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四川省绵阳市梓潼县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·梓潼期末）若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，a﹣3≥0，
解得a≥3.
故答案为：B.
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.
2．（2024八下·梓潼期末）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
课外阅读时间(小时) 0.5 1 1.5 2
人数 2 3 4 1
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（　　）
A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25和4
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：在这一组数据中1.5是出现次数最多的，故众数是1.5，
平均数= =1.2，
故答案为：A．
【分析】根据平均数和众数的定义即可得出答案．
3．（2024八下·梓潼期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是(　　)
A． B．5 C．或5 D．2或
【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴当时，有，此时二次根式不是最简二次根式，不符合题意，舍去；
当时，有，二次根式是最简二次根式，符合题意；
，
故答案为：B．
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，最简二次根式的被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此根据二次根式的被开方数相等列出关于x的方程，解方程求出x的值，再检验是否符合题意即可得到答案.
4．（2024八下·梓潼期末）已知，一次函数的图象经过点，下列说法中不正确的是（　　）
A．若x满足，则当时，函数y有最小值
B．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为
C．该函数的图象与一次函数的图象相互平行
D．若函数值y满足时，则自变量x的取值范围是
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
∴，
∵，
∴y随x的增大而减小，
A、∵x满足，y随x的增大而减小，
∴当时，函数y有最大值为，故A不正确；
B、∵一次函数，
∴当时，，当时，，
∴函数图象与坐标轴的两个交点分别为，，
∴函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为：，故B正确；
C、∵与的k都为，
∴图象相互平行，故C正确；
D、当时，有，
解得：；
当时，有，
解得：；
∴函数值y满足时，则自变量x的取值范围是，故D正确；
故答案为：A．
【分析】先利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后根据一次函数的增减性得y随x的增大而减小，接下来逐项进行分析：对于A选项，结合一次函数增减性求出函数在规定的x范围内有最大值为-5，即可判断A不正确；对于B选项，直接令x、y分别为0，求出函数与坐标轴的交点，利用三角形面积公式求出三角形面积，即可判断B正确；对于C选项，根据一次函数性质中的平行直线k相同，即可判断C正确；对于D选项，分别求出x=7或-7时y的值，结合一次函数的性质，即可判断D正确.
5．（2024八下·梓潼期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、 表示y不是x的函数，
∴此选项不符合题意；
B、 表示y是x的函数，
∴此选项符合题意；
C、 表示 y不是x的函数，
∴此选项不符合题意；
D、 表示 y不是x的函数，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，根据定义并结合各选项即可判断求解．
6．（2024八下·梓潼期末）已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么m的值可能是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵当x1＜x2时，有y1＜y2，
∴y随x的增大而增大，
∴2m 1＞0，
∴m＞，
∴m的值可能是，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数y随x的增大而增大，即可得到一次函数k＞0，求出m的取值范围，判断得到m的值。
7．（2024八下·梓潼期末）下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形
C．正方形有四条对称轴
D．菱形的面积等于对角线的乘积
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角相等，故A正确，不符合题意；
B、矩形的对角线互相平分且相等，则把矩形分成四个等腰三角形，故B正确，不符合题意；
C、正方形有四条对称轴，故C正确，不符合题意；
D、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故D错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的性质逐项进行判断，即可得到答案.
8．（2024八下·梓潼期末）如图，、在平行四边形的对角线上，，，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
解得：，
即．
故答案为：C．
【分析】设，由直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，由等边对等角可得， ，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和”可得，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠，然后根据可得关于x的方程，解方程即可求解．
9．（2024八下·梓潼期末）在一次数学测试中，小明的成绩为102分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：∵小明的成绩为102分，超过班级半数同学的成绩，
∴ 分析得出这个结论所用的统计量是中位数，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查统计量的选择，根据中位数的定义可知班级的数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，而半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，据此即可得到答案.
10．（2024八下·梓潼期末）小明和小刚的家分别在学校的正北与正西方向上，放学后，他们分别以每分钟和每分钟的速度回家，10分钟后两人相距（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，点分别代表小明、小刚、学校的位置，
根据题意，得，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，点分别代表小明、小刚、学校的位置，根据题意求出∠C的度数，AC，BC的值，然后利用勾股定理，即可解答.
11．（2024八下·梓潼期末）如图，直线与的交点的坐标为，则关于的不等式的整数解为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线，
∴直线与x轴的交点坐标为（3，0），
又∵直线与的交点的坐标为，
∴不等式的解集为：，
∴整数解为x＝2，
故答案为：C．
【分析】观察图形可知：满足关于x的不等式，就是直线位于直线y＝kx＋b的下方且位于x轴上方的部分所对应的自变量的取值范围，然后求出其整数解即可．
12．（2024八下·梓潼期末）如图，点为内一点，点，分别是射线，上一点，当的周长最小时，，则的度数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；三角形内角和定理；轴对称的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，作关于，的对称点，，连接，，
∴，，，，
∴，的周长为：，
∴当四点共线，即，是与，的交点时，的周长最小，
关于对称，关于对称，，
，，，
，
又∵，
是等腰三角形，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】作关于，的对称点，，连接，，根据对称的性质得，的周长为：，从而得当四点共线，即，是与，的交点时，的周长最小，然后根据对称的性质推出是等腰三角形，，，利用三角形内角和定理求出，据此即可求解.
13．（2024八下·梓潼期末）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为9，则　 　．
【答案】±2
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：∵直线，
∴当时，有，
当，有，
解得：
∴直线与轴、轴的交点坐标分别为，
∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为9，
∴，
解得：，
故答案为：±2．
【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征得直线与两坐标轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式得出关于b的方程，解方程即可得到答案.
14．（2024八下·梓潼期末）博物馆拟招聘一名优秀讲解员，张三的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、90分、95分．综合成绩中笔试占50%、试讲占30%、面试占20%，那么张三最后的成绩为 　 　分．
【答案】93
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵张三的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、90分、95分，综合成绩中笔试占50%、试讲占30%、面试占20%，
∴张三最后的成绩为：（分），
故答案为：93．
【分析】直接根据题意列式计算进行求解.
15．（2024八下·梓潼期末）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，则点B，C的坐标分别为B　 　，C　 　．
【答案】；
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质
【解析】【解答】解；∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
故答案为：，．
【分析】由点的坐标得，然后根据正方形的性质得，，最后结合点在坐标系中的位置得到答案.
16．（2024八下·梓潼期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝0.5cm，则AB的长是　 　cm．
【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝0.5，
∴AB＝2BC＝1，
故答案为：1．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，据此得到答案.
17．（2024八下·梓潼期末）如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长至点，使，连接，过点作于，
∵，，，
，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
设，则，
在中，有，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点，使，连接，过点作于，先证明，得，，从而得，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质，利用三角形内角和定理求出，然后求出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得，接下来设，利用含30° 的直角三角形的性质得，在中，利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出的值，即可得的长．
18．（2024八下·梓潼期末）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量y（千克）与售价x（元/千克）之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克的价格卖出，挣得　 　元．（用含k的式子表示）
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设卖出的苹果数量y（千克）与售价x（元/千克）之间的关系为，
将代入关系式，得，
解得：，
∴，
当时，，
∴当以8元/千克的价格卖出时，挣得（元），
故答案为：．
【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数的解析式，然后求出时的值，最后根据利润=（售价-进价）×数量得到答案.
19．（2024八下·梓潼期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式：进行求解；
（2）直接利用完全平方公式：进行求解.
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2024八下·梓潼期末）2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会已在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理数据】两组数据各分数段如下表所示：
成绩
七年级 1 5 2 a
八年级 0 4 5 1
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
　 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 b 72 66.6
八年级 80 80 c 33
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ．
（2）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共1000人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
【答案】（1）78.5，80；
（2）解：（人），
∴估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有340人；
（3）解：八年级学生知识竞赛成绩更好，理由如下：
∵七八年级平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
∴八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）．
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）将七年级抽样成绩按照从小到大进行排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，
∴其中在范围内的数据有2个，即，中位数，
∵八年级抽样成绩为：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82，
∴众数，
故答案为：78.5，80.
【分析】（1）根据七年级10名同学测试成绩求出a的值，然后根据中位数和众数的定义分别求出b、c的值；
（2）用样本估计总体，将各年级人数乘以优秀学生人数所占比，然后求和即可求解；
（3）根据中位数、众数、平均数、方差的意义进行解答即可.
（1）解：将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在范围内的数据有2个，
故．
中位数，
将八年级抽样成绩重新排列为：72，74，75，76，80，80，82，84，85，92，
其众数，
故答案为：78.5，80；
（2）解：由题意得：（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有340人；
（3）解：可以推断出八年级学生知识竞赛成绩更好，
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）．
（2024八下·梓潼期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC交轴于点，交直线于点，有一动点M在线段和线段上运动．
21．求直线的表达式．
22．分别求出与的面积．
23．是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出点M的坐标．
【答案】21．解：设直线的关系式为，
将代入中得：
，
①代入②得，
∴；
22．解：，
当时，，
∴，
∴，
∴；
23．存在，或
解：设直线的关系为，
将代入得，
∴解析式为：，
设的横坐标为
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵M在线段和线段，
∴，
当时，代入得：，
当时，代入，得，
∴或．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）由题意，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）当的面积是的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求解．
21．解：设直线的关系式为，
将代入中得：
，
①代入②得，
∴；
22．解：，
当时，，
∴，
∴，
∴；
23．解：设直线的关系为，
将代入得，
∴解析式为：，
设的横坐标为
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵M在线段和线段，
∴，
当时，代入得：，
当时，代入，得，
∴或．
24．（2024八下·梓潼期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，是的中点，
∴，
由（1）得，
∵是的中点，
∴，
∵，，
在中，有，
∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴.
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得，从而由等腰三角形“等边对等角”性质得，进行等量代换得，进而根据平行线的判定得，于是推出四边形是平行四边形，结合，即可得证四边形是矩形；
（2）先求出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求得，接下来利用勾股定理求得，根据菱形以及矩形的性质得，，最后即可求出的长．
25．（2024八下·梓潼期末）某公司每月固定生产甲，乙两种型号的产品共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
种类\价格（元/只）\型号 甲 乙
原料成本 12 8
销售单价 18 12
生产提成 1
（1）若该公司5月的销售收入为270万元，则甲，乙两种型号的产品分别是多少万只？
（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只产品获得一定金额的提成，如果公司6月投入总成本（原料总成本生产提成总额）不超过218万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润销售收入投入总成本）．
【答案】（1）解：设甲、乙两种型号的产品分别为x万只，y万只，
根据题意，得，
解得：，
∴甲、乙两种型号的产品分别为5万只，15万只；
（2）解：设安排甲型号产品生产z万只，则乙型号产品生产万只，利润为W万元，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∵，
∴W随z的增大而增大，
∴当时，W最大，最大值为1.8×10+64=82（万元），
∴安排甲、乙两种型号各10万只时，该月公司所获利润最大，最大利润为82万．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲、乙两种型号的产品分别为x万只，y万只，根据“两种产品共20万只且销售收入为270万元”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设安排甲型号产品生产z万只，则乙型号产品生产万只，利润为W万元，根据“总成本不超过218万元”列出关于z的不等式，解不等式得z的取值范围，然后再列出W关于z的一次函数关系式，利用一次函数的增减性进行求解即可.
（1）解：设甲、乙两种型号的产品分别为x万只，y万只，
由题意得，，
解得，
答：甲、乙两种型号的产品分别为5万只，15万只；
（2）解：设安排甲型号产品生产y万只，利润为W万元，则乙型号产品生产万只，
根据题意得：，
解得：，
根据题意得：利润，
∵，
∴W随y的增大而增大，
∴当时，W最大，最大值为82万元．
即安排甲、乙两种型号各10万只时，该月公司所获利润最大，最大利润为82万．
26．（2024八下·梓潼期末）如图，矩形中，，M是边上一点，将沿直线翻折，得到．
（1）当平分时，求的长；
（2）连接，当时，求的面积．
【答案】（1）解：∵ 将沿直线翻折，得到 ，
，
平分，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：如图，延长交的延长线于点Q，
四边形是矩形，
，，
，
∵将沿直线翻折，得到 ，， ，
，
，
，
设，则，
又，
，
在中，，
∴，
解得：，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质以及角平分线的定义得，然后根据矩形的性质得，从而求出，进而由含30°的直角三角形的性质可设，则，利用勾股定理得，据此即可求解；
（2）延长交的延长线于点Q，根据矩形的性质以及折叠的性质得，，，，从而根据等腰三角形的判定推出，然后设，则，在中，利用勾股定理得关于的方程，解方程求出x的值，即可得，于是得，进而得，最后利用三角形面积公式可得答案．
（1）解：由折叠的性质得，
，
平分，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
．
；
（2）如图，延长交的延长线于点Q，
四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得，，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
即，
，
，
，
，
，
．
1 / 1四川省绵阳市梓潼县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·梓潼期末）若式子 在实数范围内有意义，则 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·梓潼期末）某语文教师调查了本班10名学生平均每天的课外阅读时间，统计结果如下表所示：
课外阅读时间(小时) 0.5 1 1.5 2
人数 2 3 4 1
那么这10名学生平均每天的课外阅读时间的平均数和众数分别是（　　）
A．1.2和1.5 B．1.2和4 C．1.25和1.5 D．1.25和4
3．（2024八下·梓潼期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则x的值是(　　)
A． B．5 C．或5 D．2或
4．（2024八下·梓潼期末）已知，一次函数的图象经过点，下列说法中不正确的是（　　）
A．若x满足，则当时，函数y有最小值
B．该函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为
C．该函数的图象与一次函数的图象相互平行
D．若函数值y满足时，则自变量x的取值范围是
5．（2024八下·梓潼期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·梓潼期末）已知一次函数的图象上两点，，当时，有，那么m的值可能是（　　）．
A． B． C． D．
7．（2024八下·梓潼期末）下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对角相等
B．矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形
C．正方形有四条对称轴
D．菱形的面积等于对角线的乘积
8．（2024八下·梓潼期末）如图，、在平行四边形的对角线上，，，，则的大小为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·梓潼期末）在一次数学测试中，小明的成绩为102分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（　　）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
10．（2024八下·梓潼期末）小明和小刚的家分别在学校的正北与正西方向上，放学后，他们分别以每分钟和每分钟的速度回家，10分钟后两人相距（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·梓潼期末）如图，直线与的交点的坐标为，则关于的不等式的整数解为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2024八下·梓潼期末）如图，点为内一点，点，分别是射线，上一点，当的周长最小时，，则的度数是(　　)
A． B． C． D．
13．（2024八下·梓潼期末）已知直线与两坐标轴围成的三角形面积为9，则　 　．
14．（2024八下·梓潼期末）博物馆拟招聘一名优秀讲解员，张三的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、90分、95分．综合成绩中笔试占50%、试讲占30%、面试占20%，那么张三最后的成绩为 　 　分．
15．（2024八下·梓潼期末）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知，则点B，C的坐标分别为B　 　，C　 　．
16．（2024八下·梓潼期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝0.5cm，则AB的长是　 　cm．
17．（2024八下·梓潼期末）如图，在四边形中，，，，，，则对角线的长是　 　．
18．（2024八下·梓潼期末）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量y（千克）与售价x（元/千克）之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克的价格卖出，挣得　 　元．（用含k的式子表示）
19．（2024八下·梓潼期末）计算：
（1）；
（2）．
20．（2024八下·梓潼期末）2023年9月23日至10月8日第十九届亚运动会已在中国杭州举办，某校组织全校七、八年级学生举行了“亚运知识”竞赛，现分别在七、八两个年级中各随机抽取10名学生，相关数据统计整理如下：
【收集数据】
七年级10名同学测试成绩统计如下：84，78，85，75，72，91，79，72，69，95
八年级10名同学测试成绩统计如下：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82
【整理数据】两组数据各分数段如下表所示：
成绩
七年级 1 5 2 a
八年级 0 4 5 1
【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
　 平均数 中位数 众数 方差
七年级 80 b 72 66.6
八年级 80 80 c 33
【问题解决】根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： ， ．
（2）按照比赛规定90分及其以上为优秀，若该校七年级学生共1200人，八年级学生共1000人，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生知识竞赛成绩更好？请说明理由．
（2024八下·梓潼期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AC交轴于点，交直线于点，有一动点M在线段和线段上运动．
21．求直线的表达式．
22．分别求出与的面积．
23．是否存在点M，使的面积是的面积的？若存在求出点M的坐标．
24．（2024八下·梓潼期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形．
（2）若AD＝12，EF＝4，求OE和BG的长．
25．（2024八下·梓潼期末）某公司每月固定生产甲，乙两种型号的产品共20万只，且所有产品当月全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表：
种类\价格（元/只）\型号 甲 乙
原料成本 12 8
销售单价 18 12
生产提成 1
（1）若该公司5月的销售收入为270万元，则甲，乙两种型号的产品分别是多少万只？
（2）公司实行计件工资制，即工人每生产一只产品获得一定金额的提成，如果公司6月投入总成本（原料总成本生产提成总额）不超过218万元，应怎样安排甲、乙两种型号的产量，可使该月公司所获利润最大？并求出最大利润（利润销售收入投入总成本）．
26．（2024八下·梓潼期末）如图，矩形中，，M是边上一点，将沿直线翻折，得到．
（1）当平分时，求的长；
（2）连接，当时，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得，a﹣3≥0，
解得a≥3.
故答案为：B.
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解.
2．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：在这一组数据中1.5是出现次数最多的，故众数是1.5，
平均数= =1.2，
故答案为：A．
【分析】根据平均数和众数的定义即可得出答案．
3．【答案】B
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
整理得：，
解得：，，
∴当时，有，此时二次根式不是最简二次根式，不符合题意，舍去；
当时，有，二次根式是最简二次根式，符合题意；
，
故答案为：B．
【分析】本题考查了同类二次根式的概念，最简二次根式的被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此根据二次根式的被开方数相等列出关于x的方程，解方程求出x的值，再检验是否符合题意即可得到答案.
4．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
∴，
∵，
∴y随x的增大而减小，
A、∵x满足，y随x的增大而减小，
∴当时，函数y有最大值为，故A不正确；
B、∵一次函数，
∴当时，，当时，，
∴函数图象与坐标轴的两个交点分别为，，
∴函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为：，故B正确；
C、∵与的k都为，
∴图象相互平行，故C正确；
D、当时，有，
解得：；
当时，有，
解得：；
∴函数值y满足时，则自变量x的取值范围是，故D正确；
故答案为：A．
【分析】先利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后根据一次函数的增减性得y随x的增大而减小，接下来逐项进行分析：对于A选项，结合一次函数增减性求出函数在规定的x范围内有最大值为-5，即可判断A不正确；对于B选项，直接令x、y分别为0，求出函数与坐标轴的交点，利用三角形面积公式求出三角形面积，即可判断B正确；对于C选项，根据一次函数性质中的平行直线k相同，即可判断C正确；对于D选项，分别求出x=7或-7时y的值，结合一次函数的性质，即可判断D正确.
5．【答案】B
【知识点】函数的概念
【解析】【解答】解：A、 表示y不是x的函数，
∴此选项不符合题意；
B、 表示y是x的函数，
∴此选项符合题意；
C、 表示 y不是x的函数，
∴此选项不符合题意；
D、 表示 y不是x的函数，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B．
【分析】在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，根据定义并结合各选项即可判断求解．
6．【答案】A
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵当x1＜x2时，有y1＜y2，
∴y随x的增大而增大，
∴2m 1＞0，
∴m＞，
∴m的值可能是，
故答案为：A．
【分析】根据一次函数y随x的增大而增大，即可得到一次函数k＞0，求出m的取值范围，判断得到m的值。
7．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平行四边形的对角相等，故A正确，不符合题意；
B、矩形的对角线互相平分且相等，则把矩形分成四个等腰三角形，故B正确，不符合题意；
C、正方形有四条对称轴，故C正确，不符合题意；
D、菱形的面积等于对角线乘积的一半，故D错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据平行四边形、矩形、正方形、菱形的性质逐项进行判断，即可得到答案.
8．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：设，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
解得：，
即．
故答案为：C．
【分析】设，由直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，由等边对等角可得， ，根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角之和”可得，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠，然后根据可得关于x的方程，解方程即可求解．
9．【答案】A
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：∵小明的成绩为102分，超过班级半数同学的成绩，
∴ 分析得出这个结论所用的统计量是中位数，
故答案为：A．
【分析】本题主要考查统计量的选择，根据中位数的定义可知班级的数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，而半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，据此即可得到答案.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，点分别代表小明、小刚、学校的位置，
根据题意，得，
∴，
故答案为：A．
【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，点分别代表小明、小刚、学校的位置，根据题意求出∠C的度数，AC，BC的值，然后利用勾股定理，即可解答.
11．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线，
∴直线与x轴的交点坐标为（3，0），
又∵直线与的交点的坐标为，
∴不等式的解集为：，
∴整数解为x＝2，
故答案为：C．
【分析】观察图形可知：满足关于x的不等式，就是直线位于直线y＝kx＋b的下方且位于x轴上方的部分所对应的自变量的取值范围，然后求出其整数解即可．
12．【答案】C
【知识点】两点之间线段最短；三角形内角和定理；轴对称的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，作关于，的对称点，，连接，，
∴，，，，
∴，的周长为：，
∴当四点共线，即，是与，的交点时，的周长最小，
关于对称，关于对称，，
，，，
，
又∵，
是等腰三角形，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】作关于，的对称点，，连接，，根据对称的性质得，的周长为：，从而得当四点共线，即，是与，的交点时，的周长最小，然后根据对称的性质推出是等腰三角形，，，利用三角形内角和定理求出，据此即可求解.
13．【答案】±2
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【解答】解：∵直线，
∴当时，有，
当，有，
解得：
∴直线与轴、轴的交点坐标分别为，
∵直线与两坐标轴围成的三角形面积为9，
∴，
解得：，
故答案为：±2．
【分析】先根据一次函数图象上点的坐标特征得直线与两坐标轴的交点坐标，然后利用三角形面积公式得出关于b的方程，解方程即可得到答案.
14．【答案】93
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵张三的笔试、试讲、面试成绩分别为94分、90分、95分，综合成绩中笔试占50%、试讲占30%、面试占20%，
∴张三最后的成绩为：（分），
故答案为：93．
【分析】直接根据题意列式计算进行求解.
15．【答案】；
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质
【解析】【解答】解；∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
故答案为：，．
【分析】由点的坐标得，然后根据正方形的性质得，，最后结合点在坐标系中的位置得到答案.
16．【答案】1
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝0.5，
∴AB＝2BC＝1，
故答案为：1．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，据此得到答案.
17．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，延长至点，使，连接，过点作于，
∵，，，
，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
设，则，
在中，有，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】延长至点，使，连接，过点作于，先证明，得，，从而得，进而根据等腰三角形“等边对等角”性质，利用三角形内角和定理求出，然后求出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得，接下来设，利用含30° 的直角三角形的性质得，在中，利用勾股定理得关于x的方程，解方程求出的值，即可得的长．
18．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设卖出的苹果数量y（千克）与售价x（元/千克）之间的关系为，
将代入关系式，得，
解得：，
∴，
当时，，
∴当以8元/千克的价格卖出时，挣得（元），
故答案为：．
【分析】根据函数图象，利用待定系数法求出函数的解析式，然后求出时的值，最后根据利润=（售价-进价）×数量得到答案.
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）直接利用平方差公式：进行求解；
（2）直接利用完全平方公式：进行求解.
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】（1）78.5，80；
（2）解：（人），
∴估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有340人；
（3）解：八年级学生知识竞赛成绩更好，理由如下：
∵七八年级平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
∴八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）．
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）将七年级抽样成绩按照从小到大进行排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，
∴其中在范围内的数据有2个，即，中位数，
∵八年级抽样成绩为：85，80，76，84，80，72，92，74，75，82，
∴众数，
故答案为：78.5，80.
【分析】（1）根据七年级10名同学测试成绩求出a的值，然后根据中位数和众数的定义分别求出b、c的值；
（2）用样本估计总体，将各年级人数乘以优秀学生人数所占比，然后求和即可求解；
（3）根据中位数、众数、平均数、方差的意义进行解答即可.
（1）解：将七年级抽样成绩重新排列为：69，72，72，75，78，79，84，85，91，95，其中在范围内的数据有2个，
故．
中位数，
将八年级抽样成绩重新排列为：72，74，75，76，80，80，82，84，85，92，
其众数，
故答案为：78.5，80；
（2）解：由题意得：（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数有340人；
（3）解：可以推断出八年级学生知识竞赛成绩更好，
理由为两班平均数相同，而八年级的中位数以及众数均高于七年级，
说明八年级学生的竞赛成绩更好（答案不唯一）．
【答案】21．解：设直线的关系式为，
将代入中得：
，
①代入②得，
∴；
22．解：，
当时，，
∴，
∴，
∴；
23．存在，或
解：设直线的关系为，
将代入得，
∴解析式为：，
设的横坐标为
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵M在线段和线段，
∴，
当时，代入得：，
当时，代入，得，
∴或．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）由题意，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）当的面积是的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求解．
21．解：设直线的关系式为，
将代入中得：
，
①代入②得，
∴；
22．解：，
当时，，
∴，
∴，
∴；
23．解：设直线的关系为，
将代入得，
∴解析式为：，
设的横坐标为
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵M在线段和线段，
∴，
当时，代入得：，
当时，代入，得，
∴或．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵，是的中点，
∴，
由（1）得，
∵是的中点，
∴，
∵，，
在中，有，
∵四边形是菱形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴.
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得，从而由等腰三角形“等边对等角”性质得，进行等量代换得，进而根据平行线的判定得，于是推出四边形是平行四边形，结合，即可得证四边形是矩形；
（2）先求出，然后根据直角三角形斜边上的中线性质求得，接下来利用勾股定理求得，根据菱形以及矩形的性质得，，最后即可求出的长．
25．【答案】（1）解：设甲、乙两种型号的产品分别为x万只，y万只，
根据题意，得，
解得：，
∴甲、乙两种型号的产品分别为5万只，15万只；
（2）解：设安排甲型号产品生产z万只，则乙型号产品生产万只，利润为W万元，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∵，
∴W随z的增大而增大，
∴当时，W最大，最大值为1.8×10+64=82（万元），
∴安排甲、乙两种型号各10万只时，该月公司所获利润最大，最大利润为82万．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲、乙两种型号的产品分别为x万只，y万只，根据“两种产品共20万只且销售收入为270万元”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设安排甲型号产品生产z万只，则乙型号产品生产万只，利润为W万元，根据“总成本不超过218万元”列出关于z的不等式，解不等式得z的取值范围，然后再列出W关于z的一次函数关系式，利用一次函数的增减性进行求解即可.
（1）解：设甲、乙两种型号的产品分别为x万只，y万只，
由题意得，，
解得，
答：甲、乙两种型号的产品分别为5万只，15万只；
（2）解：设安排甲型号产品生产y万只，利润为W万元，则乙型号产品生产万只，
根据题意得：，
解得：，
根据题意得：利润，
∵，
∴W随y的增大而增大，
∴当时，W最大，最大值为82万元．
即安排甲、乙两种型号各10万只时，该月公司所获利润最大，最大利润为82万．
26．【答案】（1）解：∵ 将沿直线翻折，得到 ，
，
平分，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
，
∵，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：如图，延长交的延长线于点Q，
四边形是矩形，
，，
，
∵将沿直线翻折，得到 ，， ，
，
，
，
设，则，
又，
，
在中，，
∴，
解得：，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形的面积；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质以及角平分线的定义得，然后根据矩形的性质得，从而求出，进而由含30°的直角三角形的性质可设，则，利用勾股定理得，据此即可求解；
（2）延长交的延长线于点Q，根据矩形的性质以及折叠的性质得，，，，从而根据等腰三角形的判定推出，然后设，则，在中，利用勾股定理得关于的方程，解方程求出x的值，即可得，于是得，进而得，最后利用三角形面积公式可得答案．
（1）解：由折叠的性质得，
，
平分，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，
．
；
（2）如图，延长交的延长线于点Q，
四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得，，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
即，
，
，
，
，
，
．
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