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四川省乐山市 实验中学2025年中考一调考试数学 试题
1．（2025·乐山模拟）下列各数中是无理数的是（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2025·乐山模拟）下列几何体中，主视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·乐山模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·乐山模拟）如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．15° C．10° D．20°
5．（2025·乐山模拟）如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·乐山模拟）学校准备从初三年级的四个班中选出一组代表参加全市的数学知识大赛，各班平时成绩的平均数（单位：分）及方差如下表所示：
　 1班 2班 3班 4班
7 8 8 6
1 1
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应该选（　　）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
7．（2025·乐山模拟）若将抛物线先沿轴方向向右平移1个单位，再沿方向向下平移2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·乐山模拟）如图，是的直径，弦．如果，那么等于（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·乐山模拟）若函数；当时，此时该函数的最小值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·乐山模拟）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论：
①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则
其中正确结论的序号是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤
11．（2025·乐山模拟）当 x　 　时，二次根式有意义．
12．（2025·乐山模拟）月球的半径约为1738000米，1738000这个数用科学记数法表示为　 　．
13．（2025·乐山模拟）把多项式因式分解的结果是　 　．
14．（2025·乐山模拟）如图，扇形中，，，是的中点，交于点，以为半径的弧交于点，则图中阴影部分的面积是　 　．
15．（2025·乐山模拟）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，，相交于点，则的值是　 　．
16．（2025·乐山模拟）定义：对于平面直角坐标系中的线段和点，在中，当边上的高为2时，称为的“等高点”，称此时为的“等高距离”．
（1）若点的坐标为(1，2)，点的坐标为(4，2)，则在点 (1，0)，(，4)， (0，3)中，的“等高点”是点　 　；
（2）若(0，0)，＝2，当的“等高点”在轴正半轴上且“等高距离”最小时，点的坐标是　 　．
17．（2025·乐山模拟）计算： ．
18．（2025·乐山模拟）解不等式组： .
19．（2025·乐山模拟）如图，在平行四边形中，点、分别是、上的点，且，，求证：
（1）；
（2）四边形是菱形.
20．（2025·乐山模拟）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围．
21．（2025·乐山模拟）某校为了了解了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，从该校2000名学生中随机抽取了部分学生进行调查调查，调查结果分为“非常了解“、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将调查结果绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的学生共有　 　人，估计该校2000名学生中“不了解”的人数约有　 　人．
（2）“非常了解”的4人中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图和列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
22．（2025·乐山模拟）如图，已知等腰中，，以为直径的与底边交于点，过作，垂足为．
（1）求证：为的切线；
（2）连接，若，求的长．
23．（2025·乐山模拟）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼距离为57米，则教学楼的高度为多少米？（）
24．（2025·乐山模拟）如图，直线AB：y=kx+b与x轴．y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k的取值范围．
25．（2025·乐山模拟）如图（1），已知正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE=DF，AE、AF分别交BD于点G、H．
（1）求证：BG=DH；
（2）连接FE，如图（2），当EF=BG时．
①求证：AD AH=AF DF；
②直接写出的比值．
26．（2025·乐山模拟）如图，已知抛物线经过、两点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线（、为常数，且），直线（、为常数，且），若，则．
解决问题：①若直线与直线互相垂直，求的值；
②在抛物线上是否存在点，使得△PAB是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与、重合），求点到直线 距离的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：2是有理数，是有理数，是有理数，是无理数，
故答案为：D．
【分析】根据无限不循环小数是无理数，对四个数逐一分析，再作出判断．
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、正方体的主视图是正方形，不符合题意，A错误；
B、圆柱的主视图是矩形，不符合题意，B错误；
C、球的主视图是圆，符合题意，C正确；
D、圆锥的主视图是三角形，不符合题意，D错误．
故选：C．
【分析】本题考查简单几何体的三视图.主视图的概念： 主视图是指从物体的正面观察，物体的影像投影在背后的投影面上，这投影影像称为正视.A选项观察图形可得：主视图是正方形，据此可判断A选项；B选项观察图形可得：主视图是矩形，据此可判断B选项；C选项观察图形可得：主视图是圆，据此可判断C选项；D选项观察图形可得：主视图是三角形，据此可判断D选项；．
3．【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，正确；
B、，原选项计算错误；
C、，原选项计算错误；
D、，原选项计算错误；
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的性质及化简，可对A、C作出判断；利用二次根式的除法法则进行计算，可对B作出判断；利用立方根的性质，可对D作出判断.
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，∠BAC=90°，
∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，
∵a∥b，
∴∠ACD=180°-（∠1+∠BAC）=180°-120°=60°，
∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；
故答案为：B．
【分析】由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．
5．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】∵要求的解集，即为求的解集，
∴从图象上可以看出等时，，
故答案为：C．
【分析】要求的解集，即为0，就是求y＜0时，x的取值范围利用直线与x轴的交点的横坐标，可得答案..
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：观察可知，2班，3班平均数最高，但2班方差最小，
故应选2班去参赛；
故答案为：B．
【分析】根据平均数和方差的特性作决策即可．
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵，
又∵抛物线沿着x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，
∴平移后得新抛物线解析式为，
故答案为：D．
【分析】利用配方法将函数解析式转化为，再利用抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可得到平移后的函数解析式.
8．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵是的直径，弦，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理可证得，，再利用圆周角定理求出∠BAD的度数，然后利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠CDA的度数.
9．【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵函数，
∴当时，函数的最小值在函数上，
∴当时，该函数的最小值是3，
故答案为：A．
【分析】将二次函数解析式转化为顶点式，利用x的取值范围，可以确定函数最小值出现在哪个函数上，然后再根据二次函数的性质即可得解.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：，，，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，，
，
，故错误；
，是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：，
当时，，
故正确；
由题意可知：，到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，
在轴下方的抛物线上存在点，使得，
即，
，
，
，
，
解得：，故④正确；
∵对称轴为，抛物线过点
∴抛物线与轴的另外一个交点坐标为，
若方程，
即方程的两根为，，
则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
，
，故错误；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象开口向上，可确定出a的取值范围，与轴相交于下半轴，可得到c的取值范围，利用左同右异，可确定出b的取值范围，可对①；由抛物线的对称轴为直线，可得，再由当x=-2时，y=0，可对②作出判断；；由，是抛物线上的两点，抛物线的对称性可知的值，当时，，可对③作出判断；由，到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，在轴下方的抛物线上存在点，使得，可得到，可得，由此可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，可对④作出判断；抛物线与轴的另外一个交点坐标为，得，由此可得到方程，即方程的两根为，，则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，结合已知条件，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的序号．
11．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-3≥0，
解得x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数，建立不等式，求解即可.
12．【答案】1.738×106
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将1738000用科学记数法表示为1.738×106．
故答案为：1.738×106．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．【答案】（2m+n）（2m-n）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=（2m）2- n2=（2m+n）（2m-n），
故答案为（2m+n）（2m-n）
【分析】观察此多项式的特点：两项没有公因式，符号相反，两项的绝对值都能化成平方形式，因此利用平方差公式分解因式.
14．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】连接OD、BD，根据点C为OB的中点可得∠CDO=30°，从而可得△BDO为等边三角形，求出扇形BOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白BDC求出阴影部分的面积．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点B作，连接．
由网格和勾股定理可求得；
，，，
∴，
∴是直角三角形．
在中，．
∵，
∴
∴
故答案为：．
【分析】过点B作，连接．利用勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，再求出的正弦，然后平行线的性质可证得∠ABE=∠APD，即可得到sin∠APD的值.
16．【答案】A或B；或
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】（1）①∵P（1，2），Q（4，2），
∴在点A（1，0），B（ ，4）到PQ的距离为2．
∴PQ的“等高点”是A或B，
故答案为：A或B；
（2）如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，
∴PQ=2，MN=2．
设PN=x，则NQ=2-x，
在Rt△MNP和Rt△MNQ中，由勾股定理得：
MP2=22+x2=4+x2，MQ2=22+（2-x）2=x2-4x+8，
∴MP2+MQ2=2x2-4x+12=2（x-1）2+10，
∵MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，
∴当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x=1，
即PN=NQ，
∴△MPQ为等腰三角形，
∴MP=MQ=，
如图3，设Q坐标为（x，y），过点Q作QE⊥y轴于点E，
则在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：
QE2=QP2-OE2=22-y2=4-y2，QE2=QM2-ME2=，
∴，
解得y=，
QE2=4-y2=4-（）2=，
当点Q在第一象限时x，当点Q在第二象限时x，
∴或，
故答案为：或．
【分析】（1）根据“等高点”的概念解答即可；
（2） 如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，可得到PQ、MN的长，设PN=x，可表示出NQ的长，再表示出MP2、MQ2、根据MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，可知当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x=1，可证得PN=NQ利用勾股定理求出MP、MQ的长；如图3，设Q坐标为（x，y），过点Q作QE⊥y轴于点E，利用勾股定理可得到关于y的方程，解方程求出y的值，可得到QE2，同时可得到点Q在第一或第二象限时x的值，即可得到符合题意的点Q的坐标.
17．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】先计算负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，再计算有理数的四则混合运算．
18．【答案】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为： .
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
19．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，
在△DAE和△DCF中，，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴DE=DF；
（2）由（1）可得△DAE≌△DCF
∴DA=DC，
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对角相等可证∠A=∠C，利用ASA证明△DAE≌△DCF，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.（2）利用全等三角形的对应边相等，可证得DA=DC，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
20．【答案】（1）解：方程整理得，∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
即m的取值范围是
（2）解：∵，又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故m的取值范围
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意可知，可得到关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可分别得到的值，再代入，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可.
（1）解：方程整理得，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
即m的取值范围是；
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故m的取值范围．
21．【答案】（1）50，600；
（2）（2）画树状图如下：
共有12种可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2个，
∴P（恰好抽到2名男生）=．
或者：
列表如下：
　 A1 A2 B1 B2
A1 　 （A2，A1） （B1，A1） （B2，A1）
A2 （A1，A2） 　 （B1，A2） （B2，A2）
B2 　（A1，B1）
（A2，B1） 　 （B2，A2）
B2 （A1，B2） （A2，B2） （B1，B2） （B2，B1）
由表可知共有12种可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2个，
∴P（恰好抽到2名男生）=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）本次调查的学生总人数为4÷8%=50人，
则不了解的学生人数为50﹣（4+11+20）=15人，
∴估计该校2000名学生中“不了解”的人数约有2000×=600人，
故答案为50、600
【分析】（1）利用“非常了解”的人数及其所占百分比求得总人数，继而由各了解程度的人数之和等于总人数求得“不了解”的人数，用总人数乘以样本中“不了解”人数所占比例可得；
（2）根据题意画出树状图，再列表可得到所有等可能结果，从中找到恰好抽到2名男生的情况数，利用概率公式计算可得．
22．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵为圆直径，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵点在圆上，
∴为圆的切线
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接，利用直径所对圆周角是直角可得，利用等腰三角形的性质可证D为中点，由此可得到为的中位线，可得，由，可得，即可证明；
（2）根据（1）中条件求出，再根据，可知，利用三角函数求出即可．
（1）证明：连接，如图所示：
∵为圆直径，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵点在圆上，
∴为圆的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】解：过点作于点，过点作于点，
则四边形是矩形，
由题意得：米，米，，．
在中，，
，
（米，
（米，
四边形是矩形，
米，
在中，，，
是等腰直角三角形，
米，
（米，
答：教学楼的高度为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点作于点，过点作于点，在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出AE的长，可得到BE的长，已知四边形BCFE是矩形，利用矩形的性质可得到CF的长；再利用解直角三角形求出DF的长，然后求出BC的长即可.
24．【答案】解：（1）将A（1，0），B（0，2）代入y=kx+b，得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y=-2x+2．
（2）作DF⊥x轴于F，则∠AFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴BA=AD，∠BAD=90°，∠BAO+∠DAF=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAF．
在△ADF和△BAO中，，
∴△ADF≌△BAO（AAS），
∴AF=BO=2，DF=AO=1，OF=OA+AF=3，
∴点D的坐标为（3，1）．
（3）同（2）可得出点C的坐标为（2，3）．
当双曲线过点D时，k=3×1=3；
当双曲线过点C时，k=2×3=6，
∴当双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点时，k的取值范围为3≤k≤6
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入一次函数解析式可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）作DF⊥x轴于F，利用正方形的性质和余角的性质可证得BA=AD，∠ABO=∠DAF，利用AAS证△ADF≌△BAO，利用全等三角形的性质可得到相关线段的长，可得到点D的坐标.
（3）同（2）可求出点C的坐标，分别求出当双曲线分别过点C和点D时的k的值，即可得到k的取值范围.
25．【答案】证明：(1)∵四边形 ABCD为正方形∴AB=AD，∠ABC=∠ADC
∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF(SAS)
∴∠BAE=∠DAF
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∴△ABG≌△ADH(ASA)
∴BG=DH，
（2）①连接GF.
∵BC=DC，BE=DF，
∴CE=CF
∵∠C=90°
∴∠DBC=∠FEC=45°
∴EF∥BD
∵EF=BG
∴四边形EBGF是平行四边形
∴BE∥GF∥AD
∵AD=CD
∴
∵EF∥BD
∴
∴，即
②
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；四边形的综合
【解析】【解答】解：（2）②由（2）可得
∴
∴
设CF=k，DF=a
则EF=，DG=，
∴DH= EF=，
∴GH=-
∴由可得
整理得
解得
∴
=
故答案为：
【分析】（1）利用正方形的性质可证AB=AD，∠ABC=∠ADC，利用SAS可证得△ABE≌△ADF，利用全等三角形的性质可证得∠BAE=∠DAF；再利用ASA可证△ABG≌△ADH，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）①连接GF，证明四边形EBGF是平行四边形，利用BE∥GF∥AD，根据平行线分线段成比例性质可证得结论.
②由①可得，，设CF=k，DF=a，根据勾股定理和平行线分线段成比例性质得可得到关于a、k的一元二次方程，解方程表示出a的值；然后求出的比值 .
26．【答案】解：（1）将A，B点坐标代入，得
，
解得，
所以抛物线的解析式为；
（2）①由直线y=2x-1与直线y=mx+2互相垂直，得
2m=-1，
即；
故答案为；
②AB的解析式为，
当PA⊥AB时，PA的解析式为y=-2x-2，
联立PA与抛物线，得，
解得（舍），，
即P（6，-14）；
当PB⊥AB时，PB的解析式为y=-2x+3，
联立PB与抛物线，得，
解得（舍去），，
即P（4，-5），
综上所述：△PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标为（6，-14）（4，-5）；
（3）如图：作MQ⊥x轴交AB于Q．
，
，
S△MAB=MQ|xB-xA|
=，
当t=0时，S取最大值，即M（0，1）．
由勾股定理，得
，
设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得
点M到直线AB的距离的最大值是
【知识点】二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）①利用垂线间的关系，即可求出m的值；
②分两种情况：当PA⊥AB时；当PB⊥AB时．根据垂线间的关系，可得PA，PB的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；
（3）作MQ⊥x轴交AB于Q．设M的横坐标为t，根据垂直于x轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，用t表示出MQ，于是可表示出三角形ABM的面积，是一个二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值．
1 / 1四川省乐山市 实验中学2025年中考一调考试数学 试题
1．（2025·乐山模拟）下列各数中是无理数的是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：2是有理数，是有理数，是有理数，是无理数，
故答案为：D．
【分析】根据无限不循环小数是无理数，对四个数逐一分析，再作出判断．
2．（2025·乐山模拟）下列几何体中，主视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、正方体的主视图是正方形，不符合题意，A错误；
B、圆柱的主视图是矩形，不符合题意，B错误；
C、球的主视图是圆，符合题意，C正确；
D、圆锥的主视图是三角形，不符合题意，D错误．
故选：C．
【分析】本题考查简单几何体的三视图.主视图的概念： 主视图是指从物体的正面观察，物体的影像投影在背后的投影面上，这投影影像称为正视.A选项观察图形可得：主视图是正方形，据此可判断A选项；B选项观察图形可得：主视图是矩形，据此可判断B选项；C选项观察图形可得：主视图是圆，据此可判断C选项；D选项观察图形可得：主视图是三角形，据此可判断D选项；．
3．（2025·乐山模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的性质与化简；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A、，正确；
B、，原选项计算错误；
C、，原选项计算错误；
D、，原选项计算错误；
故答案为：A．
【分析】利用二次根式的性质及化简，可对A、C作出判断；利用二次根式的除法法则进行计算，可对B作出判断；利用立方根的性质，可对D作出判断.
4．（2025·乐山模拟）如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．15° C．10° D．20°
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=45°，∠BAC=90°，
∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，
∵a∥b，
∴∠ACD=180°-（∠1+∠BAC）=180°-120°=60°，
∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；
故答案为：B．
【分析】由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．
5．（2025·乐山模拟）如图，直线交坐标轴于、两点，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】∵要求的解集，即为求的解集，
∴从图象上可以看出等时，，
故答案为：C．
【分析】要求的解集，即为0，就是求y＜0时，x的取值范围利用直线与x轴的交点的横坐标，可得答案..
6．（2025·乐山模拟）学校准备从初三年级的四个班中选出一组代表参加全市的数学知识大赛，各班平时成绩的平均数（单位：分）及方差如下表所示：
　 1班 2班 3班 4班
7 8 8 6
1 1
如果要选出一个成绩较好且状态稳定的组去参赛，那么应该选（　　）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：观察可知，2班，3班平均数最高，但2班方差最小，
故应选2班去参赛；
故答案为：B．
【分析】根据平均数和方差的特性作决策即可．
7．（2025·乐山模拟）若将抛物线先沿轴方向向右平移1个单位，再沿方向向下平移2个单位，得到一条新抛物线，则新抛物线的解析式变为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵，
又∵抛物线沿着x轴向右平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，
∴平移后得新抛物线解析式为，
故答案为：D．
【分析】利用配方法将函数解析式转化为，再利用抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可得到平移后的函数解析式.
8．（2025·乐山模拟）如图，是的直径，弦．如果，那么等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图：
∵是的直径，弦，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理可证得，，再利用圆周角定理求出∠BAD的度数，然后利用直角三角形的两锐角互余，可求出∠CDA的度数.
9．（2025·乐山模拟）若函数；当时，此时该函数的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵函数，
∴当时，函数的最小值在函数上，
∴当时，该函数的最小值是3，
故答案为：A．
【分析】将二次函数解析式转化为顶点式，利用x的取值范围，可以确定函数最小值出现在哪个函数上，然后再根据二次函数的性质即可得解.
10．（2025·乐山模拟）如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论：
①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则
其中正确结论的序号是（　　）
A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：，，，
，故正确；
抛物线的对称轴为直线，
，
，
当时，，
，
，故错误；
，是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：，
当时，，
故正确；
由题意可知：，到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，
在轴下方的抛物线上存在点，使得，
即，
，
，
，
，
解得：，故④正确；
∵对称轴为，抛物线过点
∴抛物线与轴的另外一个交点坐标为，
若方程，
即方程的两根为，，
则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，
，
，故错误；
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象开口向上，可确定出a的取值范围，与轴相交于下半轴，可得到c的取值范围，利用左同右异，可确定出b的取值范围，可对①；由抛物线的对称轴为直线，可得，再由当x=-2时，y=0，可对②作出判断；；由，是抛物线上的两点，抛物线的对称性可知的值，当时，，可对③作出判断；由，到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，在轴下方的抛物线上存在点，使得，可得到，可得，由此可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，可对④作出判断；抛物线与轴的另外一个交点坐标为，得，由此可得到方程，即方程的两根为，，则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，结合已知条件，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的序号．
11．（2025·乐山模拟）当 x　 　时，二次根式有意义．
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得x-3≥0，
解得x≥3.
故答案为：x≥3.
【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数不能为负数，建立不等式，求解即可.
12．（2025·乐山模拟）月球的半径约为1738000米，1738000这个数用科学记数法表示为　 　．
【答案】1.738×106
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将1738000用科学记数法表示为1.738×106．
故答案为：1.738×106．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（2025·乐山模拟）把多项式因式分解的结果是　 　．
【答案】（2m+n）（2m-n）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=（2m）2- n2=（2m+n）（2m-n），
故答案为（2m+n）（2m-n）
【分析】观察此多项式的特点：两项没有公因式，符号相反，两项的绝对值都能化成平方形式，因此利用平方差公式分解因式.
14．（2025·乐山模拟）如图，扇形中，，，是的中点，交于点，以为半径的弧交于点，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接，，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
【分析】连接OD、BD，根据点C为OB的中点可得∠CDO=30°，从而可得△BDO为等边三角形，求出扇形BOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白BDC求出阴影部分的面积．
15．（2025·乐山模拟）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点，，，都在这些小正方形的顶点上，，相交于点，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点B作，连接．
由网格和勾股定理可求得；
，，，
∴，
∴是直角三角形．
在中，．
∵，
∴
∴
故答案为：．
【分析】过点B作，连接．利用勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，再求出的正弦，然后平行线的性质可证得∠ABE=∠APD，即可得到sin∠APD的值.
16．（2025·乐山模拟）定义：对于平面直角坐标系中的线段和点，在中，当边上的高为2时，称为的“等高点”，称此时为的“等高距离”．
（1）若点的坐标为(1，2)，点的坐标为(4，2)，则在点 (1，0)，(，4)， (0，3)中，的“等高点”是点　 　；
（2）若(0，0)，＝2，当的“等高点”在轴正半轴上且“等高距离”最小时，点的坐标是　 　．
【答案】A或B；或
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理
【解析】【解答】（1）①∵P（1，2），Q（4，2），
∴在点A（1，0），B（ ，4）到PQ的距离为2．
∴PQ的“等高点”是A或B，
故答案为：A或B；
（2）如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，
∴PQ=2，MN=2．
设PN=x，则NQ=2-x，
在Rt△MNP和Rt△MNQ中，由勾股定理得：
MP2=22+x2=4+x2，MQ2=22+（2-x）2=x2-4x+8，
∴MP2+MQ2=2x2-4x+12=2（x-1）2+10，
∵MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，
∴当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x=1，
即PN=NQ，
∴△MPQ为等腰三角形，
∴MP=MQ=，
如图3，设Q坐标为（x，y），过点Q作QE⊥y轴于点E，
则在Rt△MNP和Rt△MNQ中由勾股定理得：
QE2=QP2-OE2=22-y2=4-y2，QE2=QM2-ME2=，
∴，
解得y=，
QE2=4-y2=4-（）2=，
当点Q在第一象限时x，当点Q在第二象限时x，
∴或，
故答案为：或．
【分析】（1）根据“等高点”的概念解答即可；
（2） 如图2，过PQ的“等高点”M作MN⊥PQ于点N，可得到PQ、MN的长，设PN=x，可表示出NQ的长，再表示出MP2、MQ2、根据MP2+MQ2≤（MP+MQ）2，可知当MP2+MQ2最小时MP+MQ也最小，此时x=1，可证得PN=NQ利用勾股定理求出MP、MQ的长；如图3，设Q坐标为（x，y），过点Q作QE⊥y轴于点E，利用勾股定理可得到关于y的方程，解方程求出y的值，可得到QE2，同时可得到点Q在第一或第二象限时x的值，即可得到符合题意的点Q的坐标.
17．（2025·乐山模拟）计算： ．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；求算术平方根
【解析】【分析】先计算负整数指数幂，算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，再计算有理数的四则混合运算．
18．（2025·乐山模拟）解不等式组： .
【答案】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴原不等式组的解集为： .
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集.
19．（2025·乐山模拟）如图，在平行四边形中，点、分别是、上的点，且，，求证：
（1）；
（2）四边形是菱形.
【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C，
在△DAE和△DCF中，，
∴△DAE≌△DCF（ASA），
∴DE=DF；
（2）由（1）可得△DAE≌△DCF
∴DA=DC，
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形
【知识点】菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的对角相等可证∠A=∠C，利用ASA证明△DAE≌△DCF，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.（2）利用全等三角形的对应边相等，可证得DA=DC，再利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得结论.
20．（2025·乐山模拟）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为、，且满足，求的取值范围．
【答案】（1）解：方程整理得，∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
即m的取值范围是
（2）解：∵，又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故m的取值范围
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）根据题意可知，可得到关于m的不等式，解不等式求出m的取值范围.
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可分别得到的值，再代入，可得到关于m的不等式，然后求出不等式的解集即可.
（1）解：方程整理得，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
即m的取值范围是；
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故m的取值范围．
21．（2025·乐山模拟）某校为了了解了解节能减排、垃圾分类等知识的普及情况，从该校2000名学生中随机抽取了部分学生进行调查调查，调查结果分为“非常了解“、“了解”、“了解较少”、“不了解”四类，并将调查结果绘制出以下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的学生共有　 　人，估计该校2000名学生中“不了解”的人数约有　 　人．
（2）“非常了解”的4人中有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人去参加环保知识竞赛，请用画树状图和列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
【答案】（1）50，600；
（2）（2）画树状图如下：
共有12种可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2个，
∴P（恰好抽到2名男生）=．
或者：
列表如下：
　 A1 A2 B1 B2
A1 　 （A2，A1） （B1，A1） （B2，A1）
A2 （A1，A2） 　 （B1，A2） （B2，A2）
B2 　（A1，B1）
（A2，B1） 　 （B2，A2）
B2 （A1，B2） （A2，B2） （B1，B2） （B2，B1）
由表可知共有12种可能的结果，恰好抽到2名男生的结果有2个，
∴P（恰好抽到2名男生）=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）本次调查的学生总人数为4÷8%=50人，
则不了解的学生人数为50﹣（4+11+20）=15人，
∴估计该校2000名学生中“不了解”的人数约有2000×=600人，
故答案为50、600
【分析】（1）利用“非常了解”的人数及其所占百分比求得总人数，继而由各了解程度的人数之和等于总人数求得“不了解”的人数，用总人数乘以样本中“不了解”人数所占比例可得；
（2）根据题意画出树状图，再列表可得到所有等可能结果，从中找到恰好抽到2名男生的情况数，利用概率公式计算可得．
22．（2025·乐山模拟）如图，已知等腰中，，以为直径的与底边交于点，过作，垂足为．
（1）求证：为的切线；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
∵为圆直径，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵点在圆上，
∴为圆的切线
（2）解：∵，∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）连接，利用直径所对圆周角是直角可得，利用等腰三角形的性质可证D为中点，由此可得到为的中位线，可得，由，可得，即可证明；
（2）根据（1）中条件求出，再根据，可知，利用三角函数求出即可．
（1）证明：连接，如图所示：
∵为圆直径，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵点在圆上，
∴为圆的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴．
23．（2025·乐山模拟）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为，测得点C处的俯角为．又经过人工测量操控者A和教学楼距离为57米，则教学楼的高度为多少米？（）
【答案】解：过点作于点，过点作于点，
则四边形是矩形，
由题意得：米，米，，．
在中，，
，
（米，
（米，
四边形是矩形，
米，
在中，，，
是等腰直角三角形，
米，
（米，
答：教学楼的高度为米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点作于点，过点作于点，在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出AE的长，可得到BE的长，已知四边形BCFE是矩形，利用矩形的性质可得到CF的长；再利用解直角三角形求出DF的长，然后求出BC的长即可.
24．（2025·乐山模拟）如图，直线AB：y=kx+b与x轴．y轴分别相交于点A（1，0）和点B（0，2），以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）若双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点，求k的取值范围．
【答案】解：（1）将A（1，0），B（0，2）代入y=kx+b，得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y=-2x+2．
（2）作DF⊥x轴于F，则∠AFD=90°，
∵正方形ABCD，
∴BA=AD，∠BAD=90°，∠BAO+∠DAF=90°，
∵∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAF．
在△ADF和△BAO中，，
∴△ADF≌△BAO（AAS），
∴AF=BO=2，DF=AO=1，OF=OA+AF=3，
∴点D的坐标为（3，1）．
（3）同（2）可得出点C的坐标为（2，3）．
当双曲线过点D时，k=3×1=3；
当双曲线过点C时，k=2×3=6，
∴当双曲线（k＞0）与正方形的边CD始终有一个交点时，k的取值范围为3≤k≤6
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入一次函数解析式可得到关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值，可得到一次函数解析式.
（2）作DF⊥x轴于F，利用正方形的性质和余角的性质可证得BA=AD，∠ABO=∠DAF，利用AAS证△ADF≌△BAO，利用全等三角形的性质可得到相关线段的长，可得到点D的坐标.
（3）同（2）可求出点C的坐标，分别求出当双曲线分别过点C和点D时的k的值，即可得到k的取值范围.
25．（2025·乐山模拟）如图（1），已知正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，BE=DF，AE、AF分别交BD于点G、H．
（1）求证：BG=DH；
（2）连接FE，如图（2），当EF=BG时．
①求证：AD AH=AF DF；
②直接写出的比值．
【答案】证明：(1)∵四边形 ABCD为正方形∴AB=AD，∠ABC=∠ADC
∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF(SAS)
∴∠BAE=∠DAF
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∴△ABG≌△ADH(ASA)
∴BG=DH，
（2）①连接GF.
∵BC=DC，BE=DF，
∴CE=CF
∵∠C=90°
∴∠DBC=∠FEC=45°
∴EF∥BD
∵EF=BG
∴四边形EBGF是平行四边形
∴BE∥GF∥AD
∵AD=CD
∴
∵EF∥BD
∴
∴，即
②
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；四边形的综合
【解析】【解答】解：（2）②由（2）可得
∴
∴
设CF=k，DF=a
则EF=，DG=，
∴DH= EF=，
∴GH=-
∴由可得
整理得
解得
∴
=
故答案为：
【分析】（1）利用正方形的性质可证AB=AD，∠ABC=∠ADC，利用SAS可证得△ABE≌△ADF，利用全等三角形的性质可证得∠BAE=∠DAF；再利用ASA可证△ABG≌△ADH，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
（2）①连接GF，证明四边形EBGF是平行四边形，利用BE∥GF∥AD，根据平行线分线段成比例性质可证得结论.
②由①可得，，设CF=k，DF=a，根据勾股定理和平行线分线段成比例性质得可得到关于a、k的一元二次方程，解方程表示出a的值；然后求出的比值 .
26．（2025·乐山模拟）如图，已知抛物线经过、两点，
（1）求抛物线的解析式；
（2）阅读理解：在同一平面直角坐标系中，直线（、为常数，且），直线（、为常数，且），若，则．
解决问题：①若直线与直线互相垂直，求的值；
②在抛物线上是否存在点，使得△PAB是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与、重合），求点到直线 距离的最大值．
【答案】解：（1）将A，B点坐标代入，得
，
解得，
所以抛物线的解析式为；
（2）①由直线y=2x-1与直线y=mx+2互相垂直，得
2m=-1，
即；
故答案为；
②AB的解析式为，
当PA⊥AB时，PA的解析式为y=-2x-2，
联立PA与抛物线，得，
解得（舍），，
即P（6，-14）；
当PB⊥AB时，PB的解析式为y=-2x+3，
联立PB与抛物线，得，
解得（舍去），，
即P（4，-5），
综上所述：△PAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标为（6，-14）（4，-5）；
（3）如图：作MQ⊥x轴交AB于Q．
，
，
S△MAB=MQ|xB-xA|
=，
当t=0时，S取最大值，即M（0，1）．
由勾股定理，得
，
设M到AB的距离为h，由三角形的面积，得
点M到直线AB的距离的最大值是
【知识点】二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）①利用垂线间的关系，即可求出m的值；
②分两种情况：当PA⊥AB时；当PB⊥AB时．根据垂线间的关系，可得PA，PB的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；
（3）作MQ⊥x轴交AB于Q．设M的横坐标为t，根据垂直于x轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，用t表示出MQ，于是可表示出三角形ABM的面积，是一个二次函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值．
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