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浙江省宁波市余姚市2024-2025学年八年级上学期数学期末试卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025八上·余姚期末）以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·余姚期末）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于 轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八上·余姚期末）已知 ，则下列各式中一它成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025八上·余姚期末）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题属于假命题的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八上·余姚期末）如图，已知一次函数 和 的图象交于点 ，则关于 的二元一次方程经 的解是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025八上·余姚期末）如图，若 ，则添加下列一个条件后，仍无法剂定 的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·余姚期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
8．（2025八上·余姚期末）学校组织甲，乙两队顶备共峝团员步行前往距离学校 6 km 的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交道拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发。已知乙队始终以 的速度匀速前进，甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆。甲，乙两队前进的路程 （单位； ）与甲队出发时间 单位：h）的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．乙队比甲队晚出发
B．甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为
C．甲队开始减速时，乙队前进的路程为 1 km
D．甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 后被乙队追上，则他拈队时甲所前迸了
9．（2025八上·余姚期末）若关于 的方程 的解为自然数，且关于 的不等式组 无解，则符合条件的整数 的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
10．（2025八上·余姚期末）如图，已知线段 为 的中点， 是平面内的一个动点，在运动过程中保持 不变，连结 ，将 绕点 逆时针旋转 到 ，连结 ，在点 运动过程中线段 的最大值是（　　）
A． B． C．4 D．
二、填空题（本题共有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11．（2025八上·余姚期末）根据下列数量关系列不等式： 的 5 倍不大于 4 的不等式是　 　。
12．（2025八上·余姚期末）若点 和点 是一次函数 的图象上的两点， 与 的大小关系是： 　 　（填＂＞，＜或 。
13．（2025八上·余姚期末）若等腰三角形的两条边长分别是 6 和 12 ，则它的周长是　 　．
14．（2025八上·余姚期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是　 　．
15．（2025八上·余姚期末）如图，在 中， 于点 于点 ，并且点 是 的中点，的周长是 ，则 的长是　 　。
16．（2025八上·余姚期末）如图，在 中， ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，过点 作 ，垂足为 的平分线与 的延长线相交于点 ，连结 的延长线与 的延长线相交于点 ，将 沿 折叠，在 变化过程中，当点 落在点 的位質时，连接 ．若 的面积为 1，则 的面积为　 　。
三、解答题（第17，18，19题各6分，第20，21题各8分，第22，23题各10分，第24题12分，共66分）
17．（2025八上·余姚期末）学习了＂解一元一次不等式＂后，小慧同学解不烊式 的过程如下：
小慧的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上。
18．（2025八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中， ．
（1）在图中画出 关于 轴的对称图形 ，并写出点 的坐标；
（2）请在 轴，上画出点 的位 ，使得 最短，并直接写出点 的坐标．
19．（2025八上·余姚期末）如图，点 在一条直线上， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的大小．
20．（2025八上·余姚期末）学校计划购进一批笔记本电脑和投影仪，经过市场考察得知，购买1台笔记本电脑和2台投影仪需要3.8万元，购买两台笔记本和一台投影仪需要3.4万元。
（1）求每台笔记本电脑，每台投影仪各多少万元：
（2）根据学校实际，需购进笔记本电脑和投影仪共 30 台，如果总费用不超过 40 万元，那么至少购进笔记本电脑多少台？
21．（2025八上·余姚期末）如图，等腰三角形 中 ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求 的面积．
22．（2025八上·余姚期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故障产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件。设甲组加工时间t（时），甲组加工买件的数量为y甲个。乙组加工数量为y乙个，其函数图象如图所示：
（1）求 乙与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；
（2）求 的值，并说明 的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲，乙两组加工夆件的总数为 480 个．
23．（2025八上·余姚期末）我们规定：在任意 中，在线段 上取 两点 ，使得 ，则称线段 为 的等角线，如图1．
（1）如图2，在 中， 是 的角平分线，点 分别在线段 上（不与端点重合），连结 ，则点 到线段 的距离相等，判断线段 是否为 的答角线，并说明理由。
（2）如图3，在等腰直角三角形 中， ，线 段 是 等角线，且 ，若 求 的长．
24．（2025八上·余姚期末）过等腰Rt 的直角顶点 作直线 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，研究图形，不难发现 ： ．
（1）如图 2，在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，将线段 AC 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，求 点坐标；
（2）如图 3，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴， 轴交于点 ，将直线 绕点 颁时针旋转 得到 ，求 的函数表达式；
（3）如图 4，直线 分别交 轴， 轴于点 ，直线 过点 交 轴于点 ，且 。若点 是直线 上且位于第三象限图象上的一个动点，点 是 轴上的一个动点，当以点 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点 和点 的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；
选项C和选项D，是中心对称图形，不是轴对称图形，错误；
选项B既是轴对称图形也是中心对称图形，正确。
故答案为：B。
【分析】一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，该图形称为中心对称图形；把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，该图形称为轴对称图形。选项中AC都是围绕中心点进行旋转即可重合，因此是中心对称图形，而选项B有四条对称轴，并且围绕中心点进行旋转即可重合，因此是既是轴对称图形也是中心对称图形。
2．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点（3，2）关于 轴对称，∴对应的点坐标是（-3，2）
故答案为：B。
【分析】点关于y轴对称，则该点的横坐标变为相反数，纵坐标不变，即为对称点的坐标；点关于x轴对称，则该点的纵坐标变为相反数，横坐标不变，即为对称点的坐标。
3．【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：选项A，∵ ，∴x-y＞0，错误；
选项B，当m=0时，，错误；
选项C，当x=4、y=2时，，明显，错误；
选项D，∵ ，∴-x＜-y，因此，正确。
故答案为：D。
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等式符号不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等式符号要变化。根据不等式的这些特点即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： 选项A， a=3， b=2。此时a2=9， b2=4，满足a2 ＞b2 ，且a＞b，这组值无法证明命题为假。
选项B， a= 3， b=2。此时a2=9， b2=4，满足a2 ＞b2 ，但a＜b，这组值证明了命题为假。
选项C，a=3， b= 1。此时a2=9， b2=1，满足a2 ＞b2 ，且a＞b，这组值无法证明命题为假。
选项D，a= 1， b=3。此时a2=1， b2=9，不满足a2 ＞b2 ，因此这组值也不能用来证明命题为假。
故答案为：B。
【分析】本题对四个选项逐一进行计算并分析，最后发现选项A和选项C无法证明命题为假，选项D本身就无法得出a2 ＞b2，因此也不能用来证明命题为假，只有选项B只能证明出a2 ＞b2 ，不能得出a＞b，因此可以证明命题为假。
5．【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 和 的图像交于点 ，
∴ 二元一次方程 的解就是M点的坐标，即x=1，y=3.
故答案为：C。
【分析】计算两条直线的交点，即将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组，求解即可。所以将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组求出的解，就是该两条直线的交点坐标。本题从图中即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： 选项A：若∠B=∠C，由于AB=AC，∠A=∠A，可以直接得到△ABE≌△ACD（ASA） 。因此，选项A可以用来证明全等。
选项B：若AE=AD，由于AB=AC，∠A=∠A，可以直接得到△ABE≌△ACD（SAS） 。因此，选项B也可以用来证明全等。
选项C：若BE =CD，这并不直接给出两个三角形中对应边或角相等的信息，无法证明△ABE≌△ACD ，因为缺少必要的对应角或边相等的条件。因此，选项C无法用来直接证明全等。
选项D：若 ，由于AB=AC，∠A=∠A，我们可以直接得到△ABE≌△ACD（AAS）。因此，选项D可以用来证明全等。
故答案为：C。
【分析】 在判定两个三角形全等时，通常可以使用SAS（两边和它们的夹角相等），ASA（两角和它们的夹边相等），AAS（两角和其中一个角的对边相等），以及SSS（三边相等）等方法，而SSA是无法证明两个三角形全等的。
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，点M，
∴，，
∵，
∴的周长为，
故选：A．
【分析】
由垂直平分线的性质得到，，则的周长转化为线段BC的长．
8．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：如图，
A、乙队即为AC所在直线的函数表达式，假设该函数表达式为y乙=k乙x+b乙，∵ 乙队始终以 的速度匀速前进 ，∴k乙=5，将C点（1.5，6）代入，得到6=5×1.5+b，解得b=-1.5，∴乙队的函数表达式为y乙=5x-1.5，当y乙=0时，解得x=0.3，即A点坐标为（0.3，0），意思就是乙队比甲队晚出发 ，故选项A正确；
B、OB段即甲队开始时候的函数表达式，则速度=斜率=3÷0.5=6，而“ 甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半 ”，即BC段函数表达式的斜率就是6÷2=3。设BC段函数表达式为y减速甲=3x+b减速甲，将C点（1.5，6）代入，得到6=3×1.5+b减速甲，解得b减速甲=1.5，∴ 甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为 ，故选项B正确；
C、甲队在0.5h的时候开始减速，此时乙队的前进路程为5×0.5-1.5=1km，故选项C正确；
D、当甲队前进0.25h的时候，此时前进的路程为6×0.25=1.5km，该同学在1.5km的地方等待乙队，此时乙队需要用时列式为1.5=5x-1.5，解得x=0.6h，因此甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 0.6h 后被乙队追上，则他掉队时甲所前迸了0.25h。故选项D错误。
故答案为：D。
【分析】本题根据图象和条件，分别求出乙队的函数表达式和甲队两部分的函数表达式，然后根据四个选项分别代入进行详细的计算，即可找出正确的选项。
9．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵ 关于 的不等式组 无解，不等式组变形得到，∴k＞-1；
变形为，
∵ 方程 的解为自然数 ，
∴9-3k≥0，综合得到 1 当k=0时，
当k=1时，
当k=2时，
当k=3时，
∴只有当k=1、3，满足整数 和方程 的解为自然数的条件。
∴ 符合条件的整数 的值的和为1+3=4.
故答案为：C。
【分析】本题首先求出不等式组中x的取值范围，然后根据“x无解”确定k＞-1；随后将关于x的方程变形，因为方程的解为自然数，而最小的自然数是0，这样就可以进一步确定k的取值范围。最后在k的取值范围内分别计算出k的整数对应的x的值，满足x是整数的值对应的k的值就是“符合条件的整数 的值”，最后求和即可。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，以O点为圆心建立平面直角坐标系，并过C作CD⊥y轴于D点，过P点作PE⊥DC于E点，延长EP交x轴于F点。
∵AB =4， O 为 AB 的中点，∴ A (-2，0)， B (2，0)，
设点 P 的坐标为（ x ， y )，则x2+y2=1，
∵∠EPC +∠BPF =90°，∠EPC + ∠ECP =90°，
∴∠ECP = ∠FPB ，
由旋转的性质可知： PC = PB ，
在△ ECP 和△ FPB 中，
∠ECP = ∠FPB ，∠PEC = ∠PFB ，PC = PB
∴△ ECP≌ △ FPB ( AAS )，
∴EC = PF = y ， FB = EP =2-x，
因此C点坐标为 ( x + y ， y +2-x)，
∵AB =4， O 为 AB 的中点，
∴AC =，
∵x2+y2=1，
∴AC =
∵-1≤ y ≤1，
∴≤ AC ≤3
因此线段 AC 长的最大值是3。
故答案为：B。
【分析】先建立平面直角坐标系，则 A (-2，0)， B (2，0)，设点 P 的坐标为（ x ， y )，利用AAS可证△ ECP≌ △ FPB，从而可得C ( x + y ， y +2-x)，然后利用两点之间的距离计算公式，可得AC =进而可推AC的最大值。
11．【答案】5x≤4
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：∵ 的 5 倍不大于 4 的不等，
∴该不等式是5x≤4。
故答案为：5x≤4。
【分析】“ 的 5 倍 ”即5x，“ 不大于 4 ”即5x小于等于4，列不等式即可。
12．【答案】＞
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：y1=-2×（-3）+3=9，y2=-2×2+3=-1，∴y1＞y2
故答案为：＞。
【分析】本题将P和Q点分别代入一次函数中，求出y1和y2的值之后比较大小即可。
13．【答案】30
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰为6、底为12时，∵6+6=12，不满足三角形三边条件；
当等腰三角形的腰为12、底为6时，满足三角形三边条件，∴周长是12+12+6=30.
故答案为：30。
【分析】三角的三边关系：两边之和大于第三边、两边之和小于第三边。因此本题要分两种情况进行讨论，首先需要满足三角形三边关系，然后计算即可。
14．【答案】6
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线
【解析】【解答】解：延长交于点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：6．
【分析】
延长交于点E，由角平分线的概念结合AP与BP的位置关系可证明，则有，再根据中线等分三角形的面积可得阴影部分面积等于原三角形ABC面积的一半．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵BM⊥AC，∴△BMC和△AMB都是直角三角形，
∵H点事BC中点，∴MH=，
∵N是AB中点，∴MN=，HN=，即MN=HN，
∵的周长是 ，∴MH+HN+MN=，即2MH+2=，解得MH=，
∴AB=，
AH=.
故答案为：。
【分析】本题多次利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求出MH的长度，然后在直角三角形ABH中，利用勾股定理即可求出AH的长度。
16．【答案】2
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵CF 平分∠ACD，∴∠ACF = ∠DCF ，而CA = CD ， CF = CF ，
∴△ ACF≌△ DCF ( SAS )，∴∠A = ∠CDF ，
∵∠ABC=90°，∴∠ A +∠ACB =90°，而 线段 绕点 顾时针旋转 得到线段 ，
∴∠ACB +∠PCD =90°，∴∠PCD =∠CDF ，
∴PC = PD ，
∵将△ BFP 沿 AF 折叠，点 P 落在点 E 的位置，
∴PB = BF ， PE⊥AF ，
∵DE⊥BC ，∴BF // DE ，∴PF = FD ，
设 CE = a ， BC = DE = b ，
因此 BE = BC - CE = b - a ，PE =2BE=2( b -α)，BF =DE =b ，
∴S△CEF =CE · DE =ab =1，
∵∠PED =90°， DE = b ， PE =2( b - a )，PD = PC = PE + CE =2( b - a )+a=2b- a ，
根据勾股定理得到b2+[2( b - a )]2=(2b- a )2，化简得，3a2-4ab+ b2=0
解得b = a 或 b =3a，
∵，∴ b =3a，
此时，得a=，b=，
因此 的面积=，
故答案为：2.
【分析】本题首先证明出△ ACF≌△ DCF，然后根据折叠性质和平行线相纸，综合可以得到PF = FD。随后利用三角形面积公式和勾股定理，即可得出b和a的关系，并进一步求出b和a的值，最后代入计算即可求出的面积。
17．【答案】解： 小慧的解答过程有错误。正确的解答过程如下：
去分母得：
去括号得：
移项，得x-2x＞-4+6
合并同类项，得-x＞2
系数化为1，得x＜-2
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】解一元一次不等式，可以参照解一元一次方程的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤进行计算，需要注意的是，不等式左右两侧同时加上或减去同一个数，不等式中的不等号方向不变；不等式左右两侧同时乘以或者除以同一个正数，不等式中的不等号方向不变；不等式左右两侧同时乘以或者除以同一个负数，不等式中的不等号方向改变。最后解出x＜-2，因为不包含-2这个点，因此在数轴上表示的时候，-2这个点应该是空心。
18．【答案】（1）解：如图，
（2）解：作出点C关于x轴的对称轴点C2，连接BC2交x轴于点P，即点P即为所作，点P的坐标为(-3，0).
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）先找到 关于y轴对称的三个点，即每个点的纵坐标不变，横坐标变为相反数，然后连接三个点即可；
（2）确定点C关于x轴的对称点C2，连接BC2，与x轴交于点P，点P即为所求.
19．【答案】（1）证明：∵BE=CF， 点 在一条直线上
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
∵AB=DE，AC=DF，BC=EF，
∴ （SSS）。
（2）解：根据（1）题的证明结果，
∴∠ACE=∠F，
∵ 点 在一条直线上 ，∴AC∥DF，
∴∠EGC=∠D=45°。
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）题首先证明出BC=EF，此时可以利用两个三角形三边相等的性质定理即可证明两个三角形全等；
（2）题根据（1）题的结论，利用平行线的判定定理“同位角相等、两直线平行”得出AC∥DF，然后利用“两直线平行、同位角相等”即可求出答案。
20．【答案】（1）解：设每台笔记本电脑x万元，每台投影仪y万元。
，解得
∴每台笔记本电脑1万元，每台投影仪1.4万元。
（2）解：设至少购进笔记本电脑n台，则投影仪购进（30-n）台。
n+1.4（30-n）≤40，解得n≥5，
∴至少购进笔记本电脑5台。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）题可以用未知数x和y来表示笔记本电脑的单价和投影仪的单价，然后列出二元一次方程组求解即可；
（2）题可以用未知数n来表示至少购进笔记本的数量，然后列出不等式，求解即可。
21．【答案】（1）解：设AD=xcm，∵是在等腰三角形ABC中，∴AB=AC，
则列示为（x+3）2=x2+42
解得x=
∴AD的长为cm。
（2）解： 的面积 =AB×CD×=（3+）×4×=cm2
∴ 的面积是cm2。
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）题可以放到直角三角形ACD中，因为AB=AC，所以利用勾股定理列式求解即可；
（2）题根据（1）题的结果计算出AB的长度，然后以AB为底、CD为高即可计算出三角形的面积。
22．【答案】（1）解：设 y乙=kt+b，根据图象可以列式
，解得
∴ y乙=120t-600（5≤t≤8）
（2）解：a=120÷3×[8-（4-3）]=280个
a表示第8小时的时候，甲组加工零件的数量是280个。
（3）解：∵ 甲组工人加工中因故障产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，
设甲组在4时到8时的函数关系式为 y甲=k2t+b2，则k2=120÷3=40；当t=4时，y甲=120，代入可得到b2=-40，即
y甲=40t-40（4≤t≤8），
根据（1）题的计算结果y乙=120t-600（5≤t≤8）；
480=40t-40+120t-600（5≤t≤8），解得t=7
∴ 甲组加工t小时的时候，甲，乙两组加工夆件的总数为 480 个。
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）可先假设出y乙的函数关系式，然后将（5，0）、（8，360）代入，联立二元一次方程组求解即可；
（2）因为“ 甲组工人加工中因故障产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工 ”，说明在0-3小时和4-6小时的斜率一样，因此可以先求出斜率是40，然后将中间休息的1小时减去，即总共是7小时的加工零件总量，计算即可；
（3）分别求出甲组在4-8小时的函数关系式和乙组在5-8小时的函数关系式，求和为480，求解t即可。
23．【答案】（1）解：∵ 是 的角平分线 ，∴∠BAD=∠CAD，
∵ 点 到线段 的距离相等 ，∴AD为∠PAQ的平分线，即∠PAD=∠QAD，
∴∠BAD-∠PAD=∠CAD-∠QAD，即∠BAQ=∠CAQ，
根据规定“ 任意 中，在线段 上取 两点 ，使得 ，则称线段 为 的等角线， ”∴ 是 的等角线。
（2）解：
∵线 段 是 等角线，是等腰直角三角形，且，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∠BAP=∠CAQ，因此△BAP≌△CAQ（ASA），∴BP=CQ=，
过A点作AD⊥BC于D点，∵是等腰直角三角形，且 ，
∴D为BC中点且AD平分∠BAC，PD=QD，
∵ 线 段 是 等角线， ，∴∠BAP=∠CAQ=（90°-45°）÷2=22.5°，
∴AD平分∠PAQ，即∠PAD=∠QAD=45°÷2=22.5°，
过P点作PE⊥AB于E点，∵∠BAP=∠PAD=22.5°，PE⊥AB、PD⊥AD，∴AP为∠BAD角平分线，且PE=PD，
设PE=PD=a，
∵∠B=45°，∠BEP=90°，∴BE=PE=a，
此时有BE2+PE2=BP2，即a2+a2=2，解得a=1，
∴PQ=PD+DQ=1+1=2
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）题利用角平分线的逆定理，从点到角两边的距离相等推出AD为∠PAQ的平分线，然后利用等角线的定义即可得出答案；
（2）题利用等腰直角三角形的特点，并利用等角线定理证明出△BAP≌△CAQ，然后计算角度得出∠PAD=∠QAD=∠BAP=∠CAQ=22.5°，此时可以利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”得出PE=PD=a，并利用勾股定理求出a，即可计算出PQ的值。
24．【答案】（1）解：当x=0时， 直线 的y值为y=-1，此时C点坐标为（0，-1）；当y=0时，此时A点的横坐标列式为，解得x=2，因此此时A点的坐标为（2，0）。
∵BC⊥AC，∴BC所在的直线的斜率为-1÷=-2，
因此BC所在的直线为y=-2x-1.
设B点的坐标为（x0，y0），∴y0=-2x0-1，
∵ 将线段 AC 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，∴BC=AC，
，解得x0=±1，
∵B点在第二象限，∴x0=-1，y0=-2x0-1=-2×（-1）-1=1，
因此B点的坐标为（-1，1）。
（2）解：∵ 直线 分别与 轴， 轴交于点 ，∴tan∠ABO=2，且A点坐标为（0，6），
∵ 将直线 绕点 顺时针旋转 得到 ，∴l2对应的直线斜率为tan(∠ABO-45°），
即tan(∠ABO-45°）=，
∴ 的函数表达式为.
（3）解：直线y=2x+2分别交x轴和y轴于A、C两点，∴A（-1，0），C（0，2），
∵∠CBA=45°，∴OB=OC=2，即B（2，0）。
设M(0，m），Q（n，2n+2），
①如图所示，当∠BMQ=90°，即MQ=MB时，此时M在x轴上方，
分别过Q、B点作y轴的平行线QC、HB，过M点作x轴的平行线分别交GQ、HB于点G、H，
∠GQM+∠GMQ=90°，而∠GMQ+∠HMB=90°，∴∠CQM=∠HMB，而∠G=∠H=90°，MQ=MB，
∴△GQM≌△HMB(AAS)，
∴GQ=HM，HB=GM，即，解得，因此点M（0，），点Q（）；
同理当M在x轴下方，即，解得m=n=0（舍去）
②当∠MQB=90°时，即MQ=QB，如图所示，同理可得，解得，∴M（0，-6），Q（-2，-2）；
③当∠QBM=90°时，即MB=QB，如图所示同理可得，解得，∴M（0，4），Q（-2，-2）；
综上可得，M（0，），Q（）；或M（0，-6），Q（-2，-2）；或M（0，4），Q（-2，-2）。
【知识点】旋转的性质；动点问题的函数图象；坐标系中的两点距离公式；正切的概念
【解析】【分析】（1）题首先求出C点和A点的坐标，然后利用垂直对应的斜率，即可求出BC所在直线的关系式，最后利用两点之间的距离公式列式，和B点的象限性质，即可求出B点的坐标；
（2）题利用选择45°的特点和正切值的计算公式，即可求出l2对应的直线的斜率，然后即可列出表达式；
（3）题首先根据条件用m和n来表示M和Q点的坐标，然后分三种情况列式求出m和n的值即可。
1 / 1浙江省宁波市余姚市2024-2025学年八年级上学期数学期末试卷
一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（2025八上·余姚期末）以下是2024年巴黎奥运会体育项目图标，其中属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：选项A，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，错误；
选项C和选项D，是中心对称图形，不是轴对称图形，错误；
选项B既是轴对称图形也是中心对称图形，正确。
故答案为：B。
【分析】一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，该图形称为中心对称图形；把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，该图形称为轴对称图形。选项中AC都是围绕中心点进行旋转即可重合，因此是中心对称图形，而选项B有四条对称轴，并且围绕中心点进行旋转即可重合，因此是既是轴对称图形也是中心对称图形。
2．（2025八上·余姚期末）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于 轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点（3，2）关于 轴对称，∴对应的点坐标是（-3，2）
故答案为：B。
【分析】点关于y轴对称，则该点的横坐标变为相反数，纵坐标不变，即为对称点的坐标；点关于x轴对称，则该点的纵坐标变为相反数，横坐标不变，即为对称点的坐标。
3．（2025八上·余姚期末）已知 ，则下列各式中一它成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：选项A，∵ ，∴x-y＞0，错误；
选项B，当m=0时，，错误；
选项C，当x=4、y=2时，，明显，错误；
选项D，∵ ，∴-x＜-y，因此，正确。
故答案为：D。
【分析】不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等式符号不变；不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等式符号要变化。根据不等式的这些特点即可得出答案。
4．（2025八上·余姚期末）对于命题“若a2＞b2，则a＞b”下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题属于假命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】解： 选项A， a=3， b=2。此时a2=9， b2=4，满足a2 ＞b2 ，且a＞b，这组值无法证明命题为假。
选项B， a= 3， b=2。此时a2=9， b2=4，满足a2 ＞b2 ，但a＜b，这组值证明了命题为假。
选项C，a=3， b= 1。此时a2=9， b2=1，满足a2 ＞b2 ，且a＞b，这组值无法证明命题为假。
选项D，a= 1， b=3。此时a2=1， b2=9，不满足a2 ＞b2 ，因此这组值也不能用来证明命题为假。
故答案为：B。
【分析】本题对四个选项逐一进行计算并分析，最后发现选项A和选项C无法证明命题为假，选项D本身就无法得出a2 ＞b2，因此也不能用来证明命题为假，只有选项B只能证明出a2 ＞b2 ，不能得出a＞b，因此可以证明命题为假。
5．（2025八上·余姚期末）如图，已知一次函数 和 的图象交于点 ，则关于 的二元一次方程经 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 和 的图像交于点 ，
∴ 二元一次方程 的解就是M点的坐标，即x=1，y=3.
故答案为：C。
【分析】计算两条直线的交点，即将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组，求解即可。所以将两条直线对应的一次函数联立为二元一次方程组求出的解，就是该两条直线的交点坐标。本题从图中即可得出答案。
6．（2025八上·余姚期末）如图，若 ，则添加下列一个条件后，仍无法剂定 的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解： 选项A：若∠B=∠C，由于AB=AC，∠A=∠A，可以直接得到△ABE≌△ACD（ASA） 。因此，选项A可以用来证明全等。
选项B：若AE=AD，由于AB=AC，∠A=∠A，可以直接得到△ABE≌△ACD（SAS） 。因此，选项B也可以用来证明全等。
选项C：若BE =CD，这并不直接给出两个三角形中对应边或角相等的信息，无法证明△ABE≌△ACD ，因为缺少必要的对应角或边相等的条件。因此，选项C无法用来直接证明全等。
选项D：若 ，由于AB=AC，∠A=∠A，我们可以直接得到△ABE≌△ACD（AAS）。因此，选项D可以用来证明全等。
故答案为：C。
【分析】 在判定两个三角形全等时，通常可以使用SAS（两边和它们的夹角相等），ASA（两角和它们的夹边相等），AAS（两角和其中一个角的对边相等），以及SSS（三边相等）等方法，而SSA是无法证明两个三角形全等的。
7．（2025八上·余姚期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D，点M，交于点E，交于点F，若，则的周长为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵，的垂直平分线分别交于点D，点M，
∴，，
∵，
∴的周长为，
故选：A．
【分析】
由垂直平分线的性质得到，，则的周长转化为线段BC的长．
8．（2025八上·余姚期末）学校组织甲，乙两队顶备共峝团员步行前往距离学校 6 km 的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交道拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发。已知乙队始终以 的速度匀速前进，甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆。甲，乙两队前进的路程 （单位； ）与甲队出发时间 单位：h）的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．乙队比甲队晚出发
B．甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为
C．甲队开始减速时，乙队前进的路程为 1 km
D．甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 后被乙队追上，则他拈队时甲所前迸了
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：如图，
A、乙队即为AC所在直线的函数表达式，假设该函数表达式为y乙=k乙x+b乙，∵ 乙队始终以 的速度匀速前进 ，∴k乙=5，将C点（1.5，6）代入，得到6=5×1.5+b，解得b=-1.5，∴乙队的函数表达式为y乙=5x-1.5，当y乙=0时，解得x=0.3，即A点坐标为（0.3，0），意思就是乙队比甲队晚出发 ，故选项A正确；
B、OB段即甲队开始时候的函数表达式，则速度=斜率=3÷0.5=6，而“ 甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半 ”，即BC段函数表达式的斜率就是6÷2=3。设BC段函数表达式为y减速甲=3x+b减速甲，将C点（1.5，6）代入，得到6=3×1.5+b减速甲，解得b减速甲=1.5，∴ 甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为 ，故选项B正确；
C、甲队在0.5h的时候开始减速，此时乙队的前进路程为5×0.5-1.5=1km，故选项C正确；
D、当甲队前进0.25h的时候，此时前进的路程为6×0.25=1.5km，该同学在1.5km的地方等待乙队，此时乙队需要用时列式为1.5=5x-1.5，解得x=0.6h，因此甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 0.6h 后被乙队追上，则他掉队时甲所前迸了0.25h。故选项D错误。
故答案为：D。
【分析】本题根据图象和条件，分别求出乙队的函数表达式和甲队两部分的函数表达式，然后根据四个选项分别代入进行详细的计算，即可找出正确的选项。
9．（2025八上·余姚期末）若关于 的方程 的解为自然数，且关于 的不等式组 无解，则符合条件的整数 的值的和为（ ）
A．5 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵ 关于 的不等式组 无解，不等式组变形得到，∴k＞-1；
变形为，
∵ 方程 的解为自然数 ，
∴9-3k≥0，综合得到 1 当k=0时，
当k=1时，
当k=2时，
当k=3时，
∴只有当k=1、3，满足整数 和方程 的解为自然数的条件。
∴ 符合条件的整数 的值的和为1+3=4.
故答案为：C。
【分析】本题首先求出不等式组中x的取值范围，然后根据“x无解”确定k＞-1；随后将关于x的方程变形，因为方程的解为自然数，而最小的自然数是0，这样就可以进一步确定k的取值范围。最后在k的取值范围内分别计算出k的整数对应的x的值，满足x是整数的值对应的k的值就是“符合条件的整数 的值”，最后求和即可。
10．（2025八上·余姚期末）如图，已知线段 为 的中点， 是平面内的一个动点，在运动过程中保持 不变，连结 ，将 绕点 逆时针旋转 到 ，连结 ，在点 运动过程中线段 的最大值是（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，以O点为圆心建立平面直角坐标系，并过C作CD⊥y轴于D点，过P点作PE⊥DC于E点，延长EP交x轴于F点。
∵AB =4， O 为 AB 的中点，∴ A (-2，0)， B (2，0)，
设点 P 的坐标为（ x ， y )，则x2+y2=1，
∵∠EPC +∠BPF =90°，∠EPC + ∠ECP =90°，
∴∠ECP = ∠FPB ，
由旋转的性质可知： PC = PB ，
在△ ECP 和△ FPB 中，
∠ECP = ∠FPB ，∠PEC = ∠PFB ，PC = PB
∴△ ECP≌ △ FPB ( AAS )，
∴EC = PF = y ， FB = EP =2-x，
因此C点坐标为 ( x + y ， y +2-x)，
∵AB =4， O 为 AB 的中点，
∴AC =，
∵x2+y2=1，
∴AC =
∵-1≤ y ≤1，
∴≤ AC ≤3
因此线段 AC 长的最大值是3。
故答案为：B。
【分析】先建立平面直角坐标系，则 A (-2，0)， B (2，0)，设点 P 的坐标为（ x ， y )，利用AAS可证△ ECP≌ △ FPB，从而可得C ( x + y ， y +2-x)，然后利用两点之间的距离计算公式，可得AC =进而可推AC的最大值。
二、填空题（本题共有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11．（2025八上·余姚期末）根据下列数量关系列不等式： 的 5 倍不大于 4 的不等式是　 　。
【答案】5x≤4
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：∵ 的 5 倍不大于 4 的不等，
∴该不等式是5x≤4。
故答案为：5x≤4。
【分析】“ 的 5 倍 ”即5x，“ 不大于 4 ”即5x小于等于4，列不等式即可。
12．（2025八上·余姚期末）若点 和点 是一次函数 的图象上的两点， 与 的大小关系是： 　 　（填＂＞，＜或 。
【答案】＞
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：y1=-2×（-3）+3=9，y2=-2×2+3=-1，∴y1＞y2
故答案为：＞。
【分析】本题将P和Q点分别代入一次函数中，求出y1和y2的值之后比较大小即可。
13．（2025八上·余姚期末）若等腰三角形的两条边长分别是 6 和 12 ，则它的周长是　 　．
【答案】30
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：当等腰三角形的腰为6、底为12时，∵6+6=12，不满足三角形三边条件；
当等腰三角形的腰为12、底为6时，满足三角形三边条件，∴周长是12+12+6=30.
故答案为：30。
【分析】三角的三边关系：两边之和大于第三边、两边之和小于第三边。因此本题要分两种情况进行讨论，首先需要满足三角形三边关系，然后计算即可。
14．（2025八上·余姚期末）如图，已知的面积为12，平分，且于点P，则的面积是　 　．
【答案】6
【知识点】三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系；三角形的中线
【解析】【解答】解：延长交于点E，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：6．
【分析】
延长交于点E，由角平分线的概念结合AP与BP的位置关系可证明，则有，再根据中线等分三角形的面积可得阴影部分面积等于原三角形ABC面积的一半．
15．（2025八上·余姚期末）如图，在 中， 于点 于点 ，并且点 是 的中点，的周长是 ，则 的长是　 　。
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵BM⊥AC，∴△BMC和△AMB都是直角三角形，
∵H点事BC中点，∴MH=，
∵N是AB中点，∴MN=，HN=，即MN=HN，
∵的周长是 ，∴MH+HN+MN=，即2MH+2=，解得MH=，
∴AB=，
AH=.
故答案为：。
【分析】本题多次利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求出MH的长度，然后在直角三角形ABH中，利用勾股定理即可求出AH的长度。
16．（2025八上·余姚期末）如图，在 中， ．将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，过点 作 ，垂足为 的平分线与 的延长线相交于点 ，连结 的延长线与 的延长线相交于点 ，将 沿 折叠，在 变化过程中，当点 落在点 的位質时，连接 ．若 的面积为 1，则 的面积为　 　。
【答案】2
【知识点】三角形的面积；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：∵CF 平分∠ACD，∴∠ACF = ∠DCF ，而CA = CD ， CF = CF ，
∴△ ACF≌△ DCF ( SAS )，∴∠A = ∠CDF ，
∵∠ABC=90°，∴∠ A +∠ACB =90°，而 线段 绕点 顾时针旋转 得到线段 ，
∴∠ACB +∠PCD =90°，∴∠PCD =∠CDF ，
∴PC = PD ，
∵将△ BFP 沿 AF 折叠，点 P 落在点 E 的位置，
∴PB = BF ， PE⊥AF ，
∵DE⊥BC ，∴BF // DE ，∴PF = FD ，
设 CE = a ， BC = DE = b ，
因此 BE = BC - CE = b - a ，PE =2BE=2( b -α)，BF =DE =b ，
∴S△CEF =CE · DE =ab =1，
∵∠PED =90°， DE = b ， PE =2( b - a )，PD = PC = PE + CE =2( b - a )+a=2b- a ，
根据勾股定理得到b2+[2( b - a )]2=(2b- a )2，化简得，3a2-4ab+ b2=0
解得b = a 或 b =3a，
∵，∴ b =3a，
此时，得a=，b=，
因此 的面积=，
故答案为：2.
【分析】本题首先证明出△ ACF≌△ DCF，然后根据折叠性质和平行线相纸，综合可以得到PF = FD。随后利用三角形面积公式和勾股定理，即可得出b和a的关系，并进一步求出b和a的值，最后代入计算即可求出的面积。
三、解答题（第17，18，19题各6分，第20，21题各8分，第22，23题各10分，第24题12分，共66分）
17．（2025八上·余姚期末）学习了＂解一元一次不等式＂后，小慧同学解不烊式 的过程如下：
小慧的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程，并把解表示在数轴上。
【答案】解： 小慧的解答过程有错误。正确的解答过程如下：
去分母得：
去括号得：
移项，得x-2x＞-4+6
合并同类项，得-x＞2
系数化为1，得x＜-2
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】解一元一次不等式，可以参照解一元一次方程的步骤“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤进行计算，需要注意的是，不等式左右两侧同时加上或减去同一个数，不等式中的不等号方向不变；不等式左右两侧同时乘以或者除以同一个正数，不等式中的不等号方向不变；不等式左右两侧同时乘以或者除以同一个负数，不等式中的不等号方向改变。最后解出x＜-2，因为不包含-2这个点，因此在数轴上表示的时候，-2这个点应该是空心。
18．（2025八上·余姚期末）如图，在平面直角坐标系中， ．
（1）在图中画出 关于 轴的对称图形 ，并写出点 的坐标；
（2）请在 轴，上画出点 的位 ，使得 最短，并直接写出点 的坐标．
【答案】（1）解：如图，
（2）解：作出点C关于x轴的对称轴点C2，连接BC2交x轴于点P，即点P即为所作，点P的坐标为(-3，0).
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【分析】（1）先找到 关于y轴对称的三个点，即每个点的纵坐标不变，横坐标变为相反数，然后连接三个点即可；
（2）确定点C关于x轴的对称点C2，连接BC2，与x轴交于点P，点P即为所求.
19．（2025八上·余姚期末）如图，点 在一条直线上， ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的大小．
【答案】（1）证明：∵BE=CF， 点 在一条直线上
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，
∵AB=DE，AC=DF，BC=EF，
∴ （SSS）。
（2）解：根据（1）题的证明结果，
∴∠ACE=∠F，
∵ 点 在一条直线上 ，∴AC∥DF，
∴∠EGC=∠D=45°。
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）题首先证明出BC=EF，此时可以利用两个三角形三边相等的性质定理即可证明两个三角形全等；
（2）题根据（1）题的结论，利用平行线的判定定理“同位角相等、两直线平行”得出AC∥DF，然后利用“两直线平行、同位角相等”即可求出答案。
20．（2025八上·余姚期末）学校计划购进一批笔记本电脑和投影仪，经过市场考察得知，购买1台笔记本电脑和2台投影仪需要3.8万元，购买两台笔记本和一台投影仪需要3.4万元。
（1）求每台笔记本电脑，每台投影仪各多少万元：
（2）根据学校实际，需购进笔记本电脑和投影仪共 30 台，如果总费用不超过 40 万元，那么至少购进笔记本电脑多少台？
【答案】（1）解：设每台笔记本电脑x万元，每台投影仪y万元。
，解得
∴每台笔记本电脑1万元，每台投影仪1.4万元。
（2）解：设至少购进笔记本电脑n台，则投影仪购进（30-n）台。
n+1.4（30-n）≤40，解得n≥5，
∴至少购进笔记本电脑5台。
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）题可以用未知数x和y来表示笔记本电脑的单价和投影仪的单价，然后列出二元一次方程组求解即可；
（2）题可以用未知数n来表示至少购进笔记本的数量，然后列出不等式，求解即可。
21．（2025八上·余姚期末）如图，等腰三角形 中 ，且 ．
（1）求 的长；
（2）求 的面积．
【答案】（1）解：设AD=xcm，∵是在等腰三角形ABC中，∴AB=AC，
则列示为（x+3）2=x2+42
解得x=
∴AD的长为cm。
（2）解： 的面积 =AB×CD×=（3+）×4×=cm2
∴ 的面积是cm2。
【知识点】三角形的面积；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）题可以放到直角三角形ACD中，因为AB=AC，所以利用勾股定理列式求解即可；
（2）题根据（1）题的结果计算出AB的长度，然后以AB为底、CD为高即可计算出三角形的面积。
22．（2025八上·余姚期末）工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故障产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件。设甲组加工时间t（时），甲组加工买件的数量为y甲个。乙组加工数量为y乙个，其函数图象如图所示：
（1）求 乙与 之间的函数关系式，并写出 的取值范围；
（2）求 的值，并说明 的实际意义；
（3）甲组加工多长时间时，甲，乙两组加工夆件的总数为 480 个．
【答案】（1）解：设 y乙=kt+b，根据图象可以列式
，解得
∴ y乙=120t-600（5≤t≤8）
（2）解：a=120÷3×[8-（4-3）]=280个
a表示第8小时的时候，甲组加工零件的数量是280个。
（3）解：∵ 甲组工人加工中因故障产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工，
设甲组在4时到8时的函数关系式为 y甲=k2t+b2，则k2=120÷3=40；当t=4时，y甲=120，代入可得到b2=-40，即
y甲=40t-40（4≤t≤8），
根据（1）题的计算结果y乙=120t-600（5≤t≤8）；
480=40t-40+120t-600（5≤t≤8），解得t=7
∴ 甲组加工t小时的时候，甲，乙两组加工夆件的总数为 480 个。
【知识点】一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）可先假设出y乙的函数关系式，然后将（5，0）、（8，360）代入，联立二元一次方程组求解即可；
（2）因为“ 甲组工人加工中因故障产检修机器一次，然后以原来的工作效率继续加工 ”，说明在0-3小时和4-6小时的斜率一样，因此可以先求出斜率是40，然后将中间休息的1小时减去，即总共是7小时的加工零件总量，计算即可；
（3）分别求出甲组在4-8小时的函数关系式和乙组在5-8小时的函数关系式，求和为480，求解t即可。
23．（2025八上·余姚期末）我们规定：在任意 中，在线段 上取 两点 ，使得 ，则称线段 为 的等角线，如图1．
（1）如图2，在 中， 是 的角平分线，点 分别在线段 上（不与端点重合），连结 ，则点 到线段 的距离相等，判断线段 是否为 的答角线，并说明理由。
（2）如图3，在等腰直角三角形 中， ，线 段 是 等角线，且 ，若 求 的长．
【答案】（1）解：∵ 是 的角平分线 ，∴∠BAD=∠CAD，
∵ 点 到线段 的距离相等 ，∴AD为∠PAQ的平分线，即∠PAD=∠QAD，
∴∠BAD-∠PAD=∠CAD-∠QAD，即∠BAQ=∠CAQ，
根据规定“ 任意 中，在线段 上取 两点 ，使得 ，则称线段 为 的等角线， ”∴ 是 的等角线。
（2）解：
∵线 段 是 等角线，是等腰直角三角形，且，
∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∠BAP=∠CAQ，因此△BAP≌△CAQ（ASA），∴BP=CQ=，
过A点作AD⊥BC于D点，∵是等腰直角三角形，且 ，
∴D为BC中点且AD平分∠BAC，PD=QD，
∵ 线 段 是 等角线， ，∴∠BAP=∠CAQ=（90°-45°）÷2=22.5°，
∴AD平分∠PAQ，即∠PAD=∠QAD=45°÷2=22.5°，
过P点作PE⊥AB于E点，∵∠BAP=∠PAD=22.5°，PE⊥AB、PD⊥AD，∴AP为∠BAD角平分线，且PE=PD，
设PE=PD=a，
∵∠B=45°，∠BEP=90°，∴BE=PE=a，
此时有BE2+PE2=BP2，即a2+a2=2，解得a=1，
∴PQ=PD+DQ=1+1=2
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）题利用角平分线的逆定理，从点到角两边的距离相等推出AD为∠PAQ的平分线，然后利用等角线的定义即可得出答案；
（2）题利用等腰直角三角形的特点，并利用等角线定理证明出△BAP≌△CAQ，然后计算角度得出∠PAD=∠QAD=∠BAP=∠CAQ=22.5°，此时可以利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”得出PE=PD=a，并利用勾股定理求出a，即可计算出PQ的值。
24．（2025八上·余姚期末）过等腰Rt 的直角顶点 作直线 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，研究图形，不难发现 ： ．
（1）如图 2，在平面直角坐标系中，直线 与 x 轴交于点 A ，与 y 轴交于点 C ，将线段 AC 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，求 点坐标；
（2）如图 3，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴， 轴交于点 ，将直线 绕点 颁时针旋转 得到 ，求 的函数表达式；
（3）如图 4，直线 分别交 轴， 轴于点 ，直线 过点 交 轴于点 ，且 。若点 是直线 上且位于第三象限图象上的一个动点，点 是 轴上的一个动点，当以点 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，直接写出点 和点 的坐标．
【答案】（1）解：当x=0时， 直线 的y值为y=-1，此时C点坐标为（0，-1）；当y=0时，此时A点的横坐标列式为，解得x=2，因此此时A点的坐标为（2，0）。
∵BC⊥AC，∴BC所在的直线的斜率为-1÷=-2，
因此BC所在的直线为y=-2x-1.
设B点的坐标为（x0，y0），∴y0=-2x0-1，
∵ 将线段 AC 绕着点 逆时针旋转 得到线段 ，∴BC=AC，
，解得x0=±1，
∵B点在第二象限，∴x0=-1，y0=-2x0-1=-2×（-1）-1=1，
因此B点的坐标为（-1，1）。
（2）解：∵ 直线 分别与 轴， 轴交于点 ，∴tan∠ABO=2，且A点坐标为（0，6），
∵ 将直线 绕点 顺时针旋转 得到 ，∴l2对应的直线斜率为tan(∠ABO-45°），
即tan(∠ABO-45°）=，
∴ 的函数表达式为.
（3）解：直线y=2x+2分别交x轴和y轴于A、C两点，∴A（-1，0），C（0，2），
∵∠CBA=45°，∴OB=OC=2，即B（2，0）。
设M(0，m），Q（n，2n+2），
①如图所示，当∠BMQ=90°，即MQ=MB时，此时M在x轴上方，
分别过Q、B点作y轴的平行线QC、HB，过M点作x轴的平行线分别交GQ、HB于点G、H，
∠GQM+∠GMQ=90°，而∠GMQ+∠HMB=90°，∴∠CQM=∠HMB，而∠G=∠H=90°，MQ=MB，
∴△GQM≌△HMB(AAS)，
∴GQ=HM，HB=GM，即，解得，因此点M（0，），点Q（）；
同理当M在x轴下方，即，解得m=n=0（舍去）
②当∠MQB=90°时，即MQ=QB，如图所示，同理可得，解得，∴M（0，-6），Q（-2，-2）；
③当∠QBM=90°时，即MB=QB，如图所示同理可得，解得，∴M（0，4），Q（-2，-2）；
综上可得，M（0，），Q（）；或M（0，-6），Q（-2，-2）；或M（0，4），Q（-2，-2）。
【知识点】旋转的性质；动点问题的函数图象；坐标系中的两点距离公式；正切的概念
【解析】【分析】（1）题首先求出C点和A点的坐标，然后利用垂直对应的斜率，即可求出BC所在直线的关系式，最后利用两点之间的距离公式列式，和B点的象限性质，即可求出B点的坐标；
（2）题利用选择45°的特点和正切值的计算公式，即可求出l2对应的直线的斜率，然后即可列出表达式；
（3）题首先根据条件用m和n来表示M和Q点的坐标，然后分三种情况列式求出m和n的值即可。
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