资源简介
湖南省衡阳市衡阳县2025年初中学业模拟考试数学试题卷
1．（2025·衡阳模拟）实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·衡阳模拟）生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·衡阳模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025·衡阳模拟）由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·衡阳模拟）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
6．（2025·衡阳模拟）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
7．（2025·衡阳模拟）估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
8．（2025·衡阳模拟）如图，分别与相切于A、B两点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·衡阳模拟）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示.
成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75
人数 2 3 5 4 1
这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ）
A．1.65米，1.65米 B．1.65米，1.70米
C．1.75米，1.65米 D．1.50米，1.60米
10．（2025·衡阳模拟）如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·衡阳模拟）分解因式： = ．
12．（2025·衡阳模拟）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
13．（2025·衡阳模拟）如果一次函数（k是常数，）的图象经过点，那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
14．（2025·衡阳模拟）若关于的方程的一个根为1，则 ．
15．（2025·衡阳模拟）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 度．
16．（2025·衡阳模拟）某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只．
17．（2025·衡阳模拟）如图，直线 ，点C、A分别在 上，以点C为圆心，长为半径画弧，交l1于点B，连接．若，则的度数为
18．（2025·衡阳模拟）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数图象上存在“近轴点”．则m的取值范围为 ．
19．（2025·衡阳模拟）计算：．
20．（2025·衡阳模拟）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣ ．
21．（2025·衡阳模拟）为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．足球，B．引体向上，C．篮球，D．排球，E．羽毛球．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角的度数为_______．
（2）若该校有4800名学生，估计该校参加C组（篮球）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
22．（2025·衡阳模拟）如图，在中，点E，F分别在，上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2），，，求的长．
23．（2025·衡阳模拟）2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，
（1）若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为_________件；
（2）当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元；
（3）该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
24．（2025·衡阳模拟）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求的长；
（2）求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）
25．（2025·衡阳模拟）已知抛物线经过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别为线段、上的动点（点E不与A，B重合），且，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，记，若满足条件的点P的个数有4个，求m的取值范围．
26．（2025·衡阳模拟）如图，点C在为直径的圆O上，连接，的角平分线交于点E，交圆O于点P．G是上一点，且，连接并延长交的延长线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
（3）设，，求y关于x的函数表达式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：实数的相反数是．
故答案为：B．
【分析】根据相反数定义"只有符号不同的两个数互为相反数"即可求解．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得=，
故答案为：A
【分析】根据科学记数法的定义即可求解。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；同类二次根式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、(-2a)3=-8a3，故正确；
C、a8÷a4=a4，故错误；
D、(a-1)2=a2-2a+1，故错误.
故答案为：B.
【分析】根据同类二次根式的概念可判断A；积的乘方，先对每一项分别乘方，然后将结果相乘，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；根据完全平方公式可判断D.
4．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体从前往后看，可以得到：
此为主视图.
故答案为：B．
【分析】根据从前往后看时看到的图形就是主视图作答即可．
5．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
A、1+3=4，故不能组成三角形，A不符合题意；
B、2+2＜7，故不能组成三角形，B不符合题意；
C、4+5＞7，故能组成三角形，C符合题意；
D、3+3=6，故不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系结合题意对选项逐一分析即可求解。
6．【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，正确，故A是真命题，
有三个角是直角的四边形是矩形，故B是假命题，
四条边相等的四边形是菱形，故C是假命题，
对角线相等的平行四边形是矩形，故D是假命题，
故选：A．
【分析】菱形和矩形都是特殊的平行四边形，其中菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分；矩形的四个角相等都是直角，对角线互相平分且相等；正方形既是菱形也是矩形，因此它具有菱形和矩形的所有性质，反过来判定一个四边形是正方形时，可先证菱形，再证矩形或先证矩形，再证菱形．
7．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ， .
故答案为：C.
【分析】由 可知 ，再估计 的范围即可.
8．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：∵分别与相切于A、B两点，
∴；
∵，
∴；
故答案为：B．
【分析】由切线的性质可得，再由四边形内角和定理即可求解．
9．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意得出现了5次，次数最多，
运动员的成绩的众数为：米．
将表中的数据按照从小到大的顺序排列如下：
，，，，，，，，，，，，，，
运动员的成绩的中位数是米．
故答案为：A
【分析】根据众数和中位数的定义结合表格数据即可求解。
10．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
四边形为菱形，
，，
和为直角三角形，且，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
，，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】设，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得OD=2DE，用勾股定理可将OE、OB用含a的代数式表示出来，由线段的和差OC=OD+CD、EB=OB-OE将OC、EB用含a的代数式表示出来，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
11．【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称 ，
对称点的坐标为（-1，-2），
故答案为： .
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：横、纵坐标互为相反数，即可求解.
13．【答案】减小
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数（k是常数，）的图象经过点，
∴，
解得：，
∴y的值随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【分析】对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而增减小是解题的关键．故先利用待定系数法求出k的值，再根据的正负判断增减性即可．
14．【答案】5
【知识点】一元二次方程的根
【解析】补充根为1，
【解答】解：关于的方程的一个根为1，
将x=1代入方程得
解得：m=5
故答案为：5.
【分析】将x=1代入方程得关于m的方程，解方程即可求解.
15．【答案】540
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．
所以该多边形的内角和是3×180°=540°，
故答案为：540．
【分析】从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．这些三角形彼此之间既不重叠也无缝隙，故这些三角形的内角和就是该多边的内角和。
16．【答案】460
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：460
【分析】根据题意运用样本估计总体的知识即可求解。
17．【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图得，，
∴为等腰三角形，
∴.
∵∠BCA＝150°，
∴，
∵，
∴.
故答案为：
【分析】由作图可证得△ABC为等腰三角形，继而可求出∠CBA的度数，再由l1l2得，即可得结论．
18．【答案】且m≠0
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵，
∴一次函数经过定点，
当时，，
∵一次函数图象上存在“近轴点”，
∴，且m≠0，
∴且m≠0；
综上，m的取值范围为：且m≠0．
故答案为：且m≠0．
【分析】依据题意，分两种情况：分别画图取点（1，-2m），根据“尽轴点”定义可得，且m≠0，求解即可得到答案.
19．【答案】解：原式
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】运用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式的化简进行运算，进而即可求解。
20．【答案】解：原式=a2+2ab+b2+ab-b2-4ab=a2-ab，
当a=2，b=- 时，
原式=4+1=5
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式的法则，先算乘法，再合并同类项，然后代入求值。
21．【答案】（1）解：①由题意知，被调查的总人数为（人），
所以小组人数为（人），
∴补全图形如下：
②
（2）解：（名），
∴该校参加组（篮球）的学生大概有1120名.
（3）解：列表格如下：
男 男 女 女
男 (男，男) （女，男） （女，男）
男 (男，男) （女，男） （女，男）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
由表格可知，共有12种等可能的结果，而其中一名男生和一名女生的结果数为8，
∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）②扇形统计图中的圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（1）①先用B小组人数÷所对应的百分比可得被调查的总人数，再用总人数减其他小组人数之和即可求出D小组人数，从而补全图形；
②用乘以小组人数占被调查人数的比例即可；
（2）用总人数乘以样本中小组人数占被调查人数的比例即可估算出参加C组（篮球）的学生人数；
（3）列表格列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．
（1）解：由题意知，被调查的总人数为（人），
所以小组人数为（人），
补全图形如下：
②扇形统计图中的圆心角的度数为，
故答案为：；
（2）（名），
答：估计该校参加组（篮球）的学生有1120名；
（3）画树状图为：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
22．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”可得AD=BC，AD∥BC，由线段的和差可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形可求解；
（2）由题意，易得是等腰直角三角形，用勾股定理可得，根据锐角三角函数tan∠ACB=求出EC的值，然后由线段的和差BC=BE+EC可求解.
23．【答案】（1）230
（2）解：设该吉祥物公仔的涨价x元，依题意得：
，
整理，得，
，
解得，（不合题意，舍去）.
∴x+40=59(元)
答：当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）解：不能，理由如下：
由（2）得：，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数根，
∴该吉祥物公仔的当天销售利润不能达到3700元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由题意：吉祥物的销售单价为45元时，每天的销售量为：
（件）．
故答案为：230．
【分析】（1）根据销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，可得单价增加5元，销售量减少5×10件，据此可得结果；
（2）设该吉祥物公仔的涨价x元，利用“总利润=每件的销售利润×每天的销售量”，可列出关于x的一元二次方程并求解即可；
（3）由（2）的设法可得方程，计算根的判别式，可得出原方程没有实数根，即当天利润达不到3700元.
（1）解：（件）．
故答案为：230．
（2）解：设该吉祥物公仔的销售单价为x元（），则当天的销售量为件，依题意，得：
，
整理，得，
解得（不合题意，舍去），．
答：当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）解：不能，理由如下：
设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则当天的销售量为件，
依题意，得，
整理，得．
因为，
所以该方程无实数根，即该吉祥物公仔的当天销售利润不能达到3700元．
24．【答案】（1）解：在中，，∴．
即的长为．
（2）解：设，在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；
（2）过点D作AB的垂线段DF，则四边形DFAE是矩形，所以FA等于DE；为便于计算，可设AB＝h，则BF等于h-3，再分别解和即可分别表示出AC与DF，而DF与AC的差恰好等于DE等于3，即可求出AB的长．
25．【答案】（1）解：抛物线经过点和，
代入得，
整理得
解得：，
抛物线的解析式为，
顶点坐标为；
（2）解：抛物线图象如图所示：
抛物线的顶点坐标为（2，3），，
∴对称轴为直线，
，
∵点A和点B关于x=2对称，
∴AD=BD，
∴∠DBE=∠DAE=∠DEF，
∵∠DAE+∠ADE=∠DEB=∠DEF+∠BEF，
∴∠ADE=∠BEF，
，
，
∵D(2，3)，B(6，0)，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，y有最大值，即线段BF的长度最大值为；
（3）解：过点P作PG⊥AB于点G，如图所示：
∴.
设点，
，
∴ ，
∵，
∴当时，有最大值，且最大值为；当n=2或n=6时，S△PBD有最小值为0，故m有最小值为0.
过点P作PQ//BD，如图：
当时，直线PQ与抛物线总有两个交点，且到线段BD距离相等的直线有两条，
∴当时，满足条件的点P的个数总有4个.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）将点代入解析式求解参数即可得解析式，再根据顶点公式即可得顶点坐标；
（2）通过角度关系得到，利用相似三角形的性质得到，通过坐标求出DA长，设，可得与的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求出的面积，表示出△PBD的面积，即可得，根据二次函数的性质可得m的最大值；再根据面积的非负性，可得m的最小值；过点P作PQ//BD，可知时，直线PQ与抛物线总有两个交点，且到线段BD距离相等的直线有两条，据此即可得满足条件时m的取值范围.
（1）解：抛物线经过点和，
代入得，
解得：，
抛物线的解析式为，
顶点坐标为；
（2）解：抛物线对称轴为直线，，顶点，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
所以，
因为，
所以当时，线段BF的长度取得最大值；
（3）解：连接、、，作于点H，
，
当点在线段的右侧时，连、、，
设点，
又，，
，
当时，的面积的取最大值，
当点在的右侧时，的最大值；
要想使满足的点P有4个，
当点在的左侧时，可为任何值，故必有2个点能满足条件，
当点在的右侧时，必有2个点能满足条件，此时，
．
26．【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，
连接，
∵是的直径，
∴，
，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连接与交于H，
∵是的直径，
∴，
，，
∵，，
∴，
∴，
，
；
（3）解：如图，
连接，，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵平分，
∴，
∴，
不妨设，则，，
∴，
由（2）知：∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据是的直径，平分可求得，进而得到，由，可知，因此，进而可得，即可得证；
（2）连接，可求得的值，根据平分得出，从而求得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求出AG的值；连接与交于H，由线段的和差求出BF的值，同理可得，于是可得比例式，求得EH的值，然后根据三角形的面积公式S=EH·AG可求解；
（3）连接，，可求得，根据表示出，结合已知可将，用含x的代数式表示出来，根据平分，得出，于是可得，设，则，，由（2）可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由线段的和差可得，然后根据锐角三角函数y=tan∠AGE=可求解．
1 / 1湖南省衡阳市衡阳县2025年初中学业模拟考试数学试题卷
1．（2025·衡阳模拟）实数的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的相反数
【解析】【解答】解：实数的相反数是．
故答案为：B．
【分析】根据相反数定义"只有符号不同的两个数互为相反数"即可求解．
2．（2025·衡阳模拟）生物学家发现了某种花粉的直径约为毫米，数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得=，
故答案为：A
【分析】根据科学记数法的定义即可求解。
3．（2025·衡阳模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；同类二次根式；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故错误；
B、(-2a)3=-8a3，故正确；
C、a8÷a4=a4，故错误；
D、(a-1)2=a2-2a+1，故错误.
故答案为：B.
【分析】根据同类二次根式的概念可判断A；积的乘方，先对每一项分别乘方，然后将结果相乘，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；根据完全平方公式可判断D.
4．（2025·衡阳模拟）由4个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，这个几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体从前往后看，可以得到：
此为主视图.
故答案为：B．
【分析】根据从前往后看时看到的图形就是主视图作答即可．
5．（2025·衡阳模拟）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：
A、1+3=4，故不能组成三角形，A不符合题意；
B、2+2＜7，故不能组成三角形，B不符合题意；
C、4+5＞7，故能组成三角形，C符合题意；
D、3+3=6，故不能组成三角形，D不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据三角形的三边关系结合题意对选项逐一分析即可求解。
6．（2025·衡阳模拟）下列命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四条边相等的四边形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
【答案】A
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：平行四边形的对角线互相平分，正确，故A是真命题，
有三个角是直角的四边形是矩形，故B是假命题，
四条边相等的四边形是菱形，故C是假命题，
对角线相等的平行四边形是矩形，故D是假命题，
故选：A．
【分析】菱形和矩形都是特殊的平行四边形，其中菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分；矩形的四个角相等都是直角，对角线互相平分且相等；正方形既是菱形也是矩形，因此它具有菱形和矩形的所有性质，反过来判定一个四边形是正方形时，可先证菱形，再证矩形或先证矩形，再证菱形．
7．（2025·衡阳模拟）估计 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解： ， .
故答案为：C.
【分析】由 可知 ，再估计 的范围即可.
8．（2025·衡阳模拟）如图，分别与相切于A、B两点，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；切线的性质
【解析】【解答】解：∵分别与相切于A、B两点，
∴；
∵，
∴；
故答案为：B．
【分析】由切线的性质可得，再由四边形内角和定理即可求解．
9．（2025·衡阳模拟）在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示.
成绩/米 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75
人数 2 3 5 4 1
这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ）
A．1.65米，1.65米 B．1.65米，1.70米
C．1.75米，1.65米 D．1.50米，1.60米
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由题意得出现了5次，次数最多，
运动员的成绩的众数为：米．
将表中的数据按照从小到大的顺序排列如下：
，，，，，，，，，，，，，，
运动员的成绩的中位数是米．
故答案为：A
【分析】根据众数和中位数的定义结合表格数据即可求解。
10．（2025·衡阳模拟）如图是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽，由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形，使点D，E，F分别在边，，上，过点E作于点H，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；菱形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设，
四边形为菱形，
，，
和为直角三角形，且，
，
在中，，
，
由勾股定理得：，
，
在中，，，
，
由勾股定理得：，
，
，，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】设，根据角所对的直角边等于斜边的一半可得OD=2DE，用勾股定理可将OE、OB用含a的代数式表示出来，由线段的和差OC=OD+CD、EB=OB-OE将OC、EB用含a的代数式表示出来，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
11．（2025·衡阳模拟）分解因式： = ．
【答案】（m+2）（m﹣2）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解： =(m+2)(m﹣2)．
故答案为：(m+2)(m﹣2)．
【分析】直接利用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)进行因式分解.
12．（2025·衡阳模拟）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称 ，
对称点的坐标为（-1，-2），
故答案为： .
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：横、纵坐标互为相反数，即可求解.
13．（2025·衡阳模拟）如果一次函数（k是常数，）的图象经过点，那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵一次函数（k是常数，）的图象经过点，
∴，
解得：，
∴y的值随x的增大而减小，
故答案为：减小．
【分析】对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，当时， y随x的增大而增减小是解题的关键．故先利用待定系数法求出k的值，再根据的正负判断增减性即可．
14．（2025·衡阳模拟）若关于的方程的一个根为1，则 ．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根
【解析】补充根为1，
【解答】解：关于的方程的一个根为1，
将x=1代入方程得
解得：m=5
故答案为：5.
【分析】将x=1代入方程得关于m的方程，解方程即可求解.
15．（2025·衡阳模拟）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 度．
【答案】540
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．
所以该多边形的内角和是3×180°=540°，
故答案为：540．
【分析】从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．这些三角形彼此之间既不重叠也无缝隙，故这些三角形的内角和就是该多边的内角和。
16．（2025·衡阳模拟）某厂生产了1000只灯泡.为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：
使用寿命
灯泡只数 5 10 12 17 6
根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为 只．
【答案】460
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：460
【分析】根据题意运用样本估计总体的知识即可求解。
17．（2025·衡阳模拟）如图，直线 ，点C、A分别在 上，以点C为圆心，长为半径画弧，交l1于点B，连接．若，则的度数为
【答案】
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图得，，
∴为等腰三角形，
∴.
∵∠BCA＝150°，
∴，
∵，
∴.
故答案为：
【分析】由作图可证得△ABC为等腰三角形，继而可求出∠CBA的度数，再由l1l2得，即可得结论．
18．（2025·衡阳模拟）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．若一次函数图象上存在“近轴点”．则m的取值范围为 ．
【答案】且m≠0
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵，
∴一次函数经过定点，
当时，，
∵一次函数图象上存在“近轴点”，
∴，且m≠0，
∴且m≠0；
综上，m的取值范围为：且m≠0．
故答案为：且m≠0．
【分析】依据题意，分两种情况：分别画图取点（1，-2m），根据“尽轴点”定义可得，且m≠0，求解即可得到答案.
19．（2025·衡阳模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】绝对值及有理数的绝对值；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】运用特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值、二次根式的化简进行运算，进而即可求解。
20．（2025·衡阳模拟）先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣ ．
【答案】解：原式=a2+2ab+b2+ab-b2-4ab=a2-ab，
当a=2，b=- 时，
原式=4+1=5
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用完全平方公式和单项式乘以多项式的法则，先算乘法，再合并同类项，然后代入求值。
21．（2025·衡阳模拟）为落实“双减”工作，推行“五育并举”，某学校计划成立五个体育兴趣活动小组（每个学生只能参加一个活动小组）：A．足球，B．引体向上，C．篮球，D．排球，E．羽毛球．为了解学生对以上兴趣活动的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查统计，并根据统计结果，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，完成下列问题：
（1）①补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
②扇形统计图中的圆心角的度数为_______．
（2）若该校有4800名学生，估计该校参加C组（篮球）的学生人数；
（3）该学校从E组中挑选出了表现最好的两名男生和两名女生，计划从这四位同学中随机抽取两人去市内进行比赛，请用画树状图或列表的方法求出恰好抽到一名男生一名女生的概率．
【答案】（1）解：①由题意知，被调查的总人数为（人），
所以小组人数为（人），
∴补全图形如下：
②
（2）解：（名），
∴该校参加组（篮球）的学生大概有1120名.
（3）解：列表格如下：
男 男 女 女
男 (男，男) （女，男） （女，男）
男 (男，男) （女，男） （女，男）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
由表格可知，共有12种等可能的结果，而其中一名男生和一名女生的结果数为8，
∴恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）②扇形统计图中的圆心角的度数为，
故答案为：；
【分析】（1）①先用B小组人数÷所对应的百分比可得被调查的总人数，再用总人数减其他小组人数之和即可求出D小组人数，从而补全图形；
②用乘以小组人数占被调查人数的比例即可；
（2）用总人数乘以样本中小组人数占被调查人数的比例即可估算出参加C组（篮球）的学生人数；
（3）列表格列举出所有等可能结果，再从树状图中确定恰好抽到一名男生一名女生的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．
（1）解：由题意知，被调查的总人数为（人），
所以小组人数为（人），
补全图形如下：
②扇形统计图中的圆心角的度数为，
故答案为：；
（2）（名），
答：估计该校参加组（篮球）的学生有1120名；
（3）画树状图为：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8，所以恰好抽到一名男生一名女生的概率为．
22．（2025·衡阳模拟）如图，在中，点E，F分别在，上，，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2），，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：由（1）知四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”可得AD=BC，AD∥BC，由线段的和差可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形可求解；
（2）由题意，易得是等腰直角三角形，用勾股定理可得，根据锐角三角函数tan∠ACB=求出EC的值，然后由线段的和差BC=BE+EC可求解.
23．（2025·衡阳模拟）2025年蛇年春晚吉祥物“巳升升”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．某玩具商店推出促销活动，已知吉祥物公仔每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该吉祥物的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，
（1）若“巳升升”吉祥物的销售单价为45元，则当天销售量为_________件；
（2）当该吉祥物公仔的销售单价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元；
（3）该吉祥物公仔的当天销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．
【答案】（1）230
（2）解：设该吉祥物公仔的涨价x元，依题意得：
，
整理，得，
，
解得，（不合题意，舍去）.
∴x+40=59(元)
答：当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）解：不能，理由如下：
由（2）得：，
整理得：，
∵，
∴该方程无实数根，
∴该吉祥物公仔的当天销售利润不能达到3700元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）由题意：吉祥物的销售单价为45元时，每天的销售量为：
（件）．
故答案为：230．
【分析】（1）根据销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件，可得单价增加5元，销售量减少5×10件，据此可得结果；
（2）设该吉祥物公仔的涨价x元，利用“总利润=每件的销售利润×每天的销售量”，可列出关于x的一元二次方程并求解即可；
（3）由（2）的设法可得方程，计算根的判别式，可得出原方程没有实数根，即当天利润达不到3700元.
（1）解：（件）．
故答案为：230．
（2）解：设该吉祥物公仔的销售单价为x元（），则当天的销售量为件，依题意，得：
，
整理，得，
解得（不合题意，舍去），．
答：当该吉祥物公仔的销售单价为59元时，该产品的当天销售利润是2610元．
（3）解：不能，理由如下：
设该吉祥物公仔的销售单价为y元（），则当天的销售量为件，
依题意，得，
整理，得．
因为，
所以该方程无实数根，即该吉祥物公仔的当天销售利润不能达到3700元．
24．（2025·衡阳模拟）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观骨台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．
（1）求的长；
（2）求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）
【答案】（1）解：在中，，∴．
即的长为．
（2）解：设，在中，，
∴．
在中，由，，，
则.
∴．
即的长为．
如图，过点作，垂足为．
根据题意，，
∴四边形是矩形．
∴，．
可得．
在中，，，
∴．即．
∴．
答：塔的高度约为．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半；
（2）过点D作AB的垂线段DF，则四边形DFAE是矩形，所以FA等于DE；为便于计算，可设AB＝h，则BF等于h-3，再分别解和即可分别表示出AC与DF，而DF与AC的差恰好等于DE等于3，即可求出AB的长．
25．（2025·衡阳模拟）已知抛物线经过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图，点E，F分别为线段、上的动点（点E不与A，B重合），且，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）若点P在抛物线上，记，若满足条件的点P的个数有4个，求m的取值范围．
【答案】（1）解：抛物线经过点和，
代入得，
整理得
解得：，
抛物线的解析式为，
顶点坐标为；
（2）解：抛物线图象如图所示：
抛物线的顶点坐标为（2，3），，
∴对称轴为直线，
，
∵点A和点B关于x=2对称，
∴AD=BD，
∴∠DBE=∠DAE=∠DEF，
∵∠DAE+∠ADE=∠DEB=∠DEF+∠BEF，
∴∠ADE=∠BEF，
，
，
∵D(2，3)，B(6，0)，
∴，
设，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，y有最大值，即线段BF的长度最大值为；
（3）解：过点P作PG⊥AB于点G，如图所示：
∴.
设点，
，
∴ ，
∵，
∴当时，有最大值，且最大值为；当n=2或n=6时，S△PBD有最小值为0，故m有最小值为0.
过点P作PQ//BD，如图：
当时，直线PQ与抛物线总有两个交点，且到线段BD距离相等的直线有两条，
∴当时，满足条件的点P的个数总有4个.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）将点代入解析式求解参数即可得解析式，再根据顶点公式即可得顶点坐标；
（2）通过角度关系得到，利用相似三角形的性质得到，通过坐标求出DA长，设，可得与的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）先求出的面积，表示出△PBD的面积，即可得，根据二次函数的性质可得m的最大值；再根据面积的非负性，可得m的最小值；过点P作PQ//BD，可知时，直线PQ与抛物线总有两个交点，且到线段BD距离相等的直线有两条，据此即可得满足条件时m的取值范围.
（1）解：抛物线经过点和，
代入得，
解得：，
抛物线的解析式为，
顶点坐标为；
（2）解：抛物线对称轴为直线，，顶点，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
所以，
因为，
所以当时，线段BF的长度取得最大值；
（3）解：连接、、，作于点H，
，
当点在线段的右侧时，连、、，
设点，
又，，
，
当时，的面积的取最大值，
当点在的右侧时，的最大值；
要想使满足的点P有4个，
当点在的左侧时，可为任何值，故必有2个点能满足条件，
当点在的右侧时，必有2个点能满足条件，此时，
．
26．（2025·衡阳模拟）如图，点C在为直径的圆O上，连接，的角平分线交于点E，交圆O于点P．G是上一点，且，连接并延长交的延长线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
（3）设，，求y关于x的函数表达式．
【答案】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，
连接，
∵是的直径，
∴，
，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
连接与交于H，
∵是的直径，
∴，
，，
∵，，
∴，
∴，
，
；
（3）解：如图，
连接，，
∵平分，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∵平分，
∴，
∴，
不妨设，则，，
∴，
由（2）知：∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据是的直径，平分可求得，进而得到，由，可知，因此，进而可得，即可得证；
（2）连接，可求得的值，根据平分得出，从而求得，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求出AG的值；连接与交于H，由线段的和差求出BF的值，同理可得，于是可得比例式，求得EH的值，然后根据三角形的面积公式S=EH·AG可求解；
（3）连接，，可求得，根据表示出，结合已知可将，用含x的代数式表示出来，根据平分，得出，于是可得，设，则，，由（2）可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由线段的和差可得，然后根据锐角三角函数y=tan∠AGE=可求解．
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