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2024—2025学年第二学期初三三模考试
数学试卷
说明：本试卷共120分，本次考试120分钟。
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意）
1．2025的相反数是（　　）
A．﹣2025 B． C．2025 D．
2．2025年1月11日，DeepSeek发布了官方App，累计使用量呈现指数级增长，截至2月9日下载量已超1.1亿次，日活跃用户数最高达4541万，成为全球增速最快、用户规模第二的AI应用．45410000用科学记数法表示为（　　）
A．4541×104 B．45.41×106 C．4.541×107 D．4.5×107
3．如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　）
A． B． C． D．
4．2025年是乙巳蛇年，“巳巳如意”将蛇年与如意相结合，表达对新一年事事如意、顺遂美好的期盼．将分别印有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张，则抽取到的卡片上印有汉字“巳”的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中∠1＝80°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
6．在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则∠α的大小为（　　）
A．54° B．60° C．70° D．72°
7．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0无实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＞1 B．m≥1 C．m＜1 D．m≤1
9．如图，将矩形ABCD对折，使AB与CD边重合，得到折痕MN，再将点A沿过点D的直线折叠到MN上，对应点为A′，折痕为DE，AB＝10，BC＝6，则A′N的长度为（　　）
A． B．4 C． D．3
10．如图，入射光线MN遇到平面镜（y轴）上的点N后，反射光线NP交x轴于点P（﹣2，0），若光线MN满足的一次函数关系式为y＝kx+1，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
（第5题） （第6题） （第9题） （第10题）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。）
11．因式分解：t2﹣4t+4＝ 　 　 ．
12．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C＝20°，则∠CAD＝　 　 °．
13．若是方程2x﹣3y＝2的解，则4m﹣6n+3＝ 　 　 ．
14．如图，点A是反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为3，则k的值是 　 　 ．
15．如图，在菱形ABCD中，点G是边CD上一点，连接AG并延长，交对角线于点F，交边BC的延长线于点E，若FG＝GE，则的值为 　 　 ．
（第12题） （第14题） （第15题）
三、解答题（本题共3小题，每小题7分，共21分。）
16．计算：．
17．马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条
流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格．如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，
古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相
通．如图2，已知⊙O和圆上一点M．作法如下：
①以点M为圆心，OM长为半径，作弧交⊙O于A，B两点；
②延长MO交⊙O于点C；
即点A，B，C将⊙O的圆周三等分．
请你依据以上步骤，用不带刻度的
直尺和圆规在图2中将⊙O的圆周三等
分（保留作图痕迹，不写作法）；
根据（1）画出的图形，连接AB，
AC，BC，若⊙O的半径为2cm，则
△ABC的周长为 　 　 cm．
18．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，AB⊥BC，点E是边CD的延长线上的动点．连接AE．过点C作CF⊥AE于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当点F是AE的中点，且时，求四边形ABCD的面积．
四、解答题（本题共3小题，每小题9分，共27分。）
19．为了解学生实验操作情况，随机抽取小青和小海两名同学的10次实验得分，并对他们的得分情况从以下两方面整理：
①操作规范性：
②书写准确性：
小青：1 1 2 2 2 3 1 3 2 1 ； 小海：1 2 2 3 3 3 2 1 2 1
操作规范性和书写准确性的得分统计表：
学生 操作规范性 书写准确性
平均数 方差 平均数 中位数
小青 4 1.8 a
小海 4 b 2
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝　 　 ，比较和的大小 　 　 ；
（2）计算表格中b的值；
（3）综合上表的统计量，请你对两名同学的得分进行评价并说明理由；
（4）为了取得更好的成绩，你认为在实验过程中还应该注意哪些方面？
20．某化工厂为了给员工创建安全的工作环境，采用A，B两种机器人来搬运化工原料．其中A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运1500千克所用时间与B型机器人搬运1000千克所用时间相等．
（1）求A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料；
（2）若每台A型，B型机器人的价格分别为5万元和3万元，该化工厂需要购进A，B两种机器人共12台，工厂现有资金45万元，则最多可购进A型机器人多少台？
21．图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB＝10cm，BC＝20cm，AD＝50cm．
（1）如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）；
（2）如图③，活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα（α为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）．
五、解答题（本题共2小题，其中22题13分，23题14分，共27分。）
22．在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D在边AC上（点D不与点A，点C重合），连接BD并将BD绕点D逆时针旋转90°得到DE．
（1）如图1，连接CE．
①CE与BC的位置关系为　 　 ，∠ABD与∠CED的数量关系是　 　 ；
②请用等式表示BC，CD和CE的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，将△ABD沿BD翻折，
得到△A′BD，连接A′E，若A′E
的最小值为2，求AB的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间（不与A，C重合），连接AC．当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？求出此时点P的坐标和△PAC面积的最大值；
（3）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．2024-2025学年第二学期初三三模数学考试参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A B D B A A B
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。）
11．（t﹣2）2 12．35 13．7 14．﹣6 15．
三、解答题（本题共3小题，每小题7分，共21分。）
16．计算：．
解：原式＝3﹣1+4 ……5分（1个点1分）
＝3﹣1
＝6． ……7分
17．解：（1）如图，点A，B，C即为所求． ……4分（A、B、C三点各1分，结论1分）
（2）6． ……7分
18．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形
又∵AB⊥BC，∴菱形ABCD为正方形 ……3分（若只证到菱形或矩形，给1分）
（2）连接AC，如图所示：
∵CF⊥AE于点F，点F为AE的中点，∴CF为线段AE的垂直平分线， ……4分
∴AC＝CE＝8√2， ……5分
∵四边形ABCD为正方形， ∴ADAC8， ……6分
∴四边形ABCD的面积＝AD2＝64． ……7分
四、解答题（本题共3小题，每小题9分，共27分。）
19．解：（1）2，． ……4分（1空2分）
（2）小海的平均数； ……6分
（3）小海的操作更稳定，并且书写的准确性更高，所以小海的综合成绩更好． ……8分（操作和书写各1分）
（4）情况①熟悉实验方案和操作流程．或：情况②注意仔细观察实验现象和结果
或：情况③平稳心态，沉稳应对．答案不唯一，言之有理即可，至少列出一条． ……9分
20.解：（1）设B型机器人每小时搬运x千克化工原料， ……1分
根据题意得：， ……2分
解得：x＝60， ……3分
经检验，x＝60是所列方程的解，且符合题意， ……4分
∴x+30＝60+30＝90．
答：A型机器人每小时搬运90千克化工原料，B型机器人每小时搬运60千克化工原料； ……5分
（2）设购进m台A型机器人，则购进（12﹣m）台B型机器人，
根据题意得：5m+3（12﹣m）≤45， ……7分
解得：m， ……8分
又∵m为正整数，∴m的最大值为4． ……9分
答：最多可购进A型机器人4台．
21．解：（1）过点C作CE⊥AD，垂足为E，
由题意得：AB＝CE＝10cm，BC＝AE＝20cm，
∵AD＝50cm，∴ED＝AD﹣AE＝50﹣20＝30（cm）， ……2分
在Rt△CED中，CD10（cm）， ……4分
∴可伸缩支撑杆CD的长度为10cm；
（2）过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，交AD′于点G，
由题意得：AB＝FG＝10cm，AG＝BF，∠AGD＝90°，
在Rt△ADG中，tanα，∴设DG＝3x cm，则AG＝4x cm，
∴AD5x（cm），
∵AD＝50cm，∴5x＝50，解得：x＝10，
∴AG＝40cm，DG＝30cm， ……6分（AG、DG各1分）
∴DF＝DG+FG＝30+10＝40（cm），∴BF＝AG＝40cm，
∵BC＝20cm，∴CF＝BF﹣BC＝40﹣20＝20（cm）， ……8分（DF、CF各1分）
在Rt△CFD中，CD20（cm）， ……9分
∴此时可伸缩支撑杆CD的长度为20cm．
22．解：（1）①CE⊥BC，∠ABD+∠CED＝45°． ……4分（1空2分）
②证明：BC＝CE，理由如下：
在BC上取点F，使BF＝CE，连接DF，如图2所示，
在△BDF和△EDC中，，
∴△BDF≌△EDC（SAS）， ……6分 （或过E点往AC作垂线段，交AC的延长线于F点）
∴BF＝CE，DC＝DF， ……7分
∵∠DCF＝45°，∴△DFC为等腰直角三角形，CF， ……8分
∴BC＝BF+CF＝CE， ……9分（结论写前面也给1分）
（2）这个问4分，方法多样，酌情给步骤分，以下列举两种方法：
法一（翻折构造法）：如图2所示，连接BE，将△BA'E沿BE翻折至△BFE，
则BA'＝BF＝BA，A'E＝FE，由翻折可知∠ABD＝∠A'BD，∠A'BE＝∠FBE，
又∵∠DBE＝45°＝∠A'BD+∠A'BE，∴∠ABF＝2（∠A'BD+∠A'BE）＝90°，
故四边形ABFC为正方形，
又由（1）知∠BCE＝90°，故E在过点C的BC的垂线上运动．
当A′E的最小值为2时，即FE最小为2，
即当FE⊥CE时，FE最小为2，此时EF2，故BC＝4，从而AB ……13分
法二（构造相似）：如图3所示，
取BC中点M，连接MD、AM、连接BE，
由题意可知△ABM和△BDE为等腰直角三角形，ABBA'，BE．
由折叠可知∠ABD＝∠A'BD＝∠DBM+∠MBA'，
由（1）可知∠ABD＝∠CBE＝∠MBA'+∠A'BE，
∴∠DBM+∠MBA'＝∠MBA'+∠A'BE，∴∠DBM＝∠A'BE，
又∵，∴△BMD∽△BA'E．∴A'EMD，
当A'E最小为2时，MD最小为，此时MD⊥AC，D为AC中点，
由中位线定理可知AB＝2DM．
23．解：（1）设抛物线为y＝a（x﹣4）2﹣1， ……1分
∵抛物线经过点A（0，3），
∴a（0﹣4）2﹣1＝3， ∴a， ……2分
∴抛物线为y； ……3分
（2）如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q，连接AP，PC，
当y＝0，即，解得x＝6或x＝2，
∴B（2，0），C（6，0）， ……4分
∴直线AC的解析式为，
设P点的坐标为，则Q点的坐标为，
∴PQ， ……5分
∵S△PAC＝S△PAQ+S△PCQ， ……6分（也可用一般式）
∴当m＝3时，△PAC的面积最大为； ……7分
此时，P点的坐标为． ……8分
（3）相交，证明如下：
如图，设⊙O与BD的交点为E，连接CE，则CE⊥BD，
∵A（0，3），B（2，0），C（6，0）， ∴对称轴为直线x＝4， ……9分
∴OB＝2，，
∵AB⊥BD，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBC＝90°，
∴△AOB∽△BEC， ……11分
∴，∴，
解得， ……13分
∵，∴抛物线的对称轴l与⊙C相交． ……14分

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