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陕西省咸阳市礼泉县2024-2025学年高二下学期期中数学试题
一、单选题
1．（ ）
A．14 B．16 C．18 D．24
2．有4件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A．12 B．32 C．44 D．60
3．已知离散型随机变量服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．随机变量与满足，若，则（ ）
A．8 B．5 C．4 D．2
5．已知，则（ ）
A． B．0 C．1 D．243
6．平面直角坐标系上的一个质点从原点出发，每次向右或向上移动1个单位长度，则移动8次后，质点恰好位于点的移动方式有（ ）
A．56种 B．70种 C．210种 D．1680种
7．若的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中含项的系数（ ）
A． B．252 C．7 D．8
8．某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（ ）
A．72种 B．36种 C．24种 D．18种
二、多选题
9．下列有关排列数 组合数的等式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列问题中，属于组合问题的是（ ）
A．10支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B．10支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C．从10名员工中选出3名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D．从10名员工中选出3名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法
11．银川动植物园举行花卉展览，某花卉种植园有3种兰花，3种三角梅共6种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，6种精品花卉将全部去展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是（ ）
A．若A展馆需要3种花卉，有20种安排方法
B．若“绿水晶”去A展馆，有1+种安排方法
C．若“绿水晶”不去A展馆，有31种安排方法
D．若其中2种三角梅不能去往同一个展馆，有40种安排方法
三、填空题
12．3名毕业生分别从4家公司中选择一家实习，不同选法的种数为 .
13．某校学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好乒乓球，的同学爱好羽毛球或乒乓球.在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为 .
14．有件商品的编号分别为，它们的售价（元），且满足，则这件商品售价的所有可能情况有 种.
四、解答题
15．已知展开式的二项式系数和为64.
(1)求n的值；
(2)若展开式中的常数项为20，求m的值.
16．某职业学校外贸专业高二（1）班、（2）班、（3）班分别有7，9，10人参加技能兴趣选拔赛．
(1)如果选一人当组长，那么有多少种不同的选法？
(2)如果老师任组长，每班选一名副组长，那么有多少种不同的选法？
(3)如果推选两名学生参赛，要求这两人来自不同的班级，那么有多少种不同的选法？
17．某次学校文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单：
(1)若3个舞蹈节目相邻，且不排开头和结尾，则有多少种不同的排法？
(2)若2个唱歌节目相邻，3个舞蹈节目也相邻，且两个小品节目不相邻，则有多少种不同的排法？
(3)由于同学们参与积极，需要在确定好的节目单上新增两个节目：一个诗歌朗诵和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，共有多少种不同的排法？
18．甲参加一项闯关挑战比赛，共设有3个关卡，分别为，挑战成功分别积2分 4分 6分．根据他以往挑战的经验，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，关卡挑战成功的概率为，各个关卡之间相互独立．闯关规则为：闯关前先选择闯关搭配（每个关卡最多只能挑战一次，闯关不分先后顺序），可随机选择挑战1关 2关或3关，一旦选定，需要全部闯关成功才能积分，选择搭配的闯关中若有一关失败则积分为0分，最后以积分最高者胜．
(1)求甲最后积分为6分的概率；
(2)记甲最后的积分为随机变量，求的分布列和期望．
19．学习小组设计了如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有2个红球和8个白球，乙袋中有6个红球和4个白球．从这两个袋子中选择1个袋子，再从该袋子中随机摸出1个球，称为一次摸球．多次摸球直到摸出白球时试验结束．假设首次摸球选到甲袋或乙袋的概率均为．
(1)求首次摸球就试验结束的概率；
(2)在首次摸球摸出红球的条件下．
①求选到的袋子为乙袋的概率；
②将首次摸球摸出的红球放回原来袋子，继续进行第二次摸球时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球，请通过计算，说明选择哪个方案使得第二次摸球就试验结束的概率更大．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A A C B A B ACD AC
题号 11
答案 AC
1．C
根据排列数、组合数公式计算可得.
【详解】.
故选：C
2．B
利用分步乘法计数原理计算即可求解.
【详解】由分步乘法计数原理可得不同的配法种数为：.
故选：B.
3．A
根据两点分布可得，再结合已知即可得.
【详解】离散型随机变量服从两点分布，则，
又，所以.
故选：A.
4．A
借助方差性质计算即可得.
【详解】.
故选：A.
5．C
令，即可求解.
【详解】由，令，代入可得，
故选：C
6．B
应用组合数公式列式求解.
【详解】由题可知，该质点向右移动4个单位长度，向上移动4个单位长度，共有种移动方式．
故选：B
7．A
根据二项式系数的最值可得，再结合二项展开式的通项运算求解即可.
【详解】因为二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，
则，解得，
可得的展开式的通项为，
令，解得，
所以含项的系数为.
故选：A.
8．B
先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解；
【详解】两名语文老师由种分配方程；
数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分，
或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有,
所以不同的分配方案有，
故选：B
9．ACD
根据组合数和排列数的公式逐个判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B, 因为，所以，故B错误；
对于C, 因为，所以，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：ACD
10．AC
区分一个具体问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序.有顺序就是排列问题；无顺序就是组合问题,.
【详解】A是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.；
B是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、乙队获得冠军是不一样的，存在顺序区别；
C是组合问题，因为3名员工参加相同的活动，没有顺序区别；
D是排列问题，因为选的3名员工参加的活动不相同，存在顺序区别，
.故选：AC.
11．AC
A选项，利用组合知识直接得到结果；B选项，按照A展馆花卉的数量进行分类讨论，相加得到答案；CD选项，与B选项同理可得.
【详解】对于A，从6种花卉选择3种，故A展馆需要3种花卉，有种安排方法，故A正确；
对于B，若“绿水晶”去A展馆，若A展馆只有1种花卉，则有1种方法，
若A展馆有2种花卉，则有种花卉，若A展馆有3种花卉，则有种方法，
若A展馆有4种花卉，则有种花卉，若A展馆有5种花卉，则有种方法，
故共有种安排方法，故B错误；
对于C，若“绿水晶”不去A展馆，若A展馆只有1种花卉，则有种方法，
若A展馆有2种花卉，则有种花卉，若A展馆有3种花卉，则有种方法，
若A展馆有4种花卉，则有种花卉，若A展馆有5种花卉，则有种方法，
故共有种安排方法，C正确；
对于D，以A展馆为例，若A展馆只有1种花卉，则2种三角梅选择1个，有种方法，
若A展馆有2种花卉，则2种三角梅选择1个，再从剩余的4种花卉中选择1个，有种方法，
若A展馆有3种花卉，则2种三角梅选择1个，再从剩余的4种花卉中选择2个，有种方法，
A展馆有4种花卉，则2种三角梅选择1个，再从剩余的4种花卉中选择3个，有种方法，
A展馆有5种花卉，则2种三角梅选择1个，剩余的4种花卉均给A展馆，有种方法，
综上，共有种方法，故D错误.
故选：AC.
12．64
按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】依题意，每名毕业生都有种选择，
按照分步乘法计数原理可得不同选法的种数为种.
故答案为：
13．/
先算出同时爱好羽毛球和乒乓球的概率，利用条件概率的知识求解.
【详解】依题意同时爱好羽毛球和乒乓球的概率为：，
设“该同学爱好羽毛球”为事件，“该同学爱好乒乓球”为事件.
则,,
所以.
故答案为：.
14．
利用组合数中允许重复的原则，分四类讨论，再由加法原理和组合数计算即可.
【详解】分四类讨论：
①当时，有6种情况；
②当时，
若，有5种选法；
若，有4种选法；
若，有3种选法；
若，有2种选法；
若，有1种选法；
由加法原理可得共有15种；
③当时，
若，选择有5种选法；
若，选择有4种选法；
若，选择有3种选法；
若，选择有2种选法；
若，选择有1种选法；
由加法原理可得共有15种；
④当时，有种，
综上，共有种.
故答案为：56.
15．(1)6；
(2)1.
（1）由二项式系数和定义可直接得n的值；
（2）由（1）中的n的值求出展开式中的通项式，令的指数等于0，求出通项式中的，带回通项式求得的值.
【详解】（1）因为展开式的二项式系数和为，所以；
（2）因为展开式中的通项公式为，整理得，
令，得，
则，解得.
16．(1)
(2)
(3)
（1）利用分类加法计数原理计算即可；
（2）利用分步乘法计数原理计算即可；
（3）利用分类加法与分步乘法计数原理计算即可.
【详解】（1）分三类：
选出的是高二（1）班的学生，有7种选法；
选出的是高二（2）班的学生，有9种选法；
选出的是高二（3）班的学生，有10种选法．
由分类加法计数原理，得不同的选法种数为．
（2）每班选一名副组长为一步，所以共有三步．
由分步乘法计数原理，得不同的选法种数为．
（3）分三类：高二（1）班和高二（2）班，
高二（1）班和高二（3）班，
高二（2）班和高二（3）班．
每类又分两步，故不同的选法种数为．
17．(1)
(2)
(3)
（1）利用捆绑法和特殊元素优先法即可求解；
（2）利用捆绑法和插空法即可求解；
（3）利用插空法和分类加法计数原理即可求解.
【详解】（1）将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法.
再将剩下4个节目全排列，有种排法.
最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，
有3种排法，故共有种排法；
（2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法.
再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法.
则共有种排法.
（3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中.
若两个节目放入同一个空，有种排法，
若两个节目不放入同一个空，有种排法，
故共有种排法.
18．(1)
(2)分布列见解析，数学期望为
（1）求出甲随机搭配的样本空间、样本点，设“甲积分为6分”，包含两种组合且均成功，根据相互独立事件、互斥事件的概率加法公式计算可得答案；
（2）求出的所有可能取值和相应的概率求出分布列、期望即可.
【详解】（1）根据题意，甲随机搭配的样本空间，
有7个样本点，设“甲积分为6分”，包含两种组合且均成功，
则；
（2）根据题意，的所有可能取值为；
其中，
，，
，，
，
，
变量的分布列为：
0 2 4 6 8 10 12
所以期望．
19．(1)；
(2)①；②选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大.
（1）利用全概率公式计算可得；
（2）①利用条件概率概率公式计算可得；②分别求出两种方案中摸到白球的概率，再比较即可.
【详解】（1）设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“摸出白球”为事件，“摸出红球”为事件．
所以．
所以摸球一次就试验结束的概率为．
（2）①因为，是对立事件，．
所以，
所以选到的袋子为乙袋的概率为．
②由①，得，
所以方案一中取到白球的概率为．
方案二中取到白球的概率为，
因为．
所以方案二中取到白球的概率更大，即选择方案二使得第二次摸球就试验结束的概率更大．

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