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浙江省湖州市长兴县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
1．（2025八下·长兴期中）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·长兴期中）下面各式是最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
3．（2025八下·长兴期中）下面的多边形中，内角和等于外角和的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025八下·长兴期中）比较，3，的大小，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·长兴期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
6．（2025八下·长兴期中）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·长兴期中）如图，在中，为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·长兴期中）龙山中学第二届“龍”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·长兴期中）蛟蛟同学在计算出6个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
10．（2025八下·长兴期中）如图，在中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
11．（2025八下·长兴期中）若使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·长兴期中）若关于 的一元二次方程kx2-4x-1=0有实数根，则k的取值范围是　 　.
13．（2025八下·长兴期中）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的方差　 　．
14．（2025八下·长兴期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，则的长为　 　．
15．（2025八下·长兴期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值等于　 　．
16．（2025八下·长兴期中）如图，平行四边形中，点分别在上，依次连接，图中阴影部分的面积分别为，已知，则　 　．
17．（2025八下·长兴期中）计算：
（1）．
（2）．
18．（2025八下·长兴期中）选择合适的方法解下列方程：
（1）．
（2）．
19．（2025八下·长兴期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则
（1）如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分．
（2）个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）．
20．（2025八下·长兴期中）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级各1000名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）八年级抽取的学生的竞赛成绩：．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 a 7.4
中位数 b 8
众数 7 c
合格率
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_______；_______；_______．
（2）估计该校八年级1000名学生中竞赛成绩不合格的人数；
（3）在这次“国家安全法”知识竞赛中，你认为哪个年级的学生成绩更优异？请说明理由．
21．（2025八下·长兴期中）在中，分别是边的中点，延长到点D，使，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，交于点O，若，求的长．
22．（2025八下·长兴期中）已知关于x的方程
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若一元二次方程满足，求k的值．
23．（2025八下·长兴期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度．
（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
24．（2025八下·长兴期中）已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
（1）如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；
（2）如图，若，求；
（3）如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义，对四个图形逐一判断．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故选项A不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D、是最简二次根式，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式定义，逐项判断即可.
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：A、三角形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意；
B、四边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意；
C、五边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意；
D、六边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】计算多边形的内角和和外角和，逐项判断解题即可．
4．【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵()2=8，32=9，()2=7，7<8<9，
∴<<3.
故答案为：C.
【分析】首先对各数进行平方，然后进行比较即可.
5．【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故答案为：C．
【分析】假设题设不成立，再根据三角形内角和定理得到假设不成立，得到正确结论.
6．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，即：，
故答案为：D .
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方，即可得解.
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据折叠可知：，
∴．
故答案为：C．
【分析】
根据平行四边形的性质得，再由直角三角形的两个锐角互余求得，根据折叠的性质即可求解.
8．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每个小组有x支球队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意，得，即，
故答案为：C．
【分析】
根据总场数与球队之间的关系，先表示出每个小组x个球队比赛总场数，再列出方程即可解答.
9．【答案】A
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】设这6个数的平均值为，增加的这个数为，则总数为7，这7个平均值仍为，故平均值一定不变； 而中位数、众数、方差都可能会受增加的这个数的影响，可能会发生变化；
故选A.
【分析】增加平均值后，总数为7，平均值仍为，保持不变.
10．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵为中点，
∴．
故①正确．
②∵，是中点，
∴．
∵分别是中点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
故②正确．
如下图所示，连结和．
③如上图所示：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵分别是中点，
∴．
∴，即．
∵，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
故③正确．
④∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵为的中点，
∴，故④正确
故答案为：D．
【分析】
根据平行四边形ABCD的性质及，即可得到等腰三角形，再由等腰三角形的性质“三线合一”故①正确；根据平行四边形的性质得AB=CD，再由三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质即可判断②；连接FG，得平行四边形即可判断③；由平行四边形及三角形中线的性质即可判断④.
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】 代数式有意义，
解得，
【分析】根据二次根式有意义的条件得到不等式解不等式即可求解.
12．【答案】k≥－4且k≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得：k≥－4且k≠0.
故答案为：k≥－4且k≠0.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此可列不等式组，求解可得k的范围.
13．【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：计算公式：，
这组数据为、、、，
这组数据的平均数为：，
，
故答案为：．
【分析】
根据方差的计算公式，这组数据为、、、，先求出平均数再代回方差公式即可解答.
14．【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
的平分线交于点，
，
，
，
，，
．
故答案为2．
【分析】根据平行四边形的性质，可得出，则，再根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：1．
【分析】
根据一元二次方程根的定义，将 代入原方程即可得到，再由根与系数的关系得，代入即可解答.
16．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设空白部分的面积分别是x、y、m、n
∵，
∴①；②
∵，
∴①＋②得，
故答案为：4.
【分析】
根据平行四边形的面积及平行四边形的性质即可列出面积的关系等式，即可解答.
17．【答案】（1）解：
；

（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）先将二次根式化简，再合并同类二次根式即可解答；
（2）二次根式的混合计算，先用乘法公式，再进行加减即可计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：，
，
或，
∴，；
（2）解：，
，
，
或，
∴，.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）用因式分解法即可求解；
（2）观察方程，将（x-1）看作一个整体，先移项，然后提公因式（x-1）将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解．
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
．
【知识点】作图﹣中心对称
【解析】【分析】
（1）根据题干中的知识背景，先找出两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；
（2）先将网格分成两个矩形，找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
．
20．【答案】（1）
（2）解：（人），
答：估计该校八年级名学生中竞赛成绩不合格的人数为人.
（3）解：八年级的学生成绩更优异，理由：七、八年级的平均分一样，但是八年级的中位数，众数和合格率都高于七年级的，所以八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，
，，
故答案为：，，；
【分析】
（）根据条形统计图读取数据，利用平均数、中位数、众数的定义即可求解；
（）用1000乘以不合格率即可求解；
（）根据平均数、中位数、众数比较即可判断；
（1）解：由题意可得，，
，，
故答案为：，，；
（2）解：（人），
答：估计该校八年级名学生中竞赛成绩不合格的人数为人；
（3）解：八年级的学生成绩更优异，理由：七、八年级的平均分一样，但是八年级的中位数，众数和合格率都高于七年级的，所以八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
21．【答案】（1）证明：分别为的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
在中，，
在平行四边形中，，
在中，，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）利用三角形中位线的性质得，进而可得，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证；
（2）由求得，，在中，利用勾股定理得，根据平行四边形的性质求得OC，再利用勾股定理求出OD，即可解答.
（1）证明：分别为的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
在中，，
在平行四边形中，，
在中，，
．
22．【答案】（1）证明：当，即时，原方程为，解得：；
当，即时，，
∴方程有实数根．
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：∵，∴，
∴，，且，
，
解得：或，
经检验或是原方程的解．
故k的值为：或．
【知识点】公式法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】
（1）按方程中二次项系数是否为零，分两种情况讨论，当，是一元一次方程，有解；当时，求出，即可得证；
（2）利用公式法求一元二次方程得，，由代入进行计算即可解答．
（1）证明：当，即时，原方程为，
解得：；
当，即时，，
∴方程有实数根．
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴，，且，
，
解得：或，
经检验或是原方程的解．
故k的值为或．
23．【答案】（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
由题意得：
解得：（舍），，
答： 该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%；
（2）解：设应该再增加m个工厂，
（舍），
答：应该再增加3个工厂．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据“从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了”列一元二次方程求解；
（2）设应该再增加m个工厂，根据“每季度生产汽车27万辆”，列出一元二次方程求解．
（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
解得：（舍），，
（2）解：设应该再增加m个工厂，
（舍），
答：应该再增加3个工厂．
24．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质及全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，连接并延长交的延长线于点，再由（1）结论及等腰三角形的性质，最后根据平行线的性质即可解答；
（3）连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，加上，利用等腰三角形的性质即可得出∠FDM=90°，进而得出为直角三角形，再由勾股定理即可求出结果.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
，
，
，
．
1 / 1浙江省湖州市长兴县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
1．（2025八下·长兴期中）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义，对四个图形逐一判断．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．（2025八下·长兴期中）下面各式是最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，不是最简二次根式，故选项A不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故选项B不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；
D、是最简二次根式，故选项D符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式定义，逐项判断即可.
3．（2025八下·长兴期中）下面的多边形中，内角和等于外角和的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：A、三角形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故三角形的内角和与外角和不相等，那么A不符合题意；
B、四边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故四边形的内角和和外角和相等，那么B符合题意；
C、五边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故五边形的内角和与外角和不相等，那么C不符合题意；
D、六边形的内角和等于，任意多边形的外角和等于，故六边形的内角和与外角和不相等，那么D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】计算多边形的内角和和外角和，逐项判断解题即可．
4．（2025八下·长兴期中）比较，3，的大小，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：∵()2=8，32=9，()2=7，7<8<9，
∴<<3.
故答案为：C.
【分析】首先对各数进行平方，然后进行比较即可.
5．（2025八下·长兴期中）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
【答案】C
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°．
故答案为：C．
【分析】假设题设不成立，再根据三角形内角和定理得到假设不成立，得到正确结论.
6．（2025八下·长兴期中）用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，即：，
故答案为：D .
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边加上一次项系数一半的平方，即可得解.
7．（2025八下·长兴期中）如图，在中，为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据折叠可知：，
∴．
故答案为：C．
【分析】
根据平行四边形的性质得，再由直角三角形的两个锐角互余求得，根据折叠的性质即可求解.
8．（2025八下·长兴期中）龙山中学第二届“龍”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设每个小组有x支球队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意，得，即，
故答案为：C．
【分析】
根据总场数与球队之间的关系，先表示出每个小组x个球队比赛总场数，再列出方程即可解答.
9．（2025八下·长兴期中）蛟蛟同学在计算出6个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】A
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】设这6个数的平均值为，增加的这个数为，则总数为7，这7个平均值仍为，故平均值一定不变； 而中位数、众数、方差都可能会受增加的这个数的影响，可能会发生变化；
故选A.
【分析】增加平均值后，总数为7，平均值仍为，保持不变.
10．（2025八下·长兴期中）如图，在中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∵为中点，
∴．
故①正确．
②∵，是中点，
∴．
∵分别是中点，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
故②正确．
如下图所示，连结和．
③如上图所示：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵分别是中点，
∴．
∴，即．
∵，，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
故③正确．
④∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵为的中点，
∴，故④正确
故答案为：D．
【分析】
根据平行四边形ABCD的性质及，即可得到等腰三角形，再由等腰三角形的性质“三线合一”故①正确；根据平行四边形的性质得AB=CD，再由三角形中位线定理和直角三角形斜边中线的性质即可判断②；连接FG，得平行四边形即可判断③；由平行四边形及三角形中线的性质即可判断④.
11．（2025八下·长兴期中）若使代数式有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】 代数式有意义，
解得，
【分析】根据二次根式有意义的条件得到不等式解不等式即可求解.
12．（2025八下·长兴期中）若关于 的一元二次方程kx2-4x-1=0有实数根，则k的取值范围是　 　.
【答案】k≥－4且k≠0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得：k≥－4且k≠0.
故答案为：k≥－4且k≠0.
【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）中，当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时，方程没有实数根，据此可列不等式组，求解可得k的范围.
13．（2025八下·长兴期中）小明在计算一组数据的方差时，先计算了这组数据的平均数，然后写出了如下计算公式：，则这组数据的方差　 　．
【答案】
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：计算公式：，
这组数据为、、、，
这组数据的平均数为：，
，
故答案为：．
【分析】
根据方差的计算公式，这组数据为、、、，先求出平均数再代回方差公式即可解答.
14．（2025八下·长兴期中）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
的平分线交于点，
，
，
，
，，
．
故答案为2．
【分析】根据平行四边形的性质，可得出，则，再根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．（2025八下·长兴期中）已知是一元二次方程的两个根，则的值等于　 　．
【答案】1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴
．
故答案为：1．
【分析】
根据一元二次方程根的定义，将 代入原方程即可得到，再由根与系数的关系得，代入即可解答.
16．（2025八下·长兴期中）如图，平行四边形中，点分别在上，依次连接，图中阴影部分的面积分别为，已知，则　 　．
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，设空白部分的面积分别是x、y、m、n
∵，
∴①；②
∵，
∴①＋②得，
故答案为：4.
【分析】
根据平行四边形的面积及平行四边形的性质即可列出面积的关系等式，即可解答.
17．（2025八下·长兴期中）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
；

（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）先将二次根式化简，再合并同类二次根式即可解答；
（2）二次根式的混合计算，先用乘法公式，再进行加减即可计算．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025八下·长兴期中）选择合适的方法解下列方程：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：，
，
或，
∴，；
（2）解：，
，
，
或，
∴，.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】
（1）用因式分解法即可求解；
（2）观察方程，将（x-1）看作一个整体，先移项，然后提公因式（x-1）将原方程化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程即可求解．
19．（2025八下·长兴期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则
（1）如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分．
（2）个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
．
【知识点】作图﹣中心对称
【解析】【分析】
（1）根据题干中的知识背景，先找出两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；
（2）先将网格分成两个矩形，找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图所示：
．
20．（2025八下·长兴期中）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某中学在全校七、八年级各1000名学生中开展“国家安全法”知识竞赛，并从七、八年级学生中各抽取20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩（竞赛成绩均为整数，满分10分，6分及以上为合格）八年级抽取的学生的竞赛成绩：．
七、八年级抽取的学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 a 7.4
中位数 b 8
众数 7 c
合格率
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_______；_______；_______．
（2）估计该校八年级1000名学生中竞赛成绩不合格的人数；
（3）在这次“国家安全法”知识竞赛中，你认为哪个年级的学生成绩更优异？请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：（人），
答：估计该校八年级名学生中竞赛成绩不合格的人数为人.
（3）解：八年级的学生成绩更优异，理由：七、八年级的平均分一样，但是八年级的中位数，众数和合格率都高于七年级的，所以八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由题意可得，，
，，
故答案为：，，；
【分析】
（）根据条形统计图读取数据，利用平均数、中位数、众数的定义即可求解；
（）用1000乘以不合格率即可求解；
（）根据平均数、中位数、众数比较即可判断；
（1）解：由题意可得，，
，，
故答案为：，，；
（2）解：（人），
答：估计该校八年级名学生中竞赛成绩不合格的人数为人；
（3）解：八年级的学生成绩更优异，理由：七、八年级的平均分一样，但是八年级的中位数，众数和合格率都高于七年级的，所以八年级“国家安全法”知识竞赛的学生成绩更优异．
21．（2025八下·长兴期中）在中，分别是边的中点，延长到点D，使，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，交于点O，若，求的长．
【答案】（1）证明：分别为的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
在中，，
在平行四边形中，，
在中，，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】
（1）利用三角形中位线的性质得，进而可得，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证；
（2）由求得，，在中，利用勾股定理得，根据平行四边形的性质求得OC，再利用勾股定理求出OD，即可解答.
（1）证明：分别为的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
在中，，
在平行四边形中，，
在中，，
．
22．（2025八下·长兴期中）已知关于x的方程
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若一元二次方程满足，求k的值．
【答案】（1）证明：当，即时，原方程为，解得：；
当，即时，，
∴方程有实数根．
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：∵，∴，
∴，，且，
，
解得：或，
经检验或是原方程的解．
故k的值为：或．
【知识点】公式法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】
（1）按方程中二次项系数是否为零，分两种情况讨论，当，是一元一次方程，有解；当时，求出，即可得证；
（2）利用公式法求一元二次方程得，，由代入进行计算即可解答．
（1）证明：当，即时，原方程为，
解得：；
当，即时，，
∴方程有实数根．
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴，，且，
，
解得：或，
经检验或是原方程的解．
故k的值为或．
23．（2025八下·长兴期中）随着电池技术的创新和国家政策的支持，新能源汽车行业正迎来前所未有的发展机遇．某品牌新能源汽车企业从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了．由于新能源汽车销量的逐年上升，公司仅有的2个工厂无法满足市场需求．公司决定加建工厂，经调研发现，受公司各方资源因素影响，一个工厂的最大产能是6万辆/季度，若每增加1个工厂，每个工厂的最大产能将减少万辆/季度．
（1）求该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率；
（2）现该企业要保证每季度生产汽车27万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，应该再增加几个工厂？
【答案】（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
由题意得：
解得：（舍），，
答： 该品牌汽车企业2021年到2023年新能源汽车销售总量的平均年增长率为40%；
（2）解：设应该再增加m个工厂，
（舍），
答：应该再增加3个工厂．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x，根据“从2021年到2023年新能源汽车的销售总量增长了”列一元二次方程求解；
（2）设应该再增加m个工厂，根据“每季度生产汽车27万辆”，列出一元二次方程求解．
（1）解：设这两年新能源汽车销售总量的平均年增长率为x；
解得：（舍），，
（2）解：设应该再增加m个工厂，
（舍），
答：应该再增加3个工厂．
24．（2025八下·长兴期中）已知平行四边形为边上的中点，为边上的一点．
（1）如图，连接并延长交的延长线于点，求证：；
（2）如图，若，求；
（3）如图，若为的中点，为的中点，，求线段的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，再由平行线的性质及全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）根据平行四边形的性质得到，连接并延长交的延长线于点，再由（1）结论及等腰三角形的性质，最后根据平行线的性质即可解答；
（3）连接并延长交的延长线于点，由（1）可得，加上，利用等腰三角形的性质即可得出∠FDM=90°，进而得出为直角三角形，再由勾股定理即可求出结果.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为边上的中点，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，，
；
（3）解：连接并延长交的延长线于点，
由（1）可得，
，
，
，
，
，
，
，
，
为直角三角形，
为的中点，为的中点，
设，
，
，
，
，
，
．
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