【精品解析】浙江省宁波市鄞州区十二校联考2025年中考一模数学试题

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浙江省宁波市鄞州区十二校联考2025年中考一模数学试题
1.(2025·鄞州模拟)2025的相反数是(  )
A.2025 B. C. D.
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解:的相反数是,
故答案为:B.
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数,正数的相反数是负数,0的相反数是0,负数的相反数是正数,据此解答即可.
2.(2025·鄞州模拟)深度求索(DeepSeek AI)的崛起,其意义涉及国家战略乃至全球AI竞争态势的重塑.从2025年1月20日发布DeepSeek-R1并开源,DeepSeek一度登顶苹果中国地区和美国地区应用商店免费APP下载排行榜,据统计截至2月9日,DeepSeek App 的累计下载量已超1.1亿次,周活跃用户规模最高近 9780 万.将9780万用科学记数法表示为(  )
A. B.9 C. D.
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解:根据题意,得9780万,

故选:C.
【分析】
用科学记数法表示绝对值大于1的数,常把这个数字表示成的形式,其中,n为这个数字整数部分位数与1的差.
3.(2025·鄞州模拟)如图是由7个小正方体搭建而成的几何体,则它的正(主)视图是(  )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解:根据主视图的定义可知,此几何体的主视图是

故答案为:A.
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形并结合题意即可求解.
4.(2025·鄞州模拟)下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;合并同类项法则及应用;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:A、≠a6,
∴此选项不符合题意;
B、,
∴此选项符合题意;
C、≠a2,
∴此选项不符合题意;
D、≠a5,
∴此选项不符合题意,
故答案为:B.
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”可求解;
B、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变”可求解;
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除,底数不变,指数相减”可求解;
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方,底数不变,指数相乘”可求解.
5.(2025·鄞州模拟)下列说法正确的是(  )
A.射击运动员射击一次,命中十环是必然事件.
B.两个负数相乘,积是正数是不可能事件.
C.了解某品牌手机电池待机时间用全面调查
D.了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查.
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查;事件的分类;事件发生的可能性
【解析】【解答】解:A、 射击运动员射击一次,命中十环是随机事件,故此选项结论错误,不符合题意;
B、 两个负数相乘,积是正数是必然事件,故此选项结论错误,不符合题意;
C、了解某品牌手机电池待机时间用抽样调查,故此选项结论错误,不符合题意;
D、了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查,故此选项结论正确,符合题意.
故答案为:D.
【分析】在一定条件下,可能发生,也可能不会发生的事件就是随机事件;在一定条件下,一定不会发生的事件就是不可能事件;在一定条件下,一定会发生的事件就是必然事件,根据定义即可A、B两个选项;全面调查数据准确,但耗时费力;抽样调查省时省力,但数据不够准确;一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时,应选择抽样调查;对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查,据此判断C、D选项即可.
6.(2025·鄞州模拟)不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是(  )
A. B.
C. D.
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集;解一元一次不等式组
【解析】【解答】解:解不等式x-1≤0得x≤1,
解不等式x+3>0得x>-3,
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为:

故选:A.
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集,用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可;定边界点时要注意,点是实心还是空心,若边界点含于解集为实心点,不含于解集即为空心点;二是定方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”,先分别解两个不等式得到x≤1和x>-3,然后利用数轴分别表示出x≤1和x>-3,结合选项,逐项判定,即可求解.
7.(2025·鄞州模拟)已知点在反比例函数的图象上,则的大小关系是(  )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质;反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解:∵反比例函数,
∴双曲线位于第二,四象限,
当时,;
当当时,函数值y随着x的增大而增大,即当时,,
∴.
故选:B.
【分析】
由于,、、,又因为在每一个分支内y都随着x的增大而增大,即可得出答案.
8.(2025·鄞州模拟)《九章算术》是我国古老的数学经典著作,书中提到这样一道题目:以绳测井。若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?题目大意是:用绳子测量水井的深度。如果将绳子折成三等份,一份绳长比井深多4尺;如果将绳子折成四等份,一份绳长比井深多1尺。绳长,井深各是多少尺?若设绳长尺,井深尺,则符合题意的方程组是(  )
A. B.
C. D.
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解:∵将绳子折成三等份,一份绳长比井深多4尺,
∴;
∵将绳子折成四等份,一份绳长比井深多1尺,
∴.
∴根据题意可列方程组,
故答案为:C.
【分析】根据题意,设绳长x尺,井深y尺,找出等量关系,列出方程组,即可求解.
9.(2025·鄞州模拟)如图,在中,是正三角形,点C在上,若,则(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解:连接,
∵是正三角形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
故选:C.
【分析】
由圆周角定理知,同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半 .故连接,则,再由等边三角形的性质可得,最后根据角的和差求出即可.
10.(2025·鄞州模拟)如图,在矩形中,对角线相交于点为边上一个动点(不与点D,E重合)连接,将沿折叠,点落在处,交边于点,当是等腰三角形时,的长是(  )
A. B.
C.或 D.或
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质;勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题);解直角三角形
【解析】【解答】解:如图所示,当时,作于点G,
∵四边形是矩形,
∴,
根据勾股定理,得.
∵,
∴.
在中,,
∴,
根据勾股定理,得,
∴;
如图所示,当时,由上述可知,且,,
∵四边形是矩形,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴.
则,
∴,
在中,,
则,
∴,
∴.
综上所述,的值是或.
故选:D.
【分析】
由矩形的性质知,当AB=AO时,为等边三角形,则,所以,由于OF11.(2025·鄞州模拟)分解因式:4-4x+x2=   .
【答案】(2-x)2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解:4-4x+x2=(2-x)2【分析】根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”可求解.
12.(2025·鄞州模拟)如图是一个可以自由转动的转盘,转盘被等分成四个扇形,转动转盘,当转盘停止时,指针落在红色区域的概率为   .
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解:根据题意,一共有4种等可能性,其中红色的等可能性只有1种,
故当转盘停止时,指针落在红色区域的概率为.
故答案为:.
【分析】
根据简单地概率公式计算即可.
13.(2025·鄞州模拟)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和,则的值为   .
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:根据根与系数的关系得:,,
所以,
故答案为:.
【分析】
若,是一元二次方程的两根时,,先利用根与系数的关系分别得到和的值,整体代入即可.
14.(2025·鄞州模拟)如图,在中,AD为的平分线,,若DE=3,CE=4,则AB的值   .
【答案】
【知识点】平行线的性质;等腰三角形的判定与性质;相似三角形的判定;角平分线的概念;相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解: AD为的平分线,








,即,

故答案为:.
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义可得:,根据等腰三角形的性质得:,进而求得的长,根据,证明,根据相似三角形的性质与判定即可求解.
15.(2025·鄞州模拟)如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,,,,都在格点处,与相交于点,则的值为   .
【答案】
【知识点】勾股定理;勾股定理的逆定理;求正弦值
【解析】【解答】解:如图,作,连接,

令正方形网格的边长为,







故答案为: .
【分析】作,连接,可以得到,再利用勾股定理得到BE、AE、AB的长,得到,然后利用正弦的定义解题即可.
16.(2025·鄞州模拟)如图,在矩形中,点E在边上,与关于直线对称,点B的对称点F在边上,G为中点,连结分别与交于M,N两点,若,,则的长为   ,的长为   .
【答案】4;
【知识点】菱形的判定与性质;矩形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定;相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解:∵四边形是矩形,
∴,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴,

∵点G是的中点,
∴.
如图,连接,
根据题意,得.
∵,
∴,
∴四边形是菱形,
∴平分,
∴,
∴,
∴,
∴.
∴.
设,
∵,
∴,
∴,
∴,
即,
解得(舍去)或,
∴,
故答案为:4,.
【分析】
由于矩形的对边平行,则由两直线平行内错角相等可得,由于BE=BM,则,由对顶角相等可得,即GC=GM=2,由中点的概念可得AB=CD=4;再连接FM、FB,由折叠的性质可得FE=BE、FM=BM,结合已知BE=BM,则四边形BEFM是菱形,则BF平分、BM//EF,则,再由角平分线的性质可得FN=FA,由HL可判定,则AE=MN,即可得BN=BA=4;此时可设AE=x,则MN=x,NG=2-x,BE=4-x,由菱形的性质可得FM=BE、FM//AB//CD,则可证,再利用相似比即可求得x即AE的值.
17.(2025·鄞州模拟)(1)计算:.
(2)解方程:.
【答案】解:(1)原式

(2)去分母,得,
去括号,得,
移项,合并同类项,得,
解得.
经检验:是原方程的解.
【知识点】实数的混合运算(含开方);去分母法解分式方程
【解析】【分析】
(1)实数的混合运算顺序顺序是,先乘方(开方 ), 再乘除,最后再计算加减,运算时要注意0次幂、负整数指数幂的运算法则,另开方时注意算术平方根与立方的结果,同时要牢记特殊角的三角函数值;
(2)解分式方程的一般步骤,去分母,分括号,移项,合并同类项,系数化为1,再检验,最后再写解.
18.(2025·鄞州模拟)如图的网格中,的顶点都在格点上,每个小正方形的边长均为1.仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图.(保留画图痕迹,画图过程中辅助线用虚线,画图结果用实线、实心点表示)
(1)请在图1中画出的高.
(2)请在图2中在线段上找一点E,使.
【答案】(1)解:取格点,连接交于点,连接,如图:
由图可知,,
∴,
∵四边形是矩形,
∴为中点,
∴,
∴为的高.
(2)解:取格点,连接交于,如图:
由图可得,四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴点就是所求的点.
【知识点】平行四边形的性质;矩形的性质;两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
【解析】【分析】(1)先根据矩形的对角线平分得到AC的中点D,连接BD即可解题;
(2)根据相似三角形的对应边成比例,取格点,使得AP=3,BQ=2,连接交于解题.
19.(2025·鄞州模拟)宇树科技创始人王兴兴,出生于年,宁波余姚人.年,宇树科技发布了领先全球技术水平人形智能体,激发了青少年热爱科学的热情.某校为了普及“机器人”知识,从该校名学生中随机抽取了名学生参加“机器人”知识测试,将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表:
成绩统计表
组别 成绩分 百分比





根据所给信息,解答下列问题:
(1)本次调查的成绩统计表中 ,并补全条形统计图;
(2)这名学生成绩的中位数会落在 组填、、、或;
(3)试估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数.
【答案】(1),
(2)D
(3)解:∵名学生中分以上包括分的人数找的比例为,∴人,
答:该校名学生中成绩在分以上包括分的人数为人.
【知识点】条形统计图;中位数;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)解:根据题意可得:,
故答案为:.
∴名学生中组的人数为:(人),
故条形统计图如图所示:
(2)
解:∵,
∴这名学生成绩的中位数会落在D组,
故答案为:.
【分析】
(1)观察条形统计图和频数统计表,可用减去其余各组人数所占的百分数即可得的值,进而可求出组人数,补全条形统计图即可.
(2)由于这200名同学的成绩已按照从小到大的顺序排列,只需确定第100名和第101名学生成绩的平均值即可.
(3)用总人数乘以组人数所占百分比即可.
(1)解:根据题意可得:,
故答案为:.
∴名学生中组的人数为:(人),
故条形统计图如图所示:
(2)解:∵,
∴这名学生成绩的中位数会落在D组,
故答案为:.
(3)解:∵名学生中分以上包括分的人数找的比例为,
∴人,
答:该校名学生中成绩在分以上包括分的人数为人.
20.(2025·鄞州模拟)如图,一次函数与反比例函数的图象相交于,两点,,的坐标分别为,.
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式;
(2)已知点,,分别在一次函数和反比例函数上,当时,直接写出的取值范围.
【答案】(1)解:∵在反比例函数上,
∴把,代入得:,
解得:,
∴反比例函数解析式为:,
∵在反比例函数上,
∴把,代入得:,
∴,
设直线的函数解析式为:,分别代入和点得:

解得:,
∴一次函数解析式为:,
(2)解:把代入可得:,
把代入可得:,
∵,
∴,
又∵点的横坐标为,点的横坐标为
∴当时,结合图象可得:或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)把代入即可得到反比例函数解析式,进而求出点A的坐标为,然后把代入一次函数解析式即可;
(2)把代入可得:,把代入可得:,根据题意即可知:当时,即为,进而结合函数图象即可求解.
21.(2025·鄞州模拟)如图,在中,的平分线交边于点,已知.
(1)求证:;
(2)若,求的度数.
【答案】(1)证明:∵平分,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,

即.
(2)解:由(1)得,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.

【知识点】勾股定理的逆定理;角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义和利用角的等量代换得到:,进而证明,则,进而即可求解;
(2)由(1)得,,并结合(1)中的结论求出AB的长度,最后则再利用勾股定理的逆定理即可解答.
22.(2025·鄞州模拟)随着电动汽车和AI技术的不断发展,通过传感器、人工智能算法、控制器等技术,实现车辆的自主驾驶功能.在检测到障碍物场景下,智能汽车自动通过智算达到自动刹车(或绕过障碍物).整个刹车过程反应时间分:1、感知障碍物并传输信息;2、计算决策;3、执行决策(刹车或绕行).从感知到开始执行刹车前,智能系统总反应时间秒之间,低于人类驾驶员秒的反应时间.
总停车距离() = 反应距离() + 制动距离():记作为:(:从感知到车停共经过的距离,单位米;:感知、计算的反应时间,单位秒;:刹车前行车速度,单位米/秒;:减速度,单位米/秒).经实地测试,智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时,刹车制动距离的数据如下:
车速(千米/时) 72 108 ┄
停车距离(米) 35 71.25 ┄
(1)请根据素材求:从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式;
(2)请根据素材回答问题:某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时,某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道(假设掉地后静止不动).测试汽车感知后立即启动智能程序并计算,
①请你判断,智能汽车不改变方向情况下,能否在货物前停车?
②当汽车在高速行驶时(千米/时),汽车紧急拐弯的角度可以达到,在不减速的情况下拐弯绕行避险,能否成功?
(参考数据:每个车道的宽度为米)
【答案】(1)解:由题意得,先进行单位转化:72千米/时米/秒;108千米/时米/秒;
经过和
可得,
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为;
(2)解:①结论:不能在货物前停车.理由如下: 由题意得,先进行单位转化:64.8千米/时米/秒,
代入函数关系式得:米米,
∴不能在货物前停车.
②避险不成功,理由如下:
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒,此时汽车已行进9米,
如图,即,

由题意得,,

避险不成功.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用;二次函数的其他应用
【解析】【分析】
(1)根据表格中数据利用待定系数法即可确定函数表达式;
(2)①先将64.8千米/时转换18米/秒,再将=18米/秒代入解析式即可解答;
②先求出汽车感知并计算过程中行进的距离,可得出汽车距离障碍物的距离,此时再解直角三角形计算出汽车避险时水平移动的距离,再与车道宽的一半进行比较即可.
(1)解:由题意得,先进行单位转化:72千米/时米/秒;108千米/时米/秒;
经过和
可得,
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为;
(2)①结论:不能在货物前停车.理由如下:
由题意得,先进行单位转化:64.8千米/时米/秒,
代入函数关系式得:米米,
∴不能在货物前停车.
②避险不成功,理由如下:
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒,此时汽车已行进9米,
如图,即,

由题意得,,

避险不成功.
23.(2025·鄞州模拟)已知二次函数.
(1)当函数图象过点时:
①求二次函数的表达式.
②若和都是二次函数图象上的点,且,求的最小值.
(2)当时,二次函数有最小值,请直接写出实数k的值为 .
【答案】(1)①解:∵二次函的图象过点,
∴,
∴,
∴二次函数的表达式为;
②解:∵和都是二次函数图象上的点,
,,

∵,
∴,

∵,
∴的最小值是;
(2)解:∵∴对称轴为直线
∵二次项系数为
∴抛物线开口向上
∵当时,二次函数有最小值,
①当时,
∴当时,二次函数有最小值,

解得,不符合题意,舍去;
②当时,
∴当时,二次函数有最小值,

解得或(不符合题意,舍去);
③当时,
∴当时,二次函数有最小值,

解得;
综上所述,实数k的值为或.
【知识点】二次函数的最值;待定系数法求二次函数解析式;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
【解析】【分析】
(1)①利用待定系数法直接代入点的坐标求解即可;
②利用二次函数图象上点的坐标特征把A、B两点的坐标代入到到解析式中先表示出,再根据 可用含的代数式表示出从而得到实质是关于的二次函数,化一般形式为顶点式,由于其二次项系数为正,则有最小值;
(2)首先将二次函数的一般形式转化为顶点式,即,可得到对称轴为直线,则抛物线开口向上,然后分3种情况讨论:①当时,②当时,③当时,分别根据二次函数的性质求解即可.
(1)①解:∵二次函的图象过点,
∴,
∴,
∴二次函数的表达式为;
②解:∵和都是二次函数图象上的点,
,,

∵,
∴,

∵,
∴的最小值是;
(2)∵
∴对称轴为直线
∵二次项系数为
∴抛物线开口向上
∵当时,二次函数有最小值,
①当时,
∴当时,二次函数有最小值,

解得,不符合题意,舍去;
②当时,
∴当时,二次函数有最小值,

解得或(不符合题意,舍去);
③当时,
∴当时,二次函数有最小值,

解得;
综上所述,实数k的值为或.
24.(2025·鄞州模拟)如图1,已知内接于,且是的中点,连接交直径于点,连接.
(1)求证:.
(2)若,求的长
(3)如图2,连接并延长交于点G,连接,
①设,,求y关于x的函数关系式;
②求的值.
【答案】(1)证明:∵是的直径,
∴,
∵是的中点,
∴,
∵,
∴;
(2)解:设交于点,连接,
∵是的直径,
∴,
∵是的中点,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
由勾股定理得,,
∴;
(3)解:①∵,则,
∴,
∵D为中点,O为中点,

即:
②∵,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵D为中点,O为中点,
∴,
∵为的中点,
∴,
∵,,
∴,
∴,
如图,连接,
设,则,,
在中,根据勾股定理可得,,
∴同理可得:,
∵,,,
∴,
在中,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴;
【知识点】等腰三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】()由等弧所对的圆周角相等可得AE平分,由AB=AD可得是等腰三角形,再由等腰三线合一性质可得结论成立;
()设交于点,连接,由是的直径可得,此时可根据已知可利用勾股定理,分别计算出BE、AB的长,由于AE平分,则可证是等腰直角三角形,再由勾股定理分别计算出BP、PE即可;
()①由题意知,则可得,由于三角形的中线等分这个三角形的面积,则由D为中点,O为中点可得;
②由于OD是的中位线,则,由垂径定理的推论可知,再由等角 的余角相等可得,即可证明,从而借助与的面积关系利用相似比来计算,如图可连接,设,则,,,可得相似比,再利用面积比等于相似比的平方可得,则可得.
(1)证明:∵是的直径,
∴,
∵是的中点,
∴,
∵,
∴;
(2)解:设交于点,连接,
∵是的直径,
∴,
∵是的中点,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
由勾股定理得,,
∴;
(3)解:①∵,则,
∴,
∵D为中点,O为中点,

即:
②∵,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∵,经过圆心,
∴,
∴,
∵为的中点,
∴,
∵,,
∴,
∴,
如图,连接,
设,则,,
在中,根据勾股定理可得,,
∴同理可得:,
∵,,,
∴,
在中,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴;
1 / 1浙江省宁波市鄞州区十二校联考2025年中考一模数学试题
1.(2025·鄞州模拟)2025的相反数是(  )
A.2025 B. C. D.
2.(2025·鄞州模拟)深度求索(DeepSeek AI)的崛起,其意义涉及国家战略乃至全球AI竞争态势的重塑.从2025年1月20日发布DeepSeek-R1并开源,DeepSeek一度登顶苹果中国地区和美国地区应用商店免费APP下载排行榜,据统计截至2月9日,DeepSeek App 的累计下载量已超1.1亿次,周活跃用户规模最高近 9780 万.将9780万用科学记数法表示为(  )
A. B.9 C. D.
3.(2025·鄞州模拟)如图是由7个小正方体搭建而成的几何体,则它的正(主)视图是(  )
A. B. C. D.
4.(2025·鄞州模拟)下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.(2025·鄞州模拟)下列说法正确的是(  )
A.射击运动员射击一次,命中十环是必然事件.
B.两个负数相乘,积是正数是不可能事件.
C.了解某品牌手机电池待机时间用全面调查
D.了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查.
6.(2025·鄞州模拟)不等式组中的两个不等式的解集在同一个数轴上表示正确的是(  )
A. B.
C. D.
7.(2025·鄞州模拟)已知点在反比例函数的图象上,则的大小关系是(  )
A. B. C. D.
8.(2025·鄞州模拟)《九章算术》是我国古老的数学经典著作,书中提到这样一道题目:以绳测井。若将绳三折测之,绳多四尺;若将绳四折测之,绳多一尺.绳长、井深各几何?题目大意是:用绳子测量水井的深度。如果将绳子折成三等份,一份绳长比井深多4尺;如果将绳子折成四等份,一份绳长比井深多1尺。绳长,井深各是多少尺?若设绳长尺,井深尺,则符合题意的方程组是(  )
A. B.
C. D.
9.(2025·鄞州模拟)如图,在中,是正三角形,点C在上,若,则(  )
A. B. C. D.
10.(2025·鄞州模拟)如图,在矩形中,对角线相交于点为边上一个动点(不与点D,E重合)连接,将沿折叠,点落在处,交边于点,当是等腰三角形时,的长是(  )
A. B.
C.或 D.或
11.(2025·鄞州模拟)分解因式:4-4x+x2=   .
12.(2025·鄞州模拟)如图是一个可以自由转动的转盘,转盘被等分成四个扇形,转动转盘,当转盘停止时,指针落在红色区域的概率为   .
13.(2025·鄞州模拟)已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和,则的值为   .
14.(2025·鄞州模拟)如图,在中,AD为的平分线,,若DE=3,CE=4,则AB的值   .
15.(2025·鄞州模拟)如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,,,,都在格点处,与相交于点,则的值为   .
16.(2025·鄞州模拟)如图,在矩形中,点E在边上,与关于直线对称,点B的对称点F在边上,G为中点,连结分别与交于M,N两点,若,,则的长为   ,的长为   .
17.(2025·鄞州模拟)(1)计算:.
(2)解方程:.
18.(2025·鄞州模拟)如图的网格中,的顶点都在格点上,每个小正方形的边长均为1.仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图.(保留画图痕迹,画图过程中辅助线用虚线,画图结果用实线、实心点表示)
(1)请在图1中画出的高.
(2)请在图2中在线段上找一点E,使.
19.(2025·鄞州模拟)宇树科技创始人王兴兴,出生于年,宁波余姚人.年,宇树科技发布了领先全球技术水平人形智能体,激发了青少年热爱科学的热情.某校为了普及“机器人”知识,从该校名学生中随机抽取了名学生参加“机器人”知识测试,将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表:
成绩统计表
组别 成绩分 百分比





根据所给信息,解答下列问题:
(1)本次调查的成绩统计表中 ,并补全条形统计图;
(2)这名学生成绩的中位数会落在 组填、、、或;
(3)试估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数.
20.(2025·鄞州模拟)如图,一次函数与反比例函数的图象相交于,两点,,的坐标分别为,.
(1)分别求出一次函数和反比例函数的解析式;
(2)已知点,,分别在一次函数和反比例函数上,当时,直接写出的取值范围.
21.(2025·鄞州模拟)如图,在中,的平分线交边于点,已知.
(1)求证:;
(2)若,求的度数.
22.(2025·鄞州模拟)随着电动汽车和AI技术的不断发展,通过传感器、人工智能算法、控制器等技术,实现车辆的自主驾驶功能.在检测到障碍物场景下,智能汽车自动通过智算达到自动刹车(或绕过障碍物).整个刹车过程反应时间分:1、感知障碍物并传输信息;2、计算决策;3、执行决策(刹车或绕行).从感知到开始执行刹车前,智能系统总反应时间秒之间,低于人类驾驶员秒的反应时间.
总停车距离() = 反应距离() + 制动距离():记作为:(:从感知到车停共经过的距离,单位米;:感知、计算的反应时间,单位秒;:刹车前行车速度,单位米/秒;:减速度,单位米/秒).经实地测试,智能汽车在不同行驶速度下检测到障碍物时,刹车制动距离的数据如下:
车速(千米/时) 72 108 ┄
停车距离(米) 35 71.25 ┄
(1)请根据素材求:从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式;
(2)请根据素材回答问题:某智能测试汽车以千米/时正在一个车道正中间行驶时,某时刻前方相距米的货车上突然掉下一包货物几乎布满整个车道(假设掉地后静止不动).测试汽车感知后立即启动智能程序并计算,
①请你判断,智能汽车不改变方向情况下,能否在货物前停车?
②当汽车在高速行驶时(千米/时),汽车紧急拐弯的角度可以达到,在不减速的情况下拐弯绕行避险,能否成功?
(参考数据:每个车道的宽度为米)
23.(2025·鄞州模拟)已知二次函数.
(1)当函数图象过点时:
①求二次函数的表达式.
②若和都是二次函数图象上的点,且,求的最小值.
(2)当时,二次函数有最小值,请直接写出实数k的值为 .
24.(2025·鄞州模拟)如图1,已知内接于,且是的中点,连接交直径于点,连接.
(1)求证:.
(2)若,求的长
(3)如图2,连接并延长交于点G,连接,
①设,,求y关于x的函数关系式;
②求的值.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解:的相反数是,
故答案为:B.
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数,正数的相反数是负数,0的相反数是0,负数的相反数是正数,据此解答即可.
2.【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解:根据题意,得9780万,

故选:C.
【分析】
用科学记数法表示绝对值大于1的数,常把这个数字表示成的形式,其中,n为这个数字整数部分位数与1的差.
3.【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解:根据主视图的定义可知,此几何体的主视图是

故答案为:A.
【分析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形并结合题意即可求解.
4.【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法;同底数幂的除法;合并同类项法则及应用;幂的乘方运算
【解析】【解答】解:A、≠a6,
∴此选项不符合题意;
B、,
∴此选项符合题意;
C、≠a2,
∴此选项不符合题意;
D、≠a5,
∴此选项不符合题意,
故答案为:B.
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘,底数不变,指数相加”可求解;
B、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加,字母和字母的指数不变”可求解;
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除,底数不变,指数相减”可求解;
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方,底数不变,指数相乘”可求解.
5.【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查;事件的分类;事件发生的可能性
【解析】【解答】解:A、 射击运动员射击一次,命中十环是随机事件,故此选项结论错误,不符合题意;
B、 两个负数相乘,积是正数是必然事件,故此选项结论错误,不符合题意;
C、了解某品牌手机电池待机时间用抽样调查,故此选项结论错误,不符合题意;
D、了解荆州市中学生目前的睡眠情况用抽样调查,故此选项结论正确,符合题意.
故答案为:D.
【分析】在一定条件下,可能发生,也可能不会发生的事件就是随机事件;在一定条件下,一定不会发生的事件就是不可能事件;在一定条件下,一定会发生的事件就是必然事件,根据定义即可A、B两个选项;全面调查数据准确,但耗时费力;抽样调查省时省力,但数据不够准确;一般来说,对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时,应选择抽样调查;对于精确度要求高的调查,事关重大的调查往往选用普查,据此判断C、D选项即可.
6.【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集;解一元一次不等式组
【解析】【解答】解:解不等式x-1≤0得x≤1,
解不等式x+3>0得x>-3,
所以不等式组的两个不等式的解集在同一个数轴上表示为:

故选:A.
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集,用数轴表示不等式的解集时,要注意“两定”:一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可;定边界点时要注意,点是实心还是空心,若边界点含于解集为实心点,不含于解集即为空心点;二是定方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”,先分别解两个不等式得到x≤1和x>-3,然后利用数轴分别表示出x≤1和x>-3,结合选项,逐项判定,即可求解.
7.【答案】B
【知识点】反比例函数的性质;反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解:∵反比例函数,
∴双曲线位于第二,四象限,
当时,;
当当时,函数值y随着x的增大而增大,即当时,,
∴.
故选:B.
【分析】
由于,、、,又因为在每一个分支内y都随着x的增大而增大,即可得出答案.
8.【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解:∵将绳子折成三等份,一份绳长比井深多4尺,
∴;
∵将绳子折成四等份,一份绳长比井深多1尺,
∴.
∴根据题意可列方程组,
故答案为:C.
【分析】根据题意,设绳长x尺,井深y尺,找出等量关系,列出方程组,即可求解.
9.【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解:连接,
∵是正三角形,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
故选:C.
【分析】
由圆周角定理知,同弧所对的圆周角是圆心角度数的一半 .故连接,则,再由等边三角形的性质可得,最后根据角的和差求出即可.
10.【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质;勾股定理;矩形的性质;翻折变换(折叠问题);解直角三角形
【解析】【解答】解:如图所示,当时,作于点G,
∵四边形是矩形,
∴,
根据勾股定理,得.
∵,
∴.
在中,,
∴,
根据勾股定理,得,
∴;
如图所示,当时,由上述可知,且,,
∵四边形是矩形,
∴,
∴是等边三角形,
∴,
∴.
则,
∴,
在中,,
则,
∴,
∴.
综上所述,的值是或.
故选:D.
【分析】
由矩形的性质知,当AB=AO时,为等边三角形,则,所以,由于OF11.【答案】(2-x)2
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解:4-4x+x2=(2-x)2【分析】根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”可求解.
12.【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解:根据题意,一共有4种等可能性,其中红色的等可能性只有1种,
故当转盘停止时,指针落在红色区域的概率为.
故答案为:.
【分析】
根据简单地概率公式计算即可.
13.【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)
【解析】【解答】解:根据根与系数的关系得:,,
所以,
故答案为:.
【分析】
若,是一元二次方程的两根时,,先利用根与系数的关系分别得到和的值,整体代入即可.
14.【答案】
【知识点】平行线的性质;等腰三角形的判定与性质;相似三角形的判定;角平分线的概念;相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解: AD为的平分线,








,即,

故答案为:.
【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义可得:,根据等腰三角形的性质得:,进而求得的长,根据,证明,根据相似三角形的性质与判定即可求解.
15.【答案】
【知识点】勾股定理;勾股定理的逆定理;求正弦值
【解析】【解答】解:如图,作,连接,

令正方形网格的边长为,







故答案为: .
【分析】作,连接,可以得到,再利用勾股定理得到BE、AE、AB的长,得到,然后利用正弦的定义解题即可.
16.【答案】4;
【知识点】菱形的判定与性质;矩形的性质;翻折变换(折叠问题);相似三角形的判定;相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解:∵四边形是矩形,
∴,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴,

∵点G是的中点,
∴.
如图,连接,
根据题意,得.
∵,
∴,
∴四边形是菱形,
∴平分,
∴,
∴,
∴,
∴.
∴.
设,
∵,
∴,
∴,
∴,
即,
解得(舍去)或,
∴,
故答案为:4,.
【分析】
由于矩形的对边平行,则由两直线平行内错角相等可得,由于BE=BM,则,由对顶角相等可得,即GC=GM=2,由中点的概念可得AB=CD=4;再连接FM、FB,由折叠的性质可得FE=BE、FM=BM,结合已知BE=BM,则四边形BEFM是菱形,则BF平分、BM//EF,则,再由角平分线的性质可得FN=FA,由HL可判定,则AE=MN,即可得BN=BA=4;此时可设AE=x,则MN=x,NG=2-x,BE=4-x,由菱形的性质可得FM=BE、FM//AB//CD,则可证,再利用相似比即可求得x即AE的值.
17.【答案】解:(1)原式

(2)去分母,得,
去括号,得,
移项,合并同类项,得,
解得.
经检验:是原方程的解.
【知识点】实数的混合运算(含开方);去分母法解分式方程
【解析】【分析】
(1)实数的混合运算顺序顺序是,先乘方(开方 ), 再乘除,最后再计算加减,运算时要注意0次幂、负整数指数幂的运算法则,另开方时注意算术平方根与立方的结果,同时要牢记特殊角的三角函数值;
(2)解分式方程的一般步骤,去分母,分括号,移项,合并同类项,系数化为1,再检验,最后再写解.
18.【答案】(1)解:取格点,连接交于点,连接,如图:
由图可知,,
∴,
∵四边形是矩形,
∴为中点,
∴,
∴为的高.
(2)解:取格点,连接交于,如图:
由图可得,四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴点就是所求的点.
【知识点】平行四边形的性质;矩形的性质;两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例
【解析】【分析】(1)先根据矩形的对角线平分得到AC的中点D,连接BD即可解题;
(2)根据相似三角形的对应边成比例,取格点,使得AP=3,BQ=2,连接交于解题.
19.【答案】(1),
(2)D
(3)解:∵名学生中分以上包括分的人数找的比例为,∴人,
答:该校名学生中成绩在分以上包括分的人数为人.
【知识点】条形统计图;中位数;用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】(1)解:根据题意可得:,
故答案为:.
∴名学生中组的人数为:(人),
故条形统计图如图所示:
(2)
解:∵,
∴这名学生成绩的中位数会落在D组,
故答案为:.
【分析】
(1)观察条形统计图和频数统计表,可用减去其余各组人数所占的百分数即可得的值,进而可求出组人数,补全条形统计图即可.
(2)由于这200名同学的成绩已按照从小到大的顺序排列,只需确定第100名和第101名学生成绩的平均值即可.
(3)用总人数乘以组人数所占百分比即可.
(1)解:根据题意可得:,
故答案为:.
∴名学生中组的人数为:(人),
故条形统计图如图所示:
(2)解:∵,
∴这名学生成绩的中位数会落在D组,
故答案为:.
(3)解:∵名学生中分以上包括分的人数找的比例为,
∴人,
答:该校名学生中成绩在分以上包括分的人数为人.
20.【答案】(1)解:∵在反比例函数上,
∴把,代入得:,
解得:,
∴反比例函数解析式为:,
∵在反比例函数上,
∴把,代入得:,
∴,
设直线的函数解析式为:,分别代入和点得:

解得:,
∴一次函数解析式为:,
(2)解:把代入可得:,
把代入可得:,
∵,
∴,
又∵点的横坐标为,点的横坐标为
∴当时,结合图象可得:或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式;待定系数法求反比例函数解析式;反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】(1)把代入即可得到反比例函数解析式,进而求出点A的坐标为,然后把代入一次函数解析式即可;
(2)把代入可得:,把代入可得:,根据题意即可知:当时,即为,进而结合函数图象即可求解.
21.【答案】(1)证明:∵平分,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,

即.
(2)解:由(1)得,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴.

【知识点】勾股定理的逆定理;角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义和利用角的等量代换得到:,进而证明,则,进而即可求解;
(2)由(1)得,,并结合(1)中的结论求出AB的长度,最后则再利用勾股定理的逆定理即可解答.
22.【答案】(1)解:由题意得,先进行单位转化:72千米/时米/秒;108千米/时米/秒;
经过和
可得,
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为;
(2)解:①结论:不能在货物前停车.理由如下: 由题意得,先进行单位转化:64.8千米/时米/秒,
代入函数关系式得:米米,
∴不能在货物前停车.
②避险不成功,理由如下:
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒,此时汽车已行进9米,
如图,即,

由题意得,,

避险不成功.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用;二次函数的其他应用
【解析】【分析】
(1)根据表格中数据利用待定系数法即可确定函数表达式;
(2)①先将64.8千米/时转换18米/秒,再将=18米/秒代入解析式即可解答;
②先求出汽车感知并计算过程中行进的距离,可得出汽车距离障碍物的距离,此时再解直角三角形计算出汽车避险时水平移动的距离,再与车道宽的一半进行比较即可.
(1)解:由题意得,先进行单位转化:72千米/时米/秒;108千米/时米/秒;
经过和
可得,
解得
从感知到车停共经过的距离与刹车前行车速度的函数表达式为;
(2)①结论:不能在货物前停车.理由如下:
由题意得,先进行单位转化:64.8千米/时米/秒,
代入函数关系式得:米米,
∴不能在货物前停车.
②避险不成功,理由如下:
智能汽车感知、计算所反应的时间为秒,此时汽车已行进9米,
如图,即,

由题意得,,

避险不成功.
23.【答案】(1)①解:∵二次函的图象过点,
∴,
∴,
∴二次函数的表达式为;
②解:∵和都是二次函数图象上的点,
,,

∵,
∴,

∵,
∴的最小值是;
(2)解:∵∴对称轴为直线
∵二次项系数为
∴抛物线开口向上
∵当时,二次函数有最小值,
①当时,
∴当时,二次函数有最小值,

解得,不符合题意,舍去;
②当时,
∴当时,二次函数有最小值,

解得或(不符合题意,舍去);
③当时,
∴当时,二次函数有最小值,

解得;
综上所述,实数k的值为或.
【知识点】二次函数的最值;待定系数法求二次函数解析式;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
【解析】【分析】
(1)①利用待定系数法直接代入点的坐标求解即可;
②利用二次函数图象上点的坐标特征把A、B两点的坐标代入到到解析式中先表示出,再根据 可用含的代数式表示出从而得到实质是关于的二次函数,化一般形式为顶点式,由于其二次项系数为正,则有最小值;
(2)首先将二次函数的一般形式转化为顶点式,即,可得到对称轴为直线,则抛物线开口向上,然后分3种情况讨论:①当时,②当时,③当时,分别根据二次函数的性质求解即可.
(1)①解:∵二次函的图象过点,
∴,
∴,
∴二次函数的表达式为;
②解:∵和都是二次函数图象上的点,
,,

∵,
∴,

∵,
∴的最小值是;
(2)∵
∴对称轴为直线
∵二次项系数为
∴抛物线开口向上
∵当时,二次函数有最小值,
①当时,
∴当时,二次函数有最小值,

解得,不符合题意,舍去;
②当时,
∴当时,二次函数有最小值,

解得或(不符合题意,舍去);
③当时,
∴当时,二次函数有最小值,

解得;
综上所述,实数k的值为或.
24.【答案】(1)证明:∵是的直径,
∴,
∵是的中点,
∴,
∵,
∴;
(2)解:设交于点,连接,
∵是的直径,
∴,
∵是的中点,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
由勾股定理得,,
∴;
(3)解:①∵,则,
∴,
∵D为中点,O为中点,

即:
②∵,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵D为中点,O为中点,
∴,
∵为的中点,
∴,
∵,,
∴,
∴,
如图,连接,
设,则,,
在中,根据勾股定理可得,,
∴同理可得:,
∵,,,
∴,
在中,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴;
【知识点】等腰三角形的判定与性质;垂径定理;圆周角定理;相似三角形的判定-AA;相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】()由等弧所对的圆周角相等可得AE平分,由AB=AD可得是等腰三角形,再由等腰三线合一性质可得结论成立;
()设交于点,连接,由是的直径可得,此时可根据已知可利用勾股定理,分别计算出BE、AB的长,由于AE平分,则可证是等腰直角三角形,再由勾股定理分别计算出BP、PE即可;
()①由题意知,则可得,由于三角形的中线等分这个三角形的面积,则由D为中点,O为中点可得;
②由于OD是的中位线,则,由垂径定理的推论可知,再由等角 的余角相等可得,即可证明,从而借助与的面积关系利用相似比来计算,如图可连接,设,则,,,可得相似比,再利用面积比等于相似比的平方可得,则可得.
(1)证明:∵是的直径,
∴,
∵是的中点,
∴,
∵,
∴;
(2)解:设交于点,连接,
∵是的直径,
∴,
∵是的中点,
∴,
∴,
∴,
∵,,
∴,
∴,
∴,
∵,,,
∴,
由勾股定理得,,
∴;
(3)解:①∵,则,
∴,
∵D为中点,O为中点,

即:
②∵,,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∵,经过圆心,
∴,
∴,
∵为的中点,
∴,
∵,,
∴,
∴,
如图,连接,
设,则,,
在中,根据勾股定理可得,,
∴同理可得:,
∵,,,
∴,
在中,,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
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