资源简介

浙江省杭州市钱塘区2025年中考二模数学试卷
1．（2025·钱塘模拟）在有理数－1，0，－2，1中，最小的数是（　　）
A．－1 B．0 C．－2 D．1
2．（2025·钱塘模拟）截至2025年3月15日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》突破150亿元票房，登顶全球动画电影票房榜．数据150亿用科学记数法表示为（　　）
A．1500000000 B． C． D．
3．（2025·钱塘模拟）一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球.从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球.以下判断正确的是(　　)
A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误
4．（2025·钱塘模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·钱塘模拟）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，所得几何体的主视图与原几何体的主视图相同，则取走的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
6．（2025·钱塘模拟）已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·钱塘模拟）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
8．（2025·钱塘模拟）下列命题正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
9．（2025·钱塘模拟）如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·钱塘模拟）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组，的值，得到了它的函数图象，如图，借助学习函数的经验，可以推断输入的，的值应满足(　　)
A．， B．， C．， D．，
11．（2025·钱塘模拟）的相反数是　 　．
12．（2025·钱塘模拟）当　 　时，分式的值为．
13．（2025·钱塘模拟）李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表.如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选　 　同学.
类别 甲 乙 丙 丁
平均分 90 93 98 98
方差 2 3.2 3.2 2
14．（2025·钱塘模拟）如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是　 　．
15．（2025·钱塘模拟）如图，内接于，，交于点，连结．若，则的大小为　 　．
16．（2025·钱塘模拟）如图，点在菱形的边上，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上．若，则的值是　 　．
17．（2025·钱塘模拟）计算：
（1）．
（2）．
18．（2025·钱塘模拟）解下列方程（组）：
（1）．
（2）
19．（2025·钱塘模拟）为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略．国际上常用身体质量指数（）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的数值．
【收集数据】
九年级10名学生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体重 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2
身高 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64
21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 26.4 28.0 20.6 19.4
【整理数据】
九年级10名学生频数分布表
组别 频数
0
1
【应用数据】
（1）求数据统计表中的值，并直接写出的值．
（2）请估计该校九年级300名学生中的人数．
20．（2025·钱塘模拟）如图，平行四边形的顶点均在格点上，找到格点，使平分．
画法1：在边上找到格点，使．
画法2：在边上找到格点，使，连结，找到格点．
（1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点，连结．
（2）从两种画法中选择一种证明平分．
21．（2025·钱塘模拟）钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江连续绿道．圆圆和方方在笔直的绿道上分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两人与甲地的距离关于时间的函数图象如图所示，圆圆的速度是，圆圆跑了2分钟后休息了分钟，然后按原速度继续跑，方方的速度是，最后圆圆与方方同时到达各自终点．
（1）求的值和图中对应的函数表达式．
（2）求两人相遇时的值．
22．（2025·钱塘模拟）如图，点，分别在正方形的边，上，且，与交于点．
（1）求证：．
（2）连结，若点是的中点，求的值．
23．（2025·钱塘模拟）已知二次函数为实数．
（1）若，求该函数图象的对称轴．
（2）若该函数图象与轴交于点，求证：．
（3）若点在该函数图象上，且，求的取值范围．
24．（2025·钱塘模拟）已知内接于是的直径，为圆上一点，是的切线，连结，与交于点．
（1）如图1，延长与交于点．
①若，求的大小．
②若，求的半径．
（2）如图2，，延长与交于点，若，求与的面积比．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：由题意，得
1＞0＞－1＞－2，
故答案为：C.
【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小可得答案.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：150亿；
故选：C【分析】
用科学记数法把一个大于的数可以表示成的形式（其中大于或等于且小于，这个数字整数部分数位个数与1的差）．
3．【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：∵有2个红球和5个白球，
∴若摸出1个球，则摸出白球的可能性大，故甲正确；若摸出3个球，则至少有1个白球，故乙正确，
故答案为：A.
【分析】分别分析甲乙单次摸球颜色的概率即可求解.
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故错误，不符合题意；
B．，故错误，不符合题意；
C．，故错误，不符合题意；
D．，正确；
故选D．
【分析】
A、；
B、；
C、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
D、．
5．【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：原几何体的主视图是：
故取走小正方体②后，余下几何体与原几何体的主视图相同．
故选：B．
【分析】
由于主视图是从物体正面观察得到的图形，因此正方体②无论有或无都不影响主视图．
6．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
．
故选：C．
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点、、的坐标分别代入解析式计算出、、的值，然后比较大小即可．
7．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴的周长为：，
故选：A．
【分析】
根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，则，则周长公式可转化为AB与BC的和．
8．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，正确，符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】
A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形；
C、矩形的中点四边形是菱形；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
9．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作正六边形的外接圆，圆心为点O，连接交于点L，连接、，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
如图所示，由于正六边形的半径等于边长，因此可作其外接圆，可由圆周角定理得阴影部分实质是个扇形，且这个扇形的圆心角度数为60度，由于直径所对的圆周角是直角，可解直角三角形ABE求得扇形半径AE，再直接运用扇形面积计算公式求解即可．
10．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：∵
，
由图可知，两支曲线的分界线位于轴的右侧，
，
，
由图可知，当时的函数图象位于轴的下方，
当时，，
又当时，，
，
故答案为：D．
【分析】由两支曲线的分界线在轴右侧并结合不等式的性质可得＜0，由时的函数图象位于轴的下方可得＜0，再根据各选项即可判断求解．
11．【答案】2025
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是2025．
故答案为：2025．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解．
12．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得：x=2，
故答案为：2.
【分析】根据分式的值为0的条件，列出关于x的式子，求出x的值即可.
13．【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好，
又∵丁的方差小于丙，
∴丁的成绩好且稳定，
故答案为：丁.
【分析】找到平均分最高的同学；在平均分最高的同学中比较方差，选择方差最小的.
14．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
，相似比为，
与的面积之比为．
故答案为：．
【分析】由题意，用位似的性质可得，相似比为，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解．
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意可得，且，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由圆内接四边形对角互补得，然后根据等边对等角求得，再根据平行线的性质可得，从而利用三角形内角和进行计算求解．
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过作于，在的延长线上取点，使，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由对折可得：
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【分析】
如图，过作于，在的延长线上取点，使，则，设，则，可得，，由折叠的性质知，；由菱形的性质知，；等量代换得、；由平角的概念结合等腰三角形的内角和定理得，又是公共角，则可证明，由相似比可得，；再由等腰三角形三线合一知；最后解即可求得的余弦值，即的值．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】负整数指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先进行有理数绝对值的化简和有理数的乘方，再进行加减；
（2）实数的混合运算，先进行负整数指数幂的运算和开方，再进行减法运算．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1）解：，，
∴或，
∴，．
（2）解：，得，，
解得，
把代入①得，
解得，
∴方程组的解为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）由于一元二次方程的右边等于0且左边可直接分解因式，从而可化一元二次方程为一元一次方程；
（2）由于方程组中未知数y的系数恰好互为相反数，可利用加减消元法直接求解．
（1）解：，
，
∴或，
∴，．
（2）解：，
得，，
解得，
把代入①得，
解得，
∴方程组的解为．
19．【答案】（1）解：由题意得：x20，∴由九年级10名学生频数分布表得，；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级300名学生中的人数为60人．
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）根据计算公式可得x的值，观察表格可得a，b的值；
（2）利用样本估计总体即可．
（1）解：由题意得：x20，
∴由九年级10名学生频数分布表得，；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级300名学生中的人数为60人．
20．【答案】（1）解：如图1和图2所示，P即为所求；
（2）证明：如图1所示
由题意可知，
，
，
，
则点P即为所求；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】
（1）如图1中，在上取点，使得，连接，点即为所求．
如图2中，作等腰，使，取的中点，作射线，点即为所求．
（2）①由画图可知，推出，再根据，证明，可得，则点P即为所求；②由画图可知，，点P为的中点，由三线合一定理可得平分，则点P即为所求．
（1）解：如图1和图2所示，P即为所求；
（2）证明：如图1所示
由题意可知，
，
，
，
则点P即为所求；
②如图2，
由题意可知，
点P为的中点，
由三线合一定理可得平分，
则点P即为所求．
21．【答案】（1）解：由题意，方方的到达时间，圆圆在中途不休息的情况下到达终点的时间为，
∴，
∴圆圆跑了2分钟后休息了1分钟，
∴A点坐标为，
设对应的函数表达式为，将，代入可得
，解得，
∴图中对应的函数表达式为；
（2）解：由题意，
设对应的函数表达式为，将，代入可得
，解得，
∴图中对应的函数表达式为，
联立方程组，解得，
∴两人相遇时的值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）根据路程÷速度=时间求得t，然后再求点A的坐标，从而确定函数解析式；
（2）求出函数解析式的交点坐标即可；
（1）解：由题意，方方的到达时间，
圆圆在中途不休息的情况下到达终点的时间为，
∴，
∴圆圆跑了2分钟后休息了1分钟，
∴A点坐标为，
设对应的函数表达式为，将，代入可得
，解得，
∴图中对应的函数表达式为；
（2）解：由题意，
设对应的函数表达式为，将，代入可得
，解得，
∴图中对应的函数表达式为，
联立方程组，解得，
∴两人相遇时的值为．
22．【答案】（1）证明：在正方形中，，，∵，
∴．
（2）解：在正方形中，设，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由正方形的性质结合，可由SAS证明结论成立；
（2）由（1）的结论可证明AE垂直BF，由于点E平分BC，则F平分CD，此时可设BE=m，则DF=m，AB=AD=2m；由勾股定理可得，则解直角三角形ABE可得的余弦值，进而可得AG的值；再在直角三角形AFG中应用勾股定理即可求得FG的值，再解直角三角形AFG即可．
（1）证明：在正方形中，，，
∵，
∴．
（2）解：在正方形中，设，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
23．【答案】（1）解：若，则二次函数为，
∴该函数图象的对称轴为直线；
（2）证明：时，，
∴抛物线与y轴交于点，
∵该函数图象与y轴交于点，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把代入到函数解析式中化一般式为顶点式即可；
（2）把代入到函数解析中得，，则根据题意，证得即可．
（3）把代入解析式求得函数值，根据，列出不等式组，解得即可．
（1）解：若，则二次函数为，
∴该函数图象的对称轴为直线；
（2）证明：时，，
∴抛物线与y轴交于点，
∵该函数图象与y轴交于点，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
解得：．
24．【答案】（1）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴；
②设，
∵，，
∴，
解得：；
（2）解：如图，连接，过作交的延长线于，交于，
∵是的切线，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的面积比为
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）①连接，由切线的性质得，由圆周角定理得，则可求；
②设，则、在直角三角形ODF中应用勾股定理求解即可；
（2）如图，连接，过作交的延长线于，交于，则四边形为矩形，所以，，则可证，可得，设，则，；再证明，可得，求解：，，则；再证，由相似比可得，则，即得，即，则；因为，所以．
（1）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴；
②设，
∵，，
∴，
解得：；
（2）解：如图，连接，过作交的延长线于，交于，
∵是的切线，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的面积比为
．
1 / 1浙江省杭州市钱塘区2025年中考二模数学试卷
1．（2025·钱塘模拟）在有理数－1，0，－2，1中，最小的数是（　　）
A．－1 B．0 C．－2 D．1
【答案】C
【知识点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：由题意，得
1＞0＞－1＞－2，
故答案为：C.
【分析】根据正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小可得答案.
2．（2025·钱塘模拟）截至2025年3月15日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》突破150亿元票房，登顶全球动画电影票房榜．数据150亿用科学记数法表示为（　　）
A．1500000000 B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：150亿；
故选：C【分析】
用科学记数法把一个大于的数可以表示成的形式（其中大于或等于且小于，这个数字整数部分数位个数与1的差）．
3．（2025·钱塘模拟）一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的2个红球和5个白球.从袋子中随机摸球，甲认为：若摸出1个球，则摸出白球的可能性大；乙认为：若摸出3个球，则至少有1个白球.以下判断正确的是(　　)
A．甲乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲乙都错误
【答案】A
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：∵有2个红球和5个白球，
∴若摸出1个球，则摸出白球的可能性大，故甲正确；若摸出3个球，则至少有1个白球，故乙正确，
故答案为：A.
【分析】分别分析甲乙单次摸球颜色的概率即可求解.
4．（2025·钱塘模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故错误，不符合题意；
B．，故错误，不符合题意；
C．，故错误，不符合题意；
D．，正确；
故选D．
【分析】
A、；
B、；
C、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
D、．
5．（2025·钱塘模拟）如图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①②③④的小正方体中取走一个，所得几何体的主视图与原几何体的主视图相同，则取走的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：原几何体的主视图是：
故取走小正方体②后，余下几何体与原几何体的主视图相同．
故选：B．
【分析】
由于主视图是从物体正面观察得到的图形，因此正方体②无论有或无都不影响主视图．
6．（2025·钱塘模拟）已知点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
．
故选：C．
【分析】
根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点、、的坐标分别代入解析式计算出、、的值，然后比较大小即可．
7．（2025·钱塘模拟）如图，在中，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，连结．若，则的周长为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴的周长为：，
故选：A．
【分析】
根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，则，则周长公式可转化为AB与BC的和．
8．（2025·钱塘模拟）下列命题正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角且对角线相等的四边形是矩形
C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；
B、有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，正确，符合题意；
D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故原命题错误，不符合题意．
故选：C．
【分析】
A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形；
C、矩形的中点四边形是菱形；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
9．（2025·钱塘模拟）如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：作正六边形的外接圆，圆心为点O，连接交于点L，连接、，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】
如图所示，由于正六边形的半径等于边长，因此可作其外接圆，可由圆周角定理得阴影部分实质是个扇形，且这个扇形的圆心角度数为60度，由于直径所对的圆周角是直角，可解直角三角形ABE求得扇形半径AE，再直接运用扇形面积计算公式求解即可．
10．（2025·钱塘模拟）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组，的值，得到了它的函数图象，如图，借助学习函数的经验，可以推断输入的，的值应满足(　　)
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：∵
，
由图可知，两支曲线的分界线位于轴的右侧，
，
，
由图可知，当时的函数图象位于轴的下方，
当时，，
又当时，，
，
故答案为：D．
【分析】由两支曲线的分界线在轴右侧并结合不等式的性质可得＜0，由时的函数图象位于轴的下方可得＜0，再根据各选项即可判断求解．
11．（2025·钱塘模拟）的相反数是　 　．
【答案】2025
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是2025．
故答案为：2025．
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解．
12．（2025·钱塘模拟）当　 　时，分式的值为．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式的值为0，
∴，
解得：x=2，
故答案为：2.
【分析】根据分式的值为0的条件，列出关于x的式子，求出x的值即可.
13．（2025·钱塘模拟）李老师准备选一名同学代表班级参加“计算挑战赛”，对甲、乙、丙、丁四位同学最近五次的计算测试成绩统计如右表.如果按照成绩优异且发挥稳定的标准，则应选　 　同学.
类别 甲 乙 丙 丁
平均分 90 93 98 98
方差 2 3.2 3.2 2
【答案】丁
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：由表知四位同学中丙、丁的平均成绩较好，
又∵丁的方差小于丙，
∴丁的成绩好且稳定，
故答案为：丁.
【分析】找到平均分最高的同学；在平均分最高的同学中比较方差，选择方差最小的.
14．（2025·钱塘模拟）如图，和是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则和的面积比是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，
，相似比为，
与的面积之比为．
故答案为：．
【分析】由题意，用位似的性质可得，相似比为，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解．
15．（2025·钱塘模拟）如图，内接于，，交于点，连结．若，则的大小为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由题意可得，且，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由圆内接四边形对角互补得，然后根据等边对等角求得，再根据平行线的性质可得，从而利用三角形内角和进行计算求解．
16．（2025·钱塘模拟）如图，点在菱形的边上，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上．若，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过作于，在的延长线上取点，使，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴设，则，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由对折可得：
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【分析】
如图，过作于，在的延长线上取点，使，则，设，则，可得，，由折叠的性质知，；由菱形的性质知，；等量代换得、；由平角的概念结合等腰三角形的内角和定理得，又是公共角，则可证明，由相似比可得，；再由等腰三角形三线合一知；最后解即可求得的余弦值，即的值．
17．（2025·钱塘模拟）计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】负整数指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先进行有理数绝对值的化简和有理数的乘方，再进行加减；
（2）实数的混合运算，先进行负整数指数幂的运算和开方，再进行减法运算．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（2025·钱塘模拟）解下列方程（组）：
（1）．
（2）
【答案】（1）解：，，
∴或，
∴，．
（2）解：，得，，
解得，
把代入①得，
解得，
∴方程组的解为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）由于一元二次方程的右边等于0且左边可直接分解因式，从而可化一元二次方程为一元一次方程；
（2）由于方程组中未知数y的系数恰好互为相反数，可利用加减消元法直接求解．
（1）解：，
，
∴或，
∴，．
（2）解：，
得，，
解得，
把代入①得，
解得，
∴方程组的解为．
19．（2025·钱塘模拟）为倡导健康生活方式，国家将“体重管理”纳入健康战略．国际上常用身体质量指数（）来衡量人体胖瘦程度，其计算公式是．中国人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某校为调查九年级学生的胖瘦程度，从该年级随机抽取10名学生，测得他们的身高和体重，并计算出相应的数值．
【收集数据】
九年级10名学生数据统计表
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
体重 59.0 62.4 70.0 70.6 63.8 57.8 64.2 72.7 54.0 52.2
身高 1.64 1.73 1.72 1.78 1.85 1.70 1.56 1.61 1.62 1.64
21.9 20.8 23.7 22.3 18.6 26.4 28.0 20.6 19.4
【整理数据】
九年级10名学生频数分布表
组别 频数
0
1
【应用数据】
（1）求数据统计表中的值，并直接写出的值．
（2）请估计该校九年级300名学生中的人数．
【答案】（1）解：由题意得：x20，∴由九年级10名学生频数分布表得，；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级300名学生中的人数为60人．
【知识点】频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）根据计算公式可得x的值，观察表格可得a，b的值；
（2）利用样本估计总体即可．
（1）解：由题意得：x20，
∴由九年级10名学生频数分布表得，；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级300名学生中的人数为60人．
20．（2025·钱塘模拟）如图，平行四边形的顶点均在格点上，找到格点，使平分．
画法1：在边上找到格点，使．
画法2：在边上找到格点，使，连结，找到格点．
（1）请根据上述画法分别在图1和图2中标出格点，连结．
（2）从两种画法中选择一种证明平分．
【答案】（1）解：如图1和图2所示，P即为所求；
（2）证明：如图1所示
由题意可知，
，
，
，
则点P即为所求；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的判定
【解析】【分析】
（1）如图1中，在上取点，使得，连接，点即为所求．
如图2中，作等腰，使，取的中点，作射线，点即为所求．
（2）①由画图可知，推出，再根据，证明，可得，则点P即为所求；②由画图可知，，点P为的中点，由三线合一定理可得平分，则点P即为所求．
（1）解：如图1和图2所示，P即为所求；
（2）证明：如图1所示
由题意可知，
，
，
，
则点P即为所求；
②如图2，
由题意可知，
点P为的中点，
由三线合一定理可得平分，
则点P即为所求．
21．（2025·钱塘模拟）钱塘江绿道是浙江首个完全贯通的城市主要水系绿道，也是全国目前已建成的最长沿江连续绿道．圆圆和方方在笔直的绿道上分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，两人与甲地的距离关于时间的函数图象如图所示，圆圆的速度是，圆圆跑了2分钟后休息了分钟，然后按原速度继续跑，方方的速度是，最后圆圆与方方同时到达各自终点．
（1）求的值和图中对应的函数表达式．
（2）求两人相遇时的值．
【答案】（1）解：由题意，方方的到达时间，圆圆在中途不休息的情况下到达终点的时间为，
∴，
∴圆圆跑了2分钟后休息了1分钟，
∴A点坐标为，
设对应的函数表达式为，将，代入可得
，解得，
∴图中对应的函数表达式为；
（2）解：由题意，
设对应的函数表达式为，将，代入可得
，解得，
∴图中对应的函数表达式为，
联立方程组，解得，
∴两人相遇时的值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）根据路程÷速度=时间求得t，然后再求点A的坐标，从而确定函数解析式；
（2）求出函数解析式的交点坐标即可；
（1）解：由题意，方方的到达时间，
圆圆在中途不休息的情况下到达终点的时间为，
∴，
∴圆圆跑了2分钟后休息了1分钟，
∴A点坐标为，
设对应的函数表达式为，将，代入可得
，解得，
∴图中对应的函数表达式为；
（2）解：由题意，
设对应的函数表达式为，将，代入可得
，解得，
∴图中对应的函数表达式为，
联立方程组，解得，
∴两人相遇时的值为．
22．（2025·钱塘模拟）如图，点，分别在正方形的边，上，且，与交于点．
（1）求证：．
（2）连结，若点是的中点，求的值．
【答案】（1）证明：在正方形中，，，∵，
∴．
（2）解：在正方形中，设，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由正方形的性质结合，可由SAS证明结论成立；
（2）由（1）的结论可证明AE垂直BF，由于点E平分BC，则F平分CD，此时可设BE=m，则DF=m，AB=AD=2m；由勾股定理可得，则解直角三角形ABE可得的余弦值，进而可得AG的值；再在直角三角形AFG中应用勾股定理即可求得FG的值，再解直角三角形AFG即可．
（1）证明：在正方形中，，，
∵，
∴．
（2）解：在正方形中，设，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
23．（2025·钱塘模拟）已知二次函数为实数．
（1）若，求该函数图象的对称轴．
（2）若该函数图象与轴交于点，求证：．
（3）若点在该函数图象上，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：若，则二次函数为，
∴该函数图象的对称轴为直线；
（2）证明：时，，
∴抛物线与y轴交于点，
∵该函数图象与y轴交于点，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
解得：．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）把代入到函数解析式中化一般式为顶点式即可；
（2）把代入到函数解析中得，，则根据题意，证得即可．
（3）把代入解析式求得函数值，根据，列出不等式组，解得即可．
（1）解：若，则二次函数为，
∴该函数图象的对称轴为直线；
（2）证明：时，，
∴抛物线与y轴交于点，
∵该函数图象与y轴交于点，
∴，
∴．
（3）解：∵，
∴，
，
，
∵，
∴，
解得：．
24．（2025·钱塘模拟）已知内接于是的直径，为圆上一点，是的切线，连结，与交于点．
（1）如图1，延长与交于点．
①若，求的大小．
②若，求的半径．
（2）如图2，，延长与交于点，若，求与的面积比．
【答案】（1）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴；
②设，
∵，，
∴，
解得：；
（2）解：如图，连接，过作交的延长线于，交于，
∵是的切线，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的面积比为
．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）①连接，由切线的性质得，由圆周角定理得，则可求；
②设，则、在直角三角形ODF中应用勾股定理求解即可；
（2）如图，连接，过作交的延长线于，交于，则四边形为矩形，所以，，则可证，可得，设，则，；再证明，可得，求解：，，则；再证，由相似比可得，则，即得，即，则；因为，所以．
（1）解：①如图，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴；
②设，
∵，，
∴，
解得：；
（2）解：如图，连接，过作交的延长线于，交于，
∵是的切线，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的面积比为
．
1 / 1

展开更多......

收起↑