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浙江省宁波市鄞州区十二校联考2025年中考一模数学试题
1．（2025·鄞州模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．（2025·鄞州模拟）深度求索（DeepSeek AI）的崛起，其意义涉及国家战略乃至全球AI竞争态势的重塑．从2025年1月20日发布DeepSeek-R1并开源，DeepSeek一度登顶苹果中国地区和美国地区应用商店免费APP下载排行榜，据统计截至2月9日，DeepSeek App 的累计下载量已超1.1亿次，周活跃用户规模最高近 9780 万．将9780万用科学记数法表示为（　　）
A． B．9 C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意，得9780万，
．
故选：C．
【分析】
用科学记数法表示绝对值大于1的数，常把这个数字表示成的形式，其中，n为这个数字整数部分位数与1的差．
3．（2025·鄞州模拟）如图是由7个小正方体搭建而成的几何体，则它的正（主）视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是
，
故答案为：A．
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形并结合题意即可求解．
4．（2025·鄞州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠a6，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项符合题意；
C、≠a2，
∴此选项不符合题意；
D、≠a5，
∴此选项不符合题意，
故答案为：B．
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
5．（2025·鄞州模拟）下列说法正确的是（　　）
A．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件．
B．两个负数相乘，积是正数是不可能事件．
C．了解某品牌手机电池待机时间用全面调查
D．了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查．
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、 射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故此选项结论错误，不符合题意；
B、 两个负数相乘，积是正数是必然事件，故此选项结论错误，不符合题意；
C、了解某品牌手机电池待机时间用抽样调查，故此选项结论错误，不符合题意；
D、了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查，故此选项结论正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可A、B两个选项；全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断C、D选项即可.
6．（2025·鄞州模拟）不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x-1≤0得x≤1，
解不等式x+3＞0得x＞-3，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为：
．
故选：A．
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可；定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”，先分别解两个不等式得到x≤1和x＞-3，然后利用数轴分别表示出x≤1和x＞-3，结合选项，逐项判定，即可求解.
7．（2025·鄞州模拟）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴双曲线位于第二，四象限，
当时，；
当当时，函数值y随着x的增大而增大，即当时，，
∴．
故选：B．
【分析】
由于，、、，又因为在每一个分支内y都随着x的增大而增大，即可得出答案．
8．（2025·鄞州模拟）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井。若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度。如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺。绳长，井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺，
∴；
∵将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺，
∴.
∴根据题意可列方程组，
故答案为：C.
【分析】根据题意，设绳长x尺，井深y尺，找出等量关系，列出方程组，即可求解.
9．（2025·鄞州模拟）如图，在中，是正三角形，点C在上，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由圆周角定理知，同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半 ．故连接，则，再由等边三角形的性质可得，最后根据角的和差求出即可．
10．（2025·鄞州模拟）如图，在矩形中，对角线相交于点为边上一个动点（不与点D，E重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，当时，作于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
根据勾股定理，得.
∵，
∴．
在中，，
∴，
根据勾股定理，得，
∴；
如图所示，当时，由上述可知，且，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
则，
∴，
在中，，
则，
∴，
∴．
综上所述，的值是或．
故选：D．
【分析】
由矩形的性质知，当AB=AO时，为等边三角形，则，所以，由于OF11．（2025·鄞州模拟）分解因式：4-4x+x2=　 　．
【答案】（2-x）2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：4-4x+x2=（2-x）2【分析】根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”可求解.
12．（2025·鄞州模拟）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为　 　．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：根据题意，一共有4种等可能性，其中红色的等可能性只有1种，
故当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为．
故答案为：．
【分析】
根据简单地概率公式计算即可．
13．（2025·鄞州模拟）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得：，，
所以，
故答案为：．
【分析】
若，是一元二次方程的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到和的值，整体代入即可．
14．（2025·鄞州模拟）如图，在中，AD为的平分线，，若DE=3，CE=4，则AB的值　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： AD为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义可得：，根据等腰三角形的性质得：，进而求得的长，根据，证明，根据相似三角形的性质与判定即可求解．
15．（2025·鄞州模拟）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，作，连接，
，
令正方形网格的边长为，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】作，连接，可以得到，再利用勾股定理得到BE、AE、AB的长，得到，然后利用正弦的定义解题即可．
16．（2025·鄞州模拟）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为　 　，的长为　 　．
【答案】4；
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
∵点G是的中点，
∴．
如图，连接，
根据题意，得．
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得（舍去）或，
∴，
故答案为：4，．
【分析】
由于矩形的对边平行，则由两直线平行内错角相等可得，由于BE=BM，则，由对顶角相等可得，即GC=GM=2，由中点的概念可得AB=CD=4；再连接FM、FB，由折叠的性质可得FE=BE、FM=BM，结合已知BE=BM，则四边形BEFM是菱形，则BF平分、BM//EF，则，再由角平分线的性质可得FN=FA，由HL可判定，则AE=MN，即可得BN=BA=4；此时可设AE=x，则MN=x，NG=2-x，BE=4-x，由菱形的性质可得FM=BE、FM//AB//CD，则可证，再利用相似比即可求得x即AE的值．
17．（2025·鄞州模拟）（1）计算：．
（2）解方程：．
【答案】解：（1）原式
；
（2）去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
解得．
经检验：是原方程的解．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；去分母法解分式方程
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算顺序顺序是，先乘方（开方 ）， 再乘除，最后再计算加减，运算时要注意0次幂、负整数指数幂的运算法则，另开方时注意算术平方根与立方的结果，同时要牢记特殊角的三角函数值；
（2）解分式方程的一般步骤，去分母，分括号，移项，合并同类项，系数化为1，再检验，最后再写解．
18．（2025·鄞州模拟）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
（1）请在图1中画出的高．
（2）请在图2中在线段上找一点E，使．
【答案】（1）解：取格点，连接交于点，连接，如图：
由图可知，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴为中点，
∴，
∴为的高．
（2）解：取格点，连接交于，如图：
由图可得，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点就是所求的点．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）先根据矩形的对角线平分得到AC的中点D，连接BD即可解题；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，取格点，使得AP=3，BQ=2，连接交于解题.
19．（2025·鄞州模拟）宇树科技创始人王兴兴，出生于年，宁波余姚人．年，宇树科技发布了领先全球技术水平人形智能体，激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“机器人”知识，从该校名学生中随机抽取了名学生参加“机器人”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩分 百分比
组
组
组
组
组
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图；
（2）这名学生成绩的中位数会落在 组填、、、或；
（3）试估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数．
【答案】（1），
（2）D
（3）解：∵名学生中分以上包括分的人数找的比例为，∴人，
答：该校名学生中成绩在分以上包括分的人数为人．
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
故答案为：．
∴名学生中组的人数为：（人），
故条形统计图如图所示：
（2）
解：∵，
∴这名学生成绩的中位数会落在D组，
故答案为：．
【分析】
（1）观察条形统计图和频数统计表，可用减去其余各组人数所占的百分数即可得的值，进而可求出组人数，补全条形统计图即可．
（2）由于这200名同学的成绩已按照从小到大的顺序排列，只需确定第100名和第101名学生成绩的平均值即可．
（3）用总人数乘以组人数所占百分比即可．
（1）解：根据题意可得：，
故答案为：．
∴名学生中组的人数为：（人），
故条形统计图如图所示：
（2）解：∵，
∴这名学生成绩的中位数会落在D组，
故答案为：．
（3）解：∵名学生中分以上包括分的人数找的比例为，
∴人，
答：该校名学生中成绩在分以上包括分的人数为人．
20．（2025·鄞州模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，，的坐标分别为，．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）已知点，，分别在一次函数和反比例函数上，当时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：∵在反比例函数上，
∴把，代入得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为：，
∵在反比例函数上，
∴把，代入得：，
∴，
设直线的函数解析式为：，分别代入和点得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：，
（2）解：把代入可得：，
把代入可得：，
∵，
∴，
又∵点的横坐标为，点的横坐标为
∴当时，结合图象可得：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把代入即可得到反比例函数解析式，进而求出点A的坐标为，然后把代入一次函数解析式即可；
（2）把代入可得：，把代入可得：，根据题意即可知：当时，即为，进而结合函数图象即可求解．
21．（2025·鄞州模拟）如图，在中，的平分线交边于点，已知．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
即.
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

【知识点】勾股定理的逆定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和利用角的等量代换得到：，进而证明，则，进而即可求解；
（2）由（1）得，，并结合（1）中的结论求出AB的长度，最后则再利用勾股定理的逆定理即可解答．
22．（2025·鄞州模拟）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间．
总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下：
车速（千米/时） 72 108 ┄
停车距离（米） 35 71.25 ┄
（1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式；
（2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算，
①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？
②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？
（参考数据：每个车道的宽度为米）
【答案】（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）解：①结论：不能在货物前停车．理由如下： 由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据表格中数据利用待定系数法即可确定函数表达式；
（2）①先将64.8千米/时转换18米/秒，再将=18米/秒代入解析式即可解答；
②先求出汽车感知并计算过程中行进的距离，可得出汽车距离障碍物的距离，此时再解直角三角形计算出汽车避险时水平移动的距离，再与车道宽的一半进行比较即可．
（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）①结论：不能在货物前停车．理由如下：
由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
23．（2025·鄞州模拟）已知二次函数．
（1）当函数图象过点时：
①求二次函数的表达式．
②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值．
（2）当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ．
【答案】（1）①解：∵二次函的图象过点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为；
②解：∵和都是二次函数图象上的点，
，，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴的最小值是；
（2）解：∵∴对称轴为直线
∵二次项系数为
∴抛物线开口向上
∵当时，二次函数有最小值，
①当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得，不符合题意，舍去；
②当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得或（不符合题意，舍去）；
③当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得；
综上所述，实数k的值为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）①利用待定系数法直接代入点的坐标求解即可；
②利用二次函数图象上点的坐标特征把A、B两点的坐标代入到到解析式中先表示出，再根据 可用含的代数式表示出从而得到实质是关于的二次函数，化一般形式为顶点式，由于其二次项系数为正，则有最小值；
（2）首先将二次函数的一般形式转化为顶点式，即，可得到对称轴为直线，则抛物线开口向上，然后分3种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的性质求解即可．
（1）①解：∵二次函的图象过点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为；
②解：∵和都是二次函数图象上的点，
，，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴的最小值是；
（2）∵
∴对称轴为直线
∵二次项系数为
∴抛物线开口向上
∵当时，二次函数有最小值，
①当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得，不符合题意，舍去；
②当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得或（不符合题意，舍去）；
③当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得；
综上所述，实数k的值为或．
24．（2025·鄞州模拟）如图1，已知内接于，且是的中点，连接交直径于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，求的长
（3）如图2，连接并延长交于点G，连接，
①设，，求y关于x的函数关系式；
②求的值．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设交于点，连接，
∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
（3）解：①∵，则，
∴，
∵D为中点，O为中点，
∴
即：
②∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵D为中点，O为中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，连接，
设，则，，
在中，根据勾股定理可得，，
∴同理可得：，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（）由等弧所对的圆周角相等可得AE平分，由AB=AD可得是等腰三角形，再由等腰三线合一性质可得结论成立；
（）设交于点，连接，由是的直径可得，此时可根据已知可利用勾股定理，分别计算出BE、AB的长，由于AE平分，则可证是等腰直角三角形，再由勾股定理分别计算出BP、PE即可；
（）①由题意知，则可得，由于三角形的中线等分这个三角形的面积，则由D为中点，O为中点可得；
②由于OD是的中位线，则，由垂径定理的推论可知，再由等角 的余角相等可得，即可证明，从而借助与的面积关系利用相似比来计算，如图可连接，设，则，，，可得相似比，再利用面积比等于相似比的平方可得，则可得．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设交于点，连接，
∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
（3）解：①∵，则，
∴，
∵D为中点，O为中点，
∴
即：
②∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∵，经过圆心，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，连接，
设，则，，
在中，根据勾股定理可得，，
∴同理可得：，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
1 / 1浙江省宁波市鄞州区十二校联考2025年中考一模数学试题
1．（2025·鄞州模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·鄞州模拟）深度求索（DeepSeek AI）的崛起，其意义涉及国家战略乃至全球AI竞争态势的重塑．从2025年1月20日发布DeepSeek-R1并开源，DeepSeek一度登顶苹果中国地区和美国地区应用商店免费APP下载排行榜，据统计截至2月9日，DeepSeek App 的累计下载量已超1.1亿次，周活跃用户规模最高近 9780 万．将9780万用科学记数法表示为（　　）
A． B．9 C． D．
3．（2025·鄞州模拟）如图是由7个小正方体搭建而成的几何体，则它的正（主）视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·鄞州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·鄞州模拟）下列说法正确的是（　　）
A．射击运动员射击一次，命中十环是必然事件．
B．两个负数相乘，积是正数是不可能事件．
C．了解某品牌手机电池待机时间用全面调查
D．了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查．
6．（2025·鄞州模拟）不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·鄞州模拟）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·鄞州模拟）《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井。若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度。如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺。绳长，井深各是多少尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·鄞州模拟）如图，在中，是正三角形，点C在上，若，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·鄞州模拟）如图，在矩形中，对角线相交于点为边上一个动点（不与点D，E重合）连接，将沿折叠，点落在处，交边于点，当是等腰三角形时，的长是（　　）
A． B．
C．或 D．或
11．（2025·鄞州模拟）分解因式：4-4x+x2=　 　．
12．（2025·鄞州模拟）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为　 　．
13．（2025·鄞州模拟）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为　 　．
14．（2025·鄞州模拟）如图，在中，AD为的平分线，，若DE=3，CE=4，则AB的值　 　．
15．（2025·鄞州模拟）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为　 　．
16．（2025·鄞州模拟）如图，在矩形中，点E在边上，与关于直线对称，点B的对称点F在边上，G为中点，连结分别与交于M，N两点，若，，则的长为　 　，的长为　 　．
17．（2025·鄞州模拟）（1）计算：．
（2）解方程：．
18．（2025·鄞州模拟）如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
（1）请在图1中画出的高．
（2）请在图2中在线段上找一点E，使．
19．（2025·鄞州模拟）宇树科技创始人王兴兴，出生于年，宁波余姚人．年，宇树科技发布了领先全球技术水平人形智能体，激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“机器人”知识，从该校名学生中随机抽取了名学生参加“机器人”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩分 百分比
组
组
组
组
组
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中 ，并补全条形统计图；
（2）这名学生成绩的中位数会落在 组填、、、或；
（3）试估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数．
20．（2025·鄞州模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，，的坐标分别为，．
（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；
（2）已知点，，分别在一次函数和反比例函数上，当时，直接写出的取值范围．
21．（2025·鄞州模拟）如图，在中，的平分线交边于点，已知．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
22．（2025·鄞州模拟）随着电动汽车和AI技术的不断发展，通过传感器、人工智能算法、控制器等技术，实现车辆的自主驾驶功能．在检测到障碍物场景下，智能汽车自动通过智算达到自动刹车（或绕过障碍物）．整个刹车过程反应时间分：1、感知障碍物并传输信息；2、计算决策；3、执行决策（刹车或绕行）．从感知到开始执行刹车前，智能系统总反应时间秒之间，低于人类驾驶员秒的反应时间．
总停车距离（） = 反应距离（） + 制动距离（）：记作为：（：从感知到车停共经过的距离，单位米；：感知、计算的反应时间，单位秒；：刹车前行车速度，单位米/秒；：减速度，单位米/秒）．经实地测试，智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时，刹车制动距离的数据如下：
车速（千米/时） 72 108 ┄
停车距离（米） 35 71.25 ┄
（1）请根据素材求：从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式；
（2）请根据素材回答问题：某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时，某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道（假设掉地后静止不动）．测试汽车感知后立即启动智能程序并计算，
①请你判断，智能汽车不改变方向情况下，能否在货物前停车？
②当汽车在高速行驶时（千米/时），汽车紧急拐弯的角度可以达到，在不减速的情况下拐弯绕行避险，能否成功？
（参考数据：每个车道的宽度为米）
23．（2025·鄞州模拟）已知二次函数．
（1）当函数图象过点时：
①求二次函数的表达式．
②若和都是二次函数图象上的点，且，求的最小值．
（2）当时，二次函数有最小值，请直接写出实数k的值为 ．
24．（2025·鄞州模拟）如图1，已知内接于，且是的中点，连接交直径于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，求的长
（3）如图2，连接并延长交于点G，连接，
①设，，求y关于x的函数关系式；
②求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据题意，得9780万，
．
故选：C．
【分析】
用科学记数法表示绝对值大于1的数，常把这个数字表示成的形式，其中，n为这个数字整数部分位数与1的差．
3．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是
，
故答案为：A．
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形并结合题意即可求解．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠a6，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项符合题意；
C、≠a2，
∴此选项不符合题意；
D、≠a5，
∴此选项不符合题意，
故答案为：B．
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
5．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A、 射击运动员射击一次，命中十环是随机事件，故此选项结论错误，不符合题意；
B、 两个负数相乘，积是正数是必然事件，故此选项结论错误，不符合题意；
C、了解某品牌手机电池待机时间用抽样调查，故此选项结论错误，不符合题意；
D、了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查，故此选项结论正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件；在一定条件下，一定不会发生的事件就是不可能事件；在一定条件下，一定会发生的事件就是必然事件，根据定义即可A、B两个选项；全面调查数据准确，但耗时费力；抽样调查省时省力，但数据不够准确；一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断C、D选项即可.
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式x-1≤0得x≤1，
解不等式x+3＞0得x＞-3，
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为：
．
故选：A．
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可；定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”，先分别解两个不等式得到x≤1和x＞-3，然后利用数轴分别表示出x≤1和x＞-3，结合选项，逐项判定，即可求解.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数，
∴双曲线位于第二，四象限，
当时，；
当当时，函数值y随着x的增大而增大，即当时，，
∴．
故选：B．
【分析】
由于，、、，又因为在每一个分支内y都随着x的增大而增大，即可得出答案．
8．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺，
∴；
∵将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺，
∴.
∴根据题意可列方程组，
故答案为：C.
【分析】根据题意，设绳长x尺，井深y尺，找出等量关系，列出方程组，即可求解.
9．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由圆周角定理知，同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半 ．故连接，则，再由等边三角形的性质可得，最后根据角的和差求出即可．
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，当时，作于点G，
∵四边形是矩形，
∴，
根据勾股定理，得.
∵，
∴．
在中，，
∴，
根据勾股定理，得，
∴；
如图所示，当时，由上述可知，且，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
则，
∴，
在中，，
则，
∴，
∴．
综上所述，的值是或．
故选：D．
【分析】
由矩形的性质知，当AB=AO时，为等边三角形，则，所以，由于OF11．【答案】（2-x）2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：4-4x+x2=（2-x）2【分析】根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”可求解.
12．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：根据题意，一共有4种等可能性，其中红色的等可能性只有1种，
故当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为．
故答案为：．
【分析】
根据简单地概率公式计算即可．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据根与系数的关系得：，，
所以，
故答案为：．
【分析】
若，是一元二次方程的两根时，，先利用根与系数的关系分别得到和的值，整体代入即可．
14．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；相似三角形的判定；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解： AD为的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
．
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义可得：，根据等腰三角形的性质得：，进而求得的长，根据，证明，根据相似三角形的性质与判定即可求解．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，作，连接，
，
令正方形网格的边长为，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】作，连接，可以得到，再利用勾股定理得到BE、AE、AB的长，得到，然后利用正弦的定义解题即可．
16．【答案】4；
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴
∵点G是的中点，
∴．
如图，连接，
根据题意，得．
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得（舍去）或，
∴，
故答案为：4，．
【分析】
由于矩形的对边平行，则由两直线平行内错角相等可得，由于BE=BM，则，由对顶角相等可得，即GC=GM=2，由中点的概念可得AB=CD=4；再连接FM、FB，由折叠的性质可得FE=BE、FM=BM，结合已知BE=BM，则四边形BEFM是菱形，则BF平分、BM//EF，则，再由角平分线的性质可得FN=FA，由HL可判定，则AE=MN，即可得BN=BA=4；此时可设AE=x，则MN=x，NG=2-x，BE=4-x，由菱形的性质可得FM=BE、FM//AB//CD，则可证，再利用相似比即可求得x即AE的值．
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
解得．
经检验：是原方程的解．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；去分母法解分式方程
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算顺序顺序是，先乘方（开方 ）， 再乘除，最后再计算加减，运算时要注意0次幂、负整数指数幂的运算法则，另开方时注意算术平方根与立方的结果，同时要牢记特殊角的三角函数值；
（2）解分式方程的一般步骤，去分母，分括号，移项，合并同类项，系数化为1，再检验，最后再写解．
18．【答案】（1）解：取格点，连接交于点，连接，如图：
由图可知，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴为中点，
∴，
∴为的高．
（2）解：取格点，连接交于，如图：
由图可得，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点就是所求的点．
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）先根据矩形的对角线平分得到AC的中点D，连接BD即可解题；
（2）根据相似三角形的对应边成比例，取格点，使得AP=3，BQ=2，连接交于解题.
19．【答案】（1），
（2）D
（3）解：∵名学生中分以上包括分的人数找的比例为，∴人，
答：该校名学生中成绩在分以上包括分的人数为人．
【知识点】条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
故答案为：．
∴名学生中组的人数为：（人），
故条形统计图如图所示：
（2）
解：∵，
∴这名学生成绩的中位数会落在D组，
故答案为：．
【分析】
（1）观察条形统计图和频数统计表，可用减去其余各组人数所占的百分数即可得的值，进而可求出组人数，补全条形统计图即可．
（2）由于这200名同学的成绩已按照从小到大的顺序排列，只需确定第100名和第101名学生成绩的平均值即可．
（3）用总人数乘以组人数所占百分比即可．
（1）解：根据题意可得：，
故答案为：．
∴名学生中组的人数为：（人），
故条形统计图如图所示：
（2）解：∵，
∴这名学生成绩的中位数会落在D组，
故答案为：．
（3）解：∵名学生中分以上包括分的人数找的比例为，
∴人，
答：该校名学生中成绩在分以上包括分的人数为人．
20．【答案】（1）解：∵在反比例函数上，
∴把，代入得：，
解得：，
∴反比例函数解析式为：，
∵在反比例函数上，
∴把，代入得：，
∴，
设直线的函数解析式为：，分别代入和点得：
，
解得：，
∴一次函数解析式为：，
（2）解：把代入可得：，
把代入可得：，
∵，
∴，
又∵点的横坐标为，点的横坐标为
∴当时，结合图象可得：或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）把代入即可得到反比例函数解析式，进而求出点A的坐标为，然后把代入一次函数解析式即可；
（2）把代入可得：，把代入可得：，根据题意即可知：当时，即为，进而结合函数图象即可求解．
21．【答案】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
即.
（2）解：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

【知识点】勾股定理的逆定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和利用角的等量代换得到：，进而证明，则，进而即可求解；
（2）由（1）得，，并结合（1）中的结论求出AB的长度，最后则再利用勾股定理的逆定理即可解答．
22．【答案】（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）解：①结论：不能在货物前停车．理由如下： 由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；二次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）根据表格中数据利用待定系数法即可确定函数表达式；
（2）①先将64.8千米/时转换18米/秒，再将=18米/秒代入解析式即可解答；
②先求出汽车感知并计算过程中行进的距离，可得出汽车距离障碍物的距离，此时再解直角三角形计算出汽车避险时水平移动的距离，再与车道宽的一半进行比较即可．
（1）解：由题意得，先进行单位转化：72千米/时米/秒；108千米/时米/秒；
经过和
可得，
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为；
（2）①结论：不能在货物前停车．理由如下：
由题意得，先进行单位转化：64.8千米/时米/秒，
代入函数关系式得：米米，
∴不能在货物前停车．
②避险不成功，理由如下：
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒，此时汽车已行进9米，
如图，即，
，
由题意得，，
，
避险不成功．
23．【答案】（1）①解：∵二次函的图象过点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为；
②解：∵和都是二次函数图象上的点，
，，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴的最小值是；
（2）解：∵∴对称轴为直线
∵二次项系数为
∴抛物线开口向上
∵当时，二次函数有最小值，
①当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得，不符合题意，舍去；
②当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得或（不符合题意，舍去）；
③当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得；
综上所述，实数k的值为或．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】
（1）①利用待定系数法直接代入点的坐标求解即可；
②利用二次函数图象上点的坐标特征把A、B两点的坐标代入到到解析式中先表示出，再根据 可用含的代数式表示出从而得到实质是关于的二次函数，化一般形式为顶点式，由于其二次项系数为正，则有最小值；
（2）首先将二次函数的一般形式转化为顶点式，即，可得到对称轴为直线，则抛物线开口向上，然后分3种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别根据二次函数的性质求解即可．
（1）①解：∵二次函的图象过点，
∴，
∴，
∴二次函数的表达式为；
②解：∵和都是二次函数图象上的点，
，，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴的最小值是；
（2）∵
∴对称轴为直线
∵二次项系数为
∴抛物线开口向上
∵当时，二次函数有最小值，
①当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得，不符合题意，舍去；
②当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得或（不符合题意，舍去）；
③当时，
∴当时，二次函数有最小值，
∴
解得；
综上所述，实数k的值为或．
24．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设交于点，连接，
∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
（3）解：①∵，则，
∴，
∵D为中点，O为中点，
∴
即：
②∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵D为中点，O为中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，连接，
设，则，，
在中，根据勾股定理可得，，
∴同理可得：，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（）由等弧所对的圆周角相等可得AE平分，由AB=AD可得是等腰三角形，再由等腰三线合一性质可得结论成立；
（）设交于点，连接，由是的直径可得，此时可根据已知可利用勾股定理，分别计算出BE、AB的长，由于AE平分，则可证是等腰直角三角形，再由勾股定理分别计算出BP、PE即可；
（）①由题意知，则可得，由于三角形的中线等分这个三角形的面积，则由D为中点，O为中点可得；
②由于OD是的中位线，则，由垂径定理的推论可知，再由等角 的余角相等可得，即可证明，从而借助与的面积关系利用相似比来计算，如图可连接，设，则，，，可得相似比，再利用面积比等于相似比的平方可得，则可得．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴；
（2）解：设交于点，连接，
∵是的直径，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴；
（3）解：①∵，则，
∴，
∵D为中点，O为中点，
∴
即：
②∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∵，经过圆心，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
如图，连接，
设，则，，
在中，根据勾股定理可得，，
∴同理可得：，
∵，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
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