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四川省广元市利州区2024--2025学年下学期八年级期中质量检测数学试卷
1．（2025八下·利州期中）下列四个式子中，最简二次根式为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·利州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·利州期中）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·利州期中）在中，斜边，则的值为（　　）
A． B． C． D．无法计算
5．（2025八下·利州期中）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（　　）米
A．5 B． C． D．3
6．（2025八下·利州期中）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2025八下·利州期中）如图，在中，，，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
8．（2025八下·利州期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·利州期中）如图，点是的对角线的交点，的平分线 交于点，，连接．下列结论：①；②平分；③；④；⑤其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2025八下·利州期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股圆方图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（　　）
A．68 B．89 C．119 D．130
11．（2025八下·利州期中）对于代数式，x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·利州期中）若最简二次根式与可以合并，则a的值为　 　．
13．（2025八下·利州期中）如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为　 　．
14．（2025八下·利州期中）在 ABCD中，∠BAD的平分线AE把边BC分成5和6两部分，则 ABCD的周长为　 　．
15．（2025八下·利州期中）如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为　 　．
16．（2025八下·利州期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为　 　．
17．（2025八下·利州期中）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025八下·利州期中）先化简，再求值：，其中．
19．（2025八下·利州期中）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20．（2025八下·利州期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明利用完全平方公式进行了，以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则__________，__________；
（2）已知是的算术平方根，求的值；
21．（2025八下·利州期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四边形ABCD的周长为32．
（1）求∠BDC的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
22．（2025八下·利州期中）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
23．（2025八下·利州期中）在等腰三角形ABD 中， AB=AD.
(I)试利用无刻度的直尺和圆规作图，求作：点C ，使得四边形 ABCD 是菱形.(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(II)在菱形 ABCD 中，连结 AC 交 BD 于点O，若 AC=8，BD=6，求AB边上的高h的长.
24．（2025八下·利州期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为．
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
25．（2025八下·利州期中）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
26．（2025八下·利州期中）（1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF．
请你写出证明过程．
（2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．，不是最简二次根式，
∴此选项不符合题意；
B．，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，
∴此选项不符合题意；
C．，被开方数中含有分母，
∴此选项不符合题意；
D．，是最简二次根式，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式的概念"（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式"并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意，
B．和不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意，
C．，
∴此选项符合题意，
D．≠，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的运算法则和同类二次根式的定义“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”依次进行判断即可求解．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，
设，则，
由长方形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由折叠的性质可得，设，则，在Rt△ABE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
4．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，斜边为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得：，由等式的性质并结合所求代数式，在等式两边同时加BC2可得=2BC2，再将BC=2代入计算即可求解.
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，过作于，连接，
此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程，
∵米，米，点到的距离是米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故答案为：A．
【分析】过作于，连接，根据两点之间线段最短，在Rt△BGP中，用勾股定理求解即可．
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
B、根据，，不一定能推出四边形是平行四边形，
∴此选项符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定方法"①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形"依次判断即可求解．
7．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
点E为的中点，点F为的中点，
是的中位线，
，
当时，即点在位置时，有最小值，此时最小，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】连接，过点作于点，由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，即当时，即点在位置时，有最小值，此时最小，根据平行四边形的性质并结合直角三角形的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得BG =AB，在Rt△ABG 中，用勾股定理求出AG 的值，则EF的值可求解．
8．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可得：
，
，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】观察图形，用割补法求得的面积，根据网格图的特征用勾股定理求出的长，再用等面积法可得关于AD的方程，解方程即可求解．
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形；四边形的综合；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：①在中，
，，平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，即，
，
∴结论正确，符合题意；
②，
，
，
故平分，
∴结论正确，符合题意；
③在中，，
∴，
∴结论错误，不符合题意；
④是中点，为中点，
∴是的中位线，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴结论正确，符合题意；
⑤∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴结论错误，不符合题意；
∴正确的结论有3个.
故答案为：B．
【分析】①由题意易得，即，即可得到；
②根据，可得，进而得出平分；
③依据中，，即可得到；
④由三角形中位线定理可得，，解直角三角形得到，则，可得；
⑤证明，得到，则， 即可得到．
10．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；正方形的性质；求代数式的值-整体代入求值；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：大正方形的面积为：，
小正方形的面积为：，
由得，
，即，
，
故答案为：B．
【分析】由题意，用含a，b，c的代数式表示出大正方形和小正方形的面积，将两式相减可求得，再根据完全平方公式将所求代数式变形得：a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2，然后整体代换即可求解案．
11．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意知，，，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可.
12．【答案】4
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式
与
可以合并，
∴3a﹣1＝2a＋3，
∴a＝4，
故答案为：4.
【分析】由于最简二次根式
与
可以合并，可得被开方数相同，据此解答即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的，
∵在中，，，
∴，
由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，
内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长，
内部五个小直角三角形的周长为：．
故答案为：24．
【分析】由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，于是内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长，用勾股定理得到的长度，然后计算周长即可求解．
14．【答案】32或34
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，BC＝BE+EC，
①当BE＝5，EC＝6时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（5+5+6）＝32；
②当BE＝6，EC＝5时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（6+6+5）＝34．
故答案为32或34．
【分析】根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠DAE＝∠AEB，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝BE，然后分两种情况：①
当BE＝5，EC＝6时；②当BE＝6，EC＝5时，根据平行四边形的对边相等并结合平行四边形的周长等于相邻两边之和的2倍即可求解.
15．【答案】10
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：垂直平分，设，相交于点，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
在△MOD和△NOB中
∴，
∴，
∴互相垂直平分，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴四边形的周长为．
故答案为：10．
【分析】根据作图可知：垂直平分，由题意，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，根据对角线互相垂直平分的四边形是平行四边形可得四边形为菱形，设，在中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出的值，则四边形的周长即可求解．
16．【答案】1.2
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，，，
，
，，
∴，
四边形是矩形，
．，
是的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
当时，，此时最短，
，
当最短时，
故答案为：．
【分析】由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，由等面积法即可求得最短时的长，然后根据PM=AP即可求解．
17．【答案】（1）解：
；
（2）
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）根据二次根式的性质“、”可将各二次根式化简，然后根据合并同类二次根式法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后根据合并同类二次根式法则计算即可求解．
（1）解：
；
（2）
18．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，由线段的和差和等式的性质可得，结合已知，用边角边可证，再根据全等三角形的对应边相等可求解；
（2）根据全等三角形的对应角相等可得，在△ACE中，根据三角形的内角和等于180°即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
（1）
解：，
∴；
故答案为：；
【分析】
（1）根据题干中给出的方法，进行计算即可求解；
（2）根据题干给定的方法，求出的算术平方根，然后代入所求代数式计算即可求解．
（1）解：，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴．
21．【答案】解：（1）∵AB=AD=8cm，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵∠ADC=150°，
∴∠BDC=150°﹣60°=90°；
（2）∵△ABD为正三角形，AB=8cm，
∴S△ABD=××AB×AD=16，BD=8，
∵四边形ABCD的周长为32，
∴BC+CD=32﹣8﹣8=16，①
在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，
∴82+CD2=BC2，②
联立解方程组①②得：BC=10，CD=6，
∴S△BCD=×6×8=24，
∴S四边形ABCD=24+16．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）由题意，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABD是等边三角形，结合已知，由角的和差可求解；
（2）根据四边形周长和等边三角形的各边都相等可得BC+CD的方程，在Rt△BCD中，用勾股定理可得关于BC、CD的方程，将两个方程联立解方程组即可求出BC、CD的值，于是根据图形的构成
S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD可求解.
22．【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
在△AEF和△DEB中
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）连接DF，
∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，
∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形ADCF是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠AFE=∠EBD，∠EAF=∠EDB，结合已知，用角角边可判定全等；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABDF是平行四边形，结合已知可得DF=AC，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断求解．
23．【答案】解：(I)如图，点是所求作的点，
∴四边形是菱形.
(II) 如图：连接AC，交BD于点O.
∵四边形是菱形，
∴，，
，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：.
答：AB边上的高h的长为.
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【分析】(I)根据菱形的尺规作图的方法作图即可.
(II)先由勾股定理可得出AB的长度，然后根据菱形的面积：可得关于h的方程，解方程即可求解.
24．【答案】（1）解：由题意可知，
∵，
∴△ABD为直角三角形，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴台风中心经过从B点移到D点.
（2）解：如图所示，在射线上取点E、F，使得，
∵AE=AF，，
∴△AED为等腰三角形，，
在中，
∵Ae=200km，AD=160km，
∴，
∴，
∴h，
∴A市受到台风影响的时间持续．
【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，再根据台风移动速度，即可求出时间；
（2）根据受台风影响的半径为200km，结合台风的运动路径，即可作图， 只需计算台风中心从 B 点出发到其影响范围首次触及 A 市的位置 E 和离开 A 市影响范围的位置 F 的时间差即可，先运用勾股定理求得，则即可求出=240km，继而可求出受台风影响的持续时间．
（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∵，
∴台风中心经过从B点移到D点；
（2）解：如图，在射线上取点E、F，使得，
由得，
在中，，
∴，
∴，
∴A市受到台风影响的时间持续．
25．【答案】（1）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ；
（2）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，根据正方形性质可得PC平分∠DCB，∠DCB=90°，再根据角平分线定义可得PF=PE，根据正方形判定定理可得四边形PECF为正方形，再根据角之间的关系可得∠BPE=∠QPF，再根据全等三角形判定定理可得Rt△PQF≌Rt△PBE，则PB=PQ，即可求出答案.
（2）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，根据正方形性质可得PC平分∠DCB，∠DCB=90°，再根据角平分线定义可得PF=PE，根据正方形判定定理可得四边形PECF为正方形，再根据角之间的关系可得∠BPE=∠QPF，再根据全等三角形判定定理可得Rt△PQF≌Rt△PBE，则PB=PQ，即可求出答案.
26．【答案】证明：（1）如图1，取AB的中点H，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠AEF＝90°，
∵点H、E分别是边AB、BC的中点，
∴AH＝BH＝BE＝CE，
∴∠BHE＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵CF是正方形外角∠DCG的平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AHE＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：正确．理由如下：
如图2，在AB上取一点M，使AM＝CE，连接ME，
∴BM＝BE，
∴∠BME＝45°，∠AME＝135°，
∵CF是正方形外交∠DCG的平分线，
∴∠DCF＝45°，∠ECF＝135°，
同（1）可证明△AME≌△ECF，
∴AE＝EF；
（3）成立．理由如下：
理由如下：如图3，延长BA到M，使AM＝CE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）如图：取AB的中点H，连接EH，由正方形的性质，用角边角可得△AHE≌△ECF，根据全等三角形的对应边相等可求解；
（2）如图2，在AB上取一点M，使AM＝CE，连接ME，方法同（1）可求解；
（3）成立．理由如下：延长BA到M，使AM＝CE，根据已知及正方形的性质，用角边角可得△AHE≌△ECF，根据全等三角形的对应边相等可求解．
1 / 1四川省广元市利州区2024--2025学年下学期八年级期中质量检测数学试卷
1．（2025八下·利州期中）下列四个式子中，最简二次根式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A．，不是最简二次根式，
∴此选项不符合题意；
B．，被开方数12中含有能开得尽方的因式4，
∴此选项不符合题意；
C．，被开方数中含有分母，
∴此选项不符合题意；
D．，是最简二次根式，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据最简二次根式的概念"（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式"并结合各选项即可判断求解．
2．（2025八下·利州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除法；同类二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意，
B．和不是同类二次根式，不能合并，
∴此选项不符合题意，
C．，
∴此选项符合题意，
D．≠，
∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的运算法则和同类二次根式的定义“几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式”依次进行判断即可求解．
3．（2025八下·利州期中）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得，
设，则，
由长方形的性质可得，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】由折叠的性质可得，设，则，在Rt△ABE中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
4．（2025八下·利州期中）在中，斜边，则的值为（　　）
A． B． C． D．无法计算
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在中，斜边为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理可得：，由等式的性质并结合所求代数式，在等式两边同时加BC2可得=2BC2，再将BC=2代入计算即可求解.
5．（2025八下·利州期中）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是3米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（　　）米
A．5 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题
【解析】【解答】解：如图，过作于，连接，
此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程，
∵米，米，点到的距离是米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴（米），
∴这只蚂蚁的最短行程应该是米．
故答案为：A．
【分析】过作于，连接，根据两点之间线段最短，在Rt△BGP中，用勾股定理求解即可．
6．（2025八下·利州期中）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
B、根据，，不一定能推出四边形是平行四边形，
∴此选项符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴此选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定方法"①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形"依次判断即可求解．
7．（2025八下·利州期中）如图，在中，，，，点H、G分别是边、上的动点，连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接，则的最小值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作于点，
点E为的中点，点F为的中点，
是的中位线，
，
当时，即点在位置时，有最小值，此时最小，
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】连接，过点作于点，由三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”可得，即当时，即点在位置时，有最小值，此时最小，根据平行四边形的性质并结合直角三角形的性质“30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得BG =AB，在Rt△ABG 中，用勾股定理求出AG 的值，则EF的值可求解．
8．（2025八下·利州期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：由题可得：
，
，
∴，
解得：，
故答案为：D．
【分析】观察图形，用割补法求得的面积，根据网格图的特征用勾股定理求出的长，再用等面积法可得关于AD的方程，解方程即可求解．
9．（2025八下·利州期中）如图，点是的对角线的交点，的平分线 交于点，，连接．下列结论：①；②平分；③；④；⑤其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】解直角三角形；四边形的综合；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：①在中，
，，平分，
，
是等边三角形，
，
是的中点，
，
，
，即，
，
∴结论正确，符合题意；
②，
，
，
故平分，
∴结论正确，符合题意；
③在中，，
∴，
∴结论错误，不符合题意；
④是中点，为中点，
∴是的中位线，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴结论正确，符合题意；
⑤∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴结论错误，不符合题意；
∴正确的结论有3个.
故答案为：B．
【分析】①由题意易得，即，即可得到；
②根据，可得，进而得出平分；
③依据中，，即可得到；
④由三角形中位线定理可得，，解直角三角形得到，则，可得；
⑤证明，得到，则， 即可得到．
10．（2025八下·利州期中）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股圆方图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（　　）
A．68 B．89 C．119 D．130
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；正方形的性质；求代数式的值-整体代入求值；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：大正方形的面积为：，
小正方形的面积为：，
由得，
，即，
，
故答案为：B．
【分析】由题意，用含a，b，c的代数式表示出大正方形和小正方形的面积，将两式相减可求得，再根据完全平方公式将所求代数式变形得：a4+b4=(a2+b2)2-2a2b2，然后整体代换即可求解案．
11．（2025八下·利州期中）对于代数式，x的取值范围是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意知，，，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】利用二次根式和分式有意义的条件列出不等式组求解即可.
12．（2025八下·利州期中）若最简二次根式与可以合并，则a的值为　 　．
【答案】4
【知识点】同类二次根式
【解析】【解答】解：∵最简二次根式
与
可以合并，
∴3a﹣1＝2a＋3，
∴a＝4，
故答案为：4.
【分析】由于最简二次根式
与
可以合并，可得被开方数相同，据此解答即可.
13．（2025八下·利州期中）如图，中，，，则其内部五个小直角三角形的周长之和为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；平移的性质
【解析】【解答】解：由图形可知，内部小直角三角形直角边是由直角直角边平移得到的，
∵在中，，，
∴，
由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，
内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长，
内部五个小直角三角形的周长为：．
故答案为：24．
【分析】由图形可知，内部小直角三角形直角边通过平移与直角直角边重合，于是内部五个小直角三角形的周长等于直角的周长，用勾股定理得到的长度，然后计算周长即可求解．
14．（2025八下·利州期中）在 ABCD中，∠BAD的平分线AE把边BC分成5和6两部分，则 ABCD的周长为　 　．
【答案】32或34
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE＝∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，BC＝BE+EC，
①当BE＝5，EC＝6时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（5+5+6）＝32；
②当BE＝6，EC＝5时，平行四边形ABCD的周长为：2（AB+BC）＝2×（6+6+5）＝34．
故答案为32或34．
【分析】根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠DAE＝∠AEB，再由角平分线的性质和等腰三角形的性质可得AB＝BE，然后分两种情况：①
当BE＝5，EC＝6时；②当BE＝6，EC＝5时，根据平行四边形的对边相等并结合平行四边形的周长等于相邻两边之和的2倍即可求解.
15．（2025八下·利州期中）如图，在矩形中，连接，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线，分别与交于点M、N，连接．若．则四边形的周长为　 　．
【答案】10
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知：垂直平分，设，相交于点，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
在△MOD和△NOB中
∴，
∴，
∴互相垂直平分，
∴四边形为菱形，
∴，
设，则：，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴，
∴四边形的周长为．
故答案为：10．
【分析】根据作图可知：垂直平分，由题意，用角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，根据对角线互相垂直平分的四边形是平行四边形可得四边形为菱形，设，在中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出的值，则四边形的周长即可求解．
16．（2025八下·利州期中）如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为　 　．
【答案】1.2
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
，，，
，
，，
∴，
四边形是矩形，
．，
是的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
当时，，此时最短，
，
当最短时，
故答案为：．
【分析】由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，由等面积法即可求得最短时的长，然后根据PM=AP即可求解．
17．（2025八下·利州期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）
.
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】
（1）根据二次根式的性质“、”可将各二次根式化简，然后根据合并同类二次根式法则计算即可求解；
（2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后根据合并同类二次根式法则计算即可求解．
（1）解：
；
（2）
18．（2025八下·利州期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解.
19．（2025八下·利州期中）已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SAS；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得，由线段的和差和等式的性质可得，结合已知，用边角边可证，再根据全等三角形的对应边相等可求解；
（2）根据全等三角形的对应角相等可得，在△ACE中，根据三角形的内角和等于180°即可求解．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
20．（2025八下·利州期中）小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：．善于思考的小明利用完全平方公式进行了，以下探索：．请你仿照小明的方法解决下列问题：
（1），则__________，__________；
（2）已知是的算术平方根，求的值；
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的混合运算
【解析】【解答】
（1）
解：，
∴；
故答案为：；
【分析】
（1）根据题干中给出的方法，进行计算即可求解；
（2）根据题干给定的方法，求出的算术平方根，然后代入所求代数式计算即可求解．
（1）解：，
∴；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
∴．
21．（2025八下·利州期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°，∠ADC=150°，四边形ABCD的周长为32．
（1）求∠BDC的度数；
（2）四边形ABCD的面积．
【答案】解：（1）∵AB=AD=8cm，∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形．
∵∠ADC=150°，
∴∠BDC=150°﹣60°=90°；
（2）∵△ABD为正三角形，AB=8cm，
∴S△ABD=××AB×AD=16，BD=8，
∵四边形ABCD的周长为32，
∴BC+CD=32﹣8﹣8=16，①
在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，
∴82+CD2=BC2，②
联立解方程组①②得：BC=10，CD=6，
∴S△BCD=×6×8=24，
∴S四边形ABCD=24+16．
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；勾股定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）由题意，根据有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形可得△ABD是等边三角形，结合已知，由角的和差可求解；
（2）根据四边形周长和等边三角形的各边都相等可得BC+CD的方程，在Rt△BCD中，用勾股定理可得关于BC、CD的方程，将两个方程联立解方程组即可求出BC、CD的值，于是根据图形的构成
S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD可求解.
22．（2025八下·利州期中）如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=CD，连接CF．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）若AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DBE，∠EAF=∠EDB，
在△AEF和△DEB中
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
（2）连接DF，
∵AF∥CD，AF=CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵△AEF≌△DEB，
∴BE=FE，
∵AE=DE，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB，
∵AB=AC，
∴DF=AC，
∴四边形ADCF是矩形．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠AFE=∠EBD，∠EAF=∠EDB，结合已知，用角角边可判定全等；
（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCF是平行四边形，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形ABDF是平行四边形，结合已知可得DF=AC，根据对角线相等的平行四边形是矩形可判断求解．
23．（2025八下·利州期中）在等腰三角形ABD 中， AB=AD.
(I)试利用无刻度的直尺和圆规作图，求作：点C ，使得四边形 ABCD 是菱形.(保留作图痕迹，不写作法和证明)；
(II)在菱形 ABCD 中，连结 AC 交 BD 于点O，若 AC=8，BD=6，求AB边上的高h的长.
【答案】解：(I)如图，点是所求作的点，
∴四边形是菱形.
(II) 如图：连接AC，交BD于点O.
∵四边形是菱形，
∴，，
，
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：.
答：AB边上的高h的长为.
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【分析】(I)根据菱形的尺规作图的方法作图即可.
(II)先由勾股定理可得出AB的长度，然后根据菱形的面积：可得关于h的方程，解方程即可求解.
24．（2025八下·利州期中）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为．
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
【答案】（1）解：由题意可知，
∵，
∴△ABD为直角三角形，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴台风中心经过从B点移到D点.
（2）解：如图所示，在射线上取点E、F，使得，
∵AE=AF，，
∴△AED为等腰三角形，，
在中，
∵Ae=200km，AD=160km，
∴，
∴，
∴h，
∴A市受到台风影响的时间持续．
【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出的长，再根据台风移动速度，即可求出时间；
（2）根据受台风影响的半径为200km，结合台风的运动路径，即可作图， 只需计算台风中心从 B 点出发到其影响范围首次触及 A 市的位置 E 和离开 A 市影响范围的位置 F 的时间差即可，先运用勾股定理求得，则即可求出=240km，继而可求出受台风影响的持续时间．
（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
∵，
∴台风中心经过从B点移到D点；
（2）解：如图，在射线上取点E、F，使得，
由得，
在中，，
∴，
∴，
∴A市受到台风影响的时间持续．
25．（2025八下·利州期中）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ；
（2）PB=PQ，
证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，
∵P，C为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，
∴PF=PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，
∴∠BPE=∠QPF，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB=PQ．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；正方形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，根据正方形性质可得PC平分∠DCB，∠DCB=90°，再根据角平分线定义可得PF=PE，根据正方形判定定理可得四边形PECF为正方形，再根据角之间的关系可得∠BPE=∠QPF，再根据全等三角形判定定理可得Rt△PQF≌Rt△PBE，则PB=PQ，即可求出答案.
（2）过P作PE⊥BC，PF⊥CD，根据正方形性质可得PC平分∠DCB，∠DCB=90°，再根据角平分线定义可得PF=PE，根据正方形判定定理可得四边形PECF为正方形，再根据角之间的关系可得∠BPE=∠QPF，再根据全等三角形判定定理可得Rt△PQF≌Rt△PBE，则PB=PQ，即可求出答案.
26．（2025八下·利州期中）（1）数学课上，张老师给出了一个问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．
小明经过思考展示了一种正确的解题思路：取AB的中点H，连接HE，则可以证明AE＝EF．
请你写出证明过程．
（2）在此基础上，小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，请写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（3）如图3，如果点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立吗？直接写出结论，不用说明理由．
【答案】证明：（1）如图1，取AB的中点H，连接EH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝∠AEF＝90°，
∵点H、E分别是边AB、BC的中点，
∴AH＝BH＝BE＝CE，
∴∠BHE＝45°，
∴∠AHE＝135°，
∵CF是正方形外角∠DCG的平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AHE＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
在△AHE和△ECF中
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF；
（2）解：正确．理由如下：
如图2，在AB上取一点M，使AM＝CE，连接ME，
∴BM＝BE，
∴∠BME＝45°，∠AME＝135°，
∵CF是正方形外交∠DCG的平分线，
∴∠DCF＝45°，∠ECF＝135°，
同（1）可证明△AME≌△ECF，
∴AE＝EF；
（3）成立．理由如下：
理由如下：如图3，延长BA到M，使AM＝CE，
∵∠AEF＝90°，
∴∠FEG+∠AEB＝90°．
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴∠MAE＝∠CEF．
∵AB＝BC，
∴AB+AM＝BC+CE，
即BM＝BE．
∴∠M＝45°，
∴∠M＝∠FCE．
在△AME与△ECF中，
，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）如图：取AB的中点H，连接EH，由正方形的性质，用角边角可得△AHE≌△ECF，根据全等三角形的对应边相等可求解；
（2）如图2，在AB上取一点M，使AM＝CE，连接ME，方法同（1）可求解；
（3）成立．理由如下：延长BA到M，使AM＝CE，根据已知及正方形的性质，用角边角可得△AHE≌△ECF，根据全等三角形的对应边相等可求解．
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