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2024-2025学年九年级第三次质量检测试卷
数学
(满分120分，考试时间100分钟)
一、选择题(每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其 中只有一个是正确的)
1.如图，数轴上的数a,b,c,d 中，小于-1的是 ( )
A.a B.b C.c D.d
2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体为( )
A B C D
3. 国家统计局公布的数据显示，2024年12月份，规模以上工业原 油产量1790万吨，同比增长1.4%.1790万吨用科学记数法 表示为 ( ) A.1.79×109千克 B.1.79×1010千克 C.0.179×1010千克 D.0.179×1011千克
4.下列计算正确的是 ( )
A.a ·a =a B.(a+3b) =a +9b
C.2a ÷a =2a D.2a +4a =6a
5.如图是一个立方体的平面展开图，每个小正方形的边长均为1, 则在立方体上，点A,B 的距离为
( ) A.2 B.√3 C.√2 D.1
6.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A,D都在反比 例函数的图象上顶点B,C分别在y 轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线BD//x轴.若菱形ABCD的面积为6, 则k的值为 ( )
第6题 第8题
A.3 B.12 C.-6 D.6
7.二次函数y=x -4x+m 在1≤x≤m范围内有最大值4,则m的值为 ( )
A.-1 B.4 C.7 D.4或7
8. 如图，在学习四边形的性质时，张老师用四根长度相等的木条 制作了正方形木框ABCD,并置于平面直角坐标系中，其中点A 与原点0重合，点B,D分别在x 轴、y轴上.张老师利用四边形 的不稳定性，将正方形木框压扁，得到四边形ABC'D'.若 B(10,0),AC'=8√5, 则点C'的坐标为 ( )
A.(18,6) B.(18,8) C.(16,6) D.(16,8)
9. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=6,AC=8,D是BC的中点，将△ABD沿AD折叠，得到△AED,连接CE, 则CE的长度为( )
A.2 B C D
10.如图，在矩形ABCD 中 ，AD=9,AB=6, 动点P 从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿DA向点A运动，将PC绕点P顺时针旋转60°,得到PE, 连接EC,EB.当BE的值最小时，点P运动的时间为 ( )
A.2 秒 B.2√3秒 C 秒 D.3√3秒
二、填空题(每小题3分，共15分)
11. 若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
12.不等式组的整数解之和是
13. 如图是两张背面完全相同的卡片.小明把这2张卡片从中间剪开，再把得到的4张形状、大小完全相同的小卡片洗匀后背面朝上放在桌面上，从中随机抽取2张，则他抽取的2张小卡片可拼成原卡片的概率是
14.如图，在平面直角坐标系中，P(2,0),正六边形ABCDEF的顶点A,D的坐标分别为(1,0),(- 1,0),点M是正六边形 ABCDEF的边上一动点，连接 PM, 将PM绕点P顺时针旋转90°,得到PN, 连接 MN.点M从点A出发，按照顺时针的方向(即A—B—C—D—E—F—A…)以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点N的坐标为
15. 如图，在正方形ABCD中，BC=4,点E是CB 延长线上一点，且BE=2,点F为线段AE上一动点，连接BF, 将线段BF绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,连接DG,FG, 则FG的最小值是 ,此时DG的长为
三、解答题(本大题共8个小题，共75分)
16 .(10分)下面是小华化简分式的过程：
(1)小华的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第 步，涉及分式的约分的步骤是第 步；
(2)小华的化简过程从第 步开始出现错误；
(3)请你写出正确的化简过程，并从2,3,4,5中选择一个合适 的数代入求值.
17 . (9分)2025年央视 春晚中出现了许多“河南面孔”,如“确山铁花”“豫剧《花木 兰》"“少林功夫”等非物质文化遗产.某校为了解七、八年级 学生对非物质文化遗产的了解程度，组织了一次非物质文化 遗产知识测试(百分制),从七、八年级各随机抽取10名学生 的成绩进行整理、描述和分析(成绩用x 表示，分成四组： A.80≤x<85,B.85≤x<90,C.90≤x<95,D.95≤x≤100),
部分信息如下：
信息一：七年级10名学生的成绩是：80,82,86,89,92,96,96, 98,99,100.
信息二：八年级10名学生的成绩在C 组中的数据是：90, 93,93.
信息三：八年级抽取的学生成绩扇形统计图如图所示.
信息四：七、八年级抽取的学生测试成绩各统计量如下表.
统计量 平均数 中位数 众数 方差
七年级 91.8 m n 46.96
八年级 91.8 93 98 41.4
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：α= ,m= ， n=
(2)学校准备从成绩较稳定的年级中选择若干名学生参加下 一阶段的活动，请判断学校会从哪个年级中选择，并说明 理由.
(3)已知七、八年级共有600名学生参加了此次非物质文化遗产知识测试，估计该校参加此次测试成绩为优秀(x≥90)的学生总人数.
18. (9分)科学家阿基米德曾说：“假如给我一个支点，我可以撬 起整个地球!”这运用的是杠杆原理。如图，◎0表示地球，点P是支点.
(1)请用无刻度的直尺和圆规在图(1)中作出撬起地球的杠 杆(直线1),使其经过点P, 且与⊙0相切于点D.(标明字 母，保留作图痕迹，不写作法)
(2)如图(2),连接OP交⊙0于点B, 延长PO交◎0于点A,点C为AB 下方的⊙O 上一点，且∠ABC=15° . 在(1)的条件下，若点D为BC的中点，求∠OPD的度数.
19. (9分)如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°, 点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过OB 的中点C,且与AB交于点D. 已知tanB= ,0A=6.
(1)求k的值；
(2)过点D作DE⊥x轴于点E,点P是x轴上一点，若以A,D,E,P为顶点的四边形的面积为18,求点P的坐标.
20 . (9分)图(1)是小明同学自制的测量工具，其中ON⊥MN, ON,MN上都有相同单位的刻度，G可以在MN上滑动，ON=18.小明想用自制的测量工具测量建筑物的高度 PQ. 如图(2),小明站在自动扶梯的底部A处，让测量工具的ON 平行于地面AQ,0N的延长线交PQ于点F,滑动OC 使0 ,G,P在同一条直线上，此时NG=6. 他乘坐扶梯到达顶部B处，让测量工具的O'N'平行于地面，0′N'的延长线交PQ于点E, 滑动 0'G', 使0',G′,P在同一条直线上，此时N'G′=3.小明的 身高AC=BD=1.7m,自动扶梯的高BM为4.5m, 水平宽AM为19.5m. 试根据以上数据计算出建筑物的高度PQ.(结果精 确到1m)
图(1) 图(2)
21. (9分)洛阳龙门石窟景区内某文创商店准备售卖A,B两种文创产品.如图是店里的一张进货单(墨迹覆盖了部分数据):
进货单
序号 规格 单位 数量 单价 金额
1 A款 件 4000
2 B款 件 3250
店员说：“这次进货，B款文创产品的单价比A款文创产品的单价少15元，A,B两款文创产品的数量相同. ”
请你解决下列问题
(1)求A,B两款文创产品的进货单价各是多少元.
(2)已知A 款文创产品每件的售价为100元，B款文创产品每件的售价为80元.根据市场需求,该商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售.问：怎样进货才能使销售完这批货后获得的利润最大 最大利润是多少元
22.(10分)已知抛物线y=ax +bx+c的顶点是A(2,-1),且抛物线过点B(0,3).
(1)求抛物线的表达式.
(2)将抛物线y=ax +bx+c向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当-1(3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n, 设抛物线上点P左侧的部分为图象G(含点P). 若图象G的最低点的纵坐标为3-n,直接写出n的值.
23. (10分)阅读与理解：
在一次培养学生对数学的兴趣、提升学生数学素养的实践操 作活动中，李老师带领同学们进行了如下探究.
在∠FAG的平分线AE上找一点C,以点C 为圆心，适当长为半径画 弧，分别与边AF,AG交于点B,D.连接CB,CD,组成四边形ABCD.同 学们经过动手操作，发现有图(1)、图(2)、图(3)三种情况.
图(1) 图(2) 图(3)
(1)在图(2)的基础上，将△ABC绕点C逆时针旋转至CB与CD重合的位置，得到△IDC, 如图(4),求证：A,D,I三点共线.
探究与运用：
(2)如图(3),在四边形ABCD中，∠BAD=60°,AC=6
①求∠ABC+∠ADC的度数；
②求四边形ABCD的面积.
思考与延伸：
(3)如图(5),四边形ABCD是圆内接四边形，AB=AD=3,
∠BAD=120°. 当四边形的对角线AC是直径时，以AC为斜边作等腰直角三角形ACP, 连接DP,直接写出线段DP的长度.
图(4) 图(5)2.C
7 D 8 A 9 D 10 C
14.(2+ ,2)
16.(1) 一 三
（2）二
（3） x+2 当x=5时，原式=7 ，
(3) 或
22.·(1):设抛物线表达式为y=a(x-2)2-1,把B(0,3)代入得3=a(0-2)2-1,4a=4,解
得a=1,所以抛物线表达式为y=(x-2)2一1=x2一4x+3。
·（2):抛物线y=(x一2)2一1向右平移m个单位长度后得到y=(x一2一m)2一1，其对称轴
为x=2+m。因为当-1大，所以3≤2+m≤4，解得1≤m≤2。
·(3):分情况讨论：
·当m<2时，图象G的最低点为顶点，3一=一1，解得m=4(舍去)。
。当n≥2时，把x=n代入y=x2-4x+3得y=n2-4n+3,所以n2-4n+3=3-m
,即m2一3m=0,解得m=3或=0（舍去）。所以n=3。
23.·（1):因为AE是∠FAG的平分线，所以∠BAC=∠DAC。由旋转可知∠BCA=∠DCI,
AC=IC,AB=ID。因为∠BOA+∠AOD=∠BOD,∠DCI+∠ACD=∠ACI,
所以∠BCD=∠ACI。又因为∠BAO+∠ABC+∠BCA=180°，∠DAO+∠ADC+
∠DCA=180°，所以∠ABC+∠ADC+∠BCD=360°-（∠BAC+∠DAC)。因为
∠BAC=∠DAC,所以∠ABC+∠ADC+∠BCD=360°-2∠BAC。而∠BCD=
∠AOI,所以∠ABC+∠ADC+∠AOI=360°-2∠BA。因为∠BAC+∠DAC=
∠BAD,所以∠AB+∠ADC+∠ACI=360°-∠BAD。因为∠BAD是定值，所以
∠ABC+∠ADC+∠ACI是定值。又因为∠AB+∠ADC+∠BOD=360°，所以
∠ACI=∠BCD,所以A,D,I三点共线。
·(2):
·①因为四边形ABCD中，∠BAD=60°，所以∠ABC+∠ADC=360°一∠BAD一
∠BCD=360°-60°-180°=120°。
·②过点O作CM⊥AF于点M,CN⊥AG于点N。因为AE是∠FAG的平分线，所以
CM=CN。又因为∠BAC=∠DAC=30°，AC=6,所以CM=CN=5AC=3
。S四边形ABCD=S△ABC+S△HDC=5AB.CM+5AD·CN=号(AB+AD)·
CM。因为∠BAC=∠DAC=30°，所以AB=AD,所以S四边形HBCD=号×2AB·
CM=AB.CM。在Rt△ACM中，AM=VAC2-CI2=V62-32=3v3,所以
AB=2AM=6V3,则S四边形ABcD=6V3×3=18V3。

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