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从算术到方程，是数学的进步！（1）
从具体数的运算到数与字母一起参与运算是数学思维的一次大飞跃！
与本题相关的量：①已知数 ②未知数（要求的未知量）③参数（不要求的未知量）
1．如图所示，点，分别在，上，，，，，写出，，的数量关系.
2．如图，AB∥DE，BC⊥CD，设∠ABF＝α，∠CDE＝β，求α与β之间的数量关系
3.某同学在一次数学实践活动课中将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠如图折痕分别为，，若，且，求的度数
4．某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线AB，CD之间，其中点E，F在直线AB上，点H，N在直线CD上，∠EGH＝∠FMN＝90°，∠GEH＝45°，∠MFN＝30°．记∠AEG＝∠1，∠GHC＝∠2，∠MND＝∠3，∠BFM＝∠4．
（1）比较大小：∠1+∠2 　 　∠3+∠4．（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）如图2，∠EFN的平分线FP交直线CD于点P，记∠EHD＝α（0°＜α＜90°），∠FPN＝β．现保持三角板EGH不动，将三角板FMN从如图位置向左平移，若在运动过程中MN与EH始终平行，求α与β满足的数量关系
5.已知，直线PQ∥m∥n，A，B，C分别是直线PQ，m，n上的点，连结AB，AC，
若∠QAC为锐角，点B在∠CAQ的内部．
（1）如图1，若∠1＝40°，∠2＝35°，求∠3的度数；
（2）如图2，以AB为边向左侧作∠BAD＝60°，与直线n交于点D（点D在点C的左侧），作∠ADC的平分线DE，交AC于点E，连结EB并延长，交直线PQ于点F，记EF与直线m的夹角为β，∠EDC＝α．若∠ABF＝β．
①求α与β的数量关系；②求∠FEC﹣∠AED的值．
6．两张直角三角形纸片如图1摆放，点D在BC上，已知∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E．（1）判断AC与BE的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，分别作∠ACB与∠BED的平分线交于点F，求∠F的度数．
（3）如图3，点P，G分别在AC，BD上，连PG，作∠GPC的平分线交BE于点Q，点H是射线PQ上一点，连BH，且∠HBC＝2∠HBQ，设∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ．请画出图形，求α，β，θ之间的数量关系．
1.【解析】如图所示，过B作，则根据，可得，
∵，∴度，∵，∴度，
∴，即，
2.解：过C作CM∥AB，∵AB∥DE，∴CM∥DE，∴∠ABC＝∠BCM，
∠MCD＝∠EDC＝β，∵BC⊥CD，∴∠BCM＝90°﹣∠MCD＝90°﹣β，
∴∠ABC＝90°﹣β，∵∠ABC+∠ABF＝180°，∴90°﹣β+α＝180°，∴α﹣β＝90°．
解：由折叠得：∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠1，∵∠BCE＝3∠DCE，
∴∠BCE＝3∠1，∵∠DCE+∠1+∠BCE＝180°，∴5∠1＝180°，
解得：∠1＝36°，∵BE∥CD，∴∠1＝∠EBC＝36°，
∴∠EBF＝180°﹣∠EBC＝144°，∴∠ABE＝∠EBF＝72°，
4．解：（1）根据“箭头模型”得：∠1+∠2＝∠G＝90°，∠3+∠4＝∠M＝90°，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，故答案为：＝；
（2）∵AB∥CD，EH∥MN，
∴∠AFP＝∠FPD＝β，∠MND＝∠EHD＝α，
由“箭头模型”得∠BFM＝90°﹣∠MND＝90°﹣α，
∴∠AFN＝180°﹣30°﹣（90°﹣α），＝60°+α，
∵FP平分∠AFN，
∴∠AFP＝∠AFN＝30°+＝β，∴30°+＝β．
5．解：（1）∵∠1＝40°，∠2＝35°，PQ∥m∥n，∴∠QAB＝∠2＝35°，
∴∠3＝∠QAC＝∠1+∠2＝75°；
（2）①∵PQ∥m，∴∠FAB+2β＝180°，
∵PQ∥n，∴∠FAB+60°+2α＝180°，即60°+2α﹣2β＝0，∴β﹣α＝30°；
②如图，过E作n的平行线MN，
则∠AEN＝∠CEM，∵∠FEM＝β，∠DEN＝α，
∴∠FEC﹣∠AED＝（β+∠CEM）﹣（α+∠AEN）＝β﹣α＝30°．
6．解：（1）AC∥BE，理由如下：
∵∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠E，∴∠C＝∠DBE，∴AC∥BE；
（2）∵∠A＝∠BDE＝90°，∠ABC＝∠DEB．
∴∠ACB+∠ABC＝90°＝∠ACB+∠DEB，
∵∠ACB与∠BED的平分线交于点F，
∴∠ACF+∠BEF＝（∠ACB+∠DEB）＝45°，
如图，过F作FK∥AC，
∵AC∥BE，∴AC∥FK∥BE，∴∠KFC＝∠ACF，∠KFE＝∠BEF，
∴∠CFE＝∠KFC+∠KFE＝∠ACF+∠BEF＝45°；
（3）如图，当H在线段PQ上，
设∠HBC＝2∠HBQ＝2x°，则∠HBQ＝x°，
由（2）的结论可得：∠BGP＝∠CPG+∠QBG，∠BHP＝∠CPH+∠QBH，
∵∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ，∠GPC的平分线交BE于点Q，
∴∠CPQ＝∠GPQ＝β，∴，整理可得：α＝3θ﹣β；
如图，当H在线段PQ的延长线上时，
设∠HBC＝2∠HBQ＝2x°，则∠HBQ＝∠CBQ＝x°，
∵∠BGP＝α，∠GPQ＝β，∠PHB＝θ，∠GPC的平分线交BE于点Q，
∴∠CPQ＝∠GPQ＝β，
同理可得：∠BGP＝∠CPG+∠QBG，
∵AC∥BE，∴∠CPQ＝∠PQB＝β，
而∠BHP+∠QBH+∠BQH＝180°＝∠BQH+∠PQB，
∴∠BHP+∠QBH＝∠PQB，
∴，整理可得：α＝3β﹣θ；综上：α＝3θ﹣β或α＝3β﹣θ．
试卷第1页，共3页从算术到方程，是数学的进步！（2）
从具体数的运算到数与字母一起参与运算是数学思维的一次大飞跃！
与本题相关的量：①已知数 ②未知数（要求的未知量）③参数（不要求的未知量）
1.利用两块完全相同的长方形木块测量一张桌子的高度，首先将木块按图一方式放置，再交换两木块的位置，
按图二方式放置，测量数据如图，求桌子的高度.
2.某校举办“迎冬奥会“学生书画展览，现要在长方形展厅中划出3个形状、大小完全一样的小长方形(图中阴影部分)区域摆放作品．（1）如图1，若大长方形的长和宽分别为45米和30米，设小长方形的长为x，宽为y，求出x和y的值． （2）如图2，若大长方形的长和宽分别为a和b．
①求出1个小长方形周长与大长方形周长之比；
②若作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ，求x和y的数量关系．
3.一个长方形，它被分割成4个大小不同的正方形①②③④和一个长方形⑤（如图）
证明：①若已知小正方形③的周长，就能求出大长方形的周长；
②若已知小长方形⑤的周长，就能求出大长方形的周长.
4．某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵：如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，求原长方形彩旗队阵中有同学多少人？．
5．如图，将一张矩形纸片按如图所示分割成6块，其中有两块是边长为x的正方形，一块是边长为y的正方形（0＜x＜y）．（1）观察图形，代数式2x2+3xy+y2可因式分解为 　 　；
（2）图中阴影部分面积之和记作S1，非阴影部分面积之和记作S2．
①用含x，y的代数式表示S1，S2；②若，求的值．
6．如图所示，长方形中放入5张长为x，宽为y的相同的小长方形，其中A，B，C三点在同一条直线上．若阴影部分的面积为54，大长方形的周长为42，求一张小长方形的面积．
7．现有甲、乙、丙三张不同的正方形纸片，边长如图．将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一矩形中，记图中阴影部分周长为，面积为；图中阴影部分周长为，面积为．若，则下列正确的是（ ） A． B． C． D．
1. 解：设桌子高度为 ，长方形木块的长和宽分别为 ，
根据题意，可列方程组 两式相加得： 答：桌子高度 .
2.. （1）解：根据题意得 ，……得
解：① ①+②，得3(x+y)=a+b，∴
∴1个小长方形周长与大长方形周长之比是 即1个小长方形周长与大长方形周长之比是1:3；
②∵作品展览区域(阴影部分)面积占展厅面积的 ∴3xy= ab
∴3xy= (2x+y)(x+2y)，∴(2x+y)(x+2y)=9xy化简，得(x-y)2=0∴x-y=0∴x=y
3.证明：①记正方形①②③④的边长分别为a、b、c、d，c=a+b,d=a+c=a+a+b=2a+b,
大长方形的周长=2(2a+2b+b+2a+b)=8a+8b=8c,
②小长方形⑤的周长=2[d+a+(b-a)]=2(a+b+d-a),d-a=c=a+b,小长方形⑤的周长=2(2a+2b)=4a+4b
4．解：设原长方形彩旗队阵有同学n人，
由已知得n+16和n﹣16均为完全平方数，设n+16＝a2，n﹣16＝b2，
则a2﹣b2＝32，即（a+b）（a﹣b）＝32，
由a+b与a﹣b的奇偶性相同，且a，b都为自然数，可得
，解得，所以n＝a2﹣16＝65（人），
5．解：（1）观察图形可知，2x2+y2 表示空白部分的面积，3xy表示阴影部分的面积，
∴2x2+3xy+y2表示矩形纸片的面积，而矩形纸片的长为2x+y，宽为x+y，
∴2x2+3xy+y2 可因式分解为（2x+y）（x+y）．故答案为：（2x+y）（x+y）；
（2）①观察图形可得：S1＝xy+xy+xy＝3xy，；
②∵，∴3xy﹣2x2﹣y2＝2x2﹣xy，
整理，得4x2﹣4xy+y2＝0，∴（2x﹣y）2＝0，∴2x﹣y＝0，∴y＝2x，
∴ ＝＝＝1．
6．解：由题意易得大长方形的长为2x+y、宽为x+2y，
∵大长方形的周长为42，∴2x+y+x+2y＝＝21，整理得x+y＝7，
又∵阴影部分的面积为54，∴（2x+y）（x+2y）﹣5xy＝54，整理得x2+y2＝27，
将x+y＝7两边平方，得x2+2xy+y2＝49∴27+2xy＝49解得xy＝11即一张小长方形的面积为11．
7．解：由图可得，，，
由图得，，，
∴，
，∵，∴，
即，∵,∴，
试卷第1页，共3页从算术到方程，是数学的进步！（3）
从具体数的运算到数与字母一起参与运算是数学思维的一次大飞跃！
1.将自然数排列在多个同心圆或多个连环圆上，使各圆周上的数之和相同，各条直径上的数之和也相同，就得到了幻圆．著名的同心幻圆有杨辉的攒九图和丁易东的太衍五十图．如图是一个简单的二阶幻圆模型，要求：
①内、外两个圆周上的四个数之和相等；②外圆两直径上的四个数之和相等．求图中两空白圆圈内的数字．

2．如图1，“幻方”源于我国古代夏禹时期的“洛书”．把“洛书”用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，的值．
3.小堡在拼图时，发现个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小晧看见了，说：“我也来试一试．”结果小晧七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．求每个小长方形的面积．
4．小明在某商店购买商品A，B共三次，只有一次购买时，商品A，B同时打折，其余两次均按商品的原价购买，三次购买商品A，B的数量及费用如表：
商品A的数量/个 商品B的数量/个 总费用/元
第一次 6 5 1140
第二次 3 7 1110
第三次 9 8 1062
若商品A，B的折扣相同，求折扣．
5.甲、乙两位采购员同时去一家饲料公司买两次饲料，两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料，购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克， （1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？ （2）谁的购货方式更合算？
已知x1，x2，x3…x520中每个数只能取﹣1，0，2中的一个，且满足，
求的值．
7.根据以下素材，探索完成任务
素材1 某中学701班自制一款组合式的木质收纳架．如图所示，已知单个收纳架由2个横杆和5个竖杆组成，横杆长为60厘米，竖杆长为32厘米．
素材2 可提供的制作原料是每根长为160厘米的木条．考虑到所制作的收纳架的牢固性，规定单根杆件的用料不能拼接而成．
解决问题
任务（一） 拟定裁切方案 一根160厘米长的木条有以下裁剪方法．（余料作废） 方法①：当只裁剪32厘米的竖杆时，最多可裁剪 　 　根； 方法②：当先裁剪下1根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆 　 　根； 方法③：当先裁剪下2根60厘米长的横杆时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杆 　 　根．
任务（二） 核算材料费用 班委会计划在教室墙壁上安装5个收纳架，若用任务（一）中的方法②和方法③进行裁剪，则裁剪多少根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的用料？
任务（三） 评价安装工效 同学们在安装过程中发现：单位时间内可以安装m根竖杆或（7﹣m）根横杆．任务（二）中的5个收纳架安装完毕时，发现安装竖杆所需的时间与安装横杆所需的时间相同，求m的值．
8．某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图所示的长方形和正方形纸板长方形的宽与正方形的边长相等加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）
（1）若该厂购进正方形纸板张，长方形纸板张，问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完；
（2）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值．
9.请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三．
如何合理搭配消费券？
素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺·你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了_______张C型的消费券，此时的实际消费最少为_______元．
任务二 若小明一家用13张型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此过消费券的搭配方案．
从算术到方程，是数学的进步！（3）
从具体数的运算到数与字母一起参与运算是数学思维的一次大飞跃！
1.【详解】解：设外圆白圆圈内的数字为，内圆白圆圈内的数字为外圆两条直径上的四个数之和相等，
①，
内外两个圆周上的四个数之和相等，②，
整理得：，解得：，外圆白圆圈内的数字为2，内圆白圆圈内的数字为9．
2.【详解】由题意得：
，解得：
3.解：设小长方形的长是，宽是，由题意得：，解得：，
小正方形的长为，宽为，小长方形的面积为，
答：每个小长方形的面积是．
4．【解答】解：∵第三次购物购买数量最多，总费用最少，
∴第三次购物时商品A，B同时打折．
设商品A的原价为x元，商品B的原价为y元，
依题意得：，解得：，
∴商品A的原价为90元，商品B的原价为120元．
设第三次购物时，商品A，B打m折销售，
依题意得：（90×9+120×8）1062，解得：m＝6，
∴若商品A，B的折扣相同，则折扣是六折．
5. （1）解：∵两次购买的饲料单价分别为m元/千克和n元/千克（m，n是正数，且m≠n），
∴甲两次购买饲料的平均单价为 （元/千克），
乙两次购买饲料的平均单价为 （元/千克）；
（2）解：甲、乙两种饲料的平均单价的差是：

由于m、n是正数，因为m≠n时， 也是正数，
即 因此乙的购货方式更合算．
6．【解答】解：设有m个﹣1，n个2，则有（520﹣m﹣n）个0，
，解得：，∴原式＝﹣m+8n＝﹣1×300+8×100＝500．
7.解：任务一：方法①：160÷32＝5（根），
当只裁剪32厘米长的竖杠时，最多可裁剪5根．
方法②：，
当先裁剪下1根60厘米长的横杠时，余下部分最多能裁剪32厘米长的竖杠3根．
方法③：，
当先裁剪下2根60厘米长的横杠时，余下部分最多能 裁剪32厘米长的竖杠1根．
故答案为：5，3，1；
任务二：设按方法②需裁剪x根160厘米长的木条，按方法③需裁剪y根160厘米长的木条，
依据题意得：，解得：，
答：按方法②需裁剪8根160厘米长的木条，按方法③需裁剪1根160厘米长的木条，才能刚好得到所需要的相应数量的用料．
任务三：依衣据题意得 ，，25（7﹣m）＝10m，175﹣25m＝10m，
﹣35m＝﹣175，解得：m＝5，经检验，m＝5是该方程的解．
8.【答案】（1）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
解得：．
答：加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，恰好能将购进的纸板全部用完．
（2）解：设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个，
根据题意得：，
．、为正整数，为的倍数，又，
满足条件的为：，，，．
答：在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值为，，，．
9.【详解】解：任务一：用C型的消费券数量为：，
∴满减前至少消费（元）．∴满减后实际消费（元）．
任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券张，
由题意可得：，解得．∴C型的消费券张．
答：A型的消费券4张，B型的消费券6张，则c型的消费券3张；
任务三：
①设小明一家共使用A型的消费券a张，B型的消费券b张，则a，b都是正整数，， ，
A、B型：，∴．∵a，b都是正整数，，无符合题意的整数解；
②设小明一家共使用A型的消费券a张，C型的消费券c张，则a，c都是正整数，， ，
A、C型：，∴．∵a，c都是正整数， ，∴或．
∴付款为：（元）或（元）．
③设小明一家共使用B型的消费券b张，C型的消费券c张，则b，c都是正整数，， ，
B、C型：，∴．
∵b，c都是正整数， ，∴，∴付款为：（元），
综上：付款最少方案为：使用10张A型券，4张C型券．
试卷第1页，共3页

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