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2024-2025学年七年级数学下册第一次月考试卷（第5~6章 ）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．如图，在两台天平的左右两边分别放入“”“”“”三种物体，两台天平都保持平衡．若设“”与“”的质量分别为，，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下表是小明每隔看到的里程情况．
时刻
里程表上的数 是一个两位数，它的两个数之和为7 十位与个位数字与时所看到的正好互换了 比时看到的两位数中间多了一个0
小明在时看到的数是（ ）
A．16 B．61 C．72 D．94
3．轮船顺流航行时的速度为m千米/小时，逆流航行时的速度为千米/小时，则水流速度（ ）
A．3千米/小时 B．4千米/小时 C．6千米/小时 D．无法确定
4．小明计划和爸爸一起自驾游，图1是某月份的日历，用图2框住5个日期，他们的和是50，图2中x是出行日期，爸爸的车牌尾号是“9”，则出行日期是几号？这天能出行吗？（ ）（注：周一到周五限行，周末和节假日不限行，每周一限行尾号为1和6，每周二限行尾号为2和7，以此类推）
A．11，不能 B．11，能 C．10，不能 D．10，能
5．观察如图所示的运算程序，若输出的结果为3，则输入的x值为（ ）
A． B．1 C．或1 D．5或1
6．已知关于x的方程的解是非正整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A． B． C． D．
7．若方程组的解是，则方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
8．的解为（ ）
A． B． C． D．
9．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
10．与互为相反数，且，那么= ．
11．丽丽在解方程组时，不小心碰翻了墨汁瓶，墨水盖住了两个方程的常数项．丽丽求助老师，老师给了她两条信息：“第一：方程的常数项比方程的常数项大；第二：方程组的解，是相等的．”请你帮她复原该方程组为 ．
12．（3分）（24-25七年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值，则关于的方程的解是 ．
13．规定一种新运算：，例如：．若，则的值为 ．
14．如图，在的九个格子中填入9个数，当每行、每列及每条对角线的3个数之和相等时，我们把这张图称为三阶幻方．下面的这张三阶幻方中，填了两个数，则右上角a所表示的数为 ．
15．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则所有符合条件的整数n的个数为 ．
16．若一个四位正整数（各个数位均不为0），千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，则称该数为“一干二净数”，例如3253、6597都是“一干二净数”．将一个四位正整数M的百位和十位交换位置后得到四位数N，．
（1）最小的“一干二净数”为 ．
（2）若T为“一干二净数”，且T能被13整除，则满足条件的所有中， 的最大值为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）已知关于x，y的方程组．
(1)若，求这个方程组的解．
(2)若这个方程组的解满足，求的值．
18．（6分）解方程：
(1) (2)
19．（8分）其图书经销商计划购进甲、乙两种笔记本300本，甲、乙两种笔记本的进价分别为3元本、5元本，这两种笔记本的售价分别为5元本、6.5元本．
(1)如果进货款为1000元，那么购进甲、乙两种笔记本各多少本？
(2)按（1）中的条件，若甲种笔记本打8折，乙种的不变，那么两种笔记本全部卖掉可获利多少元？
20．（8分）用灰、白两种颜色的正方形地砖，按如图所示的规律拼成图案．

(1)在第4个图案中，白色地砖有________块，灰色地砖有_______块；
(2)第（为正整数）个图案中，白色地砖有________块，灰色地砖有_______块；
(3)第100个图案中，白色地砖比灰色地砖多几块？
(4)已知每个小正方形的边长为，若学校用第个图案铺设长为的长廊，则需要灰色地砖多少块？
21．（10分）某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作包装盒，请你和该小组一起完成以下探究任务：
(1)任务一：利用如图（1）所示的图形，制作包装盒，请写出这个包装盒的立体图形的名称，并根据图中给出的数据（单位：），求这个包装盒的侧面积；（用含a，b的代数式表示）
(2)任务二：利用如图（2）所示的图形，制作一个无盖的长方体包装盒，a，b，c分别是包装盒的长、宽、高，并根据图中给出的数据（单位：），求此包装盒的容积．
22．（10分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和的解分别为和，，故方程和为“美好方程”．
(1)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值；
(2)若“美好方程”的两个方程的解的差为，且其中一个解为，求的值；
(3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解．
23．（12分）“洛书”是我国文化中最古老、最神秘的事物之一．如图①是“洛书”，数出图①中各处的圆圈和圆点个数，并按照图①中的顺序把它们填入正方形方格中，就得到一个幻方（如图②所示），每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都为15．若将“三阶”幻方的每行、每列、每条对角线上三个数字之和称为“幻方和”，中间的数称为“中心数”，则在“三阶”幻方中有“幻方和”恰好是“中心数”的3倍．
(1)①如图③，若每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值：
②将，，，1，3，5，7，9，11这9个数填入图④的九个格子中，使处于每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的和都相等，求的值；
(2)将幻方迁移到月历：如图⑤是今年10月的月历．某同学说：“在该月历中，不改变阴影方框的大小，将方框移动位置，方框中的9个数的和可以是189．”该同学的说法是否正确，请说明理由．
(3)如图⑥，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和都相等．求的值．
24．（12分）“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法．数学课上，李老师给出了一个问题，已知实数，满足，求和的值．
小天：利用消元法解方程组，得，的值后，再代入求和的值；
小红：发现两个方程相同未知数系数之间的关系，通过适当变形，整体求得代数式的值，①，②，由①﹣②可得，由可得；
李老师对两位同学的讲解进行点评，指出小红同学的思路体现了数学中“整体思想”的运用．请你参考小红同学的做法，解决下面的问题：
(1)已知二元一次方程组，则 ， ；
(2)请说明在关于x，y的方程组中，无论为何值，的值始终不变；
(3)七年级（1）班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，若买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元；若买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？（直接写出结果）
参考答案
一．选择题
1．C
【分析】本题考查了等式的性质，首先设“”的质量是，根据两个天秤可得两个等式，，等量代换可得与的关系．
【详解】解：设“”的质量是，
根据第一个天秤可得：，
根据第二个天秤可得：，
把代入，
得到：，
整理得：．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程是解答本题的关键．设小明在点时看到的两位数的十位数字为x、个位数字为y；则点时看到的两位数是，点时看到的两位数是，点时看到的三位数是，根据摩托车的速度不变，到和到行驶的路程一样，即可得出关于x，y的二元一次方程，求解方程，结合x、y均为一位整数，即可解答．
【详解】解：设小明在点时看到的两位数的十位数字为x、个位数字为y；则点时看到的两位数是，点时看到的两位数是，点时看到的三位数是，根据题意：
，即，
又∵x，y均为一位整数，
∴，
∴．
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，准确找出等量关系列出二元一次方程组是解题的关键；
设轮船在静水中航行的速度为x千米小时，水流速度为y千米小时，根据“顺流航行速度轮船速度水流速度”与“逆流航行速度轮船速度水流速度”列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组求出值即可．
【详解】解：设轮船在静水中航行的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，依题意得，
两个方程相减可得：，即水流速度为6千米小时．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及规律型：数字的变化类，读懂题意，并能根据题意列出方程求出日期是解题的关键．
根据题意，得出十字框中的各数的关系，然后列出代数式求出x，再根据x的值得出日期，然后求解即可．
【详解】解：根据题意，可得十字框中的各数分别如下图示：
则
解之得：，
根据日历中的数据，11日刚好是星期四，
根据限行政策：周一限行尾号为1和6，每周二限行尾号为2和7，
则周四限行尾号为4和9，
爸爸的车牌尾号是“9”，不可以出行，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查流程图与代数式求值，解绝对值方程，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
根据题意列方程，解得x的值即可．
【详解】解：若输出的结果为3，
则，
解得：，
，
解得：，
∵，
∴，
综上，输入的x值为或1，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了一元一次方程的求解以及整数解的讨论，解题的关键是先求出方程的解，再根据解是非正整数确定的取值．
先对原方程去分母，去括号，移项，合并同类项，将方程化为用表示的形式，再根据是非正整数求出的取值，最后计算这些值的和．
【详解】
去分母，方程两边同时乘以6得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
解得，
因为方程的解是非正整数，即且为整数，而，所以，且是5的负因数，
5的负因数为和，
当时，解得，
当时，解得，
则符合条件的所有整数的和为，
故选：C．
7．C
【分析】将方程组变形为，进而可得到，求解即可．
【详解】解：方程组变形为，
∴由题意知，，
解得，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了解一元一次方程，先利用乘法分配律的逆运算把提出来，再利用拆项法即可化简求解，掌握拆项法进行化简是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9．A
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉a即可得出结论，将方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键．
【详解】解：关于x，y的二元一次方程组，
可得，
即，
故k的值为，
故选：A．
二．填空题
10．7或3
【分析】解此题可设b=-a，求出a，b的值，然后代入代数式求解即可．
【详解】由题意得，
解得：或，
当a=2，b=-2时，=7；
当a=-2，b=2时，=3，
故答案为7或3.
11．
【分析】本题考查了二元一次方程中的含参问题，根据题意正确把两个方程的常数项设出来是解答本题的关键．
根据题意设出方程组，再结合可得，解出的值，即可复原该方程组．
【详解】解：由题意可设方程组为，
，
，
，
即，
解得：，
故原方程组为．
12．
【分析】本题主要考查解一元一次方程，根据表格可知方程为，正确得出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴，
当时，，即，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，一元一次方程的求解，解题的关键是根据新定义列出关于x的方程．先得出，再由得，解之即可．
【详解】解：，
∴由得，
解得，
故答案为：．
14．3
【分析】本题考查列代数式和解一元一次方程，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等是解题的关键．设空格中相应位置的数为m，n，p，q，根据“每行、每列及每条对角线的3个数之和相等”解答即可．
【详解】解：设空格中相应位置的数为m，n，p，q，
由题意得：，
∴，
即，
解得：．
故答案为：3．
15．3
【分析】本题考查了解二元一次方程组，能求出是解此题的关键．
先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可．
【详解】解方程组得：
∵方程组的解满足
∴，
∴，
∵
∴
整理得，
∵a，b均为正整数
∴当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
∴n的值为0，，，共3个．
故答案为：3．
16．
【分析】本题考查了二元一次方程的解，整式的加减；
（1）根据题意，得出千位数字为2，则百位数字为，十位数字为，个位数为
（2）设，根据T能被13整除，得出能被整除，进而根据二元一次方程的整数解，逐个验证，即可求解．
【详解】解：（1）一个四位正整数（各个数位均不为0），千位数字比百位数字大1，十位数字比个位数字大2，
要使得这个数最小，则千位数字为2，则百位数字为，十位数字为，个位数为
则这个最小的“一干二净数”为
故答案为：．
（2）设
∵T能被13整除，
∴能被整除，
且
当时，无整数解，
当时，
当，
当，
当时，无整数解，
当时,
当，
当时，无整数解，
当时，，不合题意，
综上所述，的最大值为
故答案为：．
三．解答题
17．（1）当时，这个方程组可化为
，得③，
，得④，
由得，
解得，
将代入②，得，
解得，
所以当时，这个方程组的解为
（2）
由，得，
，，
解得．
18．（1）解：原方程可化为：，
去分母得：，
整理得：，
解得：；
（2）解：原式可化为：
而
，
即，
解得：．
19．（1）解：设购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本，
根据题意，得：，
解得：，
当时，，
答：甲、乙两种笔记本分别购进本和本；
（2）解：由题意得：
（元），
或：（元），
答：两种笔记本全部卖掉可获利元．
20．（1）解：由图形可知：
在第1个图案中，白色地砖有块，灰色地砖有1块；
在第2个图案中，白色地砖有块，灰色地砖有2块；
在第3个图案中，白色地砖有块，灰色地砖有3块；
∴在第4个图案中，白色地砖有块，灰色地砖有4块；
（2）由（1）可得，
第（为正整数）个图案中，白色地砖有块，灰色地砖有块；
（3）由（2）可得，当时，
∴第100个图案中，白色地砖有块，灰色地砖有100块；
∴
∴第100个图案中，白色地砖比灰色地砖多403块；
（4）∵第1个图案的长为；
第2个图案的长为；
第3个图案的长为；
∴第n个图案的长为；
∴当时，解得
∴需要灰色地砖40块．
21．（1）解：如图，这个包装盒的立体图形是三棱柱，
∵三棱柱的侧面积为，
∴这个包装盒的侧面积为；
（2）
解：如图，根据题意：，
解得：，
∴长方体的体积为，
∴此包装盒的容积为．
22．（1）解：解方程得：，
解方程得：，
∵关于的方程与方程是“美好方程”，
∴，解得：，
答：的值为9；
（2）解：∵“美好方程”的两个解之和为1，
∴另一个方程的解为，
∵“美好方程”的两个解的差为8，
或，
或；
（3）解：，
，
∵关于的一元一次方程和是“美好方程”，
∴的解为：，
∵关于的一元一次方程可化为，
，
．
23．（1）解：①根据题意，得．
解得．
②根据题意，得．
解得．
（2）解：不正确．理由如下：
设阴影方框的中央位置的数为．
根据题意，得．
解得．
不存在阴影方框，其中央数字为21．
故该同学的说法不正确．
（3）解：因为每个正方形的4个顶点的“○”中的数的和为，
所以，
解得；
，
解得．
，根据等式的性质，得．
又因为，，，，，，2，4，6，8，10，12这12个数字填入恰当的位置（数字不重复使用），
所以可能是10或．
所以或．
综上所述，的值为或．
24．（1）解：
得，，
．
得，．
故答案为：，3．
（2）解：，
得，，
．
无论为何值，的值始终不变．
（3）解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，笔记本的单价为元，
根据题意得：
得，，
购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
故答案为：70元．

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