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2024年四川省达州市四川省渠县中学 中考数学模拟试题（一）
1．（2024九下·渠县模拟）的倒数是（　　）
A． B． C． D．5
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数为．
故选：B．
【分析】
两个数乘积是1的数互为倒数．
2．（2024九下·渠县模拟）如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：图A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
图B既是中心对称图形，也是轴对称图形，故B正确；
图C是中心对称图形，不是轴对称图形，故C错误；
图D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
3．（2024九下·渠县模拟）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成.下图分别是从它的正面，上面看到的形状图，该几何体至少有(　　)个小立方块搭成.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：从上面看即为俯视图，可得：俯视图中有5个小立方体；
从正面看即为主视图，可知第二层最多有3个小立方体，最少有1个小立方体；
因此几何体中至少有5+1=6个小立方体搭建成的.
故答案为：B.
【分析】本题需要根据主视图和俯视图看到的小正方形的数量，从前、上、左三面整体考虑判断.
4．（2024九下·渠县模拟）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解： ，
解不等式①：
解不等式②：
不等式组的解集为，在数轴上表示如下：
故答案为：A．
【分析】本题解不等式组，先对不等式组中的两个不等式分别计算，求出x的取值范围，最后组合即可求出x的完整取值范围，然后在数轴上表示即可。
5．（2024九下·渠县模拟）已知是分式方程的解，那么k的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： 是分式方程的解，
解得：
故答案为：D
【分析】将代入分式方程中可得关于k的方程，从而得出k值.
6．（2024九下·渠县模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA＝AD，则△ABC与△DEF的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，
∴BC∥EF，
∴△OAC∽△ODF，
∵OA=AD，
∴，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：4，
故选：B．
【分析】
位似三角形是相似三角形，可利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来计算即可．
7．（2024九下·渠县模拟）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB=2m，木箱高BE=1m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（　　）
A． B．2cosα+sinα
C．cosα+2sinα D．tanα+2sinα
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，如图所示∶
则四边形BHNG是矩形，
∴HN=BG
在Rt△ABG中，∠BAG=α，sin∠BAG=
∴BG=AB·sin∠BAG=2sinα(m)
∴HN=2sinα(m)；
∵∠EBM=∠ANM=90°，∠BME=∠AMN
∴∠BEM=∠MAN=α
在Rt△EHB中，∠BEM=α，BE=1m，
∵oos∠BEM=
∴EH=BE·cos∠BEM=1×cosα=cosα(m)
∴EN=EH+HN=(cos +2sin )m；
即木箱端点 距地面Ac的高度为(cos +2sin )m．
故答案为∶C．
【分析】过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，根据矩形性质可得HN=BG，根据正弦定义可得HN=2sinα，根据角之间的关系可得∠BEM=∠MAN=α，再根据余弦定义可得EH=cosα，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．（2024九下·渠县模拟）如图所示，直线与双曲线交于点A，将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交干点B，若，则k的值为（　　）
A．3 B．6 C．1 D．
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：如图所示，
设点A 的坐标为，于是由点A在上，可得，即，可得点A的坐标为．
又因为，且，从而根据已知平移的性质，可得点B的坐标为．据此同样可根据，解得或0（舍去）．
故答案为：D．
【分析】本题表示出A点的坐标之后，利用，且，然后平移得B点的坐标，最后将A、B点的坐标代入反比例函数中计算即可得出答案．
9．（2024九下·渠县模拟）如图，在矩形中，P是上一点，E是上一点，，平分，连接交于F，在以下判断中，不正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，∴，
A选项，当时，此时有，
∴
∴AP=PD，而 ，∴是等边三角形，
∴ ，故A选项正确；
B选项，∵，
∴是等边三角形，
∴，
而AD∥BC，
∵平分，
∴
∴=30°
∴
∵，，DE=DE，
∴△AED≌△PED（SSS），
∴垂直平分，
∴，
∵
∴
又∵
∴
∴
∵平分，
∴
∴，故B选项正确；
C选项，如图所示，过点B作交的延长线于点G，
∴
∴
∵当时，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴垂直平分
∴，故C选项正确；
D选项，∵
∴，
但无法得到
∴，故D错误．
故答案为：D．
【分析】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
证明出，即可得出是等边三角形，此时即可判断A选项是正确的；
首先证明出△AED≌△PED，然后得到垂直平分，随后证明出，得到，然后等量代换得到，即可判断B选项；
证明出，利用相似比得到，然后证明出，得到，得到，进而得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而得到垂直平分，即可判断C选项；
虽然题目中有相似三角形和直角三角形，但没有告诉线段与线段之间的倍数关系和没出现含的直角三角形，所以没办法得出点P是的中点，进而可判断D选项．
10．（2024九下·渠县模拟）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于，B两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接．有以下说法：①；②；③面积的最小值为．其中所有的正确说法是（　　）
A．① B．①② C．①③ D．②③
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：设，，其中，，
联立得：，
整理得：，
，，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
令，则，
解得，
直线与轴的交点坐标为，
同理可得：直线的解析式为：，直线与轴的交点坐标为，
，
直线与轴的交点与直线与轴的交点关于轴对称，即直线、关于轴对称，
，故①正确，符合题意；
直线、关于轴对称，
点关于轴的对称点落在上，
连接，则，，
，
假设，即，
，
，
，
，
，
是的外角，
，故假设不成立，故②错误，不符合题意；
，
当时，面积有最小值，最小值为，故③错误，不符合题意；
综上所述，正确的是①，
故选：A．
【分析】因为抛物线关于y轴对称，所以①的说法是否正确可以通过找出PA在x轴的交点与PB在x轴的交点是否对称来进行判断即可。
假设②的说法正确，可以得出，然后推出，最后利用三角形外角的特点推出，即可推翻②是错误的；
③可以先将面积列出，最后用m和n来表示，结合最后用k来替换，即可发现三角形面积的最小值。
11．（2024九下·渠县模拟）已知关于的方程的一个根是，则　 　．
【答案】-3
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入，
即，
解得：，
故答案为：．
【分析】因为“ 关于的方程的一个根是 ”，即x的一个解是-3，代入计算即可。
12．（2024九下·渠县模拟）如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】如图所示：连接OA，设OC=r，
∵正六边形内接于⊙O，
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠OBC=60°，
∴OC∥AB，
∴S△ABC=S△OBC，
∴
∵，
则飞镖落在阴影部分的概率是；
故答案为．
【分析】
飞镖落在阴影部分的概率实际是求等边三角形OBC的面积占圆面积的比值.
13．（2024九下·渠县模拟）如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的投影长为　 　．
【答案】6
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定；中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长、分别交轴于点、，作轴于点，交于点，
，
，木杆两端的坐标分别为，，
∴D（2，1），E（0，1）
，，，
，，
，即，
，
木杆在轴上的投影长为，
故答案为：．
【分析】先根据P、A、B的坐标，确定D、E的坐标，然后确定PD、PE、AB的长度，再根据，列出相似比，最后即可求出。
14．（2024九下·渠县模拟）如图，和都是等腰直角三角形，，点E在边上．将绕点C逆时针旋转，旋转过程中，直线分别与直线，BC交于点M，N，若是等腰三角形，则α的值为　 　．
【答案】或或
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：依题意可知：，
如图1中，当且点E在内部时，
∵，，
∴．
如图2中，当时，点N与点E重合，点M与点F重合，．
如图3中，当且点E在外部时，
∵，，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的的值为或或．
故答案为：或或．
【分析】因为绕点C逆时针旋转，且是等腰三角形，因此画图可以分析出有三种情况，即“且点E在内部”、“时，点N与点E重合，点M与点F重合”和“且点E在外部”，然后根据等腰直角三角形的性质特点计算即可。
15．（2024九下·渠县模拟）如图，在，，，，点在边上，从点向点移动，点在边上，从点向点移动．若点，均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设移动时间为，则，，，
在中，，
整理得：，
当时，取得最小值，此时，
故答案为：．
【分析】
设移动时间为，用含的代数式表示出，，再在中利用勾股定理表示出，则发现PQ的平方是关于的二次函数，由于二次项系数为正，则其开口向上，函数有最小值，即可求出线段的最小值．
16．（2024九下·渠县模拟）计算：．
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题分别根据的正弦值、负整数幂、二次根式性质化简、零次幂，首先进行计算并化简，而后合并计算即可．
17．（2024九下·渠县模拟）先化简，再求值：，其中a，b满足，
【答案】解：
，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】分式的化简求值；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】本题先利用平方差公式和完全平方公式化简合并括号里面的分式加法运算，然后利用提公因式法化简括号外面的除法运算，再根据算术平方根和平方的非负性，求出a和b的值，最后代入化简之后的分式运算中计算即可。
18．（2024九下·渠县模拟）随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志着我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD为315m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶端A到BD的距离是AC，经测量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝80.6°．（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）请计算舰岛AC的高度（结果精确到1m）．
【答案】解：作EF⊥AC于F，设AF＝x，
∴四边形FCDE是一个矩形，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
，
，
答：舰岛AC的高度是39m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】作EF⊥AC于F，设AF＝x，根据正切得到EF和BC长，然后根据EF+BC=BD得到方程求出x值，解题即可．
19．（2024九下·渠县模拟）如图，在菱形ABCD中，∠C＝30°，连接BD．
（1）用尺规完成以下基本作图：作线段AB的中垂线，交AD于点E，连接BE，在CD上截取CF，使CF＝AE，连接BF．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不写结论）
（2）在（1）所作的图形中，求tan∠DFB的值．
【答案】解：（1）
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CB，∠A=∠C，
在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE=BF=AE=CF，
∴∠FBC=∠C=30°，
∴∠DFB=∠C+∠FBC=30°+30°=60°，
∴tan∠DFB=tan60°=．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系；求正切值
【解析】【分析】（1）分别以点A，点B为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点G、H，过这两点G，H作直线GH，交AD于E，连结BE，则AB的垂直平分线，再以点C为圆心，以AE长为半径，在CD上截取CF=AE即可；
（2）由菱形的性质，可证△ABE≌△CBF（SAS），从而可得BE=BF=AE=CF，∠FBC=∠C=30°，可求∠DFB的度数，进而可求解。
20．（2024九下·渠县模拟）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如所示两幅不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有_____人；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
【答案】（1）60
（2）解：
“”组的人数为：（人，补全条形图如图所示：
（3）解：画树状图为：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，
（选中一男一女）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：，
所以接受问卷调查的学生共有60人；
故答案为60；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可用组的频数除以它的频率得到调查的总人数；
（2）先计算出组的频数，然后补全条形统计图；
（3）两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：，
所以接受问卷调查的学生共有60人；
故答案为60；
（2）“”组的人数为：（人，
补全条形图如图所示：
（3）画树状图为：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，
（选中一男一女）．
21．（2024九下·渠县模拟）某商场打算在年前用30000元购进一批彩灯进行销售，由于进货厂家促销，实际可以以8折的价格购进这批彩灯，结果可以比计划多购进了100盏彩灯．
（1）该商场购进这种彩灯的实际进价为多少元？
（2）该商场打算在实际进价的基础上，每盏灯加价50%的销售，但可能会面临滞销，因此将有20%的彩灯需要降价，以5折出售，该商场要想获利不低于15000元，应至少在购进这种彩灯多少盏？
【答案】解：（1）设该商场实际购进每盏彩灯为x元，则实际进价为0.8x元，
依题意得：-=100，
解得x＝75，
经检验x＝75是所列方程的根，
则0.8x＝0.8×75＝60（元）．
答：该货栈实际购进每盏彩灯为60元；
（2）设再购进彩灯a盏，
由（1）知，实际购进30000÷60＝500（盏），
依题意得：（500+a）（1-20%）×60×50%+（500+a）×20%×[60×（1+50%）×0.5-60]≥15000，
解得a≥．
∵a取正整数，
∴a=215．
答：至少再购进彩灯215盏．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）分别用分式列出实际彩灯的购进数量和计划彩灯的购进数量，最后根据条件“ 结果可以比计划多购进了100盏彩灯 ”列出分式方程，求解即可。需要注意的是，因为是分式方程，求出的解要进行检验才可以。
（2）根据“利润＝售价-进价“以及要求获得利润不低于15000元的关系列出不等式，然后解答即可。
22．（2024九下·渠县模拟）如图，点在的边上，过，两点，交于点，交于点，连接，且．
（1）求证：；
（2）若的半径为3，，求的长．
【答案】解：（1）连接交于点，
∵是的直径，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OB∥DE，OC=OE，
∴OF是△CDE的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；圆内知识的综合
【解析】【分析】（1）连接之后，根据是的直径可得，根据可推出，进而可得出结论；
（2）证出得到，此时可以求出DE=2，然后根据勾股定理求出CD，并得到，证明OF是△CDE的中位线，求得，再利用勾股定理求出BC.
23．（2024九下·渠县模拟）一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．
（1）求反比例函数表达式；
（2）结合图象，直接写出时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
【答案】（1）解：将代入，得，，
∴，
∴，
将代入，得，，
∴，
∴反比例函数表达式为；
（2）
（3）解：①当时，轴，∴；
②当时，
如图，过点A作轴于点D，
则，
∵，
∴，，
∵直线的表达式为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】
（2）解：
联立，解得，，或，
∴，
观察图象可得：当时，；
【分析】
(1)先利用一次函数图象上点的坐标特征把代入求出，再把代入求出k的值即可；
(2)联立方程组求出B点坐标，结合图象即可得时，x的取值范围；
(3)分两种情况，当时，得到；当时，过点A作轴于点D，得到，根据直线的表达式求出点C的坐标，则，则， 得到，，得到，得到．
24．（2024九下·渠县模拟）已知在中，为边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到，连接，．
（1）如图1，当且时，则与满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当且时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，延长到点，使，连接，当，时，求的长．
【答案】（1）
（2）解：结论成立， 理由：如图2中，
．
（3）解：如图3中，
由旋转的性质可知
．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1），
理由如下：如图1中，
，
．
故答案为：。
【分析】（1）利用SAS证明出，即可得出结论；
（2）与（1）的证明方法类似，利用SAS证明出，即可得出结论；；
（3）首先证明再利用相似三角形的相似比性质列式求出，最后利用勾股定理求出．
（1）解：，
理由：如图1中，
，
．
（2）解：结论成立， 理由：如图2中，
．
（3）解：如图3中，
由旋转的性质可知
．
25．（2024九下·渠县模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋x＋c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C'处，且OC'＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C'BM为以C'B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
【答案】解：（1）∵，∴
，
解得，∴
将A、C的坐标代入，得：
∴
∴抛物线的解析式为：；
（2）如答图1，过D作DG⊥x轴于点G，交BC于F， 过A作AK⊥x轴交BC延长线于K，
设直线BC解析式为：，
由（1）得：，
将，分别代入，得：，
解得：，
∴直线BC的表达式为：，
∵，故K点的横坐标是，代入，得：y=4，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵DG⊥x轴于点G，AK⊥x轴，
∴AK∥DG，
∴，
∴，
将△BDE、△ABE分别看作DE、AE为底边，则它们的高相同，
∴，
∴，
∴时，有最大值，最大值为：；
（3）如答图2，连接OC'，过C'作C'F⊥y轴于F，由抛物线的解析式知其顶点为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴△COC'是等边三角形，
∴，
Rt△CFC'中可得，，
∴原抛物线的平移是相当于向右平移个单位再向下平移个单位，且，
∴平移后抛物线顶点为，对称轴是x=，，
∵M在平移后抛物线的对称轴上
∴设，
又△C'BM为以C'B为腰的等腰三角形，可分两种情况：
①，则，
解得或，
经检验：或都是原方程的根，且符合题意，
∴，
②，则，
解得或，
经检验：或都是原方程的根，且符合题意，
∴，
综上所述，△C'BM为以C'B为腰的等腰三角形，则或。
【知识点】解直角三角形；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)先求出AO的值，然后根据正切三角函数CO的长度，即可确定C的坐标，将点A、C的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
(2)逐步分析计算并根据相似三角形的性质得一组比例线段，然后设出解析式，利用待定系数法求得解析式，最后利用配方可求得的最大值；
(3)根据OC=OC'可得C'坐标，由平移的性质可得平移后顶点、对称轴，设M坐标列出方程，即可得到问题的答案．
1 / 12024年四川省达州市四川省渠县中学 中考数学模拟试题（一）
1．（2024九下·渠县模拟）的倒数是（　　）
A． B． C． D．5
2．（2024九下·渠县模拟）如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·渠县模拟）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成.下图分别是从它的正面，上面看到的形状图，该几何体至少有(　　)个小立方块搭成.
A．5 B．6 C．7 D．8
4．（2024九下·渠县模拟）不等式组的解集在数轴上可表示为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．（2024九下·渠县模拟）已知是分式方程的解，那么k的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
6．（2024九下·渠县模拟）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OA＝AD，则△ABC与△DEF的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
7．（2024九下·渠县模拟）如图，一个长方体木箱沿斜面滑至如图位置时，AB=2m，木箱高BE=1m，斜面坡角为α，则木箱端点E距地面AC的高度表示为（　　）
A． B．2cosα+sinα
C．cosα+2sinα D．tanα+2sinα
8．（2024九下·渠县模拟）如图所示，直线与双曲线交于点A，将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交干点B，若，则k的值为（　　）
A．3 B．6 C．1 D．
9．（2024九下·渠县模拟）如图，在矩形中，P是上一点，E是上一点，，平分，连接交于F，在以下判断中，不正确的是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2024九下·渠县模拟）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与抛物线交于，B两点，且点在轴左侧，点的坐标为，连接．有以下说法：①；②；③面积的最小值为．其中所有的正确说法是（　　）
A．① B．①② C．①③ D．②③
11．（2024九下·渠县模拟）已知关于的方程的一个根是，则　 　．
12．（2024九下·渠县模拟）如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是　 　．
13．（2024九下·渠县模拟）如图，在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在轴上的投影长为　 　．
14．（2024九下·渠县模拟）如图，和都是等腰直角三角形，，点E在边上．将绕点C逆时针旋转，旋转过程中，直线分别与直线，BC交于点M，N，若是等腰三角形，则α的值为　 　．
15．（2024九下·渠县模拟）如图，在，，，，点在边上，从点向点移动，点在边上，从点向点移动．若点，均以的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接，则线段的最小值是　 　．
16．（2024九下·渠县模拟）计算：．
17．（2024九下·渠县模拟）先化简，再求值：，其中a，b满足，
18．（2024九下·渠县模拟）随着我国首艘自主建造航母“山东舰”的正式服役，标志着我国已进入“双航母”时代．已知“山东舰”舰长BD为315m，航母前端点E到水平甲板BD的距离DE为6m，舰岛顶端A到BD的距离是AC，经测量，∠BAC＝71.6°，∠EAC＝80.6°．（参考数据：sin71.6°≈0.95，cos71.6°≈0.32，tan71.6°≈3.01，sin80.6°≈0.99，cos80.6°≈0.16，tan80.6°≈6.04）请计算舰岛AC的高度（结果精确到1m）．
19．（2024九下·渠县模拟）如图，在菱形ABCD中，∠C＝30°，连接BD．
（1）用尺规完成以下基本作图：作线段AB的中垂线，交AD于点E，连接BE，在CD上截取CF，使CF＝AE，连接BF．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不写结论）
（2）在（1）所作的图形中，求tan∠DFB的值．
20．（2024九下·渠县模拟）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如所示两幅不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有_____人；
（2）请补全条形统计图；
（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的2个男生和3个女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．
21．（2024九下·渠县模拟）某商场打算在年前用30000元购进一批彩灯进行销售，由于进货厂家促销，实际可以以8折的价格购进这批彩灯，结果可以比计划多购进了100盏彩灯．
（1）该商场购进这种彩灯的实际进价为多少元？
（2）该商场打算在实际进价的基础上，每盏灯加价50%的销售，但可能会面临滞销，因此将有20%的彩灯需要降价，以5折出售，该商场要想获利不低于15000元，应至少在购进这种彩灯多少盏？
22．（2024九下·渠县模拟）如图，点在的边上，过，两点，交于点，交于点，连接，且．
（1）求证：；
（2）若的半径为3，，求的长．
23．（2024九下·渠县模拟）一次函数 与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，其中．
（1）求反比例函数表达式；
（2）结合图象，直接写出时，x的取值范围；
（3）若点P在x轴上，且是直角三角形，求点P的坐标．
24．（2024九下·渠县模拟）已知在中，为边的中点，连接，将绕点顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到，连接，．
（1）如图1，当且时，则与满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当且时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，延长到点，使，连接，当，时，求的长．
25．（2024九下·渠县模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋x＋c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其中A（﹣，0），tan∠ACO＝．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点D为直线BC上方抛物线上一点，连接AD、BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值；
（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移，点C平移至C'处，且OC'＝OC，动点M在平移后抛物线的对称轴上，当△C'BM为以C'B为腰的等腰三角形时，请直接写出点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数为．
故选：B．
【分析】
两个数乘积是1的数互为倒数．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：图A是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
图B既是中心对称图形，也是轴对称图形，故B正确；
图C是中心对称图形，不是轴对称图形，故C错误；
图D不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
3．【答案】B
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：从上面看即为俯视图，可得：俯视图中有5个小立方体；
从正面看即为主视图，可知第二层最多有3个小立方体，最少有1个小立方体；
因此几何体中至少有5+1=6个小立方体搭建成的.
故答案为：B.
【分析】本题需要根据主视图和俯视图看到的小正方形的数量，从前、上、左三面整体考虑判断.
4．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解： ，
解不等式①：
解不等式②：
不等式组的解集为，在数轴上表示如下：
故答案为：A．
【分析】本题解不等式组，先对不等式组中的两个不等式分别计算，求出x的取值范围，最后组合即可求出x的完整取值范围，然后在数轴上表示即可。
5．【答案】D
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解： 是分式方程的解，
解得：
故答案为：D
【分析】将代入分式方程中可得关于k的方程，从而得出k值.
6．【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，
∴BC∥EF，
∴△OAC∽△ODF，
∵OA=AD，
∴，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：4，
故选：B．
【分析】
位似三角形是相似三角形，可利用相似三角形的面积比等于相似比的平方来计算即可．
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，如图所示∶
则四边形BHNG是矩形，
∴HN=BG
在Rt△ABG中，∠BAG=α，sin∠BAG=
∴BG=AB·sin∠BAG=2sinα(m)
∴HN=2sinα(m)；
∵∠EBM=∠ANM=90°，∠BME=∠AMN
∴∠BEM=∠MAN=α
在Rt△EHB中，∠BEM=α，BE=1m，
∵oos∠BEM=
∴EH=BE·cos∠BEM=1×cosα=cosα(m)
∴EN=EH+HN=(cos +2sin )m；
即木箱端点 距地面Ac的高度为(cos +2sin )m．
故答案为∶C．
【分析】过E作EN⊥AC于N，交AB于M，过B作BG⊥AC于G，BH⊥EN于H，根据矩形性质可得HN=BG，根据正弦定义可得HN=2sinα，根据角之间的关系可得∠BEM=∠MAN=α，再根据余弦定义可得EH=cosα，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：如图所示，
设点A 的坐标为，于是由点A在上，可得，即，可得点A的坐标为．
又因为，且，从而根据已知平移的性质，可得点B的坐标为．据此同样可根据，解得或0（舍去）．
故答案为：D．
【分析】本题表示出A点的坐标之后，利用，且，然后平移得B点的坐标，最后将A、B点的坐标代入反比例函数中计算即可得出答案．
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；相似三角形的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，∴，
A选项，当时，此时有，
∴
∴AP=PD，而 ，∴是等边三角形，
∴ ，故A选项正确；
B选项，∵，
∴是等边三角形，
∴，
而AD∥BC，
∵平分，
∴
∴=30°
∴
∵，，DE=DE，
∴△AED≌△PED（SSS），
∴垂直平分，
∴，
∵
∴
又∵
∴
∴
∵平分，
∴
∴，故B选项正确；
C选项，如图所示，过点B作交的延长线于点G，
∴
∴
∵当时，
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴是等边三角形
∴
∴垂直平分
∴，故C选项正确；
D选项，∵
∴，
但无法得到
∴，故D错误．
故答案为：D．
【分析】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定，解直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
证明出，即可得出是等边三角形，此时即可判断A选项是正确的；
首先证明出△AED≌△PED，然后得到垂直平分，随后证明出，得到，然后等量代换得到，即可判断B选项；
证明出，利用相似比得到，然后证明出，得到，得到，进而得到，然后证明出是等边三角形，得到，进而得到垂直平分，即可判断C选项；
虽然题目中有相似三角形和直角三角形，但没有告诉线段与线段之间的倍数关系和没出现含的直角三角形，所以没办法得出点P是的中点，进而可判断D选项．
10．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；轴对称的性质；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：设，，其中，，
联立得：，
整理得：，
，，
设直线的解析式为：，
将，代入解析式得：，
解得：，
直线的解析式为：，
令，则，
解得，
直线与轴的交点坐标为，
同理可得：直线的解析式为：，直线与轴的交点坐标为，
，
直线与轴的交点与直线与轴的交点关于轴对称，即直线、关于轴对称，
，故①正确，符合题意；
直线、关于轴对称，
点关于轴的对称点落在上，
连接，则，，
，
假设，即，
，
，
，
，
，
是的外角，
，故假设不成立，故②错误，不符合题意；
，
当时，面积有最小值，最小值为，故③错误，不符合题意；
综上所述，正确的是①，
故选：A．
【分析】因为抛物线关于y轴对称，所以①的说法是否正确可以通过找出PA在x轴的交点与PB在x轴的交点是否对称来进行判断即可。
假设②的说法正确，可以得出，然后推出，最后利用三角形外角的特点推出，即可推翻②是错误的；
③可以先将面积列出，最后用m和n来表示，结合最后用k来替换，即可发现三角形面积的最小值。
11．【答案】-3
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：将代入，
即，
解得：，
故答案为：．
【分析】因为“ 关于的方程的一个根是 ”，即x的一个解是-3，代入计算即可。
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】如图所示：连接OA，设OC=r，
∵正六边形内接于⊙O，
∴△OAB，△OBC都是等边三角形，
∴∠AOB=∠OBC=60°，
∴OC∥AB，
∴S△ABC=S△OBC，
∴
∵，
则飞镖落在阴影部分的概率是；
故答案为．
【分析】
飞镖落在阴影部分的概率实际是求等边三角形OBC的面积占圆面积的比值.
13．【答案】6
【知识点】坐标与图形性质；相似三角形的判定；中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，延长、分别交轴于点、，作轴于点，交于点，
，
，木杆两端的坐标分别为，，
∴D（2，1），E（0，1）
，，，
，，
，即，
，
木杆在轴上的投影长为，
故答案为：．
【分析】先根据P、A、B的坐标，确定D、E的坐标，然后确定PD、PE、AB的长度，再根据，列出相似比，最后即可求出。
14．【答案】或或
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：依题意可知：，
如图1中，当且点E在内部时，
∵，，
∴．
如图2中，当时，点N与点E重合，点M与点F重合，．
如图3中，当且点E在外部时，
∵，，
∴，
∴．
综上所述，满足条件的的值为或或．
故答案为：或或．
【分析】因为绕点C逆时针旋转，且是等腰三角形，因此画图可以分析出有三种情况，即“且点E在内部”、“时，点N与点E重合，点M与点F重合”和“且点E在外部”，然后根据等腰直角三角形的性质特点计算即可。
15．【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；二次函数-动态几何问题；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设移动时间为，则，，，
在中，，
整理得：，
当时，取得最小值，此时，
故答案为：．
【分析】
设移动时间为，用含的代数式表示出，，再在中利用勾股定理表示出，则发现PQ的平方是关于的二次函数，由于二次项系数为正，则其开口向上，函数有最小值，即可求出线段的最小值．
16．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题分别根据的正弦值、负整数幂、二次根式性质化简、零次幂，首先进行计算并化简，而后合并计算即可．
17．【答案】解：
，
∵，
∴，
解得：，
∴．
【知识点】分式的化简求值；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【分析】本题先利用平方差公式和完全平方公式化简合并括号里面的分式加法运算，然后利用提公因式法化简括号外面的除法运算，再根据算术平方根和平方的非负性，求出a和b的值，最后代入化简之后的分式运算中计算即可。
18．【答案】解：作EF⊥AC于F，设AF＝x，
∴四边形FCDE是一个矩形，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
，
即，
，
，
答：舰岛AC的高度是39m．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】作EF⊥AC于F，设AF＝x，根据正切得到EF和BC长，然后根据EF+BC=BD得到方程求出x值，解题即可．
19．【答案】解：（1）
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CB，∠A=∠C，
在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE=BF=AE=CF，
∴∠FBC=∠C=30°，
∴∠DFB=∠C+∠FBC=30°+30°=60°，
∴tan∠DFB=tan60°=．
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应边的关系；求正切值
【解析】【分析】（1）分别以点A，点B为圆心，大于为半径画弧，两弧交于两点G、H，过这两点G，H作直线GH，交AD于E，连结BE，则AB的垂直平分线，再以点C为圆心，以AE长为半径，在CD上截取CF=AE即可；
（2）由菱形的性质，可证△ABE≌△CBF（SAS），从而可得BE=BF=AE=CF，∠FBC=∠C=30°，可求∠DFB的度数，进而可求解。
20．【答案】（1）60
（2）解：
“”组的人数为：（人，补全条形图如图所示：
（3）解：画树状图为：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，
（选中一男一女）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：，
所以接受问卷调查的学生共有60人；
故答案为60；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可用组的频数除以它的频率得到调查的总人数；
（2）先计算出组的频数，然后补全条形统计图；
（3）两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：，
所以接受问卷调查的学生共有60人；
故答案为60；
（2）“”组的人数为：（人，
补全条形图如图所示：
（3）画树状图为：
由树状图可知，共有20种等可能的结果，而选出的2人恰好一男一女的结果有12种，
（选中一男一女）．
21．【答案】解：（1）设该商场实际购进每盏彩灯为x元，则实际进价为0.8x元，
依题意得：-=100，
解得x＝75，
经检验x＝75是所列方程的根，
则0.8x＝0.8×75＝60（元）．
答：该货栈实际购进每盏彩灯为60元；
（2）设再购进彩灯a盏，
由（1）知，实际购进30000÷60＝500（盏），
依题意得：（500+a）（1-20%）×60×50%+（500+a）×20%×[60×（1+50%）×0.5-60]≥15000，
解得a≥．
∵a取正整数，
∴a=215．
答：至少再购进彩灯215盏．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）分别用分式列出实际彩灯的购进数量和计划彩灯的购进数量，最后根据条件“ 结果可以比计划多购进了100盏彩灯 ”列出分式方程，求解即可。需要注意的是，因为是分式方程，求出的解要进行检验才可以。
（2）根据“利润＝售价-进价“以及要求获得利润不低于15000元的关系列出不等式，然后解答即可。
22．【答案】解：（1）连接交于点，
∵是的直径，
∴，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵OB∥DE，OC=OE，
∴OF是△CDE的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；圆内知识的综合
【解析】【分析】（1）连接之后，根据是的直径可得，根据可推出，进而可得出结论；
（2）证出得到，此时可以求出DE=2，然后根据勾股定理求出CD，并得到，证明OF是△CDE的中位线，求得，再利用勾股定理求出BC.
23．【答案】（1）解：将代入，得，，
∴，
∴，
将代入，得，，
∴，
∴反比例函数表达式为；
（2）
（3）解：①当时，轴，∴；
②当时，
如图，过点A作轴于点D，
则，
∵，
∴，，
∵直线的表达式为，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】
（2）解：
联立，解得，，或，
∴，
观察图象可得：当时，；
【分析】
(1)先利用一次函数图象上点的坐标特征把代入求出，再把代入求出k的值即可；
(2)联立方程组求出B点坐标，结合图象即可得时，x的取值范围；
(3)分两种情况，当时，得到；当时，过点A作轴于点D，得到，根据直线的表达式求出点C的坐标，则，则， 得到，，得到，得到．
24．【答案】（1）
（2）解：结论成立， 理由：如图2中，
．
（3）解：如图3中，
由旋转的性质可知
．
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1），
理由如下：如图1中，
，
．
故答案为：。
【分析】（1）利用SAS证明出，即可得出结论；
（2）与（1）的证明方法类似，利用SAS证明出，即可得出结论；；
（3）首先证明再利用相似三角形的相似比性质列式求出，最后利用勾股定理求出．
（1）解：，
理由：如图1中，
，
．
（2）解：结论成立， 理由：如图2中，
．
（3）解：如图3中，
由旋转的性质可知
．
25．【答案】解：（1）∵，∴
，
解得，∴
将A、C的坐标代入，得：
∴
∴抛物线的解析式为：；
（2）如答图1，过D作DG⊥x轴于点G，交BC于F， 过A作AK⊥x轴交BC延长线于K，
设直线BC解析式为：，
由（1）得：，
将，分别代入，得：，
解得：，
∴直线BC的表达式为：，
∵，故K点的横坐标是，代入，得：y=4，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵DG⊥x轴于点G，AK⊥x轴，
∴AK∥DG，
∴，
∴，
将△BDE、△ABE分别看作DE、AE为底边，则它们的高相同，
∴，
∴，
∴时，有最大值，最大值为：；
（3）如答图2，连接OC'，过C'作C'F⊥y轴于F，由抛物线的解析式知其顶点为，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴△COC'是等边三角形，
∴，
Rt△CFC'中可得，，
∴原抛物线的平移是相当于向右平移个单位再向下平移个单位，且，
∴平移后抛物线顶点为，对称轴是x=，，
∵M在平移后抛物线的对称轴上
∴设，
又△C'BM为以C'B为腰的等腰三角形，可分两种情况：
①，则，
解得或，
经检验：或都是原方程的根，且符合题意，
∴，
②，则，
解得或，
经检验：或都是原方程的根，且符合题意，
∴，
综上所述，△C'BM为以C'B为腰的等腰三角形，则或。
【知识点】解直角三角形；二次函数图象的平移变换；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】(1)先求出AO的值，然后根据正切三角函数CO的长度，即可确定C的坐标，将点A、C的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
(2)逐步分析计算并根据相似三角形的性质得一组比例线段，然后设出解析式，利用待定系数法求得解析式，最后利用配方可求得的最大值；
(3)根据OC=OC'可得C'坐标，由平移的性质可得平移后顶点、对称轴，设M坐标列出方程，即可得到问题的答案．
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