资源简介

2024-2025甘肃省定西市渭源县麻家集中学
第三次中考数学 模拟试卷
考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 据中国国家铁路集团统计，2025年1月1日元旦期间，全国铁路发送旅客1150万人次，数据“1150万”用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A. B. C. D.
4. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“跳远”与“米”两个项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知关于x的分式方程无解，则a的值是（ ）
A. B. 3或0 C. 或4 D. 4
6. 如图，为的直径，为的弦，连接，，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，作平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（ ）
A. 16 B. C. D.
9. 如图，已知直线，直角三角形如图放置，，若，则度数为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 分解因式：_______．
12. 一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是______．
13. 若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为______．
14. 若点，都在反比例函数的图象上，且，则______．（填“>”“<”或“=”）
15. 如图，是外接圆直径，点O为圆心．若，则_____．
16. 如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的点处．折痕为，点、分别在、上，若，则折痕的长为_______．
三、解答题∶本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
18. 解不等式组：并写出它的所有正整数解．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，在中，，是对角线上的两点，且．
求证：．
21. 山西红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进A，B两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．A品牌红富士苹果的价格为38元/箱，B品牌红富士苹果的价格为30元/箱．若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进A品牌红富士苹果多少箱？
22. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，连接，，，．
（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若平分，，，直接写出四边形的周长．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是DeepSeek-V3上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．下面给出了部分信息．
八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下：
50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98．
九年级被抽取学生的测试得分中组包含的所有数据如下：
84，85，86，88，88，88，88，89．
八、九年级被抽取学生的测试得分统计表
平均数 中位数 众数
八年级 79 84
九年级 79 88
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，___________，___________，___________．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理由．
（3）本次调查中，八年级E组的四名学生中男女生各有2人，现从这4人中随机抽取两人参加全校“人工智能知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在轴上有点，且点坐标为，若的面积小于10，求的取值范围．
25. 如图，在四边形中，平分．
（1）求证；
（2）请用直尺（不带刻度）和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：是的切线．
26. 在平行四边形中，，点E对角线上一动点（点E不与点B，点C重合），点F是边上一动点（点F不与点A，点C重合），且，连接，．
（1）将沿对角线翻折后，发现点P与点A重合，连接，且与交于点G，如图1所示，求证：；
（2）如图2所示，在（1）条件下，当点E，点F移动到某个位置时，连接，若，点Q在线段上，且．求证：Q是线段中点；
27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标．2024-2025甘肃省定西市渭源县麻家集中学
第三次中考数学 模拟试卷
考生注意：本试卷满分为120分，考试时间为100分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项．
1. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据中心对称图形和轴对称图形的定义一一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
2. 据中国国家铁路集团统计，2025年1月1日元旦期间，全国铁路发送旅客1150万人次，数据“1150万”用科学记数法表示为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：1150万，
故选：C．
3. 斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键．
主视图：从正面看到的物体的形状图；左视图：从左面看到的物体的形状图；俯视图：从上面看到的物体的形状图．根据三视图的定义求解，注意看不见的线应当画虚线，即可．
【详解】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线，形状如图所示：
故选：C．
4. 某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“米”“米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“跳远”与“米”两个项目的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键．画出树状图，根据树状图即可求．
【详解】解：设“跳高”“跳远”“100米”“200米”四个项目分别用、、、表示，画树状图如下：
由树状图可得，共有12种等结果，其中他选择“跳远”与“100米”两个项目的结果有2种，
他选择“跳远”与“100米”两个项目的概率为，
故选：C．
5. 已知关于x的分式方程无解，则a的值是（ ）
A. B. 3或0 C. 或4 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．将方程去分母，整理得．分两种情况讨论：①若，则该整式方程无解，原分式方程无解，可求得此时；②若，则整式方程的解为，根据原分式方程无解，得到当时，，从而求得．综合即可解答．
【详解】解：，
方程两边同乘，得，
整理，得，
①若，则该整式方程无解，原分式方程无解，
此时；
②若，则整式方程的解为：，
∵原分式方程无解，
∴当时，，
即，
∴或，
解得：，
综上所述，a的值为4或．
故选：C．
6. 如图，为的直径，为的弦，连接，，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理，等边对等角，掌握知识点的应用是解题的关键．
连接，由等边对等角得，则有，所以，最后通过圆周角定理即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
7. 我国古代数学问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．绳长、井深各几尺？若设绳长尺，井深尺，则符合题意的方程组是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．
由将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺可得，由将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺可得，然后列方程组即可．
【详解】解：由题意知，符合题意的方程组为，
故选：A．
8. 在中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（ ）
A 16 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查角平分线、垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质；解题关键是利用上述性质得出线段相等关系，进而求出四边形的周长．
先利用角平分线性质得，再由垂直平分线性质推出， ，通过证明得到，最后根据的值求出四边形各边长度，进而算出周长．
【详解】解：设与交点为
∵平分，
∴．
∵是的垂直平分线，
∴， ，且．
在和中，
，
．
∴．
∵，
∴ ．
∴四边形的周长为．
故选：A．
9. 如图，已知直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据三角形外角性质得出，再利用平行线的性质解答即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
10. 如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第次从原点运动到点，第次接着运动到点，第次接着运动到点，…，按这样的运动规律，经过第次运动后，动点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题是平面直角坐标系下的坐标规律探究题，解答关键是利用数形结合解决问题．分析点的运动规律找到循环规律即可．
【详解】解：点坐标运动规律可以看做每运动四次一个循环，每个循环向右移动个单位，
因为
所以，前次循环运动点共向右运动个单位，剩余一次运动向右走个单位，且纵坐标为．
故点坐标为
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 分解因式：_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式分解因式、平方差公式分解因式，先提公因式，再由平方差公式分解因式即可得到答案．熟记提公因式分解因式、平方差公式分解因式等知识是解决问题的关键．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 一次函数的图象上有一个动点，则的最小值是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由题意得，即得，再根据二次函数的性质解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
∴，
∵,
∴当时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
13. 若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，与最简二次根式是同类二次根式，据此即可求出x的值．
【详解】解：能与最简二次根式合并同类项，，
，
解得：．
故答案为：4．
14. 若点，都在反比例函数的图象上，且，则______．（填“>”“<”或“=”）
【答案】＜
【解析】
【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据函数解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限，再由可得．
【详解】解：∵反比例函数解析式为，，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，
∵，
∴，
故答案为：．
15. 如图，是的外接圆直径，点O为圆心．若，则_____．
【答案】##65度
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，由是的外接圆直径得，求出，然后根据等弧所对的圆周角相等即可求解．
【详解】解：连接，
∵是的外接圆直径，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：．
16. 如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边上的点处．折痕为，点、分别在、上，若，则折痕的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】过点于点，过点作的延长线于点，根据含30度角的直角三角形可得，，由折叠的性质可知，，，，由四边形内角和推出，从而得到，，求出，再根据30度角的直角三角形，得到，，最后证明出是等腰直角三角形，即可求出折痕的长．
【详解】解：如图，过点于点，过点作的延长线于点，
四边形是菱形，
，
，
，
，，
由折叠的性质可知，，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，四边形内角和等知识，正确作辅助线构造直角三角形是解题关键．
三、解答题∶本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用特殊角的三角函数值化简，第四项利用零指数幂法则计算，即可得到结果．
【详解】解：原式
18. 解不等式组：并写出它的所有正整数解．
【答案】不等式组的解集为．所有正整数解有1，2
【解析】
【详解】
由①，得．由②，得．
不等式组的解集为．所有正整数解有1，2．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】
【解析】
【分析】先化简原式，然后将x的值代入原式即可求出答案．
【详解】解：
，
当时，．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则和因式分解．
20. 如图，在中，，是对角线上的两点，且．
求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．利用证明，即可证明．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴；
∴．
21. 山西红富士苹果以其出众的口感和实惠的价格而闻名．某商店计划购进A，B两种品牌的红富士苹果共50箱进行销售．A品牌红富士苹果的价格为38元/箱，B品牌红富士苹果的价格为30元/箱．若购进这两种品牌红富士苹果的总费用不超过1740元，则最多可购进A品牌红富士苹果多少箱？
【答案】30箱
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：设购进品牌红富士苹果箱，则购进品牌红富士苹果箱，
．
解得．
答：最多可购进A品牌红富士苹果30箱．
22. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，点，分别在，的延长线上，且，连接，，，．
（1）试判断四边形形状，并说明理由；
（2）若平分，，，直接写出四边形的周长．
【答案】（1）平行四边形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，所以，即可证明四边形是平行四边形；
（2）由，，推导出，则，推出四边形是菱形，而，则是等边三角形，得出，即可求得四边形周长是．
【小问1详解】
证明：四边形为平行四边形，理由如下：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
小问2详解】
解：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形周长是．
【点睛】本题考查了等式的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形的周长等知识，证明，以及在平分的条件下证明四边形为菱形是解题的关键．
四、解答题：本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
23. 人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是DeepSeek-V3上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某校为了解本校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则表明对人工智能的关注与了解程度就越高．现从八、九年级学生中分别随机抽取20名学生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．组：，B组：，C组：，D组：，E组：）．下面给出了部分信息．
八年级被抽取学生的测试得分的所有数据如下：
50，51，59，65，66，73，76，79，83，84，84，84，84，86，88，88，92，93，97，98．
九年级被抽取学生的测试得分中组包含的所有数据如下：
84，85，86，88，88，88，88，89．
八、九年级被抽取学生的测试得分统计表
平均数 中位数 众数
八年级 79 84
九年级 79 88
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，___________，___________，___________．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，请说明理由．
（3）本次调查中，八年级E组的四名学生中男女生各有2人，现从这4人中随机抽取两人参加全校“人工智能知识宣讲”，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）84，，40
（2）九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频数除以样本容量等于百分比，中位数，众数的定义解答即可；
（2）利用中位数进行决策解答即可；
（3）画树状图，求解即可．
【小问1详解】
解：∵84出现了4次，最多，
∴众数为，
∵A等级有：(人)，B等级有(人)，C等级有(人)，D等级有8人且成绩为84，85，86，88，88，88，88，89．
∵中位数是第10个数据，第11个数据的平均数，
∴中位数是，
根据题意，得，
故．
故答案为：84，，40．
【小问2详解】
解：我认为九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高．
理由如下：八、九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数也大于八年级成绩的众数，
九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高．
【小问3详解】
解：根据题意，有女生2名，男生2名．
画树状图如图，共有12种等可能情况，一男一女的可能性有8种，
故一男一女的的概率是
【点睛】本题考查了百分比的计算，中位数，众数的计算和应用，利用画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，掌握以上基础的统计知识是解题的关键．
24. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）在轴上有点，且点坐标为，若的面积小于10，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）且
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出直线与x轴的交点，再根据的面积小于10，列出不等式，解不等式即可．
【小问1详解】
解：把代入得，
，
把代入得：，
把，代入得：
，
解得，
；
【小问2详解】
解：把代入得：，
解得：，
∴直线与x轴的交点坐标为，
，
整理得：，
当时，，
解得：，
∴此时；
当时，，
解得：，
∴此时；
综上分析可知：且．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式，以及直线与坐标轴围成的三角形面积，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
25. 如图，在四边形中，平分．
（1）求证；
（2）请用直尺（不带刻度）和圆规作的外接圆（不必写作法，但要保留作图痕迹），求证：是的切线．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）由勾股定理得，则可得，由角平分线的定义可得，进而可证明，可得，即可得出结论；
（2）作线段的垂直平分线，交于点，以线段的长为半径画圆，即可得所求的；连接，由角平分线的定义可得，由，可得，进而可得，则，即可得，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
证明：连接，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线．
【点睛】本题考查作图复杂作图、相似三角形的判定和性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理、圆周角定理、切线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
26. 在平行四边形中，，点E是对角线上一动点（点E不与点B，点C重合），点F是边上一动点（点F不与点A，点C重合），且，连接，．
（1）将沿对角线翻折后，发现点P与点A重合，连接，且与交于点G，如图1所示，求证：；
（2）如图2所示，在（1）的条件下，当点E，点F移动到某个位置时，连接，若，点Q在线段上，且．求证：Q是线段中点；
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据翻折的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，证明得出，进而根据三角形的外角的性质得出，即可证明；
（2）延长至点T，使，连接，，证明，进而根据含30度角的直角三角形的性质得出，设，则，，过点B作于点M，过点G作于点N，过点G作于点D，勾股定理求得，设，则，勾股定理求得，根据，利用余弦的定义得出，进而勾股定理求得，的长，求得，即可得出结论．
【小问1详解】
证明：由翻折可知，
又四边形是平行四边形，，将沿对角线翻折后，发现点P与点A重合，
是等边三角形，
，，
又，
，
，
，
，
又，
；
【小问2详解】
证明：延长至点T，使，连接，，
，
是等边三角形，
，，
又，
，
又，，
，
，，
又，
，
又，
，
，
，
，
，
，
又，
设，则，，
在图中，过点B作于点M，过点G作于点N，过点G作于点D，
，
，
，，
，
，
设，则，由勾股定理可得，
，，
，
，
解得，即，
，
又，
，
，，
在中，，
，
即Q是线段中点．
【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的性与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正弦的定义，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
27. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求拋物线的解析式；
（2）当点P在直线上方的拋物线上时，连接交于点D，如图1，当的值最大时，求点P的坐标及的最大值；
（3）过点P作x轴的垂线交直线于点M，连结，将沿直线翻折，当点M的对应点恰好落在y轴上时，求点M的坐标．
【答案】（1）该抛物线的解析式为；
（2）点P的坐标为，的最大值为；
（3）点M的坐标为或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式；
（2）过点P作轴交直线于点E，设，进而表示出点的坐标，证明，列出比例式，将转化为二次函数求最值即可；
（3）设，则，根据折叠的性质，平行线的性质，推出，进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵拋物线与x轴交于点，两点
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
【小问2详解】
当时，
∴
设直线的解析式为，把A，C两点代入解析式得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
过点P作轴交直线于点E，如图，设，
∵轴，
∴点E的纵坐标为
则
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵轴，
∴
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，最大值为，
此时点P的坐标为，
【小问3详解】
如图，设，则
∴，，
∵沿直线翻折，M的对应点为点，落在y轴上，而轴
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴
当时，解得：（舍去），，
此时点
当时，解得：（舍去），，
此时点，
综上，点M的坐标为或．

展开更多......

收起↑