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黑龙江省绥化市第八中学校2024-2025学年九年级下学期5月期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，某几何体的主视图和它的左视图，则搭建这样的几何体最少需要的小正方体为（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的角度为（ ）
A． B． C． D．
6．下列命题中，真命题的有（ ）个
①在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等；②反比例函数，随着的增大而减小；③无限小数就是无理数；④过原点的一条直线一定是正比例函数的图象；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如图的统计图①和图②，根据相关信息，下列说法不正确的是（ ）
A．本次接受抽样调查的学生一共有40名 B．图①中的值为10
C．这组数据的众数是18 D．这组数据的中位数是2项
8．掀起了“人工智能”的热潮，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少2小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时．则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，已知点，的横坐标分别为1，2，的面积与面积和为，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
10．如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
11．如图1，点F从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为（ ）
A． B． C． D．2
12．如图，四边形为正方形，的平分线交于点，将绕点顺时针旋转得到，延长交于点，连接，，与相交于点．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③ D．①③⑤
二、填空题
13．由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮．据国内产品榜统计显示，这款推理聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数就达22150000．数字22150000用科学记数法表示为 ．
14．分解因式：
15．当时， ．
16．已知、是方程的两个实根，则的值是 ．
17．在一个不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个球大小形状质地等完全相同，从袋中摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是 ．
18．在平面直角坐标系中，点、点，为坐标原点，以点为位似中心，按相似比把放大，则点的对应点的坐标为 ．
19．如图，在中，是的中点，以为直径的与，分别交于点，，连接，，平分，，则阴影部分的面积为 ．
20．如图，在面积为12的中，，，于点，直线垂直平分交于点，交于点，为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，点．点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位至点，第4次向右跳动3个单位至点，第5次又向上跳动1个单位至点，第6次向左跳动4个单位至点，…照此规律，点第2022次跳动至点的坐标是 ．
22．如图，在边长为2的正方形中，对角线，相交于点，若点为的中点，为直线上的动点（不与点重合），当为以为腰的等腰三角形时，的长为 ．
三、解答题
23．已知：点是外一点．
(1)尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
(2)在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数．
24．如图．某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上点A处测得树顶端的仰角为，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为．已知点A的高度AB为，台阶的坡度为，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树的高度．（测倾器的高度忽略不计）
25．某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两型客车（每种型号的客车至少租用一辆）．A型车每辆租金400元，B型车每辆租金500元．若4辆A型和3辆B型车坐满后共载客340人；2辆A型和5辆B型车坐满后共载客380人．
(1)每辆A型车、B型车坐满后各载客多少人？
(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共8辆，总租金不高于3900元，并将全校400人载至目的地，该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？
(3)在这次活动中，学校除租用A、B两型客车外，又派出甲、乙两辆器材运输车．已知从学校到夏令营目的地的路程为300千米，甲车从学校出发0.5小时后，乙车才从学校出发，却比甲车早0.5小时到达目的地，如图是两车离开学校的路程（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数图象，根据图象信息，求甲乙两车第一次相遇后，为何值时两车相距25千米．
26．如图所示，在的内接中，，，作于点，交于另一点，是上的一个动点（不与，重合），射线交线段的延长线于点，分别连接和，交于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
(3)在点运动过程中，当时，求的值．
27．在菱形中，，是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，点的位置随点的位置变化而变化，连接．
推理证明：
（）当点在菱形内部或边上时，如图①，求证：；写出图①的证明过程；
探究问题：
（）当点在菱形外部时，如图②，图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需证明；
拓展思考：
（）在（）和（）的条件下，若，，则的长为__________．
图① 图② 图③
28．已知：在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一交点为点．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当最大值时，求点的坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，设为抛物线对称轴上一点，试问抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
《黑龙江省绥化市第八中学校2024-2025学年九年级下学期5月期中考试数学试题》参考答案
1．C
解：A、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．C
解：∵主视图有4个小正方体组成，左视图有3个小正方体组成，
∴几何体的底层最少3个小正方体，第二层最少有1个小正方体，
∴搭建该几何体最少需要的小正方体的个数为4．
故选C．
3．A
解：A．，选项计算正确，符合题意；
B．，选项计算错误，不符合题意；
C．，选项计算错误，不符合题意；
D．，选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
4．C
解：由题意可得：，解得：且．
故选C．
5．A
如图所示
由题意得∵
∴
∵
∴
故选：A．
6．A
解：①在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等或互补，故①不符合题意；
②反比例函数，经过一、三象限，在每个象限内随着的增大而减小，故②不符合题意；
③无限循环小数属于有理数，故③不符合题意；
④过原点的一条直线可能是正比例函数的图象，可也能是轴或轴，故④不符合题意；
⑤过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故⑤不符合题意；
综上，符合题意的有个，
故选：A．
7．C
解：A、本次接受抽样调查的学生一共有名，故A说法正确，不符合题意；
B、，则，故B说法正确，不符合题意；
C、由于项数为2的人数最多，故这组数据的众数是2项，故C说法错误，符合题意；
D、把这40名学生参加的活动项数按照从低到高排列，处在第20名和第21名的项数都是2项，故中位数为项，故D说法正确，不符合题意；
故选：C．
8．B
解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，
依题意得，
故选：B．
9．A
解：点，在反比例函数的图象上，点，的横坐标分别为1，2，
点的坐标为，点的坐标为，
∵轴，
点，的横坐标分别为1，2，
点，在反比例函数的图象上，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，，
∵的面积与面积和为，
，
解得：．
故选：A．
10．C
解：由题意可知：，，，，
，
，
，
，
设，
则，，
在中，
，
，
解得：，
在中，；
故答案为：C．
11．C
解：过点作于点，
当点在上运动时，的高始终与长度相等，
根据题图可得，，
当时，点在上运动，
，
，
当点在上运动时，的面积与成一次函数关系，
当时，点与点重合，
∴ ，
，
，
在中，，即 ，
解得，
故选：C
12．A
解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
∴，故①正确；
∵四边形为正方形，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∵平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，故④正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
如图，在等腰直角三角形中，平分交于点E，过点E作于点Q，则，
∵，
∴，即，
∴，
∴，即，故⑤错误；
综上，正确的结论是①②③④，
故选：A．
13．
解：数字22150000用科学记数法表示为，
故答案为：．
14．
解：
15．
解：
当时，原式
故答案为：．
16．
解：∵、是方程的两个实根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
17．/0.1
解：列表如下：
第二次 第一次 红1 红2 白1 黄1 黄2
红1 —— 红1红2 红1白1 红1黄1 红1黄2
红2 红2红1 —— 红2白1 红2黄1 红2黄2
白1 白1红1 白1红2 —— 白1黄1 白1黄2
黄1 黄1红1 黄1红2 黄1白1 —— 黄1黄2
黄2 黄2红1 黄2红2 黄2白1 黄2黄1 ——
从表格可以看出所有可能的结果共有20种，符合两红的结果有2种，所以两次取出的小球的颜色为红球的概率为．
故答案为：
18．或
解：以原点O为位似中心，相似比为，把放大，点的对应点的坐标为或，即点的坐标为或，
故答案为：或．
19．
解：连接，，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
即点是的中点，
又，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
20．8
解：如图，连接，
，
，
∵的面积为 12 ，
，
，
∵垂直平分，
，
∵为直线上一动点，
，
，
，
∴周长的最小值为8．
故答案为：8．
21．
解：设第n次跳动至点，
由图知，、、、、、、、、…，
∴可得：点的变化规律为，，，，
∵2022=4×505+2，
∴，即，
故答案为：．
22．或或
解：在正方形中，，，，
，
，
为的中点，
，
，
当为以为腰的等腰三角形时，
如图，当点在的上方时，连接，
若，则，点与点重合，不符合题意，
当，
，
；
如图，当点在的下方，时，连接，，作于点，
设相交于点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当时，
，
；
综上所述，的长为或或．
故答案为：或或
23．(1)见解析
(2)的度数为或．
（1）解：如图即为所求作；
（2）解：如图，连接、，
四边形内接于，，
，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
综上可知，的度数为或．
24．6米
解：如图，过点A作交于点F，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，在中，，
在中，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵．
∴，
解得．
答：树的高度为6米．
25．(1)每辆型车、型车坐满后各载客人、人
(2)共有种租车方案，租辆型车，辆型车最省钱
(3)在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距千米
（1）解：设每辆型车、型车坐满后各载客人、人，由题意得

解得
答：每辆型车、型车坐满后各载客人、人
（2）设租用型车辆，则租用型车辆，由题意得
解得：
取正整数，
，，，
共有种租车方案
设总租金为元，则
随着的增大而减小
时，最小
租辆型车，辆型车最省钱
（3）设，
由题意可知，甲车的函数图像经过；；
∴
解得，
∴,
乙车的函数图象经过，两点．
设当时，．
∴
解得
∴
当时，，
∴，
解得
当时，，
∴
解得
所以，在甲乙两车第一次相遇后，当小时或小时时，两车相距25千米．
26．(1)证明见解析
(2)
(3)
（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）连接，
∵，
∴是直径，
∵，
∴，
∵，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
∴，
即
由，
∴，
∴，
，
∴．
（3）过C点作，垂足为G，连接，
则，
∴
∵是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴设
∴
∴，
∴
∴
∵，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即
∴，
∴，，
∴，
∴的值为．
27．（）证明见解析；（）图②中，；图③中，；（）或
（）证明：连接，交于，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（）如图②，，理由如下：
连接，
同理（）可证，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图③，，理由如下：
连接，
同理（）可证，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）∵，，
∴点在线段上，
如图①，当点在菱形内部或边上时，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在菱形外部时，如图②，
同理可得，
∴；
综上，的长为或，
故答案为：或．
28．(1)
(2)
(3)存在，点坐标为或或
（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
将点B、C代入中，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设，
过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，如图2，
令，
解得，，
∴，
当时，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵的面积为，的面积为，
∴，
∵点D在直线上方抛物线上，
∴，
当时，有最大值，此时；
（3）解：抛物线对称轴为直线，设，抛物线上点，
由（2）可得，，
∵以、、、为顶点的四边形为平行四边形，
∴当为边时，，，即平移得到或，
∵向左移动2个单位长度，再向上移动6个单位长度得到点，
∴向左移动2个单位长度，再向上移动6个单位长度得到点，则，解得，此时；
或向左移动2个单位长度，再向上移动6个单位长度得到点，则，解得，此时；
当为对角线时，对角线与互相平分，
∵中点坐标为，中点坐标为，
∴，解得，此时；
综上所述，存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点坐标为或或．

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