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江西省赣州市全南中学2024 2025学年高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知（ ）
A．0 B．2x C．6 D．9
2．在等差数列中，是其前n项和．若，则公差（ ）
A．2 B．4 C．1 D．0
3．若数列为等比数列，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．抛物线在点处的切线方程为（ ）.
A． B． C． D．
5．设是等差数列的前n项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的等差数列，如数列2，4，7，11，16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2，3，4，5，新数列2，3，4，5为等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其中前几项分别为2，5，10，17，26，37，记该数列的后一项与前一项之差组成新数列，则（ ）
A．15 B．101 C．21 D．19
8．我们约定：若两个函数的极值点个数相同，并且图象从左到右看，极大值点和极小值点分布的顺序相同，则称这两个函数的图象“相似”．已知，则下列给出的函数其图象与的图象“相似”的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列数列中，是等差数列的是（ ）
A．1，4，7，10 B．
C． D．10，8，6，4，2
10．定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数在上单调递减 B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极大值
11．等比数列和函数满足，，则以下数列也为等比数列的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知是等差数列，且，则的通项公式 .
13．函数的极值点为，则实数 .
14．无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意，，则k的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．求函数的单调区间.
16．已知等差数列的前n项和为，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求前n项和.
17．已知二次函数，其图象过点，且．
（1）求的值；
（2）设函数，求曲线在处的切线方程．
18．已知数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
19．拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础.其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得.已知函数，数列满足，且.
（1）求，；
（2）证明：数列为等比数列；
（3）若数列的前n和为，且设，问：是否存在实数p，q，使得对任意，总有成立？
参考答案
1．【答案】B
【详解】因，则.
故选B
2．【答案】A
【详解】等差数列中，是其前n项和．
若，
则公差.
故选A.
3．【答案】A
【详解】由题意知，数列为等比数列，
当时，得，故充分性成立；
当时，，解得，故必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选A．
4．【答案】B
【详解】由，可得，所以，又切点为，
所以切线方程为，化简得.
故选B.
5．【答案】A
【详解】由是等差数列的前n项和，则成等差数列，
因为，，所以，，
所以，所以，所以.
故选A.
6．【答案】A
【详解】解：因为，所以，
所以为偶函数，即图象关于轴对称，则排除，
当时，，故排除C，
，当时，，所以，即在上单调递增，故排除D；
故选．
7．【答案】C
【详解】因为数列的前几项为，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以，则.
故选C
8．【答案】C
【详解】，则，
令，则，
如图，作出函数的图象，
由图可知函数的图象有两个交点，
即函数有两个零点，且，
令，则或，令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值点为，极小值点为.
对于A，函数在上单调递减，在单调递增，
所以函数有极小值点，无极大值点，故A选项不符；
对于B，函数在上单调递增，在单调递减，
所以函数有极大值点，无极小值点，故B选项不符；
对于C，，
当或时，，当时，，
所以函数的极大值点为，极小值点为，故C选项符合题意；
对于D，，
则函数的极小值点为，极大值点为，故D选项不符.
故选C.
9．【答案】ABD
【详解】根据等差数列的定义，可得对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确；
对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确；
对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误；
对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确．
故选ABD.
10．【答案】AD
【详解】由函数的导函数的图象可知，
当时，，所以在上单调递增，故B错误；
当时，，所以在上单调递减，故A正确；
所以函数在处取得极大值，不是极小值点，故C错误，D正确.
故选AD.
11．【答案】AC
【详解】由题意，数列为等比数列，设其公比为，则.
对于A，，则，
所以，所以数列为公比为的等比数列，故A正确；
对于B，当为奇数时，不为整数，无意义，故B错误；
对于C，，则，
所以数列为公比为的等比数列，故C正确；
对于D，，则，
因为不为常数，故D错误.
故选AC.
12．【答案】
【详解】设等差数列的公差为，
由，
因代入解得，
故.
13．【答案】
【详解】，，得，
此时.
当时,内单调递减；
时，，内单调递增.
在处取得极小值，符合题意.
14．【答案】4
【详解】试题分析：当时，或；当时，若，，于是，
若，，于是，
若，，于是，
若，，于是，
所以当时，，
所以要涉及最多的不同的项数列可以为：2,1， 1,0,0…，从而可看出.
【名师点睛】从研究与的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列由k个不同的数组成”和“k的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.
15．【答案】单调递增区间为；单调递减区间为．
【详解】函数的定义域为．
．
因为，所以．
由，解得；由，解得
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为是等差数列，设其公差为，
由题知，解得，
所以的通项公式为.
（2）由题知，
所以.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题意可得，即为，
又，可得，
解得．
（2）由（1）知，
则，
则曲线在处的切线斜率为，
又∵，∴切点为，
则曲线在处的切线方程为，即为．
18．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由已知可得，
则，
当时，，
所以.
（2）由（1）可知, ，
则，
，
两式作差相减，可得：
，
则.
19．【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）存在，
【详解】（1）根据题意，函数，则，
由，可得，
即，
化简为，
由，所以；
（2）由，可得，
即，所以数列为首项为3，公比为3的等比数列；
（3）由（2）可得，则，
所以，
则
，
所以存在实数，满足题意.

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