为a，b，
∵正方形与正方形面积和为74，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴（负数舍去），
∴，即，
∴阴影部分的面积为．
答：阴影部分的面积为12.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】
（1）解：根据题意，
得，
故选：①.
【分析】
（1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个长方形的面积的和即可求解；
（2）先根据长方形的周长和面积得出，，然后化简所求代数式，并代入化简后的代数式计算即可求解；
（3）设正方形与正方形的变成分别为a，b，则，，利用完全平方公式的变形可求，，，，然后利用阴影部分的面积等于大正方形的面积与小正方形面积差的一半即可求解．
（1）解：根据题意，得，
故选：①；
（2）解：∵边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，
∴，，
∴，
∴
；
（3）解：设正方形与正方形的变成分别为a，b，
∵正方形与正方形面积和为74，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴（负数舍去），
∴，即，
∴阴影部分的面积为．
25．（2024七下·青羊期末）如图1，在长方形中，为边上一点，其中，．动点从开始，以的速度沿路线运动，然后改变速度后再沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）______，______，______；
（2）当动点沿路线运动时，求此时点的速度；
（3）点出发几秒时，的面积是长方形面积的？
【答案】（1），12，72
（2）解：∵从到的运动时间为，
∴；
答：点P的速度为.
（3）解：∵，
∴，
∴；
当点P在上运动时，，
∴，
解得；
当点P在上运动时，，
∴，
解得；
综上可得，当点P出发秒或秒时，的面积是长方形面积的．
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】
（1）
解：依题意得，当点P在上运动时，，
∵
∴，
解得：；
根据图2可得，，
∴
当时，点在上，
∴，
故答案为：，12，72．
【分析】
（1）由题意，先求出点P在上的运动时间，根据函数图象可得，然后根据三角形面积公式求出的值；当时，点在上，根据路程=速度×时间即可求解；
（2）根据从到的运动时间为，根据速度=路程÷时间即可求解．
（3）由题意，先求出长方形面积，根据△BPE的面积等于长方形的面积的可求出S的值，由题意，分点P在上运动和点P在上运动两种情况分别列关于t的方程，解方程即可求解．
（1）解：依题意得，当点P在上运动时，，
∵
∴，
解得：；
根据图2可得，，
∴
当时，点在上，
∴，
故答案为：，12，72．
（2）解：∵从到的运动时间为
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴；
当点P在上运动时，，
∴，
解得；
当点P在上运动时，，
∴，
解得；
综上所述，当点P出发秒或秒时，的面积是长方形面积的．
26．（2024七下·青羊期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题：
（1）如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：______；
（2）如图，在中，，点、分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含，的代数式表示）．
（3）如图，在中，，，点、分别是边上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，．
①求证：；
②在点、运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，直接写出的面积．
【答案】（1）
（2）解：∵，∴，
∵，，
∴，
在△DAB和△EDC中
∴，
∴，，
∴；
（3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴即，
∵，
∴，
在△AED和△MDF中
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴为定直线，
∴当时，最小，
如图，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；归纳与类比
【解析】【解答】
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△BCE和△CAD中
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】
（1）由同角的余角相等可得∠EBC=∠DCA，结合已知，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，，然后由线段的和差即可求解；
（2）同理可证，由全等三角形的对应边相等可得，，然后由线段的和差CE=BD=BC-CD=BC-AB可求解；
（3）①在上取一点，使得，连接，由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，然后由等角对等边及三角形的外角性质得，再根据线段的和差可求解；
②由，得当时，最小，如图，过点作于点，根据等角对等边证，然后由三角形的面积公式计算即可求解．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴为定直线，
∴当时，最小，
如图，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．
1 / 1四川省成都市青羊区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·青羊期末）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007用科学记数法表示为（　　）
A．0.7×10﹣3 B．7×10﹣3 C．7×10﹣4 D．7×10﹣5
2．（2024七下·青羊期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·青羊期末）如图，等边三角形为轴对称图形，该图形对称轴的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024七下·青羊期末）小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·青羊期末）圆的面积计算公式为（为圆的半径），其中变量是（　　）
A．， B． C．， D．，
6．（2024七下·青羊期末）如图，能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024七下·青羊期末）如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024七下·青羊期末）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点、，再以点为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点，画射线．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·青羊期末）若、满足，则　 　．
10．（2024七下·青羊期末）若式子有意义，则的取值范围为　 　．
11．（2024七下·青羊期末）一个等腰三角形的周长为，设它的腰长为，底边长为，则与之间的关系式为　 　．
12．（2024七下·青羊期末）如图，将一副三角板在平行四边形中作如下摆放，设，那么　 　．
13．（2024七下·青羊期末）如图，在中，为上一点，平分，于点．若，，则　 　．
14．（2024七下·青羊期末）（1）；
（2）；
（3）先化简，再求值：，其中．
15．（2024七下·青羊期末）如图，每一个小正方形的边长为．
（1）画出格点关于直线对称的；
（2）在上画出点，使的值最大；
（3）连结、，求的面积．
16．（2024七下·青羊期末）如图，中，是延长线上一点，，过点作，且，连接并延长，分别交、于点、．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
17．（2024七下·青羊期末）已知一只纸箱中装有除颜色外完全相同的红色、黄色、蓝色乒乓球共40个．从纸箱中任意摸出一球，摸到红色球、黄色球的概率分别是0.2、0.3．
（1）试求出纸箱中蓝色球的个数；
（2）小明从纸箱中取出若干红球，再放进相同数量的黄球，她发现摸到黄球的频率在0.5附近波动，请据此估计小明放入的黄球的个数．
18．（2024七下·青羊期末）劳动课正式成为义务教育阶段必修课程，小明在区劳动教育实践基地学习铁艺作品的制作，他用铁丝弯折得到如下的形状．
（1）如图1，已知，，若，求的度数；
（2）若将铁丝弯折成如图2所示形状，若，求证：；
（3）再拿出另外一根铁丝弯折成，与图2中的铁丝叠放成如图3的形状．当，，，且，，求的度数．
19．（2024七下·青羊期末）若，则的值为　 　．
20．（2024七下·青羊期末）若，则的值为　 　．
21．（2024七下·青羊期末）已知、、为的三边长，、满足，为方程的解，则的周长为　 　．
22．（2024七下·青羊期末）如图，、分别是、的垂直平分线，垂足分别为、，且，，，则　 　°．
23．（2024七下·青羊期末）如图，在中，，，点在边上，，连接，且平分，过点作于点，若，则的值为　 　．
24．（2024七下·青羊期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化．
（1）观察图1，它所对应的公式为______．（填写对应公式的序号）
①：②：③：
（2）如图2，边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，求的值．
（3）将正方形与正方形如图3摆放，当正方形与正方形面积和为74，，求图中阴影部分面积和．
25．（2024七下·青羊期末）如图1，在长方形中，为边上一点，其中，．动点从开始，以的速度沿路线运动，然后改变速度后再沿路线运动，到点停止．图2是点出发秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）______，______，______；
（2）当动点沿路线运动时，求此时点的速度；
（3）点出发几秒时，的面积是长方形面积的？
26．（2024七下·青羊期末）类比思维是根据两个具有相同或相似特征的事物间的对比，从某一事物的某些已知特征去推测另一事物的相应特征存在的思维活动．请尝试用类比思维解决以下问题：
（1）如图，在等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，直接写出、、之间的数量关系：______；
（2）如图，在中，，点、分别在边、上，且，．若，，求的长度（用含，的代数式表示）．
（3）如图，在中，，，点、分别是边上的动点，以为腰向右作等腰，使得，且，连接、，．
①求证：；
②在点、运动过程中，点位置也随之发生改变，若，当线段取得最小值时，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.0007=7×10﹣4，
故选：C．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解∶A．≠8x2，此选项不符合题意；
B．，此选项符合题意；
C．≠8x，此选项不符合题意；
D．≠，此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、同A可求解；
C、根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解；
D、根据单项式除以单项式法则"单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式"可求解.
3．【答案】C
【知识点】平面图形的对称轴
【解析】【解答】解：由题意可知，该图形的对称轴条数为3．
故答案为：C．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称；根据轴对称图形的定义并结合题意即可求解．．
4．【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵阴影部分的面积占总面积的，
∴飞镖落在阴影区域的概率为．
故答案为：B．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解： 圆的面积计算公式为（为圆的半径），其中变量是，，
故答案为∶A．
【分析】变量就是在一个变化过程中发生变化的量，数值不发生变化的量是常量，根据定义判断即可求解．
6．【答案】C
【知识点】内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】、∵，∴，∴此选项不符合题意；
、，不能判定直线平行，∴此选项不符合题意；
、∵，∴，∴此选项符合题意；
、∵，∴∥，∴此选项符合题意；
故答案为：．
【分析】A、根据“内错角相等，两直线平行”可判断求解；
B、∠1=∠3不能判定两直线平行；
C、根据“内错角相等，两直线平行”可判断求解；
D、根据“同旁内角互补，两直线平行”可判断求解.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由图可知，左上角和左下角和这两角的夹边都可测量，为已知条件，
∴可根据角边角即可得与原图形全等的三角形，
即小亮画图的依据是两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（角边角）.
故选：B．
【分析】根据图形可知两角及夹边是已知条件，结合三角形全等的判定即可判断求解．
8．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解∶由作图过程可得，，
∴，
∴，
故答案为∶A．
【分析】根据作图过程可知，用边边边可证，然后由全等三角形的对应角相等即可求解．
9．【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：9．
【分析】根据“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可得，然后整体代入计算即可求解．
10．【答案】
【知识点】负整数指数幂
【解析】【解答】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据负整数指数幂的底数不等于0可得关于x的不等式，解不等式即可求解．
11．【答案】
【知识点】用关系式表示变量间的关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】∵等腰三角形的腰长为，底边长为，周长为，
∴，
，
解得．
故答案为．
【分析】根据三角形的周长等于三角形三边之和可得等腰三角形的底边长周长腰长，根据三角形任意两边之和大于第三边可得关于x的不等式组，解不等式组求出x的范围．
12．【答案】
【知识点】角的运算；三角形的外角性质；平行四边形的性质；对顶角及其性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：延长EH交AB于点N，如图所示：
∵△EFH是等腰三角形，
∴∠FHE=45°，
∴∠NHB=∠FHE=45°，
∵∠1=30°，
∴∠HNA=∠1+∠NHB=75°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠HNA=75°，
故答案为：．
【分析】延长EH交AB于点N，先根据等腰三角形的性质得∠FHE=45°，根据对顶角相等得∠NHB=∠FHE=45°，进而可得∠HNA=75°，再根据平行四边形的性质可得可得∠2=∠HNA=75°，即可得出结论．
13．【答案】5
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解∶过D作于H，
∵平分，，，
∴，
又，
∴，
故答案为：5．
【分析】 过D作于H，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得，然后根据三角形面积求解即可．
14．【答案】解∶（1）原式
；
（2）原式
（3）
，
当时，原式.
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值；整数指数幂的运算
【解析】【分析】
（1）根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数”可得（）-2=4，由零指数幂的的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”得（π-5）0=1，然后根据有理数的混合运算法则“先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算”计算即可求解；
（2）根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"和多项式除以单项式法则"多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加."以及合并同类项法则计算即可求解；
（3）同理，根据单项式乘以多项式法则，多项式乘以多项式法则，完全平方公式将代数式化简，然后把x的值代入化简后的代数式计算即可求解．
15．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图，延长交于，连接，
当点不与重合时，三点能组成三角形，
∴，
又∵当点与重合时，，
∴，
∴当点与重合时，的值最大．
（3）解：如图，
答：△ABB 的面积为2.
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】
（1）根据轴对称的性质先找出、、的对应点，然后顺次连接即可求解；
（）如图所示，延长交于，连接，根据三角形三边的关系“三角形任意两边之和大于第三边”可证，然后由两点之间线段最短可求解；
（）根据三角形的面积公式计算即可求解．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，延长交于，连接，
当点不与重合时，三点能组成三角形，
∴，
又∵当点与重合时，，
∴，
∴当点与重合时，的值最大．
（3）解：如图，
16．【答案】（1）证明∶∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解∶∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
答：∠FCD的度数为.
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（1）由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，结合已知用边角边即可求解；
（2）由三角形内角和定理“三角形三内角之和等于180°”可求得∠DCE的度数，由（1）中的全等三角形可求出的度数，然后根据邻补角的性质“邻补角互补”可求解．
（1）证明∶∵，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解∶∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
17．【答案】（1）解：，
答：蓝球的个数是20个；
（2）解：设放入黄球x个
，
解得，
答：放入黄球8个．
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【分析】
（1）根据各小组频率之和等于1可求得蓝球的频率，然后根据蓝色球的个数等于总个数乘以摸到蓝色球的概率即可求解；
（2）设放入黄球x个，由题意，根据摸到黄球的频率在0.5附近波动可得摸出黄球的概率为0.5，根据概率公式列关于x的方程，解方程即可求解．
（1）解：，
答：蓝球的个数是20个；
（2）解：设放入黄球x个
，
解得，
答：放入黄球8个．
18．【答案】（1）解：∵，，
∴，，
又，
∴，
∴；
答：∠C的度数为135°；
（2）证明：过D作，过C作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
又，
∴；
（3）解：由（2）中的结论，得，∵，，
∴．
∵，，
∴，，，
，
同理可得，
∴．
答：∠G的度数为.
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度；平行线的判定与性质的应用-证明问题
【解析】【分析】
（1）由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等”可得∠B+∠C=180°，∠C=∠D，结合已知即可求解；
（2）过D作，过C作，由平行线的判定与性质即可求解；
（3）由（2）中得到的结论，结合已知即可求解．
（1）解：∵，，
∴，，
又，
∴，
∴；
（2）证明：过D作，过C作，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
又，
∴；
（3）解：由（2）中的结论，得，
∵，，
∴．
∵，，
∴，，，
，
同理可得，
∴．
19．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴= ==27.
故答案为：．
【分析】根据完全平方公式求解即可．
20．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；乘方的相关概念；利用开平方求未知数
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平方差公式得，移项整理可得，然后由平方根的定义即可求解．
21．【答案】12
【知识点】三角形三边关系；乘方的相关概念；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解∶∵，
∴，，
∴，，
∵为方程的解，
∴或2，
又，
∴，
∴的周长为，
故答案为∶12．
【分析】由绝对值和偶次方的非负性可得关于b、c的方程，解方程求得b、c的值，再解含绝对值的方程可得a的值，然后根据三角形三边关系可得a的值，再根据三角形的周长等于三角形三边之和即可求解.
22．【答案】44
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解∶连接，，
∵、分别是、的垂直平分线，
∴，，
在△ABO和△CDO中
∴，
∴，
设，，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故答案为∶44．
【分析】 连接，，根据线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，，结合已知，用边边边可证，根据全等三角形的对应角相等可得，设，，根据角的构成可得关于α、β的方程组，解方程组即可求解．
23．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：过D作于H，
∵平分，
∴，
在△DHA和△DFA中
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过D作于H，结合已知用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，由线段的和差可得，根据度角所对的直角边等于斜边的一半可得，则可求，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，再由等边三角形的性质即可求解．
24．【答案】（1）①
（2）解：∵边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，
∴，，
∴，
∴
；
（3）解：设正方形与正方形的变成分别为a，b，
∵正方形与正方形面积和为74，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴（负数舍去），
∴，即，
∴阴影部分的面积为．
答：阴影部分的面积为12.
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】
（1）解：根据题意，
得，
故选：①.
【分析】
（1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个长方形的面积的和即可求解；
（2）先根据长方形的周长和面积得出，，然后化简所求代数式，并代入化简后的代数式计算即可求解；
（3）设正方形与正方形的变成分别为a，b，则，，利用完全平方公式的变形可求，，，，然后利用阴影部分的面积等于大正方形的面积与小正方形面积差的一半即可求解．
（1）解：根据题意，得，
故选：①；
（2）解：∵边长为，的长方形，它的周长为12，面积为5，
∴，，
∴，
∴
；
（3）解：设正方形与正方形的变成分别为a，b，
∵正方形与正方形面积和为74，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴（负数舍去），
∴，即，
∴阴影部分的面积为．
25．【答案】（1），12，72
（2）解：∵从到的运动时间为，
∴；
答：点P的速度为.
（3）解：∵，
∴，
∴；
当点P在上运动时，，
∴，
解得；
当点P在上运动时，，
∴，
解得；
综上可得，当点P出发秒或秒时，的面积是长方形面积的．
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】
（1）
解：依题意得，当点P在上运动时，，
∵
∴，
解得：；
根据图2可得，，
∴
当时，点在上，
∴，
故答案为：，12，72．
【分析】
（1）由题意，先求出点P在上的运动时间，根据函数图象可得，然后根据三角形面积公式求出的值；当时，点在上，根据路程=速度×时间即可求解；
（2）根据从到的运动时间为，根据速度=路程÷时间即可求解．
（3）由题意，先求出长方形面积，根据△BPE的面积等于长方形的面积的可求出S的值，由题意，分点P在上运动和点P在上运动两种情况分别列关于t的方程，解方程即可求解．
（1）解：依题意得，当点P在上运动时，，
∵
∴，
解得：；
根据图2可得，，
∴
当时，点在上，
∴，
故答案为：，12，72．
（2）解：∵从到的运动时间为
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴；
当点P在上运动时，，
∴，
解得；
当点P在上运动时，，
∴，
解得；
综上所述，当点P出发秒或秒时，的面积是长方形面积的．
26．【答案】（1）
（2）解：∵，∴，
∵，，
∴，
在△DAB和△EDC中
∴，
∴，，
∴；
（3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴即，
∵，
∴，
在△AED和△MDF中
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴为定直线，
∴当时，最小，
如图，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；归纳与类比
【解析】【解答】
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在△BCE和△CAD中
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
【分析】
（1）由同角的余角相等可得∠EBC=∠DCA，结合已知，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，，然后由线段的和差即可求解；
（2）同理可证，由全等三角形的对应边相等可得，，然后由线段的和差CE=BD=BC-CD=BC-AB可求解；
（3）①在上取一点，使得，连接，由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应边（角）相等可得，，然后由等角对等边及三角形的外角性质得，再根据线段的和差可求解；
②由，得当时，最小，如图，过点作于点，根据等角对等边证，然后由三角形的面积公式计算即可求解．
（1）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）①证明：如图，在上取一点，使得，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②∵，
∴为定直线，
∴当时，最小，
如图，过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．
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