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2025年江苏省泰州市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个数，，，中，无理数的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．下列大模型标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列二次根式计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列事件：
①在足球赛中，弱队战胜强队．
②抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上．
③任取两个正整数，其和大于1
④长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形．
其中确定事件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形与等边三角形是以原点为位似中心的位似图形，面积比为，点、、均在轴上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．已知：如图，四边形是平行四边形，点为上的一点（不与点、重合），连接．
求作：点，使得点在上，且．
甲、乙、丙三名同学的尺规作图方法如下：
甲：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接；
乙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接；
丙：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接．
上述三名同学的作法一定正确的是（ ）
A．甲、乙 B．乙、丙 C．甲、丙 D．甲、乙、丙
二、填空题
7．函数中，自变量的取值范围是 ．
8．因式分解：8a3﹣2ab2= ．
9．石墨烯厚度，．用科学记数法表示： ．
10．已知实数是方程的两根，则 ．
11．如图，在中，，点、、分别是、、的中点，若，则的长
12．在“”的所有字母中，字母“e”出现的频率为 ．
13．如图，正六边形的边长为，以顶点为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为 ．
14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为 ．

15．如图，正方形的边长是4，点是边的中点，点是边上的一个动点，点在边上，且，将沿折叠，点落在点处，点为的中点，则线段长的最小值为 ．
16．如图，点在双曲线（是常数，，）上，点在双曲线上，连接交轴于点，点在轴上，若，，且的面积为1，则的面积为 ．
三、解答题
17．（1）计算：；
（2）化简：．
18．某校为了普及消防安全知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加消防安全知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：根据以上信息，回答下列问题：
学生消防安全知识竞赛得分统计表
平均数 众数 中位数
七年级参赛学生成绩 a 80 c
八年级参赛学生成绩 85.5 b 86
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：______，______
(2)若七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，则______；（用“>”“<”或“=”填空）
(3)结合统计数据进行分析，哪个年级参赛学生的成绩较好．（写出一条即可）
19．小宇和小辉所在的科学社团研究了四种生活现象，先将“A．冰雪融化”“B．镜花水月”“C．光合作用”“D．葡萄酿酒”的图案制成颜色、质地、大小都相同的4张卡片（为物理现象，主要为化学变化），卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．活动规则：小宇先从中随机抽取一张，记录下抽取的卡片，放回洗匀，小辉再从中随机抽取一张．若他们抽取的两张卡片上都是物理现象，则由小宇分享所抽取的卡片的相关科学知识；若他们抽取的两张卡片上都是化学变化，则由小辉分享所抽取的卡片的相关科学知识；其他情况重抽．
(1)小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是______；
(2)这个活动规则对他们双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明你的理由．
20．如图，中，为锐角，．点E为边上一点，点F为平面内一点，且四边形为菱形．
(1)在图1中，请利用无刻度的直尺和圆规，作出菱形（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，且的面积为16，则菱形的边长为_____．
21．“柳庭风静人眠昼，昼眼人静风庭柳”，从左向右读与从右向左读完全相同，这样的诗称为回文诗．在数学中也有这样的一类数．一个自然数从左向右读与从右向左读完全相等，这样的数称为回文数，如121与1221均为回文数．回文数与其各个数位上的数字之和的差值称为回自差，如121的回自差为．
(1)请你直接写出最小的三位回文数，并求其回自差；
(2)任意三位回文数的回自差最大能被哪个正整数整除？请你说明理由；
(3)任意四位回文数的回自差最大能被正整数______整除．
22．小明同学安装的化学实验装置如图所示，安装要求为：试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．实验时，为了保持装置稳定，导气管紧贴水槽壁，延长交的延长线于点（点、、、在一条直线上），测得：，．
(1)求点到的距离；
(2)求铁架台和点的水平距离的长度．（精确到，参考数据：，，）
23．2024年12月26日，中国人工智能公司发布模型，引发了科技行业高度关注．某校积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了A、B两种型号的机器人模型，A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同．
(1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型的数量不超过A型机器人模型数量的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？
24．点 、 是 上的点， 是 的直径，连接、、、，过点 作交 的延长线于 点．
(1)如图1，当时，求证；
(2)如图2，当时，过点作的切线交 的延长线于点 ，，，求的长度．
25．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点、、为抛物线上的动点．
(1)抛物线的对称轴是______；
(2)对于任意的不等于0的实数，的值都为常数，求及该常数的值；
(3)若抛物线经过点，是否存在这样的值，使？若存在，直接写出的取值范围；若不存在，请说明理由．
26．在矩形中，，，点为边上一动点，连接，在右侧作射线于点，点为射线上一点．
(1)如图1，若点在边上，，求的长；
(2)如图2，若点在矩形内部，，连接并延长，交边于点，当时，求的长；
(3)如图3，若点在边上，连接，过点作于点，则的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
《2025年江苏省泰州市中考二模数学试题》参考答案
1．C
解：无理数有，，共2个．
故选：C
2．A
解：选项A找到这样的一条直线，使图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，
选项B、C、D均不能找到这样的一条直线，所以不是轴对称图形，
故选：A．
3．D
解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、和不是同类二次根式，无法合并，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D
4．B
解：确定表示在一定条件下，必然出现或不可能出现的事情．因此，
A．在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，故本选项错误；
B．抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上是随机事件，故本选项错误；
C．任取两个正整数，其和大于1是必然事件，故本选项正确；
D．长为3cm，5cm，9cm的三条线段能围成一个三角形是不可能事件，故本选项正确．
∴确定事件有2个．故选B．
5．C
解：∵正与正是以原点O为位似中心，且面积比为，
∴，且相似比为．
∵点C的坐标为，
∴点E的坐标为，即．
故选：C．
6．C
解：
甲：如图所示，此时，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故甲作法正确，符合题意；
乙：如图所示，此时，
四边形不是平行四边形，
∴与不平行，
故乙作法错误，不符合题意；
丙：如图所示，此时，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故丙作法正确，符合题意；
故选：C．
7．
解：由题意得：，
∴，
故答案为：．
8．2a（2a+b）（2a﹣b）．
解：8a3-2ab2=2a（4a2-b2）
=2a（2a+b）（2a-b）．
故答案为：2a（2a+b）（2a-b）．
9．
解：，
即．
故答案为：．
10．
解： 实数是方程的两根，
故答案为：
11．
解：∵在中，是的中点，
∴，
∵点、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
12．
解：从“”中随机抽取一个字母，抽中字母e的频率为；
故答案为：．
13．
解：延长交于，如图所示：
六边形是正六边形，，
，
，
，
故答案为．
14．48
解：如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
设，，
由题意得：，
解得：，
∴，
，
∴菱形的面积；
故答案为：48．
15．/
解：连接，过点作于点，
∵正方形的边长是4，点是边的中点，
∴，，
由折叠得：，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
当点三点共线时，取得最小值，为，
故答案为：．
16．/
解：过点作轴的垂线，垂足为，连接，则，
∵，，轴，轴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：或（舍），
故答案为：．
17．；
解：（1）
；
（2）
．
18．(1)85；86.5
(2)
(3)见解析
（1）解：由图可得，八年级的10个数据中出现次数最多的是85，
，
将七年级的10个数据进行排序：74，80，80，80，86，87，88，89，93，98，
，
故答案为：85；86.5；
（2）解：由图可得，七年级的成绩波动程度较大，
方差越小，数据越稳定，
，
故答案为：；
（3）解：由（1）得，七年级的10个数据为：74，80，80，80，86，87，88，89，93，98，
平均数．
七年级参赛学生成绩的平均数．
∵七年级和八年级的平均成绩相同，且七年级的中位数比八年级的中位数大，所以七年级参赛学生的成绩较好．
19．(1)
(2)公平，理由见解析
（1）解：小宇随机抽取一张卡片，正面图案是化学变化的概率是；
故答案为：；
（2）解：公平，理由如下：
将冰雪融化、镜花水月、光合作用、冰雪消融、葡萄酿酒分别用表示，列表如下：
小辉小宇 A B C D
A
B
C
D
由表可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽取的两张卡片上都是化学变化的有4种，他们抽取的两张卡片上都是物理变化的有4种．
（抽取的两张卡片正面图案均为化学变化），
（抽取的两张卡片上都是物理变化），
故这个规则对他们双方公平是公平的．
20．(1)见解析
(2)
（1）如图中，四边形即为所求；
（2）过点作于点．
∵的面积，
∴，
∴，
设，则有，
解得．
答：菱形的边长为．
21．(1)101；99
(2)任意三位回文数的回自差最大能被9整除，理由见解析
(3)27
（1）解：由题意得，最小的三位回文数为，
∴最小的三位回文数的回自差为；
（2）解：任意三位回文数的回自差最大能被9整除，理由如下：
设一个三位回文数为，其中a、b都为不超过9的自然数，则该三位回文数为，
∴该三位回文数的回自差为，
∵a、b都是整数，
∴也是整数，
∴该三位回文数的回自差一定是9的倍数，
∴任意三位回文数的回自差最大能被9整除；
（3）解：设该四位回文数的千位数字为x，百位数字为y，则该四位回文数为，
∴该四位回文数的回自差为，
∵x、y都是整数，
∴是整数，
∴该四位回文数的回自差一定是27的倍数，
∴任意四位回文数的回自差最大能被27整除。
22．(1)
(2)
（1）解：如图，过点B作，垂足分别为H，P，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
即点到的距离为；
（2）解：在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即铁架台和点的水平距离的长度为．
23．(1)A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元
(2)购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元
（1）解：设B型机器人模型单价为x元，则A型机器人模型单价为元．
根据题意，得，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
(元)．
答：A型机器人模型单价为500元，B型机器人模型单价为300元；
（2）解：设购买A型机器人m台，则购买B型机器人台．
根据题意，得，
解得．
设共花费w元，则，
∵，
∴w随m的减小而减小，
∵，
∴当时，w值最小．
，
(台)．
答：购买A型机器人10台、B型机器人30台时花费最少，最少花费是11200元．
24．(1)见解析
(2)
（1）∵， 是 的直径，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
（2）解：∵
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵是的切线
∴
又∵是直径，
∴
∴
∴
在中，，，
∴
∴
即
∴
∴
25．(1)直线
(2)，
(3)存在，且或且
（1）解：，
∴对称轴为直线，
故答案为：直线；
（2）解：将点、代入抛物线，
则，
两式相加得：，
∵对于任意的不等于0的实数，的值都为常数，
∴，
解得：，
此时；
（3）解：存在，理由如下：
将代入抛物线，
则，
解得：，
∴抛物线表达式为：，
令，则，
解得：，
∴，
∵与共底，
∴当时，点到轴的距离大于点到轴的距离，
即，
∴，
，
，
，
，
，
，
∴不等式化为：①或②，
对于①化为或，
解得：，
而，
∴，
∴且；
对于②化为或
解得：，
而，
∴，
∴且，
综上：且或且．
26．(1)2.5
(2)
(3)存在，
（1）解：∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
如图 ，过点F作于点M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
即，
解得：，（舍），
∴；
（3）解：的长度是存在最小值，连接，
设，
由（1）得，
∴，
∴
∴，
∵，
∴当时，y有最大值，
∵，
∴当时，有最大值，为，
∵，
∴
∴取最大值时，有最小值为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的性质等知识点，掌握基本图形“一线三等角”相似是解题的关键．

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