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浙江省金华义乌稠州中学2024-2025学年第二学期3月独立作业九年级数学试卷
1．（2025九下·义乌月考）﹣2025的相反数是（　　）
A．﹣2025 B．2025 C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：-2025的相反数是2025；
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案.
2．（2025九下·义乌月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.m6，m2不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D. ， 故D符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项法则、同底数相乘、除法则，幂的乘方运算，计算即可得出答案.
3．（2025九下·义乌月考）如图，王华用橡皮泥做了个圆柱，再用手工刀切去一部分，则其左视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看是上下两个矩形，矩形的公共边是虚线．
故答案为：A．
【分析】从左向右看，得到的正投影就是其左视图，能看到的轮廓线用实线，看不到而存在的轮廓线用虚线，根据该结合体摆放的方式可得从左边看是上下两个矩形，两个矩形的宽之和等于圆柱体的高，矩形的长等于圆柱体的直径，矩形的公共边是虚线，据此逐一判断得出答案.
4．（2025九下·义乌月考）2024年义乌经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到4015.1亿元．数据4015.1亿用科学记数法可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4015.1亿= 401510000000=4.0151 x1011；
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示方法即可得出答案.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤ a < 10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值< 1时，n是负数.
5．（2025九下·义乌月考）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 从袋中任意摸出一个球有6种情况，其中摸出一个球是红色的有4种情况，
∴P=.
故答案为：D.
【分析】 首先确定从袋中任意摸出一个球共有几种情况，再确定摸出一个球是红色的有几种情况，然后用概率公式求概率即可.
6．（2025九下·义乌月考）如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则的大小为（　　）
A．41° B．45° C．49° D．59°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠ABD=∠ACD=41°，
∴∠BCD=∠ACB－∠ACD=49°.
故答案为：C
【分析】根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠ABD=∠ACD=41°，即可得∠BCD的度数.
7．（2025九下·义乌月考）“践行垃圾分类 助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵嘉嘉比琪琪多收集了7节废电池，
∴x-y=7；
∵若嘉嘉给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是嘉嘉的2倍，
∴2(x-8)=y+8，
根据题意可列方程组为：；
故答案为：A.
【分析】根据“嘉嘉比琪琪多收集了7节废电池：若嘉嘉给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是嘉嘉的2倍即可列出关于x，y的二元一次方程组，即可得出答案.
8．（2025九下·义乌月考）利用尺规作图，过直线AB外一点P作已知直线AB的平行线．下列作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：对于A，根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，此时同位角相等，两直线平行，符合题意；
对于B，此时作∠PAB的角平分线及作等腰PQ=PA，故∠PAQ=∠BAQ=∠PQA，即内错角相等，两直线平行，符合题意；
对于C，以P为圆心PA为半径，交AB于点C、交AP延长线于点D，此时AP=PC=PD，再分别以C和D为圆心作出∠DPC角平分线，
故∠DPC=∠DPQ+∠CPQ=∠PAC+∠PCA，易得∠PAB=∠DPQ，即同位角相等，两直线平行，符合题意；
对于D，以C为圆心，CP为半径作弧交AB于点D，即有CD=CP，再分别以D和P为圆心作出线段DP的垂直平分线交弧于点G，易得PQ=DQ，但无法证明此时PQ=CP，即无法得证菱形，故无法证明平行，不符合题意
故答案为：D.
【分析】由作图痕迹结合平行线的判定分析，痕迹为作等角判断A，痕迹为等腰与角平分线角度转换判断B，同理进行角度转换判断C，利用圆的对称性及垂直平分线的性质检验D.
9．（2025九下·义乌月考）如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：①，②，③，④当时，，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x==1，
∴b=-2a＞0，即a=
∴ab＜0，故①正确；
∵当x=-1时，y=a-b+1＜0，
∴-b+1＜0，解得b＞，故②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，-a+1） ，
∴把（1，-a+1）代入 中，得-a+1=k+1，
∴，故③正确；
由图象知：当时 ，＞，
即＞，
∴ax+b＞k，故④正确.
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口和对称轴可确定a、b的符号及a、b的等量关系，从而判断①②；求出抛物线的顶点坐标为（1，-a+1） ，把顶点坐标代入直线中可得，据此判断③；由图象知：当时 ，＞，据此判断④.
10．（2025九下·义乌月考）三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，图2也是一幅青朱出入图，设△ABM，△EFH，△CMQ的面积分别为，已知，则大正方形AMNE的面积为（　　）
A．64 B．60 C．56 D．52
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：根据题意得，如图2
∵，
∴S正方形GDEF=S1+S2-S3= 16，
∴GD=DE=EF=GF =4，
设AD =a，CQ=GH=x，∠GAH=∠DAE，∠AGH=∠ADE=90°，
∴△AGH∽△ADE，
∴，
∴，
解得：，
联立得，
整理得：，
联立得，
解得（不合题意，舍去），
∴S正方形AMNE=S正方形ABCD+S正方形GDEF=16+=16+=52，
故答案为：D.
【分析】根据题图可得正方形的GDEF的面积，进而得出其边长，设AD =a，CQ=x=AG，再利用相似三角形的判定和性质得出，联立方程组求解，最后根据S正方形AMNE=S正方形ABCD+S正方形GDEF即可得出结果.
11．（2025九下·义乌月考）因式分解： ＝　 　.
【答案】2a(a+2)(a-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 解： = .
故答案为： 2a(a+2)(a-2) .
【分析】先提取公因式2a，再根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．（2025九下·义乌月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则tanA的值是　 　．
【答案】
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，
∴tanA＝，
故答案为：．
【分析】根据正切的定义“tanA＝”直接求解即可.
13．（2025九下·义乌月考）圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为　 　．
【答案】12
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线长为l，则
=2π×3
解得：l=12
故答案为：12.【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，可求出母线长。
14．（2025九下·义乌月考）如图，已知，直线分别与a，b相交于D，A两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为　 　．
【答案】23°
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴180°-∠3=∠1+30°+∠2，
∠2=∠1+2°，
∴180°-106°=∠1+30°+∠1+2°，
解得：∠1=21°，
∴∠2=∠1+2°= 21°+ 2°= 23°；
故答案为：23°.
【分析】由平行线的性质得同位角相等，再根据题中已知即可求出∠1 的度数，即可得出结论.
15．（2025九下·义乌月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数是常数)在第一象限部分的图象与矩形OABC的两边AB和BC分别交于D，F两点，将沿OD翻折得到的延长线恰好经过点.若，则的值是　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点A（0，m）（m＞0），
∴OA=m，
∵ 将沿OD翻折得到的延长线恰好经过点 ，矩形ABCO，
∴OA=BC=OE=m，∠OAB=∠OED=∠OCB=∠B=90°，AB=OC，AB∥OC，
∴∠BDC=∠OCE，
∵∠EOC=45°，
∴△OEC是等腰直角三角形，
∴OE=EC=m，∠ECO=∠BDC=45°，
∴，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=BC=m，
∴，
∴点D，
∵点D在反比例函数图象上，
∴，
∴，
当，，
∴，
，
∴.
故答案为：.
【分析】设点A（0，m）（m＞0），可得到OA的长，利用矩形的性质和折叠的性质可证得OA=BC=OE=m，∠OAB=∠OED=∠OCB=∠B=90°，AB=OC，AB∥OC，同时可证得△OEC，△BCD是等腰直角三角形，可得到EC的长，利用勾股定理求出OC的长，BC的长，从而可表示出AD的长，可得到点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式，可求出反比例函数解析式；将点F的横坐标代入可求出点F的纵坐标，可得到CF的长，由此可求出BF的长，然后求出CF与BF的比值.
16．（2025九下·义乌月考）如图，正方形ABCD中，点是边AD的中点．连接BE，在BE上找一点，连接AF，将AF绕点顺时针旋转到AG.AG，BD延长线交于点．若，当F，E，G三点共线时，=　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接DG，过H作HP⊥BG，交BG的延长线于P，
AF绕点A顺时针旋转90°到AG，则AF=AG，∠FAG=90°，
即△AFG是等腰直角三角形，
又∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠DAG，
∴△ABF ≌ △ADG（SAS），
∴BF=DG，∠AFB=∠AGD
∵Rt△ABE中，AB=4，AE=2
∴BE =，
∵∠AFG=∠AGF=45°，
∴∠AFB=135°=∠AGD，
∴∠DGE=135°-45°=90°，即DG⊥BE
∵BE×DG =DE×AB，
∴，
∴Rt△BDG中，，
∵∠HGP=∠AGF=45°，∠P=90°，
∴△GPH为等腰直角三角形，
设PH=x，则PG=x，
∵DG∥PH，
∴△BDG∽△BHP，
∴，
即，
解得，
∴，
又∵BF=DG=，
∴==；
故答案为：.
【分析】连接DG，过H作HP⊥BG，交BG的延长线于P，根据SAS判定△ABF ≌ △ADG，根据全等三角形对应边及对应角相等得出BF=DG，∠AFB=∠AGD，根据三角形面积公式列出等式，进而得出DG的长度，及BG的长度，再设PH=x，PG=x，再根据DG∥PH，得出△BDG∽△BHP，进而得出对应边成比例，即可列方程，即可得出PH的长度，最后根据三角形面积公式计算即可得出答案.
17．（2025九下·义乌月考）
（1）计算：；
（2）解方程：；
【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：去分母得：3+3（x-2）=x-1
去括号得：3+3x-6=x-1
移项得：2x=2，
解得：x=1，
检验，将x=1代入x-2得1-2=-1≠0，
故原分式方程的解为x=1.
【知识点】解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)根据负整数指数幂、绝对值、零指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案；
(2)先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后检验即可得出答案.
18．（2025九下·义乌月考）在矩形中，取的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用证明，再根据全等三角形的性质可得．
（2）根据及勾股定理得再根据中点即可得解．
（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
由（）知，则，
∵，
∴，
∴
19．（2025九下·义乌月考）如图，各图形顶点都在格点上，分别根据下列要求画出图形．
（1）在图1中，在上找一点，使得平分面积．
（2）在图2中，在上找一点，使得将分成面积比为的两部分（找到一个即可）
【答案】（1）解：如图所示，就是所求作的点，
（2）解：如图所示，点就是所求作的点，
或
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）根据中线平分三角形的面积，找出的中点就是所求作的点；
（2）由等高三角形的面积之比等于底边之比可得点把分成两部分，根据相似三角形求作即可．
20．（2025九下·义乌月考）体育是义乌市中考科目之一，现随机抽取初三年级部分学生进行“你最想选择哪个考试项目？”的问卷调查，参与调查的学生需从A、B、C、D、E五个选项（A：篮球；B：立定跳远；C：排球；D：实心球；E：跳绳）中任选一项（必选且只选一项）．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息完成以下问题：
（1）参加本次调查的一共有　 　名学生；在扇形统计图中，“D”所在扇形圆心角的度数是　 　；
（2）请你补全条形统计图；
（3）已知立信中学初二年级共有750名学生，请你根据调查结果，估计初二年级最想选择“跳绳”的学生有多少人？
【答案】（1）150；48°
（2）解：C组人数为= 45(人)，
B组人数为150-30-20-30-45=25(人)，
补全条形统计图如图所示：
（3）解：(人)，
答：估计初二年级最想选择“ 跳绳 ”的学生有150 人 .
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解析】【解答】解：(1)参加本次调查的一共有30÷20%=150(名)在；
在扇形统计图中，“D”所在扇形圆心角的度数是= 48°；
故答案为：150；48；
【分析】(1)由A组人数及其所占百分比可得总人数，用360乘以E组人数所占比例即可得出答案；
(2)用总人数乘以C选项圆心角占周角的比例求出其人数，再根据各选项人数之和等于总人数可得B选项人数，从而补全图形；
(3)用总人数乘以样本中D选项人数所占比例即可得出答案.
21．（2025九下·义乌月考）如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接，杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为36°．（参考数据：sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，结果保留一位小数）
（1）求显示屏所在部分的宽度CM；
（2）求镜头A到地面的距离．
【答案】（1）解：∵CD∥AB，AB与水平地面所成的角的度数为36°，
∴显示屏上沿CD与水平地面所成的角的度数为36°，
过点C作交点D所在铅垂线的垂线，垂足为M，则∠DCM =36°，
∵CD=15cm，CM=CD·cos∠DCM=15×0.809≈12.1（cm）；
（2）解：如图，连接MC，作AH垂直MC反向延长线于点
H，
∵AB=20cm，O为AB的中点，
∴AO =10cm，
∵CD=15cm，CE=2ED，
∴CE=10cm.
∵CD∥AB，OE⊥AB
∴四边形ACEO为矩形，AC=OE=10cm，
∵∠ACE=90°
∴∠ACH+∠DCM=∠ACH+∠CAH =90°，
∴∠CAH =∠DCM =36°，
∴AH=AC·cos36°=10×0.809=8.09(cm)，
∴镜头A到地面的距离为60+8.09≈68.1cm.
【知识点】矩形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—其他类型
【解析】【分析】(1)过点C作CM⊥DF，垂足为F，根据题意可得∠DCM=35°，然后在Rt△DCM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，即可解答；
(2)连接AC，过点A作AH⊥CM，交MC的延长线于点H，根据已知可求出AO、CE及的长度，从而可证四边形ACEO是矩形，进而可得∠ACE的度数及AC 、OE的长度，然后利用平角定义求出∠ACH的度数，从而求出∠HAC的度数，最后在Rt△AHC中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，进行计算即可解答.
22．（2025九下·义乌月考）已知和且是同一直角坐标系中的两条抛物线。
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）判断与坐标轴的交点个数，并说明理由；
（3）如果对于抛物线上的任意一点均有．当时，求自变量的取值范围．
【答案】（1）解：将 代入中得，
=，
所以顶点坐标为（1，-4）；
（2）解：根的判别式==，
∵，
∴，
故与坐标轴有2交点；
（3）解：∵ 抛物线上的任意一点均有，
∴，且，
整理得：，
∴的开口向上，且抛物线与x轴交点的横坐标为，
如图所示，
借助图象可知，当或时，.
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将a，b的值代入解析式y1中得出抛物线的解析式，配方得出顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）判断根的判别式的情况即可得出抛物线与x轴的交点个数；
（3）根据题意可得出a＜0，进而推断出b＞0，结合图象即可得出x的取值范围.
23．（2025九下·义乌月考）如图
（1）【基础巩固】如图1，已知于点于点B，P是AB上一点，已知，求的周长；
（2）【尝试应用】如图2，已知，点D，E分别在边AC和BC上，是AB上一点，且，求的值；
（3）【拓展提高】如图3，已知，点D，E分别在直线AC和直线BC上，是边AB上一点，且的两条直角边，直接写出此时BE的长度．
【答案】（1）解：AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，∠CPD =90°
∴∠A=∠B=∠CPD=90°，
∴∠C+∠APC=90°=∠APC+∠BPD
∴∠C=∠BPD，
在△CAP和△PBD中
，
∴△CAP≌△PBD(AAS)，
∴CA=PB=3，
在△PBD中，
根据勾股定理得，BD===4，
∴PD+PB+BD=5+3+4=12，
故的周长 为12；
（2）解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∵AC=BC=，AB=4
∴AF=BF=2，
∴CF==4，
∵CF⊥AB，DG⊥AB，EH⊥AB，
∴DG∥CF∥EH，
∴△ADG∽△ACF，△BEH∽△BCF
∴，，
∴，，
∴AG：AD：DG=2：：4=1：：2，
BH：BE：EH=1：：2，
设AG=x，BH=y，则AD=x，DG=2x，BE=y，EH=2y，
∵∠DPE=90°，DG⊥AB
∴∠EPH+∠DPG=∠DPG+∠PDG =90°，
∴∠EPH=∠PDG
又∵∠DGP=∠PHE=90°，PD=PE
∴△PDG≌△EPH(AAS)，
∴PG=EH=2y，DG=PH=2x
∵AG+PG+PH+BH=AB=4，
∴x+2y+2x十y=4
∴x+y=，
∴AD+ BE=(x+y)=；
（3）解：当PD：PE=1：2时，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
同理(2)，，
，
∵∠DPE=90°，DG⊥AB，
∴∠EPH+∠DPG=∠DPG+∠PDG =90°，
∴∠EPH=∠PDG，
又∵∠DGP=∠PHE=90°，
∴△PDG~△EPH，
∴，
设AG=m，则DG=2m，PH=2DG=4m，
∵AP =1，
∴PG=AP-AG=1-m，
∴EH=2PG=2-2m，
∴，
∴，
∵AG+PG+PH+BH=AB=4，
∴m+(1-m)+4m+(1-m)=4，
∴，
∴；
当PD：PE=2：1时，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
同理(2)，，
，
∵∠DPE=90°，DG⊥AB，
∴∠EPH+∠DPG=∠DPG+∠PDG =90°，
∴∠EPH=∠PDG，
又∵∠DGP=∠PHE=90°，
∴△PDG~△EPH，
∴，
设AG=n，则DG=2n，
∵AP =1，
∴PG=AG-AP=n-1，
∴，，
∴，
∴=3，
∴，
∴，
∴；
综上所述，BE的长度为或；
故答案为：或.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据平角定义及直角三角形的性质求出∠C=∠BPD，利用AAS证明△CAP≌△PBD，进而通过全等三角形对应边相等可得CA=PB，再根据勾股定理可得出BD的长度，进而可求出△PBD的周长；
(2)如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出CF的长度，根据相似三角形的判定与性质求出AG：AD：DG=1：：4，BH：BE：EH=1：：4，设AG=x，BH=y，则AD=，DG=2x，BE=，EH=2y，利用AAS证明△PDG≌△EPH(AAS)，根据全等三角形的性质求出PG=EH=2y，DG=PH=2x，根据线段的和差求出x，进而求解即可得出答案；
(3)根据两种情况：当PD：PE=1：2时，当PD：PE=2：1时，求解方法同(2)根据相似三角形的判定与性质求解即可.
24．（2025九下·义乌月考）已知：是的外接圆，的平分线交于点，连接AD，BD．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，AB是的直径，过点作，垂足为点，连接BE，若，求的半径；
（3）如图3，AB是的直径，过点作，垂足为点，连接BE，若，，点在上，连接CF，分别交BE，BD于点G，H，求线段FH的长．
【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB，
∴，
∴∠ABD=∠BAD，
∴AD=BD；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵，
∴∠CBA=∠ADC，
∴∠CDB=90°-∠ADC，
∵∠DBE=2∠ABC，
∴∠DBE=2∠ADC，
∴∠BED=90°-∠ADE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BE=BD，
过点B作BM⊥DE交于点M，如图，
∵DE=2，
∴DM=DE=1，
在△ADE和△BDM中，
，
∴△ADE≌△BDM(AAS)，
∴AE=MD=1，
∵∠ACE=∠AEC=45°，
∴CE=AE=1，
∴AC=，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AD===，
∵∠CBA=∠ADC，∠ACB=∠AED=90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
∴AB =，
∴⊙O的半径为；
（3）解：设∠ABC=α，
∵∠DBE=2∠ABC，
∴∠DBE=2α，
∵∠ABD=45°，
∴∠CBE=45°-α，
∴∠CBD =45°+α，
∵BG =CG，
∴∠BCH=45°-α，
∴∠DHB=90°，
∵BCD=45°，
∴∠HCD =α，
∴∠ADE=∠DCH，
∵ED=2AE，
∴tan∠ADE= tan∠DCH=，
过点G作GN⊥CD交于N点，如图
∵∠GEN=90°-α，
∴∠EGN =α，
∴EN=GN，
∵，
∴NG=CE，
∵，
∴，
解得CE=3，
∴ED=6，CD=9，
∴ AD=BD=，
∵CH=2DH，
在直角三角形CDH中，由勾股定理得：
DH==，
∴DH=，
∴BH=BD-DH=，
∵，
∴∠DBF=∠DCF，
∴HF=BH=.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据角平分线的概念可得∠ACD=∠DCB，再根据相等的圆周角所对的弧相等，可得，再根据圆的性质，相等的弧所对的弦相等，即可得证；
(2)根据角平分线的的概念及圆周角定理可推导出∠CBA=∠ADC，再根据已知及余角的概念可推导出∠BDE=∠BED，进而可得BE=BD，过点B作BM⊥DE交于点M，则DM=DE，再利用AAS证明△ADE≌△BDM，可得AE=MD，由CE=AE，可得AC的长度，再根据勾股定理可得AD的长度，再通过对应角相等可得△ABC∽△ADE，即可得出对应线段成比例，进而可得AB的长度，即可得出⊙O的半径；
(3)设∠ABC=α，根据已知可推导出∠DHB=90°，从而得到∠ADE=∠DCH，则tan∠ADE=tan∠DCH=，过点G作GN⊥CD交于N点，再由∠EGN=α，求出NG=CE，根据S△CEG=3，及三角形面积公式，能求出CE的长度，再求出AD=BD=，再根据勾股定理可得出DH的长度，由∠DBF=∠DCF，可求HF=BH，即可得出HF的长度.
1 / 1浙江省金华义乌稠州中学2024-2025学年第二学期3月独立作业九年级数学试卷
1．（2025九下·义乌月考）﹣2025的相反数是（　　）
A．﹣2025 B．2025 C． D．
2．（2025九下·义乌月考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·义乌月考）如图，王华用橡皮泥做了个圆柱，再用手工刀切去一部分，则其左视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·义乌月考）2024年义乌经济全面向好，全市GDP总量迈上4千亿台阶，达到4015.1亿元．数据4015.1亿用科学记数法可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025九下·义乌月考）一个不透明的袋子里装有4个红球和2个黄球，它们除颜色外其余都相同.从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·义乌月考）如图，是的直径，C，D是上的两点，若，则的大小为（　　）
A．41° B．45° C．49° D．59°
7．（2025九下·义乌月考）“践行垃圾分类 助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了x节废电池，琪琪收集了y节废电池，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·义乌月考）利用尺规作图，过直线AB外一点P作已知直线AB的平行线．下列作法错误的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九下·义乌月考）如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，有以下四个结论：①，②，③，④当时，，其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
10．（2025九下·义乌月考）三国时代的数学家刘徽创作了一幅“青朱出入图”（如图1），利用割补的方法可以得到两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，这样就证明了勾股定理，图2也是一幅青朱出入图，设△ABM，△EFH，△CMQ的面积分别为，已知，则大正方形AMNE的面积为（　　）
A．64 B．60 C．56 D．52
11．（2025九下·义乌月考）因式分解： ＝　 　.
12．（2025九下·义乌月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则tanA的值是　 　．
13．（2025九下·义乌月考）圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为　 　．
14．（2025九下·义乌月考）如图，已知，直线分别与a，b相交于D，A两点，把一块含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数为　 　．
15．（2025九下·义乌月考）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数是常数)在第一象限部分的图象与矩形OABC的两边AB和BC分别交于D，F两点，将沿OD翻折得到的延长线恰好经过点.若，则的值是　 　.
16．（2025九下·义乌月考）如图，正方形ABCD中，点是边AD的中点．连接BE，在BE上找一点，连接AF，将AF绕点顺时针旋转到AG.AG，BD延长线交于点．若，当F，E，G三点共线时，=　 　．
17．（2025九下·义乌月考）
（1）计算：；
（2）解方程：；
18．（2025九下·义乌月考）在矩形中，取的中点，连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
19．（2025九下·义乌月考）如图，各图形顶点都在格点上，分别根据下列要求画出图形．
（1）在图1中，在上找一点，使得平分面积．
（2）在图2中，在上找一点，使得将分成面积比为的两部分（找到一个即可）
20．（2025九下·义乌月考）体育是义乌市中考科目之一，现随机抽取初三年级部分学生进行“你最想选择哪个考试项目？”的问卷调查，参与调查的学生需从A、B、C、D、E五个选项（A：篮球；B：立定跳远；C：排球；D：实心球；E：跳绳）中任选一项（必选且只选一项）．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息完成以下问题：
（1）参加本次调查的一共有　 　名学生；在扇形统计图中，“D”所在扇形圆心角的度数是　 　；
（2）请你补全条形统计图；
（3）已知立信中学初二年级共有750名学生，请你根据调查结果，估计初二年级最想选择“跳绳”的学生有多少人？
21．（2025九下·义乌月考）如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其结构示意图，摄像机长AB＝20cm，点O为摄像机旋转轴心，O为AB的中点，显示屏的上沿CD与AB平行，CD＝15cm，AB与CD连接，杆OE⊥AB，OE＝10cm，CE＝2ED，点C到地面的距离为60cm．若AB与水平地面所成的角的度数为36°．（参考数据：sin36°≈0.588，cos36°≈0.809，tan36°≈0.727，结果保留一位小数）
（1）求显示屏所在部分的宽度CM；
（2）求镜头A到地面的距离．
22．（2025九下·义乌月考）已知和且是同一直角坐标系中的两条抛物线。
（1）当时，求抛物线的顶点坐标；
（2）判断与坐标轴的交点个数，并说明理由；
（3）如果对于抛物线上的任意一点均有．当时，求自变量的取值范围．
23．（2025九下·义乌月考）如图
（1）【基础巩固】如图1，已知于点于点B，P是AB上一点，已知，求的周长；
（2）【尝试应用】如图2，已知，点D，E分别在边AC和BC上，是AB上一点，且，求的值；
（3）【拓展提高】如图3，已知，点D，E分别在直线AC和直线BC上，是边AB上一点，且的两条直角边，直接写出此时BE的长度．
24．（2025九下·义乌月考）已知：是的外接圆，的平分线交于点，连接AD，BD．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，AB是的直径，过点作，垂足为点，连接BE，若，求的半径；
（3）如图3，AB是的直径，过点作，垂足为点，连接BE，若，，点在上，连接CF，分别交BE，BD于点G，H，求线段FH的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：-2025的相反数是2025；
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.m6，m2不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D. ， 故D符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项法则、同底数相乘、除法则，幂的乘方运算，计算即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看是上下两个矩形，矩形的公共边是虚线．
故答案为：A．
【分析】从左向右看，得到的正投影就是其左视图，能看到的轮廓线用实线，看不到而存在的轮廓线用虚线，根据该结合体摆放的方式可得从左边看是上下两个矩形，两个矩形的宽之和等于圆柱体的高，矩形的长等于圆柱体的直径，矩形的公共边是虚线，据此逐一判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：4015.1亿= 401510000000=4.0151 x1011；
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示方法即可得出答案.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤ a < 10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值< 1时，n是负数.
5．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解： 从袋中任意摸出一个球有6种情况，其中摸出一个球是红色的有4种情况，
∴P=.
故答案为：D.
【分析】 首先确定从袋中任意摸出一个球共有几种情况，再确定摸出一个球是红色的有几种情况，然后用概率公式求概率即可.
6．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∵∠ABD=∠ACD=41°，
∴∠BCD=∠ACB－∠ACD=49°.
故答案为：C
【分析】根据圆周角定理得∠ACB=90°，∠ABD=∠ACD=41°，即可得∠BCD的度数.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的其他应用；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵嘉嘉比琪琪多收集了7节废电池，
∴x-y=7；
∵若嘉嘉给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是嘉嘉的2倍，
∴2(x-8)=y+8，
根据题意可列方程组为：；
故答案为：A.
【分析】根据“嘉嘉比琪琪多收集了7节废电池：若嘉嘉给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是嘉嘉的2倍即可列出关于x，y的二元一次方程组，即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：对于A，根据作图痕迹可知，表示为作一个角等于已知角，此时同位角相等，两直线平行，符合题意；
对于B，此时作∠PAB的角平分线及作等腰PQ=PA，故∠PAQ=∠BAQ=∠PQA，即内错角相等，两直线平行，符合题意；
对于C，以P为圆心PA为半径，交AB于点C、交AP延长线于点D，此时AP=PC=PD，再分别以C和D为圆心作出∠DPC角平分线，
故∠DPC=∠DPQ+∠CPQ=∠PAC+∠PCA，易得∠PAB=∠DPQ，即同位角相等，两直线平行，符合题意；
对于D，以C为圆心，CP为半径作弧交AB于点D，即有CD=CP，再分别以D和P为圆心作出线段DP的垂直平分线交弧于点G，易得PQ=DQ，但无法证明此时PQ=CP，即无法得证菱形，故无法证明平行，不符合题意
故答案为：D.
【分析】由作图痕迹结合平行线的判定分析，痕迹为作等角判断A，痕迹为等腰与角平分线角度转换判断B，同理进行角度转换判断C，利用圆的对称性及垂直平分线的性质检验D.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x==1，
∴b=-2a＞0，即a=
∴ab＜0，故①正确；
∵当x=-1时，y=a-b+1＜0，
∴-b+1＜0，解得b＞，故②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，-a+1） ，
∴把（1，-a+1）代入 中，得-a+1=k+1，
∴，故③正确；
由图象知：当时 ，＞，
即＞，
∴ax+b＞k，故④正确.
故答案为：B.
【分析】由抛物线的开口和对称轴可确定a、b的符号及a、b的等量关系，从而判断①②；求出抛物线的顶点坐标为（1，-a+1） ，把顶点坐标代入直线中可得，据此判断③；由图象知：当时 ，＞，据此判断④.
10．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：根据题意得，如图2
∵，
∴S正方形GDEF=S1+S2-S3= 16，
∴GD=DE=EF=GF =4，
设AD =a，CQ=GH=x，∠GAH=∠DAE，∠AGH=∠ADE=90°，
∴△AGH∽△ADE，
∴，
∴，
解得：，
联立得，
整理得：，
联立得，
解得（不合题意，舍去），
∴S正方形AMNE=S正方形ABCD+S正方形GDEF=16+=16+=52，
故答案为：D.
【分析】根据题图可得正方形的GDEF的面积，进而得出其边长，设AD =a，CQ=x=AG，再利用相似三角形的判定和性质得出，联立方程组求解，最后根据S正方形AMNE=S正方形ABCD+S正方形GDEF即可得出结果.
11．【答案】2a(a+2)(a-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】 解： = .
故答案为： 2a(a+2)(a-2) .
【分析】先提取公因式2a，再根据平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．【答案】
【知识点】求正切值
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2BC，
∴tanA＝，
故答案为：．
【分析】根据正切的定义“tanA＝”直接求解即可.
13．【答案】12
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设母线长为l，则
=2π×3
解得：l=12
故答案为：12.【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，可求出母线长。
14．【答案】23°
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴180°-∠3=∠1+30°+∠2，
∠2=∠1+2°，
∴180°-106°=∠1+30°+∠1+2°，
解得：∠1=21°，
∴∠2=∠1+2°= 21°+ 2°= 23°；
故答案为：23°.
【分析】由平行线的性质得同位角相等，再根据题中已知即可求出∠1 的度数，即可得出结论.
15．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点A（0，m）（m＞0），
∴OA=m，
∵ 将沿OD翻折得到的延长线恰好经过点 ，矩形ABCO，
∴OA=BC=OE=m，∠OAB=∠OED=∠OCB=∠B=90°，AB=OC，AB∥OC，
∴∠BDC=∠OCE，
∵∠EOC=45°，
∴△OEC是等腰直角三角形，
∴OE=EC=m，∠ECO=∠BDC=45°，
∴，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=BC=m，
∴，
∴点D，
∵点D在反比例函数图象上，
∴，
∴，
当，，
∴，
，
∴.
故答案为：.
【分析】设点A（0，m）（m＞0），可得到OA的长，利用矩形的性质和折叠的性质可证得OA=BC=OE=m，∠OAB=∠OED=∠OCB=∠B=90°，AB=OC，AB∥OC，同时可证得△OEC，△BCD是等腰直角三角形，可得到EC的长，利用勾股定理求出OC的长，BC的长，从而可表示出AD的长，可得到点D的坐标，将点D的坐标代入函数解析式，可求出反比例函数解析式；将点F的横坐标代入可求出点F的纵坐标，可得到CF的长，由此可求出BF的长，然后求出CF与BF的比值.
16．【答案】
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，连接DG，过H作HP⊥BG，交BG的延长线于P，
AF绕点A顺时针旋转90°到AG，则AF=AG，∠FAG=90°，
即△AFG是等腰直角三角形，
又∵AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAF=∠DAG，
∴△ABF ≌ △ADG（SAS），
∴BF=DG，∠AFB=∠AGD
∵Rt△ABE中，AB=4，AE=2
∴BE =，
∵∠AFG=∠AGF=45°，
∴∠AFB=135°=∠AGD，
∴∠DGE=135°-45°=90°，即DG⊥BE
∵BE×DG =DE×AB，
∴，
∴Rt△BDG中，，
∵∠HGP=∠AGF=45°，∠P=90°，
∴△GPH为等腰直角三角形，
设PH=x，则PG=x，
∵DG∥PH，
∴△BDG∽△BHP，
∴，
即，
解得，
∴，
又∵BF=DG=，
∴==；
故答案为：.
【分析】连接DG，过H作HP⊥BG，交BG的延长线于P，根据SAS判定△ABF ≌ △ADG，根据全等三角形对应边及对应角相等得出BF=DG，∠AFB=∠AGD，根据三角形面积公式列出等式，进而得出DG的长度，及BG的长度，再设PH=x，PG=x，再根据DG∥PH，得出△BDG∽△BHP，进而得出对应边成比例，即可列方程，即可得出PH的长度，最后根据三角形面积公式计算即可得出答案.
17．【答案】（1）解：原式=
=
（2）解：去分母得：3+3（x-2）=x-1
去括号得：3+3x-6=x-1
移项得：2x=2，
解得：x=1，
检验，将x=1代入x-2得1-2=-1≠0，
故原分式方程的解为x=1.
【知识点】解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】(1)根据负整数指数幂、绝对值、零指数幂以及特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案；
(2)先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后检验即可得出答案.
18．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】勾股定理；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）先利用证明，再根据全等三角形的性质可得．
（2）根据及勾股定理得再根据中点即可得解．
（1）证明：∵四边形是矩形，是的中点，
∴，，
∴，，
∴（），
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴
由（）知，则，
∵，
∴，
∴
19．【答案】（1）解：如图所示，就是所求作的点，
（2）解：如图所示，点就是所求作的点，
或
【知识点】三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）根据中线平分三角形的面积，找出的中点就是所求作的点；
（2）由等高三角形的面积之比等于底边之比可得点把分成两部分，根据相似三角形求作即可．
20．【答案】（1）150；48°
（2）解：C组人数为= 45(人)，
B组人数为150-30-20-30-45=25(人)，
补全条形统计图如图所示：
（3）解：(人)，
答：估计初二年级最想选择“ 跳绳 ”的学生有150 人 .
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解析】【解答】解：(1)参加本次调查的一共有30÷20%=150(名)在；
在扇形统计图中，“D”所在扇形圆心角的度数是= 48°；
故答案为：150；48；
【分析】(1)由A组人数及其所占百分比可得总人数，用360乘以E组人数所占比例即可得出答案；
(2)用总人数乘以C选项圆心角占周角的比例求出其人数，再根据各选项人数之和等于总人数可得B选项人数，从而补全图形；
(3)用总人数乘以样本中D选项人数所占比例即可得出答案.
21．【答案】（1）解：∵CD∥AB，AB与水平地面所成的角的度数为36°，
∴显示屏上沿CD与水平地面所成的角的度数为36°，
过点C作交点D所在铅垂线的垂线，垂足为M，则∠DCM =36°，
∵CD=15cm，CM=CD·cos∠DCM=15×0.809≈12.1（cm）；
（2）解：如图，连接MC，作AH垂直MC反向延长线于点
H，
∵AB=20cm，O为AB的中点，
∴AO =10cm，
∵CD=15cm，CE=2ED，
∴CE=10cm.
∵CD∥AB，OE⊥AB
∴四边形ACEO为矩形，AC=OE=10cm，
∵∠ACE=90°
∴∠ACH+∠DCM=∠ACH+∠CAH =90°，
∴∠CAH =∠DCM =36°，
∴AH=AC·cos36°=10×0.809=8.09(cm)，
∴镜头A到地面的距离为60+8.09≈68.1cm.
【知识点】矩形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—其他类型
【解析】【分析】(1)过点C作CM⊥DF，垂足为F，根据题意可得∠DCM=35°，然后在Rt△DCM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，即可解答；
(2)连接AC，过点A作AH⊥CM，交MC的延长线于点H，根据已知可求出AO、CE及的长度，从而可证四边形ACEO是矩形，进而可得∠ACE的度数及AC 、OE的长度，然后利用平角定义求出∠ACH的度数，从而求出∠HAC的度数，最后在Rt△AHC中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，进行计算即可解答.
22．【答案】（1）解：将 代入中得，
=，
所以顶点坐标为（1，-4）；
（2）解：根的判别式==，
∵，
∴，
故与坐标轴有2交点；
（3）解：∵ 抛物线上的任意一点均有，
∴，且，
整理得：，
∴的开口向上，且抛物线与x轴交点的横坐标为，
如图所示，
借助图象可知，当或时，.
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将a，b的值代入解析式y1中得出抛物线的解析式，配方得出顶点式，即可得出顶点坐标；
（2）判断根的判别式的情况即可得出抛物线与x轴的交点个数；
（3）根据题意可得出a＜0，进而推断出b＞0，结合图象即可得出x的取值范围.
23．【答案】（1）解：AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，∠CPD =90°
∴∠A=∠B=∠CPD=90°，
∴∠C+∠APC=90°=∠APC+∠BPD
∴∠C=∠BPD，
在△CAP和△PBD中
，
∴△CAP≌△PBD(AAS)，
∴CA=PB=3，
在△PBD中，
根据勾股定理得，BD===4，
∴PD+PB+BD=5+3+4=12，
故的周长 为12；
（2）解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
∵AC=BC=，AB=4
∴AF=BF=2，
∴CF==4，
∵CF⊥AB，DG⊥AB，EH⊥AB，
∴DG∥CF∥EH，
∴△ADG∽△ACF，△BEH∽△BCF
∴，，
∴，，
∴AG：AD：DG=2：：4=1：：2，
BH：BE：EH=1：：2，
设AG=x，BH=y，则AD=x，DG=2x，BE=y，EH=2y，
∵∠DPE=90°，DG⊥AB
∴∠EPH+∠DPG=∠DPG+∠PDG =90°，
∴∠EPH=∠PDG
又∵∠DGP=∠PHE=90°，PD=PE
∴△PDG≌△EPH(AAS)，
∴PG=EH=2y，DG=PH=2x
∵AG+PG+PH+BH=AB=4，
∴x+2y+2x十y=4
∴x+y=，
∴AD+ BE=(x+y)=；
（3）解：当PD：PE=1：2时，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
同理(2)，，
，
∵∠DPE=90°，DG⊥AB，
∴∠EPH+∠DPG=∠DPG+∠PDG =90°，
∴∠EPH=∠PDG，
又∵∠DGP=∠PHE=90°，
∴△PDG~△EPH，
∴，
设AG=m，则DG=2m，PH=2DG=4m，
∵AP =1，
∴PG=AP-AG=1-m，
∴EH=2PG=2-2m，
∴，
∴，
∵AG+PG+PH+BH=AB=4，
∴m+(1-m)+4m+(1-m)=4，
∴，
∴；
当PD：PE=2：1时，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，
同理(2)，，
，
∵∠DPE=90°，DG⊥AB，
∴∠EPH+∠DPG=∠DPG+∠PDG =90°，
∴∠EPH=∠PDG，
又∵∠DGP=∠PHE=90°，
∴△PDG~△EPH，
∴，
设AG=n，则DG=2n，
∵AP =1，
∴PG=AG-AP=n-1，
∴，，
∴，
∴=3，
∴，
∴，
∴；
综上所述，BE的长度为或；
故答案为：或.
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据平角定义及直角三角形的性质求出∠C=∠BPD，利用AAS证明△CAP≌△PBD，进而通过全等三角形对应边相等可得CA=PB，再根据勾股定理可得出BD的长度，进而可求出△PBD的周长；
(2)如图，过点C作CF⊥AB于点F，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥AB于点H，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出CF的长度，根据相似三角形的判定与性质求出AG：AD：DG=1：：4，BH：BE：EH=1：：4，设AG=x，BH=y，则AD=，DG=2x，BE=，EH=2y，利用AAS证明△PDG≌△EPH(AAS)，根据全等三角形的性质求出PG=EH=2y，DG=PH=2x，根据线段的和差求出x，进而求解即可得出答案；
(3)根据两种情况：当PD：PE=1：2时，当PD：PE=2：1时，求解方法同(2)根据相似三角形的判定与性质求解即可.
24．【答案】（1）证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠DCB，
∴，
∴∠ABD=∠BAD，
∴AD=BD；
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵，
∴∠CBA=∠ADC，
∴∠CDB=90°-∠ADC，
∵∠DBE=2∠ABC，
∴∠DBE=2∠ADC，
∴∠BED=90°-∠ADE，
∴∠BDE=∠BED，
∴BE=BD，
过点B作BM⊥DE交于点M，如图，
∵DE=2，
∴DM=DE=1，
在△ADE和△BDM中，
，
∴△ADE≌△BDM(AAS)，
∴AE=MD=1，
∵∠ACE=∠AEC=45°，
∴CE=AE=1，
∴AC=，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：
AD===，
∵∠CBA=∠ADC，∠ACB=∠AED=90°，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∴，
∴AB =，
∴⊙O的半径为；
（3）解：设∠ABC=α，
∵∠DBE=2∠ABC，
∴∠DBE=2α，
∵∠ABD=45°，
∴∠CBE=45°-α，
∴∠CBD =45°+α，
∵BG =CG，
∴∠BCH=45°-α，
∴∠DHB=90°，
∵BCD=45°，
∴∠HCD =α，
∴∠ADE=∠DCH，
∵ED=2AE，
∴tan∠ADE= tan∠DCH=，
过点G作GN⊥CD交于N点，如图
∵∠GEN=90°-α，
∴∠EGN =α，
∴EN=GN，
∵，
∴NG=CE，
∵，
∴，
解得CE=3，
∴ED=6，CD=9，
∴ AD=BD=，
∵CH=2DH，
在直角三角形CDH中，由勾股定理得：
DH==，
∴DH=，
∴BH=BD-DH=，
∵，
∴∠DBF=∠DCF，
∴HF=BH=.
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据角平分线的概念可得∠ACD=∠DCB，再根据相等的圆周角所对的弧相等，可得，再根据圆的性质，相等的弧所对的弦相等，即可得证；
(2)根据角平分线的的概念及圆周角定理可推导出∠CBA=∠ADC，再根据已知及余角的概念可推导出∠BDE=∠BED，进而可得BE=BD，过点B作BM⊥DE交于点M，则DM=DE，再利用AAS证明△ADE≌△BDM，可得AE=MD，由CE=AE，可得AC的长度，再根据勾股定理可得AD的长度，再通过对应角相等可得△ABC∽△ADE，即可得出对应线段成比例，进而可得AB的长度，即可得出⊙O的半径；
(3)设∠ABC=α，根据已知可推导出∠DHB=90°，从而得到∠ADE=∠DCH，则tan∠ADE=tan∠DCH=，过点G作GN⊥CD交于N点，再由∠EGN=α，求出NG=CE，根据S△CEG=3，及三角形面积公式，能求出CE的长度，再求出AD=BD=，再根据勾股定理可得出DH的长度，由∠DBF=∠DCF，可求HF=BH，即可得出HF的长度.
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