资源简介

2025年安徽省初中学业水平模拟考试
数学
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间共120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. ，0，2，中，最小的是（ ）
A. B. 0 C. 2 D.
2. 数据显示，2024年全国事业单位和规模以上企业广告业务收入首次突破15000亿元，其中数字15000亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下面四个几何体中，俯视图一定不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 下列方程中，有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，正的顶点F在正五边形内部，连接并延长交于点G，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
9. 如图，中，，，四边形ADPE为平行四边形，记的面积为，的面积为，则的值是（ ）
A. B. C. D. 1
10. 设a，b，c均为实数，且，下列判断正确的是（ ）
A. 若a为一个定值，则c的值一定随着b的值增大而减小
B. 若a为一个定值，则c的值一定随着b的值增大而增大
C. 若b为一个负值，则当时，c的值一定随着a的值增大而增大
D. 若b为一个正值，则当时，c的值一定随着a的值增大而增大
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 64的立方根是_______．
12. 若有意义，则的取值范围是_____．
13. A，B，C，D是直线l上顺次的四个点，在这些点中任取两个，则这两点不相邻的概率是_______．
14. 如图，将长方形沿折叠后展开，折痕，点P为边上一点，再将纸片分别沿折叠，点A的对称点与点D的对称点重合于点F，折痕交于点E．
（1）_______°；
（2）若点B，P恰好关于对称，则_______．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 当时，求的值．
16. 已知某高铁的票价y（元）是路程x（千米）的一次函数．若此高铁路线上A，B两站的距离是100千米，票价是60元；A，C两站的距离是250千米，票价是135元．
（1）求票价y（元）与路程x（千米）的函数表达式；（不要求注明x的范围）
（2）若此路线上的高铁列车每小时行驶320千米，现某人买了一张290元的车票，请计算高铁列车行驶所用的时间．
四、（本大题共2小题、每小题8分、满分16分）
17. 如图正方形网格，每个小正方形的边长为1，格点三角形的顶点A，C的坐标分别为，．
（1）请在正方形网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出关于y轴对称的；
（3）填空：①点的坐标是________；
②的面积等于________．
18. 某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下：
x … 5 11 （_______） …
y … 1 （_______） …
（1）观察表格，根据规律请在表格的横线上填空；
（2）由上面规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）；
（3）有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 甲同学用无人机测量一条河流两岸B，C两点之间距离．如图所示，甲站在河岸上B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是，此时甲同学抬头仰视无人机，仰角记为，若从无人机测得河岸C处的俯角为，甲的眼睛距地面的高度为1.5m，．（点A，E，B，C在同一平面内，且BC在同一条水平线上）
（1）求仰角正弦值；
（2）求B、C两点之间的距离（结果精确到1m）．
（参考数据：，，，，，）．
20. 如图1，是的直径，是的弦，连接，过点B作的垂线交于点D，交于点E．
（1）若为的中点，求的大小；
（2）如图2，过点B作的切线交的延长线于点F，求证：．
21. 综合与实践
【项目背景】
某水果公司以80元/的成本价新进2000箱车厘子，每箱质量3，在出售车厘子前，需要去掉损坏的车厘子，现随机抽取20箱，去掉损坏车厘子后称得每箱的质量（单位：）如下：2.7，2.8，2.6，2.5，2.8，2.9，2.8，2.7，2.8，2.7，2.8，2.9，2.7，2.8，2.5，2.7，2.8，2.9，2.7，3.0．
【数据整理】
质量（kg） 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0
数量（箱） 2 1 6 a 3 1
数据分析与运用】
平均数 众数 中位数
2.75 b c
根据以上信息，完成以下任务：
任务1：直接写出上述表格中a，b，c的值．
任务2：平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱车厘子共损坏了多少千克？
任务3：根据2中的结果，求该公司销售这批车厘子每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？
22. 如图，在边长为1的正方形中，点N在线段上，点M在线段的延长线上，且，线段交于点P．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当时，求的长．
23. 已知点在关于x的二次函数的图象上．
（1）证明：；
（2）证明：当b值变化时，二次函数的顶点总在另一个二次函数的图象上，求p，q的值；
（3）若点满足：①m，n均为整数；②m对应与的函数值分别记为，，且．则称是函数与的一个环抱整点．
（ⅰ）当时，求函数与的环抱整点的个数；
（ⅱ）若函数与的环抱整点有且只有1个且，试求整数n的值与实数b的取值范围．2025年安徽省初中学业水平模拟考试
数学
（试题卷）
注意事项：
1．你拿到的试卷满分150分，考试时间共120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. ，0，2，中，最小的是（ ）
A. B. 0 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查有理数的大小比较．根据有理数大小比较法则，正数负数，比较两个负数大小时利用取绝对值的方法比较即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴四个数的大小关系为：，
故选：D．
2. 数据显示，2024年全国事业单位和规模以上企业广告业务收入首次突破15000亿元，其中数字15000亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：15000亿，
故选：A．
3. 下面四个几何体中，俯视图一定不是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三种视图以及中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．利用俯视图是从物体上面看，所得到的图形，进而分析得出即可．
【详解】解：A、长方体俯视图是长方形，是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，不是中心对称图形，本选项符合题意；
C、圆柱的俯视图是圆，是中心对称图形，本选项不符合题意；
D、球的俯视图是圆，是中心对称图形，本选项不符合题意；
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，积的乘方．根据同底数幂的乘法，合并同类型法则及同底数幂的除法、积的乘方与幂的乘方注意计算可得．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：B．
5. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集．按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
【详解】解：解不等式得：，
数轴表示如下所示：
故选：A．
6. 下列方程中，有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断各方程根的情况即可．
【详解】解：A、方程，，方程没有实数根，所以本选项不符合题意；
B、方程化为，，方程没有实数根，所以本选项不符合题意；
C、方程为，，方程没有实数根，所以本选项不符合题意；
D、方程化为，，方程有两个不相等的实数根，所以本选项符合题意；
故选：D．
7. 如图，正的顶点F在正五边形内部，连接并延长交于点G，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、正多边形的内角和、四边形的内角和、等腰三角形的性质，熟练掌握正多边形的内角和是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据正五边形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据四边形的内角和求解即可得．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，，
∴，
∴在四边形中，，
故选：C．
8. 如图，第一象限内点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，围成的阴影部分的面积为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义；点A、B分别在反比例函数和图象上，利用反比例函数比例系数的几何意义，表示出，，由阴影部分的面积，由此解出k即可．
【详解】解：如图所示：
点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴，
四边形和为矩形，
根据反比例函数比例系数的几何意义，得：
，，
则阴影部分的面积为，
故选：B．
9. 如图，中，，，四边形ADPE为平行四边形，记的面积为，的面积为，则的值是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】延长交于点F，过点C作于点G，交于点H，根据四边形为平行四边形，得出，，设，则，证明，得出，求出，得出，证明，得出，设，则，求出，得出，，即可得出答案．
【详解】解：延长交于点F，过点C作于点G，交于点H，如图所示：
∵四边形为平行四边形，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴设，则，
∴，
∴，，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，平行四边形的性质，平行线的性质，三角形面积计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
10. 设a，b，c均为实数，且，下列判断正确的是（ ）
A. 若a为一个定值，则c的值一定随着b的值增大而减小
B. 若a为一个定值，则c的值一定随着b的值增大而增大
C. 若b为一个负值，则当时，c的值一定随着a的值增大而增大
D. 若b为一个正值，则当时，c的值一定随着a的值增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质．将原式整理成，可看成c是关于a的一次函数，或二次函数，根据二次函数的性质或一次函数的性质即可解答．
【详解】解：
，
若a为一个定值，且时，则，不变，故选项A和B都不符合题意；
若b为一个负值，则c是关于a的二次函数，且开口向下，当时，c的值一定随着a的值增大而增大，故选项C符合题意；
若b为一个正值，则c是关于a的二次函数，且开口向上，当时，c的值一定随着a的值增大而减少，故选项D不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 64的立方根是_______．
【答案】4
【解析】
【分析】根据立方根的定义即可求解.
【详解】解：∵43=64，
∴64的立方根是4，
故答案为：4.
【点睛】此题主要考查立方根的定义，解题的关键是熟知立方根的定义.
12. 若有意义，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的取值范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
13. A，B，C，D是直线l上顺次的四个点，在这些点中任取两个，则这两点不相邻的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．首先根据题意画出列表，然后由表格求得所有等可能的结果与两点不相邻的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表得，
A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能，两点不相邻的情况有，共6种，
∴在这些点中任取两个，则这两点不相邻的概率是，
故答案为：．
14. 如图，将长方形沿折叠后展开，折痕，点P为边上一点，再将纸片分别沿折叠，点A的对称点与点D的对称点重合于点F，折痕交于点E．
（1）_______°；
（2）若点B，P恰好关于对称，则_______．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】本题主要考查折叠问题，解直角三角形，相似三角形的判定与性质等知识，根据折叠得，，由平角的定义得，可求出；根据折叠得，设，根据题意得，解直角三角形得，求出，，，从而求出，可得，，再证明，求出，再求出，即可得解．
【详解】解：由折叠得，，
又，
∴，
∴，
∴；
如图，
由，设，
∵点A的对称点与点D的对称点重合于点F，
∴，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形、是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；2．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 当时，求的值．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值以及二次根式的分母有理化．利用分式的减法法则，进行化简，再代入求值，即可求解．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
16. 已知某高铁的票价y（元）是路程x（千米）的一次函数．若此高铁路线上A，B两站的距离是100千米，票价是60元；A，C两站的距离是250千米，票价是135元．
（1）求票价y（元）与路程x（千米）的函数表达式；（不要求注明x的范围）
（2）若此路线上的高铁列车每小时行驶320千米，现某人买了一张290元的车票，请计算高铁列车行驶所用的时间．
【答案】（1）；
（2）高铁列车行驶所用的时间为小时．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得一张290元的车票行驶的路程，再利用高铁列车每小时行驶320千米计算即可求解．
【小问1详解】
解：票价y（元）与路程x（千米）的函数表达式为，
将，和，代入得，
，
解得，
答：票价y（元）与路程x（千米）的函数表达式为；
【小问2详解】
解：当时，则，
解得，
，
答：高铁列车行驶所用时间为小时．
四、（本大题共2小题、每小题8分、满分16分）
17. 如图正方形网格，每个小正方形的边长为1，格点三角形的顶点A，C的坐标分别为，．
（1）请在正方形网格平面内作出平面直角坐标系；
（2）请作出关于y轴对称的；
（3）填空：①点的坐标是________；
②的面积等于________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），4
【解析】
【分析】（1）根据点A和点C的坐标，先确定原点，即可建立平面直角坐标系；
（2）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连接即可；
（3）根据（2）中的图形，即可写出点的坐标，用割补法即可求出的面积．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
如图所示：
【小问3详解】
由图可知，点坐标为：，
，
故答案为：，4．
【点睛】本题主要考查了根据图形确定平面直角坐标系，作轴对称图形，解题的关键是根据已知点确定平面直角坐标系．
18. 某数学兴趣小组在一次探究性学习中，研究了“寻找无数组整数x，y，使得”的问题，指导教师将学生的发现进行整理，设计了如下数表，部分信息如下：
x … 5 11 （_______） …
y … 1 （_______） …
（1）观察表格，根据规律请在表格的横线上填空；
（2）由上面的规律可知，若表中某一列的两个整数依次是m和n，这表中相邻的下一列的两个数分别是_______和_______（分别用m和n表示）；
（3）有同学根据上面的探究得出结论“对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立”．请对该结论判断正误并简述理由．
【答案】（1）见解析 （2），
（3）结论正确，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解．
（1）观察表格，找到规律，即可填空；
（2）根据规律求解即可；
（3）假设是方程的一个解，令，，代入求解即可证明结论正确．
【小问1详解】
解：观察规律，x每次增加6，y每次减少5，
所以，填写表格如下：
x … 5 11 17 …
y … 1 …
【小问2详解】
解：根据规律知，这表中相邻的下一列的两个数分别是和；
故答案为：，；
【小问3详解】
解：结论正确，理由如下，
5和3的最大公约数为1，能被1整除，
∵1能整除任意正整数k，
∴必有整数解，
假设是方程的一个解，
∴，
对于任意整数，令，，
代入方程左边得，，
∴是方程的解，
由于整数有无数个，
∴方程有无数组整数解，
综上，对于任何正整数k，都存在无数组整数m，n，使得成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 甲同学用无人机测量一条河流两岸B，C两点之间的距离．如图所示，甲站在河岸上B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是，此时甲同学抬头仰视无人机，仰角记为，若从无人机测得河岸C处的俯角为，甲的眼睛距地面的高度为1.5m，．（点A，E，B，C在同一平面内，且BC在同一条水平线上）
（1）求仰角的正弦值；
（2）求B、C两点之间的距离（结果精确到1m）．
（参考数据：，，，，，）．
【答案】（1）仰角α的正弦值为；
（2）B，C两点之间的距离约为．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
（1）如图，过A点作于D，过E点作于F，利用四边形为矩形得到，，则，，然后根据正弦的定义求解；
（2）先利用勾股定理计算出，再在中利用正切的定义计算出，然后计算即可．
【小问1详解】
解：如图，过A点作于D，过E点作于F，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
在中，，
即．
答：仰角α的正弦值为；
【小问2详解】
解：在中，，
在中，，，
答：B，C两点之间的距离约为．
20. 如图1，是的直径，是的弦，连接，过点B作的垂线交于点D，交于点E．
（1）若为的中点，求的大小；
（2）如图2，过点B作的切线交的延长线于点F，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形判定与性质、圆的切线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握圆周角定理和圆的切线的性质是解题关键．
（1）连接，先证出是等边三角形，再根据等边三角形的性质可得，然后根据圆周角定理可得，由此即可得；
（2）连接，先根据圆的切线的性质可得，再证出，根据等腰三角形的判定可得，然后根据圆周角定理可得，最后根据等腰三角形的三线合一即可得证．
【小问1详解】
解：如图，连接，
∵，为的中点，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∴（等腰三角形的三线合一）．
21. 综合与实践
【项目背景】
某水果公司以80元/的成本价新进2000箱车厘子，每箱质量3，在出售车厘子前，需要去掉损坏的车厘子，现随机抽取20箱，去掉损坏车厘子后称得每箱的质量（单位：）如下：2.7，2.8，2.6，2.5，2.8，2.9，2.8，2.7，2.8，2.7，2.8，2.9，2.7，2.8，2.5，2.7，2.8，2.9，2.7，3.0．
数据整理】
质量（kg） 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0
数量（箱） 2 1 6 a 3 1
【数据分析与运用】
平均数 众数 中位数
2.75 b c
根据以上信息，完成以下任务：
任务1：直接写出上述表格中a，b，c值．
任务2：平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱车厘子共损坏了多少千克？
任务3：根据2中的结果，求该公司销售这批车厘子每千克定为多少元才不亏本（结果保留一位小数）？
【答案】任务1：，，；任务2：这2000箱车厘子共损坏了；任务3：该公司销售这批车厘子每千克定为元才不亏本．
【解析】
【分析】本题考查的是平均数，众数和中位数的定义及运用，要学会根据统计量的意义分析解决问题．
任务1：根据题意以及众数，中位数的定义分别求出即可．
任务2：从平均数、中位数、众数中，任选一个计算即可;
任务3：求出成本，根据( 2 )的结果计算即可得到答案．
【详解】解：任务1：，
分析数据：样本中，2.8出现的次数最多；故众数，
将数据从小到大排列，找最中间的两个数为2.8，2.8，故中位数，
，，；
任务2：选择众数2.8，
∴这2000箱车厘子共损坏了() ( 答案不唯一) ．
任务3：
答：该公司销售这批车厘子每千克定为元才不亏本．
22. 如图，在边长为1的正方形中，点N在线段上，点M在线段的延长线上，且，线段交于点P．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）当时，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先根据正方形的性质可得，，从而可得和都是直角三角形，再根据定理即可得证；
（2）过点作，交于点，先证出，根据平行线的性质可得，再证出，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证；
（3）先证出，根据平行线的判定可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得．
【小问1详解】
证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴．
【小问2详解】
证明：如图，过点作，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：∵四边形是边长为1的正方形，
∴，
由（1）已证：，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
由（2）已证：，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得或（不符合题意，舍去），
∴．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定与性质是解题关键．
23. 已知点在关于x的二次函数的图象上．
（1）证明：；
（2）证明：当b的值变化时，二次函数的顶点总在另一个二次函数的图象上，求p，q的值；
（3）若点满足：①m，n均为整数；②m对应与的函数值分别记为，，且．则称是函数与的一个环抱整点．
（ⅰ）当时，求函数与的环抱整点的个数；
（ⅱ）若函数与的环抱整点有且只有1个且，试求整数n的值与实数b的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析，，
（3）（ⅰ）3个；（ⅱ），
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）把代入计算即可；
（2）先求出二次函数的顶点坐标为，然后令，将顶点坐标化为，即知顶点在函数的图象上，即得答案；
（3）（ⅰ）当时，，，可得，解不等式
得，所以或0，再代入验证，即得答案；
（ⅱ）当时，，，则，再根据函数与的环抱整点有且只有1个，即知，且，从而可得答案．
【小问1详解】
证明：点在关于x的二次函数的图象上，
把代入，得，
；
【小问2详解】
证明：二次函数的顶点坐标为，
，
，
二次函数的顶点坐标为，
令，则，
，
即二次函数的顶点坐标为，
这表明顶点总在二次函数的图象上，
与比较系数得，，；
【小问3详解】
解：（ⅰ）当时，由，得，
，
由（2）得，
当时，，，
则，
，
，
由二次函数的性质知，
或0，
当时，，，
，
；
当时，，，
，
或0；
函数与的环抱整点为，，，共有3个；
（ⅱ）由（1）（2）可知，，，
当时，，，
则，
函数与的环抱整点有且只有1个，
，且，
整数n的值为0，实数b的取值范围是．

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