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浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题
1．（2024八下·浙江期中）下列有关亚运会的四个图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断得出答案.
2．（2024八下·浙江期中）下列各式中计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】被开方数不相同的两个二次根式不能合并，A、B错误；两个二次根式相乘除，把被开方数相乘除，C错误，D正确.
3．（2024八下·浙江期中）如图，在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，∠A=∠C，由二直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，结合已知可求出∠B的度数，进而即可求出答案.
4．（2024八下·浙江期中）一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】加一个4可凑成完全平方式，再减去一个4，变形后即可得到答案.
5．（2024八下·浙江期中）如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
B．∵，，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
D．∵，，
∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断求解；
B、由题意，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解；
C、由题意，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解；
D、一组对边平行、另一组对边相等的四边形可以是平行四边形，也可以是等腰梯形．
6．（2024八下·浙江期中）在元旦节目汇演比赛中，7位评委给某节目打分，得到互不相等的7个分值，同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；常用统计量的选择；众数；标准差
【解析】【解答】解、将分数从低到高排列，去掉最高分和最低分后处在中间的分数不变，因此中位数不变；
故答案为：B.
【分析】A、平均数大小与数据的个数和大小都有关系，少了最大和最小值可能会改变；B、中位数是指按顺序排列后中间的数据，最大和最小值去掉后不影响中间数据的位置，中位数不变；CD、方差与标准差大小跟平均数大小有关，平均数变了，方差与标准差也可能改变.
7．（2024八下·浙江期中） 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　）
A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于
C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中两锐角都大于，
故答案为：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答.
8．（2024八下·浙江期中）一个六边形如图所示．已知．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
，，
，
即，
同理，，，
，
，
，，
；
故答案为：A．
【分析】连接BE，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠2，∠3=∠4，将两个等式相加得∠1+∠4=∠2+∠3，即∠DEF=∠ABC，同理∠A=∠D，∠C=∠F，根据多边形内角公式可算出该六边形的内角和为720°，根据多边形的各个内角之和等于720°，即可得出∠A+∠C+∠DEF=360°，然后再代入∠A、∠C的度数即可算出∠DEF的度数.
9．（2024八下·浙江期中）为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g为10米秒）．若设石头从井口落到并底用了x秒，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得，．
故答案为：C．
【分析】石头从井口落到井底的距离为5x2米，声音从井底传回所用时间为(6.5-x)秒，则声音从井底传回的距离为330(6.5-x)米，根据井的深度不变列出方程即可.
10．（2024八下·浙江期中）如图，在中，，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到，分别取边的中点，则线段的长可能是（　　）
A．6 B．7 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接，
由平移的性质可知：，
点Q是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
在中，
，
，
线段的长可能是3，
故答案为：D．
【分析】 取的中点，连接，根据平移的性质得到的长度及的长度 ，根据三角形中位线定理求出，再根据三角形的三边关系计算即可．
11．（2024八下·浙江期中）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x+2≥0，
∴x≥-2；
故答案为：x≥-2.
【分析】二次根式有意义，被开方数是非负数，列不等式x+2≥0，解出即可.
12．（2024八下·浙江期中）若关于x的方程 有一个根是1，则 　 　.
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1代入方程 得1+a-2=0，
解得a=1.
故答案是：1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可.
13．（2024八下·浙江期中）水果超市卖一批散装草莓，草莓大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的草莓．设原有草莓质量（单位：g）的方差为，该顾客选购的草莓质量的方差为，则　 　（填“>”、“=”或“<”号）
【答案】>
【知识点】方差
【解析】【解答】选购后草莓大小波动比原来小，方差小；
故答案为：＞.
【分析】方差表示数据的波动，波动越大，方差越大，原来的草莓个头相差较大，因此方差大.
14．（2024八下·浙江期中）如图，在中，对角线与交于点的平分线与交于点F，点E是的中点，连接，若，则长为　 　．
【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴，，O是AC的中点，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是AF的中点，O是AC的中点，
∴EO是△AFC的中位线，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC=5，点O是AC的中点，由二直线平行，内错角相等得，再由角平分线及等量代换得，根据等角对等边得出AB=BF=3，由线段的和差求出CF=2，最后根据三角形的中位线等于第三边的一半可求出OE的长.
15．（2024八下·浙江期中）古巴比伦挖掘出的泥版中，记载着一元二次方程正数解的几何解法．以为例说明，如图1，构造一个边长为x的正方形，加上一个长为x宽为10的长方形；再将右边的长方形剪成2个宽为5的长方形，拼成边长为的大正方形，如图2所示，则大正方形的面积为，即可求得．小明用此几何法解关于x的方程，若假设图1中正方形的面积为81，图2中大正方形的面积为144，则　 　，　 　．
【答案】；
【知识点】多项式乘多项式；正方形的性质；数形结合
【解析】【解答】解：由图1中正方形的边长为x，面积为81，
∴，
图2中正方形的边长为，面积为144，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6；135．
【分析】根据古巴比伦的几何解法需要构造一个边长为x的正方形加上一个长为x宽为p的长方形，然后将右边的长方形剪成两个宽为的长方形，拼成一个边长为x+的正方形；根据图1的面积算出x=9，根据图2的面积求出x+=12，求解得出p，然后代入即可计算出q.
16．（2024八下·浙江期中）在中，当，点E是边上的中点，点F为上一点，连接，作交的边于点G．
（1）如图1，若G点在边上，，则的面积是　 　．
（2）如图2，若G点在边上，，则的面积是　 　．
【答案】；10
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
过点F作于K，
∴，
∵，
∴，
∵，点E是边上的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点G作，
∴为等腰直角三角形，
∴，
过点A作于点M，则，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为：；
故答案为：；
（2）过点F作于K，延长交的延长线于点，过点作，延长交的延长线于点，过点作，
由（1）得，，，
∴，
∴，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
可得方程，
解得，
，
，
∴的面积为：．
故答案为：10.
【分析】（1）根据平行四边形的对角相等得出，过点F作于K，易得△KDF是等腰直角三角形，由勾股定理得DK=KF=2，由平行四边形对边相等、中点定义及线段和差可得EK=2，则△EFK是等腰直角三角形，再由勾股定理算出EF的长；进而推出△GLE与△ABM为等腰直角三角形，由勾股定理得；过点A作于点M，由平行线间的距离相等及等腰直角三角形性质得，继续利用勾股定理得出，即可求解；
（2）过点F作于K，延长交的延长线于点，过点作，延长交的延长线于点，过点作，结合（1）中方法得出，，，，设，通过计算可得，再由勾股定理列方程可求得x，即可求解．
17．（2024八下·浙江期中） 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先将各二次根式化简，再合并；
（2）利用平方差公式计算即可.
18．（2024八下·浙江期中）甲、乙两位同学解方程的过程如下框：
甲： 两边同除以得： 则 （　　） 乙： 移项得 提公因式 则或 （　　）
你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．
【答案】解：根据题意得：
甲： 两边同除以得： 则 （×） 乙： 移项得 提公因式 则或 （×）
解：
或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】甲同学在方程两边同时乘以(x-2)，当x=2时，x-2=0，就相当于在方程两边同时除以了“0”，这违背了等式性质，从而出现了错误；乙同学在提取公因式后，剩下的商式写在一起的时候，没有注意到符号的问题，故出错了；观察方程的左右两边都含有因式（x-2），故将方程右边整体移到方程的左边，从而利用提取公因式法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，据此将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
19．（2024八下·浙江期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）画以点O为对称中心，为顶点的；
（2）的周长为__________．
【答案】（1）解：如图所示平行四边形ABCD即为所求；
（2）
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】（2）根据网格及勾股定理得：，
，
∴的周长为：，
故答案为：．
【分析】（1）利用方格纸的特点，连接AO并延长至点C，使OC=OA，连接BO并延长至点D，使OD=OB，然后再顺次连接A、B、C、D，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得平行四边形ABCD；
（2）利用网格特点及勾股定理求出边长，然后求解即可．
（1）解：如图所示即为所求；
（2）根据网格及勾股定理得：，
，
∴的周长为：，
故答案为：．
20．（2024八下·浙江期中）为了过个有意义的寒假，某校组织学生开展“读书气自华”的主题阅读活动．新学期开学，学生会随机调查了40名学生寒假阅读时间（单位：小时）的样本数据，结果统计如下：
寒假阅读时间（小时） 10 11 12 13 14
人数 5 15 10 5 5
（1）求出上述阅读时间样本数据的众数、中位数及平均数；
（2）若该校学生人数为720人，请估计寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为多少人．
【答案】（1）解：阅读时间出现次数最多的是11小时，共出现15次，因此众数是11小时，
将调查的40名学生课外阅读时间从小到大排列，处在中间位置的是第20和21个数，对应为11小时和12小时，因此中位数是小时，
这40人的平均数为：（小时），
答：众数：； 中位数：；平均数：．
（2）解：（人）
答：寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为360人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中课外阅读时间达到12小时及以上的学生所占的百分比，即可估计该校学生课外阅读时间达到12小时及以上的学生人数．
（1）解：阅读时间出现次数最多的是11小时，共出现15次，因此众数是11小时，
将调查的40名学生课外阅读时间从小到大排列，处在中间位置的是第20和21个数，对应为11小时和12小时，因此中位数是小时，
这40人的平均数为：（小时），
答：众数：； 中位数：；平均数：．
（2）（人）
答：寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为360人．
21．（2024八下·浙江期中）如图，在中，分别平分和，交于点E、F．
（1）求证：；
（2）过点E作于点G，若的周长为，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
∴∠BAE=∠DCF，
分别平分和，
，
，
，
；
（2）解：过点E作于点P，
∵分别平分和，
∴，
的周长为36，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行四边形性质得，由二直线平行，内错角相等得∠BAE=∠DCF，再根据角平分线的定义可得，从而利用AS可证△ABE≌△CDF，由全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）过点E作于点P，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，由平行四边形的对边相等及周长计算公式得，再根据三角形面积计算公式，利用求解即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
分别平分和，
，
，
，
；
（2）解：过点E作于点P，
∵分别平分和，
∴，
的周长为36，
，
．
22．（2024八下·浙江期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度．
（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
【答案】（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
由题意得：
解得：（舍），，
答： 该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%；
（2）解：设应该再增加m个工厂，
（舍），
答：应该再增加3个工厂．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据“从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了”列一元二次方程求解；
（2）设应该再增加m个工厂，根据“每季度生产汽车27万辆”，列出一元二次方程求解．
（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
解得：（舍），，
（2）解：设应该再增加m个工厂，
（舍），
答：应该再增加3个工厂．
23．（2024八下·浙江期中）小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
探究一元三次方程根与系数的关系
素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）．
素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为．
素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：．
问题解决
任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________．
任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系．
任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值．
【答案】解：任务1：，，；
任务：由题意可知，原方程可化为：，
展开整理得：，
与原方程比较可得，，；
任务：利用上题结论可知：，，
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：任务：∵，且a≠0，
∴或或，
，
故答案为：，，；
【分析】任务：根据几个因式的乘积等于零，则这几个因式中至少有一个为零，可将方程降次为三个一元一次方程，解三个一元一次方程即可求出原方程的解；
任务：将方程改写成几个一次因式积的形式，展开后进行对比即可解决问题；
任务：利用任务2的结论，将待求式子利用异分母分式加法法则计算后，整体代入计算可得答案.
24．（2024八下·浙江期中）如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，连接，若点F恰好落在边上．
①求证：；
②求的长；
（2）如图2，连接，若，求的长．
【答案】（1）解：①由折叠得
，
②由①知，
过点D作延长线于点H，则∠H=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=8，AB∥CD，
∴∠B=∠DCH=60°，
∴∠CDH=30°，
在中，，
在中，，
，
；
（2）解：延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K．
易得四边形为平行四边形，四边形KHDG是矩形，
∴设，则，
由（1）知，
，
在中，，
同（1）中方法得，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①由折叠性质得，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠1，则可得∠2=∠DAE，从而由等角对等边可得结论；
②过点D作DH⊥BC延长线于点H，由平行四边形性质得DC=AB=8，AB∥CD，由二直线平行，同位角相等得∠B=∠DCH=60°，则∠CDH=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求出CH、DH，然后利用勾股定理算出EH，最后根据线段和差求解即可；
（2）延长EF交AD的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形BEGD是平行四边形，由平行四边形的对边相等，设，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形HKDG是矩形，由矩形对边相等得HK=DG=x，由线段和差算出EH=17，根据勾股定理算出GE，由（1）的方法得AG得长，进而即可算出BE的长.
（1）解：①由折叠得
，
②由①知，
过点D作延长线于点H，
，
在中，，
在中，，
，
（2）延长交的延长线于点G，
过点G作于点H，过点D作于点K．
根据题意得四边形为平行四边形，
∴设，则，
由（1）知，
，
在中，，
同（1）中方法得，
．
1 / 1浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题
1．（2024八下·浙江期中）下列有关亚运会的四个图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·浙江期中）下列各式中计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·浙江期中）如图，在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·浙江期中）一元二次方程配方后可化为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·浙江期中）如图，在四边形中，，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024八下·浙江期中）在元旦节目汇演比赛中，7位评委给某节目打分，得到互不相等的7个分值，同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差
7．（2024八下·浙江期中） 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中（　　）
A．两锐角都大于 B．有一个锐角小于
C．有一个锐角大于 D．两锐角都小于
8．（2024八下·浙江期中）一个六边形如图所示．已知．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·浙江期中）为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g为10米秒）．若设石头从井口落到并底用了x秒，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024八下·浙江期中）如图，在中，，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到，分别取边的中点，则线段的长可能是（　　）
A．6 B．7 C．2 D．3
11．（2024八下·浙江期中）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是　 　．
12．（2024八下·浙江期中）若关于x的方程 有一个根是1，则 　 　.
13．（2024八下·浙江期中）水果超市卖一批散装草莓，草莓大小不一，某顾客从中选购了部分大小均匀的草莓．设原有草莓质量（单位：g）的方差为，该顾客选购的草莓质量的方差为，则　 　（填“>”、“=”或“<”号）
14．（2024八下·浙江期中）如图，在中，对角线与交于点的平分线与交于点F，点E是的中点，连接，若，则长为　 　．
15．（2024八下·浙江期中）古巴比伦挖掘出的泥版中，记载着一元二次方程正数解的几何解法．以为例说明，如图1，构造一个边长为x的正方形，加上一个长为x宽为10的长方形；再将右边的长方形剪成2个宽为5的长方形，拼成边长为的大正方形，如图2所示，则大正方形的面积为，即可求得．小明用此几何法解关于x的方程，若假设图1中正方形的面积为81，图2中大正方形的面积为144，则　 　，　 　．
16．（2024八下·浙江期中）在中，当，点E是边上的中点，点F为上一点，连接，作交的边于点G．
（1）如图1，若G点在边上，，则的面积是　 　．
（2）如图2，若G点在边上，，则的面积是　 　．
17．（2024八下·浙江期中） 计算：
（1）；
（2）
18．（2024八下·浙江期中）甲、乙两位同学解方程的过程如下框：
甲： 两边同除以得： 则 （　　） 乙： 移项得 提公因式 则或 （　　）
你认为他们的解法是否正确？若正确请在括号内打“√”，若错误打“×”，并写出你的解答过程．
19．（2024八下·浙江期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）画以点O为对称中心，为顶点的；
（2）的周长为__________．
20．（2024八下·浙江期中）为了过个有意义的寒假，某校组织学生开展“读书气自华”的主题阅读活动．新学期开学，学生会随机调查了40名学生寒假阅读时间（单位：小时）的样本数据，结果统计如下：
寒假阅读时间（小时） 10 11 12 13 14
人数 5 15 10 5 5
（1）求出上述阅读时间样本数据的众数、中位数及平均数；
（2）若该校学生人数为720人，请估计寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为多少人．
21．（2024八下·浙江期中）如图，在中，分别平分和，交于点E、F．
（1）求证：；
（2）过点E作于点G，若的周长为，求的面积．
22．（2024八下·浙江期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度．
（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
23．（2024八下·浙江期中）小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣，决定一探究竟．下面是他收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务：
探究一元三次方程根与系数的关系
素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程，它的一般形式为（为常数，且）．
素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为（为实数），即原方程化为：，则得方程的根为．
素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根，则方程可化为，即，与原方程系数进行比较，可得根与系数的等量关系为：．
问题解决
任务 感受新知 若关于x的三次方程（为常数）的左边可分解为，则方程的三个根分别为__________，__________，__________．
任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为，请探究与系数之间的等量关系．
任务 应用新知 利用上一任务的结论解决：若方程的三个根为，求的值．
24．（2024八下·浙江期中）如图，在中，点E是边上一点，将沿折叠后，点B的对应点为点F．
（1）如图1，连接，若点F恰好落在边上．
①求证：；
②求的长；
（2）如图2，连接，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此选项中的图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此选项中的图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A错误；
B、，B错误；
C、，C错误；
D、，D正确.
故答案为：D.
【分析】被开方数不相同的两个二次根式不能合并，A、B错误；两个二次根式相乘除，把被开方数相乘除，C错误，D正确.
3．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，∠A=∠C，
，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，∠A=∠C，由二直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，结合已知可求出∠B的度数，进而即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B.
【分析】加一个4可凑成完全平方式，再减去一个4，变形后即可得到答案.
5．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
B．∵，，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
C．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，此选项不符合题意；
D．∵，，
∴四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、由题意，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断求解；
B、由题意，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解；
C、由题意，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解；
D、一组对边平行、另一组对边相等的四边形可以是平行四边形，也可以是等腰梯形．
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；常用统计量的选择；众数；标准差
【解析】【解答】解、将分数从低到高排列，去掉最高分和最低分后处在中间的分数不变，因此中位数不变；
故答案为：B.
【分析】A、平均数大小与数据的个数和大小都有关系，少了最大和最小值可能会改变；B、中位数是指按顺序排列后中间的数据，最大和最小值去掉后不影响中间数据的位置，中位数不变；CD、方差与标准差大小跟平均数大小有关，平均数变了，方差与标准差也可能改变.
7．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应假设直角三角形中两锐角都大于，
故答案为：A.
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答.
8．【答案】A
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，连接，
，，
，，
，
即，
同理，，，
，
，
，，
；
故答案为：A．
【分析】连接BE，由二直线平行，内错角相等得∠1=∠2，∠3=∠4，将两个等式相加得∠1+∠4=∠2+∠3，即∠DEF=∠ABC，同理∠A=∠D，∠C=∠F，根据多边形内角公式可算出该六边形的内角和为720°，根据多边形的各个内角之和等于720°，即可得出∠A+∠C+∠DEF=360°，然后再代入∠A、∠C的度数即可算出∠DEF的度数.
9．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意得，．
故答案为：C．
【分析】石头从井口落到井底的距离为5x2米，声音从井底传回所用时间为(6.5-x)秒，则声音从井底传回的距离为330(6.5-x)米，根据井的深度不变列出方程即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形三边关系；平移的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，取的中点，连接，
由平移的性质可知：，
点Q是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，
在中，
，
，
线段的长可能是3，
故答案为：D．
【分析】 取的中点，连接，根据平移的性质得到的长度及的长度 ，根据三角形中位线定理求出，再根据三角形的三边关系计算即可．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x+2≥0，
∴x≥-2；
故答案为：x≥-2.
【分析】二次根式有意义，被开方数是非负数，列不等式x+2≥0，解出即可.
12．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=1代入方程 得1+a-2=0，
解得a=1.
故答案是：1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得到关于a的一次方程，然后解此一次方程即可.
13．【答案】>
【知识点】方差
【解析】【解答】选购后草莓大小波动比原来小，方差小；
故答案为：＞.
【分析】方差表示数据的波动，波动越大，方差越大，原来的草莓个头相差较大，因此方差大.
14．【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴，，O是AC的中点，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵E是AF的中点，O是AC的中点，
∴EO是△AFC的中位线，
∴，
故答案为：1．
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AD=BC=5，点O是AC的中点，由二直线平行，内错角相等得，再由角平分线及等量代换得，根据等角对等边得出AB=BF=3，由线段的和差求出CF=2，最后根据三角形的中位线等于第三边的一半可求出OE的长.
15．【答案】；
【知识点】多项式乘多项式；正方形的性质；数形结合
【解析】【解答】解：由图1中正方形的边长为x，面积为81，
∴，
图2中正方形的边长为，面积为144，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6；135．
【分析】根据古巴比伦的几何解法需要构造一个边长为x的正方形加上一个长为x宽为p的长方形，然后将右边的长方形剪成两个宽为的长方形，拼成一个边长为x+的正方形；根据图1的面积算出x=9，根据图2的面积求出x+=12，求解得出p，然后代入即可计算出q.
16．【答案】；10
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
过点F作于K，
∴，
∵，
∴，
∵，点E是边上的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点G作，
∴为等腰直角三角形，
∴，
过点A作于点M，则，
∵，
∴，
∴，
∴的面积为：；
故答案为：；
（2）过点F作于K，延长交的延长线于点，过点作，延长交的延长线于点，过点作，
由（1）得，，，
∴，
∴，
，，
，
，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
可得方程，
解得，
，
，
∴的面积为：．
故答案为：10.
【分析】（1）根据平行四边形的对角相等得出，过点F作于K，易得△KDF是等腰直角三角形，由勾股定理得DK=KF=2，由平行四边形对边相等、中点定义及线段和差可得EK=2，则△EFK是等腰直角三角形，再由勾股定理算出EF的长；进而推出△GLE与△ABM为等腰直角三角形，由勾股定理得；过点A作于点M，由平行线间的距离相等及等腰直角三角形性质得，继续利用勾股定理得出，即可求解；
（2）过点F作于K，延长交的延长线于点，过点作，延长交的延长线于点，过点作，结合（1）中方法得出，，，，设，通过计算可得，再由勾股定理列方程可求得x，即可求解．
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先将各二次根式化简，再合并；
（2）利用平方差公式计算即可.
18．【答案】解：根据题意得：
甲： 两边同除以得： 则 （×） 乙： 移项得 提公因式 则或 （×）
解：
或．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】甲同学在方程两边同时乘以(x-2)，当x=2时，x-2=0，就相当于在方程两边同时除以了“0”，这违背了等式性质，从而出现了错误；乙同学在提取公因式后，剩下的商式写在一起的时候，没有注意到符号的问题，故出错了；观察方程的左右两边都含有因式（x-2），故将方程右边整体移到方程的左边，从而利用提取公因式法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，据此将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
19．【答案】（1）解：如图所示平行四边形ABCD即为所求；
（2）
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】（2）根据网格及勾股定理得：，
，
∴的周长为：，
故答案为：．
【分析】（1）利用方格纸的特点，连接AO并延长至点C，使OC=OA，连接BO并延长至点D，使OD=OB，然后再顺次连接A、B、C、D，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得平行四边形ABCD；
（2）利用网格特点及勾股定理求出边长，然后求解即可．
（1）解：如图所示即为所求；
（2）根据网格及勾股定理得：，
，
∴的周长为：，
故答案为：．
20．【答案】（1）解：阅读时间出现次数最多的是11小时，共出现15次，因此众数是11小时，
将调查的40名学生课外阅读时间从小到大排列，处在中间位置的是第20和21个数，对应为11小时和12小时，因此中位数是小时，
这40人的平均数为：（小时），
答：众数：； 中位数：；平均数：．
（2）解：（人）
答：寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为360人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）平均数是指一组数据之和，除以这组数的个数；众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可；
（2）用该校学生的总人数乘以样本中课外阅读时间达到12小时及以上的学生所占的百分比，即可估计该校学生课外阅读时间达到12小时及以上的学生人数．
（1）解：阅读时间出现次数最多的是11小时，共出现15次，因此众数是11小时，
将调查的40名学生课外阅读时间从小到大排列，处在中间位置的是第20和21个数，对应为11小时和12小时，因此中位数是小时，
这40人的平均数为：（小时），
答：众数：； 中位数：；平均数：．
（2）（人）
答：寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为360人．
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
∴∠BAE=∠DCF，
分别平分和，
，
，
，
；
（2）解：过点E作于点P，
∵分别平分和，
∴，
的周长为36，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由平行四边形性质得，由二直线平行，内错角相等得∠BAE=∠DCF，再根据角平分线的定义可得，从而利用AS可证△ABE≌△CDF，由全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）过点E作于点P，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，由平行四边形的对边相等及周长计算公式得，再根据三角形面积计算公式，利用求解即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，
分别平分和，
，
，
，
；
（2）解：过点E作于点P，
∵分别平分和，
∴，
的周长为36，
，
．
22．【答案】（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
由题意得：
解得：（舍），，
答： 该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%；
（2）解：设应该再增加m个工厂，
（舍），
答：应该再增加3个工厂．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据“从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了”列一元二次方程求解；
（2）设应该再增加m个工厂，根据“每季度生产汽车27万辆”，列出一元二次方程求解．
（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
解得：（舍），，
（2）解：设应该再增加m个工厂，
（舍），
答：应该再增加3个工厂．
23．【答案】解：任务1：，，；
任务：由题意可知，原方程可化为：，
展开整理得：，
与原方程比较可得，，；
任务：利用上题结论可知：，，
．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：任务：∵，且a≠0，
∴或或，
，
故答案为：，，；
【分析】任务：根据几个因式的乘积等于零，则这几个因式中至少有一个为零，可将方程降次为三个一元一次方程，解三个一元一次方程即可求出原方程的解；
任务：将方程改写成几个一次因式积的形式，展开后进行对比即可解决问题；
任务：利用任务2的结论，将待求式子利用异分母分式加法法则计算后，整体代入计算可得答案.
24．【答案】（1）解：①由折叠得
，
②由①知，
过点D作延长线于点H，则∠H=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=8，AB∥CD，
∴∠B=∠DCH=60°，
∴∠CDH=30°，
在中，，
在中，，
，
；
（2）解：延长交的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K．
易得四边形为平行四边形，四边形KHDG是矩形，
∴设，则，
由（1）知，
，
在中，，
同（1）中方法得，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）①由折叠性质得，由平行四边形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得∠DAE=∠1，则可得∠2=∠DAE，从而由等角对等边可得结论；
②过点D作DH⊥BC延长线于点H，由平行四边形性质得DC=AB=8，AB∥CD，由二直线平行，同位角相等得∠B=∠DCH=60°，则∠CDH=30°，利用含30度角的直角三角形的性质求出CH、DH，然后利用勾股定理算出EH，最后根据线段和差求解即可；
（2）延长EF交AD的延长线于点G，过点G作于点H，过点D作于点K，由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形BEGD是平行四边形，由平行四边形的对边相等，设，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形HKDG是矩形，由矩形对边相等得HK=DG=x，由线段和差算出EH=17，根据勾股定理算出GE，由（1）的方法得AG得长，进而即可算出BE的长.
（1）解：①由折叠得
，
②由①知，
过点D作延长线于点H，
，
在中，，
在中，，
，
（2）延长交的延长线于点G，
过点G作于点H，过点D作于点K．
根据题意得四边形为平行四边形，
∴设，则，
由（1）知，
，
在中，，
同（1）中方法得，
．
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