资源简介

2024-2025学年九年级下学期第二次考试试卷
数 学
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列各数中最小的数是（ ）
A B. C. 0 D. 3
2. 如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列问题中，应采用全面调查的是（ ）
A. 检测某城市的空气质量 B. 了解全国中学生用眼卫生情况
C. 调查某池塘中现有鱼的数量 D. 企业招聘时，对应聘人员进行面试
5. 计算的结果是 （ ）
A. B. C. D.
6. 如图是一款手推车平面示意图，其中，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（　　）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知为常数，且点在第二象限，则关于的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
9. 点，是抛物线上的点，且，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
10. 如图1，在菱形中，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是（ ）
A. B. C. D. 2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 某学校在4月23 日“世界读书日”为全校个班购进m套精品图书，计划平均分到每个班，则每班可分到_______套图书．
12. 不等式组 的最大整数解是________．
13. 安全教育是学校的生命线．某学校政教处举行了主题为“安全教育”的手抄报评比活动，设置了“交通安全”“消防安全”和“校园安全”三个主题内容．小颖与小莉参加活动选中的主题不相同的概率是______．
14. 我国古代《四元玉鉴》中记载二果问价问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果x个，买苦果y个，根据题意所列方程组是______．
15. 菱形的边长为1，，点E是对角线上不与点A，C重合的一个动点，若以点C，D，E为顶点的三角形恰为等腰三角形，则的长为__________．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 先化简，再求值∶ 其中．
解：原式 ……
解：原式 ……
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
17. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质(卫生、口味等)进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7 份样品，对套餐的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表．
甲、乙两家公司套餐得分表
1 2 3 4 5 6 7
甲公司套餐
乙公司套餐
甲、乙两家公司套餐得分统计表
平均数 中位数 众数
甲公司套餐 b
乙公司套餐 a c
根据以上信息，请回答下列问题：
（1） ， ， ．
（2）从方差的角度看， 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”）
（3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由．
18. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是的中点，连接AD．
（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点D作直线l垂直于直线AC（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的直线l与直线AC交于点E，与AB的延长线交于点F．
①判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．
②若， 则长为
19. 如图所示，矩形的边在x轴上，在y轴上，点B的坐标是反比例函数的图象经过点B，以点A为圆心，为半径作 交边于点 C， 连接．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求的度数．
（3）请直接写出图中阴影部分的面积．
20. 如图①所示的手机平板支架由托板，支撑板和底座构成，如图所示图②是其侧面结构示意图．已知托板长，支撑板长，，托板固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板可绕点D转动．（结果精确到，参考数据：）
（1）若，点A到底座的距离是 ；
（2）为了观看舒适，在（1）中的调整成．再将绕点D顺时针旋转，恰好使点B落在直线上，则顺时针旋转旋转的角度为 ，此时点A到底座的距离与（1）中相比是增大了还是减小了？增大或减小了多少？
21. 某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10 元/、15元/，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示．
（1）甲种水果每千克的销售价为 元；
（2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量 x（单位：）之间的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；
（3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和．
22. 某公园内有一个喷泉从垂直于地面的立柱的端点处喷出一个水柱，其形状呈抛物线型，建立如图所示的坐标系，所在的直线是轴，地面上有一个底面为正方形的无盖长方体水池（厚度忽略不计），其底面边长是米，高米，点，是其底面一组对边的中点，矩形是其经过点，的一个竖直的截面，点，，都在轴上．已知米，米，抛物线型水柱在距离轴米处到达离地面米的最高点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）该抛物线型水柱是否会把水喷到水池内？请通过计算进行说明．
23. （1）问题导入： 如图1，在正方形中， ，E为线段上一动点，将沿翻折，得到，若的延长线恰好经过点C，则__________．
（2）问题探究： 如图2，在矩形中，E为线段上一动点，设，将沿翻折，得到，延长交于点F，若，试说明点E是的中点．
（3）问题深挖： 如图3，在中，，，，E为直线上一动点，设，将沿翻折，得到，在的延长线上找一点F，使得，当是以为腰的等腰三角形时，求出点F到直线的距离．2024-2025学年九年级下学期第二次考试试卷
数 学
（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1. 下列各数中最小的数是（ ）
A. B. C. 0 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握正数>0>负数，负数绝对值大的反而小．据此即可解答．
【详解】解：根据题意可得：
，
∴最小的是，
故选：B．
2. 如图所示是一个物体的三视图，则这个物体可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的立体图形．从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图，能看到的线画实线，被遮挡的线画虚线． 根据三视图的定义逐项分析即可．
【详解】A．左视图不符合题意，故不正确；
B．俯视图与左视图与题意不符，故不正确；
C．符合题意，正确；
D．俯视图不符合题意，故不正确．
故选C．
3. 如图所示的几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据从正面看到的图形即可求解，掌握三视图的画法是解题的关键．
【详解】解：几何体的主视图是
故选：．
4. 下列问题中，应采用全面调查的是（ ）
A. 检测某城市的空气质量 B. 了解全国中学生用眼卫生情况
C. 调查某池塘中现有鱼的数量 D. 企业招聘时，对应聘人员进行面试
【答案】D
【解析】
【分析】根据全面调查和抽样调查的特点分别判断，一般来说， 对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【详解】A、检测某城市的空气质量，应采用随机抽样调查，此项不符题意；
B、了解全国中学生用眼卫生情况，应采用随机抽样调查，此项不符题意；
C、调查某池塘中现有鱼的数量，应采用随机抽样调查，此项不符题意；
D、企业招聘，对应聘人员进行面试，应采用全面调查，此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了全面调查和随机抽样调查，掌握理解相关概念是解题关键．
5. 计算的结果是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数的加法，熟练掌握其运算规则是解题的关键．根据个相加的和为，个相乘是，即可得到答案．
【详解】解：个相加的和为，个相乘是，那么原式
故选：A．
6. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，掌握平行线性质和三角形外角性质是解答本题的关键．先根据平行线性质求出，再根据邻补角的定义求出，最后根据三角形外角性质求出．
【详解】解：如图：
，，
，
，，
，
．
故选：A．
7. 如图，为的直径，，分别与⊙O相切于点B，C，过点C作的垂线，垂足为E，交于点D．若，则长为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】作于H，由垂径定理得到的长，从而求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长．
【详解】解：作于H，
∵直径于H，
∴，
∵，分别切于C，B，
∴，直径，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，关键是通过辅助线构造直角三角形，应用勾股定理求出的长．
8. 已知为常数，且点在第二象限，则关于的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先利用第二象限点的坐标特征得到，则判断，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】在第二象限
一元二次方程有两个不相等的实数根
故选：B．
9. 点，是抛物线上的点，且，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．
根据函数解析式得出图象开口向上，对称轴为y轴，结合，即可解答．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∵，，
∴图象开口向上，对称轴为y轴，
∵，
∴，
故选：A．
10. 如图1，在菱形中，E为的中点，点F沿从点A向点C运动，连接，设，，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数图象可得：当点与点A重合时；求出，当点与点C重合时；求出，当三点共线时，由最小值，最小值为的长，连接，得到，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：由函数图象得：当点与点A重合时；如图，
此时，，
E为的中点，
，
，
，
，
当点与点C重合时；如图，过点作，垂足为，设与交于点H，
此时，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，即，
解得：，
，
，
如图，当三点共线时，由最小值，最小值为的长，连接，
，E为的中点，
，
，
y的最小值是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，利用数形结合思想解答是解题的关键.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 某学校在4月23 日“世界读书日”为全校个班购进m套精品图书，计划平均分到每个班，则每班可分到_______套图书．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列代数式，根据每班可分到的图书图书总数班级总数，即可求解．
【详解】解：由题意得每班可分到的图书为
故答案为：
12. 不等式组 的最大整数解是________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了求不等式组的解集及其最大整数解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．分别求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集，最后求出最大整数解即可．
【详解】解：由，得：；
由，得：，
不等式组的解集为：；
最大整数解是2；
故答案为：2
13. 安全教育是学校的生命线．某学校政教处举行了主题为“安全教育”的手抄报评比活动，设置了“交通安全”“消防安全”和“校园安全”三个主题内容．小颖与小莉参加活动选中的主题不相同的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图，共有16种等可能的结果，其中小颖与小莉他们两人选取不同主题的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把“交通安全”“消防安全” “校园安全”三个主题内容分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小颖与小莉两人选取主题不相同的结果有6种，
∴小颖与小莉两人选取主题不相同的概率是，
故答案为：．
【点睛】本题考查是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14. 我国古代《四元玉鉴》中记载二果问价问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果x个，买苦果y个，根据题意所列方程组是______．
【答案】
【解析】
【分析】设买甜果x个，买苦果y个，根据“九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个．已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果”，列出方程组，即可求解．
【详解】解：设买甜果x个，买苦果y个，根据题意得：
．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键．
15. 菱形的边长为1，，点E是对角线上不与点A，C重合的一个动点，若以点C，D，E为顶点的三角形恰为等腰三角形，则的长为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】由已知，根据菱形的性质知：，连接交与点，则，是等边三角形，，，在中，由边角关系得，从而，再由已知，分类讨论：若，若，分别求出的长即可．
【详解】菱形中，，
，
连接交与点，
则，等边三角形，
，
在中，，
，
∵点是对角线上不与点、重合的一个动点，且以点、、为顶点的三角形恰为等腰三角形，
或，
若，
则；
若，
则中，，
由勾股定理，得，
即有，
解得：，
，
综上所述，的长为或．
【点睛】该题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是进行分类讨论．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. 先化简，再求值∶ 其中．
解：原式 ……
解：原式 ……
（1）甲同学解法的依据是 ，乙同学解法的依据是 ；(填序号)
①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律．
（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）②，③ （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，根据题目的特点，灵活选用合适的解法是解题的关键．
（1）甲同学的解法两个分式先通分依据是分式的基本性质，乙同学根据乘法分配律先算乘法，后算加法，这样简化运算，更简便了．
（2）选择甲同学的解法，先通分，再约分化简即可；选择乙同学的解法，先因式分解，再约分，最后进行加法运算即可．
【小问1详解】
甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律，
故答案为：②，③；
小问2详解】
选择甲同学的解法．
原式
；
或选择乙同学的解法
原式
当时，原式
17. 校园配餐备受关注，为让广大学生吃到安全放心的配餐，质量监督部门针对甲、乙两家配餐公司生产的同一种套餐的品质(卫生、口味等)进行了抽样调查．相同条件下，随机抽取了两家公司的套餐各7 份样品，对套餐的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两家公司套餐得分的统计图表．
甲、乙两家公司套餐得分表
1 2 3 4 5 6 7
甲公司套餐
乙公司套餐
甲、乙两家公司套餐得分统计表
平均数 中位数 众数
甲公司套餐 b
乙公司套餐 a c
根据以上信息，请回答下列问题：
（1） ， ， ．
（2）从方差的角度看， 公司套餐的得分较稳定．（填“甲”“乙”）
（3）你认为哪家公司套餐的品质较好？请说明理由．
【答案】（1）
（2）乙 （3）甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好，所以选择乙公司．
【解析】
【分析】本题考查了中位数与众数、方差，熟练掌握中位数和方差的意义是解题关键．
（1）根据平均数，中位数和众数的定义即可得；
（2）先利用方差公式求出方差，再根据方差的意义即可得；
（3）从中位数和方差的意义进行分析即可得．
【小问1详解】
解：将乙公司套餐得分相加除以7可得：
乙公司套餐平均数：，
将甲公司套餐得分按从小到大进行排序后，第4个数即为中位数，
则，
在乙公司套餐得分中，出现的次数最多，为2次，
则其众数为，
故答案为：；
【小问2详解】
甲公司套餐得分方差为：，
乙公司套餐得分方差为：，
，
乙公司套餐的得分较稳定；
【小问3详解】
甲、乙两家公司套餐得分的平均数相同，乙公司的稳定性较好，
选择乙公司套餐品质较好．
18. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是的中点，连接AD．
（1）请用无刻度的直尺和圆规，过点D作直线l垂直于直线AC（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）若（1）中所作的直线l与直线AC交于点E，与AB的延长线交于点F．
①判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．
②若， 则的长为
【答案】（1）见解析 （2）①直线与相切，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据垂线的作图方法，D为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过D与该点作直线l即可；
（2）①连接交于点G，证明四边形是矩形得，可证直线与相切；
②证明，结合可求出，，从而，利用锐角三角函数求出，可得半径，然后根据弧长公式求解即可．
【小问1详解】
如图，直线l即为所求，
；
【小问2详解】
①如图，连接交于点G，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵D是的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，．
∵是的半径，
∴直线与相切；
②∵D是的中点，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴的长为∶．
故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图，矩形的判定与性质，垂径定理，切线的判定，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，以及弧长公式，正确作出辅助线是解答本题的关键．
19. 如图所示，矩形的边在x轴上，在y轴上，点B的坐标是反比例函数的图象经过点B，以点A为圆心，为半径作 交边于点 C， 连接．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）求的度数．
（3）请直接写出图中阴影部分的面积．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）由勾股定理求出，的长，然后证明是等边三角形，进而可求出．
（3）根据求解即可．
【小问1详解】
把点 代入 ，得 ．
∴反比例函数的解析式是．
【小问2详解】
∵矩形 中 ，
∴， ，，
由题意知．
由勾股定理得 ，
∴．
由勾股定理得，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
【小问3详解】
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，以及扇形的面积公式，证明是等边三角形是解答本题的关键．
20. 如图①所示的手机平板支架由托板，支撑板和底座构成，如图所示图②是其侧面结构示意图．已知托板长，支撑板长，，托板固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板可绕点D转动．（结果精确到，参考数据：）
（1）若，点A到底座距离是 ；
（2）为了观看舒适，在（1）中的调整成．再将绕点D顺时针旋转，恰好使点B落在直线上，则顺时针旋转旋转的角度为 ，此时点A到底座的距离与（1）中相比是增大了还是减小了？增大或减小了多少？
【答案】（1）
（2）30，此时点到底座的距离与（1）中相比减小了．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点C作， 垂足为N， 过点A作，交的延长线于点M，过点C作， 垂足为F，则四边形是矩形，从而可得，先在中， 求出的长， 再在中，求出，然后进行计算即可解答；
（2）根据题意先画出图形， 然后在中，利用锐角三角函数求出，然后进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，如图：
则四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在中， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
，
∴点到直线的距离为，
故答案为：．
【小问2详解】
解：如图：过点作于点，
∵，
在中，
∴旋转的角度为
在，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴此时点到底座的距离与（1）中相比减小了．
21. 某超市购进甲、乙两种水果的进价分别为10 元/、15元/，乙种水果在销售后采取降价销售，这个价格保持到销售完这批水果．这两种水果的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示．
（1）甲种水果每千克的销售价为 元；
（2）求乙种水果销售额y（单位：元）与销售量 x（单位：）之间的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；
（3）当两种水果销售额相同，且销售额大于0时，请直接写出销售这两种水果的利润和．
【答案】（1）20 （2）当时，；当时，；
（3）900
【解析】
【分析】（1）根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，得到单价为元；
（2）当时，是正比例函数；当时，是一次函数，利用待定系数法解答即可．
（3）确定甲水果的解析式，结合乙的解析式，分类计算即可．
本题考查了图象信息，待定系数法，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
c
【小问1详解】
根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，
故单价为元；
故答案为：20．
【小问2详解】
当时，是正比例函数，
设解析式为，
把点代入解析式，得，
解得，
故解析式为；
当时，是一次函数，
设解析式为，
把点，代入解析式，得，
解得，
故解析式为．
【小问3详解】
根据图象，得当甲种水果销售120千克时，销售额为2400元，
故单价为元；
故甲的解析式为．
由两种水果销售额相同，且销售额大于0，
得，
解得，
∴甲水果销售额为；乙水果销售额为
∴甲水果销售利润；乙水果销售利润为
∴两种水果的总利润为(元)．
22. 某公园内有一个喷泉从垂直于地面的立柱的端点处喷出一个水柱，其形状呈抛物线型，建立如图所示的坐标系，所在的直线是轴，地面上有一个底面为正方形的无盖长方体水池（厚度忽略不计），其底面边长是米，高米，点，是其底面一组对边的中点，矩形是其经过点，的一个竖直的截面，点，，都在轴上．已知米，米，抛物线型水柱在距离轴米处到达离地面米的最高点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）该抛物线型水柱是否会把水喷到水池内？请通过计算进行说明．
【答案】（1）；
（2）会把水喷到水池内，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查二次函数、解一元二次方程，用待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的图像和性质是解题关键．
（1）确定顶点，设抛物线解析式为，把代入求解即可；
（2）把带入函数解析数，求解，根据实际情况舍弃负值，求解、的长度，确定点、到轴的距离与进行比较即可．
【小问1详解】
解：由题意得，抛物线的顶点坐标是，
∴设抛物线解析式为，
把代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
当时，，
解得，（舍去），
∵，，
，
∴点到轴的距离是米，点到轴的距离是米，
，
∴该抛物线型水柱会把水喷到水池内．
（注：也可以把和分别代入，解得和，
由于，，
所以会把水喷到水池内．
23. （1）问题导入： 如图1，在正方形中， ，E为线段上一动点，将沿翻折，得到，若的延长线恰好经过点C，则__________．
（2）问题探究： 如图2，在矩形中，E为线段上一动点，设，将沿翻折，得到，延长交于点F，若，试说明点E是的中点．
（3）问题深挖： 如图3，在中，，，，E为直线上一动点，设，将沿翻折，得到，在的延长线上找一点F，使得，当是以为腰的等腰三角形时，求出点F到直线的距离．
【答案】（1）2；（2）见解析；（3）或16
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，，设，则，解直角三角形即可得出结果；
（2）连接，根据题意，易证，得到，进而推出，再证明，得到，即可证明结论；
（3）分点E在上，在延长线上，在延长线上，三种情况讨论．
【详解】解：（1）四边形是正方形，，
，，
沿翻折，得到，的延长线恰好经过点C，
，
，
，
设，则，
，
，
解得：，
，
故答案为：2；
（2）如图1，连接，
由折叠的性质，知，
又，
，
，
，
，
由折叠的性质，知，
，
，
，
，
，即点E是的中点；
（3）①如图2，当点E在线段上时，过点，点F分别作，的平行线，交于点H，的延长线交于点G，连接，
由（2）中推论得到点E是的中点；
，，，
设，则，
∵是以为腰的等腰三角形时，
，
在中，，
，
解得：，
，则，，
，
，
由（2）知，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
在中，，
点F到直线的距离为；
②如图3，当点E在延长线上时，过点F作垂足为G，
，，
，
，
由（2）知，
，
，
，
，
，
又，
，
，
是的角平分线，
，
，
，即，
由（2）中推论得到点E是的中点；
，
点F到直线的距离为（不合题意，舍去）；
③如图4，当点E在延长线上时，过点F作垂足为G，
同理得：是的角平分线，
，
，
，，
，
，即，
，
点F到直线的距离为；
综上，点F到直线的距离为或16．
【点睛】本题考查矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，解直角三角形，构造三角形全等和相似是解题的关键．

展开更多......

收起↑