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湖南省武冈市2025年4月九年级部分学校联考中考数学模拟冲刺试卷
1．（2025·武冈模拟）一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025·武冈模拟）如果 和 互余，则下列式子中表示 补角是（　　）
①180°－ ；② ＋2 ；③2 ＋ ；④ ＋90°
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
3．（2025·武冈模拟）－5的相反数是（　　）
A． B． C．5 D．-5
4．（2025·武冈模拟）如图在ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得到DEF，则下列说法正确的个数是（　　）
①ABC与DEF是位似图形；
②ABC与DEF是相似图形；
③ABC与DEF的周长比为1：2；
④ABC与DEF的面积比为4：1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2025·武冈模拟）已知，则的值是（　　）
A．6 B．9 C． D．
6．（2025·武冈模拟）关于一次函数，下列说法不正确的是（　　）
A．图象经过点 B．图象与轴交于点
C．图象不经过第二象限 D．函数值随的增大而增大
7．（2025·武冈模拟）将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（　　）
A．y=（x+2）2﹣5 B．y=（x+2）2+5
C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2+5
8．（2025·武冈模拟）如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是(　　)
A． B．
C． D．
9．（2025·武冈模拟）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．以上都不是
10．（2025·武冈模拟）下列说法中正确的是（　　）
A．样本7，7，6，5，4的众数是2
B．样本2，2，3，4，5，6的中位数是4
C．样本39，41，45，45不存在众数
D．5，4，5，7，5的众数和中位数相等
11．（2025·武冈模拟）将直线向上平移5个单位长度，得到直线　 　．
12．（2025·武冈模拟）若将直线平移，使其经过点，则平移后所得的直线表达式为　 　.
13．（2025·武冈模拟）已知是关于x，y的二元一次方程，则　 　．
14．（2025·武冈模拟）比较大小： 　 　 (填“>”或“<”)
15．（2025·武冈模拟）把二次函数 的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是　 　.
16．（2025·武冈模拟）分式方程：的解为：　 　．
17．（2025·武冈模拟）已知方程是二元一次方程，则　 　．
18．（2025·武冈模拟）如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点，过点作轴于点，连接．已知的面积为1，那么　 　．
19．（2025·武冈模拟）计算：．
20．（2025·武冈模拟）解方程：．
21．（2025·武冈模拟）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形；
（3）如图3，当，且时，求证：．
22．（2025·武冈模拟）如图，在中，，三个内角的平分线交于点O．
（1）若，求的度数；
（2）过点O作，交于点D．试说明：．
23．（2025·武冈模拟）今年3至8月份期间，根据、、三种品牌空调的销售情况制作统计图如下，根据统计图，回答下列问题：
（1）3至8月份期间，_____品牌空调销售量最多（填“、或”）；8月份品牌空调销售量有_____台；扇形统计图中，A品牌所对应的扇形的圆心角是_____；
（2）8月份，其他品牌的空调销售总量是多少台
（3）小明打算选购一台空调，你建议小明购买哪种品牌的空调？请你写出一条理由．
24．（2025·武冈模拟）已知抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴正半轴交于点．
（1）若、，求抛物线解析式；
（2）如图1，若为抛物线的顶点，过作轴于点，连，有且，过点的直线交轴于点，过点和点分别作直线的垂线，垂足为点和点，若，求直线的解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，点是轴下方的抛物线上一点，若，求点的纵坐标．
25．（2025·武冈模拟）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1．将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点，打开铺平，连接、、．
【探究提炼】
（1）如图1，点是上任意一点；线段和线段存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．
①求的度数；
②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值：若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】
根据y=x-2可知：
k=1>0，∴图像必过第一和第三象限；
b=-2<0，∴图像与y轴的交点在x轴下方，
∴图像也过第四象限，综上，图像过第一，第三、第四象限，不经过第二象限。
故答案为：B
【分析】
根据解析式中k和b的值判断图像所经过的象限。k>0时图像必过第一和第三象限，b<0时图像与y轴的交点在x轴下方，图像必过第三和第四象限。
2．【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵ ，
∴ 是 的补角，故①符合题意．
∵ 互余，
∴ ．
∴ 是 的补角，故②符合题意．
∵ 互余，
∴ ，
∵无法判断 的大小，
∴无法判断 是否为 的补角，故③无法确定．
∵ 互余，
∴ ．
∴ 是 的补角，故④符合题意．
综上可知：①②④符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据 和 互余可得，再结合题意 补角=，即可
3．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-5的相反数是5
故答案为：C
【分析】根据相反数的定义解答即可.
4．【答案】C
【知识点】位似图形的性质；位似图形的概念
【解析】【解答】解：①根据位似图形的定义可知，与是位似图形，故①正确；
②由与是位似图形可知，与是相似图形，故②正确；
③∵点、、分别是、、的中点，
∴与的相似比为2∶1，
∴与的周长比为2∶1，故③错误；
④∵与的相似比为2∶1，
∴与的面积比为4∶1，故④正确；
综上所述，说法正确的有3个，
故答案为：C.
【分析】先根据位似图形的定义得与是位似图形，而位似图形一定是相似图形，即可判断出①②正确，然后根据相似图形的相似比得周长比等于相似比以及面积比等于相似比的平方，即可判断③错误，④正确.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：B.
【分析】先求得a+b的值，然后利用同底数幂乘法法则，代入数值进行计算即可.
6．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】A．当x=2时，y=2×2-3=1，
∴图象经过点，
∴此选项不符合题意；
B．当y=0时，2x-3=0，
解得：x=，
∴图象与x轴相交于点（，0），
∴此选项符合题意；
C．∵k=2＞0，b=-3＜0，
∴图象经过第一、三、四象限，
∴图象不经过第二象限，
∴此选项不符合题意；
D． ∵k=2＞0，
∴函数值随的增大而增大，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、由题意，把x=2代入一次函数的解析式计算即可判断求解；
B、由题意，把y=0代入一次函数的解析式计算即可判断求解；
C、根据一次函数的图象与系数之间的关系即可判断求解；
D、根据一次函数的图象与性质即可判断求解.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．故答案为：A．
【分析】首先找出抛物线的顶点坐标，根据点的平移规律左右平移改变横坐标，“横坐标左减右加”，上下平移改变纵坐标，“纵坐标上加下减”从而得出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得出平移后的抛物线的解析式。
8．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图从图形的正面观察得到的图形，注意后排左上角的那个小正方体，
故答案选：A．
【分析】根据主视图从图形的正面观察得到的图形并结合各选项即可求解．
9．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】 被开方数含分母，不是最简二次根式；
被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
是最简二次根式，
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式的性质啊化简，再逐项判定即可。
10．【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：A、 样本7，7，6，5，4的重复次数最多的数是7，所以众数是7，故选项A不正确；
B、 样本2，2，3，4，5，6的处于中间位置的两个数是3和4，所以中位数是 ，故选项B不正确；
C、样本39，41，45，45重复次数最多的数字是45，所以众数是45，故选项C不正确；
D、 5，4，5，7，5，将数据重新排序为4，5，5，5，7，重复次数最多的众数是5和中位数为5，所以众数和中位数相等，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】找出7，7，6，5，4中出现次数最多的数据，即为众数，据此判断A；样本2，2，3，4，5，6的处于中间位置的两个数是3和4，求出3和4的平均数即为中位数，据此判断B；根据众数的概念可判断C；将数据重新排序为4，5，5，5，7，重复次数最多的数据为5，位于最中间的数据为5，据此判断D.
11．【答案】y=-x
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由直线方程y=-x-5，可得k=-1，b=-5，
向上平移5个单位长度得到了新直线，则新直线的k=-1，b=-5+5=0，
所以新直线的解析式为y=-x．
故答案为y=-x．
【分析】根据直线解析式平移的规律：“上加下减，左加右减”，结合平移时直线的k的值不变，只有b发生变化，合理计算，即可求解．
12．【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】设平移后的解析式为，
将点（1，-1）代入解析式，
可得：-1=2×1+b，
解得：b=-3，
∴平移后的解析式为：，
故答案为：.
【分析】设平移后的解析式为，再将点（1，-1）代入解析式，求出b的值即可.
13．【答案】－3
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得a=-3 .
故答案为：-3.
【分析】根据二元一次方程的定义可得，解之即可求解.
14．【答案】＞
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】∵ =0.75， =0.8，0.75<0.8，
∴- >-
故答案为：>
【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小，因此先求出这两个数的绝对值，再比较大小。
15．【答案】y＝2（x+3）2﹣1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y＝2（x+3）2﹣1.
故答案为：y＝2（x+3）2﹣1.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
16．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同乘以得，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
故答案为：.
【分析】根据解分式方程的一般步骤“去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，检验”解方程即可求解．
17．【答案】1
【知识点】二元一次方程的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：方程是关于，的二元一次方程，
，，
解得：，，
．
故答案为：1．
【分析】由二元一次方程的定义“含有两个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程叫作二元一次方程”可得关于，的方程组，解方程并代入代数式计算即可求解．
18．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：点在双曲线上，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为，则：，
∴，
∴，
设，
过点作轴，延长交于点，
则：
∵轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点作轴，延长交于点，根据三角形的面积公式可得关于BE的方程，解方程求出BE的值，则由线段的和差BD=BE+ED求得BD的值，根据点B在第二象限可得点B的横坐标，把点B的横坐标代入正比例函数的解析式可求出点的总坐纵标，再根据点B在反比例函数y=即可求解．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据实数的绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行运算即可求解。
20．【答案】解：将原方程化为：，
∴，
解得：．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】考虑到最后一项的分子分母可同时除以4，于是可化简此项，将原方程进行化简，然后由解一元一次方程的方法和步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，据此进行求解.
21．【答案】（1）证明：∵平分，
，（角平分线性质）
，
，
在和中，
，
，
，
，（等边对等角）
，
；（等量代换）
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
（3）证明：如图3，延长、交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论；
（2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形；
（3）延长交于，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案．
（1）证明：∵平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
（3）证明：如图3，延长、交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：如图，连接．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∴．

（2）说明过程如下：
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
由（1）可知，．
∴．
∴．
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理求出的度数，由结合角平分线的定义可求得的度数，在△AOB中，由三角形内角和定理可求解；
（2）由三角形外角的性质求得，由角平分线的定义和三角形内角和定理求得，即可判断求解．
（1）解：如图，连接．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∴．
（2）说明过程如下：
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
由（1）可知，．
∴．
∴．
∴．
23．【答案】（1），
（2）解：8月，品牌电脑销售量为270台，品牌电脑占27%，
所以，8月份电脑的总的销售量为（台）．
其它品牌的电脑有：（台）．

（3）解：答案不唯一．
如，建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升；8月份，销售量在所有品牌中，占的百分比最大．
或：建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升，且每月销售量增长比品牌每月的增长量要快．
或：建议买产品．因为产品3至8月的总的销售量最多．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】
（1）
3至8月三种品牌电脑销售量总量最多是品牌；
8月份，品牌的销售量为台；
A品牌所对应的扇形的圆心角是
故答案为：，
【分析】
（1）观察条形统计图、折线统计图即可求解；
（2）根据品牌电脑销售量及品牌电脑所占百分比即可求出8月份电脑的总的销售量，再减去、、品牌的销售量即可求解；
（3）从所占的百分比、每月销售量增长比等方面提出建议即可（答案不唯一，只要符合题意即可）．
（1）3至8月三种品牌电脑销售量总量最多是品牌；
8月份，品牌的销售量为台；
A品牌所对应的扇形的圆心角是
故答案为：，
（2）8月，品牌电脑销售量为270台，品牌电脑占27%，
所以，8月份电脑的总的销售量为（台）．
其它品牌的电脑有：（台）．
（3）答案不唯一．
如，建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升；8月份，销售量在所有品牌中，占的百分比最大．
或：建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升，且每月销售量增长比品牌每月的增长量要快．
或：建议买产品．因为产品3至8月的总的销售量最多．
24．【答案】（1）解：将，代入，得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∵轴，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当点在轴正半轴时，如图，延长交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，将代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为；
当点在轴负半轴时，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
解得：，
∴，
同理可得直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（3）解：如图，作轴于点，作线段的垂直平分线交于点，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴令，有，
解得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是轴下方的抛物线上一点，
∴设，
∴，，，
∴，
整理得：，
∴，
解得：或，
∴（舍去），，
∴点的纵坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解即可；
（2）由点的坐标得，在中，解直角三角形求出，从而利用勾股定理得，进而得，于是利用“顶点式”求得抛物线解析式，然后再分两种情况讨论：当点在轴正半轴时，延长交于点，证明、，利用相似三角形的性质求出，，再利用待定系数法求解即可；当点在轴负半轴时，延长交于点，同理进行求解即可；
（3）作轴于点，作线段的垂直平分线交于点，则，求出，，结合条件求得，于是证出，利用相似三角形的性质得，然后设，从而得的长，进而得关于m的方程，解方程求出的值，即可得点的纵坐标.
（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，
∴抛物线解析式为，即；
（2）解：∵，
∴，
∵轴，
∴在中，，
∴，，
∴顶点，
∴抛物线解析式为；
当点在轴正半轴时，，
∴点是的中点，延长交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设，将代入得，
解得，
∴；
当点在轴负半轴时，，延长交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，即，
∴，
∴，
同理；
综上，直线的解析式为或；
（3）解：解方程，得，，则，，
作轴于点，作线段的垂直平分线交于点，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵点是轴下方的抛物线上一点，
∴设，
∴，，，
∴，
整理得，
即，
解得或，
∴（舍去），或．
∴点的纵坐标为．
25．【答案】解：（1），理由如下：
由折叠的性质可知垂直平分，
；
（2）由（1）知，垂直平分，
，
，
由折叠的性质同理可得，
，，
在△QHP和△QHD中
，
，
，
恰好垂直于，
四边形为正方形，
平分，，
，
，
，
，
，
，
正方形边长为，
；
（3）①解：过点作于点，过点作于点，
，
，
，
草坪为菱形，为菱形的对角线，
，
在Rt△NRM和Rt△NSD中
，
，
；
②解：存在，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，
，
当最小时，面积最小，
即时，面积最小，
，
，
菱形草坪的边长为，
，
，
（）．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可知垂直平分，再结合垂直平分线性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解；
（2）结合折叠的性质，用边边边可证，由等腰三角形性质，以及全等三角形性质得到，结合正方形性质得到，再根据三角形内角和等于180°可得，然后根据等腰三角形性质可求解；
（3）①过点作于点，过点作于点，利用四边形内角和得到，结合菱形性质，用HL定理可证，由全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”并结合角的和差∠MND=∠SND+∠SNM可求解；
②过点作于点，结合直角三角形性质，等腰三角形性质，以及勾股定理得到，根据三角形的面积公式可将三角形MND用含MD2的代数式表示出来，根据垂线段最短可得：当最小时，面积最小，即时，面积最小，然后直角三角形性质和勾股定理求出即可求解．
1 / 1湖南省武冈市2025年4月九年级部分学校联考中考数学模拟冲刺试卷
1．（2025·武冈模拟）一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】一次函数的图象
【解析】【解答】
根据y=x-2可知：
k=1>0，∴图像必过第一和第三象限；
b=-2<0，∴图像与y轴的交点在x轴下方，
∴图像也过第四象限，综上，图像过第一，第三、第四象限，不经过第二象限。
故答案为：B
【分析】
根据解析式中k和b的值判断图像所经过的象限。k>0时图像必过第一和第三象限，b<0时图像与y轴的交点在x轴下方，图像必过第三和第四象限。
2．（2025·武冈模拟）如果 和 互余，则下列式子中表示 补角是（　　）
①180°－ ；② ＋2 ；③2 ＋ ；④ ＋90°
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【知识点】余角、补角及其性质
【解析】【解答】∵ ，
∴ 是 的补角，故①符合题意．
∵ 互余，
∴ ．
∴ 是 的补角，故②符合题意．
∵ 互余，
∴ ，
∵无法判断 的大小，
∴无法判断 是否为 的补角，故③无法确定．
∵ 互余，
∴ ．
∴ 是 的补角，故④符合题意．
综上可知：①②④符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据 和 互余可得，再结合题意 补角=，即可
3．（2025·武冈模拟）－5的相反数是（　　）
A． B． C．5 D．-5
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-5的相反数是5
故答案为：C
【分析】根据相反数的定义解答即可.
4．（2025·武冈模拟）如图在ABC外任取一点O，连接AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得到DEF，则下列说法正确的个数是（　　）
①ABC与DEF是位似图形；
②ABC与DEF是相似图形；
③ABC与DEF的周长比为1：2；
④ABC与DEF的面积比为4：1．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】位似图形的性质；位似图形的概念
【解析】【解答】解：①根据位似图形的定义可知，与是位似图形，故①正确；
②由与是位似图形可知，与是相似图形，故②正确；
③∵点、、分别是、、的中点，
∴与的相似比为2∶1，
∴与的周长比为2∶1，故③错误；
④∵与的相似比为2∶1，
∴与的面积比为4∶1，故④正确；
综上所述，说法正确的有3个，
故答案为：C.
【分析】先根据位似图形的定义得与是位似图形，而位似图形一定是相似图形，即可判断出①②正确，然后根据相似图形的相似比得周长比等于相似比以及面积比等于相似比的平方，即可判断③错误，④正确.
5．（2025·武冈模拟）已知，则的值是（　　）
A．6 B．9 C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：B.
【分析】先求得a+b的值，然后利用同底数幂乘法法则，代入数值进行计算即可.
6．（2025·武冈模拟）关于一次函数，下列说法不正确的是（　　）
A．图象经过点 B．图象与轴交于点
C．图象不经过第二象限 D．函数值随的增大而增大
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】A．当x=2时，y=2×2-3=1，
∴图象经过点，
∴此选项不符合题意；
B．当y=0时，2x-3=0，
解得：x=，
∴图象与x轴相交于点（，0），
∴此选项符合题意；
C．∵k=2＞0，b=-3＜0，
∴图象经过第一、三、四象限，
∴图象不经过第二象限，
∴此选项不符合题意；
D． ∵k=2＞0，
∴函数值随的增大而增大，
∴此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】A、由题意，把x=2代入一次函数的解析式计算即可判断求解；
B、由题意，把y=0代入一次函数的解析式计算即可判断求解；
C、根据一次函数的图象与系数之间的关系即可判断求解；
D、根据一次函数的图象与性质即可判断求解.
7．（2025·武冈模拟）将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（　　）
A．y=（x+2）2﹣5 B．y=（x+2）2+5
C．y=（x﹣2）2﹣5 D．y=（x﹣2）2+5
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．故答案为：A．
【分析】首先找出抛物线的顶点坐标，根据点的平移规律左右平移改变横坐标，“横坐标左减右加”，上下平移改变纵坐标，“纵坐标上加下减”从而得出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得出平移后的抛物线的解析式。
8．（2025·武冈模拟）如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：主视图从图形的正面观察得到的图形，注意后排左上角的那个小正方体，
故答案选：A．
【分析】根据主视图从图形的正面观察得到的图形并结合各选项即可求解．
9．（2025·武冈模拟）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．以上都不是
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】 被开方数含分母，不是最简二次根式；
被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
是最简二次根式，
故答案为：C.
【分析】根据最简二次根式的性质啊化简，再逐项判定即可。
10．（2025·武冈模拟）下列说法中正确的是（　　）
A．样本7，7，6，5，4的众数是2
B．样本2，2，3，4，5，6的中位数是4
C．样本39，41，45，45不存在众数
D．5，4，5，7，5的众数和中位数相等
【答案】D
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：A、 样本7，7，6，5，4的重复次数最多的数是7，所以众数是7，故选项A不正确；
B、 样本2，2，3，4，5，6的处于中间位置的两个数是3和4，所以中位数是 ，故选项B不正确；
C、样本39，41，45，45重复次数最多的数字是45，所以众数是45，故选项C不正确；
D、 5，4，5，7，5，将数据重新排序为4，5，5，5，7，重复次数最多的众数是5和中位数为5，所以众数和中位数相等，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】找出7，7，6，5，4中出现次数最多的数据，即为众数，据此判断A；样本2，2，3，4，5，6的处于中间位置的两个数是3和4，求出3和4的平均数即为中位数，据此判断B；根据众数的概念可判断C；将数据重新排序为4，5，5，5，7，重复次数最多的数据为5，位于最中间的数据为5，据此判断D.
11．（2025·武冈模拟）将直线向上平移5个单位长度，得到直线　 　．
【答案】y=-x
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：由直线方程y=-x-5，可得k=-1，b=-5，
向上平移5个单位长度得到了新直线，则新直线的k=-1，b=-5+5=0，
所以新直线的解析式为y=-x．
故答案为y=-x．
【分析】根据直线解析式平移的规律：“上加下减，左加右减”，结合平移时直线的k的值不变，只有b发生变化，合理计算，即可求解．
12．（2025·武冈模拟）若将直线平移，使其经过点，则平移后所得的直线表达式为　 　.
【答案】
【知识点】一次函数图象与几何变换；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】设平移后的解析式为，
将点（1，-1）代入解析式，
可得：-1=2×1+b，
解得：b=-3，
∴平移后的解析式为：，
故答案为：.
【分析】设平移后的解析式为，再将点（1，-1）代入解析式，求出b的值即可.
13．（2025·武冈模拟）已知是关于x，y的二元一次方程，则　 　．
【答案】－3
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的二元一次方程，
∴，
解得a=-3 .
故答案为：-3.
【分析】根据二元一次方程的定义可得，解之即可求解.
14．（2025·武冈模拟）比较大小： 　 　 (填“>”或“<”)
【答案】＞
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】∵ =0.75， =0.8，0.75<0.8，
∴- >-
故答案为：>
【分析】两个负数比较大小，绝对值大的反而小，因此先求出这两个数的绝对值，再比较大小。
15．（2025·武冈模拟）把二次函数 的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是　 　.
【答案】y＝2（x+3）2﹣1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y＝2（x+3）2﹣1.
故答案为：y＝2（x+3）2﹣1.
【分析】二次函数y=ax2+bx+c向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x+m)2+b(x+m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=a(x-m)2+b(x-m)+c；二次函数y=ax2+bx+c向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c+m；二次函数y=ax2+bx+c向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新二次函数的解析式为y=ax2+bx+c-m.
16．（2025·武冈模拟）分式方程：的解为：　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
方程两边同乘以得，
解得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
故答案为：.
【分析】根据解分式方程的一般步骤“去分母化分式方程为整式方程，解整式方程，检验”解方程即可求解．
17．（2025·武冈模拟）已知方程是二元一次方程，则　 　．
【答案】1
【知识点】二元一次方程的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：方程是关于，的二元一次方程，
，，
解得：，，
．
故答案为：1．
【分析】由二元一次方程的定义“含有两个未知数且未知数的最高次数是1的整式方程叫作二元一次方程”可得关于，的方程组，解方程并代入代数式计算即可求解．
18．（2025·武冈模拟）如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点，过点作轴于点，连接．已知的面积为1，那么　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：点在双曲线上，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为，则：，
∴，
∴，
设，
过点作轴，延长交于点，
则：
∵轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点作轴，延长交于点，根据三角形的面积公式可得关于BE的方程，解方程求出BE的值，则由线段的和差BD=BE+ED求得BD的值，根据点B在第二象限可得点B的横坐标，把点B的横坐标代入正比例函数的解析式可求出点的总坐纵标，再根据点B在反比例函数y=即可求解．
19．（2025·武冈模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据实数的绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、负整数指数幂进行运算即可求解。
20．（2025·武冈模拟）解方程：．
【答案】解：将原方程化为：，
∴，
解得：．
【知识点】解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】考虑到最后一项的分子分母可同时除以4，于是可化简此项，将原方程进行化简，然后由解一元一次方程的方法和步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，据此进行求解.
21．（2025·武冈模拟）在等腰中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，在上取点，使，连接．求证：是等边三角形；
（3）如图3，当，且时，求证：．
【答案】（1）证明：∵平分，
，（角平分线性质）
，
，
在和中，
，
，
，
，（等边对等角）
，
；（等量代换）
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
（3）证明：如图3，延长、交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；三角形的综合
【解析】【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）利用定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论；
（2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形；
（3）延长交于，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案．
（1）证明：∵平分，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如图，在上截取，连接，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
（3）证明：如图3，延长、交于，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
，
，
在和中，
，
，
，
．
22．（2025·武冈模拟）如图，在中，，三个内角的平分线交于点O．
（1）若，求的度数；
（2）过点O作，交于点D．试说明：．
【答案】（1）解：如图，连接．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∴．

（2）说明过程如下：
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
由（1）可知，．
∴．
∴．
∴．
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理求出的度数，由结合角平分线的定义可求得的度数，在△AOB中，由三角形内角和定理可求解；
（2）由三角形外角的性质求得，由角平分线的定义和三角形内角和定理求得，即可判断求解．
（1）解：如图，连接．
∵，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∴．
∴．
（2）说明过程如下：
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∴．
由（1）可知，．
∴．
∴．
∴．
23．（2025·武冈模拟）今年3至8月份期间，根据、、三种品牌空调的销售情况制作统计图如下，根据统计图，回答下列问题：
（1）3至8月份期间，_____品牌空调销售量最多（填“、或”）；8月份品牌空调销售量有_____台；扇形统计图中，A品牌所对应的扇形的圆心角是_____；
（2）8月份，其他品牌的空调销售总量是多少台
（3）小明打算选购一台空调，你建议小明购买哪种品牌的空调？请你写出一条理由．
【答案】（1），
（2）解：8月，品牌电脑销售量为270台，品牌电脑占27%，
所以，8月份电脑的总的销售量为（台）．
其它品牌的电脑有：（台）．

（3）解：答案不唯一．
如，建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升；8月份，销售量在所有品牌中，占的百分比最大．
或：建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升，且每月销售量增长比品牌每月的增长量要快．
或：建议买产品．因为产品3至8月的总的销售量最多．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；折线统计图
【解析】【解答】
（1）
3至8月三种品牌电脑销售量总量最多是品牌；
8月份，品牌的销售量为台；
A品牌所对应的扇形的圆心角是
故答案为：，
【分析】
（1）观察条形统计图、折线统计图即可求解；
（2）根据品牌电脑销售量及品牌电脑所占百分比即可求出8月份电脑的总的销售量，再减去、、品牌的销售量即可求解；
（3）从所占的百分比、每月销售量增长比等方面提出建议即可（答案不唯一，只要符合题意即可）．
（1）3至8月三种品牌电脑销售量总量最多是品牌；
8月份，品牌的销售量为台；
A品牌所对应的扇形的圆心角是
故答案为：，
（2）8月，品牌电脑销售量为270台，品牌电脑占27%，
所以，8月份电脑的总的销售量为（台）．
其它品牌的电脑有：（台）．
（3）答案不唯一．
如，建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升；8月份，销售量在所有品牌中，占的百分比最大．
或：建议买品牌电脑．销售量从3至8月，逐月上升，且每月销售量增长比品牌每月的增长量要快．
或：建议买产品．因为产品3至8月的总的销售量最多．
24．（2025·武冈模拟）已知抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴正半轴交于点．
（1）若、，求抛物线解析式；
（2）如图1，若为抛物线的顶点，过作轴于点，连，有且，过点的直线交轴于点，过点和点分别作直线的垂线，垂足为点和点，若，求直线的解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，点是轴下方的抛物线上一点，若，求点的纵坐标．
【答案】（1）解：将，代入，得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：∵，
∴，
∵轴，，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为，
当点在轴正半轴时，如图，延长交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，将代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为；
当点在轴负半轴时，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∴，
解得：，
∴，
同理可得直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（3）解：如图，作轴于点，作线段的垂直平分线交于点，
∴，
∵抛物线解析式为，
∴令，有，
解得：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是轴下方的抛物线上一点，
∴设，
∴，，，
∴，
整理得：，
∴，
解得：或，
∴（舍去），，
∴点的纵坐标为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解即可；
（2）由点的坐标得，在中，解直角三角形求出，从而利用勾股定理得，进而得，于是利用“顶点式”求得抛物线解析式，然后再分两种情况讨论：当点在轴正半轴时，延长交于点，证明、，利用相似三角形的性质求出，，再利用待定系数法求解即可；当点在轴负半轴时，延长交于点，同理进行求解即可；
（3）作轴于点，作线段的垂直平分线交于点，则，求出，，结合条件求得，于是证出，利用相似三角形的性质得，然后设，从而得的长，进而得关于m的方程，解方程求出的值，即可得点的纵坐标.
（1）解：∵抛物线与轴交于、两点，
∴抛物线解析式为，即；
（2）解：∵，
∴，
∵轴，
∴在中，，
∴，，
∴顶点，
∴抛物线解析式为；
当点在轴正半轴时，，
∴点是的中点，延长交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设，将代入得，
解得，
∴；
当点在轴负半轴时，，延长交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，，
∴，即，
∴，
∴，
同理；
综上，直线的解析式为或；
（3）解：解方程，得，，则，，
作轴于点，作线段的垂直平分线交于点，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵点是轴下方的抛物线上一点，
∴设，
∴，，，
∴，
整理得，
即，
解得或，
∴（舍去），或．
∴点的纵坐标为．
25．（2025·武冈模拟）综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．
【动手操作】
如图1．将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点，打开铺平，连接、、．
【探究提炼】
（1）如图1，点是上任意一点；线段和线段存在什么关系？并说明理由；
（2）如图2，连接，当恰好垂直于时，求线段的长度；
【类比迁移】
（3）如图3，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．
①求的度数；
②请问步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请直接写出最小值：若不存在，说明理由．
【答案】解：（1），理由如下：
由折叠的性质可知垂直平分，
；
（2）由（1）知，垂直平分，
，
，
由折叠的性质同理可得，
，，
在△QHP和△QHD中
，
，
，
恰好垂直于，
四边形为正方形，
平分，，
，
，
，
，
，
，
正方形边长为，
；
（3）①解：过点作于点，过点作于点，
，
，
，
草坪为菱形，为菱形的对角线，
，
在Rt△NRM和Rt△NSD中
，
，
；
②解：存在，
过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
整理得，
，
当最小时，面积最小，
即时，面积最小，
，
，
菱形草坪的边长为，
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（）．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可知垂直平分，再结合垂直平分线性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可求解；
（2）结合折叠的性质，用边边边可证，由等腰三角形性质，以及全等三角形性质得到，结合正方形性质得到，再根据三角形内角和等于180°可得，然后根据等腰三角形性质可求解；
（3）①过点作于点，过点作于点，利用四边形内角和得到，结合菱形性质，用HL定理可证，由全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”并结合角的和差∠MND=∠SND+∠SNM可求解；
②过点作于点，结合直角三角形性质，等腰三角形性质，以及勾股定理得到，根据三角形的面积公式可将三角形MND用含MD2的代数式表示出来，根据垂线段最短可得：当最小时，面积最小，即时，面积最小，然后直角三角形性质和勾股定理求出即可求解．
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