【精品解析】浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题

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浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题
1.(2024八下·浙江期中)下列有关亚运会的四个图案中,是中心对称图形的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解:A、此选项中的图形不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B、此选项中的图形不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
C、此选项中的图形是中心对称图形,故此选项符合题意;
D、此选项中的图形不是中心对称图形,故此选项不符合题意.
故答案为:C.
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心,据此逐一判断得出答案.
2.(2024八下·浙江期中)下列各式中计算正确的是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法;二次根式的加减法
【解析】【解答】解:A、,A错误;
B、,B错误;
C、,C错误;
D、,D正确.
故答案为:D.
【分析】被开方数不相同的两个二次根式不能合并,A、B错误;两个二次根式相乘除,把被开方数相乘除,C错误,D正确.
3.(2024八下·浙江期中)如图,在中,,则的度数为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解:四边形是平行四边形,
∴AD∥BC,∠A=∠C,




故答案为:A.
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC,∠A=∠C,由二直线平行,同旁内角互补得∠A+∠B=180°,结合已知可求出∠B的度数,进而即可求出答案.
4.(2024八下·浙江期中)一元二次方程配方后可化为(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解:∵,
∴,
故答案为:B.
【分析】加一个4可凑成完全平方式,再减去一个4,变形后即可得到答案.
5.(2024八下·浙江期中)如图,在四边形中,,添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是(  )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解:A.∵,,
∴四边形是平行四边形,此选项不符合题意;
B.∵,,
∴四边形是平行四边形,此选项不符合题意;
C.∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形,此选项不符合题意;
D.∵,,
∴四边形可能是平行四边形,也可能是等腰梯形,此选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】A、由题意,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断求解;
B、由题意,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解;
C、由题意,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解;
D、一组对边平行、另一组对边相等的四边形可以是平行四边形,也可以是等腰梯形.
6.(2024八下·浙江期中)在元旦节目汇演比赛中,7位评委给某节目打分,得到互不相等的7个分值,同时去掉一个最高分和一个最低分,则以下四种统计量中一定不会发生改变的是(  )
A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差
【答案】B
【知识点】平均数及其计算;中位数;常用统计量的选择;众数;标准差
【解析】【解答】解、将分数从低到高排列,去掉最高分和最低分后处在中间的分数不变,因此中位数不变;
故答案为:B.
【分析】A、平均数大小与数据的个数和大小都有关系,少了最大和最小值可能会改变;B、中位数是指按顺序排列后中间的数据,最大和最小值去掉后不影响中间数据的位置,中位数不变;CD、方差与标准差大小跟平均数大小有关,平均数变了,方差与标准差也可能改变.
7.(2024八下·浙江期中) 用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于”时,应假设直角三角形中(  )
A.两锐角都大于 B.有一个锐角小于
C.有一个锐角大于 D.两锐角都小于
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解:用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于”时,应假设直角三角形中两锐角都大于,
故答案为:A.
【分析】根据反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,反面成立解答.
8.(2024八下·浙江期中)一个六边形如图所示.已知.若,则的值为(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】平行线的性质;多边形内角与外角
【解析】【解答】解:如图,连接,
,,
,,

即,
同理,,,


,,

故答案为:A.
【分析】连接BE,由二直线平行,内错角相等得∠1=∠2,∠3=∠4,将两个等式相加得∠1+∠4=∠2+∠3,即∠DEF=∠ABC,同理∠A=∠D,∠C=∠F,根据多边形内角公式可算出该六边形的内角和为720°,根据多边形的各个内角之和等于720°,即可得出∠A+∠C+∠DEF=360°,然后再代入∠A、∠C的度数即可算出∠DEF的度数.
9.(2024八下·浙江期中)为了测一个矿井的深度,将一块石头从井口丢下去,6.5秒后听到它落地的声音,已知音速为330米/秒,石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为(g为10米秒).若设石头从井口落到并底用了x秒,则可列方程为(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解:根据题意得,.
故答案为:C.
【分析】石头从井口落到井底的距离为5x2米,声音从井底传回所用时间为(6.5-x)秒,则声音从井底传回的距离为330(6.5-x)米,根据井的深度不变列出方程即可.
10.(2024八下·浙江期中)如图,在中,,若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到,分别取边的中点,则线段的长可能是(  )
A.6 B.7 C.2 D.3
【答案】D
【知识点】三角形三边关系;平移的性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:如图,取的中点,连接,
由平移的性质可知:,
点Q是的中点,点是的中点,
是的中位线,

在中,


线段的长可能是3,
故答案为:D.
【分析】 取的中点,连接,根据平移的性质得到的长度及的长度 ,根据三角形中位线定理求出,再根据三角形的三边关系计算即可.
11.(2024八下·浙江期中)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是   .
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:∵二次根式有意义,
∴x+2≥0,
∴x≥-2;
故答案为:x≥-2.
【分析】二次根式有意义,被开方数是非负数,列不等式x+2≥0,解出即可.
12.(2024八下·浙江期中)若关于x的方程 有一个根是1,则    .
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解:把x=1代入方程 得1+a-2=0,
解得a=1.
故答案是:1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义,把x=1代入方程得到关于a的一次方程,然后解此一次方程即可.
13.(2024八下·浙江期中)水果超市卖一批散装草莓,草莓大小不一,某顾客从中选购了部分大小均匀的草莓.设原有草莓质量(单位:g)的方差为,该顾客选购的草莓质量的方差为,则   (填“>”、“=”或“<”号)
【答案】>
【知识点】方差
【解析】【解答】选购后草莓大小波动比原来小,方差小;
故答案为:>.
【分析】方差表示数据的波动,波动越大,方差越大,原来的草莓个头相差较大,因此方差大.
14.(2024八下·浙江期中)如图,在中,对角线与交于点的平分线与交于点F,点E是的中点,连接,若,则长为   .
【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定;平行四边形的性质;角平分线的概念;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,
∴,,O是AC的中点,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵E是AF的中点,O是AC的中点,
∴EO是△AFC的中位线,
∴,
故答案为:1.
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC,AD=BC=5,点O是AC的中点,由二直线平行,内错角相等得,再由角平分线及等量代换得,根据等角对等边得出AB=BF=3,由线段的和差求出CF=2,最后根据三角形的中位线等于第三边的一半可求出OE的长.
15.(2024八下·浙江期中)古巴比伦挖掘出的泥版中,记载着一元二次方程正数解的几何解法.以为例说明,如图1,构造一个边长为x的正方形,加上一个长为x宽为10的长方形;再将右边的长方形剪成2个宽为5的长方形,拼成边长为的大正方形,如图2所示,则大正方形的面积为,即可求得.小明用此几何法解关于x的方程,若假设图1中正方形的面积为81,图2中大正方形的面积为144,则   ,   .
【答案】;
【知识点】多项式乘多项式;正方形的性质;数形结合
【解析】【解答】解:由图1中正方形的边长为x,面积为81,
∴,
图2中正方形的边长为,面积为144,
∴,
∴,
∴,
故答案为:6;135.
【分析】根据古巴比伦的几何解法需要构造一个边长为x的正方形加上一个长为x宽为p的长方形,然后将右边的长方形剪成两个宽为的长方形,拼成一个边长为x+的正方形;根据图1的面积算出x=9,根据图2的面积求出x+=12,求解得出p,然后代入即可计算出q.
16.(2024八下·浙江期中)在中,当,点E是边上的中点,点F为上一点,连接,作交的边于点G.
(1)如图1,若G点在边上,,则的面积是   .
(2)如图2,若G点在边上,,则的面积是   .
【答案】;10
【知识点】勾股定理;平行四边形的性质;矩形的判定与性质;等腰直角三角形
【解析】【解答】解:(1)∵,,
∴,
过点F作于K,
∴,
∵,
∴,
∵,点E是边上的中点,
∴,
∴,
∴,,
∵,
∴,
过点G作,
∴为等腰直角三角形,
∴,
过点A作于点M,则,
∵,
∴,
∴,
∴的面积为:;
故答案为:;
(2)过点F作于K,延长交的延长线于点,过点作,延长交的延长线于点,过点作,
由(1)得,,,
∴,
∴,
,,


四边形为矩形,

设,则,









可得方程,
解得,


∴的面积为:.
故答案为:10.
【分析】(1)根据平行四边形的对角相等得出,过点F作于K,易得△KDF是等腰直角三角形,由勾股定理得DK=KF=2,由平行四边形对边相等、中点定义及线段和差可得EK=2,则△EFK是等腰直角三角形,再由勾股定理算出EF的长;进而推出△GLE与△ABM为等腰直角三角形,由勾股定理得;过点A作于点M,由平行线间的距离相等及等腰直角三角形性质得,继续利用勾股定理得出,即可求解;
(2)过点F作于K,延长交的延长线于点,过点作,延长交的延长线于点,过点作,结合(1)中方法得出,,,,设,通过计算可得,再由勾股定理列方程可求得x,即可求解.
17.(2024八下·浙江期中) 计算:
(1);
(2)
【答案】(1)解:原式
(2)解:原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先将各二次根式化简,再合并;
(2)利用平方差公式计算即可.
18.(2024八下·浙江期中)甲、乙两位同学解方程的过程如下框:
甲: 两边同除以得: 则 (  ) 乙: 移项得 提公因式 则或 (  )
你认为他们的解法是否正确?若正确请在括号内打“√”,若错误打“×”,并写出你的解答过程.
【答案】解:根据题意得:
甲: 两边同除以得: 则 (×) 乙: 移项得 提公因式 则或 (×)
解:
或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】甲同学在方程两边同时乘以(x-2),当x=2时,x-2=0,就相当于在方程两边同时除以了“0”,这违背了等式性质,从而出现了错误;乙同学在提取公因式后,剩下的商式写在一起的时候,没有注意到符号的问题,故出错了;观察方程的左右两边都含有因式(x-2),故将方程右边整体移到方程的左边,从而利用提取公因式法将方程的左边分解因式,根据两个因式的乘积等于零,则至少有一个因式为零,据此将方程降次为两个一元一次方程,解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
19.(2024八下·浙江期中)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1.每个小正方形的顶点叫做格点,以格点为顶点按下列要求画图.
(1)画以点O为对称中心,为顶点的;
(2)的周长为__________.
【答案】(1)解:如图所示平行四边形ABCD即为所求;
(2)
【知识点】勾股定理;平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】(2)根据网格及勾股定理得:,

∴的周长为:,
故答案为:.
【分析】(1)利用方格纸的特点,连接AO并延长至点C,使OC=OA,连接BO并延长至点D,使OD=OB,然后再顺次连接A、B、C、D,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得平行四边形ABCD;
(2)利用网格特点及勾股定理求出边长,然后求解即可.
(1)解:如图所示即为所求;
(2)根据网格及勾股定理得:,

∴的周长为:,
故答案为:.
20.(2024八下·浙江期中)为了过个有意义的寒假,某校组织学生开展“读书气自华”的主题阅读活动.新学期开学,学生会随机调查了40名学生寒假阅读时间(单位:小时)的样本数据,结果统计如下:
寒假阅读时间(小时) 10 11 12 13 14
人数 5 15 10 5 5
(1)求出上述阅读时间样本数据的众数、中位数及平均数;
(2)若该校学生人数为720人,请估计寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为多少人.
【答案】(1)解:阅读时间出现次数最多的是11小时,共出现15次,因此众数是11小时,
将调查的40名学生课外阅读时间从小到大排列,处在中间位置的是第20和21个数,对应为11小时和12小时,因此中位数是小时,
这40人的平均数为:(小时),
答:众数:; 中位数:;平均数:.
(2)解:(人)
答:寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为360人.
【知识点】平均数及其计算;中位数;众数;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)平均数是指一组数据之和,除以这组数的个数;众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做众数,(众数可能有多个);中位数:将一组数据按从小到大(或者从大到小)的顺序排列后,如果数据的个数是奇数个时,则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数个时,则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数,据此求解即可;
(2)用该校学生的总人数乘以样本中课外阅读时间达到12小时及以上的学生所占的百分比,即可估计该校学生课外阅读时间达到12小时及以上的学生人数.
(1)解:阅读时间出现次数最多的是11小时,共出现15次,因此众数是11小时,
将调查的40名学生课外阅读时间从小到大排列,处在中间位置的是第20和21个数,对应为11小时和12小时,因此中位数是小时,
这40人的平均数为:(小时),
答:众数:; 中位数:;平均数:.
(2)(人)
答:寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为360人.
21.(2024八下·浙江期中)如图,在中,分别平分和,交于点E、F.
(1)求证:;
(2)过点E作于点G,若的周长为,求的面积.
【答案】(1)证明:∵四边形是平行四边形,

∴∠BAE=∠DCF,
分别平分和,




(2)解:过点E作于点P,
∵分别平分和,
∴,
的周长为36,


【知识点】平行四边形的性质;三角形全等的判定-ASA;角平分线的概念
【解析】【分析】(1)由平行四边形性质得,由二直线平行,内错角相等得∠BAE=∠DCF,再根据角平分线的定义可得,从而利用AS可证△ABE≌△CDF,由全等三角形的对应边相等即可得证;
(2)过点E作于点P,根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得,由平行四边形的对边相等及周长计算公式得,再根据三角形面积计算公式,利用求解即可.
(1)证明:∵四边形是平行四边形,

分别平分和,




(2)解:过点E作于点P,
∵分别平分和,
∴,
的周长为36,


22.(2024八下·浙江期中)随着电池技术的创新和国家政策的支持,新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇.某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了.由于新能源汽车销量的逐年上升,公司仅有的2个工厂无法满足市场需求.公司决定加建工厂,经调研发现,受公司各方资源因素影响,一个工厂的最大产能是6万辆/季度,若每增加1个工厂,每个工厂的最大产能将减少万辆/季度.
(1)求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率;
(2)现该企业要保证每季度生产汽车27万辆,在增加产能同时又要节省投入成本的条件下,应该再增加几个工厂?
【答案】(1)解:设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x;
由题意得:
解得:(舍),,
答: 该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%;
(2)解:设应该再增加m个工厂,
(舍),
答:应该再增加3个工厂.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题;一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x,根据“从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了”列一元二次方程求解;
(2)设应该再增加m个工厂,根据“每季度生产汽车27万辆”,列出一元二次方程求解.
(1)解:设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x;
解得:(舍),,
(2)解:设应该再增加m个工厂,
(舍),
答:应该再增加3个工厂.
23.(2024八下·浙江期中)小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)》一节内容后,对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣,决定一探究竟.下面是他收集的素材,汇总如下,请根据素材帮助他完成相应任务:
探究一元三次方程根与系数的关系
素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程,它的一般形式为(为常数,且).
素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为(为实数),即原方程化为:,则得方程的根为.
素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根,则方程可化为,即,与原方程系数进行比较,可得根与系数的等量关系为:.
问题解决
任务 感受新知 若关于x的三次方程(为常数)的左边可分解为,则方程的三个根分别为__________,__________,__________.
任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为,请探究与系数之间的等量关系.
任务 应用新知 利用上一任务的结论解决:若方程的三个根为,求的值.
【答案】解:任务1:,,;
任务:由题意可知,原方程可化为:,
展开整理得:,
与原方程比较可得,,;
任务:利用上题结论可知:,,

【知识点】因式分解法解一元二次方程;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:任务:∵,且a≠0,
∴或或,

故答案为:,,;
【分析】任务:根据几个因式的乘积等于零,则这几个因式中至少有一个为零,可将方程降次为三个一元一次方程,解三个一元一次方程即可求出原方程的解;
任务:将方程改写成几个一次因式积的形式,展开后进行对比即可解决问题;
任务:利用任务2的结论,将待求式子利用异分母分式加法法则计算后,整体代入计算可得答案.
24.(2024八下·浙江期中)如图,在中,点E是边上一点,将沿折叠后,点B的对应点为点F.
(1)如图1,连接,若点F恰好落在边上.
①求证:;
②求的长;
(2)如图2,连接,若,求的长.
【答案】(1)解:①由折叠得

②由①知,
过点D作延长线于点H,则∠H=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB=8,AB∥CD,
∴∠B=∠DCH=60°,
∴∠CDH=30°,
在中,,
在中,,


(2)解:延长交的延长线于点G,过点G作于点H,过点D作于点K.
易得四边形为平行四边形,四边形KHDG是矩形,
∴设,则,
由(1)知,

在中,,
同(1)中方法得,

【知识点】等腰三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的判定与性质;矩形的判定与性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【分析】(1)①由折叠性质得,由平行四边形的对边平行得AD∥BC,由二直线平行,内错角相等得∠DAE=∠1,则可得∠2=∠DAE,从而由等角对等边可得结论;
②过点D作DH⊥BC延长线于点H,由平行四边形性质得DC=AB=8,AB∥CD,由二直线平行,同位角相等得∠B=∠DCH=60°,则∠CDH=30°,利用含30度角的直角三角形的性质求出CH、DH,然后利用勾股定理算出EH,最后根据线段和差求解即可;
(2)延长EF交AD的延长线于点G,过点G作于点H,过点D作于点K,由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形BEGD是平行四边形,由平行四边形的对边相等,设,由三个角是直角的四边形是矩形得四边形HKDG是矩形,由矩形对边相等得HK=DG=x,由线段和差算出EH=17,根据勾股定理算出GE,由(1)的方法得AG得长,进而即可算出BE的长.
(1)解:①由折叠得

②由①知,
过点D作延长线于点H,

在中,,
在中,,

(2)延长交的延长线于点G,
过点G作于点H,过点D作于点K.
根据题意得四边形为平行四边形,
∴设,则,
由(1)知,

在中,,
同(1)中方法得,

1 / 1浙江省初中名校发展共同体2023-2024学年八年级下学期4月期中数学试题
1.(2024八下·浙江期中)下列有关亚运会的四个图案中,是中心对称图形的是(  )
A. B.
C. D.
2.(2024八下·浙江期中)下列各式中计算正确的是(  )
A. B. C. D.
3.(2024八下·浙江期中)如图,在中,,则的度数为(  )
A. B. C. D.
4.(2024八下·浙江期中)一元二次方程配方后可化为(  )
A. B. C. D.
5.(2024八下·浙江期中)如图,在四边形中,,添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是(  )
A. B. C. D.
6.(2024八下·浙江期中)在元旦节目汇演比赛中,7位评委给某节目打分,得到互不相等的7个分值,同时去掉一个最高分和一个最低分,则以下四种统计量中一定不会发生改变的是(  )
A.平均数 B.中位数 C.方差 D.标准差
7.(2024八下·浙江期中) 用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于”时,应假设直角三角形中(  )
A.两锐角都大于 B.有一个锐角小于
C.有一个锐角大于 D.两锐角都小于
8.(2024八下·浙江期中)一个六边形如图所示.已知.若,则的值为(  )
A. B. C. D.
9.(2024八下·浙江期中)为了测一个矿井的深度,将一块石头从井口丢下去,6.5秒后听到它落地的声音,已知音速为330米/秒,石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为(g为10米秒).若设石头从井口落到并底用了x秒,则可列方程为(  )
A. B.
C. D.
10.(2024八下·浙江期中)如图,在中,,若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到,分别取边的中点,则线段的长可能是(  )
A.6 B.7 C.2 D.3
11.(2024八下·浙江期中)若在实数范围内有意义,则实数x的取值范围是   .
12.(2024八下·浙江期中)若关于x的方程 有一个根是1,则    .
13.(2024八下·浙江期中)水果超市卖一批散装草莓,草莓大小不一,某顾客从中选购了部分大小均匀的草莓.设原有草莓质量(单位:g)的方差为,该顾客选购的草莓质量的方差为,则   (填“>”、“=”或“<”号)
14.(2024八下·浙江期中)如图,在中,对角线与交于点的平分线与交于点F,点E是的中点,连接,若,则长为   .
15.(2024八下·浙江期中)古巴比伦挖掘出的泥版中,记载着一元二次方程正数解的几何解法.以为例说明,如图1,构造一个边长为x的正方形,加上一个长为x宽为10的长方形;再将右边的长方形剪成2个宽为5的长方形,拼成边长为的大正方形,如图2所示,则大正方形的面积为,即可求得.小明用此几何法解关于x的方程,若假设图1中正方形的面积为81,图2中大正方形的面积为144,则   ,   .
16.(2024八下·浙江期中)在中,当,点E是边上的中点,点F为上一点,连接,作交的边于点G.
(1)如图1,若G点在边上,,则的面积是   .
(2)如图2,若G点在边上,,则的面积是   .
17.(2024八下·浙江期中) 计算:
(1);
(2)
18.(2024八下·浙江期中)甲、乙两位同学解方程的过程如下框:
甲: 两边同除以得: 则 (  ) 乙: 移项得 提公因式 则或 (  )
你认为他们的解法是否正确?若正确请在括号内打“√”,若错误打“×”,并写出你的解答过程.
19.(2024八下·浙江期中)如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1.每个小正方形的顶点叫做格点,以格点为顶点按下列要求画图.
(1)画以点O为对称中心,为顶点的;
(2)的周长为__________.
20.(2024八下·浙江期中)为了过个有意义的寒假,某校组织学生开展“读书气自华”的主题阅读活动.新学期开学,学生会随机调查了40名学生寒假阅读时间(单位:小时)的样本数据,结果统计如下:
寒假阅读时间(小时) 10 11 12 13 14
人数 5 15 10 5 5
(1)求出上述阅读时间样本数据的众数、中位数及平均数;
(2)若该校学生人数为720人,请估计寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为多少人.
21.(2024八下·浙江期中)如图,在中,分别平分和,交于点E、F.
(1)求证:;
(2)过点E作于点G,若的周长为,求的面积.
22.(2024八下·浙江期中)随着电池技术的创新和国家政策的支持,新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇.某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了.由于新能源汽车销量的逐年上升,公司仅有的2个工厂无法满足市场需求.公司决定加建工厂,经调研发现,受公司各方资源因素影响,一个工厂的最大产能是6万辆/季度,若每增加1个工厂,每个工厂的最大产能将减少万辆/季度.
(1)求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率;
(2)现该企业要保证每季度生产汽车27万辆,在增加产能同时又要节省投入成本的条件下,应该再增加几个工厂?
23.(2024八下·浙江期中)小华在学完了八下教材《一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)》一节内容后,对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣,决定一探究竟.下面是他收集的素材,汇总如下,请根据素材帮助他完成相应任务:
探究一元三次方程根与系数的关系
素材 一元三次方程的定义 我们把两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是3次的方程叫做一元三次方程,它的一般形式为(为常数,且).
素材 一元三次方程的解法 若一元三次方程的左边在实数范围内可因式分解为(为实数),即原方程化为:,则得方程的根为.
素材 一元二次方程根与系数的关系的探究过程 设一元二次方程有两个根,则方程可化为,即,与原方程系数进行比较,可得根与系数的等量关系为:.
问题解决
任务 感受新知 若关于x的三次方程(为常数)的左边可分解为,则方程的三个根分别为__________,__________,__________.
任务 探索新知 若关于x的三次方程的三个根为,请探究与系数之间的等量关系.
任务 应用新知 利用上一任务的结论解决:若方程的三个根为,求的值.
24.(2024八下·浙江期中)如图,在中,点E是边上一点,将沿折叠后,点B的对应点为点F.
(1)如图1,连接,若点F恰好落在边上.
①求证:;
②求的长;
(2)如图2,连接,若,求的长.
答案解析部分
1.【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解:A、此选项中的图形不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
B、此选项中的图形不是中心对称图形,故此选项不符合题意;
C、此选项中的图形是中心对称图形,故此选项符合题意;
D、此选项中的图形不是中心对称图形,故此选项不符合题意.
故答案为:C.
【分析】把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心,据此逐一判断得出答案.
2.【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法;二次根式的加减法
【解析】【解答】解:A、,A错误;
B、,B错误;
C、,C错误;
D、,D正确.
故答案为:D.
【分析】被开方数不相同的两个二次根式不能合并,A、B错误;两个二次根式相乘除,把被开方数相乘除,C错误,D正确.
3.【答案】A
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解:四边形是平行四边形,
∴AD∥BC,∠A=∠C,




故答案为:A.
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC,∠A=∠C,由二直线平行,同旁内角互补得∠A+∠B=180°,结合已知可求出∠B的度数,进而即可求出答案.
4.【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解:∵,
∴,
故答案为:B.
【分析】加一个4可凑成完全平方式,再减去一个4,变形后即可得到答案.
5.【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解:A.∵,,
∴四边形是平行四边形,此选项不符合题意;
B.∵,,
∴四边形是平行四边形,此选项不符合题意;
C.∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴四边形是平行四边形,此选项不符合题意;
D.∵,,
∴四边形可能是平行四边形,也可能是等腰梯形,此选项符合题意.
故答案为:D.
【分析】A、由题意,根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判断求解;
B、由题意,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解;
C、由题意,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判断求解;
D、一组对边平行、另一组对边相等的四边形可以是平行四边形,也可以是等腰梯形.
6.【答案】B
【知识点】平均数及其计算;中位数;常用统计量的选择;众数;标准差
【解析】【解答】解、将分数从低到高排列,去掉最高分和最低分后处在中间的分数不变,因此中位数不变;
故答案为:B.
【分析】A、平均数大小与数据的个数和大小都有关系,少了最大和最小值可能会改变;B、中位数是指按顺序排列后中间的数据,最大和最小值去掉后不影响中间数据的位置,中位数不变;CD、方差与标准差大小跟平均数大小有关,平均数变了,方差与标准差也可能改变.
7.【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解:用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于”时,应假设直角三角形中两锐角都大于,
故答案为:A.
【分析】根据反证法的步骤中,第一步是假设结论不成立,反面成立解答.
8.【答案】A
【知识点】平行线的性质;多边形内角与外角
【解析】【解答】解:如图,连接,
,,
,,

即,
同理,,,


,,

故答案为:A.
【分析】连接BE,由二直线平行,内错角相等得∠1=∠2,∠3=∠4,将两个等式相加得∠1+∠4=∠2+∠3,即∠DEF=∠ABC,同理∠A=∠D,∠C=∠F,根据多边形内角公式可算出该六边形的内角和为720°,根据多边形的各个内角之和等于720°,即可得出∠A+∠C+∠DEF=360°,然后再代入∠A、∠C的度数即可算出∠DEF的度数.
9.【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解:根据题意得,.
故答案为:C.
【分析】石头从井口落到井底的距离为5x2米,声音从井底传回所用时间为(6.5-x)秒,则声音从井底传回的距离为330(6.5-x)米,根据井的深度不变列出方程即可.
10.【答案】D
【知识点】三角形三边关系;平移的性质;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:如图,取的中点,连接,
由平移的性质可知:,
点Q是的中点,点是的中点,
是的中位线,

在中,


线段的长可能是3,
故答案为:D.
【分析】 取的中点,连接,根据平移的性质得到的长度及的长度 ,根据三角形中位线定理求出,再根据三角形的三边关系计算即可.
11.【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解:∵二次根式有意义,
∴x+2≥0,
∴x≥-2;
故答案为:x≥-2.
【分析】二次根式有意义,被开方数是非负数,列不等式x+2≥0,解出即可.
12.【答案】1
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解:把x=1代入方程 得1+a-2=0,
解得a=1.
故答案是:1.
【分析】根据一元二次方程的解的定义,把x=1代入方程得到关于a的一次方程,然后解此一次方程即可.
13.【答案】>
【知识点】方差
【解析】【解答】选购后草莓大小波动比原来小,方差小;
故答案为:>.
【分析】方差表示数据的波动,波动越大,方差越大,原来的草莓个头相差较大,因此方差大.
14.【答案】1
【知识点】等腰三角形的判定;平行四边形的性质;角平分线的概念;三角形的中位线定理
【解析】【解答】解:∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,
∴,,O是AC的中点,
∴,
∵平分,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵E是AF的中点,O是AC的中点,
∴EO是△AFC的中位线,
∴,
故答案为:1.
【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC,AD=BC=5,点O是AC的中点,由二直线平行,内错角相等得,再由角平分线及等量代换得,根据等角对等边得出AB=BF=3,由线段的和差求出CF=2,最后根据三角形的中位线等于第三边的一半可求出OE的长.
15.【答案】;
【知识点】多项式乘多项式;正方形的性质;数形结合
【解析】【解答】解:由图1中正方形的边长为x,面积为81,
∴,
图2中正方形的边长为,面积为144,
∴,
∴,
∴,
故答案为:6;135.
【分析】根据古巴比伦的几何解法需要构造一个边长为x的正方形加上一个长为x宽为p的长方形,然后将右边的长方形剪成两个宽为的长方形,拼成一个边长为x+的正方形;根据图1的面积算出x=9,根据图2的面积求出x+=12,求解得出p,然后代入即可计算出q.
16.【答案】;10
【知识点】勾股定理;平行四边形的性质;矩形的判定与性质;等腰直角三角形
【解析】【解答】解:(1)∵,,
∴,
过点F作于K,
∴,
∵,
∴,
∵,点E是边上的中点,
∴,
∴,
∴,,
∵,
∴,
过点G作,
∴为等腰直角三角形,
∴,
过点A作于点M,则,
∵,
∴,
∴,
∴的面积为:;
故答案为:;
(2)过点F作于K,延长交的延长线于点,过点作,延长交的延长线于点,过点作,
由(1)得,,,
∴,
∴,
,,


四边形为矩形,

设,则,









可得方程,
解得,


∴的面积为:.
故答案为:10.
【分析】(1)根据平行四边形的对角相等得出,过点F作于K,易得△KDF是等腰直角三角形,由勾股定理得DK=KF=2,由平行四边形对边相等、中点定义及线段和差可得EK=2,则△EFK是等腰直角三角形,再由勾股定理算出EF的长;进而推出△GLE与△ABM为等腰直角三角形,由勾股定理得;过点A作于点M,由平行线间的距离相等及等腰直角三角形性质得,继续利用勾股定理得出,即可求解;
(2)过点F作于K,延长交的延长线于点,过点作,延长交的延长线于点,过点作,结合(1)中方法得出,,,,设,通过计算可得,再由勾股定理列方程可求得x,即可求解.
17.【答案】(1)解:原式
(2)解:原式
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)先将各二次根式化简,再合并;
(2)利用平方差公式计算即可.
18.【答案】解:根据题意得:
甲: 两边同除以得: 则 (×) 乙: 移项得 提公因式 则或 (×)
解:
或.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】甲同学在方程两边同时乘以(x-2),当x=2时,x-2=0,就相当于在方程两边同时除以了“0”,这违背了等式性质,从而出现了错误;乙同学在提取公因式后,剩下的商式写在一起的时候,没有注意到符号的问题,故出错了;观察方程的左右两边都含有因式(x-2),故将方程右边整体移到方程的左边,从而利用提取公因式法将方程的左边分解因式,根据两个因式的乘积等于零,则至少有一个因式为零,据此将方程降次为两个一元一次方程,解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
19.【答案】(1)解:如图所示平行四边形ABCD即为所求;
(2)
【知识点】勾股定理;平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】(2)根据网格及勾股定理得:,

∴的周长为:,
故答案为:.
【分析】(1)利用方格纸的特点,连接AO并延长至点C,使OC=OA,连接BO并延长至点D,使OD=OB,然后再顺次连接A、B、C、D,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得平行四边形ABCD;
(2)利用网格特点及勾股定理求出边长,然后求解即可.
(1)解:如图所示即为所求;
(2)根据网格及勾股定理得:,

∴的周长为:,
故答案为:.
20.【答案】(1)解:阅读时间出现次数最多的是11小时,共出现15次,因此众数是11小时,
将调查的40名学生课外阅读时间从小到大排列,处在中间位置的是第20和21个数,对应为11小时和12小时,因此中位数是小时,
这40人的平均数为:(小时),
答:众数:; 中位数:;平均数:.
(2)解:(人)
答:寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为360人.
【知识点】平均数及其计算;中位数;众数;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)平均数是指一组数据之和,除以这组数的个数;众数:在一组数据中,出现次数最多的数据叫做众数,(众数可能有多个);中位数:将一组数据按从小到大(或者从大到小)的顺序排列后,如果数据的个数是奇数个时,则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数个时,则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数,据此求解即可;
(2)用该校学生的总人数乘以样本中课外阅读时间达到12小时及以上的学生所占的百分比,即可估计该校学生课外阅读时间达到12小时及以上的学生人数.
(1)解:阅读时间出现次数最多的是11小时,共出现15次,因此众数是11小时,
将调查的40名学生课外阅读时间从小到大排列,处在中间位置的是第20和21个数,对应为11小时和12小时,因此中位数是小时,
这40人的平均数为:(小时),
答:众数:; 中位数:;平均数:.
(2)(人)
答:寒假阅读时间达到12小时及以上的学生人数约为360人.
21.【答案】(1)证明:∵四边形是平行四边形,

∴∠BAE=∠DCF,
分别平分和,




(2)解:过点E作于点P,
∵分别平分和,
∴,
的周长为36,


【知识点】平行四边形的性质;三角形全等的判定-ASA;角平分线的概念
【解析】【分析】(1)由平行四边形性质得,由二直线平行,内错角相等得∠BAE=∠DCF,再根据角平分线的定义可得,从而利用AS可证△ABE≌△CDF,由全等三角形的对应边相等即可得证;
(2)过点E作于点P,根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得,由平行四边形的对边相等及周长计算公式得,再根据三角形面积计算公式,利用求解即可.
(1)证明:∵四边形是平行四边形,

分别平分和,




(2)解:过点E作于点P,
∵分别平分和,
∴,
的周长为36,


22.【答案】(1)解:设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x;
由题意得:
解得:(舍),,
答: 该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%;
(2)解:设应该再增加m个工厂,
(舍),
答:应该再增加3个工厂.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题;一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x,根据“从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了”列一元二次方程求解;
(2)设应该再增加m个工厂,根据“每季度生产汽车27万辆”,列出一元二次方程求解.
(1)解:设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x;
解得:(舍),,
(2)解:设应该再增加m个工厂,
(舍),
答:应该再增加3个工厂.
23.【答案】解:任务1:,,;
任务:由题意可知,原方程可化为:,
展开整理得:,
与原方程比较可得,,;
任务:利用上题结论可知:,,

【知识点】因式分解法解一元二次方程;一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:任务:∵,且a≠0,
∴或或,

故答案为:,,;
【分析】任务:根据几个因式的乘积等于零,则这几个因式中至少有一个为零,可将方程降次为三个一元一次方程,解三个一元一次方程即可求出原方程的解;
任务:将方程改写成几个一次因式积的形式,展开后进行对比即可解决问题;
任务:利用任务2的结论,将待求式子利用异分母分式加法法则计算后,整体代入计算可得答案.
24.【答案】(1)解:①由折叠得

②由①知,
过点D作延长线于点H,则∠H=90°,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB=8,AB∥CD,
∴∠B=∠DCH=60°,
∴∠CDH=30°,
在中,,
在中,,


(2)解:延长交的延长线于点G,过点G作于点H,过点D作于点K.
易得四边形为平行四边形,四边形KHDG是矩形,
∴设,则,
由(1)知,

在中,,
同(1)中方法得,

【知识点】等腰三角形的判定与性质;勾股定理;平行四边形的判定与性质;矩形的判定与性质;翻折变换(折叠问题)
【解析】【分析】(1)①由折叠性质得,由平行四边形的对边平行得AD∥BC,由二直线平行,内错角相等得∠DAE=∠1,则可得∠2=∠DAE,从而由等角对等边可得结论;
②过点D作DH⊥BC延长线于点H,由平行四边形性质得DC=AB=8,AB∥CD,由二直线平行,同位角相等得∠B=∠DCH=60°,则∠CDH=30°,利用含30度角的直角三角形的性质求出CH、DH,然后利用勾股定理算出EH,最后根据线段和差求解即可;
(2)延长EF交AD的延长线于点G,过点G作于点H,过点D作于点K,由两组对边分别平行得四边形是平行四边形得四边形BEGD是平行四边形,由平行四边形的对边相等,设,由三个角是直角的四边形是矩形得四边形HKDG是矩形,由矩形对边相等得HK=DG=x,由线段和差算出EH=17,根据勾股定理算出GE,由(1)的方法得AG得长,进而即可算出BE的长.
(1)解:①由折叠得

②由①知,
过点D作延长线于点H,

在中,,
在中,,

(2)延长交的延长线于点G,
过点G作于点H,过点D作于点K.
根据题意得四边形为平行四边形,
∴设,则,
由(1)知,

在中,,
同(1)中方法得,

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